sveu ČiliŠte u splitu fakultet elektrotehnike, … · sveu ČiliŠte u splitu fakultet...
TRANSCRIPT
SVEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
Damir Čavka
NAPREDNO NUMERIČKO MODELIRANJE SLOŽENIH TANKOŽIČANIH STRUKTURA U
ELEKTROMAGNETIZMU
DOKTORSKA DISERTACIJA
Split, 2011.
SVEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
Damir Čavka
Napredno numeričko modeliranje složenih tankožičanih struktura u elektromagnetizmu
DOKTORSKA DISERTACIJA
Split, 2011.
ii
IMPRESUM/BIBLIOGRAFSKI PODACI
Doktorska disertacija je izrađena na Zavodu za elektroniku,
Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu
Mentor: dr.sc. Dragan Poljak, red.prof.
Rad br. 66
iii
PODACI O OCJENI I OBRANI DISERTACIJE
Povjerenstvo za ocjenu doktroske disertacije:
1. Dr. sc. Antonio Šarolić, izv.prof., predsjednik (FESB, Split)
2. Dr. sc. Dragan Poljak, red. prof., mentor (FESB, Split)
3. Dr. sc. Siniša Antonijević, doc., član (PMF, Split)
Povjerenstvo za obranu doktroske disertacije:
1. Dr. sc. Antonio Šarolić, izv.prof., predsjednik (FESB, Split)
2. Dr. sc. Dragan Poljak, red. prof., mentor (FESB, Split)
3. Dr. sc. Siniša Antonijević, doc., član (PMF, Split)
4. Dr. sc. Ivica Poljak, izv. prof., član (FESB, Split)
5. Dr. sc. Ranko Goić, doc., član (FESB, Split)
Disertacija obranjena dana: 07.srpnja 2011.
iv
SAŽETAK
U ovom radu razvijen je napredni elektromagnetski model za analizu složenih tankožičanih struktura primjenom teorije antena u frekvencijskom području. Model se temelji na sustavu spregnutih integro-diferencijalnih jednadžbi Pocklington-ovog tipa za složene žičane strukture iznad ili unutar konačno vodljivog poluprostora. Utjecaj granice uzet je u obzir rigorozno preko Sommerfeld-ovih integrala. Ovako formuliran sustav integro-diferencijalnih jednadžbi je riješen Galerkin-Bubnovljevom inačicom indirektne metode rubnih elemenata (GBIMRE) uz korištenje dvočvornih i tročvornih izoparametarskih rubnih elemenata. Implementirani su koncepti kružnog magnetskog prstena i kružne magnetske antene kao naponski upravljanih pobuda složenih žičanih struktura koje se mogu postaviti i na otvoreni kraj žice. U okviru analize parametara zračečih i raspršnih žičanih struktura detaljno je analiziran proračun napona između bilo koje dvije točke homogenog poluprostora, uslijed struja induciranih duž složene žičane strukture. Na temelju Poynting-ovog teorema i GBIMRE-a razvijen je efikasan postupak proračuna uprosječene izračene snage složene žičane konfiguracije. Na koncu je detaljno proučen koncept ulazne impedancije, te su na temelju prethodne analize razvijeni različiti postupci proračuna ulazne impedancije u ovisnosti o vrsti pobude. KLJUČNE RIJEČI: teorija žičanih antena, Galerkin-Bubnovljeva indirektna metoda rubnih elemenata, elektromagnetizam, kružni magnetski prsten, kružna magnetska antena, ulazna impedancija, antena, uzemljivač, kanal groma, prijenosna linija.
v
ABSTRACT
This work deals with an advanced numerical modeling of arbitrary thin wire structures in electromagnetics using antenna theory in the frequency domain. The model is based on the set of coupled integro-differential equations of Pocklington type for arbitrary thin wire structure above or below lossy halfspace, respectively. The interface effects are taken into account through the exact Sommerfeld integral formulation. The corresponding set of Pocklington integro-differential equations, are numerically handled via the Galerkin-Bubnov variant of the indirect Boundary Element Method (GB-IBEM) featuring the use of isoparametric linear and quadratic elements for the current distribution approximation. The concepts of magnetic frill and magnetic ring antenna as voltage-controlled excitations that can be placed on the open end of wire are presented. Within the analysis of the radiated and scattered parameters of wire structures, a detail analysis of voltage, due to the current flowing along a complex wire structure, is carried out. Also, on the basis of the Poynting theorem and GB-IBEM a simple method for calculating the average radiated power of the complex wire system is developed. Finally, based on previous inquiry, a detail analysis of the input impedance is presented along with various techniques for calculating the input impedance. KEYWORDS: wire antenna theory, Galerkin-Bubnov indirect boundary element method, electromagnetics, magnetic frill, magnetic ring antenna, input impedance, antenna, grounding systems, lightning channel, transmission line.
vii
Svima koji su na bilo koji način doprinijeli nastanku ove disertacije:
I can no other answer make, but, thanks, and thanks. William Shakespeare
If we want to solve a problem that we have never solved before, we must leave the door to the unknown ajar.
Richard Feynman
viii
SADRŽAJ POPIS TABLICA .....................................................................................................................x
POPIS SLIKA..........................................................................................................................xi
1. UVOD ...............................................................................................................................1
1.1. Dosadašnja istraživanja ..................................................................................................4
1.2. Ciljevi i organizacija disertacije .....................................................................................5
1.3. Znanstveni doprinos .......................................................................................................9
2. FORMULACIJA ...........................................................................................................11
2.1. Sustav Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi .........................................12
2.2. Sustav Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi za konfiguraciju više
žica proizvoljnog oblika .....................................................................................................18
2.3. Modeliranje pobude......................................................................................................20
2.3.1. Idealni naponski izvor ............................................................................................20
2.3.2. Idealni strujni izvor.................................................................................................21
2.3.3. Upadno električno polje ravnog vala......................................................................22
2.4. Modeliranje površinske impedancije............................................................................26
2.5. Proračun električnog i magnetskog polja .....................................................................29
2.5.1. Proračun električnog polja......................................................................................29
2.5.2. Proračun magnetskog polja ....................................................................................29
3. NUMERIČKO RJEŠENJE ..........................................................................................32
3.1. Numeričko rješenje skupa spregnutih Pocklington-ovih integro-diferencijalnih
jednadžbi.............................................................................................................................32
3.1.1. Izvod nejake formulacije ........................................................................................34
3.1.2. Primjena rubnih elemenata .....................................................................................39
3.2. Proračun električnog polja............................................................................................47
3.3. Proračun magnetskog polja ..........................................................................................50
3.4. Numerički primjeri .......................................................................................................51
3.4.1. Primjer 1 – Dvije kružne antene .............................................................................51
3.4.2. Primjer 2 - Dalekovod ............................................................................................55
3.4.3. Primjer 3 – Mrežasti uzemljivač.............................................................................63
4. KONCEPT KRUŽNOG MAGNETSKOG PRSTENA I JEDNOSTAVNE
MAGNETSKE KRUŽNE ANTENE ...........................................................................69
4.1. Koncept kružnog magnetskog prstena..........................................................................69
ix
4.2. Koncept jednostavne magnetske kružne antene ...........................................................77
4.3. Veza između jednostavnog naponskog izvora i jednostavne magnetske kružne
antene..................................................................................................................................81
4.4. Numeričko rješenje i primjeri.......................................................................................83
4.4.1. Predajna antena.......................................................................................................84
4.4.2. Uzemljivač..............................................................................................................89
4.4.3. Model povratnog udara u kanalu groma.................................................................99
5. PARAMETRI ZRAČEĆE I/ILI RASPRŠNE ŽIČANE STRUKTURE................109
5.1. Proračun napona .........................................................................................................109
5.2. Proračun izračene snage .............................................................................................122
5.2.1. Energija i snaga elektromagnetskih valova ..........................................................122
5.2.2. Vremenski harmonijska EM polja........................................................................126
5.2.3. Uprosječena snaga antene.....................................................................................129
5.2.4. Proračun uprosječene snage sustava žica .............................................................130
5.3. Proračun ulazne impedancije......................................................................................136
5.4. Numerički primjeri .....................................................................................................144
5.4.1. Proračun napona ...................................................................................................144
5.4.1.1. Jednostavni uzemljivač ...........................................................................144 5.4.1.2. Složeni uzemljivač ..................................................................................146
5.4.2. Proračun ulazne impedancije................................................................................151
5.4.2.1. Uzemljivač ..............................................................................................151 5.4.2.2. Predajna antena .....................................................................................167
6. ZAKLJUČAK ..............................................................................................................176
7. LITERATURA ............................................................................................................181
PRILOG A FOURIER-OVA TRANSFORMACIJA ....................................................187
A.1. Kontinuirana Fourier-ova transformacija ...................................................................187
A.2. Diskretna Fourier-ova transformacija.........................................................................188
A.3. Približna Fourier-ova transformacija..........................................................................190
A.4. Numerički primjeri .....................................................................................................194
A.5. Literatura ....................................................................................................................205
PRILOG B NUMERIČKO RJEŠAVANJE SOMMERFELD –ovih INTEGRALA..206
B.1. Literatura ....................................................................................................................210
PRILOG C MATEMATIČKI DOKAZ ..........................................................................211
x
POPIS TABLICA
Tablica 4.1 Vrijednosti vektora desne strane za različite pobude............................................84
Tablica 4.2 Vrijednosti vektora desne strane za različite pobude u slučaju modeliranja
uzemljivača .............................................................................................................90
Tablica 5.1 Sažeti pregled načina proračuna ulazne impedancije ........................................143
xi
POPIS SLIKA
Slika 2.1 Žica proizvoljnog oblika u homogenom prostoru .....................................................13
Slika 2.2 Žica proizvoljnog oblika iznad granice dvaju homogenih poluprostora ..................16
Slika 2.3 Napajanje dipol antene idealnim naponskim izvorom ..............................................21
Slika 2.4 Idealni strujni izvor ...................................................................................................22
Slika 2.5 Upadni, reflektirani i transmitirani val .....................................................................23
Slika 2.6 Tanka žica s tankim dielektričnim izolatorom ...........................................................28
Slika 3.1 Linearni izoparametarski element i pripadna transformacija koordinata................40
Slika 3.2 Kvadrtični izoparametarski element i pripadna transformacija koordinata ............41
Slika 3.3 Konfiguracija kružnih antena 1.................................................................................51
Slika 3.4 Konfiguracija kružnih antena 2.................................................................................52
Slika 3.5 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 1.............................................52
Slika 3.6 Raspodjela struje duž pasivne antene u konfiguraciji 1 ............................................53
Slika 3.7 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 2.............................................53
Slika 3.8 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 1 za različiti broj linearnih
elemenata...................................................................................................................54
Slika 3.9 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 1 za različiti broj
kvadratičnih elemenata..............................................................................................55
Slika 3.10 Razmještaj vodiča dalekovoda.................................................................................56
Slika 3.11 Raspodjela struje na prvom vodiču .........................................................................56
Slika 3.12 Raspodjela struje na drugom vodiču .......................................................................57
Slika 3.13 Raspodjela struje na trećem vodiču ........................................................................57
Slika 3.14 Raspodjela struje na zaštitnom vodiču ....................................................................58
Slika 3.15 Raspodjela struje na prvom vodiču .........................................................................59
Slika 3.16 Raspodjela struje na drugom vodiču .......................................................................59
Slika 3.17 Raspodjela struje na trećem vodiču ........................................................................60
Slika 3.18 Raspodjela struje na zaštitnom vodiču ....................................................................60
Slika 3.19 Raspodjela struje na prvom vodiču sa ili bez provjesa ...........................................61
Slika 3.20 Raspodjela struje na drugom vodiču sa ili bez provjesa .........................................61
Slika 3.21 Raspodjela struje na trećem vodiču sa ili bez provjesa ..........................................62
Slika 3.22 Raspodjela struje na zaštitnom vodiču sa ili bez provjesa ......................................62
Slika 3.23 Postotna greška apsolutnog iznosa struje ukoliko se zanemari provjes .................63
xii
Slika 3.24 Geometrija mrežastog uzemljivača .........................................................................64
Slika 3.25 Raspodjela efektivne vrijednosti ukupnog električnog polja na površini zemlje
(50Hz centralna pobuda)...........................................................................................64
Slika 3.26 Raspodjela efektivne vrijednosti x-komponente električnog polja na površini
zemlje (50Hz centralna pobuda)................................................................................65
Slika 3.27 Raspodjela efektivne vrijednosti ukupnog električnog polja na površini zemlje
(0.5MHz centralna pobuda) ......................................................................................65
Slika 3.28 Raspodjela efektivne vrijednosti x-komponente električnog polja na površini
zemlje (0.5MHz centralna pobuda) ...........................................................................66
Slika 3.29 Raspodjela efektivne vrijednosti ukupnog električnog polja na površini zemlje
(0.5MHz kutna pobuda) .............................................................................................66
Slika 3.30 Raspodjela efektivne vrijednosti x-komponente električnog polja na površini
zemlje (0.5MHz kutna pobuda)..................................................................................67
Slika 3.31 Usporedba x komponente električnog polja na različitim frekvencijama ...............68
Slika 4.1 Monopol napajan koaksijalnom linijom i pripadajući magnetski prsten ..................70
Slika 4.2 Polje magnetskog prstena..........................................................................................77
Slika 4.3 Antena pobuđena jednostavnom magnetskom kružnom antenom .............................78
Slika 4.4 Polje kružne magnetske antene..................................................................................80
Slika 4.5 Veza između jednostavnog naponskog izvora i magnetske antene............................81
Slika 4.6 Usporedba vrijednosti vektora desne strane za različite pobude..............................85
Slika 4.7 Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija) ..............................86
Slika 4.8 Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija i parni broj
elemenata) .................................................................................................................86
Slika 4.9 Raspodjela struje za različite pobude (kvadratična aproksimacija) .........................87
Slika 4.10 Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija i necentralno
napajanje) ..................................................................................................................88
Slika 4.11 Ovisnost raspodjele struje o vanjskom radijusu magnetskog prstena b..................89
