(1) انتقال حرارت

صفحعنوانه

1 مفاهیم فیزیکی و معادالت نرخ انتقال حرارتفصل اول :

2انرژی حرارتی و انتقال حرارت : 1 – 1

3انتقال حرارت هدایتی : 2-1

4ضریب هدایت حرارتی : 1 – 3

4نکاتی چند از ضریب هدایت حرارتی : 1 – 4

5 : ضریب نفوذ حرارتی 1 – 5

6 : انتقال حرارت جابجایی1– 6

6 : ضریب انتقال حرارت جابجایی 7-1

7 : نکاتی چند در مورد ضریب انتقال حرارت جابجایی 1- 8

7 : روشهای افزایش انتقال حرارت جابجایی 9-1

8 : انتقال حرارت تشعشعی10-1

: تفاوت انتقال حرارت تشعشعی با انتقال حرارت هدایتی و11-1جابجایی

8

9 : تجزیه و تحلیل مسائل انتقال حرارت 12-1

9 : خالصه 13-1

11 معادالت انتقال حرارت هدایتیفصل دوم :

12 : معادالت انتقال حرارت هدایتی1-2

12 یک بعدی ) دیواره (– : معادله انتقال حرارت 2-2

13 : معادله کلی انتقال حرارت هدایتی سه بعدی3-2

17:معادله انتقال حرارت هدایتی یک بعدی ) استوانه( 4-2

19( کروی)معادله انتقال حرارت هدایتی یک بعدی : 2 -5

22خالصه : 2 -6

23انتقال حرارت هدایتی پایدار و یک بعدی فصل سوم :

24انتقال حرارت هدایتی پایدار و یک بعدی : 1-3

برای،انتقال حرارت هدایتی پایدار ، یک بعدی ، بدون چشمه حرارتی : 3 -2دیواره مسطح

24

26مقاومت حرارتی :3 -3

یک بعدی ، با چشمه حرارتی ثابت ، در، انتقال حرارت هدایتی پایدار : 4-3دیواره

27

31دیواره مرکب : 5-3

در،انتقال حرارت هدایتی پایدار، یک بعدی ، بدون چشمه حرارتی :3 -6استوانه

33

35شعاع بحرانی استوانه : 7-3

، یک بعدی ، بدون چشمه حرارتی ،انتقال حرارت هدایتی پایدار :8-3 درکره

38

41شعاع بحرانی کره : 9-3

42انتقال حرارت از سطوح گسترش یافته : 10-3

43محاسبات انتقال حرارت از سطوح گسترش یافته : 11-3

48خالصه : 12-3

50انتقال حرارت هدایتی ، چند بعدی فصل چهارم :

51مقدمه : 1-4

51روش های تحلیلی حل معادالت انتقال حرارت هدایتی : 4 – 2

حل تحلیلی معادله حاکم بر انتقال حرارت هدایتی پایدار دو بعدی ، بدون چشمهحرارتی ، در حالت خاص

53

روشهای حل عددی انتقال حرارت هدایتی پایداردو بعدی ، بدون منبع : 4 -4حرارتی

57

62:هدایت حرارتی سه بعدی5-4

63 :خالصه 6-4

64انتقال حرارت هدایتی ناپایدار فصل پنجم :

65 : انتقال حرارت هدایتی ناپایدار5- 1

:معادله انتقال حرارت هدایتی ناپایدار یک بعدی ، بدون منبع5 –2حرارتی ، در دیواره

65

: حل تحلیلی معادله انتقال حرارت هدایتی ناپایدار دو بعدی ، بدون5- 3چشمه حرارتی

66

71 : حل معادالت انتقال حرارت هدایتی ناپایدار ، بدون چشمه حرارتی 5- 4

71 : پارامترهای بدون بعد کاربردی در انتقال حرارت هدایتی ناپایدار1-4-5

: حل معادالت انتقال حرارت هدایتی ناپایدار چند بعدی ، با استفاده از5-5نمودارهای هیسلر

72

73 : سیستم ظرفیت حرارتی فشرده 5 – 6

73: حل معادله توزیع دما در سیستم ظرفیت حرارتی فشرده 5 -7

76سیستم ظرفیت حرارتی فشرده بدون اثر جابجایی :8-5

79: اهمیت عدد بدون بعد بایو9-5

81 : خالصه 5 –10

82مقدمه ای بر انتقال حرارت جابجایی فصل ششم:

83 : مقدمه 1-6

83 : ضریب انتقال حرارت جابجایی6 -2

84 : اعداد بدون بعد کاربردی در انتقال حرارت جابجایی6- 3

85 : الیه مرزی سرعت 4-6

86 : الیه مرزی حرارت 5-6

86 : اهمیت الیه های مرزی6-6

87 : جریان آرام ومغشوش6- 7

87 : معادالت حاکم در الیه مرزی8-6

88 : معادله پیوستگی1-8-6

89 معادله اندازه حرکت6- 2-8

89 نیروی حجمی :6- 1-2-8

90 نیروی سطحی :6 - 8- 2-2

91 معادله انرژی :6- 10

94 معادالت حاکم درالیه مرزی ، جریان آرام ، صفحه تخت :11-6

99 معادالت تجربی در الیه مرزی جریان آرام صفحه تخت :1-11-6

معادالت تجربی در الیه مرزی ، جریان مغشوش ، صفحه : 2-11-6تخت

100

101جریان داخلی: 12-6 101جریان سیال از روی استوانه: 13-6 103انتقال حرارت جابجایی روی استوانه : 6 -14

105 : انتقال حرارت جابجایی در داخل استوانه15-6

106خالصه : 16-6

107آشنایی با مبدلهای حرارتی فصل هفتم :

108: مبدلهای حرارتی 1-7 109: مبدل حرارتی لوله پوسته ای 2-7 111: تجزیه و تحلیل مبدلهای حرارتی 3-7

محاسبات مبدلهای حرارتی به روش اختالف دمای متوسط1-3-7لگاریتمی :

111

116معیارهای انتخاب جریان برای لوله یا پوسته 4-7 116بافل ها 5-7

مراقبت و نگهدار ی از مبدلهای حرارتی پوسته و، بستن ،راه اندازی 6-7 : لوله

117

117( :Start –up راه اندازی )7-7

118 بستن مبدلها :7 -8

118 بازرسی مبدلها حرارتی در حین کار کردن : 9-7

119 تمیز کردن مبدل حرارتی :10-7

119 آزمایش مبدلهای حرارتی :11-7

120 ( :Shell Test آزمایش پوسته )12-7

120 ( :Tube Test آزمایش لوله ) 13-7

121 ( :Fouling گرفتگی ) 14-7

121 رسوب های مواد نامحلول :1-14-7

121 رسوبهای ویژه : 2-14-7

121 رسوبهای تشکیل دهنده ناشی از واکنشهای شیمیائی : 3-14-7

121 رسوبهای تشکیل شده در اثر خوردگی : 4-14-7

122 رسوبهای بیولوژیکی : 5-14-7

122 ( : Freezing رسوبهای ناشی از سرد شدن مایعات ) 6-14-7

122 رشد رسوبها 15-7

122 هزینه های ناشی از تشکیل رسوب : 16-7

122 مالحظات مربوط به طراحی :17-7

123( :Vapor Locking مسدود شدن مسیر حرکت بخار )18-7

123 خالصه : 19-7

I125 خالصه روابط کاربردی برای حل مسائل انتقال حرارت :1ضمیمه

I133 نمودارهای کاربردی برای حل مسائل انتقال حرارت :2ضمیمه

فصل اول مفاهیم فیزیکی و

معادالت نرخ انتقالحرارت

انرژی حرارتی و انتقال حرارت : 1 – 1 در ترمودینامیک با تبادل گرما و نقش آن آشنا شده ایم و بنابر اص''ل دوم ترمودینامیک چنانچه قسمتی از ی''ک سیس''تم نس''بت ب''ه قس''متهای دیگ''ر سیستم اختالف دما داشته باشد انرژی حرارتی از نق''اط گ''رم ب''ه س''مت

1

نقاط س'رد جری'ان می یاب'د و ب'ه کم'ک رواب'ط ترمودین''امیکی می ت'وان دمای تع''ادل ، مق''دار ک''ل ان''رژی مبادل''ه ش''ده را،وضعیت حالت تعادل

بدس''ت آورد . ام''ا در ترمودینامی''ک مک''انیزم انتق''ال گرم''ا و روش ه''ای محاسبه ن''رخ انتق''ال گرم''ا م''ورد تجزی''ه و تحلی''ل ق''رار نمی گ''یرد . ل''ذا ترمودینامیک فقط حالت تعادلی سیستم را مورد بررسی قرار می دهد و الزمه حالت تعادلی معادله ، نبود گرادیان دماست . بعبارت دیگ''ر انتق''ال گرم''ا ذات''اً غ''یر تع''ادلی اس''ت ل''ذا ه''دف م''ا از مطالع''ه انتق''ال گرم''ا پاسخگویی به زمان الزم برای رسیدن به تع''ادل سیس''تم و تغی''یرات دم''ا برحسب زمان و شدت انتقال گرما در هر لحظه از زمان و مکان است . بنابراین انتقال حرارت به صورت انرژی انتقال یافته از ی''ک سیس''تم ب''ه سیستم دیگر در اثر وجود اختالف دم''ا بین دو سیس''تم تعری''ف می گ''ردد لذا به زبان ساده تر انتقال حرارت ، ناشی از وجود اختالف دماس''ت پس نیروی محرکه انتقال حرارت گرادیان دماست بنابراین نرخ انتقال حرارت در یک جهت مشخص ، به میزان اختالف دما بر واحد ط''ول بس''تگی دارد و هر چ'ه اختالف دم'ا بین دو سیس'تم زی'ادتر باش'د ن'رخ انتق'ال ح'رارت

بیشتر می شود . انتقال حرارت کالً به سه روش هدایت ، جابج''ایی و تابش''ی ص''ورت می گیرد . در اکثر مسائل کاربردی انتقال حرارت به صورت ترکیبی از دو ی''ا

سه روش فوق می باشد .

شکل (1-1

( انواع مختلف انتقال حرارت هدایتی ، جابجایی ، تشعشعی

انتقال حرارت هدایتی : 2-1

2

اگر دمای ناحیه ای از جسم از ناحیه ای دیگر آن بیشتر باش''د ح''رارت از ناحیه گرمتر به سمت ناحیه سردتر جریان می یابد . این پدیده را ه''دایت گویند در این پدیده انتقال انرژی حرارتی ب''ه ص''ورت جری''ان الکترونه''ای آزاد و یا انتقال انرژی ارتعاشی ذرات جس''م ب''ه ذرات مج''اور ، در دم''ای پ''ایینتر می باش''د . در این روش واس''طه انتق''ال ح''رارت س''اکن اس''ت ) جامدات ( لذا شدت انتقال حرارت هدایتی ) مقدار گرمای منتقل ش''ده در واحد زمان ( متناسب با شیب دم''ا در جس''م و ان''دازه س''طح عب''وری گرما می باشد . بنابراین شدت انتقال حرارت ه''دایتی توس''ط فوری''ه ب''ه

صورت زیر بیان گردیده است .

q=−KA ∂T∂ x

(1−1)

( بیان می کند که هدایت حرارتی در یک محیط1-1بعبارت دیگر رابطه ) به هندسه ، ضخامت ، جنس ماده و اختالف دما در عرض محیط بستگی

دارد

W

mc° K :ضریب هدایتی حرارتی

m2سطح مقطع عمود بر جهت حرارت : A

C ΔT :اختالف دما °

m ضخامت الیه: Δx

JS q : مقدار حرارت منتقل شده در واحد زمان

(1-2شکل ) انتقال حرارت هدایتی یک بعدی

3

بنابراین قانون فوریه ، بیانگر مکانیزم انتقال حرارت به روش هدایتی است

قانون فوریه مبتنی بر تحلیل نیست بلکه یک تجربه بشری است همچ''نین عالمت منفی در قانون فوری''ه بی''انگر جهت ک''اهش انتق''ال دماس''ت ، ب''ه عبارت روشن تر گرما نمی تواند از نقطه ای سرد به نقطه ای گرم نق''ل مکان کند. ) قانون دوم ترمودینامیک ( قانون فوری''ه ب''رای تم''امی ح''الت

( اگ''ر1-1 ناپای''دار ( معت''بر اس''ت . ح''ال ب''ا توج''ه ب''ه رابط''ه )،) پای''دار گرادیان دما ثابت باشد انتقال حرارت تابع ضخامت الیه نخواهد ب''ود زی''را

به ازای هر ضخامتی مقدار انتفال حرارت ثابت خواهد بود

ضریب هدایت حرارتی : 1 – 3 ضریب هدایت حرارتی ، یک خاصیت مهم حرارتی جسم است و ب''ه ن''وع جسم و شرایط فیزیکی از قبیل دما و فشار آن بستگی دارد . لذا هر چه مقدار عددی ضریب هدایت حرارتی جسم بزرگتر باش''د جس''م ه''ادی ت''ر بود و مقدار بیشتری گرما از آن عبور می کند و برعکس ه''ر چ''ه مق''دار عددی ضریب هدایت حرارتی جس''م کوچک''تر باش''د جس''م ع''ایق ت''ر می

باشد .

K= q∂ T∂ x

(1−2)

نکاتی چند از ضریب هدایت حرارتی : 1 – 4ضریب هدایت حرارتی معیاری از قابلیت مواد در هدایت گرماست – 1 فلزات بیشتر از مایعات و مایعات بیشتر از گازها رسانای حرارت – 2

هستند یعنی K > مایعات K جامدات غیر فلزی >K > الیاژ K فلزات خالص

K > گازها

فشار ، روی ضریب هدایت گازها و مایعات تاثیر ندارد – 3 برای بعضی از اجسام جامد ، – K 4. بستگی به جهت انتقال حرارت دارد

مخصوصاً اجسام لیفی مقدار4

- K5 اجسام متخلخل با K. سازنده ماده متخلخل متفاوت می باشد

. در جامدات ، ضریب هدایت حرارتی با افزایش دما کاهش می یابد – 6 درجامدات ضریب هدایت حرارتی ، حاصل جمع امواج ارتعاشی و - 7

.انرژی منتقله توسط الکترون آزاد است - در گازها ، ضریب هدایت حرارتی با مجذور دما نسبت مستقیم دارد8

K ∝T12

تابعی از دماست و برای K. هر ماده نیاز به داشتن دمای آن ماده است - K9 تعیین مقدار دقیق

0.01 ضریب هدایت حرارتی گازها ، معموالً کوچکتر از – 10 Wm2 c° است

ضریب هدایت حرارتی مایعات ، با افزایش دما کاهش می یابد به– 11جز آب و گلیسرین

- ضریب هدایت حرارتی مایعات ، با افزایش جرم مولکولی کاهش12می یابد .

- ضریب هدایت حرارتی مایعات ، به جز اطراف تقطه سه گانه13نسبت به فشار خنثی است

ضریب هدایت حرارتی مایعات فلزی ، خیلی بیشتر از ضریب– 14هدایت حرارتی مایعات غیر فلزی است.

- ضریب هدایت حرارتی فلزات ، معیار ثابتی ندارد . بدینصورت که در15 بعضی از فلزات ، ضریب هدایت حرارتی با افزایش دما کاهش می یابد

) مس ( در بعضی از فلزات ، ضریب هدایت حرارتی با افزایش دما افزای'ش می یابد ) آلومینیوم ( در بعضی فلزات ، ضریب هدایت حرارتی

با افزایش دما ب'دون تغ'ییر باق'ی میماند ) فوالد ( با تغییر دما به سرعت تغییر میK در دماهای بسیار پایین ، مقدار – 16

کند . : ضریب نفوذ حرارتی 1 – 5

5

ضریب نفوذ حرارتی ، یک خاص'یت حرارتی جسم اس'ت ک''ه ب''ه ص'''ورت∝= K

ρcp تعریف می شود . لذا ضریب نفوذ حرارتی بی''انگر س''رعت پخش

بیش''ترαیا نفوذ حرارتی در داخل جسم است یعنی هر چه مقدار عددی باشد حرارت در داخل جسم سریعتر پخش می شود از ط''رفی ب''ا توج''ه

بیش''تر باش''دKبه رابطه فوق هرچه مقدار عددی ضریب هدایت حرارتیρcو یا ظرفیت حرارتی جسم ) p¿کمتر باشد مقدار ض'ریب نف'وذ ح'رارتی

( بیشتر خواهد شد.αجسم ) : انتقال حرارت جابجایی1– 6

T در مجاورت سیالی با دمای Twاگر سطح جسمی با دمای ق''رار گ''یرد∞ بین جسم و سیال حرارتی مبادله می شود که این روش مبادل''ه ح''رارتی را انتقال حرارت جابجایی گویند . چنانچ''ه دم''ای جس''م نس''بت ب''ه دم''ای سیال بیشتر باشد ) ش'وفاژ ، ه'وای اط'اق ( انتق'ال ح'رارت جابج'ایی از

شیش''ه س''رد،جسم به سیال صورت می پذیرد و برعکس ) هوای اطاق پنجره ( انتقال حرارت جابجایی از سیال به جسم صورت می پذیرد .

لذا انتقال حرارت جابجایی با دو مکانیزم انجام میگیرد: انتقال انرژی توسط حرکت زیگزاکی مولکولی ) تصادفی ( الف -

حرکت ماکروسکوپی سیالب - لذا برای محاسبه شدت انتقال حرارت جابجایی ، از قانون سرمایش

نیوتن استفاده می کنیم . q=hA (T w−T ∞ )(1−3)

q مقدار حرکت منتقل شده در واحد زمان : JS

h ضریب انتقال حرارت جابجایی : Wm2℃

A سطح مقطع عمود بر جهت جریان : m2

Tw دمای سطح جسم : C °

T C : دمای سیال ∞ °

6

: ضریب انتقال حرارت جابجایی7-1 ( ی''ک کمیت مق''داریh( ضریب انتقال حرارت جابج''ایی )1-3در معادله )

است و به جهت بستگی ندارد و جزء خاصیت سیال نب''ود بلک''ه مق'دار آن به هندسه سطح جسم جامد ، نوع حرکت سیال ، س''رعت حجمی س''یال

بستگی دارد . : نکاتی چند در مورد ضریب انتقال حرارت جابجایی 1- 8 ضریب انتقال حرارت جابجایی مایعات ، بیشتر از گازهاست . – 1 ضریب انتقال ح''رارت جابج''ایی ، میع''ان بزرگ''تر از ض''ریب انتق''ال– 2

ح''رارت جابج''ایی جوش''ش و ض''ریب انتق''ال ح''رارت جابج''ایی جوش''ش بزرگتر از ضریب انتقال حرارت جابجایی اجباری و ضریب انتقال ح''رارت

جابجایی اجباری بزرگتر از ضریب انتقال حرارت جابجایی آزاد است . هر گاه بین جسم و سیال حرارت مبادله گردد . خواهیم دانست ک''ه– 3

در مجاورت سطح گرم جریان به سمت باالحرکت می کند و در مجاورتسطح سرد جریان به سمت پایین حرکت می کند .

مس''تقل از دم''ا م''د نظ''ر ق''رارh در معادله قانون سرمایش نی''وتن – 4 تابعی از دماست.hگرفته است اما اصوالً

: روشهای افزایش انتقال حرارت جابجایی 9-1 زیاد کردن مقدار عددی ضریب انتقال حرارت جابجایی – 1 ایجاد موانع روی سطوح جسم جامد که سبب اف''زایش س''طح مبادل''ه–2

حرارت بین جسم و سیال می شود ایجاد اغتشاش و تالطم بیشتر سرعت جریان سیال – 3

لذا با توجه به مطالب بیان شده انتق''ال ح''رارت جابج''ایی ب'ه دو ص''ورتذیل انجام می گیرد :

انتقال حرارت جابجایی اجباری–الف انتقال حرارت جابجایی آزاد –ب

7

اگر جریان سیال توسط عوامل خارجی نظیر پمپ ، فن و... ایج''اد گ''ردد انتقال حرارت جابجایی اجباری است و نیز اگر جریان س''یال ب''ه واس''طه اختالف چگالی ناشی از تغییرات دما باشد انتقال حرارت را جابجایی آزاد

گویند .بنابراین قانون سرمایش نیوتن ، بیانگر مکانیزم انتقال حرارت به روش جابجایی است

: انتقال حرارت تشعشعی10-1 هر گاه دو یا چن''د جس''م ک''ه از س''طح خ''ود ان''رژی منتش''ر می کنن''د و در معرض دید یکدیگر قرارگیرند مقداری از انرژی تابش شده ، هر سطح ب''ه سطح دیگر برخورد می کند و تبادل حرارت صورت می گیرد . ک''ه ب''ه این روش تبادل حرارت ، انتقال حرارت به روش تشعشعی گوین''د. ل''ذا تب''ادل انرژی فی مابین دو سطح ، به صورت امواج الکترومغناطیس می باشد . بنابراین کلیه اجسام در دماهای ب'االتر از ص'فر مطل'ق انتق'ال ح'رارت ب'ه صورت تشعشعی دارند که مقدار شدت انتقال حرارت آن توسط بولتزمن

به شرح ذیل بیان گردیده است :q=A .ε .σ (T w1

4 −T w2

4 )

qخالص شدت انتقال حرارت تشعشعی: JS

σ 8−10∗5.6: ثابت بولتزمن که مقدار عددی آن برابر Wm2

k4است

ε است0-1 : ضریب صدور سطح جسم که مقدار آن بین A سطح تشعشع جذب شده : m2

TW1 دمای مطلق جسم اول :K °

TW2 دمای مطلق جسم دوم :K °

با توجه به مطالب بیان شده حداکثر انتقال حرارت تشعشعی زمانیخواهد بود که ، فاصله بین دو جسم خالء کامل باشد .

8

: تفاوت انتقال حرارت تشعشعی با انتقال حرارت هدایتی و11-1جابجایی

عامل انتقال حرارت در تشعشع ، امواج الکترومغناطیس یا فوتون– 1 ،است در حالیکه عامل انتقال حرارت در هدایت و جابجایی ، مولکول

یون یا الکترون است . در تشعشع ، انتقال حرارت با توان چهارم درجه حرارت مطلق– 2

جسم بستگی دارد در حالیکه در هدایت و جابجایی ، انتقال حرارت ،متناسب با اختالف دمای نسبی است

بنابراین قانون بولتزمن ، بیانگر مکانیزم انتقال حرارت به روش تشعشعی است

: تجزیه و تحلیل مسائل انتقال حرارت 12-1 داده های مسئله : پس از مطالعه دقیق مسئله داده های آنرا به– 1

صورت خالصه بنویسید . خواسته های مسئله : بطور دقیق خواسته ها مسئله را بنویسید .– 2 شکل شماتیک : شکل شماتیک سیستم فیزیکی مسئله را رسم– 3

کنید . فرضیات : تمامی فرضیات منطقی که مسئله را ساده می کند را– 4

بنویسید . خواص : کلیه خواصی را که برای محاسبات نیاز دارید را مشخص– 5

کنید . تجزیه و تحلیل : این عمل با کاربرد قوانین بقای مربوطه و استفاده– 6

از معادالت انتقال حرارت امکان پذیر است . نتایج : روی نتایج بحث کنید .– 7

: خالصه 13-1 پخش انرژی بواسطه حرکت نامنظم مولکولها- هدایت :1

q=−KA dTdx

9

پخش انرژی بواسطه حرکت نامنظم ملکولها به اضافه انتقال انرژی در اثر- جابجایی :2حرکت توده سیال

q=hA (T w−T ∞)

q=Aεσ انتقال انرژی ، توسط امواج الکترومغناطیس - تشعشع :3 (T w 14 −T w 2

4 )

انتقال حرارت ، در جامدات و مایعات ساکن به صورت هدایت انجام– 4می شود .

