sust simple

8/19/2019 Sust Simple

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GUIA DIDACTICA DE CALCULO

GUIA INTEGRACION POR SUSTITUCION SIMPLE

1. Para que una integral se resuelva por sustitución simple debe cumplir ciertas condiciones, ¿cuálesson? Escoge las condiciones de la lista de más abajo y colócalas en los recuadros vacíos que

correspondan

! ! "" #! " f g x g x dx×∫

$ondiciones %parece una suma de &unciones.

%parece un producto de dos &actores. 'no de los &actores es una &unción compuesta !una &unción e(terior evaluada en otra

&unción interior".

El otro &actor es la derivada de la &unción e(terior.

El otro &actor es la derivada de la &unción interior.

). *as siguientes integrales se resuelven por sustitución simple por que cumplen las condiciones

se+aladas. denti&ica la &unción interior, la &unción e(terior y la derivada de la &unción interior

Integral Funciónexterior Funcióninterior Derivada de la función interior

)cos! " ) x xdx×∫ ! " f x = ! " g x = #! " g x =

- )1 - x x dx+ ×∫ ! " f x = ! " g x = #! " g x =

( ) ) 1

ln x dx x

×∫ ! " f x = ! " g x = #! " g x =

cos senxe xdx×∫ ! " f x = ! " g x = #! " g x =

.

/

/

1

xdx

x +∫ ! " f x = ! " g x = #! " g x =

-. *as siguientes integrales NO se pueden resolver por sustitución simple. denti&ica cual de las

condiciones !1, ) ó -" de&inidas en el item 1 no se están cumpliendo en cada caso

a" sec xdx∫ 0o se cumple la condición 022222

b"-

x xdx×∫ 0o se cumple la condición 022222

c" ( ) )

ln x dx∫ 0o se cumple la condición 022222

d" xe senxdx×∫ 0o se cumple la condición 022222

e"-

1

xdx

x +∫ 0o se cumple la condición 022222

3icardo 4alinas P.

Condición 0): Condición 0-:

Condición 01:




. El m5todo de integración por sustitución simple recibe su nombre porque cuando están dadas las

condiciones para aplicar este m5todo, la función interior se reempla6a por la letra u y su derivada

por du , de la siguiente &orma

4i ! "u g x= y #! "du g x dx= , entonces ! ! "" #! " ! " f g x g x dx f u du× =∫ ∫

7bserva el ejemplo de cómo se reali6a la sustitución

$ompleta el desarrollo de las siguientes integrales que se resuelven por sustitución simple

( ) ( )- )a" cos - cos x x dx C C

u

du

= × = + = +

=

=

∫ ∫

( )8 8 8) ) b" ) 1 1 ) x x dx x xdx C C

u

du

− = − × = × = × = + = +

=

=

∫ ∫ ∫ ∫

( )( )

( ) --)

))ln 1c" ln

xdx x dx C C

x x

u

du

= × = × = + = +

=

=

∫ ∫ ∫

/. 3esuelve las siguientes integrales por sustitución simple

3icardo 4alinas P.

Esta integral se resuelve

por integración directa

Sustitución o reemplazo

Producto de ) &actores

'no de los &actores es una &unción compuesta

El otro &actor es la derivada de la &unción interior

función interior

¿Es igual?

SI

entonces

reemplazar

resolver la integral inmediata

volver a reemplazar

¿Es igual?

¿Es igual?

¿Es igual?




a"-! )" x dx−− =∫

b")sen! -" ) x xdx− ×∫

c")

xedx

x=∫

d")

arctg

1

xdx

x=

+∫

9. 7bserva el siguiente ejemplo

4iguiendo el ejemplo completa el desarrollo de las siguientes integrales que se resuelven por

sustitución simple

)

a" xe xdx e e C C

u

du

du

× = × = × = × + =

=

=

=

∫ ∫ ∫

3icardo 4alinas P.

Producto de ) &actores.

'no de los &actores es una &unción compuesta.

El otro &actor es la derivada de la &unción interior

!e(cepto en una constante".

función interior

¿Es igual? N

Se diferencian en una constante

!ue est" multiplicando

entonces

despe#ar

resolver la integral

inmediata

volver a reemplazar

¿Es igual?

reemplazar




))

- -

1 1 1 b"

1 1

xdx x dx C C

x x

u

du

du

÷= × = × − = − × = − × + = − ÷− −

=

=

− =

∫ ∫ ∫ ∫

:. 3esuelve las siguientes integrales por sustitución simple

a") / x x dx− =∫

b".! ) 1" x dx− + =∫

c"( )cos x

dx x

=∫

d");

xdx

x=

−∫

<. $onsiderando que a es una constante, compruebe usando integración por sustitución simple, los

siguientes resultados

Fórmulas de integrales !ue se o$tienen por sustitución simple

axax e

e dx C a

= +∫ ! "

cos! " sen ax

ax dx C a

= +∫ cos! "

! " ax

sen ax dx C a

= − +∫ 1 ln! "ax $

dx C ax $ a

+= +

+∫

;. 'sando las &órmulas anteriores y propiedades básicas resuelva las siguientes integrales

a") 8 ) )! - " x x xe e e dx−− + =∫

b" 9cos!- " 1=/

x x sen dx

+ = ÷ ÷

∫

c"1

) dx

x=

+∫

d"1 )

- /dx

x x

− = ÷+ − ∫

3icardo 4alinas P.

¿Es igual?

sust simple

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