Slika 4.12 Pobuda na otvorenom kraju žice .............................................................................90
Slika 4.13 Usporedba normaliziranih vrijednosti vektora desne strane za različite pobude u
slučaju modeliranja uzemljivača ...............................................................................91
Slika 4.14 Raspodjela struje na uzemljivaču od 1m za različite pobude pri 5MHz .................92
Slika 4.15 Raspodjela struje na uzemljivaču od 1m za različite pobude pri 50MHz ...............92
Slika 4.16 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5kHz.................93
Slika 4.17 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5MHz ...............93
xiii
Slika 4.18 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 20MHz .............94
Slika 4.19 Raspodjela struje na uzemljivaču od 50m za različite pobude pri 5kHz.................95
Slika 4.20 Raspodjela struje na uzemljivaču od 50m za različite pobude pri 5MHz ...............95
Slika 4.21 Raspodjela struje na uzemljivaču od 1m za različite pobude pri 50MHz
(kvadratična aproksimacija) .....................................................................................96
Slika 4.22 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5MHz
(kvadratična aproksimacija) .....................................................................................96
Slika 4.23 Raspodjela struje na uzemljivaču od 50m za različite pobude pri 5MHz
(kvadratična aproksimacija) .....................................................................................97
Slika 4.24 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5MHz i
0.01 /S mσ = ............................................................................................................98
Slika 4.25 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5MHz i
0.0001 /S mσ = ........................................................................................................98
Slika 4.26 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5MHz i
100; 0.001 /r S mε σ= = ..........................................................................................99
Slika 4.27 Model povratnog udara munje u kanalu groma a)Model sa strujnim izvorom;
b)Model s magnetskom antenom .............................................................................101
Slika 4.28 Valni oblik struje baze ...........................................................................................102
Slika 4.29 Frekvencijski spektar struje kanala groma pri povratnom udaru 1km od baze za
idealno vodljivi kanal (linearna i logaritamska skala) ...........................................102
Slika 4.30 Frekvencijski spektar struje kanala groma pri povratnom udaru 1km od baze za
kanal s gubitcima (linearna i logaritamska skala) ..................................................103
Slika 4.31 Vremenska ovisnost struje kanala groma na različitim visinama za idealno
vodljivi kanal ...........................................................................................................104
Slika 4.32 Vremenska ovisnost struje kanala groma na različitim visinama za kanal s
gubitcima .................................................................................................................105
Slika 4.33 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 500m za idealno vodljivi kanal .....106
Slika 4.34 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 5km za idealno vodljivi kanal .......106
Slika 4.35 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 500m za kanal s gubitcima............107
Slika 4.36 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 5km za kanal s gubitcima ..............108
Slika 5.1 Antena i ekvivalentni krug .......................................................................................137
Slika 5.2 Integracija pri proračunu ulaznog napona .............................................................140
Slika 5.3 Jednostavni horizontalni uzemljivač i profil proračuna .........................................144
xiv
Slika 5.4 Napon na površini zemlje duž profila......................................................................145
Slika 5.5 Frekvencijski spektar ulaznog napona ....................................................................146
Slika 5.6 Prostorno-vremenska ovisnost napona u odnosu na daleku zemlju na žicama
mrežastog uzemljivača.............................................................................................147
Slika 5.7 Geometrija uzemljivača vjetroagregata ..................................................................148
Slika 5.8 Strujni impuls u vremenu - logaritamska skala .......................................................149
Slika 5.9 Prostorno-vremenska ovisnost napona na površini zemlje iznad uzemljivača
vjetroagregata uslijed udara munje ........................................................................150
Slika 5.10 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s
BCINTZ....................................................................................................................152
Slika 5.11 Tranzijentna impedancija uzemljivača proračunata s BCINTZ............................152
Slika 5.12 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s
BCMZ ......................................................................................................................153
Slika 5.13 Tranzijentna impedancija uzemljivača proračunata s BCMZ...............................153
Slika 5.14 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s
BCPTZ .....................................................................................................................154
Slika 5.15 Tranzijentna impedancija uzemljivača proračunata s BCPTZ .............................154
Slika 5.16 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije uzemljivača
proračunate s različitom metodama s 20 elemenata ...............................................155
Slika 5.17 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača proračunate s različitim
metodama s 20 elemenata .......................................................................................155
Slika 5.18 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije uzemljivača
proračunate s različitom metodama sa 100 elemenata ...........................................156
Slika 5.19 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača proračunate s različitim
metodama s 20 elemenata .......................................................................................156
Slika 5.20 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s
MFZ .........................................................................................................................157
Slika 5.21 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s
MFPTZ ....................................................................................................................157
Slika 5.22 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije uzemljivača
proračunate s različitom metodama s 20 elemenata ...............................................158
Slika 5.23 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača proračunate s različitim
metodama s 20 elemenata .......................................................................................158
xv
Slika 5.24 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s
MAZ .........................................................................................................................159
Slika 5.25 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s
MAPTZ ....................................................................................................................159
Slika 5.26 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije uzemljivača
proračunate s različitom metodama uz aproksimaciju s 20 elemenata...................160
Slika 5.27 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača proračunate s različitim
metodama uz aproksimaciju s 20 elemenata ...........................................................160
Slika 5.28 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača od 10m proračunate s
različitim metodama uz aproksimaciju s 20 elemenata...........................................161
Slika 5.29 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača od 1m proračunate s različitim
metodama uz aproksimaciju s 10 elemenata ...........................................................162
Slika 5.30 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača od 50m proračunate s
različitim metodama uz aproksimaciju s 50 elemenata...........................................162
Slika 5.31 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača za σ1=0.001S/m i
centralnu pobudu .....................................................................................................163
Slika 5.32 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača za σ1=0.001S/m i
kutnu pobudu ...........................................................................................................164
Slika 5.33 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača za σ2=0.01S/m i
centralnu pobudu .....................................................................................................164
Slika 5.34 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača za σ2=0.01S/m i
kutnu pobudu ...........................................................................................................165
Slika 5.35 Tranzijentna impedancija mrežastog uzemljivača za različite vodljivosti zemlje i
mjesta pobude ..........................................................................................................166
Slika 5.36 Tranzijentni ulazni napon mrežastog uzemljivača za različite vodljivosti zemlje i
mjesta pobude ..........................................................................................................166
Slika 5.37 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije dipola napajanog idealnim
naponskim izvorom ..................................................................................................167
Slika 5.38 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije ................................168
Slika 5.39 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunate za različite
brojeve elemenata metodom MFZ ...........................................................................169
Slika 5.40 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunate za različite
brojeve elemenata metodom MAPTZ ......................................................................169
xvi
Slika 5.41 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunate za različite
pobude .....................................................................................................................170
Slika 5.42 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunata linearnim i
kvadratičnim elementima.........................................................................................171
Slika 5.43 Složena antena .......................................................................................................172
Slika 5.44 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije ................................173
Slika 5.45 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunate za različite
brojeve elemenata metodom MFPTZ ......................................................................174
Slika 5.46 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije proračunate
različitim metodama ................................................................................................174
Slika 5.47 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije proračunate
različitim metodama ................................................................................................175
Slika A.1 Strujni impuls u vremenu ........................................................................................194
Slika A.2 Frekvencijski spektar strujnih impulsa ...................................................................195
Slika A.3 Postotna razlika u amplitudi (0.5/10µs)..................................................................196
Slika A.4 Postotna razlika u amplitudi (1/50µs).....................................................................197
Slika A.5 Postotna razlika u amplitudi za FFT (T=0.1s;T=1s;T=10s)..................................199
Slika A.6 IFT signala 0.5/10µs ...............................................................................................200
Slika A.7 Postotna greška približne IFT za 0.5/10µs .............................................................201
Slika A.8 IFT signala 1/50µs ..................................................................................................202
Slika A.9 Postotna greška približne IFT za 1/50µs ................................................................203
Slika A.10 Postotna greška FFT za 0.5/10µs .........................................................................204
Slika B.1 Kontura za proračun integrala s Bessel-ovom funkcijom.......................................207
Slika B.2 Kontura za proračun integrala s Hankel-ovom funkcijom .....................................209
Slika B.3 Kontura za proračun integrala s Hankel-ovom funkcijom i Re( ) Im( )k k− − ......210
Uvod
1. UVOD
Modeliranje složenih žičanih struktura predstavlja izuzetno važno područje istraživanja
u elektromagnetizmu u zadnjih stotinjak godina, ne samo u teoriji i primjeni žičanih antena,
već i u brojnim drugim primjenama u inženjerskoj praksi.
Iako su tijekom posljednjih nekoliko desetljeća napravljeni značajni pomaci u
modeliranju elekromagnetskih žičanih struktura, može se očekivati da će se brzi napredak
u ovom području i u budućnosti nastaviti. Naime, modeliranje pruža mogućnost simulacije
elektromagnetskog ponašanja sustava za širok raspon parametara koji uključuju različite
početne i granične uvjete, tipove pobude kao i različite konfiguracije razmatranog sustava.
Tu je važno imati na umu da je za modeliranje potrebno mnogo manje vremena i značajno
manje financijskih sredstava nego što bi bilo potrebno da se napravi i testira prototip.
Postoji nekoliko mogućih klasifikacija računalnih elektromagnetskih modela [1],[2]. S
obzirom na teorijsku podlogu ti modeli se mogu podijeliti na:
• modele temeljene na teoriji krugova s koncentriranim električnim parametrima
[3],[4];
• modeli prijenosnih linija sa distribuiranim električnim parametrima, gdje se
uzima u obzir elektromagnetska sprega na niskim frekvencijama [5] – [8];
• elektromagnetske modele temeljene na teoriji antena koji sadržavaju najmanje
aproksimacija te direktno uzimaju u obzir i efekt zračenja [1],[9] – [14].
Općenito, modeli zasnovani na teoriji krugova su najjednostavniji za implementaciju,
pogotovo za složenije realne sustave, međutim s obzirom na karakter aproksimacija na
kojima se temelje daju i najmanje točne rezultate. Modeli zasnovani na teoriji prijenosnih
linija pogodni su za modeliranje velikog broja problema u EMC, ali su općenito ograničeni
na duže žice, dok za vodiče kraćih duljina u pravilu ne daju zadovoljavajuće rezultate.
Osnovni problem metode prijenosnih linija je zanemarenje efekta zračenja koji postaje
značajan na višim frekvencijama (nekoliko MHz i više), tako da je njena primjena
ograničena na niže frekvencije. Naposljetku, modeli temeljeni na teoriji antena sadrže
najmanje aproksimacija, pa su slijedom toga i najtočniji. Cijena ove točnosti je relativna
složenost matematičke formulacije kao i numeričkog rješenja. Ta složenost dovodi i do
Uvod
2
razmjerno dugog vremena računanja posebno ako se radi o dugim i složenim
konfiguracijama.
Uzimajući u obzir različite karaktere izvora elektromagnetskih pojava,
elektromagnetski modeli se mogu podijeliti na probleme kontinuiranog vala (eng.
Continuous wave problems) i tranzijentne probleme.
U skladu s tim metode rješavanja se mogu klasificirati kao frekvencijske ili vremenske
[1], [2]. Modeliranje u frekvencijskom području se uglavnom primjenjuje za više izvora ali
na istoj frekvenciji, dok je kod modeliranja u vremenskom području riječ o jednom izvoru
ali u čitavom frekvencijskom spektru [10]. U načelu je moguća transformacija iz jednog
područja u drugo, najčešće u vidu Fourierove transformacije, ali ponekad ta transformacija
nije moguća ili je pak jako teško izvediva, posebice za visokorezonatne strukture. Kriterij
odabira između ova dva pristupa isključivo ovisi o tipu razmatranog problema i nije
jednoznačno određen. Generalno se može kazati da [1]:
• vremenski pristup daje bolji uvid u fizikalnu pozadinu problema, iako se
rezonatne karakteristike isključivo vide u frekvencijskom spektru;
• nelinearnosti se lakše modeliraju u vremenskom području;
• formulacija u frekvencijskom području je relativno jednostavnija, što
omogućuje lakšu analizu složenijih struktura;
• za složene strukture dugo vrijeme računanja postaje ozbiljan problem za tehnike
u vremenskom području;
• rezultati u vremenskom području pate od problema nestabilnosti puno više nego
u frekvencijskom području.
Jedna od bitnih prednosti frekvencijskog pristupa je ta što su sve norme u području
elektromagnetizma i elektromagnetske kompatibilnosti specificirane u frekvencijskom
području, te je potrebna precizna informacija u frekvencijskom području. Zbog
jednostavnije formulacije robusni kodovi, zasnovani na metodama u frekvencijskom
području, široko su rasprostranjeni na tržištu. Naime, efikasna formulacija u
frekvencijskom području se može uspješno koristiti za mnoge aplikacije od stacionarnih do
tranzijentnih.
Uvod
3
Postavljeni modeli se mogu rješavati analitičkim i/ili numeričkim metodama. Općeniti
odnos između analitičkih i numeričkih metoda se može opisati kao [1]:
• analitičke metode omogućavaju egzaktno rješenje, ali su ograničene na uski
pojas primjena uglavnom vezanih za jednostavne geometrije s visokim
stupnjem simetrije;
• numeričke metode su primjenljive na gotovo sve znanstvene i tehničke
probleme, ali daju približne rezultate (do određenog stupnja), koji najčešće
ovise o samom modelu i prostorno i/ili vremenskoj diskretizaciji. Osnovni je
problem vrednovanje dobivenih numeričkih rezultata, kao i nerijetko dobivanje
tvz. nefizikalnih (lažnih) rješenja.
Najčešće korištene analitičke metode u elektromagnetizmu su: separacija varijabli,
razvoji u redove, konformna preslikavanja , integralne transformacije [1].
S druge strane najčešće korištene numeričke metode u elektromagnetizmu su: metoda
konačnih diferencija (MKD), metoda konačnih elemenata (MKE), metoda rubnih
elemenata (MRE) i metoda momenata (MM).
MKD i MKE spadaju u metode diskretizacije domene i načelno se koriste za rješavanje
diferencijalnih jednadžbi. MRE je metoda diskretizacije granice, a poznate su dvije
inačice: direktna i indirektna. Direktni pristup se izvodi preko koncepta polja
(diferencijalni pristup) i to kada su izvori polja poznati, dok je indirektni pristup vezan za
integraciju po nepoznatim izvorima duž granice (integralni pristup). Indirektna inačica
metode rubnih elemenata se uz metodu momenata najčešće koristi za rješavanje integralnih
i integro-diferencijalnih jednadžbi u elektromagnetizmu.