5 –ً انتقال حرارت ، در سیاالت و گازها به صورت جابجایی و احتماالتشعشع انجام می گیرد .

مکانیزم انتقال حرارت ، در دماهای خیلی باال تشعشعی است – 6 مکانیزم انتقال حرارت ، در دماهای پایین جابجایی و هدایت هستند –7

- محرک انتقال گرما ، گرادیان دماست8 نرخ انتقال گرما در یک جهت مشخص به میزان اختالف دما بر واحد-9

وابسته است یعنی هرچه مقدار اختالف دما بیشتر باشد ، نرخ انتقالحرارت زیادتر می شود .

- هرگاه گرادیان دما ثابت بود انتقال حرارت به ضخامت بستگی10 نخواهد داشت زیرا به ازای هر ضخامتی مقدار انتقال حرارت ثابت

است .-انتقال حرارت هدایتی تابع برداری است و به جهت بستگی دارد .11 - انتقال حرارت جابجایی یک کمیت مقداری است و به جهت بستگی12

ندارد . - برای اندازه گیری دمای اجسام خیلی دور از پیزو متر استفاده می13

شود .

14 -ρCp 1 مایعات و جامدات عموماً بیشتر از MJm3 K. است

15 -ρCp 1 گاز ها به علت کم بودن چگالی شان عموماً برابر KJKm3

هستند .10

فصل دوم

11

معادالت انتقال حرارتهدایتی

: معادالت انتقال حرارت هدایتی1-2 بنابر اصل بقای انرژی ، مجموع انرژیه''ای ورودی و تولی''د ش''ده براب''ر ب''ا مجموع انرژیهای خ''روجی و ذخ''یره ش''ده در حجم کن''ترل می باش''د ل''ذا برای درک موضوع کافی است با توجه به ش''کل هندس''ی سیس''تم م''ورد بحث ، ی''ک دس''تگاه مختص''ات مناس''ب ) ی''ک الم''ان حجمی( از سیس''تم انتخاب و سپس اصل بقای انرژی ، برای این حجم کنترل را مورد تجزی''ه و تحلی''ل ق''رار می دهیم ش''دت ح''رارت ورودی و خ''روجی را ب''ه کم''ک قانون فوریه و با توجه به شیب دم''ا در مق''اطع ورودی و خ''روجی الم''ان

حجم می توان بدست آورد . یک بعدی ) دیواره (– : معادله انتقال حرارت 2-2

( مدل انتقال حرارت هدایتی یک دیواره را نشان می دهد2-1شکل )Kبطوریکه ضریب هدایتی حرارتی آن

12

( مدل انتقال حرارت هدایتی یک دیواره2-1شکل )

˚ و دم''ایq و شدت حرارت تولیدی در داخل جس''م L و ضخامت دیواره Tطرفین دیواره 2 باشند ، اگر بواسطه اختالف دمای ط''رفین دی''واره ،T1و

انتقال حرارت هدایتی در دیوار جریان یابد . به کمک معادله بق''ای ان''رژیبرای جزء المان سطح مذکور خواهیم داشت :

q¿+qgen=qout+q|¿|(2−1)¿

( را تعیین می2-1)لذا با توجه به قانون فوریه هر یک از جمالت معادل کنیم .

q¿=−KA ∂ T∂ x

qgen=¿ q˚Adx

qout=−KA ∂T∂ x |

x +dx=−KA( ∂ T

∂ x+ ∂2T

∂x2 dx )

q|¿|=Ad x ρcp

∂ T∂ t

¿

( خواهیم داشت:2-1حال با جاگذاری جمالت باال در معادله)13

−KA ∂T∂ x

+q° A d x=−KA ∂T∂ x

−KA ∂2T∂x2 dx+ A d x ρcp

∂ T∂ t

(2−2)

KAdx( بر 2-2( و تقسیم باقیمانده جمالت )2-2با ساده کردن معادله )خواهیم داشت :

q°

K=−∂2T

∂x2 +ρcp

k∂T∂ t

(2−3)

ρcp ثابت فرض شود و باتوجه به اینکه نسبتKاگر مقدار

k 1 ) عکس¿=∝

( و ساده2-3ضریب نفوذ حرارتی است( و جایگذاری آن در معادله )نمودن معادله فوق خواهیم داشت:

∂2T∂ x2 +

q°

K= 1∝

∂T∂ t

(2−4)

: معادله کلی انتقال حرارت هدایتی سه بعدی3-2 جریان حرارت در اجسامی که بیش از یک بعد دارند . به صورت ح''رارت ه''دایت ش''ده ب''ه داخ''ل و ی''ا خ''ارج ش''ده از الم''ان حجم ، در س''ه جهت

( مدل انتقال حرارت ه''دایتی2-2محورهای مختصات خواهد بود . شکل )dzرا در یک دستگاه مختصات کارتزین سه بعدی ب''ه اض''الع , dy, dxدر

x,y,z فاص''''''له از مرک'''ز نش'''ان دس''''تگاه

میدهد.

14

( مدل هدایت حرارتی سه بعدی2-2شکل )

K با فرض ثابت بودن dx ,dy ,dzلذا معادله بقای انرژی برای المان حجم خواهد بود .

q¿+qgen=qout+qab s(2−5)

q¿=qx+q y+qz

qout=qx +dx+q y+dy+qz+dz

qgen=dxdydz q°

q|¿|=dxdydz ρcp

∂ T∂t

¿

qx+ dx=−Kdydz( ∂ T∂ x

+ ∂2T∂ x2 dx )

q y+dy=−Kdxdz ( ∂ T∂ y

+ ∂2T∂ y2 dy )

qx+ dx=−Kdxdy( ∂ T∂ z

+ ∂2T∂ z2 dz )

( و سپس ساده نمودن معادله2-5با جایگذاری جمالت باال در معادله ) و جایگزین نمودنdxdydzKمذکور ، و تقسیم باقی مانده جمالت معادله بر

ρcpمعادل

K 1 یعنی خواهیم داشت :∝

∂2T∂ x2 +

∂2 T∂ y2 + ∂2T

∂ z2 + q°

K= 1∝

∂T∂ t

(2−6)

( معادله کلی انتقال حرارت هدایتی سه بعدی است.2-6 معادله )( را ساده تر کرد.2-6گاهی اوقات در حالتهای خاص می توان معادله )

اگر معادله انتقال حرارت هدایتی سه بعدی پایدار باشد یعنی :– 1∂T∂ t

=0

15

∂2T∂ x2 +

∂2 T∂ y2 + ∂2T

∂ z2 + q°

K=0 (2−7)

اگر معادله انتقال حرارت هدایتی سه بعدی پایدار و بدون چشمه– 2حرارتی باشد یعنی :

q°=0 ∂ T∂t

=0

∂2T∂ x2 +

∂2 T∂ y2 + ∂2T

∂ z2 =0 (2−8 )

اگر معادله انتقال حرارت هدایتی دو بعدی پایدار و بدون چشمه حرارتی– 3باشد یعنی :

q°=0 ∂ T∂t

=0 ∂ T∂z

=0

∂2T∂ x2 +

∂2 T∂ y2 =0(2−9)

- اگر معادله انتقال حرارت هدایتی پایدار یک بعدی و با چشمه حرارتی باشد4یعنی :

∂T∂ y

=0 ∂ T∂ z

=0 ∂ T∂t

=0

16

∂2T∂ x2 +

q°

K=0 (2−10)

اگر معادله انتقال حرارت هدایتی ناپایدار یک بعدی و بدون چشمه– 5حرارتی باشد :

q°=0 ∂ T∂ y

=∂ T∂ z

یعنی0=∂2T∂ x2 =

1∝

∂ T∂ x

(2−11)

اگر معادله انتقال حرارت هدایتی پایدار ، بدون چشمه حرارتی ، یک– 6بعدی باشد :

q°=0 ∂ T∂ x

=∂ T∂ y

=0 ∂ T∂t

=0 یعنی∂2T∂ x2 =

∂∂ x (K ∂T

∂x )=0(2−12)

( به معادل''ه الپالس معروفن''د . ک''ه از نظ''ر ریاض''ی دارای2-12م'عادله ) جواب تحلیلی هستند لذا در شرایط انتقال حرارت هدایتی پای''دار ، ب''دون چشمه حرارتی و یک بعدی ، شار انتقال ح''رارت ، در جهت انتق''ال ث''ابت

:معادله انتقال حرارت هدایتی یک بعدی ) استوانه( 2-4است .( مدل انتقال ح'رارت هدایتی یک استوانه بلند را نشان می2-3شک'ل )

خارجیو دمای سطح To دهد که المان آن ، لوله ای به و ضریب dr در فاصلهr لولهداخلیو دمای سطح از مرکز Ti لوله ضخامت

است . و بواسطه اخ'تالف دمای سطح داخلی و خارجی استوانه ، ه'دایت حرارتی آن Kج'ریان انتقال.حرارت هدایتی برقرار خواهد بود

17

( مدل انتقال حرارت هدایتی در یک استوانه2-3شکل )

لذا اگر موازنه بقای انرژی را برای این المان لوله ای بنویسیم خواهیم: داشت

q¿+qgen=qout+qab s(2−13)

( را تعیین2-13حال با توجه به قانون فوریه ، هر یک از جمالت معادله ) . می کنیم

q¿=−2πrLK ∂T∂r

qgen=2 πrLdr q°

qout=−2 πrLK ∂ T∂ r |r+dr=−2 πLK [r ∂T

∂ r+( ∂T

∂r+ ∂❑

2 T∂ r❑

2 )dr ]qab s=2 πrdr ρcp

∂ T∂ t

18

( و پ'س از ساده نمودن2-13با ج'اگذاری ج'مالت ف'وق در م'عادله )-13معادله مذکور و تقسیم نمودن تمامی جمالت باقیمانده از معادله )

1 و جانشین نمودن 2kπrLdr( به2ρcp به جای ∝

k( به صورت2-13 معادله ) زیر خواهد شد:

∂❑2 T

∂r❑2 + 1

r∂ T∂ r

+ q°

k= 1∝

∂T∂ t

(2−14)

لذا به همین ترتیب برای مختصات استوانه سه بعدی می K ثابت باشد توان روابط مربوطه را به شرطی که

: چنین نوشت∂❑

2 T∂r❑

2 + 1r

∂ T∂ r

+ 1r2

∂❑2 T

∂∅❑2 + ∂❑

2 T∂ z❑

2 + q°

k= 1∝

∂ T∂ t

(2−15)

بدون، در حالت خاص ، وقتی انتقال حرارت هدایتی استوانه ، یک بعدی ( به صورت زیر خواهد بود2-15چشمه حرارتی و پایدار باشد معادله ) :

d❑2 T

dr❑2 + 1

rdTdr

=1r

ddr (r dT

dt )=0 (2−16)

( نیز به معادالت الپالس معروفند که از نظر ریاضی دارای2-16معادله ) . جواب تحلیلی هستند

( کروی)معادله انتقال حرارت هدایتی یک بعدی : 2 -5

( مدل انتقال حرارت هدایتی ی'ک کره را نشان2-4ی'ک پ'وسته شکل ) می دهد . که ال'مان آن به صورت

K و ضریب هدایت حرارتی آن To و دمای سطح خارجی کره Ti و دمای به ضخامتdr سطح داخلی کره

است و بواسطه ، اختالف دمای فی مابین سطوح داخلی و خارجی کره ،جریان انتقال حرارت هدایت'ی برقرار

.خواهد بود19

شکل ) 4-( مدل انتقال حرارت هدایتی در یک کره2

حال اگر معادله بقای انرژی را برای المان مذکور بنویسیم خواهیمداشت

q¿+qgen=qout+qab s(2−17)

( را تعیین می کنیم2-17لذا با توجه به قانون فوریه هر یک از جمالت ) :

q¿=−4 kπr2 ∂ T∂ r

qgen=4 π r2 dr q°

qout=−4 π r2 K ∂T∂ r |r+∂ r=−4 πK [r2 ∂ T

∂ r+(2 r ∂ T

∂ r+r2 ∂❑

2 T∂ r❑

2 )dr ]qab s=4 π r2dr ρcp

∂ T∂t

( و پس از ساده کردن2-17باجایگذاری جمالت فوق در معادله ) ρcp(2-17معادله مذکور و تقسیم ن'مودن تمام'ی ، معادله )

k1 بجای

∝ کردن جانشین 4و π r2 kdr (2-17جمالت باقیمانده از معادله )به

: به صورت زیر خواهد شد20

d❑2 T

dr❑2 + 2

rdTdr

+ q°

k= 1∝

dTdt

(2−18)

بنابراین برای مختصات سه بعدی کروی ، می توان K مقداری ثابت باشد روابط مربوطه را به شرطی که

: چنین نوشت∂❑

2 T∂r❑

2 + 2r

∂ T∂ r

+ 1r2sin θ

∂∂θ

¿

در حالت خاص وقتی انتقال حرارت هدایتی کره یک بعدی ، پایدار ، بدون (2-19چشمه حرارتی باشد معادله )

: به صورت زیر خواهد بود ∂❑

2 T∂r❑

2 + 2r

∂ T∂ r

= 1r2

∂∂ r (r2 ∂ T

∂ r )=0(2−20)

( نیز به معادله الپالس معروفند که از نظر ریاضی دارای2-20معادله ) . جواب تحلیلی هستند

( که همگی معادالت2-20( و)2-16( ، )2-12حال با توجه به معادالت ) الپالس یک بعدی در دستگاه مختصات هستند ، به صورت زیر نیز قابل

: بیان هستند∂

∂ x (xn ∂ T∂ x )=o (2−21)

n=0 1- اگر دستگاه مختصات کارتزین باشدn=1 2- اگر دستگاه مختصات استوانه ای باشد

n=2 3- اگر دستگاه مختصات کروی باشد بنابراین با حل معادله انتقال حرارت هدایتی مرب'وط ب'ه ی'ک جس'م ، می ت''وان معادل''ه توزی''ع دم''ا را در آن جس''م بدس''ت آورد. ولی ح''ل این معادالت مستلزم معلوم بدون شرایط ف''یزیکی و زم'ان اولی''ه موج'ود در مرزه''ای جس''م میباش''د . ل''ذا مع''ادالت انتق''ال ح''رارت ه''دایتی از نظ''ر مک''انی درج''ه دوم و از نظ''ر زم''انی درج'''ه اول هستن'''د ل''ذا ب''رای ح''ل

21

معادالت انتقال حرارت هدایتی ، به دو ش''رط م''رزی و ی''ک ش''رط اولی''هنیازمندیم .

شرط اولیه فقط برای حالت ناپایدار الزم است و معادالت به صورت -1 : زیر بیان می شود

t=0 T ( x , o )=To

T اگر انتقال حرارت هدایتی ، دمای سطح ثابت باشد.– 2 (0 , t )=T 1

- اگر انتقال حرارت هدایتی ، شار حرارتی در سطح ثابت باشد3−k ∂ T

∂ x|x=o=q ' '

- اگر انتقال حرارت هدایتی ، سطح آدیاباتیک باشد4∂T∂ x

|x=o=o

خالصه : 2 -6

اگر در سطح جسم انتقال حرارت جابجایی داشته باشیم مقدار – 1 انتقال حرارت هدایتی در جسم با مقدار انتقال حرارت جابجایی جسم

.برابر خواهد بود

−k ∂ T∂ x|x=o=h(T w−T ∞)

اگر نقطه اکسترم منحنی توزیع دما روی سطح جسم باشد بیانگر – 2. آدیاباتیک بودن سطح است

اگر منحنی توزیع دما دارای نقطه می نیمم باشد بیانگر گرم شدن – 3 .جسم است

اگر منحنی توزیع دما دارای نقطه ماکزیمم باشد بیانگر سرد شدن – 4.جسم است

22

اگر منحنی توزیع دما به صورت خط راست باشد بیانگر عدم وجود – 5. چشمه حرارتی در داخل جسم و پایدار بودن توزیع دما در جسم است

فصل سومانتقال حرارت هدایتی

23

پایدار و یک بعدی

انتقال حرارت هدایتی پایدار و یک بعدی : 1-3 در این فصل به بررسی سیستمهای هدایتی پایدار و یک بعدی انتقال

حرارت می پردازیم بنابراین در یک سیستم یک بعدی ، گرادیان دما فقط در یک جهت محور مختصات وجود دارد و انتقال حرارت نیز فقط در

همان جهت خواهد بود لذا هدف اصلی در این فصل ، تعیین معادله توزیع.دما و نرخ انتقال حرارت در اشکال هندسی می باشد

برای،انتقال حرارت هدایتی پایدار ، یک بعدی ، بدون چشمه حرارتی : 3 -2دیواره مسطح

x در انتقال حرارت پایدار یک بعدی ، بدون چشمه حرارتی در یک دیواره ساده ، درجه حرارت فقط تابعی بوده و انتقال حرارت فقط در همان

(3-1جهت جریان می یابد شکل )

24

( مدل انتقال حرارت در یک دیواره مسطح3-1شکل )

با توجه به شکل ) K و ضخامت دیواره L و دو طرف دیواره دارای دماهای( که ضریب هدایت حرارتی1-3

باشند . می توان معادله توزیع دما در داخل دیواره و همچنین شدتثابت T1 , T2 حرارت انتقالی از درون

: دیواره را به صورت زیر نوشتd❑

2 Tdx❑

2 =0(3−1)

( خواهیم داشت3-1با دو بار انتگراگیری از معادله )dTdx

=c1(3−2)

25

لذا جواب عمومی معادله توزیع دما دیواره بدون منبع حرارتی به : صورت زیر خواهد بودT ( x)=c1 x+c2(3−3)

-3معادله ) c1 و عرض از مبدا c2 است و با توجه به اینکه c2 , c1 ثابتهای ( معادله خطی به شیب3

( تعیین می3-1انتگرالند مقدار آنها با استفاده از شرایط مرزی شکل ) . گردند

B .C .1 x=0T=T 1→ C2=T1(3−4)

B .C .2 x=L T=T2 →C1=T2−T1

L(3−5)

( معادله توزیع دما به صورت زیر خواهد3-3در معادله جواب عمومی ) با جاگذاری مقادیر c1 و c2 . بود

T ( x)=(T ¿¿2−T 1)

Lx+T 1(3−6)¿

( و با استفاده از قانون3-6حال با در دست داشتن معادله توزیع دما ) ( نرخ ، انتقال حرارت هدایتی یک بعدی پایدار ، بدون1-1فوریه معادله )

چشمه حرارتی دیواره مسط'ح محاس'به می ش'ود . لذا برای این کار ،dTکافی بدست آید با جایگزاری گرادیان دما

dxمشتق بگیریم تا گرادیان ( معادله نرخ1-1( نسبت به در معادله )3-6است از معادله ) x دما

. انتقال حرارت هدایتی یک بعدی دیواره تعیین خواهد شدdTdx

=T 2−T 1

L(3−7)

q=−KA dTdx

=kAT1−T2

L(3−8)

مقاومت حرارتی :3 -326

همانطورک''ه مق''اومت الک''تریکی وابس''ته ب''ه جری''ان الکتریس''یته اس''ت مقاومت حرارتی نیز وابسته به جریان حرارت است لذا مقاومت حرارتی را به ص''ورت نس''بت پتانس''یل مح''رک ب''ه ن''رخ انتق''ال ح''رارت مربوط''ه

تعریف می کنیم یعنی :

R= محرک حرارتپتانسیل انتقال نرخ ( مق'اومت3-8لذا با توج'ه ب'ه تعری'ف مق'اومت ح'رارتی و ن'یز معادل'ه )

حرارتی هدایتی دیواره برابر است با :

Rcond=T 1−T 2

q= L

KA(3−9)

همچنین مقاومت حرارتی را می توان برای انتقال حرارت جابجایی روی یک سطح نیز تعریف کرد بنابراین با توجه به قانون سرمایش نیوتن

(1-3معادله )

q=hA (T w−T∝ )

: مقاومت حرارتی جابجایی دیواره برابر است با

Rcond=T w−T ∞

q= 1

hA(3−10 )

یک بعدی ، با چشمه حرارتی ثابت ،، انتقال حرارت هدایتی پایدار : 4-3در دیواره

یکی از مسائل مهم قابل بررسی در هدایت حرارتی این اس'ت که سیس'تم خود ت'ولید کننده حرارت )چشمه حرارتی ( باشد . همانگونه که بیان شده ، وجود شیب دما در اجسام ، باعث انتقال حرارت درون جسم

میشود. چنانچه خود جسم به نحوی تولید کننده حرارت باشد . معادله بقای انرژی و در نتیجه معادله توزیع دما ، نرخ انتقال حرارت در جسم ،

27

میزان و جهت انتقال حرارت در جس'م نیز مت'فاوت خواه'د بود ن'مونه پرتوهای رادیواکتیو در، های چشمه حرارتی عبارتند از ، جریان الکتریکی

فلزات تابشی ، واکنش شیمیایی درون سیستم ، لذا ش'دت ت'ولید)°qح'رارت w

m3 ع'بارت اس'ت از ، م'ق'دار ح'رارت ت'ولید ش''ده در(ح'ج'م ج'سم

(3-2و در زم'ان واح'د شکل )

( مدل3-2شکل ) چشمه حرارتی ثابت در دیواره

2و ضریب انتقال حرارت L و ضخامت آن Tw ( 2حال با توجه به شکل-( دماهای طرفین دیواره در3

و شدت تولید حرارت در°q( ، معادله توزیع 2-10باشد. با توجه به معادله ) هدایتی آن ثابت K داخل دیواره

دمای داخلی و شدت حرارت انتقالی از طرفین دیواره به شرح ذیل: خواهد بود

∂❑2 T

∂ x❑2 + q°

K=0 (2−10 )

با دوبار انتگرالگیری از معادله فوق خواهیم داشت

28

∂T∂ x

=−q°

Kx+C1(3−11)

لذا جواب عمومی معادله توزیع دما دیواره با وجود منبع حرارتی به: صورت زیر خواهد بود

T=−q° x2

2 K+C1 x+C2(3−12)

( تعیین3-2ثابتهای انتگرال اند مقدار آنها با توج'ه به شرای'ط مرزی شکل ) با توجه به اینکه c2 , c1 . می شوند

B .C .1 x=0 dTdx

=0→C1=0

B .C .2 x=L T=T w → C1=T w+ q°

2KL

( معادله توزیع دما در دیواره با چشمه حرارتی به3-12در معادله ) حال با جایگذاری مقادیر c2 , c1 صورت

:زیر خواهد بود

T=T w+ q°

2 K(L2−x2)(3−13)

در دمای مرکز دیواره X = 0: برابر خواهد شد با

X=0 →T max=T w+q° L2

2 K(3−14)

برای محاسبه شدت حرارت انتقالی xگرادیان دما مشتق بگیریم تا( نسبت به3-13کافی است از معادله )

dTبدست آید dxیعنی

dTdx

=−q°

KX

( قرار دهیم خواهیم1-1حال گرادیان دمای بدست آمده را در معادله ) : داشت

q=−KA dTdx

=−KA(−q° LK )=A q° L(3−15)

29

با توجه به متقارن بودن دیواره ، حرارت خروجی از طرفین دیواره برابرخواهد بود

q=2 A q° L (3−16 )

Tو ضریب انتقال حرارت جابجایی ( اگر3-3حال با توجه به شکل)∞ طرفین دیواره با سیالی که دمای آن

باشد در تماس باشند.hآن

(3-3شکل ) مدل چشمه با اثر حرارتی ثابتدیواره جابجایی بر

محاسبه دمای سطح دیواره و معادله توزیع دما و شدت حرارت انتقالی: از طرفین دیواره در حالت پایدارحرارتی چنین خواهد بود

حرارت خارج شده از سطح دیواره برابر است با حرارت هدایت شده به: سطح دیواره یعنی

KA dTdx |x=L=hA (TW−T ∞ )(3−17)

( به صورت زیر خواهد شد3-17( معادله )3-15و با توجه به معادله ) .

30

A q° L=hA (T W−T ∞ ) (3−18)

. بنابراین دمای سطح دیواره برابر خواهد شد

T W=T ∞+ q° Lh

(3−19)

( معادله توزیع دما در3-13( در معادله )3-19و با جایگذاری معادله ) . دیواره بر اثر جابجایی سیال مجاور به صورت ذیل خواهد شد

T=T ∞+ q° Lh

+ q°

2 K( L2−x2 )(3−20)

اگر دمای ماکزیمم دیواره را خواسته باشیم xرا برابر صفر قرار دهیم مقدار( 3-20 )کافی است در معادله

: یعنی دمای ماکزیمم در وسط دیواره خواهد بود

x=0 → Tmax=T ∞+q° L( 1h+ L

2 K )(3−21)

با توجه به مطالب بیان شده در مرکز دیواره ، گرادیان دما صفر است لذا این سطح را می توان ادیاباتیک درنظر گرفت به عبارت روشنتر هر گاه یک طرف دیواره عایق باشد .حداکثر دما در همان سمت ظاهر می شود

به همین ترتیب انتقال حرارت هدایتی پایدار ، یک بعدی با چشمه حرارتیثابت با شیب دما در داخل دی'واره

باشد.T1>T2یعنی

T=−q❑°

2 KX2+( q❑

° LK

−T1−T 2

2 L ) x+T 1

T max=T1+q❑

°

2K [L− Kq❑

° (T1−T 2

2 L )]2

31

دیواره مرکب : 5-3 درصورتیکه دیواره از چند الیه با ضریب هدایت حرارتی و ابعاد مختلف به

صورتهای سری یا موازی و یا ترکیبی تشکیل شده باشد برای محاسبه شدت جریان انتقال حرارت ، می توان از مدارهای معادل حرارتی

(3-5( و )3-4استفاده کرد اشکال )

شک) ل4 -3 ) مد لمدا رحرارت ی

معادل برای دیوار مرکب سری

q=∆ TΣ R

(3−22)

Σ R= 1hi A

+LA

K A A+

LB

K B A+

LC

KC A+ 1

hO A(3−23 )

32

K1

A1

K2

A2T∞1 T∞2

L

q

( مدل مدار حرارتی معادل برای دیواره مرکب موازی3-5شکل )

q=∆ TΣ R

∑ R= 11R1

+ 1R2

+ 1R3

بنابراین در مقاومتهای سری : مقاومت معادل برابر است با∑ R=R1+R2+R3+…

و در مقاومتهای موازی : مقاومت معادل برابر است با∑ R= 1

1R1

+ 1R2

+ 1R3

در،انتقال حرارت هدایتی پایدار، یک بعدی ، بدون چشمه حرارتی :3 -6استوانه

در سیستم های استوانه ای معموالً گرادیان دما فقط در جهت شعاع وجوددارد . لذا به کمک قانون فوریه

میشود معادالت حاکم بر اشکال استوانه ای را تجزیه و تحلیل کرد . برای ( را در نظر3-6این کار شکل )

Tشعاع های داخلی و خارج'ی o Tو iمیگیریم بطوریکه س'طوح داخلی وخارجی اس'توانه در دماهای ثابت

33

K3

A3

R1

R2T1

T2

R3

ضریب هدایت K وبواسطه اختالف دمای فیمابین سطوح داخ'لی و ro ح'رارتی آن ث'ابت rو i ترتیب به آن

خارجی استوانه ، جریان انتقال ح'رارت هدایتی ب'رقرار باشد . م'عادلهت'وزیع دما در دیواره استوانه ، را نی'ز

( و با بکار بردن ش'رایط2-15می توان با دوبار انتگرالگیری از معادله ) مرزی اس'توانه ، ثابت های انتگرال

را تعیین نمود و سپس با مشتق گیری از معادله توزیع دما برحسبتغییرات شع'اع ، گ'رادیان دم'ا را ب'دست

( شدت حرارت منتقل1-1آورده و با جایگذاری گرادیان دما در معادله ) . شده را تعیین نمود

( مدل هدایت حرارتی در استوانه3-6شکل )d❑

2 Tdr❑

2 + 1r

dTdr

=1r

ddr (r dT

dr )=O

r dTdr

=C1→ dTdr

=C1

r

: لذا جواب عمومی معادله توزیع دما استوانه به صورت زیر خواهد بود34

dT=C1drr

→ T=C1lnr+C2 (3−24 )

B .C .1 r=r iT=T i→ T i=C1ln ri+C2(3−25)

B .C .2 r=ro T=T o→ To=C1 ln ro+C2(3−26)

( در یک دستگاه خواهیم داشت3-26( و )3-25با حل معادالت )

{T i=C1 ln ri+C2

T o=C1 ln ro+C2

C1=T o−T i

lnr i

r o

C2=T i−T i−T o

lnro

r i

l n r i

( و با توجه به اینکه3-24در جواب عمومی معادله توزیع دما ) C2وC1 با جایگذاری مقدار

شدت حرارت منتقل شده از جداره استوانه بواسطه اختالف دما با( خواهیم داشت1-1استفاده از معادله ) :

T=T i−T i−T o

lnr o

r i

ln rr i

(3−27)

q=−KA dTdr

dTdr =

−T i−T o

lnro

ri

∗1

r

35

برای تعیین Ti>To

q=−K (2 πrL )(−T i−T o

lnro

r i

∗1

r)

q=(2 πL)KT i−T o

lnr o

r i

(3−28)

با توجه به تعریف مقاومت حرارتی ، مقاومت حرارتی هدایتی استوانه به:صورت زیر خواهد بود

Rcond=ln

ro

ri

2 πLK(3−29)

همچنین با توجه به اینکه مقاومت های حرارتی هدایتی و جابجایی: دیوارهای مرکب استوانه همواره به صورت سری هستند داریم

∑ Rcond=n∑

i=1ln

ri+1

r i

2 πLK i

(3−30)

∑ Rconv=n∑

i=1

12 πL r i K i

(3−31)

شعاع بحرانی استوانه : 7-3 در دیواره ساده ، با افزایش ضخامت عایق ، مق''اومت ح''رارتی اف''زایش می یابد ولی تلفات حرارتی کم می ش''ود. ام''ا در اش''کال اس''توانه ای و کروی با افزایش ضخامت ع''ایق ، مق''اومت جابج''ایی ومق''اومت ه''دایتی اثرات متقابلی روی هم دارند . به طوریکه ب''ا اف''زایش ض''خامت ع''ایق ، مقاومت جابجایی کاهش می یابد ولی مقاومت هدایتی افزایش می یاب''د لذا ناچاریم شعاع بحرانی را مورد تجزیه و تحلیل ق''راردهیم بطوریک''ه در شعاع بحرانی مقاومت حرارتی حداقل و در نتیجه تلفات حرارتی ح''داکثر

(3-7شکل)مقدار خود راخواهد داشت

36

T R

( مدل استوانه تو خالی عایق پیچیده شده3-7شکل )

R که دمای سطح آنTبوسیله عایقی که ضریب هدایت حرارتی آن ثابت ( لوله ای به شعاع3-7شکل )

K. است پوشیده شده است

می خواهیم رابطه بین ضخامت الیه عایق و میزان اتالف حرارتی را بهشرطی که دمای سیال مجاور لوله

وh است را بدست آوریم . برای این منظور کافی است معادله شدت T ضریب جابجایی آن ثابت و برابر ∞

( بنویسیم3-7انتقال حرارت را برای شکل ) .

q=T−T ∞

ln rR

2 πLK+ 1

2 πrLh

(3−31)

( را با توجه3-31حال معادله )lnبه فرم ساده تری بازنویسی می کنیم . به قوانین

37

r

L

h . T ∞

q=2πLK (T−T ∞)

lnr−LnR+ Khr

(3−32)

q را برحسب شعاع الیه عایق rنشان می دهد با مشتق گیری از رابطه ( شدت اتالف حرارتی ش'عاع بحرانی3-32رابطه) r و ح'ل راب'طه

)مذک'ور بر حسب dqdr

( و تس'اوی قرار دادن آن با ص'فر32-3 )(0=

. الیه عایق استوانه بدست می آید

dqdr

=2 πLK (T−T ∞ )−(1

r− k

hr2 )¿¿¿

dq 0( برای اینکه3-33در معادله )dr

باشد کافی است داخل پرانتز¿=

( 1r− k

hr2 برابر صفر باشد .(

1r− k

hr2 =0→ r 2

r= k

h→r c=

kh(3−34)

بنابراین شعاع بحرانی الیه عایق استوانه برابر است با

rc=kh(3−35)

-33ماکزیمم و یا م'ینمم من'حنی تغییرات است کافی است از رابطه ) 3) rc برای اطمینان از اینکه نق'طه

مج'دداً مش'تق بگیریم و آن'را تعیین عالمت کنیم . خواهیم دید که اینمقدار همیشه منفی است لذا نقطه

ماکزیمم منحنی است بنابراین rc حداقل مقدار م'قاومت حرارتیrc براحتی می توان ثابت کرد که در شعاع

( مفهوم شعاع بحرانی ع''ایق را بی''ان3-35وجود دارد از طرفی معادله) می کند. چنانچه شعاع خ''ارجی کم''تر از مق''دار ش''عاع بح''رانی باش''د . آنگاه هر افزایشی در ضخامت عایق ، سبب افزایش اتالف ح''رارت می شود و برعکس اگر ش''عاع خ''ارجی بیش''تر از ش''عاع بح''رانی باش''د ه''ر

38

افزایشی در ض'خامت ع''ایق س'بب ک''اهش اتالف ح'رارتی میش'ود. ل'ذا مفهوم اصلی شعاع بحرانی این است که برای مقادیر ب''ه ان''دازه ک''افی

با افزودن hکوچک عایق ، اتالف حرارتی جابجایی به دلیل افزایش مساحت روی''ه اف''زایش

می یابد .

( مدل تغییرات اتالف حرارتی لوله با افزایش شعاع3-8شکل ) عایق

، یک بعدی ، بدون چشمه حرارتی ،انتقال حرارت هدایتی پایدار :8-3 درکره

در سیستم های کروی گرادیان دما فقط در جهت شعاع می باشد لذا با( می توان معادله توزیع دما در داخل2-20کمک قانون فوریه و معادله )

دیواره کره و شدت حرارت انتقال یافته را بدست آورد بدین منظورکافی

39

rc=kh

rri

q˚

q˚

Tو شعاع داخلی و خ'ارج'ی آن o Tو iاست کره ای توخالی را که سطوح داخلی وخارجی آن در دم'اهای

ضریب K است را در نظر گرفت لذا ب'واس'طه اخ''تالف دم'ای سط''وح ro هدایت حرارتی کره ثابت riو

-9 ح'رارت برقرار می باشد شکل )داخلی و خارجی کره ، جریان انتقال( معادله ت'وزیع دما در دی'واره کره3

( و با بکار بردن شرایط2-20را نیز با دوبار مشتق گیری از معادله ) مرزی جهت تعیین ثابتهای انتگرال و با

مشتق گیری از معادله توزیع دما بر حسب تغییرات شعاع ، گرادیان دمابدست آم'ده و با جای'گزینی گرادیان

( ، شدت حرارت منتقل شده بدست می آید1-1دما در معادله فوریه ) .d❑

2 Tdr❑

2 + 2r

dTdr

= 1r 2

ddr (r 2 dT

dr )=0

(3-9شکل ) مدل هدایت حرارتی در کره

r2 dTdr

=0

40

dTdr

=C1

r 2

dT=C1drr2

: لذا جواب عمومی معادله توزیع دما کره به صورت زیر خواهد بود

T=−C1

r+C2 (3−36 )

B .C .1 r=r iT=T i→ T i=−C1

ri+C2

B .C .2 r=ro T=T o→ To=−C1

ro+C2

: با حل همزمان دو معادله فوق در دستگاه خواهیم داشت

{T i=−C1

ri+C2

T o=−C1

ro+C2

C1=T i−T o

1ro

−1r i

C2=T i−1ri [ T i−T o

1r o

−1r i

](3−37)

Ti>To ( و با توجه به3-36( در معادله جواب عمومی )3-37از معادله ) C2 حال با جایگذاری مقدارC1و

. معادله توزیع دما کره بدست می آید

T=T i−T i−T o

1ro

−1r i

( 1r+ 1

ri ) (3−38 )

41

( استفاده1-1برای تعیین شدت حرارت منتقل شده از معادله فوریه ) . می کنیم

q=−KA dTdr

dTdr

=

−T i−T o

1ro

− 1ri

∗1

r 2

q=−K 4 π r2(−T i−To

1ro

−1r i

)∗1

r2

q=T i−T o

ro−r i

4 πK r ir o

(3−39)

لذا با توجه به تعریف مقاومت حرارتی ، مقاوم'ت ح'رارتی هدایتی و: جاب'جایی دی'واره های مرک'ب کره به صورت زیر خواهد بود

∑ Rcond=∑i=1

n r i+1−r i

4 πK r i+1ri

∑ Rconv=∑i=1

n 12 π ri

2h i

(3−40 )

شعاع بحرانی کره : 9-3 برای محاسبه شعاع بحرانی کره R توسط عایقی با ضریب هدایت

کافی است کره ای توخالی به شعاعTو ضریب و r با دمای سطح خارجی کره Ti و دمای سطح خارجی عایق∞

حرارتی ثابت K شعاع خارجی(3-10را در نظر بگیرید . شکل ) h جابجایی

42

( مدل کره توخالی عایق پیچیده شده3-10شکل )

( شدت انتقال حرارت به صورت زیر خواهد بود3-10با توجه به شکل ) :

q=T i−T ∞

r−R4 KπrR

+ 14 π r 2h

(3−41 )

در q را بر حسب شعاع الیه عایق rنشان می دهد . با مشتق گیری ( شدت اتالف حرارتی3-41رابطه )

r) و حل رابطه مذکور بر حسب dqdr

r و تساوی قراردادن آن با صفر(0¿=( بر حسب3-41از رابطه )

: شعاع بحرانی الیه عایق کره بدست می آید

q=4 π (T i−T ∞)1

KR− 1

Kr+ 1

hr2

dqdr

=0 →0−4 π (T i−T ∞ )(0+ 1

K r 2−2

hr3 )( 1

KR− 1

Kr+ 1

h r2 )2 =0 (3−42 )

dq 0( برای3-42در معادله )dr

) باشد کافی است ¿= 1K r2−

2hr3 برابر صفر(

باشد .1

K r 2−2

hr3 =0→ r3

r2 =2 kh

→rc=2 kh

43

: با است برابر کره عایق بحرانیلایه بنابراینشعاعrc=

2 kh

(3−43 )

انتقال حرارت از سطوح گسترش یافته : 10-3Tدو روش برای افزایش انتقال حرارت وجود دارد ∞ Tو wبا توجه به قانون

سرمایش نیوتن پس از تعیینh1 – افزایش ضریب جابجای حرارتی

افزایش سطح انتقال حرارت -2 از طریق ایجاد جریان جابجایی اجباری با مغشوش نمودن سرعت جریان

بدیهی است افزایش h سیال که آن مستلزم بکار بردن ماشین آالت از قبیل فن ، پمپ است که ممکن است این عمل نیز کافی نباشد . اما افزایش سطح انتقال حرارت از

. طریق افزودن سطوح اضافی به نام پره عملی امکان پذیر خواهد بودمحاسبات انتقال حرارت از سطوح گسترش یافته : 11-3

جهت محاسبه انتقال حرارت جابجایی از سطوح جانبی پره با توجه به قانون سرمایش نیوتن نیاز به داشتن می باشد از طرف دیگر دمای

دمای پای پره To پای پره از حل معادله دیفرانسیل عمومی برای پره ها بدست می آید لذا برای سادگی محاسبات معادله دیفرانسیل فرض می

: گیریمانتقال حرارت پایدار باشد – 1

T)ثابت باشد ضریب هدایت – 2 (K) و دمای محیط اطراف پره¿(∞¿¿حرارتی

ضریب جابجای حرارتی – 3 (h) ثابت باشدانتقال حرارت به محیط فقط توسط جابجایی انجام گیرد – 4

44

T=f(x) پس می توان گفت دما فقط در یک جهت تغییر می کندhtk

< 1 پره2

5نازک است نیمی -

To 6- دمای پای پره یکنواخت استمقاومت بین پره و جداره اصلی قابل صرف نظر کردن است – 7

( م'شخصات هندسی ی'ک پ'ره م'کعب مستطیل را3-10ش'کل ) ن'ش'ان می ده'د ک'ه پای آن ب'راب'ر

و ث'ابت است و سطح مقطع پره A=tz و مح'یط پره P=2(t+z).می باش'د To در هر مق'طع ثابت برابر

dx از دیوار قرار داشته و ضخامت آن x حال اگر بقای حرارتی را برای یک جزء حجمی پره که در فاصله

می باشد را درحالت پایداری حرارتی بنویسیم خواهیم داشت x برابر نرخ انرژی ورودی در نقطه x+d +نرخ انتقال حرارت جابجایی

نرخ انرژی خروجی از−KA dT

dx|x=−KA dT

dx|x+dx+hpdx (T−T ∞ ) (3−44 )

−KA dTdx

|x+dx=KA dTdx

|x+ ddx (KA dT

dx )dx

KA d❑2 T

d x❑2 dx−hpdx (T−T ∞ )=0

d❑2 T

d x❑2 − hp

KA (T−T ∞ )=0 (3−45 )

( با کمک دو شرط مرزی می توان3-45با حل معادله دیفرانسیلی ) -45توزیع دما را پیدا کرد . برای اینکار کافی را در نظر بگیریم معادله )

=m2( به صورت زیر 3 hpKA

θ=T−Tو است تغییر متغییر های∞

45

: خواهد بودd❑

2 θd x❑

2 −m2θ=0

( مدل مشخصات یک پره ساده متصل به دیواره3-11شکل ) مسطح

حالت اول : پره بلند باشد شرایط مرزی آن عبارتند ازB .C .1 x=0T=T o θ=θo=T o−T ∞

B .C .2 x→ ∞ T=T∞ θ=o

: لذا جواب عمومی معادله توزیع دما پره بلند به صورت زیر خواهد بودθ=C1 e−mx+C 2 emx (3−46)

θo=C1❑+C 2

❑

C1❑=θo C2

❑=o

(3−46 معادله( در مرزی شرایط اعمال با( معادله توزیع دما به صورت زیر خواهد3-46در معادله جواب عمومی )

با جایگذاری مقادیر c1, c2 . بود

46

T=T ∞+(T o−T ∞ )e−mx (3−47 )

حرارتی که توسط dx به سیال اطراف منتقل می شود برابر است با جابجایی از جزء

dq=hp (T o−T ∞)dx

q=∫0

∞

hp (T o−T∞ )e−mx¿dx

q=√hpKA (T o−T ∞ ) (3−48 )

بازده حرارتی پره طبق تعریف برابر است با نسبت حرارت حقیقی خارج شد از سطح پره به حرارت ایده آل خارج شده از تمامی سطح پره در

دمای ثابت پای پرهqآل hpL=ایده (T o−T ∞ )(3−49)

η f=1

mL(3−50 )

حالت دوم : نوک پره عایق باشد شرایط مرزی عبارتند از

B .C .1 x=oT=T o θ=θo

B .C .2 x=l dTdx

=od θo

dx=o

لذا جواب عمومی معادله توزیع دما پره ای که نوک آن عایق است به: صورت زیر خواهد بود

θ=C1❑coshm ( l−x )+C2

❑sinhm ( L−x )(3−51)

θ=T−Tخواهیم داشت : با اعمال شرایط مرزی در معادله جواب∞( و تغییر متغیر3-51عمومی )

C2❑=o

47

C1❑=

θo

coshml

c2(3-51در معادله جواب عمومی ) با جایگذاری مقدارc1و

T=T ∞+(T o−T ∞)coshml

coshm (l−x )(3−52)

به سیال اطراف منتقل می شودdxحرارتی که توسط جابجایی از جز برابر است با :

q=√hpKA (T o−T ∞ ) tanhmL(3−53)

η f=tanhmL

mlپره حرارتی بازده (3−54 )

حالت سوم : در نوک پره انتقال حرارت فقط جابجایی باشدشرایط مرزی عبارتند از

از آنجائیکه حل معادله دیفرانسیل و روشهای ریاضی مشکل خواهند بود ساده تر است بطوریکه L>>t استفاده از نمودار راندمان پره خیلی

محاسبات تحلیلی نشان داده است که اگر پره به اندازه کافی طوالنیباشد

√Lبیان کرد. 2 hKtدر آن صورت راندمان پره را میتوان بر حسب پرامتر

B .C .1 x=oT=T o θ=θo

B .C .2 x=L−KA dTdx

=|L=hA (T L−T ∞)

لذا جواب عمومی معادله توزیع دما پره ای که در نوک آن انتقال حرارت:جابجایی باشد به صورت زیر خواهد بود

θ=C1❑coshm ( l−x )+C2

❑sinhm (l−x )(3−55)

با جایگذاری شرایط مرزی در جواب عمومی معادله توزیع دما به صورت.زیر خواهد شد

48

T=T ∞+(T o−T ∞ )coshm ( L−x )+( h

km )sinhm ( L−x )

coshmL+( hkm )sinhmL

از آنجائیکه سطوح پره دار از دو قسمت سطح زیر پوشش پره و سطح آزاد تشکیل شده اند مقدار حرارتی که از سطوح پره دار منتقل می

شوند برابر است با مجموع حرارتی که از سطوح بدون پره و سط'وحپره انتقال می یابد

qT=qf +quf (3−56 )

q f =ηf h A f (T o−T ∞ ) (3−57 )

ها پره سطوح : A f

quf=Auf h(T o−T ∞)(3−58)

ها پره بین ما :سطوح Auf

qo=h Ao(T o−T ∞)(3−59)

جانبی سطح Ao

εضریب تاثیر پره

ε=qToT

qo(3−60 )

(2-2( و )2-1مقدار راندمان پره ها را با مراجعه به نمودارهای )نکته : . کتاب می توان تعیین کرد2ضمیمه

خالصه : 12-3 در هدایت پایدار یک بعدی ، بدون چشمه حرارتی در یک دیواره ساده – 1

مستقل از x نرخ انتقال حرارت و شار حرارت هستند در هدایت پایدار ، یک بعدی ، بدون چشمه در یک استوانه نرخ انتقال – 2

حرارت در جهت شعاع ثابت است ولی شار حرارتی ثابت نیست

49

مقاومت حرارتی یک محیط به هندسه و خواص حرارتی آن محیط – 3بستگی دارد

کره، استوانه ،با وجود چشمه حرارتی در داخل دیواره های ساده – 4نمی توان از مفهوم مقاومت حرارتی استفاده کرد

در شرایط ثابت حرارتی در دیواره های مرکب انتقال حرارت در هر – 5q=KAالیه ثابت است زیرا حاصلضرب سه ثابت است dT

dxعبارت

برای دیوار ساده شعاع بحرانی وجود ندارد و با افزایش ضخامت عایق -6مقاومت حرارتی کل افزایش مییابد

پره های مثلثی و سهمی بعلت کمی وزن کارایی بیشتری نسبت به – 7پره های دیگر دارند

. اگر طول پره به سمت بینهایت برود راندمان پره صفر خواهد شد -8% خواهد شد100آنگاه راندمان پره L=0 9- اگر طول پره به سمت صفر

برود نسبت نرخ انتقال حرارت با وجود پره به نزخ انتقال حرارت بدون – 10

. پره را ضریب تاثیر پره گویند h 11- زمانی راندمان پره ماکزیمم است که ضریب گرمایی پره بیشتر

وضریب جابجایی سیال مجاور پرهکمتر باشد

گاز–در مبادله کننده های حرارتی مایع -h 12.کمتری دارد نصب می شودپره سمت سیال یا گازی که

در شعاع بحرانی مقاومت حرارتی حداقل و در نتیجه اتالف حرارتی -13. حداکثر خواهد بود

- برای دیواره مسطح شعاع بحرانی وجود ندارد با افزایش ضخامت14عایق حرارتی گرمایی کل افزایش مییابد .