Modeliranje složenih tankožičanih struktura u elektromagnetizmu je jako složeno
područje koje konstantno zaokuplja pažnju znanstvenika i istraživača diljem svijeta. Ono
zahtjeva izuzetno poznavanje kompleksnih elektromagnetskih pojava u prirodi,
elektromagnetske teorije, te numeričkih alata koji se koriste za rješavanje tih problema. Da
bi se obuhvatio što veći skup problema, u ovom radu će se koristiti najopćenitiji pristup
preko teorije antena, budući da sami model unosi najmanje aproksimacija te stoga dovodi
do najveće točnosti. Pri odabiru domene logičan izbor pada na frekvencijsko područje, jer
je direktno vremensko modeliranje složenih struktura primjenom teorije antena
neusporedivo složenije i ograničeno na određeni skup parametara [10]. Iako na tržištu te u
znanstvenoj i stručnoj literaturi postoji mnoštvo robusnih i dobrih kodova, postoje određeni
Uvod
4
problemi koji još uvijek nisu riješeni na zadovoljavajući način, o čemu će više biti riječi u
nastavku teksta. Pri odabiru metodologije rješavanja, jedini izbor pada na numeričke
metode budući da su analitičke metode primjenjive samo na jednostavnije geometrije s
visokim stupnjem simetrije.
1.1. Dosadašnja istraživanja
Može se kazati da je modeliranje elektromagnetskih pojava započelo kad je James
Clerk Maxwell formulirao svoje jednadžbe elektrodinamike sredinom 19. stoljeća [15]. Od
tada do danas objavljeno je nebrojeno radova i istraživanja iz širokog područja
elektromagnetizma. Zbog toga će se u ovom radu izložiti samo kratki pregled dijela radova
usko vezanih uz temu doktorske disertacije, a tiču se modeliranja tankožičanih struktura u
elektromagnetizmu, i to u frekvencijskom području.
Razvoj modela počinje s formuliranjem integro-diferencijalne jednadžbe, u
frekvencijskom području, za struju koja protječe ravnom tanko-žičanom antenom, tvz.
Pocklington-ove jednadžbe koju je istoimeni autor izveo krajem 19. stoljeća [16]. Henry C.
Pocklington je također u tom radu predstavio i prvo približno rješenje postavljene
jednadžbe. Veliki korak naprijed u tridesetim godinama 20. stoljeća ostvario je Erik Hallen
koji je iz Pocklington-ove jednadžbe izveo novi tip jednadžbe strogo vezan za tanko-žičane
strukture.
Numeričko modeliranje žičanih struktura u frekvencijskom području je započelo
šezdesetih godina prošlog stoljeća radom K. K. Mei-a [17]. U radu su izvedene određene
varijante Pocklington-ove i Hallen-ove jednadžbe, te predložene numeričke metode
njihovog rješavanja. Danas se te metode nazivaju kolokacijom u točkama, ili
podešavanjem u točkama (eng. point matching). Također iz tog doba valja izdvojiti i
radove Harrington-a [18]-[21] koji je postavio temelje suvremene metode momenata.
Značajni doprinosi numeričkom rješavanju spomenutih jednadžbi ostvareni su
sedamdesetih godina radovima Silvester-a i Chen-a [22], [23] koji su predložili tzv. jaku
formulaciju konačnim elementima, dok su Butler i Wilton [24], [25] predložili nekoliko
tehnika metode momenata za rješavanje Pocklington-ove i Hallen-ove jednadžbe.
U posljednjih petnaestak godina metoda rubnih elemenata često se koristi za rješavanje
problema u elektromagnetizmu [26]. Galerkin-Bubnovljeva inačica indirektne metode
rubnih elemenata - GBIMRE (eng. Galerkin-Bubnov Indirect Boundary Element Method –
GB-IBEM) predstavljena u [27] postala je vrlo prikladna metoda rješavanja integralnih i
Uvod
5
integro-diferencijalnih jednadžbi kombinacijom klasičnih rubnih metoda rješavanja
integralnih jednadžbi i nekih numeričkih procedura proizašlih iz metode konačnih
elemenata. Naime, do tada integro-diferencijalne jednadžbe za tanke žice su se uglavnom
rješavale pomoću tvz. projektivnih metoda [20]-[23] često zvanih jakim formulacijama. Pri
tome se javlja problem kvazisingularnosti Green-ove funkcije [24], [25]. Primjenom
GBIMRE-a taj problem se eliminira te se dobiva tzv. nejaka formulacija.
Usprkos mnogim metodama koje se danas koriste u modeliranju elektromagnetskih
pojava, nema definitivnog odgovora na pitanje koja je metoda općenito najbolja. Primat
koji se daje određenoj metodi ovisi o fizikalno-matematičkim aspektima formulacije
promatranog problema. Ipak, metoda momenata je najraširenija i najprihvaćenija metoda
za rješavanje problema formuliranih integralnim jednadžbama [28]. Izvrstan pregled
numeričkih metoda korištenih u računalnom elektromagnetizmu do kraja 80-tih godina 20.
stoljeća se može pronaći u [29].
Osim u pogledu numeričke metodologije rješavanja, značajni doprinosi su ostvareni i u
samoj formulaciji. Najznačajniji napredak se odnosi na proširenje originalne Pocklington-
ove formulacije na problem koji uključuje konačno vodljivi poluprostor [30]-[34].
Od važnijih primjena teorije tankožičanih antena u elektromagnetizmu valja izdvojiti:
antene i antenski nizovi iznad ili ispod zemlje [11], [12]; prijenosne linije iznad (zračni
vodovi) [1], [7], [27] i ispod (kabeli) zemlje [8], [35], [36]; sustavi za zaštitu od udara
groma, od gromobrana do uzemljivača [14], [37]-[39]; kanal groma [13], [40], izloženost
ljudi elektromagnetskom zračenju [1].
Analiza žičanih antena primjenom integralnih jednadžbi i pripadajuća primjena u
elektromagnetizmu je pregledno izložena i objašnjena u [1].
1.2. Ciljevi i organizacija disertacije
U ovoj doktorskoj disertaciji razvijen je napredni model za analizu složenih žičanih
struktura u elektromagnetizmu primjenom teorije antena i tankožičane aproksimacije u
frekvencijskom području. Model se temelji na sustavu spregnutih integro-diferencijalnih
jednadžbi Pocklington-ovog tipa, za složene žičane strukture iznad ili unutar konačno
vodljivog poluprostora. Utjecaj granice poluprostora uzet je u obzir preko Somerfeld-ovih
integrala. Kao numerički alat za rješavanje ovako izvedenog sustava integro-
Uvod
6
digerencijalnih jednadžbi po prvi put je upotrebljena Galerkin-Bubnovljeva inačica
indirektne metode rubnih elemenata. U prvoj fazi kao pobuda se koristi već dobro poznati
izvori poput idealnog naponskog izvora, korištenog u analizi antena, idealnog strujnog
izvora, najčešće korištenog u analizi sustava za zaštitu od udara munje, te upadnog ravnog
vala kao izvora elektromagnetske smetnje, a sve u svrhu kvalitetnog testiranja predloženog
modela. Valjanost tako dobivenih rezultata provjerena je usporedbom s rezultatima iz
relevantne literature, najčešće dobivenim nekom od varijanti metode momenata, kao i
usporedbom s rezultatima dobivenim komercijalnim softverima poput široko
rasprostranjenog i opće prihvaćenog NEC-a (Numerical Electromagnetic Code) [41],
također temeljenog na metodi momenata.
Poznavanje na taj način proračunate raspodjele struje po proizvoljnoj žičanoj strukturi
je osnova za proračun ostalih parametara od interesa. Ovisno o karakteru promatranog
problema, ti parametri mogu biti izračeno električno i/ili magnetsko polje, napon u odnosu
na udaljenu zemlju, uprosječena izračena snaga, ulazna impedancija i međuimpedancija.
Za proračun izračenog polja koristi se izvorni sustav Pocklington-ovih jednadžbi za
električno polje koji vrijedi za sve točke poluprostora.
U svrhu što kvalitetnije analize proizvoljnih žičanih struktura, koncept kružnog
magnetskog prstena, poznat i primijenjen jedino u analizi jednostavnih linearnih antena
[12], [42]-[44], primijenio se kao pobuda složene žičane strukture koji se. Za razliku od
uobičajenih izvora naponske pobude, poput jednostavnog naponskog izvora (eng. delta
gap) [29], magnetski prsten se može postaviti bilo gdje na žici, uključujući i otvoreni kraj
žice, bez da izazove numeričke probleme i nestabilnosti predložene numeričke tehnike u
vidu nefizikalnih rješenja. Na taj način se značajno proširila primjenjivost naponskih
pobuda u simuliranju i modeliranju fizičkih procesa. Upotrebom kružnog magnetskog
prstena se na jednostavan način može proračunati ulazna impedancija složene žičane
strukture kao omjer napona i struje na mjestu pobude, bez obzira gdje se pobuda nalazila.
Posebna pozornost se posvetila slučaju kada se pobuda nalazi na otvorenom kraju žice, što
je čest slučaj u modeliranju kanala groma, gromobrana i uzemljivača, a do sada nije bio
riješen na zadovoljavajući način.
Na osnovu magnetskog prstena predstavljen je novi koncept naponske pobude žičanih
struktura, temeljen na jednostavnoj kružnoj anteni kojom protječe magnetska struja, a koji
se također može postaviti bilo gdje na žici bez da izazove numeričke nestabilnosti u
primjenjenom numeričkom postupku. Slično kao u slučaju kružnog magnetskog prstena, na
Uvod
7
jednostavan način je moguće proračunati ulaznu impedanciju, kao omjer napona i struje na
mjestu pobude, bez obzira gdje se ta pobuda nalazila.
Proračun napona između dviju točaka poluprostora se matematičkim i numeričkim
postupcima pojednostavio i ubrzao tako da nije više potrebno provoditi zahtjevnu linijsku
integraciju ukupnog električnog polja.
Polazeći od Poynting-ovog teorema izveden je jednostavni postupak za proračun
uprosječene izračene snage proizvoljne žičane strukture, pobuđene proizvoljnom pobudom,
temeljen na Galerkin-Bubnovljovoj inačici indirektne metode rubnih elemenata. Pomoću
tako proračunate snage zajedno s konceptom inducirane elektromotorne sile predstavljena
je metoda za proračun ulazne impedancije, za razne vrste pobude, kao i položaja pobude,
što uključuje i otvoreni kraj žice.
Naposljetku je analiziran postupak proračuna ulazne impedancije složene tankožičane
strukture, te je na osnovu prethodne analize predstavljeno nekoliko načina proračuna
ulazne impedancije koji ovise o vrsti pobude te o primjeni modela. Rezultati predloženih
postupaka uspoređeni su međusobno kao i sa rezultatima dostupnim u literaturi.
Valja napomenuti da su svi izrazi i razmatranja općenitog karaktera, što znači da mogu
biti primijenjeni na brojne probleme u elektromagnetizmu, uključujući antene i antenske
nizove iznad ili ispod zemlje, prijenosne vodove i kabele, sustave za zaštitu od udara
groma i sl. Konačno, u svrhu analize tranzijenata (prijelaznih pojava), spektari izračunatih
vrijednosti u frekvencijskom području su se određenim oblikom Fourier-ove
transformacije prebacili u vremensko područje.
Doktorska disertacija je organizirana u šest poglavlja, uključujući uvod i zaključak, te
tri priloga.
U drugom poglavlju iznosi se detaljna matematička formulacija sustava Pocklington-
ovih integro-diferencijalnih jednadžbi za konfiguraciju više žica proizvoljnog oblika u
prisustvu granice vodljivog poluprostora, u frekvencijskom području. Pri tome se utjecaj
granice dvaju poluprostora uzima u obzir rigorozno preko Sommerfeld-ovih integrala.
Također su opisane tri osnovne vrste pobude korištene u analizi tankožičanih struktura:
idealni naponski izvor, idealni strujni izvor i upadni ravni val.
Numeričko rješenje sustava predstavljenog u drugom poglavlju tema je trećeg
poglavlja. Numeričko rješenje se temelji na Galerkin-Bubnovljevoj inačici indirektne
metode rubnih elemenata koja je po prvi puta korištena na ovako formuliran sustav
Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi. U okviru ovog poglavlja predstavljena
Uvod
8
su tri primjera: dvije kružne antene, dalekovod i mrežasti uzemljivač, kojima je,
usporedbom s rezultatima drugih metod,a pokazana točnost i valjanost predložene
metodologije. Primjeri su odabrani na način da obuhvate što više pojmova i parametara
obrađenih u drugom i trećem poglavlju: zakrivljenost žice, sve tri metode pobude, proračun
električnog polja i sl.
Četvrto poglavlje sadrži opis koncepta kružnog magnetskog prstena kao alternative
jednostavnom naponskom izvoru pri pobudi žičane strukture. Na temelju tog koncepta
izvodi se i predstavlja koncept kružne magnetske antene kao naponsko upravljane pobude
složene žičane strukture. U okviru poglavlja se na ilustrativnim primjerima antene,
uzemljivača i kanala groma pokazala opravdanost upotrebe kružnih magnetskih pobuda
(prstena i antene), kao pobuda koje se mogu koristiti u mnogim aplikacijama, posebice u
slučajevima kada se pobuda postavlja na otvoreni kraj žice.
U petom poglavlju se opisuju i obrađuju određeni parametri zračeće i/ili raspršne
strukture. Pri tome se prvenstveno misli na proračun napona, proračun uprosječene
izračene snage i proračun ulazne impedancije. Kod proračuna napona matematičkim i
numeričkim postupcima su izvedene relacije koje značajno olakšavaju i ubrzavaju
proračun. U dijelu proračuna snage iz Poynting-ovog teorema, uz pomoć Galerkin-
Bubnovljeve inačice indirektne metode rubnih elemenata, izvedena je jednostavna relacija
za proračun uprosječene izračene snage složene žičane strukture, bez obzira na pobudu i
mjesto pobude. U trećem dijelu petog poglavlja izložen je detaljni opis pojma ulazne
impedancije, kao i opis četiri osnovna načina proračuna ulazne impedancije koji ovise
prvenstveno o pobudi žičane strukture koja je usko vezana za primjenu. Proračuni ulazne
impedancije se temelje na opisanom proračunu napona, izračene snage i numeričkom
rješenju razrađenom u trećem poglavlju. Poglavlje pet, kao i poglavlja tri i četiri, završava
s nizom ilustrativnih numeričkih primjera kojima se pokazuje valjanost i točnost prethodno
opisanih postupaka.
Konačno, šesto poglavlje donosi zaključna razmatranja zajedno sa smjernicama za
daljnji rad.