50

51

فصل چهارم انتقال حرارت هدایتی ،

چند بعدی

مقدمه : 1-4 در فصول قبلی انتقال حرارت هدایتی یک بع''دی پای'دار را م''ورد بررس''ی قرار دادیم در این فصل هدایت حرارتی پایدار دو یا سه بعدی را بررس''ی می کنیم حل این معادالت ج''ز در ح''االت س''اده مش''کل و ی''ا غ''یر ممکن

است روش های تحلیلی حل معادالت انتقال حرارت هدایتی : 4 – 2

در این روش معادالت حاکم بر انتقال حرارت با کمک روش های تحلیلیریاضی ، مانند تبدیل الپالس ، جداسازی متغییرها .... حل می شود

52

معادله عمومی هدایت حرارتی پایداربدون چشمه حرارتی در یک سیستم(4-1( خواهد بود شکل )2-9دوبعدی ساده ، مطابق معادله )

( مدل نمایش جریان حرارت دو بعدی4-1شکل )∂❑

2 T∂ x❑

2 + ∂❑2 T

∂ y❑2 =0

برای حل این معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی ، از روش جدا سازی عمومی معادله به x,y. متغیرها استفاده می کنیم لذا جواب خواهد بود

صورت حاصلضرب دو تابع جداگانه ازT=X ( x)∗Y ( y)(4−1)

yخواهیم داشت و x( بر حسب4-1 با مشتق گیری از معادله )∂❑

2 T∂ x❑

2 =Y ∂❑2 X

∂ x❑2 (4−2)

∂❑2 T

∂ y❑2 =X ∂❑

2 Y∂ y❑

2 (4−3)

( خواهیم داشت4-1( در معادله )4-3( و 4-2با جایگذاری معادالت )

X ∂❑2 Y

∂ y❑2 +Y ∂❑

2 X∂ x❑

2 =0(4−4)

و با ساده سازی و دسته بندی عبارت هم خانواده خواهیم داشت53

1Y

∂❑2 Y

∂ y❑2 =−1

X∂❑

2 X∂ x❑

2 =λ2(4−5)

λ2 مقداری است ثابت که بنام ثابت جداسازی نامیده می شود که( تبدیل ، به دو معادله4-5حال معادله )λ2¿oجواب عمومی آنها به

دیفرانسیل معمولی می شود و با شرط: صورت زیر خواهد شد

∂❑2 X

∂ x❑2 + λ2 X=0 → X=C1 cos λx+C2 sin λx❑(4−6)

∂❑2 Y

∂ y❑2 − λ2Y =0→Y =C3 cosh λy+C4 sinh λy❑(4−7)

( جواب عمومی4-1( در معادله )4-7(و )4-6با جایگذاری معادالت ) معادله هدایت دو بعدی پایدار بدون چشمه حرارتی به صورت زیر خواهد

بودT=¿¿

C1ثابتهای معادله بوده که بر حسب C2و C3و Cو الزم به ت'وضیح اس'ت–41( نوع مسئله و شرایط مرزی محاسبه می گردند4-8که در مع'ادله )

²مقدار – 2 λ نامعلوم است که برای هر مساله خاص باید مقدار آن محاسبه گردد

²عالمت – 3 λ نیز نامشخص است حل تحلیلی معادله حاکم بر انتقال حرارت هدایتی پایدار دو بعدی ، بدون چشمه حرارتی ، در : 4 -3

حالت خاص

T= T1+f(x)و ضلع دیگر صفحه دارای دما T1 ( که4-2با توجه به شکل ) سه ضلع صفحه در دمای ثابت

.باشد ، معادله توزیع دما به روش تحلیلی به صورت زیر خواهد بود

54

( مدل هدایت حرارتی دو بعدی پایدار بدون چشمه4-2شکل ) حرارتی

این صفحه بیانگر سطح مقطع یک ستون است لذا درz)شیب دما وجود جهت عمود به صفحه) محور

ندارد . ضمناً ضخامت صفحه را واحد در نظر می گیریمجواب عمومی چنین شکل هندسی به صورت زیر خواهد بود

T=¿¿

را در نظر بگیریدθ=T−T1(کافی است تغییر متغیر 4-9 برای حل معادله ) ( تبدیل می4-10( به معادله )4-9و با اعمال این تغییر متغیر معادله )

( خواهیم داشت :4-2شود . حال با اعمال شرایط مرزی شکل )θ=¿¿

B . c .1x=0 T=T1 θ=0

B .c .2 y=0T=T 1θ=0

B .c .3 x=w T=T 1θ=0

B . c .4 y=H T=T 1+ f (x )θ= f (x)

55

T=T 1+ f (x )y

T1 T1

T1

( داریم4-10با جاگذاری شرط اول در معادله ) :B . c .1x=0 θ=0

0=(C ¿¿1+0)¿¿¿

C1=0

( خواهیم داشت4-10با جایگذاری شرط مرزی دوم در معادله )B .c .2 y=0θ=0

0=¿¿

C3=0

( به شکل زیر خواهد بود4-10لذا معادله )θ=C2 sin λx C4 sinh λx❑

C2∗C 4=C یعنی یم بگیر نظر در C C2∗Cرا 4 اگر. معادله مذکور به صورت زیر خواهد بود

θ=C sin λx sinh λy (4−11)

( خواهیم داشت4-11 در معادله )3با جایگذاری شرط مرزی B .c .3 x=w θ=0

0=C sin λw sinh λy (4−12)

sin و مقدار C( مقدار 4-12در معادله ) λyً برابر صفر نیست لذا ناچاراsinباید مقدار λw=0. باشد

λw=nπ → λ=nπw

( داریم و جواب کل ، مجموع تمام4-11و یک جواب برای معادله ) λ یک مقدار پس به ازای هرnجوابهاست بنابراین

θ=∑n=0

∞

Cnsin( nπw

x)sinh( nπw

y) (4−13 )

( خواهیم داشت4-11حال با جایگذاری شرط مرزی چهارم در معادله ) :

56

B . c .4 : y=H θ=f (x)

f (x)=∑n=0

∞

Cn sin( nπw

x)sinh( nπw

H ) (4−14 )

0<x<w فاصلهرا به روش آنالیز فوریه به صورت یک تابع سینوسی درf (x) از آنجائیکه می توان هر تابع

نوشت لذا خواهیم داشت

f ( x )=∞

∑❑n=0

sin( nπ

wx)∗2

w ∫0

w

f ( x ) sin( nπw

x)dx (4−15 )

( خواهیم داشت4-15( و )4-14حال با مقایسه دو معادله )

Cnsin h( nπw

H )= 2w∫

0

w

f (x )sin ( nπw

x)dx

برابر خواهد بود .Cnمقدار ثابت

Cn=2

w sinh( nπw

H)∗∫

0

w

f ( x )sin( nπw

x)dx ( 4−16 )

( در4-16 حال با جایگذاری معادله )θ=T−T1معادله توزیع دما برابر ( و جایگذاری4-13معادله )

: خواهد شد باT=T 1+

2w ∑

n=0

∞ sinh( nπw

y)sinh( nπ

wH )

∗sin ( nπw

x)∗¿∫0

w

f ( x ) sin( nπw

x)dx (4−17 )¿

مقدار انتگرال محاسبه شده و معادله توزیع دما بدست خواهد آمد و با fمشتق گیری از (x)با داشتن تابع

T∂بدست آمده و در معادله فوریه جایگذاری ∂ y

و ∂T∂ xگرادیان دما یعنی yو

x توزیع دما بر حسبمعادله

57

. کنیم شدت انتقال حرارت بدست می آید T برابر T2 باشد یعنی مقدار f(x)= T2 -T1 باشد . در اینصورت معادله

=T1+f(x) در حالت خاص اگر در صفحه برابراست باتوزیع دما

T=T 1+2w ∑

n=1

∞ sinh( nπw

y)sinh( nπ

wH )

∗sin ( nπw

x)∗¿∫0

w

(T ¿¿2−T 1)sin( nπw

x)dx ( 4−18 ) ¿¿

( خواهیم داست4-18با محاسبه انتگرال ) :

∫0

w

(T¿¿2−T 1¿)sin( nπw

x )dx¿(T ¿¿2−T1)[−wnπ

cos ( nπw

x)]0

w

¿¿¿

¿(T¿¿2−T1)wπ [ 1−(−1 )n

n ]=2wnπ

(T ¿¿2−T 1)¿¿

1−(−1 )n

n {0 زوج n2n

فرد n

( معادله توزیع4-18با جایگذاری مقدار انتگرال محاسبه شده در معادله ) : دما به صورت زیر خواهد بود

T ¿T 1+4π

(T¿¿2−T 1)∑n=1

∞ sinh ( nπw

x)sinh( nπw

y)n sinh( nπ

wH )

(4−19)¿

n=1,3,5

T∂و جایگذاری آن در معادله فوریه : شدت انتقال ∂ y

و ∂T∂ xو با محاسبه

( یعنی4-19گرادیان دما از معادله ). حرارت به شرح ذیل خواهد بود

q=−8 Kπ (T 2−T 1 )∑

n=1

∞ 1

nsinh( nπw )H

است nفرد (4−20 )

58

روشهای حل عددی انتقال حرارت هدایتی پایداردو بعدی ، بدون منبع : 4 -4حرارتی

اساس این روش بر تفاضل محدود است لذا معادالت دیفرانسیل به صورت فرمولهای عددی در می آیند و با بکار گیری این فرمولها برای

همه نقاط روی شکل یک دستگاه ، چند معادله ، چند م'جهولی به دست میاید که همگی معادالت درجه اول هستند امروز به کمک نرم افزارهای

. کامیپیوتری می توان دس'تگاه چند معادله چند مجهولی را حل نمود: اگر نقطه1حالت (m,n) در داخل صفحه باشد

و XΔ صف'حه مورد نظر را به صورت یک شبکه با خانه هایی به عرض تقسیم بندی می کنیم هرقدر خانه های شبکه کوچکتر باشد YΔ طول

در نظر می گیریم و همه L=yΔ=xΔ دقت محاسبات بیشتر خواهد بود لذا و ارتفاع نقطه m با x نقاط روی صفحه را با توجه به فاصله روی محور

(4-3ش'ماره گذاری می کنیم .شکل ) n با y روی مح'ور

( مدل نمایش حل عددی هدایت دو4-3شکل ) (m,n) داخل صفحه بعدی نقطه

با توجه به تعریف گرادیان∂T∂ x |1=T m+1 n−T mn

L(4−21 )

59

∂T∂ x |2=Tmn−T m−1 n

L(4−22)

∂❑2 T

∂ x❑2 |1 =2و

∂ T∂ x |1−∂ T

∂ x|2

L=

T m+1 n−T mn−2T mn

L2 (4−23)

داریم yبه همین ترتیب در جهت ∂T∂ y |3=T mn+1−T mn

l(4−24 )

∂T∂ y |4=

Tmn−Tmn+1

l(4−25)

∂❑2 T

∂ y❑2 |3 =4و

∂T∂ y|3−∂ T

∂ y|4

L=

Tmn+1−T mn+1−2T mn

L2 (4−26 )

( در معادله دو بعدی هدایت پایدار4-26( و )4-23با جایگذاری معادالت )( 2-9بدون منبع حرارتی معادله )

: خواهیم داشت∂❑

2 T∂ x❑

2 + ∂❑2 T

∂ y❑2 =0(4−27)

Tmn+1−T mn−1−2T mn

L2 +T mn+1−T mn−1−2 Tmn

L2 =0

T m+1 n+T m−1 n+T mn+1+T mn−1−4 T mn=0 ( 4−28 )

T mn=14(T ¿¿m+1n+T mn+T mn+1+Tm−1n)(4−29)¿

روی سطح عایق موازی محورy(4-4شکل )ها قرارداشته باشد . (m,n) : نقطه2حالت

60

y

( مدل نمایش حل عددی هدایت دو بعدی نقطه )4-4شکل )m,n روی یک سطح عایق عمودی)

با توجه به اینکه سطوح جسم عایق شده باشد از آنجا که حرارتی از آنT∂ سطح نمی گذرد و شیب دما در آنجا صفر است لذا

∂ xبه طور مجازی در سمت راست سطح عایق صفحه دیگری می توان در نظر گرفت به

طوری که این سطح محور تقارن روی صفحه باشد پس در سمت راست وجود دارد که دمای آن با نقطهm+1وn نقطه ای مجازی مانند m,nنقطه

nوm-1 در داخل صفحه برابر است یعنی T m+1 و n¿T m−1 و n ( 4−30 )

( خواهیم داشت 4-29( در معادله )4-30با جایگذاری معادله )T mn=

14(T ¿¿m n+1+Tو m n−1+2و T m−1 و n)(4−31)¿

(4-5شکل )ها قرارداشته باشد. xروی سطح عایق موازی محور (m,n) حالت : نقطه3

با توجه به مطالب بیان شده فوقT m n+1¿Tو m n−1و ( 4−32 )

( خواهیم داشت4-29( در معادله )4-32با جایگذاری معادله )T m و n=

14(T ¿¿m−1 و n+T m+1 و n+2Tm و n+1)(4−33)¿

y61

x

mn-1

mn

mn+1

m-1n

(m,n( مدل نمایش حل عددی هدایت دو بعدی نقطه)4-5 شکل )روی سطح عایق محور افقی

(4-6شکل )روی تقاطع دو سطح عایق باشد. (m,n) نقطه4حالت :با توجه به مطالب بیان شده فوق

T m و n+1¿T m و n−1 ( 4−34 )

T m−1 و n ¿T m+1 و n ( 4−35 )

( خواهیم داشت4-29( در معادله )4-35( و )4-34با جایگذاری معادله )T m و n=

14(2 T¿¿m−1 n+2Tو m و n+1❑)(4−36)¿

( مدل نمایش حل عددی هدایت دو بعدی نقطه )4-6شکل )m,nروی تقاطع دو سطح عایق)

62

x

m-1n mn mn-1

y

x

m-1n mn

mn+1

m+1n

(4-7شکل )روی سطحی که در مجاورت یک سیال قرار داده . (m,n) حالت : نقطه5

( رویm,n( مدل نمایش عدد هدایت دو بعدی نقطه )4-7شکل )سطحی با مجاورت سیال

(m,nبرای این کار کافی است معادله توازن انرژی را برای نقطه )بنویسیم

q¿=qout (4−37 )

q¿=qx+qy+q y (4−38)

qx=K L2

T m−1n−T mn

Lچپ سمت از ورودی حرارت ( 4−39 )

q y=K L2

T m+1 n−Tmn

Lپایین سمت از ورودی حرارت (4−40 )

q y=KLT m−1n−Tmn

Lبالا سمت ورودیاز حرارت ( 4−41 )

qout=hL(T mn−T سیال(∞ به سطح خروجیاز حرارت ( 4−42 )

( و4-37( در معادله )4-40( و )4-39( و )4-38با جایگذاری معادالت )ساده سازی خواهیم داشت :

T mn=1

(4+ 2hLk ) [

T mn+1+T mn−1+2T mn+1+2hL

kT ∞]

:هدایت حرارتی سه بعدی5-4 معادله دیفرانسیل هدایت حرارتی پایدار سه بعدی یا معادله الپالس

بصورت زیر است63

y

x

mn

mn+1

m-1n

∂❑2 T

∂ x❑2 + ∂❑

2 T∂ y❑

2 + ∂❑2 T

∂ z❑2 =0

با استفاده از روش جداسازی متغییرها جواب عمومی این معادله z,y ,xدیفرانسیل با مشتقات جزئی بصورت حاصلضرب سه تابع جداگانه از

فرض می شود یعنی:T=X ( x ) .Y ( y ) . Z (z)

همانند روشی که برای حالت هدایت دو بعدی عمل کردیم و با توجه به شرایط مرزی خاص ) شکل یک میله نیمه محدود و با سطح مقطع چهار

T1 است و دمای سطح آزاد میله در H,Wگوشه که اضالع آن

ثابت نگه داشته شده اند در نظر گرفت ( Toو دمای سطح جانبی آن در :خالصه 6-4

˚ در داخل صفحهqدر روش حل عددی در صورتیکه تولید انرژی -1°qداشته باشیم جمله

k( 2-9 هم به طرف اول معادله دیفرانسیل) اضافه می شود

در صورتیکه جسم با یک سیال تبادل حرارت جابجایی داشته باشد-2از موازنه انرژی استفاده میکنیم

در حالتی که روی سطح جسم جابجایی حرارتی داشته باشیم دمای-3T mn:برابر خواهد بود

T mn=a+BiT ∞

b+B i

aمجموع دماهای نقاط همسایه که به صورت هدایت انتقال می یابد : b تعداد نقاط ذکر شده در : a

Bi عدد بدون بعد باید : Bi=hLk

64

فصل پنجم

65

انتقال حرارت هدایتیناپایدار

: انتقال حرارت هدایتی ناپایدار5- 1 در این فصل مسائل هدایت حرارتی ناپایدار را مورد بررسی قرار می

دهیم ، چگونگی تغییرات دما در درون سیستم بر حسب زمان و نیز شدت انتقال حرارت در سطوح جسم بر حسب زمان را مورد مطالعه

قرار میدهیم. :معادله انتقال حرارت هدایتی ناپایدار یک بعدی ، بدون منبع5 –2

حرارتی ، در دیواره معادله عمومی هدایت ناپایدار در یک سیستم یک بعدی بدون منبع

( خواهد بود2-11حرارتی معادله )∂❑

2 T∂ x❑

2 = 1∝

∂ T∂ t

(5−1)

برای حل این معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی ، از روش جداسازی x, tمتغییر ها ،جواب عمومی را به صورت حاصلضرب دو تابع جداگانه از

فرض می کنیم پس

66

T=X ( x ) Ø ( t )(5−2)

( قرار می دهیم5- 1مشتق می گیریم و در معادله ) t و یک بار نسبت ( دوبار نسبت به5-2از معادله ) x به

1X

∂❑2 X

∂x❑2 = 1

∝∅∂Ø∂t

=−λ2(5−3)

λ2. مقداری است ثابت که ثابت جداسازی نامیده می شود

( به دو معادله دیفرانسیل معمولی تبدیل می شود5-3معادله ) λ2>0فرض با حال

∂❑2 X

∂ x❑2 + λ2=0 X=C1 cosλx+C2 sinλx (5−4 )

∂ Ø∂ t

+λ2∝Ø=0Ø =C3 e− λ2∝t (5−5 )

( خواهیم داشت5-2( در معادله )5-5( و )5-4با جایگذاری معادالت ) :T=C3e− λ2∝ t ¿

ثابتهای معادله و مقدار عددی هستند بنابراین حاصلضرب دو عدد یکبا توجه به اینکه C3و C2و C1 عدد

بنابراین معادله فوق به شرحC3*C2= C2 , C3*C1= C1خواهد بود لذا زیر خواهد بود :

T=e− λ2∝ t ¿

²برحسب شرایط مرزی مسئله مشخص می شوند و λ نیز مقدار ثابت (5-6در معادله ) C1و C2 که با توجه

²به شرایط و نوع مسئله تعیین می گردند حتماً مقدار λ باید مثبت باشد ( به صورت زیر خواهد شد5-5زیرا اگر منفی باشد معادله ) .

Ø (t )=Ce λ2∝t(5−7)

67

Ø و در نتیجه T به سمت بی نهایت میل می کند که از نظر فیزیکی اینtبرود مقدار → در زمانیکه∞

مطلب قابل قبول نیست زیرا مفهوم آن این است که جسم هرگز به( به صورت5-5 برابر صفر باشد معادله )²λحالت تعادل نمیرسد و اگر

θ=Cدر می آید که این معادله تابع زمان نیست در حالیکه موضوع اصلی بحث ناپایداری دما برحسب زمان است لذا این هم قابل قبول نیست پس

بزرگتر از صفر باشد . ²λحتماً باید

: حل تحلیلی معادله انتقال حرارت هدایتی ناپایدار دو بعدی ، بدون5- 3چشمه حرارتی

با توزیع دما پایدارα با ضریب نفوذ حرارتی Lدیواره ای به ضخامت T=T1+f)x(ناگهان دو طرف دیواره به دمای ،T1 تغییر و ثابت بماند . معادله

توزیع دما و شدت انتقال حرارت از سطوح چنین دیواره ای به صورت زیر(5-1خواهد بود . شکل )

( مدل هدایت ناپایدار در دیواره5-1شکل )

68

T=T1+f)x(

x

t=0

T=T1 t → ∞

( شرایط مرزی و اولیه به صورت زیر خواهد5-1حل : با توجه شکل )بود :

B.C.1 t > 0 x=0 T = T1

B.C.2 t > 0 x=L T = T1

l.C t = 0 T = T1+f)x(

جواب عمومی معادله توزیع دما به صورت زیرθ=T - T1 با تغییر متغیر خواهد بود :

θ=e−λ2∝t ¿

T=T 1→θ=01 مرزی شرط جایگذاری با

0=e− λ2∝t ¿¿

θ=C e− λ2∝t sin λx (5−9 )

T=T 1→θ=02 مرزی شرط جایگذاری با

0=e− λ2∝t ¿¿

پس sin λL=0 باید ً ناچارا نیستند −eصفر λ2∝t Cو مقدار اینکه به توجه با

sin λL=0→ λL=nπ → λ=nπL

( خواهیم داست :5-9 در معادله )λبا جایگذاری مقدار θ=∑

n=1

∞

Cne−( nπ

L )2

∝ tsin nπ

Lx (5−10 )

با جایگذاری شرط اولیهt=0→ f ( x )=θ=∑

n=0

∞

C ne−( nπ

L )2

∝(0)sin nπ

Lx

پس e°=1 اینکه به توجه با لذا

f ( x )=∑n=1

∞

Cn sin nπL

x (5−11)

69

از طرفی )f)xبرحسب بسط سینوسی نوشت خواهیم داشت را می توان با توجه به قانون فوریه که هر تابعی از

f ( x )=∑n=1

∞

sin nπL

x∗2

L ∫0

L

f ( x )sin ( nπL

x)dx (5−12 )

برابر خواهد بودCn( مقدار 5-12( و )5-11با مقایسه معادله )

Cn=2L∫0

L

f ( x )sin ( nπL

x)dx (5−13 )

( و برگردان5-10( در معادله )5-13حال با جایگذاری معادله )θجای به (T−T بدست می آید .t وزمان x معادله توزیع دما برحسب فاصله (1

T=T 1+2L∑

n=1

∞

e−( nπ

L )2

∝ tsin nπ

Lx∫

0

L

f (x ) sin( nπL

x )dx (5−14 )

تعیین می گردد در حالت خاص اگر توزیعT مقدار )f)xحال با داشتن تابع T1 و با گذشت زمان طرفین دیواره به دمای Tiدمای پایدار آغازین برابر

کاهش یافته و ثابت بماند معادله توزیع دما در دیواره بر حسب مکان و زمان و شدت انتقال حرارت از سطوح دیواره بر حسب زمان به صورت

زیر خواهد بود .t=0T=T iθ=θi →T i−T 1

و حل انتگرالf)x( = Ti - T1( و جایگذاری مقدار 5-14با توجه به معادله )مذکور خواهیم داشت :

∫0

L

f ( x )sin( nπL

x)dx=∫0

L

(T ¿¿ i−T1)sin ( nπL

x)dx ¿

¿(T¿¿ i−T1)−Lnπ [cos nπ

Lx ]¿(T ¿¿i−T 1)

−Lnπ

[1−(−1 )n]¿¿

( خواهیم داشت5-14با جایگذاری مقدار انتگرال در معادله ) :T=T 1+

2(T i−T 1)π ∑

n=1

∞

e−( nπ

L )2

∝t [1−(−1 )n

n ]sin( nπL

x )

1−(−1 )n

n {0 زوج n2n

فرد n

های فرد معادله توزیع دما به صورت زیر خواهد شد :nلذا برای 70

T=T 1+4π (T i−T 1 )∑

n=1

∞ 1n

e−( nπ

L )2

∝tsin nπ

L(5−15 )

q=−kA ∂T∂ x

q=−KA [ 4π (T i−T 1 )∑ 1

ne−(nπ

L )2

∝t nπL

cos nπL

x ] (5−16 )

q=−4 kAT i−T 1

L ∑n=1

∞

e−( nπ

L )2

∝ tcos nπ

Lx (5−17 )

برابرt در هر لحظه از x=L و x=0لذا مجموع حرارت خروجی از سطح است با

q=8 kAT i−T1

L ∑ e−( nπ

L )2

∝ t(5−18 )

لذا برای محاسبه مقدار حرارت خروجی از سطوح دیواره از لحظه تا )t(( 5-18 کافی است از رابطه )tشروع تبادل حرارتی تا لحظه

t=0. انتگرال بگیریمQ=8 kA

T i−T 1

L ∫0

t

∑ e−( nπ

L )2

∝tdt

¿8 kAT i−T 1

L [−∑ 1

( nπL )

2

∝e

−( nπL )

2

∝ t]o

t

¿8(T ¿¿ i−T1)kAL∝ [∑ 1

( nπL )

2(1−e

−( nπL )

2

∝ t)]¿α= K

ρcpآنجائیکه از

kAL∝ (T ¿¿ i−T1)=AL ρcp (T¿¿ i−T1)¿¿

¿mc p(T¿¿ i−T1)¿¿Qi

71

Q=8Qi ∑1

( nπL )

2 (1−e¿¿−( nπL )

2

∝ t)(5−19)¿

Qi مقدارانرژی حرارتی درون جسم در لحظه اول یعنی قبل از شروع تبادل حرارتی است .

: حل معادالت انتقال حرارت هدایتی ناپایدار ، بدون چشمه حرارتی5- 4 مسائل انتقال حرارت ناپایدار برای بعضی از اشکال هندسی چون صفحه

، استوانه و کره حل شده است و به صورت منحنی های کاربردی در دسترس است که معروفترین این منحنی ها نمودارهای هیسلر می باشند

. هیسلر برای اشکال هندسی یک بعدی دیواره ، استوانه و کره جهت

محاسبه دمای مرکز ، دمای بخشی از مرکز و مقدار کل حرارت تلفشده را به صورت نمودار بیان کرده است .

: پارامترهای بدون بعد کاربردی در انتقال حرارت1-4-5هدایتی ناپایدار

=Bi عدد بدون بعد بایو– 1hLk

=Fo عدد بدون بعد فوریه– 2αtL2

θ عدد بدون بعد دما – 3θi

=T−T ∞

T i−T ∞

Q عدد بدون بعد حرارت تلف شده– 4Qi

عدد بدون بعدی ایجادی توسط اعداد بدون بعد موجود در نمودار – 5

θهیسلر θi

=

θo

θi∗θ

θo

72

X عدد بدون بعد طول– 6L

اگر بخواهیم به کمک نمودار هیسلر ) نمودار پاسخ دما( دمای:1نکته Foمرکز اشکال را پی'دا کنی'م . کافی است مقدار و Bi

را از نمودار1− مربوطه تعیین و به هم متصل نمائی'م محل برخورد این دو پارامت'ر با

θمحور عمودی نمودار مذکور مقدار θi

=T o−T∞

T i−T ∞ را نشان می دهد . که در

-3 مقدار دمای مرکز اشکال مربوط می باشد . اشکال )Toرابطه اخیر کتاب 2( ضمیمه 2-5( و )2-4( و )2

اگر بخواهیم به کمک نمودار هیسلر دمای نقاط دیگر اش''کال را:2نکته بر حسب فاصله از مرکز تعیین کنیم کافی است ب''ا توج''ه ب''ه ش''کل اگ''ر

xدیوار بود نسبت L و اگر استوانه یا کره بود نسبت r

Ro و همچ''نین مق''دار

Biع''ددی را پی''دا ک''رده و مح''ل تالقی این دو پ''ارامتر ب''ا مح''ور عم''ودی1−

θنمودار مربوطه ، مقدارθo

=T−T ∞

To−T ∞ T را نشان می دهد که در رابط''ه اخ''یر

مقدار دمای نق''اط خواس''ته ش''ده اش''کال )غ''یر از مرک''ز ( مربوط''ه می کتاب2( ضمیمه 2-8( و )2-7( و )2-6باشد . اشکال )

اگر بخواهیم به کم''ک نم''ودار هیس''لر مق''دار ک''ل ح''رارت تل''ف:3نکته وBiشده اشکال را محاسبه کنیم کافی است با توجه ب''ه ش''کل نس''بت

Fo Bi را پیدا نموده و محل تالقی این دو پارامتر ب''ا مح''ور عم'ودی نم'ودار1−

Qمرب'''وط مق'''دار Qi

را نش'''ان می ده'''د . ک'''ه در رابط'''ه اخ'''یر مق'''دارQi=mCp)Ti-T∞)که مقدار انرژی حرارتی درون اشکال در حالت آغازی و

Q( 10( و )2-9 مقدار کل حرارت تلف شده اشکال می باشد . اش''کال- کتاب2( ضمیمه 2-11( و )2

: حل معادالت انتقال حرارت هدایتی ناپایدار چند بعدی ، با استفاده از5-5نمودارهای هیسلر

73

جهت استفاده از نمودارهای هیسلر برای سیستمهای چند بعدی کافی است از اصل انطباق که از ضرب جوابهای سیستم های یک بعدی در

یکدیگر می باشد استفاده کرد.2cبعنوان نمونه یک مکعب مستطیل با ضخامت های 2و b ،2 aدر نظر

بگیرید از آنجا که هر نقطه مکعب در حقیقت روی هر سه دیواره قراردارد . پس دمای بدون بعد آن نقطه را می توان به صورت زیر نوشت :

T o−T∞

T i−T ∞مستطیل( مکعب

=T o−T ∞

T i−T ∞)2 a

∗T o−T ∞

T i−T ∞)2b

∗T o−T ∞

T i−T ∞)2 c

ب'رای آشن'ایی بیش'تر با روش تفکی'ک سیس'تمهای چ'ند بعدی ناپ'ایدار ، کتاب مراجعه2( ضمیمه 2-12به سیست'مهای ی'ک بع'دی به نمودار)

شود . : سیستم ظرفیت حرارتی فشرده 5 – 6

تاکنون مسائل هدایت حرارتی ناپایداری را م''ورد بررس''ی ق''راردادیم ک''ه در تمامی اشکال هندسی ، دمای هر نقطه از سیس''تم برحس''ب زم''ان و مکان متغیر بود . لیکن در م'ورد اجس'ام کوچ'ک می ت'وان ب'ا ی'ک ف''رض منطقی تغییرات دما را برای کلیه نقاط درون جسم ناچیز ف''رض نم''ود و در ه''ر لحظ''ه دم''ا در سراس''ر جس''م را یکس''ان در نظ''ر گ''رفت در این ص''ورت ، مفه''وم آنس''ت ک''ه مق''اومت جابج''ایی جس''م و محی''ط بس''یار بزرگتر از مقاومت هدایتی داخلی جسم است و نیز گرادی''ان دم''ا در الی''ه مرزی حرارتی خیلی بزرگ''تر از گرادی''ان دم''ا در داخ''ل جس''م اس''ت ل''ذا شرط استفاده از سیستم ظرفیت حرارتی فشرده و قاب''ل اعتم''اد ب''ودن

پاسخ حاصله برقراری معیار زیر است :Bi عدد بدون بعد بایو که عبارت است از نسبت مقاومت هدایتی حرارتی

0.1در داخل جسم به مقاومت جابجایی حرارتی در جسم کوچکتر از باشد .

Bi=hLc

k<0.1(5−20)

Lc=VA

74

hضریب انتقال حرارت جابجایی : Lcطول مشخصه جسم : Vحجم جسم : Aسطح جسم :

برابر صفر شود ، سیستم ظرفیت حرارتیBi بنابراین هرگاه مقدار عدد فشره جواب کامالً دقیق به ما میدهد

: حل معادله توزیع دما در سیستم ظرفیت حرارتی فشرده 5 -7 A و سطح Cp و گرمای ویژهρ و دانسیه mهرگاه جسم کوچکی به جرم

Tiکه در آغاز در دمای ثابت

و ضریب انتقال حرارت∞T است ناگهان در مجاورت سیالی با دمای قرار گیرد و با فرض اینکه در هر لحظه از زمان دمای جسمhجابجایی

در سراسر جسم یکسان باشد . معادله توزیع دما در داخل جسم برحسب زمان و شدت انتقال حرارت مبادله شده بین جسم و سیال در

هر لحظه و مقدار حرارت مبادله شده از زمان شروع ناپایداری تا هر( 5-2لحظه به شرح ذیل خواهد بود . شکل )

75

( مدل هدایت ناپایدار در سیستم با ظرفیت حرارتی5-2شکل )فشرده

اگر در سیستمی مفهوم ظرفیت گرمای صادق باشد . در آن صورت به مرور زمان گرما از طریق جابجایی به محیط منتقل می شود . ودمای جسم جامد با زمان کاهش می یابد . کاهش تدریجی دمای جسم ، به

مفهوم کاهش انرژی داخلی جسم جامد می باشد . لذا برابر میزان انتقال حرارت به داخلdtمیزان افزایش انرژی در زمان

dtجسم در زمان

hA ( T−T∞ )=−mc pdTdt )5-21(

عالمت منفی نشانه کاهش انرژی داخلی جسم است−hAmcp

∫o

t

dt=¿∫o

T dTT−T ∞

(5−22)¿

−hAmc p

t=lnT−T ∞

T o−T∞

T−T ∞

To−T ∞=e

−hAm cp

t(5−23)

لذا معادله توزیع دما بر حسب زمان به صورت زیر خواهد بود :(5-3شکل )

T=T ∞+(T i−T ∞ ) e−hAm cp

t(5−24)

( گویای این موضوع است5-24معادله ) hبیشتر باشد و یا گرمای ویژه که در شرایط یکسان هرچه مقدار

جسم کوچکتر باشد ، جسم زودتر به دمای تعادل می رسد بنابراین Cpشدت انتقال حرارت از جسم

در هر زمان برابر شدت تغییرات انرژی داخلی است لذا76

q=−mc pdTdt

(5−25)

dT( قراردهید5-25را محاسبه و در معادله ) .dt( کافی است از معادله

24-5)

q=−mc p[ (T i−T∞ )(−hAmc p )e

−hAmcp

t ]q=hA (T i−T∞ ) e

−hAmcp

t(5−26 )

م'قدار ک'ل ح'رارت منت'قلt( در بازه 5-26کافی است از معادله ) ) t تا t= 0 (. ش'ده از جسم از شروع ناپایدار تا زمان انتگرال بگیریم

Q=∫o

t

qt dt=∫o

t

hA (T i−T ∞ ) e−hAmcp t

dt

hA ( T i−T ∞ ) (mcphA )[1−e

−hAmcp t

]0t

Q=mcp (T i−T ∞ ) (1−e−hAmcp t)(5−27)

معادله انتقال حرارت کل از شروع ناپایداری تا هر لحظه از زمان(5-4شکل )

Q=Qi(1−e

−hAmcp t)(5−28)

77

( مدل تغییرات دما بر حسب زمان برای یک جسم5-3شکل )فشرده

شکل )( مدل حرارت تلف شده بر حسب زمان برای دیواره نازک4-5

سیستم ظرفیت حرارتی فشرده بدون اثر جابجایی :8-5

2و ضریب هدایت حرارتی ثابت K در دمای اولیه Ti را در L بدین منظور یک دیواره نازک به ضخامت

نظر بگیرید کهTo تغییر یافته و ثابت باقی بماند ، معادله تغییرات دمای ناگهان دمای سطوح آن به دمای زمان و همچنین میزان ان''تقال حرارت

( جسم بر حسب5-5ج'سم به ص'ورت زیر خ'واهد بود . شکل )

78

T=T1

t=0

t>0

T=T0

0 L X

( مدل هدایت حرارتی ناپایدار در یک دیواره نازک5-5شکل )

با توجه به تقارن دیواره ، محور مختصات را در وسط دیواره انتخاب می کنیم و از آنجائیکه در هر لحظه ، حرارت هدایت شده از هر سطح

: دیواره برابر تغییر انرژی داخلی همان سطح است لذا داریم

−mc p∂ T∂ t

=−kA ∂T∂ x

(5−29)

−AL ρc p∂ T∂t

=−KAT−T o

L(5−30)

داشت : خواهیم (5−30 معادله( در آن جایگذاری =∝و KρCp

θ=T−T و با جانشینی ∞ متغیر تغییر با

∫ ∂θθ

=∫−∝L2 dt

θ=c e−∝L2 t اولیه شرط جایگذاری با (5−5 ) شکل به توجه با و

t=0T=T iθi=T i−T oC=T i−T o

79

T−T o

T i−T o=e

−∝L2 t

: بنابراین معادله توزیع دما بر حسب زمان به صورت زیر خواهد بود

T=T o+(T i−T o ) e−∝L2 t

(5−31)

با توجه به اینکه شدت انتقال حرارت جسم برابر شدت تغییرات انرژی: داخل جسم است خواهیم داشت

q=−mc pdTdt

=−mCp [( T i−T o ) (−∝L2 )e−∝L2 t ]

: بنابراین معادله شدت انتقال حرارت جسم به صورت زیر خواهد شد

q=KAT i−T o

Le

−∝L2 t

(5−32 )

برای محاسبه مقدار کل حرارتی که از (t تا t = 0) که جسم خارج یا واردشروع ناپایداری یعنی از زمان

انتگرال بگیریم .t( نسبت به 5-32می شود کافی است از معادله )

Q=∫o

t

qdt

Q= KAL ( T i−To ) (−L2

∝ ) [e−∝L2 t ] t

o

Q=Qi(1−e−∝L2 t

)

Qi=mc p ( T i−T o ) (5−33)

80

: اهمیت عدد بدون بعد بایو9-5عدد بای'و نق'ش اس'اسی در مس'ائل هدای'ت غ'ی'ر دائ''م دارد و ش'ک'ل )

قرار داشتهTi( بطوریکه ای''ن دی'واره در دمای یکنواخت 5-7( و )6-5 > ∞T به شرطی که ∞Tباشد و سپس با فرو بردن در سیالی به دمای

Ti تحت سرمایش جابجائی قرار می گیرد این مسئله در جهتxیک این تغییرات به)T)x,tبعدی بوده و دما با زمان و مکان تغییر می کند

شدت به عدد بایو بستگی دارد . باشد گرادیان دما در جسم کوچک است لذاBi << 1 اگر ع'دد بایو – 1

T)t( ≃ T)x,t(یعنی تمام اختالف دما بین جسم و سیال وجود دارد و دم'ای میل می کند همواره یک'نواخت است ∞Tجس'م در ح'الیکه به سمت

باشد . گرادی'ان دم'ا در جس'م قابل مالح'ظه خواهدBi ≈ 1 اگر ع'دد – 2)T = T)x,t بود یعنی

باشد اختالف دما در جسم هنوز خیلی زیادتر ازBi >> 1 اگر عدد بایو – 3اختالف دمای سطح وسیال است .

81

( مدل توزیع دمای ناپایدار برای اعداد مختلف بایو در5-6شکل )

یک دیواره مسطح

با جابجائی سطحی

( مدل اثر عدد بایو روی توزیع دمای دائم در یک دیواره5-7شکل )مسطح با جابجائی سطحی

82

: خالصه 5 –10 مسائل هدای'ت ناپایدار در اغلب کاربردهای مهندسی وج''ود دارن''د هنگ''ام

مواجه شدن با یک م'سئله ناپای'دار برای رعایت سادگی کار ، اولین ق''دم محاس''به ع''دد ب''ایو اس''ت اگ''ر این

باش'د می توانیم از1/0عدد کوچکتر از ظرفیت ح''رارتی فش''رده ب''ا ح''داقل محاس''بات نتیج''ه دقیقی را بدس''ت

بود 1/0آوریم ول'ی اگر عدد بایو بزرگ'تر بای''د اث''رات مک''انی را ن''یز م''د نظ''ر ق''راردهیم ک''ه در این ص''ورت از

نمودارهای هسیلر ) نمودار پاسخ دما ( استفاده می نمایم در غیر اینصورت باید از روش تحلیلی که هم''ان ح''ل مع''ادالت

دیفرانسیل است معادله توزیع دم'ا و شدت انتقال حرارت را بدست آوریم .

هرگاه ضریب حرارت حرارتی جسم بینهایت باشد ، توزیع دما در– 1داخل جسم یکنواخت است .

هر گ'اه شی'ب دما برحس'ب فاص'له در دو سمت ف'صل مشترک– 2جسم جامد و سیال برابر باشد در این

صورت مقدار عدد بایو برابر یک است یعنی مقاومت حرارتی هدایتی ومقاومت حرارتی جابجایی برابر هستند

نسبت حاصلضرب دانستیه در حجم و گرمای ویژه جسم به– 3حاصل'ضرب مق'اومت ح'رارتی جابجایی در

نشان می دهند .τسطح جسم جامد را ثابت زمانی گویند و با τ c=

ρvcphA

=mcp

hA.mcp

hA

τ هر چه مقدار عددی – 4 cکوچکتر باشد مدت زمان الزم برای رسیدن دمای جسم به دمای محیط کمتراست

را بهL مدت زمانیکه که نیاز است تا حرارت در داخل جسم فاصله – 5L2صورت ان'تقال حرارت هدای'تی ط'ی کند برابر

α.خواهد بود

83

عدد فوریه یک عدد بدون بعد است و برابر است نسبت حاصلضرب– 6ضریب نفوذ حرارتی در زمان به توان دوم ضخامت جسم

L هر گاه ضخامت جسم – 7 عدد فوریه برابرt=0 و در لحظه اولیه ∞→صفر است

1- هر گاه مقدار 8Bi

بهh برابر صفر باشد مفهوم آن اینست که مقدار سمت بینهایت می رود .

فصل ششم مقدمه ای بر انتقال

حرارت جابجایی

84

: مقدمه 1-6 تاکنون انتقال حرارت هدایت'ی را بررس'ی کردیم و ان'تقال حرارت

جابجایی را فقط در مواقعی ک'ه ش'رایط مرزی را ارضا می کرد مورد استفاده قراردادیم لذا در بررسی مسائل جابجایی دو هدف اصلی را

دنبال میکنیم فهم مکانیزم فیزیکی انتقال حرارت جابجایی– 1 روش های محاسباتی مکانیزم انتقال حرارت جابجایی– 2 : ضریب انتقال حرارت جابجایی6 -2

( را مد نظر قرار می دهیم .6-1برای درک بهتر شرایط موجود شکل ) جریانAروی سطحی به مساحت∞ Tو دمای ∞uسیالی که با سرعت

باش'د بین س'طح و سیال∞Tw ≠T و Twدارد به شرطی که دمای س'طح مبادله حرارت صورت می گیرد و این مبادله حرارت به ص'ورت جابجای

خواهد بود و ش'دت ج'ریان حرارت را می توان طبق قانون سرمایشنیوتن به صورت زیر نشان داد

qA

=h (T w−T ∞ ) (6−1 )

ضریب جابج'ایی موض'عی می باشد از طرفی باh( 6-1ک'ه در م'عادله ) وqتغییر شرایط جریان از نقطه ای به نقطه دیگر در روی سطح مقدار

hنیز متعاقب آن تغییر می کند که مقدار آن برابر انتگرال شدت جریان روی سطح می باشد .

q=∫A

❑

qdA (6−2 )

85

( جریان یکنواخت پایدار روی صفحه تخت6-1شکل ) و با توجه به اینکه سرعت در مجاورت صفحه صفر است انتقال حرارت از دیواره به سیال از طریق هدایت انجام می گیرد و طبق قانون فوریه

شدت انتقال حرارت به صورت زیر خواهد بودqA

=−k ∂ T∂ y|y=0(6−3)

( خواهیم داشت 6-3(و )6-1با مقایسه رابطه )

h=−k ∂ T

∂ yT w−T ∞

|y=0 (6−4)

ض'ریب انتقال حرارت جابجایی تاب'عh( بیانگر این است که 6-4رابطه )T∂گرادیان دماست

∂ yل'ذا برای پیدا کردن شیب دما در سطح جسم نیازمند داشتن معادله توزیع دما در داخل الیه مرزی حرارتی می باشیم و سپس با

است گرادیان دماy=0مشتق گیری از معادله توزیع دما در جایی که T∂محاسبه می شود و گرادیان دما

∂ y

( قرارداده ضریب انت'قال حرارت جابجایی محاسب'ه6-4را در م'عادله ) ، ضری'بhمی ش'ود و سپ'س با ک'م'ک قانون سرمای'ش نیوت'ن مقدار

انتقال ح'رارت جابجایی ، شدت انتقال حرارت جابجایی بدست می آید.

: اعداد بدون بعد کاربردی در انتقال حرارت جابجایی6- 3 اعداد بدون بعد ما را در فهم پدیده های جریان سیال کمک می کنند و

مهمترین اعداد بدون بعد ، که در انتقال حرارت کاربرد دارند عبارتند از :86

عبارت است از نسبت نیروی لختی به نیروی :Reعدد رینولدز -1گرانو و نقش عدد رینولدز در جریان جابجایی اجباری است

ℜ=ρ. U∞ L

μ=

U∞ Lϑ

(6−5)

: بیانگر نسبت نفوذ ملکولی اندازه حرکت به نفوذPr عدد پرانتل– 2 ملکولی حرارت و رل مهمی در انتقال حرارت جابجایی ایفا می کند و

کنترل کننده خوبی میان توزیع دما و سرعت می باشد .