U okviru priloga A opisana je aproksimacija Fourier-ove transformacije koja se
koristila u okviru ove disertacije pri analizi tranzijentnih pojava. Aproksimacija je
temeljena na aproksimaciji funkcije Lagrange-ovim interpolacijskim polinomom kroz K
točaka. Aproksimacija je testirana na primjeru signala korištenih u ovom radu, te je
prezentirana detaljna analiza približnog rješenja u odnosu na analitičko te rješenje
dobiveno klasičnim algoritmom brze Fourier-ove transformacije (FFT).
Uvod
9
Prilog B donosi kratki opis numeričkog integriranja Sommerfeld-ovih integrala, dok
prilog C prezentira dokaz jednog izraza korištenog pri numeričkom rješenju sustava
Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi.
1.3. Znanstveni doprinos
Temeljni znanstveni doprinos ove doktorske disertacije je razvoj naprednog i
cjelovitog modela za stacionarnu i tranzijentnu analizu složenih žičanih struktura u
elektromagnetizmu, smještenih u homogeni poluprostor, temeljenog na teoriji žičanih
antena. U okviru razvoja takvog modela ostvareni su slijedeći znanstveni doprinosi:
• Sustav spregnutih integro-diferencijalnih jednadžbi Pocklington-ovog tipa, za
slučaj složene žičane strukture proizvoljnog oblika iznad ili unutar homogenog
poluprostora, gdje je utjecaj granice uzet u obzir preko Sommerfeld-ovih
integrala, po prvi puta je riješen Galerkin-Bubnovljevom inačicom indirektne
metode rubnih elemenata, što je napredak u odnosu na dosadašnje radove, gdje
je GBIMRE metodom tretirana jednostavnija konfiguracija proizvoljnih žica
bez spoja 3 i više žica i gdje je utjecaj granice uzet u obzir preko Fresnelovih
refleksijskih koeficijenata [45].
• Koncept kružnog magnetskog prstena primijenjen je u vidu naponski upravljane
pobude proizvoljne žičane strukture, koja se može postaviti bilo gdje na žicu,
uključujući i otvoreni kraj žice, što do sada nikad nije napravljeno, čak ni za
jednostavne žičane konfiguracije. Naime, kružni magnetski prsten je do sad
isključivo upotrebljen kao naponski upravljana pobuda jednostavnih linearnih
antena [12].
• Predstavljen je koncept jednostavne kružne magnetske antene kao naponski
upravljane pobude proizvoljne žičane strukture, koju je moguće postaviti bilo
gdje na žicu, uključujući i otvoreni kraj žice. Valja napomenuti da koncept
jednostavne magnetske kružne antene do sada nije korišten kao pobuda žičane
strukture.
• Proračun napona između dvije točke homogenog poluprostora uslijed
protjecanja struje složenom žičanom strukturom, sveden na integriranje
Uvod
10
električnog polja, pojednostavljen je i uvelike ubrzan primjenom odgovarajućih
matematičkih i numeričkih postupaka na originalni integral i izraz za električno
polje definiran integro-diferencijalnom jednadžbom Pocklington-ovog tipa.
Doprinos se očituje u tome što se u literaturi mogu pronaći slična cjelovita
pojednostavljenja i ubrzanja samo za slučaj jednostavnih horizontalnih ili
vertikalnih žica [46], [47].
• Polazeći od Poynting-ovog teorema i korištenjem GBIMRE izveden je
jednostavni postupak za proračun uprosječene izračene snage proizvoljne
žičane strukture pobuđene danom pobudom. Sličan postupak se može pronaći u
[48] i [49] ali je ograničen na ravne i paralelne žice iznad zemlje pobuđene
jednostavnim naponskim izvorom na sredini žice. Doprinos se tako sastoji u
poopćenju izvorne ideje na slučaj proizvoljne žičane strukture, bez obzira na
pobudu i mjesto pobude;
• Daljnji doprinos rada je određivanje ulazne impedancije proizvoljne žičane
strukture, neovisno o karakteru pobude iz dobivene uprosječene izračene snage
poopćenjem koncepta inducirane elektromotorne sile (eng. Induced EMF
method) [50]. Do sada se ovaj postupak koristio samo za jednostavne strukture
sastavljene od ravnih i paralelnih žica, [48] [49], najčešće centralno napajane
dipole. Na ovaj način postupak je poopćen i primjenjiv na brojne druge
probleme. Također, u okviru određivanja ulazne impedancije razvili su se
različiti postupci proračuna ulazne impedancije u ovisnosti o vrsti pobude,
prvenstveno ukoliko se pobuda postavlja na otvorni kraj žice.
Formulacija
11
2. FORMULACIJA
U ovom poglavlju se iznosi osnovni matematički model za analizu složenih žičanih
struktura u elektromagnetizmu temeljen na teoriji tankožičanih antena u frekvencijskom
području. Pri tome, tankožičanom aproksimacijom podrazumijeva se da je:
• radijus žice mnogo manji od najmanje valne duljine s kojom se ulazi u
proračun;
• radijalne struje na krajevima i kružne struje oko osi žice su zanemarive,
odnosno pretpostavlja se da postoje samo aksijalne struje po površini
žice;
• promjene aksijalnih struja po poprečnom presjeku su zanemarive;
• površinska aksijalna struja zamjenjuje se linijskom strujom u osi cilindra,
s tim da se u svim izrazima zadržava dimenzija poprečnog presjeka žice.
Ova posljednja aproksimacija prema nekim autorima smatra se aproksimacijom tanke
žice u užem smislu.
U skladu s tim pretpostavkama, svojstva takve žičane strukture su u prvom redu
određena aksijalnom raspodjelom struje po žicama. Te struje su određene sustavom
spregnutih Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi za žice proizvoljnog oblika.
Ovaj sustav Pocklington-ovih jednadžbi može se izvesti iz Maxwell-ovih jednadžbi tako da
se električno polje izrazi preko magnetskog vektorskog i električnog skalarnog potencijala
uz primjenu Lorentz-ovog baždarnog uvjeta te zadovoljavanjem uvjeta za kontinuitet
tangencijalnih komponenti električnog polja na površini žice.
Sustav Pocklington-ovih jednadžbi za složenu žičanu strukturu jednostavno slijedi
proširenjem Pocklington-ove integro-diferencijalne jednadžbe za jednu žicu proizvoljnog
oblika iznad ili ispod granice dvaju homogenih poluprostora. Dakle, u svrhu postavljanja
cjelovitog matematičkog modela za složenu žičanu strukturu iznad ili ispod granice dvaju
homogenih poluprostora, najpogodnije je započeti sa jednostavnom konfiguracijom jedne
proizvoljne žice u homogenom prostoru s gubicima. Takav se model, zatim, proširuje na
homogeni poluprostor, tj. uzima se u obzir utjecaj granice dviju sredina. Naposljetku,
model se generalizira na više proizvoljno postavljenih žica, iznad ili ispod granice dvaju
homogenih poluprostora.
Formulacija
12
2.1. Sustav Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi
Polazeći od prve Maxwell-ove jednadžbe za harmonijski promjenljive vektore
električnog i magnetskog polja [1]:
xE j Bω∇ = −
(2.1)
slijedi da se električno polje dade izraziti preko magnetskog vektorskog i električnog
skalarnog potencijala:
E j Aω ϕ= − −∇
(2.2)
Primjenom Lorentz-ovog baždarnog uvjeta [1]:
0effA jωµε ϕ∇ + =
(2.3)
raspršno električno polje može se izraziti isključivo pomoću vektorskog potencijala A
:
1
( )sct
eff
E j A Aj
ωωµε
= − + ∇ ∇
(2.4)
gdje je effε kompleksna permitivnost sredine:
0eff r jσ
ε ε εω
= − (2.5)
pri čemu je εr relativna permitivnost, σ vodljivost medija, a ω kružna frekvencija.
Vektorski potencijal definira se partikularnim integralom [1]:
0( ) ( ') ( , ') ' '4 C
A s I s g s s s dsµ
π= ∫
(2.6)
Formulacija
13
gdje je I(s’) inducirana struja uzduž žice, 's
je jedinični vektor tangente u točci izvora
( ' ( ', ', ')s f x y z= ) a 0 ( , ')g s s je odgovarajuća Green-ova funkcija za neograničeni medij s
gubicima oblika:
0
00
( , ')jkRe
g s sR
−
= (2.7)
gdje je k konstanta propagacije u mediju s gubicima:
0 effk ω µ ε= (2.8)
a R0 predstavlja udaljenost od točke izvora do točke promatranja ( ( , , )s f x y z= ) (slika 2.1):
( ) ( ) ( )2 2 2 2
0 ' ' 'R x x y y z z a= − + − + − + (2.9)
Slika 2.1 Žica proizvoljnog oblika u homogenom prostoru
Kombiniranjem jednadžbi (2.4) do (2.9), nakon određenih matematičkih postupaka, slijedi
izraz za raspršno električno polje oblika:
Formulacija
14
20
'
1( ') ' ( , ') '
4sct
eff C
E I s s k g s s dsj πωε
= ⋅ ⋅ + ∇∇ ∫
(2.10)
Za slučaj konačno vodljive žice totalno tangencijalno polje koje se sastoji od pobudnog
polja excE
i raspršnog polja sctE
se može izraziti preko struje na žici ( )I s i površinske
impedancije po jedinici duljine žice SZ :
( ) ( )exc sctSs E E Z I s⋅ + = ⋅
(2.11)
gdje s
predstavlja jedinični vektor tangente u točci promatranja. Izraz i pojašnjenje
koncepta površinske impedancije po jedinici duljine SZ izneseni su u poglavlju 2.4.
U slučaju idealno vodljive žice totalno polje na površini žice iščezava, tj. jednadžba (2.11)
poprima jednostavniji oblik:
( ) 0exc scts E E⋅ + =
(2.12)
Uvrštavanjem izraza za raspršno polje (2.10) u jednadžbu (2.11) slijedi Pocklington-ova
integro-diferencijalna jednadžba po nepoznatoj raspodjeli struje duž konačno vodljive žice
u homogenom mediju s gubicima:
2tan 0
'
1( ) ( ') ' ( , ') ' ( )
4exc
S
eff C
E s I s s s k g s s ds Z I sj πωε
= − ⋅ ⋅ ⋅ + ∇∇ + ⋅ ∫
(2.13)
gdje je tan ( )excE s tangencijalna komponenta pobudnog polja.
Integralna jednadžba za neograničeni medij (2.13) može se proširiti na slučaj žice
proizvoljnog oblika smještene u blizini granice dviju homogenih sredina modificiranjem
jezgre integralne jednadžbe na način da se uzme u obzir polje reflektirano od granice
sredina.
Mada postoje brojne aproksimacije primjenom različitih refleksijskih koeficijenata [1],
[30], [31], [45] u ovom se radu, u svrhu što preciznijeg proračuna, koristi rigorozni pristup
preko Sommerfeld-ovih integrala [34].
Formulacija
15
Komponenta pobudnog polja dade se napisati u obliku sume upadnog polja incE
i polja
reflektiranog od granice sredina refE
:
exc inc refE E E± ± ±= +
(2.14)
gdje (+) označava slučaj kada je žičana struktura iznad granice medija (najčešće u zraku)
dok (-) slučaj kada je struktura ispod granice (najčešće u zemlji).
Uvrštavanjem (2.14) u (2.11) dobiva se:
( ) ( )sct inc refSs E s E E Z I s± ± ±⋅ = − ⋅ + + ⋅
(2.15)
pri čemu su komponente električnog polja upadnog odnosno reflektiranog vala, redom
oblika [34]:
20
'
1( ') ' ( , ') '
4inc
eff C
E I s s k g s s dsj πωε
± ± ±
±
= ⋅ ⋅ + ∇∇ ∫
(2.16)
2 22
2 2' '
1( ) ( ') * ( , *) ' ( ') ( , ') '
4
ref
si
eff C C
k kE s I s s k g s s ds I s G s s ds
j k kπωε±
± ±± ±
± + −
− = ⋅ ⋅ + ∇∇ + ⋅ +
∫ ∫∓
(2.17)
gdje je k± konstanta propagacije za medij s gubicima u kojem se nalazi struktura
definirana izrazom (2.8) dok k∓ predstavlja konstantu propagacije medija s druge strane
granice također općenito definiranu izrazom (2.8).
( , *)ig s s± je Green-ova funkcija koja proizlazi iz teorije preslikavanja:
*
( , *)*
jk R
i
eg s s
R
±−
± = (2.18)
pri čemu je *R udaljenost od točke na preslikanoj žici do točke promatranja kako je
prikazano na slici 2.2:
Formulacija
16
( ) ( ) ( )2 2 2 2* ' ' 'R x x y y z z a= − + − + + + (2.19)
dok je *s
jedinični vektor tangente u točci izvora preslikane žice.
Slika 2.2 Žica proizvoljnog oblika iznad granice dvaju homogenih poluprostora
Jezgra ( , ')sG s s±
može se napisati u obliku:
( ) ( ) ( ) ( )( , ') ' 'H H H V Vs x z z z z zG r r e s G e G e G e e s G e G eρ ρ φ φ ρ ρ± ± ± ± ± ±= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
(2.20)
i predstavlja korekcijski (atenuacijski) član koji sadrži Sommerfeldove integrale i sastoji se
od komponenti za horizontalne (H) i vertikalne (V) dipole oblika [34], [41]:
2
2V RG k Vz
ρρ
± ±
∂=
∂ ∂∓ (2.21)
Formulacija
17
2
2 22
V RzG k k V
z± ± ±
∂= +
∂ ∓ (2.22)
2
2 22
cosH R RG k V k Uρ ϕρ
± ± ± ± ±
∂= +
∂ (2.23)
2 21sinH R RG k V k Uφ φ
ρ ρ± ± ± ± ±
∂= − +
∂ (2.24)
4 cosH Vz effG j Gρπωε φ± ± ±= − (2.25)
Pri tome su Sommerfeld-ovi integrali dani izrazima [34], [41]:
'1 0
0
( ) ( )z zRU D e J dγλ λρ λ λ±
∞− +
± = ∫ (2.26)
'2 0
0
( ) ( )z zRV D e J dγλ λρ λ λ±
∞− +
± = ∫ (2.27)
gdje je:
( )
2
1 2 21
2 2( )
kD
k kλ
γ γ γ±
+ − + −
= −+ +
(2.28)
( )2 2 2 2 2
1
2 2( )D
k k k kλ
γ γ γ− + + − + −
= −+ +
(2.29)
i
2 2kγ λ± ±= − (2.30)
U jednadžbama (2.26) i (2.27) J0 je Bessel-ova funkcija prve vrste nultog reda. Valja
napomenuti da postoji nekoliko oblika Sommerfeld-ovih integrala koji se međusobno
razlikuju u brzini konvergencije i efikasnosti proračuna za različite vrijednosti argumenata
Formulacija
18
[51], [52]. Oblik Sommerfeld-ovih integrala koji se koristi u ovom radu pruža mogućnost
brze konvergencije rješenja kada se ρ i z+z' približavaju nuli. Dobar pregled raznih oblika
Sommerfeld-ovih integrala je dan u [34], [41] i [53] Kratak opis integracije Sommerfeld-
ovih integrala je dan u prilogu B.