Pr=ϑα=

μρk

ρC p

=C p μ

k(6−6 )

: بیانگر نسبت انتقال حرارت جابجایی به انتقالNu عدد ناسلت – 3حرارت هدایتی است

Nu= h∆ Tk ∆ T

L

=hLk

(6−7 )

: بیانگر نسبت شار حرارتی جابجایی به ظرفیتStعدد استانتون – 4حرارتی

St=h∆ T

ρC p u∆ T= h

ρ Cp u= Nu

RePr(6−8 )

: الیه مرزی سرعت 4-6 ( را در6-1برای آشنایی با الی'ه م'رزی جری'ان روی ص'فحه تحت ش''کل )

نظر بگیرید سرعت سیالی که با س''طح ، در تم''اس ان''د ص''فر اس''ت این y=δVذرات ح''رکت ذرات در الی''ه ب''االتر را کن''د می کن''د و این عم''ل ت''ا

روی ص''فحات م''وازی س''رعت س''یال τادامه و اثر آن ایج''اد تنش برشی ت''اU س''رعت س''یال x فاصله از سطح مولفه ی yاست حال با افزایش

فاصله از س''طح دی''وارهVδ در جریان آزاد افزایش می یابد لذا ∞Uمقدار ت''ا ج''ایی ک''ه الی''ه ه''ای ذرات سی'''ال تحت اث''ر تنش برش''ی نیس''ت را

) فاص''له از س''طح( درyض''خامت الی'''ه م''رزی س''رعت گوین''د و مق''دار

87

U∞99/0Uمی باشد بنابراین جریان سیال توسط دو ناحیه از هم متمایز = می باشند : ناحیه ای است که در آن یک الیه نازک س''یال ) الی''ه م''رزی (ناحیه اول

وجود دارد وگرادیان سرعت و تنش های برشی بزرگ هستند . : ناحیه ای که خارج از الیه مرزی است که گرادی'ان س''رعت وناحیه دوم

تنش های برشی قابل صرف نظر کردن هس''تند و ب''ا اف''زایش فاص''له از لبه ابتدای اثرات لزجت هرچه بیشتر ب''ه داخ''ل جری''ان آزاد نف''وذ ک''رد و الیه مرزی رشد می کند یعنی افزایش ضخامت الیه م''رزی ب''ا اف''زایش

xطول

: الیه مرزی حرارت 5-6 الیه مرزی حرارتی همانند الیه مرزی سرعت هن'گامی بوج'ود می آید که

( اگ''ر دم''ای6-2دماهای سطح و جریان سیال آزاد متفاوت باشند شکل ) ص''فحه تخت ث''ابت باش''د در لب''ه ابت''دای ، پروفی''ل دم''ا یکن''واخت یع''نی

T)y(=T∞است ولی ذرات سیالی که در تم'اس با صف'حه قراردارن'''د در تع'ادل حرارتی به دمای صفحه می رسند و ب''ا مبادل''ه ح''رارت بین ذرات سیال و الیه مجاور گ'رادیان دما در سیال بوج''ود می آی''د . ناحی''ه ای ک''ه این گرادیان دم'ا وج''ود دارد الی'ه م'رزی ح'رارتی نامی''ده می ش''ود و ب'ه

برابر خواهد بود با :y نشان داده می شود ومقدار آن در tδصورت T w−TTw−T ∞

=0.99

( الیه مرزی حرارتی روی صفحه تخت 6-2شکل )

: اهمیت الیه های مرزی6-6

88

Tw

است وجود گرادیانvδمشخصه الیه مرزی سرعت که ضخامت آن سرعت و تنش برشی می باشد در حالیکه مشخصه الیه مرزی

است وجود گرادیان دما و وانتقالtδحرارت که ضخامت آن حرارت می باشد لذا پارامترهای مهم در انتقال حرارت جابجایی ،

ضریب اصطکاک ، الیه مرزی سرعت و الیه مرزی حرارت وضریب انتقال حرارت جابجایی می باشد .

: جریان آرام ومغشوش6- 7 اولین گام در مباحث انتقال حرارت جابجایی تعیین نوع جریان است یعنی آرام یا مغشوش بودن سیال ، در الیه مرزی است

( در الیه مرزی آرام حرکت سیال کامالً منظم است و6-3شکل ) می توان خطوط جریان راکه ذرات سیال در امتداد آنها حرکت می

کند را مشخص نموده و در الیه مرزی مغشوش حرکت سیال کامالً نامنظم است و توسط نوسانات سرعت مشخص می شود

که این نوسانات ، انتقال ممنتوم ، انرژی ، اصطالک سطحی و نرخانتقال حرارت جابجایی را تحت تاثیر قرار می دهند .

( رشد الیه مرزی سرعت روی صفحه تخت6-3شکل )

: معادالت حاکم در الیه مرزی8-6برای سادگی در محاسبات فرضیات زیر را در نظر می گیریم.

جریان آرام و دائمی است ..1سیال تراکم ناپذیر است ..2خواص فیزیکی طی فرآیند ثابت اند ..3در جهت جریان فقط انتقال حرارت ، جابجایی است ..4

89

از انتقال حرارت هدایتی و تشعشعی صرف نظر می کنیم ..5 برابر واحد است .zعمق حجم کنترل در جهت .6

: معادله پیوستگی1-8-6 ( را در داخل الیهδx.δy.1برای تعیین معادله پیوستگی یک حجم کنترل)

مرزی سرعتی انتخاب میکنیم و اصل بقای جرم در داخل این حجم(6-4کنترل را مورد بررسی قرار می دهیم . شکل )

( المان حجم کنترل برای بقای جرم در الیه مرزی6-4شکل )سرعتی

( ρu ) dy+( ρv ) dx−[ ρu+ ∂ ( ρu )∂ x ]d y−[ ρv+ ∂ ( ρv )

∂ y ]d x=0 (6−9 )

dبا حذف عبارات مشابه و تقسیم کردن باقیمانده معادله بر x .d y خواهیم داشت .

∂ ( ρu )∂ x

+∂ ( ρv )∂ y

=0(6−10)

90

ρ uρ u+ ∂∂ x

( ρu )d x

ρ v

ρv+ ∂∂ y

( ρv ) d y

∆ y

∆ x

y

x

z

( به صورت زیر6-10با توجه به غیر قابل تراکم بودن سیال ، معادله )خواهد بود . که این معادله پیوستگی نام دارد .

∂ u∂ x

+ ∂ v∂ y

=0 (6−11 )

قانون دوم حرکت نیوتن برای حجم کنترل معادله اندازه حرکت :6- 2-8 دیفرانسیلی در یک الیه مرزی سرعت چنین بیان می گردد ، مجموع

نیروهایی که روی سطح کنترل عمل می کند باید با نرخ خالص ممنتوم جریان ورودی ( برابر باشد .–خروجی از حجم کنترل ) جریان خروجی

(6-5شکل )

( المان حجم کنترل برای تعادل نیروها در الیه مرزی6-5شکل )سرعتی

لذا نیروهای وارده بر حجم کنترل دیفرانسیلی شامل مجموع نیروهای سطحی و نیروهای حجمی است که این نیروها به صورت زیر تعریف می

شوند . نیروی حجمی :6- 1-2-8

این نیروها بر کل جرم موجود در حجم کنترل اثر می کنند و ناشی از میدانهای خارجی مانند : جاذبه ، میدان مغناطیسی و میدان الکتریکی هستند که در اینجا تنها نیروی حجمی که در محاسبات در نظر میگریم

نیروی حاصل از میدان جاذبه یعنی وزن است .91

δy

δx

PP+( ∂ P

∂ x∗∆ x )

τ=μ ∂ u∂ y

μ∗( ∂ u∂ y

+ ∂2 u∂ y2∗∆ y )

نیروی سطحی :6 - 8- 2-2 این نیرو ها ناشی از عوامل زیر هستند :

نیروهای حاصل از برش اجسام صلب توسط کنترل گذرنده از بین آنها

نیروهای حاصل از فشار هیدرواستاتیکی و تنشهای ناشی از لزجت که در اثر حرکت سیال با گرادیان سرعت حاصل می شود.

و در سیال ساکن هیچ گونه تنش برشی وجود ندارد . بنابراین تنها نیروی سطحی نیروی فشاری است لذا برای استفاده از قانون

نیوتن ، شدت جریانهای ممتنوم سیال مربوط به حجم کنترل نیز (y-z ) در صفحه xباید تعیین شود. لذا شدت جریان جرم در سطح

ρبرابر u و شدت جریان ممتنوم در جهت x برابر (ρ u)u. خواهد بود ناشی از جریانxبه همین ترتیب شدت جریان ممتنوم در جهت

ρ)( برابر x=zجرم در سطح )در صفحه v )u( 6-6 خواهد بود . شکل)

( المان حجم کنترل برای شدت جریان ممتنوم در الیه6-6شکل )مرزی سرعتی

برابر است :xنرخ خالص ممتنوم خروجی از حجم کنترل در جهت

92

(ρ u)u(ρ u)u+ ∂

∂ x [( ρu)u ] dx

(ρ v )u+ ∂∂ y [(ρ v )u ]dy

(ρ v )u

δy

δx

∂∂ x [(ρ u)u ]dx .dy+ ∂

∂ y [(ρ v )u ]dx . dy(6−12)

نیروی وارده بر سطح حجم کنترل عبارتند از تنش برشی در جهت سطحو نیروهای فشاری عمود بر سطح

x جهت در فشاری نیرو ∂−=خالص p∂ x

dx .dy .1

x جهت برشیدر تنش نیرو μ=خالص ∂❑2 u

∂ y❑2 dx .dy

(6−13)

(6-12 معادله )xبا مساوی قراردادن نرخ تغییر ممتنوم سیال در جهت ( و تقسیم طرفین بر6-13 معادله )xبا مجموع نیروهای وارده در جهت

dx . dy. و با توجه به غیر قابل تراکم بودن سیال خواهیم داشت

ρ(u ∂ u∂ x

+V ∂u∂ y )=−∂ p

∂ x+μ ∂❑

2 u∂ y❑

2

∂= 0مقدار p∂ xزیرا فشار در جهت عمود بر سطح تغییر نمی کند لذا

بس'تگی دارد . و با فشار جریان آزاد درxفشار در الیه مرزی فق'ط به بهxخارج از الیه مرزی برابر است لذا معادله اندازه حرکت در جهت

:صورت زیر خواهد بود

u ∂ u∂ x

+V ∂ u∂ y

=ϑ ∂❑2 u

∂ y❑2 (6−14)

نیز می توان بهyهمچنین برای تعیین معادله اندازه حرکت در جهت به صورتyروش فوق عمل نمود و نهایتاً معادله اندازه حرکت در جهت

:زیر خواهد بود

u ∂ v∂ x

+V ∂ v∂ y

=ϑ ∂❑2 v

∂ x❑2 (6−15)

معادله انرژی :6- 10 را در داخل الیهδx.1 .δy برای تعیین معادله انرژی یک حجم کنترل

مرزی حرارتی در نظر میگیریم و موازنه انرژی برای این حجم کنترلی را( 6-6برای واحد زمان می نویسیم . شکل )93

y + خ''الص ان''رژی و جابج''ایی درجهتxخالص انرژی و جابجایی درجهت برابر کار خالص نیروهای ویسکوزیته .x+ خالص انرژی هدایتی درجهت

و عرض سیالU را با x و سرعت در جهت V را yحال سرعت در جهت را واحد در نظر میگیریم . Zدر جهت

( المان حجم کنترل برای تحلیل انرژی در الیه مرزی6-6شکل )حرارتی

m˚=ρudyنرخ جرم ورودی برابر .1 ρانرژی جابجایی ورودی از سمت چپ u c pTdy

ρانرژی جابجایی ورودی از سمت پایین v c p Tdx

با توجه به فرض آرام بودن جریان در جهت عمود بر صفحه ، انتقال حرارت از طریق هدایتی خواهد بود .که مطابق قانون فوریه مقدار آن

K .dx.1برابر – ∂T∂ x. خواهد بود

ازطرفی کار نیروی ویسکوزیته برابراست باحاصلضرب نیروی برشیدرفاصله ای که این نیرو اثر میکند یعنی:

94

μ ∂ u∂ y

.dx . ∂ u∂ y

.dy

μکه) ∂ u∂ y بعنوان نیروی برشی که به ازای واحد سطح و dx.1به عنوان

dy ∂uسطح و∂ y

بعنوان فاصله ای که نیروی برشی در واحد زمان اثر می.کند (

از طرفی انرژی خروجی برابر است با انرژی ورودی + دیفرانسیلتغییرات انرژی ورودی

انرژی جابجایی خروجی از سمت راست برابر است با :

ρ c puTdy+d ( ρ c puTdy )=ρ c p dy(u+ ∂u∂x

dx)(T + ∂T∂ x

dx )(6−16)

: و حرارت جابجایی خروجی از سمت باال برابر است با

ρv cp Tdx+d ( ρ cp vTdx )=ρ c p dx(v+ ∂v∂ y

dy )(T+ ∂ T∂ y

dy )(6−17)

: و حرارت هدایتی خروجی از سمت باال برابر است با

−K ∂T∂ y

dx+d (−K ∂ T∂ y

dx)=−K dx [ ∂∂ y ( ∂T

∂ y )dy+ ∂ T∂ y ] (6−18 )

با جایگذاری این مقادیر در موازنه انرژی و با صرف نظر کردن از: جمالت دیفرانسیلی درجه دوم خواهیم داشت

ρ c p[u ∂u∂ x

+v ∂ T∂ y

+T ( ∂ u∂ x

+ ∂ v∂ y )]dxdy=K ∂❑

2 T∂ y❑

2 dxdy+μ( ∂u∂ y )

2

. dxdy (6−19 )

∂ u∂ x

+ ∂ v∂ y

=0 خواهیمداشت پیوستگی معادله به توجه با

u ∂ u∂ x

+v ∂T∂ y

= Kρ cp

∂❑2 T

∂ y❑2 + μ

ρ cp( ∂ u∂ y )

2

(6−20)

95

از آنجائیکه کار نیرو برشی در سرعتهای پایین ناچیز است لذا با صرف نظرKکردن نیروی کار برشی و جایگذاری

ρ cp معادله انرژی در الیه مرزی به∝=

صورت زیر خواهد بود :

u ∂ u∂ x

+v ∂T∂ y

=∝ ∂❑2 T

∂ y❑2 (6−21 )

معادالت حاکم درالیه مرزی ، جریان آرام ، صفحه تخت :11-6 ضریب جابجایی حرارتی و ضریب اصطالک روی صفحه تخت را می

ممنتوم و انرژی به،توان با حل عددی یا حل تواماً معادله پیوستگی صورت تحلیلی و یا به صورت تجربی تعیین کرد . لذا به صورتخالصه معادالت حاکم بر الیه مرزی بصورت زیر خواهند بود :

{∂ u∂ x

+ ∂ v∂ y

=0 پیوستگی معادله¿u ∂u

∂ x+V ∂u

∂ y=ϑ ∂❑

2 udy❑

2 حرکت اندازه معادله¿u ∂ T

∂ x+V ∂T

∂ y=α ∂❑

2 T∂ y❑

2 انرژی معادله(6−22)

θرا به صورت زیر تعریف می کنیم . برای سادگی ، در محاسباتبعددمای بدون

θ ( x , y )=T ( x , y )−Tw

T ∞−T w(6−23 )

T=T . ولید برابر یک می ش'و روی الیه مرزی ح'رارتی یعنی جای'ی که∞ θ )x,y( به طوری که

T=Tبرابر ص'فر اس'ت . لذا م'عادله ان'رژی با ت'وجه به تعریف wدر روی مقدار θ (x,y) صفحه که

: فوق به صورت زیر خواهد بود

u ∂ θ∂ x

+V ∂ θ∂ y

=∝ ∂❑2 θ

∂ y❑2 (6−24 )

96

y=0T=T w →θ=0 مرزی شرایط به توجه باy=δt T=T ∞ →θ=1

( بسیار مشکل6-24حل دقیق معادله) u,v را از معادله اندازه حرکت بدست خواهد بود زیرا باید اول مولفه های

آورده سپس معادله انرژی را حل نمایم لذا از حل تقریبی به روش. انتگرال گیری استفاده می کنیم

برای این کار از0 تا αکه بزرگ'تر از ه'ر کدام از الیه ه'ای y نسبت به ( در فاصله مرزی است انتگرال می گیریم و مولفه6-24معادله انرژی )

u ( بدست می آوریم و در معادله انرژی6-11را از معادله پیوستگی ) . قرار می دهیم

u ∂ θ∂ x

+V ∂ θ∂ y

=∝ ∂2θ∂ y2

∫0

α

u ∂ θ∂ x

dy+∫0

α

V ∂ θ∂ y

dy=∝( ∂ θ∂ y

|y=α − ∂θ∂ y

|y=0)=−∝ ∂ θ∂ y

|y=0 (6−25 )

برابر αدر خارج از الی'ه مرزی ق'رار دارد بنابراین دمای آن ثابت لذا θ∂صفر اس'ت زیرا

∂ y |y=αمقدار

. گرادیان دما در خارج از الیه مرزی صفر است( را با استفاده از رابطه پیوستگی حذف می کنیم6-25در معادله )

حال مولفه Vیعنی دومین انتگرال( را به روش جز به جز حساب می کنیم6-25در معادله )

∫0

α

V ∂θ∂ y

dy=Vθ|αo−∫o

α

θ ∂ V∂ y

dy=V |y=α −∫o

α

θ ∂ V∂ y

∂ y (6−26 )

97

V |y=α=−∫o

α ∂u∂ y

∂ y داریم طرفی از و باشند θ|y=αمی =1 Vو |y=0=0 چون

V∂( قرارگیرد داریم :6-26لذا اگر این دو مقدار در معادله ) ∂ y

=−∂u∂ xو از

معادله پیوستگی

∫0

α

V ∂θ∂ y

dy=−∫o

α ∂u∂ x

dy+∫o

α

θ ∂ u∂ x

dy (6−27 )

( خواهیم داشت6-25( در معادله )6-27حال با جایگذاری معادله) :

∫0

α

(u ∂θ∂ x

+θ ∂u∂ x

− ∂u∂ x )dy=−∝ ∂θ

∂ y|y=0

و یا

∫0

α [u ∂ (uθ )∂ x

−∂ u∂ x ]dy=−∝ ∂θ

∂ y|y=0

ddx [ ∫0

❑α =δ t

u (1−θ ) dy ]=∝ ∂θ∂ y|y=0(6−28)

α> δ صفر است زی'را در خ'ارج از الی'ه م''رزی θ=1و در نتی'جه tتوجه شود که مقدار انتگرال در

δقرار می دهیم و آنرا مح'اسبه t یعنی αمقدار انتگرال برابر صفر است لذا حد نهایی انتگرال را به جای

. میکنیمuمی باشد. پس به دو رابطه , θ , δt( نیز6-28از طرفی حل معادله )

مشکل است زیرا دارای سه مجهولδرا به ص'ورت چند tدر الیه مرزی θ (x,y( دی'گر نیز نی'از داریم لذا برای

این کار م'عادله توزی'ع دما. زیر در نظر می گیریمجمله ای

98

θ ( x و y )=C0+C1 y+C2 y2+C3 y3 0< y<δ t (6−29 )

شرایط مرزی برای حل معادله تقریبی توزیع دما و با توجه به معادلهحاکمه در الیه مرزی :

B .c .1 y=0 θ=0¿ B. c .2 y=δ t θ=1

¿ B . c .3 y=δt∂θ∂ y

=0

¿ B .c .4 y=0 ∂❑2 θ

∂ y❑2 =0

(6−30 )

: شرط اول ودوم از تعریف الیه مرزی گرمایی قابل درک است یعنیθ=

T−T w

T ∞−Tw

شرط سوم به این مفهوم است که در محدوده لبه الیه مرزی گرمای ،: توزیع دما یکنواخت است پس شیب توزیع دما صفر است یعنی

∂θ∂ y

=0

شرط چهارم به مفهوم این است که در معادله کلی انرژی ، سرعتروی صفحه صفر است یعنی :vوuهای

∂2θ∂ y2=0

با قراردادن چهار شرط مرزی باالC3 و C2 و C1 و C0تعیین می شود درنتیجهثابت ( مقادیر6-29در معادله )

. معادله توزیع دما به صورت زیر خواهد بود

θ=32 ( y

δ t )−12 ( y

δ t )3

(6−31 )

به هم'ین ترتی'ب ب'رای پیدا )yو U)x در الیه مرزی هیدرودینامیک چ'ند ک'ردن معادله توزیع سرعت

: جمله ای زیر را انتخاب می کنیم

99

u ( x , y )=C 0+C1 y+C2 y2+C3 y3 0< y<δ v (6−32 )

( عبارتند6-32چهار شرط الزم برای پیدا کردن ثابت های چند جمله ای ) :از

B . c .1 y=0u=0

B .c .2 y=δ u=U∞

B .c .3 y=δ ∂ u∂ y

=0

B .c .4 y=0 ∂❑2 U

∂ y❑2 =0

سه شرط اول مستقیماً از تعریف الیه مرزی هیدرودینامیک نتیجه میشود v و هم u هم x=0و شرط چهارم نیز از معادله حرکت بطوریکه در

2u∂ طبق معادله حرکت x=0برابر صفر خواهند بود . لذا در نقطه ∂ y2برابر

( مقدار6-32صفر است . لذا با اعمال چهار شرط فوق درمعادله ) تعیین شده C0 و C1 وC2 و C3ثابتهای

. در نتیجه معادله توزیع هیدرودینامیکی به صورت زیر خواهد بودu

U∞= 3

2 ( yδv )−1

2 ( yδ v )

3

(6−33)

حال با داشتن معادله توزیع دما و معادله توزیع سرع'ت و قراردادن آنها( و با ح'ل معادله مذکور، ضخامت الیه مرزی6-28در معادله ان'رژی )

( از6-28محاسبه خواهد شد . بنابراین با توجه به پیچیده بودن معادله ) ادامه حل معادالت دیفرانسیلی مذکور به صورت تحلیلی صرف نظر

نموده و بصورت خالصه نتایج حاصله از معادالت دیفرانسیلی مذکور را. بیان می کنیم

معادالت تجربی در الیه مرزی جریان آرام صفحه 1-11-6تخت :

100

δ v=5 x√ℜ مرزی لایه (34−6)ضخامت

Nu=hLK |T w=const=0.332ℜ

12 Pr

13 ثابت دما (35−6)ناسلت

Nu=hLK

|q=const=0.417ℜ12 Pr

13 ثابت شار (36−6)ناسلت

T w=0.332 ℜ−12 ρ U∞

2 برشی (37−6)تنش

q=hA (T w−T ∞ ) حرارت (38−6)نرخانتقال

δV

δt=Pr

13 مرزی لایه (39−6)ضخامت

D=32 ( y

δ t )−12 ( y

δt )3 دما پروفیل (6−40)

uU∞

=32 ( y

δv )−12 ( y

δ v )3 پروفیلسرعت (6−41)

معادالت تجربی در الیه مرزی ، جریان مغشوش ، صفحه تخت : 2-11-6

δV=0.381 x

ℜ15

مرزی لایه ضخامت (6−42 )

Nu=hLK |T w=const=0/0296 ℜ

45 Pr

13 ثابت دما ناسلت (6−43 )

Nu|q=const=1.04 Nu|Tw=const ثابت شار ناسلت (6−44 )

θ=( yδ t )

17 پروفیلدما (6−45 )

T w=0.0296 ℜ−15 ρ U∞

2 برشی تنش (6−46 )

δV ≈ δt مرزی لایه (47−6)ضخامت

uu∞

=( yδv )

17 سرعت پروفیل (6−48 )

101

در الیه مرزی مغشوش گرادیان سرعت در سطح و در نتیجه تنش برشی روی سطح و گرادیان دما روی سطح و در نتیجه نرخ انتقال حرارت

بسیار بیشتر از الیه مرزی آرام است

Nu=1.04 Nu|T w=c ons t ثابت ناسلتشار (6−48 )

:جریان داخلی 12-6 می شود .شکلroسیال آرام با سرعت یکنواخت وارد لوله ای به شعاع

(8-6)

( رشد الیه مرزی سرعت آرام در یک لوله6-8شکل )

زمانیکه سیال با سطح داخلی لوله در تماس قرار گیرد اثرات لزجت افزایش می یابد و این افزایشxظاهر می شود و الیه مرزی متناسب با

منجر به نازک شدن ناحیه غیر لزجت سیال گردد و نهایتاً الیه های م'رزی در محور لوله بهم دیگر می رسند فاص'له محل تم'اس الی'ه های م'رزی تا

ده'انه ورودی لوله را ط'ول ورودی هیدرودینامیکی گویند و بعد از طول ورودی هیدرو دینامیک جریان کامالً توسعه یافته است . و تمامی بحث ها

مربوط به جریان داخلی بعد از طول هیدرو دینامیک است102

0.05¿بنابراین طول ورودی هیدرودینامیک در جریان آرام برابر ℜ XDخواهد

بود.

≤همچنین طول ورودی هیدرودینامیک در جریان درهم برابر 10 XDخواهد

بود.

جریان سیال از روی استوانه: 13-6( به محض برخورد جریان سیال آزاد به6-10( و )6-9با توجه به ش'کل )

خواهد شد ولی فشار دراین نقطهx درجهت حرکت عقربه های ساعت نقطه جلوی استوانه سرعت آن صفرزیاد است ولی بعد از این نقطه با افزایش

)رشد می نماید این dPdx

فشار کاهش می یابد در این صورت الیه مرزی(0> تحت اثرگرادیان فشار مطلوب

عمل تا آنجایی ادامه پیدا می کند که فشار به حداقل مقدار خود برس'د ،)و رشد الیه مرزی در پشت اس'توانه و ادامه پیدا می کند . dP

dxبا(0<

وجود گرادیان فشار نامطلوب به ( سیال به طور کاملRe<4وقتی که سرعت جریان آزاد خیلی پایین است )

دور استوانه پیچیده می شود و دو جریان سیال در بخش عقبی استوانه به طور منظم به هم می رسند .

وقت'ی که س'رعت جریان آزاد زی'اد باشد . جریان دیگر نمی تواند به سطوح فوقانی بچسبد و از س'طح است'وانه ج'دا

شده و در پش'ت آن تش'کیل گرداب'ه میدهد . این نقطه را نقطه جدایش گویند لذا در نقطه جدایش گرادیان

سرعت در سطح جسم صفر است یعنی :∂u∂ y

|y=0=0

103

(یک استوانه عمود بر جریان ایجاد الیه مرزی و جدائی6-9شکل ) روی

( پروفیل سرعت مربوط به جدائی روی یک استوانه6-10شکل ) عمود بر جریان

انتقال حرارت جابجایی روی استوانه : 6 -14 چ'ون جریان روی اس'توانه دارای پی'چیدگی های است لذا برای تعیین

انتقال حرارت از روش های تجرب'ی

104

( نتایج تجربی تغییر ناسلت برحسب6-11کمک می گیریم شکل ) θ را برای یک استوانه عمود بر جریان هوا

به θ نشان میدهد بطوریکه با افزایش Nuθ کاهش مییابد ک'مترین م'قدارواسطه رشد الیه مرزی آرام ، را

رخ میدهد ودر این نقطه جدایی اتفاق افتاده و وجود اختالط ناشی از آرام∘θ≃80 تشکیل در یان Nuθجر

افزایش یابد . از طرفی با افزایش θ با Re> 105 تغییر Nuθتوسط θ با Nuθ گردابه باعث می شود که

دو Nuθنسبت به مقدار آن در نقطه سکون ناشی از رشد الیه مرزی مینیمم مشخص میشود .کاهش مقدار

بواس'طه تبدیل100 ˚ و80˚بین Nuθآرام است ولی افزایش ناگهانی آرام به مغشوش است الیه مرزی

140˚دوباره ش'روع به ک'اهش می کند نهایتاً جدایی در =θ Nuθ لذا با رش'د بیشتر الیه م'رزی م'غشوش

. اتفاق می افتد

105

( عدد ناسلت برای جریان هوای عمود بر استوانه6-11شکل )

لذا رابطه تجربی انتقال حرارت جابجایی برروی استوانه عبارت خواهد . بود

NU D=hDK

=CRen Pr13 (6−48 )

n,c( 6-1( ثابت های هستند که مقدارشان از جدول )6-48 در معادله) تعیین می گردند .

106

( برای استوانه دایره ای عمود6-48( ثابتهای معادله )6-1جدول )بر جریان

: انتقال حرارت جابجایی در داخل استوانه 15-6 بعد از ناحیه ورودی هیدرودینامیکی پروفیل سرعت کامالً توسعه یافته و

بدون تغییر است و پروفیل سرعت برای جریان آرام سهموی و برای جریان مغشوش در جهت شعاع مسطح تر است بنابراین روابط تجربی

زیر برای جریان داخلی یک استوانه برقرار است

ℜi=4 mo

πDμاستوانه داخل رینولدز (6−49 ) ℜi=

4 m❑o

π ( Do+Di ) μپوسته داخل رینولدز (6−50 )

NU q=const=hDK

=4.36 ثابت شار یانآرام جر استوانه داخل ناسلت (6−51 )

NU Tw =const=hDK

=3.66 ثابت دما آرام یان جر استوانه داخل ناسلت (6−52 )

NU T=hDK

=0.023ℜ45 Prn ران است بنابراین تجربیروابط زیر برای یان جر داخلی یک استوانه برقرار است و پروفیل سرعت برای یان آرامجر سهموی و برای یان مغجر مغشوش یان جر استوانه داخل ناسلت (6−53 )

T w>T گرمایش∞ برای n=0 /4

T w<T گرمایش∞ برای n=0 /3

برای محاسبه دقیق عدد ناسلت جریان آرام داخ'ل پوست'ه می( ضمیمه کتاب استفاده گردد2-1ت'وان از ج'دول ) .

ران است بنابراین روابط تجربی زیر برای یان جر داخلی یک استوانه برقرار است و پروفیل سرعت برای یان آرامجر سهموی و برای یان جر م ∆ P=f LD

ρU∞

2

2gلوله داخل افتفشار (6−54 )

Dh=

4 Ac

Pهیدرولیکی قطر ران است بنابراین تجربیروابط برایزیر یان جر داخلی یک استوانه برقرار است و پروفیل سرعت برای یان جر سهمویآرام و برای یان جر مغ (6−55 )

خالصه : 16-6107

با مطالعه این فصل بایستی بتوانیم با استفاده از موازنه انرژی و روابط انتقال حرارت جابجایی محاسبات الیه مرزی سرعت و الیه مرزی

حرارت و پروفیل سرعت و دما در داخل الیه م'رزی ، تنش برشی و شدت انتقال حرارت داخلی و خارجی اشکال را انجام دهیم برای این کار

الزم است ابتدا آرام یا مغ'شوش ب'ودن جریان را تعیین کرده و سپس-1روابط هر جریان را با توجه به اشکال هندسی مربوط محاسبه می کنیم بوده جریان آرام5×105اگر جریان در روی صفحه کوچکتر یا مساوی

بود جریان آرام و2300اگر جریان در داخل لوله کوچکتر یا مساوی -2 جریان درهم است5×105و بزرگتر نسبت ضخامت الیه مرزی سرعت به ضخامت الیه مرزی حرارت -3بود جریان درهم است 2300بزرگتر

بزرگتر از یک باشد ضخامت الیه مرزی سرعت از ضخامت الیه مرزی تابعی از عدد پرانتل استهرگاه عدد –Pr4حرارت بلندتر است

ضخامت الیه مرزی سرعت ازاز یک باشد کوچکتر Pr هرگاه عدد–5 برابر یک باشد ضخامت الیه مرزی سرعت و rPهرگاه ضخامت عدد -6ضخامت الیه مرزی حرارت کوتاهتراست

خواص فیزیکی سیال تعیین کننده نسبت ضخامت های الیه مرزی – 7ضخامت الیه مرزی حرارت برابراند در گازها تقریباً برابر یک و در فلزات مایع کوچکتر از یک rP عدد -8سرعت و حرارت هستند

در جریان مغشوش ضخامت الیه مرزی سرعت برابر ضخامت الیه– 9هستندمرزی حرارت خواهد بود

108

فصل هفتم آشنایی با مبدلهای

حرارتی109

: مبدلهای حرارتی 7- 1 فرآیند تب''ادل ح''رارت بین دو س''یال ب'ا دماه''ای متف'اوت ک''ه توس''ط ی'ک دی''واره جام''د ج''دا ش''ده ان''د را مب''دل ح''رارتی می گوین''د و براس''اس

هندسه و آرایشی که قرار می،معیارهای مختلفی از جمله فرآیند انتقال گیرند دسته بندی می شوند

انتقال حرارت در مبدل حرارتی به صورت انتقال حرارت جابجایی در ه''رسیال و هدایت از طریق دیوار جدا کننده دو سیال می باشد

یکی از س''اده ت''رین مب''دلهای ح''رارتی: مب''دل ه''ای ح''رارتی دو لول''ه ای هستند که شامل دو لوله هم محور است که در لوله داخلی ی''ک س''یال و در لوله بیرونی ) پوسته ( سیال دیگر عبور می کند که عموماً به سه نوع

تقسیم می گردند.

سیال گرم و سیال سرد هر دو از یک طرف مبدلجریان موازی : – 1 – 2 (7 -1وارد شده واز طرف دیگر مبدل خارج می شوند شکل ) سیال گرم و سیال سرد از دو سمت جداگانه واردجریان مخالف :

– 3 (7 -1مبدل و از آن خارج می شوند شکل ) سیال سرد و سیال گرم به صورت عمود بر همجریان متقاطع : (7-1حرکت می کنند شکل)

110

( آرایش جریان در مبدل های دولوله ای7-1شکل )

: مبدل حرارتی لوله پوسته ای 2-7 مبدل حرارتی لوله پوسته ای یکی از انواع متداول مب''دل ه''ا می باش''د . اشکال خاص این نوع مب''دل ب''ر حس''ب تع''داد پوس''ته و مس''یرهای لول''ه تفاوت دارند و ساده ترین شکل آن شامل پوسته و لوله ت'ک مس'یره می

( . نصب مغشوش کننده ها ک''ه معم'والً ب'رای اف'زایش7-2باشد شکل( ضریب جابجائی سیال طرف پوس''ته ص''ورت می گ''یرد ، م''وجب تحری''ک اغتش''اش و اف''زایش س''رعت عم''ود ب''ر لول''ه ه''ا می ش''ود مب''دل ه''ای

111

حرارتی با مغشوش کننده با یک مس''یر پوس''ته ، دو مس''یر لول''ه ای و دو( نشان داده شده اند .7-3مسیر پوسته ، چهار مسیر لوله ای در شکل )

( مبدل حرارتی لوله پوسته ای با یک مسیر پوسته و7-2شکل) یک مسیر لوله

112

( مبدل های7-3شکل ) (a) .یک مسیر پوسته و دو مسیر لوله . حرارتی لوله و پوسته ای

(b) .دو مسیر پوسته و چهار مسیر لوله: تجزیه و تحلیل مبدلهای حرارتی 3-7

عموما در درس انتقال حرارت تجزیه و تحلیل مبدلهای حرارتی به دو استفاده – 1 (LMTD) این روش زمانی کاربرد دارد که دماهای ورودی و روش مورد بررسی قرار می گیرد

از اختالف دما متوسط لگاریتمی

استفاده از روش راندمان– 2(NTU) این روش زمانی کاربرد دارد که دم'اهای ورودی و خروجی س'یال خروجی سیاالت مشخص باشند

مشخص نباشد و در این فصل فقط روش اول مورد بررسی قرار میگیرد.

محاسبات مبدلهای حرارتی به روش اختالف دمای متوسط1-3-7لگاریتمی :

عبارتند از: LMTD فرضیات الزم برای حل مسائل مربوط به مبدلهای حرارتی به روش مبدل حرارتی نسبت به محیط عایق بندی شده و تبادل حرارت.1

منحصرا بین سیالهای سرد وگرم انجام می گیرد.از هدایت محوری در طول لوله ها صرفنظر می شود. .2از تغییرات انرژی پتانسیل و جنبشی صرفنظر می شود. .3گرمای ویژه سیالهای سرد وگرم ثابت اند. .4ضریب انتقال حرارت کلی ثابت می باشد. .5

113

گرمای ویژه بواس'طه تغیی'رات دما تغییر می کند. و ضریبنکته : انتقال حرارت کلی در نتی'جۀ� تغییرات خواص سیال و شرایط جریان تغی'یر می کند. ولی در اغل'ب مسائل مهندسی چنین تغیراتی م'هم

نی'ستند. با توجه به اینکه همواره دو نوع سیال یا گاز با دمای متفاوتگام اول :

در مبدل های حرارتی در جریان هستند بهتر آن است سیال یا گاز گرم را مشخص نمائیم .c و سیال یا گاز سرد را با اندیس hبا اندیس

Thiسیال گرم : ,Tho, cph ,mh , μh , hh , kh .. .

Tciسیال سرد : …. ,Tc o , cpc ,mc , μc , hc , kc

با مراجعه به جداول خواص سیاالت یا گازها با توجه به دمایگام دوم : متوسط هر سیال یا گاز در ورود و خروج مبدل ، مقدار عددی خواص

مربوطه را تعیین می کنیم .

(T h=Thi+Tho

2Tو c=

Tci+Tco

2 ) نرخ انتقال حرارت در هر مبدل، با اعمال موازانه ی کلیگام سوم :

انرژی برای هر سیال بدس'ت می آید.

q=mh° cph ¿

q=mc cpc ¿

با تعین نرخ انتقال حرارت ، طول مورد نیاز مبدلگام چهارم : . حرارتی به شرح ذیل تعیین می گردد

q ¿ F . U . A .∆ T m

)سطح جانبی لوله داخلی ( برابر است با Aکه مقدار A=2π r i L

114

اختالف دمای متوسط لگاریتمی را با توجه به معادله زیرگام پنجم :. تعیین می کنیم

∆ T m=∆ T i−∆T o

ln∆ T i

∆T o

( 7-4 اگر مبدل جریان موازی و هم محور باشد. شکل )نکته:

¿

( توزیع های دما در یک مبدل حرارتی با جریان موازی7-4شکل )(7-5 اگر مبدل جریان مخالف و هم محور باشد. شکل)نکته :

{∆ T i=Thi−Tc o

∆ T o=Tho−Tci

115

( توزیع های دما برای یک مبدل حرارتی7-5شکل ) با جریان مخالف

ضریب انتقال حرارت کلی مبدل به صورت زیر تعیین میگام ششم :شود .

U= 11hi

+ 1ho

+∑ R

hoکه در معادله باال به ترتیب ضریب انتقال حرارت داخلی لوله وhiو∑پوسته و Rمجموع مقاومت های هدایتی جداره لوله و مقاومتهای

رسوبی اعم از داخلی و خارجی لوله می باشند . ho برای محاسبه مقدار نکته : را برایℜکافی است مقدار عددی hiو

جریان داخل'ی و جریان خارجی تعیین و با توجه به نوع جریان آرام یا)مغشوش بودن آنها به کمک روابط تجربی ناسلت ها Nu hoمقدار ( راhiو

تعیین می کنیم. ) داخل لوله( hi برای تعیین مقدار گام هفتم :

4 mi

π Di μ R eDi

=¿

ℜi اگر نکته: ≤ باشد. آنگاه جریان آرام است و با توجه به روابط2300 به صورت زیر تعیین می گرددhiتجربی مربوطه برای جریان آرام مقدار

.

NU=hi Di

k i=4.36 q=const اگر

NU=hi Di

k i=3.66T w=const اگر

باشد انگاه جریان در هم است و با توجه به رابطهℜ>2300 اگرنکته : به صورت زیر تعیین میhiتجربی مربوطه برای جریان درهم مقدار

گردد . NU=

hi Di

k i=0.023 R e

45 pr

n

116

T w>T ∞n=0.4 گرمایش برایT w<T ∞n=0.3 برایسرمایش

) داخل پوسته(ho تعیین مقدار گام هشتم :

R eD o=

4mo°

π ¿¿

یا بزرگتر از 2300 که مقدار آن کوچکتر ازRe با توجه به مقدار عددی باشد همانند گام هفتم عمل می کنیم. 2300

∑ برای تعیین )گام نهم : Rمجموع مقاومتهای هدایتی جداره لوله و ) مقاومتهای رسوبی داخلی وخارجی لول'ه با ت'وجه به اینکه ل'وله های

هستند مقاومت هدایتی حرارتی مبدل حرارتی عموماً استوانه ای ش'کل و رسوبی آنها برابر خواهد بود با :

∑ R=¿∑i=1

n lnr i+1

ri

2π k i L¿

-13 از اش'کال مرب'وط'ه )F برای تعیین ض'ریب تصحیح گام دهـم : مقدار عددی کتاب با داشتن2( ضمیمه 2-16( و )2-15( و )14-2( ، )2

P=Tco−Tci

Thi−Tc i=R و

Thi−Tho

Tco−Tci و عمود نمودنRو pو تعی'ین مح'ل برخورد

تعیینF محور عمودی اشکال مربوطه مقدار به Pو R محل برخورد می گردد.

∆,q F,U, با داشتنگام یازدهم : T m مقدار L به صورت زیر محاسبه =L می شود : q

FU π Di ∆ Tm

اگر مبدل حرارتی پوسته و لوله ای بود . دبی عبوری را حتماً برنکته :تعداد لوله تقس'یم نمائ'یم تا دبی

عبوری از یک لوله بدست آید و محاسبات را برای یک لوله انجام دهید.

117

خواهدF=1 اگر مبدل حرارتی دو لوله ای بود. مقدار عددینکته :بود.

تعداد مسیر های لوله حتماً زوج باشد. اما مقدار مسیرهاینکته :پوسته می تواند زوج و یا فرد باشد.

اگر چنان'چه طول پوسته را در مسئله ای مقید کرده باشند براینکته : باید طول لوله محاسبه شده از رابطهً تعیین طول لوله م'بدل ناچارا

L= qFU π Di ∆ Tm را بر عدد زوجی تقسیم نموده تا طول لوله جدید کوچکتر

یا مساوی طول پوسته مقید شده گردد .

سیالی که رسوب بیشتری دارد درون لوله ها جریان یابد . چون تمیز – 1معیارهای انتخاب جریان برای لوله یا پوسته 4-7 : سیالی که خورنده است ، درون لوله ها جریان یابد زیرا درغیر – 2.کردن داخل لوله ها آسان تر است

سیالی که دارای ضریب انتقال گرمای کوچکتری است در سمت – 4. سیالی که فشارش بیشتر دارد درون لوله ها جریان یابد – 3.اینصورت هم لوله و هم پوسته خورده خواهد شد پوسته جریان یابد زیرا می تواند با نصب پره ها روی جداره خارجی لوله

سیالی که دمای آن به دمای محیط نزدیک است در سمت پوسته – 6. سیالی که دبی جرمی کمتری دارد در سمت پوسته جریان یابد -5ها انتقال گرما را بیشتر کند سیال لزجتردر سمت پوسته جریان یابد چون عدد رینولدز پوسته به – 8. سیال سمی درون لوله ها جریان یابد -7. جریان یابد

.دلیل قطر بیشتر پوسته بزرگتر است118

. سیال گازی شکل در سمت پوسته جریان یابد – 9: بافل ها 5-7

نگ'ه داشتن لوله ها و –الف بافل ها دارای دو نقش مهم هستند : انح'راف جریان در جهت عرضی و متقاطعب- اف'زایش اس'تحکام سازه

با لوله ها بافل ها سبب افزایش انتقال گرما ، افزایش افت فشار و با افزایش فاصله بافلها از هم ضریب انتقال گرما و افت فشار داخل -1. کاهش رسوب گرفتگی پوسته می شوند

با افزایش تعداد گذر لوله ها و یا کاهش قطر لوله ها افت فشار -2.پوسته هر دو کاهش می یابند برای افزایش ضریب انتقال گرما در سمت لوله ها می توان تعداد -3.افزایش می یابد

.گذر لوله ها را افزایش داد برای افزایش ضریب انتقال گرما در سمت پوسته می توان فاصله-4

بافلی را کاهش داد.

مراقبت و نگهدار ی از مبدلهای حرارتی پوسته و، بستن ،راه اندازی 6-7: لوله

از جمله مهم ترین اصول کار با مبدلهای ح''رارتی داش''تن اطالع''ات ک''افی در زمینه شرایط کارکرد و عملیاتی یک مبدل است. همچنین رعایت اصول و ق''وانین موج''ود در رابط''ه ب''ا راه ان''دازی، از ک''ار ان''داختن و همچ''نین م''راقبت و بازدی''د م''رتب از عملک''رد ی''ک مب''دل ج''زء م''وارد ض''روری در استفاده از یک مبدل می باشد. در این بخش اص''ول کلی ک''ه جهت انج''ام هر یک از اعمال فوق باید رعایت شود ذکر می گردد. قابل توجه است که بسته به شرایط عملیاتی و مسائل خاص هر واحد اص'ول دیگ'ری ن'یز بای'د

رعایت گردد.

119

( :Start –up راه اندازی )7-7 یکی از عملیات مهم در استفاده از یک مبدل حرارتی راه اندازی آن

است. معموالً نکات زیر مرحله به مرحله به اجرا درStart –upبرای انجام عمل

می آید :شیر تخلیه مایع سرد را باز می کنیم . ) قسمت تیوب ( .1شیر ورودی مایع سرد را به آهستگی و تماماً باز می کنیم. .2وقتیکه لوله ها کامالً پر شدند شیر تخلیه مایع سرد را می بندیم. .3شیر خروجی مایع سرد را به اندازه کافی باز می کنیم. .4شیر تخلیه مایع گرم را باز می کنیم. )قسمت پوسته ( .5شیرخروجی مایع گرم را باز می کنیم. .6شیر تخلیه مایع گرم را پس از پر شدن پوسته می بندیم. .7شیر ورودی مایع گرم را به آهستگی باز می کنیم..8 مقدار جریان هر دو مایع را برای دمای مناسب تنظیم می کنیم..9

) بوسیله شیرها ی خروجی( درجه حرارت ها را بدقت بازرسی می کنیم. .10

بستن مبدلها :7 -8 ( نکات زیرShut- Downجهت از کار انداختن یا از سرویس خارج کردن ) باید بترتیب مورد توجه قرار گرفته و انجام شود :

شیر ورودی مایع گرم را به آهستگی و کامالً می بندیم..1شیر خروجی مایع گرم را به آهستگی و کامالً می بندیم..2مایع گرم درون پوسته را از طریق شیر تخلیه خالی می کنیم. .3شیر ورودی مایع سرد را کامالً می بندیم. .4 شیر خروجی مایع سرد را کامالً می بندیم. .5مایع سرد درون لوله ها را از طریق شیر تخلیه خالی می کنیم. .6 اگر مبدلها بطور موازی و سری کار می کنند باید مواظب جریان در.7

مبدلهای دیگر باشیم.