Konačno, kombiniranjem jednadžbi (2.15) do (2.17) dobiva se Pocklington-ova
integro-diferencijalna jednadžba za nepoznatu raspodjelu struje uzduž žičane antene
proizvoljnog oblika iznad ili ispod granice dvaju homogenih poluprostora:
20
'
2 22
2 2'
'
( ') ' ( , ') '
1( ) ( ') * ( , *) ' ( )
4
( ') ( , ') '
C
excs i S
eff C
s
C
I s s s k g s s ds
k kE s I s s s k g s s ds Z I s
j k k
I s s G s s ds
πωε
± ±
±± ±
± + −
±
⋅ ⋅ ⋅ + ∇∇ +
− = − + ⋅ ⋅ ⋅ + ∇∇ + + ⋅ + + ⋅ ⋅
∫
∫
∫
∓
(2.31)
Iz jednadžbe (2.31) lako se deduciraju odgovarajuće integro-diferencijalne jednadžbe za
specijalni slučaj ravne vertikalne, horizontalne žice, kružne žičane petlje, ili pak helikoidne
spirale.
2.2. Sustav Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi za konfiguraciju više žica proizvoljnog oblika
U slučaju konfiguracije više žica proizvoljnog oblika potrebno je postaviti sustav
spregnutih integro-diferencijalnih jednadžbi. Budući da sve žice djeluju jedna na drugu
potrebno je sumirati utjecaje svih NW žica (svake n-te žice na svaku m-tu žicu). Na taj
način se polazna Pocklington-ova jednadžba (2.31) za električno polje jedne proizvoljne
žice proširuje na slučaj NW žica proizvoljnog oblika:
Formulacija
19
20
'
2 22
2 21 '
'
( ') ' ( , ') '
1( ) ( ') * ( , *) ' ( )
4
( ') ( , ') '
1,2,.
n
W
n
n
n n m n
C
Nexcsm n n i n m n S m
neff C
sn m n
C
I s s s k g s s ds
k kE s I s s s k g s s ds Z I s
j k k
I s s G s s ds
m
πωε
± ±
±
± ±=± + −
±
⋅ ⋅ ⋅ + ∇∇ +
− = − + ⋅ ⋅ ⋅ + ∇∇ + + ⋅ + + ⋅ ⋅
=
∫
∑ ∫
∫
∓
.. WN
(2.32)
Na spoju dva ili više segmenata moraju se zadovoljiti svojstva kontinuiteta za električno
polje [54], što se osigurava implementiranjem prvog Kirchhoff-ovog zakona:
1
0n
kk
I=
=∑ (2.33)
i jednadžbe kontinuiteta za harmonijski promjenljive veličine:
J jωρ∇ = −
(2.34)
koja se da napisati u obliku:
l
Ij q
sω
∂= −
∂ (2.35)
pa je drugi uvjet kontinuiteta dan izrazom:
1 2
1 2' ' 'n
nna spoju na spoju na spoju
II I
s s s
∂∂ ∂= = =
∂ ∂ ∂ (2.36)
Vrijedi istaknuti kako uvjet (2.33) osigurava efikasno tretiranje diskontinuiteta linijske
gustoće naboja kod prolaska s jednog vodiča na drugi preko spoja više žica.
Za slučaj otvorenog kraja žice, ukupna struja iščezava, tj. prisilni rubni uvjet glasi da je
struja na kraju žice nula.
Formulacija
20
2.3. Modeliranje pobude
Da bi se rješavanjem Pocklington-ove jednadžbe odredila struja po žičanoj strukturi
potrebno je na neki način izraziti pobudu u vidu električnog polja tangencijalnog na tu
strukturu, tj. na podesan način izraziti ( )excsmE s u jednadžbi (2.32). To znači da je lijeva
strana jednadžbe (2.32) uvijek ista i neovisna o karakteru pobude, pa samim time i primjeni
modela.
Budući da se proizvoljna žičana struktura u elektromagnetizmu može smatrati i kao
izvor ali i kao primalac elektromagnetskog vala pobuda se tada modelira i realizira na više
načina. Ukoliko se žičana struktura smatra izvorom elektromagnetskog vala tada se pobuda
realizira u vidu idealnog naponskog izvora (u antenskim primjenama) i/ili idealnog
strujnog izvora (u slučaju modeliranja sustava za zaštitu od munje). U slučaju pak
razmatranja žičane strukture kao primaoca elektromagnetskog vala tada se kao pobuda
koristi električno polje upadnog ravnog vala.
2.3.1. Idealni naponski izvor
Napajanje ravne žice idealnim naponskim izvorom (eng. delta gap), kako je prikazano
na slici 2.3 je najjednostavniji i najrašireniji način pobude u modeliranju žica kao izvora
elektromagnetskog polja [55], [56].
Formulacija
21
Slika 2.3 Napajanje dipol antene idealnim naponskim izvorom Primjena idealnog naponskog izvora podrazumijeva pretpostavku da je pripadno
pobudno električno polje konstantno na ulaznim priključnicama a na ostatku strukture
iščezava, tj. može se pisati:
( ) gmexcsm
gm
VE s
s=
∆ (2.37)
gdje je gms∆ razmak između stezaljki na koje je priključen izvor, a gmV pobudni napon na
ulaznim stezaljkama.
Valja napomenuti da se u modeliranju jednostavnih antena u odašiljačkom modu,
ponekad koristi i koncept kružnog magnetskog prstena (eng. magnetic frill) kao naponski
upravljane pobude, o kojem će detaljno biti riječi u poglavlju 4.
2.3.2. Idealni strujni izvor
U rigoroznoj elektromagnetskoj analizi sustava za zaštitu od munje (uzemljivača,
gromobrana i kanala groma) uobičajeno se koristi pobuda ekvivalentnim strujnim izvorom
[14], [39], pri čemu je jedan kraj idealnog strujnog izvora spojen na strukturu u točki u
Formulacija
22
kojoj se želi injektirati struja dok je drugi kraj spojen na zemlju u beskonačnoj udaljenosti,
kako je prikazano na slici 2.4.
Slika 2.4 Idealni strujni izvor
Pri tome, lijeva strana jednadžbe (2.32) iščezava i odgovarajuća Pocklington-ova
jednadžba se pojednostavnjuje i reducira na homogenu jednadžbu [14], [39], [46], [47].
Shodno tome, pobuda se uključuje u formulaciju putem rubnog uvjeta [14], [39], [46],
[47]:
1 gI I= (2.38)
gdje Ig predstavlja strujni generator a I1 je struja u čvoru u kojem se injektira pobudna
struja koja reprezentira udar groma.
2.3.3. Upadno električno polje ravnog vala
Općenito, raspršna žičana struktura može biti pobuđena ravnim valom koji upada na
granicu sredina pod proizvoljnim kutom.
Ravni val koji pod kutom θ, odnosno Φ upada na granicu između dvije sredine
prikazan je na slici 2.5.
Formulacija
23
Slika 2.5 Upadni, reflektirani i transmitirani val
Granica između dviju sredina leži u xy ravnini, a neka referentna točka za ravni val
bude ishodište. Električno polje upadnog ravnog vala u bilo kojoj točci sredine 1 definirano
je izrazom [57]:
10
uu jk e r
uE E e− ⋅=
(2.39)
gdje je E0 amplituda upadnog vala, a ue
jedinični vektor smjera propagacije upadnog vala
koji izražen preko kutova θ, Φ iznosi:
sin cos sin sin cosu x y ze e e eθ φ θ φ θ= − − −
(2.40)
Skalarni produkt ue r⋅
predstavlja udaljenost između točke promatranja i referentne valne
fronte:
sin cos sin sin cosue r x y zθ φ θ φ θ⋅ = − − −
(2.41)
Ovakav proizvoljno polariziran val, gdje se okomitost odnosi na granicu sredine, može se
rastaviti na dvije komponente: okomito polariziranu (transverzalno magnetsku – TM) i
Formulacija
24
horizontalno polariziranu (transverzalno električnu – TE). Ako je α kut između vektora
električnog polja upadnog vala i ravnine upada tada slijede izrazi za okomito polariziranu
komponentu električnog polja [57], [58]:
( ) 10 cos cos cos cos sin sin u
u jk e rTM x y zE E e e e eα θ φ θ φ θ − ⋅= − − +
(2.42)
i horizontalno polariziranu komponentu električnog polja:
( ) 10 sin sin cos u
u jk e rTE x yE E e e eα φ φ − ⋅= −
(2.43)
Tada su komponente električnog polja reflektiranog vala dane relacijama:
( ) 10 cos cos cos cos sin sin r
r jk e rTM x y zTME R E e e e eα θ φ θ φ θ − ⋅= + +
(2.44)
( ) 10 sin sin cos r
r jk e rTE x yTEE R E e e eα φ φ − ⋅= −
(2.45)
gdje je re
vektor smjera propagacije reflektiranog vala, skalarni produkt re r⋅
iznosi:
sin cos sin sin cosre r x y zθ φ θ φ θ⋅ = − − +
(2.46)
dok su RTM i RTE vertikalni (okomiti) i horizontalni Fresnel-ovi koeficijenti refleksije na
granici dvaju sredstava dani sa [57]:
2
2
cos sin
cos sinTM
n nR
n n
θ θ
θ θ
− −=
+ − (2.47)
2
2
cos sin
cos sinTE
nR
n
θ θ
θ θ
− −=
+ − (2.48)
pri čemu je:
Formulacija
25
2
1
eff
eff
nε
ε= (2.49)
Ukupno električno polje reflektiranog vala se dobije kao zbroj ove dvije komponente:
r r rTM TEE E E= +
(2.50)
Ukupno električno polje u sredini 1 je zapravo zbroj električnog polja upadnog i
reflektiranog vala:
1 10 0
u rjk e r jk e ru ru rE E E E e E e− ⋅ − ⋅= + = +
(2.51)
Slično kao kod reflektiranog vala, odnos između transmitiranih i upadnih komponenti
električnog polja definiran je Fresnel-ovim transmisijskim koeficijentima [57]:
2
2 cos
cos sinTM
n
n n
θ
θ θΓ =
+ − (2.52)
i
2
2cos
cos sinTE
n
θ
θ θΓ =
+ − (2.53)
te, odgovarajuće komponente iznose:
20 cos ( cos cos cos sin sin ) tjk e rt
x y zTM TM t t tE E e e e eα θ φ θ φ θ − ⋅= Γ − − +
(2.54)
20 sin (sin cos ) tjk e rt
x yTE TEE E e e eα φ φ − ⋅= Γ −
(2.55)
gdje je θt određen Snell-ovim zakonom:
1 2sin sin tk kθ θ= (2.56)
Formulacija
26
te
je jedinični vektor smjera propagacije transmitiranog vala, a skalarni produkt te r⋅
iznosi:
sin cos sin sin cost t t te r x y zθ φ θ φ θ⋅ = − − −
(2.57)
Ukupno električno polje transmitiranog vala dobije se kao zbroj njegove dvije
komponente:
t t tTM TEE E E= +
(2.58)
Dakle u slučaju pobude upadnim ravnim valom ukupno incidentno polje žičane strukture
je, ukoliko su upadno polje i struktura s iste strane granice, jednako zbroju komponenti
električnog polja upadnog i reflektiranog vala tangencijalnih na površinu žice:
1 10 0( ) u rjk e r jk e rexc
u rsmE s E s e E s e− ⋅ − ⋅= ⋅ + ⋅
(2.59)
Ukoliko su pak upadno polje i žičana struktura s druge strane granice, tada je incidentno
polje žičane strukture jednako komponenti transmitiranog vala tangencijalnoj na površinu
žice:
20( ) tjk e rexc
tsmE s E s e− ⋅= ⋅
(2.60)
2.4. Modeliranje površinske impedancije
Površinska impedancija ZS se definira kao omjer tangencijalne komponente električnog
polja na površini cilindrične žice i ukupne struje na žici [57], [59]:
( ,ρ )
( )S
E s aZ
I s
== (2.61)
i za metalne žice konačne vodljivosti je jednaka [57]:
Formulacija
27
0
1
( )
2 ( )W W
S
W W
J aZ
a J a=
λ λ
π σ λ (2.62)
gdje je:
2 2 2W Wk k≈ −λ (2.63)
Wk je valni broj za žicu definiran s:
0 0W
W W rWk j
= −
σω µ µ ε ε
ω (2.64)
gdje su Wµ , rWε i Wσ , redom, relativna permeabilnost, relativna permitivnost i specifična
vodljivost žice, dok je k valni broj sredstva u kojem se nalazi žica.
Izraz za površinsku impedanciju (2.62) sadrži visoko oscilirajuće Bessell-ove funkcije
te stoga nije pogodan za inženjersku primjenu. Međutim, za određene parametre mogu se
koristiti približni izrazi. U slučaju da je frekvencija nula tj. u slučaju istosmjerne struje
površinska impedancija po jedinici duljine postaje otpor po jedinici duljine definiran s
[57]:
0 2
1
W
Ra
=π σ
(2.65)
Kada se radi o niskim frekvencijama za koje vrijedi:
0.5W Wa <ωµ σ (2.66)
može se koristiti slijedeća relacija za površinsku impedanciju po jedinici duljine [57], [59]:
4 2
0
1 11
12 2 2 2W W W W
S
a aZ R j
= ⋅ + −
ωµ σ ωµ σ (2.67)
Formulacija
28
dok se za visoke frekvencije za koje vrijedi:
10W Wa >ωµ σ (2.68)
koristi relacija [59]:
1
2S
W s
jZ
a d
+=
π σ (2.69)
gdje je ds dubina prodiranja (eng. skin depth):
2
s
W W
d =ωµ σ
(2.70)
Na temelju koncepta površinske impedancije po jedinici duljine vrlo jednostavno se
može modelirati i opteretna impedancija. Naime, opteretna impedancija se može modelirati
kao žica određene duljine s konstantnom površinskom impedancijom po jedinici duljine
potrebnog iznosa i karaktera.
Na sličan način kao što se modelira konačna vodljivost žice može se i modelirati i
tanka žica izolirana s tankim dielektričnim izolatorom koja je prikazana na slici 2.6.
Slika 2.6 Tanka žica s tankim dielektričnim izolatorom
Tada površinska impedancija po jedinici duljine ZS u relaciji (2.11) ima smisao
impedancije tereta (eng. load impedance) ZL preko koje se dielektrični izolator može
izraziti kao čisto magnetski izolator definiran izrazom [1]:
0 1ln
2rc
L
rc
j bZ
a
−=
ωµ ε
π ε (2.71)
gdje je rcε relativna permitivnost izolatora, a b ukupna debljina žice skupa s izolatorom.
Formulacija
29
2.5. Proračun električnog i magnetskog polja
2.5.1. Proračun električnog polja
Jednom kada se izračuna raspodjela struje duž žica moguće je jednostavno izračunati
izračeno električno polje na temelju jednadžbe (2.10) koja predstavlja izraz za električno
polje žice u bilo kojoj točci homogenog prostora:
( )20 0
' '
1( ) ' ( ') ( , ') ' ( ') ' ( , ') '
4D
eff C C
E s k s I s g s s ds I s s g s s dsj πωε
± ± ± ±
±
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∇ ∇
∫ ∫
(2.72)
Valja napomenuti da izraz (2.72) predstavlja električno polje direktnog vala ukoliko se
žica nalazi u homogenom poluprostoru.
Na sličan način se na temelju izraza (2.17) može napisati izraz za reflektirano polje:
( )
2
2 2'
2 2'
'
* ( ') ( , *) '1
( ) ( ') ( , ') '4
( ') * ( , *) '
i
CR s
eff Ci
C
k s I s g s s dsk k
E s I s G s s dsj k k
I s s g s s dsπωε
± ±
±± ±
± + −
±
⋅ ⋅ +
− = + ⋅ + + ⋅ ⋅∇ ∇
∫∫
∫
∓
(2.73)
Tada je ukupno polje u promatranoj sredini suma direktnog i reflektiranog polja.
Ukoliko postoji više žica potrebno je sumirati polje od svih žica.
Budući je sami proračun električnog polja usko vezan uz numeričko rješenje sustava
Pocklington-ovih jednadžbi detaljna analiza proračuna će se opisati u poglavlju tri.
2.5.2. Proračun magnetskog polja
Magnetsko polje moguće je izračunati iz električnog polja pomoću prve Maxwell-ove
jednadžbe [1]:
1
H Ejωµ
= − ∇×
(2.74)
Formulacija
30
Da bi se prikazao izvod konačne relacije za magnetsko polje, radi jednostavnosti
prikaza, prvo će se izvesti magnetsko polje jedne proizvoljne žice smještene u homogeni
prostor. Tada je magnetsko polje definirano sa:
1
D DH Ej
± ± = − ∇ ×
ωµ (2.75)
Ukoliko se u jednadžbu (2.75) uvrsti izraz za električno polje (2.72), slijedi:
( )20 02
' '
1' ( ') ( , ') ' ( ') ' ( , ') '
4D
eff C C
H k s I s g s s ds I s s g s s dsπω µε
± ± ± ±
±
= ∇× ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∇ ∇
∫ ∫
(2.76)
Koristeći svojstvo vektorske algebre o rotoru sume:
A B A B ∇ × + = ∇ × + ∇ ×
(2.77)
dobiva se:
( )20 02
' '
1' ( ') ( , ') ' ( ') ' ( , ') '
4D
eff C C
H k s I s g s s ds I s s g s s dsπω µε
± ± ± ±
±
= ∇ × ⋅ ⋅ + ∇ × ⋅ ⋅∇ ∇
∫ ∫
(2.78)
Zamjenom redoslijeda operacija integracije i rotora te zamjenom ''
ss
∂⋅∇ =
∂ slijedi:
( )20 02
' '
1( ') ' ( , ') ' ( ') ( , ') '
4 'D
eff C C
H k I s s g r r ds I s g s s dssπω µε
± ± ± ±
±
∂ = ⋅∇× + ⋅∇× ∇ ∂ ∫ ∫
(2.79)
Nadalje, zamjenom redoslijeda rotora i parcijalne integracije te koristeći identitet da je
rotor gradijenta skalarne funkcije jednak nuli ( )0 ( , ') 0g s s± ∇× ∇ = drugi pribrojnik u
jednadžbi (2.79) nestaje te se izraz za magnetsko polje pojednostavljuje:
Formulacija
31
202
'
1( ') ' ( , ') '
4D
eff C
H k I s s g r r dsπω µε
± ± ±
±
= ∇ ×
∫
(2.80)
Razvojem podintegralne funkcije korištenjem identiteta:
A A Aψ ψ ψ ∇ × = ∇ × + ∇ ×
(2.81)
slijedi:
0 0
'
1( ') ( , ') ' ( , ') ' '
4D
C
H I s g r r s g r r s ds± ± ± = ∇ × + ⋅ ∇ × ∫
π (2.82)
Budući je rotor vektora smjera žice 's∇ ×
jednak nuli, drugi pribrojnik u relaciji (2.82)
nestaje, te se konačno dobiva relacija za magnetsko polje žice proizvoljnog oblika
smještene u homogeni medij:
0
'
1( ') ' ( , ') '
4D
C
H I s s g r r ds± ±= − × ∇∫
π (2.83)
Identičnim postupkom dolazi se do izraza za reflektirano magnetsko polje,
uvrštavanjem izraza (2.17) u relaciju (2.74):
2 2 1
2 2 2' 1
1 1( ') * ( , *) ' ( ') ( , ') '
4 4R si
effC
k kH I s s g s s ds I s G s s ds
k kπ πω µε±
± ±±
+ − ± −
−= − ⋅ ×∇ + ⋅∇×
+ ∫ ∫∓
(2.84)
Ukupno magnetsko polje je tada zbroj direktnog i reflektiranog, a ukoliko postoji više
žica potrebno je zbrojiti doprinos svih.
Kao i u slučaju električnog polja detaljni postupci i izrazi za proračun magnetskog
polja će biti opisani u sklopu numeričkog rješenja u trećem poglavlju.
Numeričko rješenje
32
3. NUMERIČKO RJEŠENJE
Numeričko rješavanje Pocklington-ove integro-diferencijalne jednadžbe se može
provesti primjenom različitih metoda i postupaka. U najvećem broju slučajeva integralne i
integro-diferencijalne jednadžbe proizašle iz problema elektrodinamike su tretirane nekom
od varijanti metode momenata (MM) (najčešće kolokacijom) pri čemu se dobivaju tvz.
jake formulacije [18]-[21], [30], [31]. Međutim u okviru jake formulacije javljaju se neki
problemi, među kojima i kvazisingularnost jezgre tj. Green-ove funkcije, budući da se
deriviranje jezgre obavlja analitički što nužno dovodi do kvazisingularnosti. Ako se pak
deriviranje jezgre obavlja pomoću metode konačnih diferencija, javljaju se neželjene
pojave u vidu sporije konvergencije i nesimetričnosti matrice u numeričkom rješavanju
[60].
U posljednja dva desetljeća metoda rubnih elemenata (MRE) (eng. Boundary Element
Method – BEM) se često koristi pri rješavanju ovih problema [61]. Metoda rubnih
elemenata koja je implementirana u ovom radu koristi neke pogodne sheme rješavanja
parcijalnih diferencijalnih jednadžbi konačnim elementima i koncepte rubnih elemenata
čime se dolazi do tvz. nejake formulacije. Metoda je nazvana Galerkin-Bubnovljeva
inačica indirektne metode rubnih elemenata – GBIMRE (eng. Galerkin Bubnov Indirect
Boundary Element Method – GB-IBEM) [62]. Kod ove formulacije se, uz isti izbor baznih
i test funkcija, dobijaju identične krajnje relacije onima kod varijacijskog pristupa. Naime,
podesnom primjenom parcijalne integracije i integralnih teorema vektorske analize
naknado se snizi red derivacija u diferencijalnoj jednadžbi. U literaturi se ova formulacija
isključivo koristi za rješavanje diferencijalnih jednadžbi, i u odnosu na ostale metode ne
poklanja joj se posebna pažnja.
3.1. Numeričko rješenje skupa spregnutih Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi
U predstavljanju GBIMRE numeričke procedure korisno je početi s operatorskim
oblikom jednadžbe (2.31) koji se simbolički može zapisati kao [1]:
Numeričko rješenje
33
1 1
( )W WN N
n nn n
K I E= =
=∑ ∑ (3.1)
gdje je K linearni operator, dok su In nepoznate funkcije (u konkretnom slučaju struje na
pojedinim žicama) koje treba pronaći za dane pobude En (ovdje je pretpostavka da svaka
žica ima vlastitu pobudu).
Rješavanje jednadžbe (2.31) pomoću rubnih elemenata počinje primjenom lokalne
aproksimacije za nepoznatu struju duž segmenta žice, tj. nepoznata struja In(s') po
segmentu n-te žice izrazi se u vidu konačne sume linearno nezavisnih oblikovnih funkcija
fni, uz nepoznate kompleksne koeficijente Ini:
( ) 1
' ( ')gnN
T
n n ni ni n n ni
I s I f s = f I=
=∑ (3.2)
gdje ( ')ni nf s označava oblikovne funkcije na n-toj žici, Ini predstavlja nepoznate
koeficijente rješenja na n-toj žici, a Ngn označava ukupan broj baznih funkcija na n-toj žici.
Supstitucijom (3.1) u (3.2) slijedi:
[ ]1 1 1
( ) ( ')gnW W
NN N
n ni ni nn n i
K I I K f s= = =
=∑ ∑∑ (3.3)
Primjenom osnovne leme varijacijskog računa [1] slijedi zahtjev da integral težinskih
odstupanja iščezava:
[ ]
1 1 1
( ') ( ) ( )
1,2,..., ; 1,2,...,
gn
m m
NNw Nw
ni ni n mj m m n mj m mn i nC C
W gn
I K f s W s ds E W s ds
m N j N
= = =
=
= =
∑∑ ∑∫ ∫ (3.4)
Ukoliko postoji samo jedna žica relacija (3.4) se pojednostavljuje i oblika je:
Numeričko rješenje
34
[ ]1
( ') ( ) ( ) 1,2,...,g
m m
N
i i j j gi C C
I K f s W s ds EW s ds j N=
= =∑ ∫ ∫ (3.5)
Uz Galerkin-Bubnovljevu proceduru, odnosno uz izbor istih oblikovnih i težinskih
funkcija:
( ) ( )mj m mj mW s f s= (3.6)
slijedi izraz koji predstavlja tzv. jaku formulaciju problema:
[ ]
1 1 1
( ') ( ) ( )
1,2,..., ; 1,2,...,
gn
m m
NNw Nw
ni ni n mj m m n mj m mn i nC C
W gn
I K f s f s ds E f s ds
m N j N
= = =
=
= =
∑∑ ∑∫ ∫ (3.7)
Kod ove formulacije bazne i test funkcije moraju biti u domeni operatora K (u ovom
slučaju najmanje dva puta derivabilne). Jaka formulacija za dani problem dakle implicira
korištenje polinoma drugog reda i više, odnosno kvadratični tip rubnih elemenata, što bi
rezultiralo relativno složenim numeričkim modelom i pripadnom računalnom
implementacijom, pogotovo u potencijalnoj primjeni na žice u nehomogenoj sredini.
Blaže zahtjeve na izbor baznih i test funkcija omogućava Nejaka Galerkin-Bubnovljeva
formulacija [62] Pocklington-ove integralno-diferencijalne jednadžbe (2.31) koja se dobiva
pogodnom primjenom parcijalne integracije. Budući da je postupak izvoda nejake
formulacije za jednu žicu ili više njih ekvivalentan, procedura će se, zbog jednostavnosti
prikaza, detaljno opisati na primjeru za jednu žicu smještenu u homogeni prostor.
Proširenje na složenije konfiguracije provedeno je naknadno.
3.1.1. Izvod nejake formulacije
Polazna točka u razmatranju je Pocklington-ova integro-diferencijalna jednadžba za
proizvoljnu žicu smještenu u homogeni prostor:
2tan 0
'
1( ) ( ') ' ( , ') ' ( )
4exc
S
eff C
E s I s s s k g s s ds Z I sj πωε
= − ⋅ ⋅ ⋅ + ∇∇ + ⋅ ∫
(3.8)
Numeričko rješenje
35
koja se dade zapisati i na slijedeći način:
( )
20
'tan
0
'
' ( ') ( , ') '1
( ) ( )4
( ') ' ( , ') '
CexcS
eff
C
k s s I s g s s ds
E s Z I sj
I s s s g s s dsπωε
⋅ ⋅ ⋅ +
= − + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∇ ∇
∫
∫
(3.9)
gdje se operator nabla može napisati kao:
x y ze e ex y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
(3.10)
Kako je u prilogu C pokazano, za Green-ovu funkciju vrijedi:
0 0( , ') ' ( , ')g s s g s s∇ = −∇ (3.11)
gdje je:
'' ' '
x y ze e ex y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
(3.12)
Koristeći izraz (3.11) jednadžba (3.9) poprima oblik:
( )
20
'tan
0
'
' ( ') ( , ') '1
( ) ( ) ( )4
( ') ' ' ( , ') '
exc CexcS
eff
C
k s s I s g s s ds
E s s E s Z I sj
I s s s g s s dsπωε
⋅ ⋅ ⋅ −
⋅ = = − + ⋅ − ⋅ ⋅∇ ⋅∇
∫
∫
(3.13)
odnosno, može se pisati:
20
'tan
0
'
' ( ') ( , ') '1
( ) ( )4
( ') ( , ') ''
CexcS
eff
C
k s s I s g s s ds
E s Z I sj
I s g s s dss s
πωε
⋅ ⋅ ⋅ −
= − + ⋅ ∂ ∂ − ⋅
∂ ∂
∫
∫
(3.14)
Numeričko rješenje
36
Kako bi se izbjegli problemi s kvazisingularnošću jezgre, djelovanje diferencijalnog
operatora je moguće prebaciti s jezgre na struju pomoću izraza za deriviranje umnoška
dviju funkcija.