بازرسی مبدلها حرارتی در حین کار کردن :9-7120

پس از در سرویس قرار دادن مبدل حرارتی کن''ترل ، م''راقبت و بازرس''ی شرایط کارکرد و مقایسه آن با شرایط عملی''اتی ط''راحی ش''ده ، هم''واره بعنوان اصلی ترین برنامه برای یک اپرات''ور در نظ''ر گرفت''ه می ش''ود . در مراقبت و بازرسی از یک مبدل حرارتی بط''ور معم''ول م''وارد زی''ر کن''ترل

می گردد:درجه حرارت حین کار را بازرسی می کنیم. .1فشار حین کار را بازرسی می کنیم. .2از ایجاد شوک حرارتی جلوگیری می کنیم. .3در کولر باکس ها ، دسته لوله ها باید در آب غوطه ور باشند..4تیوبهای ری بویلر باید در نفت غوطه ور باشند. .5از هر دو مایع درون مبدل نمونه گیری می کنیم. .6

تمیز کردن مبدل حرارتی :10-7 معموالً بعد از مدتی کار، رسوبات موادی که در داخل و بیرون دس''ته لول''ه ها جریان دارند ته نشین شده ، داخل لوله ها و فواصل بین آنه''ا را پ''ر می نماید ، بطوریکه از ران''دمان تب''ادل ح''رارتی کاس''ته میش''ود. در این موق''ع است که دسته لوله ها را برای تمیز ک''ردن از پوس''ته خ''ارج و بش''رح ذی''ل

اقدام می کنند: شستشو با آب داغ و با سرعت زیاد ، بعض''ی رس''وبات نم''ک دار را در.1

خود حل و تمیز مینماید. رسوبات داخل لوله ها را با برس سیمی استوانه ای شکل ک''ه توس'''ط.2

ماشین هوائی داخل لوله ها چرخانده می شود تراشیده و با فش''ار آببه خارج هدایت می کنیم .

البالی دسته لوله ها را با وسایل مناسبی تراشیده و ب'ا فش''ار آب تم''یز.3می نمایند.

اگر رسوبات طوری باشد ک''ه ب''ا وس''ایل معم''ولی تم''یز نش''ود آن''را در.4 محلول شیمیایی که بتواند رسوبات را در خود حل نماید قرار میدهند و سپس با آب فشار قوی شستشو میدهند. نبای''د لول''ه ه''ا را ت''ک ت''ک ب''ا بخار یا مایع داغ تمیز نمود زیرا باعث انبس''اط نس''بی و معی''وب ش''دن آنها می گردد. معموالً تمیز کردن داخل لوله ها آسانتر از ب''االی آنه''ا از

121

بیرون است لذا مایعی که بیش''تر از خ''ود رس''وبات ب''ر ج''ا میگ''ذارد ازداخل تیوبها عبور میدهند .

آزمایش مبدلهای حرارتی :11-7 آزمایش مبدلهای حرارتی ، به منظور پیدا کردن عیوب و نشتی های زیر

انجام میگیرد :ترک خوردگی یا سوراخ بودن پوسته .1معیوب بودن مسیرهای اتصال قطعات به پوسته .2شل بودن پیچ و مهره های قطعات متصل شده به پوسته .3ها Tubeسوراخ بودن .4نشتی از درز لوله های معیوب .5ها در صفحه لوله ها Tubeعدم پرچ شدن صحیح .6 Tubeنشتی از محل اتصال قطعات به دسته .7

آزمایش بوس''یله م'ایع )معم'والً آب ( و ب'ا فش'ار توص'یه ش''ده انج''ام داده برابر فشار توصیه دستگاه هنگام کار اس''ت و روی5/1میشود. این فشار

تابلوی هر مبدل حرارتی ن''یز نوش''ته ش''ده اس''ت. وس''ایل آزم''ایش ان''واع مب''دلهای ح'رارتی ب'ر حس'ب س'اختمان آنه'ا ب'ا هم دف'رق می کنن'د و ه'ر

کدام،قطعات مربوط به خود برای آزمایش دارند. بطور کلی دو ن''وع آزم''ایش ب''رای پی''دا ک''ردن عی''وب ف''وق روی مب''دلهای

حرارتی انجام می گیرد :

( :Shell Test آزمایش پوسته )12-7 مرحل''ه قبلی انج''ام میگ''یرد.5 تا 1آزمایش پوسته برای پیدا کردن عیوب

پس از آماده کردن یعنی ج''دا ک''ردن مب''دل ح''رارتی از دس''تگاههای دیگ''ر را پر از آب کرده و پس از هواگیریShellتوسط فلنج و نصب فشار سنج،

توسط تلمبه فشار داخل پوس''ته را ب''ا ان''دازه الزم ب''اال می برن''د و س''پسشیر تلمبه را می بندند.

وج''ود نداش''ته باش''د و وس''ایل اض''افی ک''ه ب''ه منظ''ور5 ت''ا 1اگر معایب آزمایش نصب شده اند بدون عیب بوده و درس''ت نص''ب ش''ده باش''ند این

122

فشار باید مدتی ) حدود یک ساعت ( ثابت بماند ، در غیر این ص''ورت بای''دعیب را پیدا و آن را رفع نمود.

ها سوراخی پیدا شود . با موافقت مهندسی عملی''اتTube اگر در نکته : ( کرده و اج''ازه داد ک''هPlug درصد از تعداد کل آنها را کور )15میتوان تا

مبدل حرارتی به کار خود ادامه دهد.

( :Tube Test آزمایش لوله ) 13-7 مرحله قبلی بخص''وص ترکه''ای7 و 6آزمایش لوله برای پیدا کردن عیوب

موئی در زیر لوله ها که ممکن است در آزمایش پوسته بر اثر فشار وارده از ب'یرون ب'ه محی'ط لول'ه روی هم فش'رده ش'ده و معل'وم نگ'ردد، انج'ام میگیرد. پس از آماده کردن مبدل، جهت تست لوله ب''ا تلمب''ه فش''ار داخ''ل لوله ها را به اندازه تعیین شده باال ب''رده و ش''یر راب''ط بین تلمب''ه و دس''تۀ�

وجود نداشته باشد باید فشار تا مدتی7 و 6لوله را می بندند.. اگر عیوب ثابت بماند در غیر این صورت باید عیب را پیدا کرده و رفع نمود.

اگر درز لوله ها به مقدار بسیار کمی ب''از ش''ده باش''د بطوریک''ه فش''ار ب''ه آهستگی کاهش یابد مقدار را ) حدود دو برابر فشار هنگ''ام ک''ار ( ب''اال می برند که درز لوله باز شده و مایع به مق''دار محس''وس از مج''رای خ''روجی

پوسته خارج شود. در غیر این صورت فقط معلوم میشود که لوله یا لوله ها یی درز باز کرده ، ولی معلوم نمی شود که کدام لوله است. جهت پیدا کردن لول''ه معی''وب مجدداٌ آزمایش پوسته را بطریقی که قبالٌ شرح داده شد انج''ام می دهن''د. مایع از بیرون لوله ها وارد لوله ای که درز ب''از ک''رده، می ش''ود و انته''ا ی لوله معیوب بیرون می ریزد و بدین ترتیب لوله های معی''وب ، معل''وم می

گردد.

( :Fouling گرفتگی ) 14-7 به هر رسوب نامطلوب روی سطوح انتقال حرارت که منج''ر ب''ه اف''زایش مقاومت حرارتی و کاهش میزان انتقال حرارت بین سیال سرد و گرم می

عوامل ایجاد گرفتگی در لول''ه ه''ای مب''دلشود گرفتگی اطالق می شود . حرارتی به طور خالصه عبارتند از :

123

رسوب های مواد نامحلول :1-14-7 رسوب مواد نامحلول روی سطح انتقال حرارت باعث تش''کیل مقاومته''ای حرارتی می شود. سولفات کلسیم، سیلیکات منیزیم و کربنات لیتیم نمونه ای از این مواد هستند که با افزایش درج'ه ح'رارت م'یزان انحالل آنه'ا کم

می شود .

رسوبهای ویژه : 2-14-7 زمانی که ذرات معلق جامد مانند )ماسه،غبار و...( در سیال وجود دارن''د ، تجمع آنها باعث تش''کیل رس''وب و نتیج''ه آن اف''زایش م''یزان مق''اومت در

مقابل انتقال حرارت می باشد .

رسوبهای تشکیل دهنده ناشی از واکنشهای شیمیائی : 3-14-7 این رسوبها با انجام واکنش شیمیائی روی س''طح انتق''ال ح''رارت تش''کیلمی شود. نمونه ای از این واکنشها عبارتند از : پلیمریزاسیون ، کراکینگ .

رسوبهای تشکیل شده در اثر خوردگی : 4-14-7 در این مورد سطح انتقال حرارت لوله ها در یک واکنش شیمیائی ش''رکت می کند و خود ب'ه عن'وان ی'ک م'اده اولی''ه عم'ل ک''رده و در ط''ول واکنش

خورده می شود .

رسوبهای بیولوژیکی : 5-14-7 در اثر وجود میکرو ارگانیسم ها و مجاورت آنها در کنار سطوح انتقال

حرارت تشکیل می شود .

( : Freezing رسوبهای ناشی از سرد شدن مایعات ) 6-14-7 این رسوبها در نتیجه عمل انجماد مایعات و سرد کردن مذابها در مبدلهای

حرارتی تشکیل می شود.

رشد رسوبها :15-7124

رشد رسوبها و افزایش ضخامت آنها بستگی به زمان ، شرایط عملیاتی وماهیت فیزیکی سیالهای سرد و گرم دارد .

هزینه های ناشی از تشکیل رسوب : 16-7 کل هزینه های از تش''کیل رس''وب ش''امل ، هزین''ه اولی''ه ، هزین''ه ان''رژی ،

هزینه نگهداری و هزینه خارج کردن از سرویس می باشد .

مالحظات مربوط به طراحی :17-7 در طراحی مبدلهای ح''رارتی ، مق''اومت ح''رارتی تش''کیل ش''ده ناش''ی از

لحاظ می گردد .Fouling Factorsتشکیل رسوب توسط ضرایبی بنام ( نمونه ای از این ضرایب مشخص گردیده است .7-1در جدول شماره )

Rf(m2.k/w)سیال آب دریا و آب تغذیه دیگ بخار ) کمتر

˚50cاز )0001/0

آب دریا و آب تغذیه دیگ بخار ) باالتر˚50cاز )

0002/0

50c˚0001/0 - 0002/0آب رودخانه ) کمتر از )0009/0سوخت مایع 0002/0مایعات مبرد

0001/0بخار ) بدون روغن (( ضرایب رسوب 7-1جدول )

( :Vapor Locking مسدود شدن مسیر حرکت بخار )18-7 در صورتی که در حین عمل انتقال حرارت بین سیالهای س''رد و گ''رم ، در یک مبدل حرارتی پوسته و لوله تغییر فاز بوجود آید ) بویژه عم''ل میع''ان ( و سیالی که تغییر فاز داده ، در قسمت لوله قرار گیرد ، بای'د ب''ه این نکت''ه توجه شود که در اثر میعان بخار و تبدیل بخشی از آن به م''ایع ، ب''ه ت''دریج

این کاهش در سرعت بخار، به چنانچه می شود. سرعت حرکت بخار ، کم اندازه ای باشد که موجب توقف ح''رکت آن گ''ردد ، پدی''ده مس''دود ش''دن

125

( اتفاق می افتد. برای جلوگیری از رخVapor Lockingمسیر حرکت بخار ) دادن پدیده ی مذکور، باید سرعت حرکت را افزایش داد. ضمناً بای''د توج''هداشت که افزایش بیش از حد سرعت بخ''ار م''وجب ب''روز عم''ل طغی''ان )

Floodingخواهد ش''د . بن''ابراین ، در ط''راحی مب''دلهای ح''رارتی و تع''یین ) اندازه مناس''ب س''طح انتق''ال ح''رارت )ان''دازه لول''ه( ، توج''ه ب''ه ت''ذکرات

مذکور بسیار حائز اهمیت است .

خالصه : 19-7 اگر دو سیال تمیز و پاک و بدون رسوب باشند انتخ''اب مح''ل جری''ان.1

آنها در لوله یا پوسته اشکالی ایجاد نمی کن''د و تم''ام ان''واع مب''دلهایحرارتی در این مورد قابل استفاده میباشند.

اگر یکی از دو سیال کثیف باشد بهتر اس''ت در لول''ه ه''ا جری''ان پی''دا.2 کند چون تمیز کردن لوله ها آسان تر اس''ت و در این ص''ورت دس''ته

تیوب نا مناسب است.Uلوله ها باید از نوع مستقیم باشد و نوع - اگر یکی از دو سیال گازی و یا گاز همراه با مایع باشد بهتر است که.3

جریان داشته باشد.Shellدر اگر نگهداری سرما یا گرمای یکی از دو سیال از نظر اقتص''ادی مهم.4

داشته باشد. باشد بهتر است در لوله ها جریان جری''ان دارد زی''ادShellاگر سرما و یا گرمای سیالی که در پوسته ی''ا .5

باشد و نیز اگر کنترل درجه حرارت دو سیال مهم باشد در اینصورتمبدل حرارتی باید عایق بندی شود.

اختالف درجه حرارت در سیال زیاد باشد از مب''دل ح''رارتی ن''وع اگر.6U-Tube ی''ا Floating Headبای''د اس''تفاده نم''ود. اس''تفاده از مب''دل

وقتی ممکن است که پوسته این مبدل حرارتیFixed Headحرارتی ( باشد. Joint Expansionدارای اتصال انبساطی )

( در این ص''ورت آنCondensationاگر هدف مایع کردن بخ''ار باش''د ).7بخار باید وارد پوسته مبدل حرارتی شود.

درج''ه120اگر یکی از دو سیال آب باشد درجه ح''رارت آن نبای''د از ).8 درجه سانتیگراد ( تجاوز کند. چون در غ''یر اینص''ورت50فارنهایت یا

Co3در داخل مبدل حرارتی تشکیل رسوب ) ca .خواهد داد )

126

اگر یکی از دو س''یال در حین تب''ادل ح''رارت درج''ه ح''رارتش بح''دی.9 برسد که امکان تبخیر داشته باشد )مایع( به'تر اس''ت ک'ه از قس'مت

پائین مبدل وارد و از باالی آن خارج شود. قط''ر جری''ان ( کم و اختالف درج''هxاگ''ر حجم دو س''یال ) س''رعت .10

حرارت آنها زیاد باشد در غ''یر این ص''ورت از مب''دلهای ح''رارتی جن''دDoubleمس''یر و ی''ا مب''دل ح''رارتی دو لول''ه ای ) Pipeاس''تفاده )

میشود. اختالف دم''ای متوس''ط لگ''اریتمی جری''ان مخ''الف بزرگ''تر از جری''ان.11

موازی است . و برای1 برای جریان های متقاطع و چند مسیره کمتر از Fمقدار .12

است .1جریان مخالف یک مسیره برابر هرگاه تغییرات دمای یک سیال عبوری از مبدل تقریباً ثابت باشد.13

خواهد بود . یعنی رفتار م'بدل1)ناچیز( ضریب تصحیح آن برابر م'ذکور منف'ل از آرای''ش ج'ریان اس''ت و ای'ن ات'فاق زمانی بوق'وع

میپیوندد که یکی از سیال ها تغییر فاز دهد .

1ضمیمه 127

خالصه روابط کاربردی برای حل مسائل انتقال

Iحرارت

: روشهای انتقال حرارت1-1

q=KAT1−T 2

L( پایدار بعدی یک هدایت( حرارت انتقال

q=hA (T w−T ∞ جابجایی( حرارت انتقالq= f G f ε σA (T 1

4−T24 تشعشعی( حرارت انتقال

σ=5.669∗10−8 wm2 K 4

مقاومت گرمای:2-1

128

مسطح }دیوار هدایت Rcond=L

KA

جابجایی¿ Rconv=1

hA

}استوانه هدایت Rcond=ln

r2

r1

2 πLK

جابجایی¿ Rconv=1

2 πrLh

هدایت}کره Rcond=r2−r1

4 πK r 1r2

جابجایی¿ Rconv=1

2π r2 h

rc=Kh

استوانه بحرانی ¿∗شعاع

rc=2 Kh

کره بحرانی ¿∗شعاع

: پره ها 4-1qo=hAo (T o−T ∞ ) گذاری پره قبلاز حرارت انتقالqT=qf +quf گذاری پره بعداز انتقالحرارتq f =N .η f . h. A f (T o−T ∞ )

quf=hAuf (T o−T ∞ )

ε f =پره با حرارت انتقال پرهنرخ بدون حرارت =نرخانتقال

qToT

qo ضریب تاثیر پره

: انتقال حرارت هدایتی ناپایدار 5-1

Bi=hLc

Kبایو بعد بدون عدد

129

Lc=VA

= سطححجم مشخصه طولFo=

∝tL2 یه فور بعد بدون عدد

Pr=ϑ∝ پرانتل بعد بدون عدد

Nu=hLK عدد بدون بعد ناسلت

ℜ=ρU ∞

❑ Lμ

=ULϑ

رینولدز بعد بدون عدد

St=Nu

RePr=

c f

2=St Pr

23 عدد بدون بعد استانتون

T−T ∞

T i−T ∞=e

−hAmC p

t حرارتی ظرفیتفشرده سیستم در زمان و دما یع توز معادلهاست Bi ≤ حرارتی0.1 فشرده ظرفیت کارگیریسیستم به :نکتهشرط

Q=Qi(1−e

−hAmC p

t)t زمان تا ناپایداریحرارتی شروع لحظه منتقلهاز کلانرژی

Qi=mC p(T i−T حرارت داخلی اولیه جسم نسبت به محیط اطراف(∞

11--66انتقال حرارت جابجایی: انتقال حرارت جابجایی: Re ≤ 5∗105 تخت ،صفحه یانآرام جرRe>5∗105تخت صفحه درهم، یان جرRe ≤ 2300 استوانه داخل ، آرام یان جرRe>2300 داخلاستوانه ، یاندرهم جر

: جریان آرام ، صفحه تخت 1-6-1δV

x= 5

( Re)12

مرزیسرعت لایه ضخامت

130

C f =0.664 Re

−12 ضریب اصطالک

τ w=0.332 R e

−12 . ρU ∞

تنش برشی موضعی 2

NU=hLK

=0.664 Re

12 Pr

13 ( اگر دمای صفحه ثابت باشد )

ناسلت

NU=hLK

=0.417 Re

12 P r

13 باشد) ثابت حرارتی شار ناسلت(اگر عدد

δ v

δt¿P r

13 حرارت مرزی لایه ضخامت

UU∞

= 32 ( y

δv )−12 ( y

δ v )3 پروفیلسرعت

θ=T−T w

T ∞−Twθ=3

2 ( yδt )−1

2 ( yδ t )

3 دما پروفیل

: جریان مغشوش ، صفحه تخت 2-6-1

δ v

x=0.381

Re

15

ضخامت الیه مرزی سرعت

δ v ≈ δt ضخامت الیه مرزی حرارت

C f =0.0592 R e

−15 ضریب اصطالک

NU=hLK

=0. 0296 R e

15 Pr❑

13 باشد) ثابت حرارتی شار اگر ناسلت( عدد

NU|q=const=1/04 NU |T=const باشد) حرارتیثابت شار عددناسلت(اگر

UU∞

=( yδv )

17 پروفیل سرعت

θ=( yδ t )

17 پروفیل دما

131

τ w=0.0296 Re

−15 ( ρ U∞

2 موضعی تنش برشی (

: جریان روی استوانه 7-1

NU=hDK

=C Ren P r

13 ناسلت عدد

( تعیین می شوند6-1از جدول ) . c وn مقدار

محاسبات در داخل استوانه و اشکال بسته برای بعد از طولنکته : . هیدرولیک که جریان کامالً توسعه یافته می باشد دارای اعتبار است

: جریان آرام داخل استوانه 8-1NU=hD

K=4.36 باشد) حرارتیثابت شار عددناسلت(اگر

NU=hDK

باشد)3.66= ثابت دما عددناسلت(اگر

: جریان درهم داخل استوانه 9-1NU=hD

K=0.023 Re

0.8 Prn ناسلت n=0.4 عدد T w>T گرمایش∞ برایn=0.3T w<T ∞ برایسرمایش∆ P=f L

Dρ

U ∞2

2 g افت فشار داخل استوانه

Dh=4 Ac

Pقطر هیدرولیک

: مبدل حرارتی 10-1132

LMTD *روش اختالف دمای متوسط لگاریتمی

q=mh° CPh(T hi−T ho) موازنه انرژی برای سیال گرم

q=mc° CP c(Tco−Tci) برای سیال سرد موازنه انرژی

q=F . U . A . ∆T m

∆ T m=∆ T i−∆T o

ln∆ T i

∆T o

دمایمتوسط اختلاف

}جریان موافق ∆T i ¿Thi−Tci

∆ T o¿Tho−Tco

}جریان مخالف ∆ T i ¿Thi−Tco

∆ T o=Tho−Tci

U= 11hi

+ 1ho

حرارت کلیانتقال ضریب

A=πDLلوله جانبی سطحm°= ρVA لوله از عبوری جرمRDi

=4 mi

°

π Di μ رینولدز داخل لوله

RD°=4 mo

°

μ ( Do+Di ) π رینولدز داخل پوسته

L= qFUπ Di ∆ Tm طول مورد نیاز مبدل

133

2ضمیمه

نمودارهای کاربردی برای حل مسائل انتقال

Iحرارت 134

135

نمودار )1-2)

136

نمودار )3-2)

( بازده پره های محیطی با 2-2نمودار )پروفیل مستطیلی

137

نمودار )4-2)

138

نمودار )5-2)

139

( دما به عنوان تابعی از دمای مرکز صفحه بی نهایت به2-6نمودار )2Lضخامت

نمودار )7-2)

140

(2-8نمودار )

نمودار )9-2)

141

نمودار )11-2)

نمودار )10-2)

142

( تفکیک سیستم های چند بعدی به چند2-12نمودار ) سیستم یک بعدی

( عدد ناسلت برای جریان آرام کامالً توسعه یافته در یک2-1جدول ) مجرای حلقوی

143

144

ج

145

نمودار )13-2)

146

( ضریب تصحیح مبدل جریان متقاطع تک مسیره که یکی از سیال ها2-16نمودار ) مخلوط و دیگری غیر مخلوط

:منابع1- Holman J.p Heat Transfer2- Introduction to Heat Transfer F.P INCROPERA , D.P DEWITT 3- Chapman J.A Heat Transfer 2nd The macmillan 4- Kern D.Q process Heat Transfer5- Ozisik M.N Heat Transfer A Basic Approach 6- Cengel , yunns A Heat Transfer A practical approach

- دکتر سید حسین نوعی باغبان و دکتر محمد خشنودی7انتقال حرارت ، اصول و کاربرد

- دکتر محمد چالکش امیری8اصول انتقال حرارت

147