Naime iz relacije:
[ ] [ ] [ ]0 0 0( ') ( , ') ( ') ( , ') ( ') ( , ')' ' '
I s g s s I s g s s I s g s ss s s
∂ ∂ ∂⋅ = ⋅ + ⋅
∂ ∂ ∂ (3.15)
slijedi:
[ ] [ ] [ ]0 0 0( ') ( , ') ( ') ( , ') ( ') ( , ')' ' '
I s g s s I s g s s I s g s ss s s
∂ ∂ ∂⋅ = ⋅ − ⋅∂ ∂ ∂
(3.16)
Integrirajući izraz (3.16) po dužini žice:
[ ] [ ] [ ]'
0 0 0'' '
( ') ( , ') ' ( ') ( , ') ( ') ( , ') '' '
end
start
s
sC C
I s g s s ds I s g s s I s g s s dss s
∂ ∂⋅ = ⋅ − ⋅∂ ∂∫ ∫ (3.17)
Prvi član s desne strane, u izrazu (3.17), je potrebno zanemariti jer sadrži uvjete na granici
koji se naknadno u procesu numeričkog rješavanja prisilno ubacuju. U suprotnom bi
problem postao predimenzioniran.
Dakle vrijedi:
[ ] [ ]0 0
' '
( ') ( , ') ' ( ') ( , ') '' 'C C
I s g s s ds I s g s s dss s
∂ ∂⋅ = − ⋅∂ ∂∫ ∫ (3.18)
Uvrštavanjem izraza (3.18) u relaciju (3.14) dobiva se:
[ ] [ ]
20
'tan
0
'
' ( ') ( , ') '1
( ) ( )4
( ') ( , ') ''
CexcS
eff
C
k s s I s g s s ds
E s Z I sj
I s g s s dss s
πωε
⋅ ⋅ ⋅ +
= − + ⋅ ∂ ∂ + ⋅
∂ ∂
∫
∫
(3.19)
Numeričko rješenje
37
Ako se sada struja na žici izrazi kao suma linearne kombinacije linearno nezavisnih
funkcija (3.2) te primjenom osnovne leme varijacijskog računa (3.5) uz Galerkin –
Bubnovljevu proceduru (3.6) dolazi se do izraza:
[ ]
20
'
tan 01 '
' ( ') ( ) ( , ') '
( ')4 ( ) ( ) ( , ') ( ) '
'
( ) ( )4
1,2...,
g
i j
C C
Nexc i
eff j i jiC C C
S i jeff C
g
k s s f s f s g s s ds ds
f sj E s f s ds I g s s f s ds ds
s s
jZ f s f s ds
j N
πωε
πωε
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
∂ ∂ − = + ⋅ +
∂ ∂ + ⋅ ⋅
=
∫ ∫
∑∫ ∫ ∫
∫
(3.20)
Kako bi se izbjeglo djelovanje diferencijalnog operatora na jezgru, što je bit nejake
formulacije, moguće je diferencijalni operator prebaciti s jezgre na baznu funkciju pomoću
izraza za deriviranje umnoška dviju funkcija.
[ ]0 0 0( , ') ( ) ( ) ( , ') ( ) ( , ')j j jg s s f s f s g s s f s g s ss s s
∂ ∂ ∂ ⋅ = ⋅ − ⋅ ∂ ∂ ∂
(3.21)
Integrirajući izraz (3.21) po dužini žice:
[ ]0 0 0( , ') ( ) ( ) ( , ') ( ) ( , ')end
start
s
j j jsC C
g s s f s ds f s g s s f s g s s dss s
∂ ∂ ⋅ = ⋅ − ⋅ ∂ ∂∫ ∫ (3.22)
Slično kao i u izrazu (3.17) prvi izraz s desne strane sadrži uvjete na krajevima žice koji se
naknadno uključuju u nejaku formulaciju, te ga je stoga potrebno zanemariti u nastavku
rješavanja. Inače bi sustav postao predimenzioniran.
Zanemarenjem uvjeta na granici sadržanih u (3.22) i uvrštavanjem izraza (3.22) u
(3.20) konačno se dobiva:
Numeričko rješenje
38
21 0
'
0 tan1 '
' ( ') ( ) ( , ') '
( )( ')( , ') ' 4 ( ) ( )
'
( ) ( )4
1,2...,
g
i j
C C
Nj exci
i eff ji C C C
S i jeff C
g
k s s f s f s g s s ds ds
f sf sI g s s ds ds j E s f s ds
s s
jZ f s f s ds
j N
πωε
πωε
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
∂∂ − ⋅ + = −
∂ ∂ + ⋅ ⋅
=
∫ ∫
∑ ∫ ∫ ∫
∫
(3.23)
Izraz (3.23) predstavlja nejaku formulaciju Galerkin-Bubnovljeve procedure za integro-
diferencijalnu jednadžbu električnog polja za slučaj jedne proizvoljne žice u homogenom
prostoru.
Analognim postupkom lako se izvodi nejaka formulacija za slučaj jedne proizvoljne
žice u homogenom poluprostoru:
0
'
20
'
2 2'
2 21 2
'
( )( ')( , ') '
'
' ( ') ( ) ( , ') '
( )( ')( , *) '
*
* ( ') ( ) ( , *) '
g
ji
C C
i j
C C
jiiN
C Ci
i
i j i
C C
f sf sg s s ds ds
s s
k s s f s f s g s s ds ds
f sf sg s s ds ds
s sk kI
k kk s s f s f s g s s ds ds
±
± ±
±
±
= + −
± ±
∂∂− ⋅ +
∂ ∂
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
∂ ∂− ⋅ +
∂ ∂− + ⋅++ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∑
∫ ∫
∓
'
tan
( ') ( ) ( , ') '
( ) ( )4
4 ( ) ( ) 1, 2...,
si j
C C
S i j
eff C
exceff j g
C
s f s f s G s s ds ds
jZ f s f s ds
j E s f s ds j N
πωε
πωε
±
±
±
+ = + ⋅ ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅
= − =
∫ ∫
∫
∫
(3.24)
U slučaju više žica proizvoljnog oblika, potrebno je sumirati međusobne utjecaje svih
žica. Dakle, provodeći analogan postupak numeričkog rješavanja, sada jednadžbe (2.31),
dolazi se do nejake formulacije sustava Pocklington-ovih integro diferencijalnih jednadžbi
za više-žičanu konfiguraciju:
Numeričko rješenje
39
0
'
20
'
2 2'
2 22
( ) ( ' )( , ' ) '
'
' ( ) ( ' ) ( , ' ) '
( ) ( ' )( , * ) '
*
* ( )
m n
m n
m n
jm m in nnm m n n m
m nC C
m n jm m in n nm m n n m
C C
jm m in ni nm m n n m
m nC Cni
m n jm m in
df s df sg s s ds ds
ds ds
k s s f s f s g s s ds ds
df s df sg s s ds ds
k k ds dsI
k k k s s f s f
±
± ±
±
±
+ −±
−
+ ⋅ ⋅
−−
++
+ ⋅ ⋅
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∓
1 1
'
'
tan
( ' ) ( , * ) '
( ) ( ' ) ( , ' ) '
( ) ( )4
4 ( )
W n
m n
m n
m
N N
n in i nm m n n m
C C
s nmm jm m in n m n n m
C C
S im m jm m meff C
exceff m
s g s s ds ds
s f s f s G s s ds ds
jZ f s f s ds
j E s
πωε
πωε
= =±
±
±
±
=
+ ⋅
+ ⋅ ⋅
= −
∑∑∫ ∫
∫ ∫
∫
( ) 1,2,....., ; 1,2,.....,jm m m W m
C
f s ds m N j N= =∫
(3.25)
gdje je Nw ukupan broj žica, Nm ukupan broj elemenata na m-toj žici, a Nn je broj elemenata
na n-toj žici.
3.1.2. Primjena rubnih elemenata
Diskretizacija rubnim elementima implicira da se žica podijeli na N elemenata nad
kojima se definiraju oblikovne funkcije lokaliziranog djelovanja, tj. oblikovne funkcije
djeluju samo na elementu promatranja (ili izvora) dok su na ostalim elementima jednake
nuli.
Na taj način se postupak rješavanja svodi na lokalni sustav, iz kojega se potom asemblira
matrica globalnog sustava.
Nepoznata struja ( )'enI s po segmentu n-te žice izrazi se u vidu konačne sume linearno
nezavisnih oblikovnih funkcija fni, uz nepoznate kompleksne koeficijente Ini:
( ) 1
' ( ')nl
Ten ni ni n n
i
I s I f s = f I=
=∑ (3.26)
Uz upotrebu izoparametarskih elemenata slijedi:
Numeričko rješenje
40
( ) 1
( )nl
Ten ni ni n n
i
I I f = f Iζ ζ=
=∑ (3.27)
gdje nl označava broj lokalnih čvorova na elementu.
Za ravne vodiče koristi se linearna aproksimacija raspodjele struje (slika 3.1) po
rubnom elementu uzduž n-te žice, a odgovarajuće oblikovne funkcije onda su dane
izrazima [63]:
1 2
1 1
2 2f f
ζ ζ− += = (3.28)
što predstavlja optimalan izbor ako se traži kompromis između točnosti proračuna i
složenosti postupka kad se radi o modeliranju žičanih struktura.
Slika 3.1 Linearni izoparametarski element i pripadna transformacija koordinata
Što se tiče modeliranja zakrivljenih žica podesno je koristiti kvadratične
izoparametarske elemente (slika 3.2), s obzirom da se tako omogućava veća preciznost
rezultata za različite geometrije žica.
Kako je vidljivo iz slike 3.2 približno rješenje nad elementom gradi se iz tri oblikovne
funkcije [63]:
Numeričko rješenje
41
21 2 3
1 1( ) ( 1); ( ) 1 ; ( ) ( 1)
2 2f f fζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ= − = − = + (3.29)
Slika 3.2 Kvadrtični izoparametarski element i pripadna transformacija koordinata
Dakle, primjenom izoparametarskih elemenata iste funkcije se koriste za aproksimaciju
nepoznate struje, kao i za transformaciju geometrije elementa iz lokalnog koordinatnog
sustava u globalni:
1
( )nl
k kk
s s f ζ=
= ⋅∑ (3.30)
tj., u Kartezijevom koordinatnom sustavu:
1
( )nl
k kk
x x f ζ=
= ⋅∑ ; 1
( )nl
k kk
y y f ζ=
= ⋅∑ ; 1
( )nl
k kk
z z f ζ=
= ⋅∑ (3.31)
Deriviranjem prethodnih izraza (3.31) slijedi:
1
( )nlk
kk
dfdx x d
d
ζζ
ζ=
= ⋅∑ ; 1
( )nlk
kk
dfdy y d
d
ζζ
ζ=
= ⋅∑ ; 1
( )nlk
kk
dfdz z d
d
ζζ
ζ=
= ⋅∑ (3.32)
a diferencijal luka je definiran izrazom:
Numeričko rješenje
42
2 2 2
dx dy dzds d
d d dζ
ζ ζ ζ
= + +
(3.33)
tj.:
2 2 2
ds dx dy dz
d d d dζ ζ ζ ζ
= + +
(3.34)
što predstavlja Jakobijan preslikavanja iz globalnog sustava u lokalni.
Prelaskom na lokalni sustav relacija (3.25) može se simbolički napisati u matričnom
obliku:
[ ] 1 1
1,2...,
1, 2,...,
W nN Ne e e W
i jjin i m
m NZ I V
j N= =
==
=∑∑ (3.35)
gdje je [ ]e
jiZ matrica rubnog elementa, i to za j-ti rubni element promatranja na m-toj
anteni i i-ti rubni element izvora na n-toj anteni, e
iI vektor rješenja u globalnim
čvorovima, a e
iV vektor desne strane sustava koji sadrži pobudu.
Matrica rubnog elementa fizikalno predstavlja matricu međuimpedancije i-tog i j-tog
elementa i dana je, uz korištenje izoparametarskih oblikovnih funkcija, izrazom:
Numeričko rješenje
43
[ ]
1 1
0
1 1
1 12
0
1 1
1 1
2 21 1
2 22
'' ( , ' ) '
'
'' ' ( , ' ) '
'
'* ( , * ) '
'
* ' ( , *
e T n mnm m nj iji
T n mm n nm m nj i
T n mi nm m nj i
T
m n i nm m nj i
ds dsZ D D g s s d d
d d
ds dsk s s f f g s s d d
d d
ds dsD D g s s d d
d dk k
k kk s s f f g s s
±
− −
± ±
− −
±
− −±
+ −
± ±
= −
+ ⋅ ⋅ +
− +−
++
+ ⋅ ⋅
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∓
ζ ζζ ζ
ζ ζζ ζ
ζ ζζ ζ
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
') '
'
'' ( , ' ) '
'
4
n m
T n ms nmm m nj i
T mS j j
eff
ds dsd d
d d
ds dss f f G s s d d
d d
j dsZ f f d
d
− −
±
− −
± −
+
+ ⋅
+ ⋅ ⋅
∫ ∫
∫ ∫
∫
ζ ζζ ζ
ζ ζζ ζ
ζπωε ζ
(3.36)
Vektori f i f' sadrže oblikovne funkcije dok vektori D, D' i D* sadrže
njihove derivacije definirane izrazima:
df df d
Dds d ds
= =ζ
ζ;
' ' ''
' ' '
df df dD
ds d ds= =
ζ
ζ;
' ' '*
* ' *
df df dD
ds d ds= =
ζ
ζ (3.37)
uz svojstvo da je:
' ' ' '
' * ' '
df d df d
d ds d ds= −
ζ ζ
ζ ζ (3.38)
Dimenzije vektora f, f', D, D' i D* ovise o izboru oblikovnih funkcija,
odnosno u slučaju korištenja linearne aproksimacije s dvočvornim elementima dimenzija
vektora je 2x1, dok u slučaju korištenja kvadratičnih (tročvornih) izoparametarskih elemenata
dimenzija je 3x1. Nadalje proizlazi da je matrica impedancije na elementu kvadratnog oblika
dimenzija 2x2 (za dvočvorne tj. linearne elemente) odnosno 3x3 (za tročvorne tj. kvadratične
elemente). Svi članovi ove matrice, osim posljednjeg, sadrže analitički nerješive integrale pa
se mora primijeniti neka od metoda numeričke integracije, najčešće Legendre-Gauss
kvadrature zbog pogodnog intervala integracije [ ]1,1− .
Numeričko rješenje
44
Posljednji pribrojnik u izrazu za međuimpedanciju (3.36), kako je već pokazano u
prethodnom poglavlju, može opisivati različite pojave (konačnu vodljivost žice, tanki
dielektrični izolator, opteretna impedancija). Ukoliko se pomoću ZS-a modelira konačna
vodljivost žice ili utjecaj tankog dielektričnog izolatora, tada taj član postoji za sve elemente,
dok u slučaju modeliranja opteretne impedancije član je jednak nuli za sve elemente osim
onih na kojima je postavljena opteretna impedancija. U svakom slučaju može se pretpostaviti
da ZS ima konstantan iznos duž konačnog elementa. Tada slijedi za dvočvorni element:
1
1
1 1
3 61 14 4
6 3
T m SS j j
eff eff
ds j Z sjZ f f d
dζ
πωε ζ πωε± ±−
∆
⋅ ⋅ =
∫ (3.39)
dok za kvadratični element imamo:
1
1
2 1 1
15 15 301 8 1
4 4 15 15 151 1 2
30 15 15
T m SS j j
eff eff
ds j Z sjZ f f d
dζ
πωε ζ πωε± ±−
−
∆ ⋅ ⋅ =
−
∫ (3.40)
gdje je s∆ duljina elementa.
Vektor desne strane (vektor pobude) predstavlja lokalni vektor napona i dan je izrazom:
1
tan
1
4 ( )e exc m
eff m mj j
dsV j E s f d
dπωε ζ
ζ±
−
= − ∫ (3.41)
te se, za pobude opisane u poglavlju 2.3 da izračunati analitički. U slučaju odašiljačkog
moda žica je pobuđena jednostavnim idealnim naponskim izvorom kod kojega je
incidentno polje opisano jednadžbom (2.37) i postoji isključivo u procjepu za napajanje.
Članovi vektora desne strane, za elemente na kojima su postavljeni izvori, u slučaju
linearne aproksimacije po elementu su oblika:
Numeričko rješenje
45
( )1
1 1
1
4 42
gm gme mj eff eff
gm
V VdsV j f d j
s dπωε ζ ζ πωε
ζ± ±
−
= − = −∆∫
(3.42)
( )1
2 2
1
4 42
gm gme mj eff eff
gm
V VdsV j f d j
s dπωε ζ ζ πωε
ζ± ±
−
= − = −∆∫
(3.43)
dok su za u aproksimaciju dani izrazima:
( )1
1 1
1
4 46
gm gme mj eff eff
gm
V VdsV j f d j
s dπωε ζ ζ πωε
ζ± ±
−
= − = −∆∫
(3.44)
( )1
2 2
1
24 4
3gm gme m
j eff effgm
V VdsV j f d j
s dπωε ζ ζ πωε
ζ± ±
−
= − = −∆∫
(3.45)
( )1
3 3
1
4 46
gm gme mj eff eff
gm
V VdsV j f d j
s dπωε ζ ζ πωε
ζ± ±
−
= − = −∆∫
(3.46)
Vrijedi napomenuti da je vektor desne strane za ostale elemente jednak nuli.
U slučaju prijemnog (raspršnog) moda, tj. ako je žičana struktura pobuđena ravnim
valom, incidentno polje postoji duž cijele strukture te je zadano relacijom (2.59) ukoliko se
žičana struktura i upadni val nalaze s iste strane granice, odnosno relacijom (2.60) ukoliko
se struktura i upadni val nalaze sa suprotne strane granice.
Ukoliko se koristi linearna aproksimacija, tada se vektor konačnog elementa sastoji od dva
člana oblika:
( )1
1 1
1
4e i mj eff
dsV j E f d
dπωε ζ ζ
ζ±
−
= − ∫ (3.47)
( )1
2 2
1
4e i mj eff
dsV j E f d
dπωε ζ ζ
ζ±
−
= − ∫ (3.48)
Ukoliko se koristi kvadratična aproksimacija, vektor se sastoji od tri člana oblika:
Numeričko rješenje
46
( )1
1 1
1
4e i mj eff
dsV j E f d
dπωε ζ ζ
ζ±
−
= − ∫ (3.49)
( )1
2 2
1
4e i mj eff
dsV j E f d
dπωε ζ ζ
ζ±
−
= − ∫ (3.50)
( )1
3 3
1
4e i mj eff
dsV j E f d
dπωε ζ ζ
ζ±
−
= − ∫ (3.51)
Ako se pretpostavi duljina elementa s∆ dovoljno mala tako da je incidentno polje
konstantno po elementu, tada se integrali u jednadžbama (3.47) do (3.51) mogu riješiti
analitički te slijedi, za linearnu aproksimaciju:
1 42
iej eff
E sV j πωε ±
∆= − (3.52)
2 42
iej eff
E sV j πωε ±
∆= − (3.53)
dok za kvadratičnu slijedi:
1 46
iej eff
E sV j πωε ±
∆= − (3.54)
2
24
3
iej eff
E sV j πωε ±
∆= − (3.55)
3 46
iej eff
E sV j πωε ±
∆= − (3.56)
Matrica i vektor desne strane globalnog sustava grade se iz lokalnih sustava svih
elemenata. Pri tome je položaj pojedinog elementa u poznatom rasporedu globalnih
čvorova određen tablicom veza. Također, ukoliko postoje spojevi više žica u matričnu
jednadžbu (3.35) se dodaju i uvjeti određeni prvim Kirchhoff-ovim zakonom (2.33) i
Numeričko rješenje
47
kontinuitetom naboja (2.36). Na taj način se dobije sustav od 1
WN
n Jn
N N=
+∑ linearnih
jednadžbi s 1
WN
n Jn
N N=
+∑ nepoznanica iz kojih se dobije vrijednost struje u svim čvorovima.
Vrijednosti struje u ostalim točkama duž žice dobivaju se interpolacijom oblikovnim
funkcijama. nN je broj čvorova n-te žice, WN je ukupan broj žica, dok je JN ukupan broj
spojeva više žica.
3.2. Proračun električnog polja
Postupak za proračun električnog polja će se, radi jednostavnosti prikaza, prvo
objasniti na primjeru žice proizvoljnog oblika smještene u homogeni prostor. U slučaju
poluprostora s gubitcima postupak se ponavlja da bi se dobila relacija za reflektirano polje.
Izraz za električno polje žice proizvoljnog oblika smještene u homogeni prostor (2.72)
se uz korištenje svojstva (3.11) te parcijalne integracije (3.18) svodi na:
[ ] [ ]20 0
' '
1( ) ' ( ') ( , ') ' ( ') ( , ') '
4 'D
eff C C
E s k s I s g s s ds I s g s s dsj sπωε
± ± ± ±
±
∂= ⋅ ⋅ + ⋅∇
∂ ∫ ∫
(3.57)
Valja napomenuti da izraz (3.57) predstavlja i električno polje direktnog vala ukoliko
se žica nalazi u homogenom poluprostoru.
Razvojem raspodjele struje ( ')I s u red linearno nezavisnih funkcija Ng (3.2) s
prethodno izračunatim vrijednostima struje u čvorovima duž žice slijedi:
[ ]20 0
1 ' '
( ')1( ) ' ( ') ( , ') ' ( , ') '
4 '
gN
iD i i i
ieff C C
f sE s k s I f s g s s ds I g s s ds
j sπωε± ± ± ±
=±
∂= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∇
∂ ∑ ∫ ∫
(3.58)
Prelaskom na lokalni sustav dobiva se izraz za električno polje jednog elementa:
Numeričko rješenje
48
[ ]
12
0
1
11
0
1
'' ( ') ( , ') '
'1
4 ( ') ' '( , ') '
' ' '
k knl
D
keff kk
dsk s I f g s s d
dE
j f d dsI g s s d
ds d
ζ ζζ
πωε ζ ζζ
ζ ζ
± ±
−±
=±
±
−
⋅ ⋅ ⋅ +
∆ = ∂ + ⋅ ⋅ ⋅∇
∂
∫∑
∫
(3.59)
tj.
[ ]
12
0
1
11
0
1
'' ( ') ( , ') '
'1
4 ( ')( , ') '
'
ek knl
D
keff e kk
dsk s I f g s s d
dE
j fI g s s d
ζ ζζ
πωε ζζ
ζ
± ±
−±
=±
±
−
⋅ ⋅ ⋅ +
∆ = ∂ + ⋅ ⋅ ∇
∂
∫∑
∫
(3.60)
U slučaju da se žica nalazi u homogenom poluprostoru tada uz direktno polje postoji i
reflektirano koje se na identičan način može izvesti iz relacije (2.73). Reflektirano
električno polje jednog elementa žice je tada:
[ ]
12
2 21
2 2 1
1 1
1
1
'* ( ') ( , *) '
'
1 ( ')( , *) '
4 '
'( ') ( , ') '
'
ek k i
nle k
R k ikeff
esk k
dsk s I f g s s d
dk k
k k fE I g s s d
j
dsI f G s s d
d
ζ ζζ
ζζ
πωε ζ
ζ ζζ
± ±
−±
+ −± ±
=± −
±
−
⋅ ⋅ ⋅ +
− + + ∂ ∆ = − ⋅ ⋅ ∇
∂ + ⋅ ⋅
∫
∑ ∫
∫
∓
(3.61)
Polje jednog elementa u promatranom poluprostoru je tada zbroj direktnog i reflektiranog:
D RE E E∆ = ∆ + ∆
(3.62)
dok se ukupno polje dobije sumiranjem doprinosa svih elemenata:
1
eN
i
i
E E=
= ∆∑
(3.63)
U slučaju više žica ukupno polje će biti suma polja svake pojedine žice:
Numeričko rješenje
49
[ ]
[ ]
12
0
1
1
0
1
12
2 21
2 2 1
1
'' ( ') ( , ') '
'
( ')( , ') '
'
1 '( ) * ( ') ( , *) '
4 '
( ')( , *) '
'
e nn kn k n n
e kkn n n
e nn kn k in n
eff
e kkn in n
dsk s I f g s s d
d
fI g s s d
dsE s k s I f g s s d
j dk k
k k fI g s s d
ζ ζζ
ζζ
ζ
ζ ζπωε ζ
ζζ
ζ
± ±
−
±
−
± ± ±
± −±
+ −
±
−
⋅ ⋅ ⋅ +
∂+ ⋅ ⋅∇ +
∂
= ⋅ ⋅ ⋅ +
−
+ ∂− ⋅ ⋅ ∇
∂
∫
∫
∫
∫
∓
1 1 1
1
1
'( ') ( , ') '
'
W enN N nl
n i k
e nsnkn k n
dsI f G s s d
dζ ζ
ζ
= = =
±
−
+ + ⋅ ⋅
∑∑∑
∫
(3.64)
Vrijednosti integrala u izrazima (3.60) i (3.61) se računaju numerički pomoću
Legendre-Gauss kvadrature. Posebno se treba osvrnuti na gradijent Green-ove funkcije:
( , , ; ') ( , , ; ') ( , , ; ')( , ') ( , , ; ') x y z
g x y z s g x y z s g x y z sg s s g x y z s e e e
x y z
∂ ∂ ∂∇ = ∇ = + +
∂ ∂ ∂
(3.65)
Kako bi se izbjegli mogući problemi zbog kvazisingularnosti koji se očituju kod integrala
koji sadrže derivaciju Green-ove funkcije, umjesto analitičke derivacije primijenjen je
algoritam konačnih diferencija. Pri tome je za aproksimaciju prve derivacije odabrana
centralna formula konačnih diferencija oblika:
( , , ; ') ( , , ; ') ( , , ; ')
2
g x y z s g x x y z s g x x y z s
x x
∂ + ∆ − − ∆≈
∂ ⋅∆ (3.66)
Centralna formula konačnih diferencija koristi se zbog toga što za dovoljno mali x∆ unosi
manju grešku nego desna ili lijeva formula. Naime, greška skraćivanja je kod lijeve i
desne formule reda veličine x∆ , dok je kod centralne formule ta greška proporcionalna sa
2x∆ .
Numeričko rješenje
50
3.3. Proračun magnetskog polja
Slično kao i kod proračuna električnog polja, razvojem raspodjele struje ( ')I s u red
linearno nezavisnih funkcija Ng (3.2) s prethodno izračunatim vrijednostima struje u
čvorovima duž žice te prelaskom na lokalni sustav iz (2.83) dobiva se izraz za direktno
magnetsko polje jednog rubnog elementa:
1
01 1
1 '( ') ' ( , ') '
4 '
nle
D k kk
dsH I f s g r r d
d± ±
= −
∆ = − ⋅ × ∇∑∫
ζ ζπ ζ
(3.67)
Identičnim postupkom dobiva se i jednadžba za reflektirano magnetsko polje jednog
elementa:
2 2 1
2 21 1
1
21 1
1 '( ') * ( , ') '
4 '
1 '( ') ( , ') '
4 '
nle
R k k ik
nle
sk kkeff
k k dsH I f s g r r d
k k d
dsI f G r r d
d
±± ±
=+ − −
±
=± −
−∆ = − ⋅ ×∇ +
+
+ ⋅ ⋅∇ ×
∑∫
∑∫
∓
ζ ζπ ζ
ζ ζπω µε ζ
(3.68)
Ukupno magnetsko polje jednog elementa žice je tada zbroj direktnog i reflektiranog:
D RH H H∆ = ∆ + ∆
(3.69)
Ukupno magnetsko polje žice u proizvoljnoj točci homogenog poluprostora se tada dobije
sumiranjem doprinosa svih elemenata:
1
eN
i
i
H H=
= ∆∑
(3.70)
U slučaju više žica ukupno polje će biti suma polja svake pojedine žice:
Numeričko rješenje
51
1
0
1
2 2 1
2 21 1 1
1
21
'( ') ' ( , ') '
'
1 '( ) ( ') * ( , *) '
4 '
1 '( ') ( , ') '
'
en
e nkn k n n n
N nle nkn k n in n
n i k
e nsnkn k n
eff
dsI f s g s s d
d
k k dsH s I f s g s s d
k k d
dsI f G s s d
d
ζ ζζ
ζ ζπ ζ
ζ ζω µε ζ
±
−
±± ±
= = + − −
±
± −
⋅ ⋅ × +
−
= − ⋅ ⋅ × + +
− ⋅ ⋅∇ ×
∫
∑∑ ∫
∫
∓
1
WN
=
∑ (3.71)
3.4. Numerički primjeri
Metodologija opisana u poglavljima 2 i 3 verificirana je na nekoliko ilustrativnih
primjera. Za pobudu su korištene sve tri navedene varijante (idealni naponski izvor, idealni
strujni izvor i upadni ravni val). Nadalje, testirane su obje varijante izložene numeričke
metode s linearnim te s kvadratičnim elementima. Također, u posljednjem primjeru je
provjerena i metodologija proračuna električnog polja. Svi rezultati dobiveni GBIMRE
metodom su uspoređeni s rezultatima u dostupnoj literaturi i/ili s rezultatima dobivenih
NEC-om [41].
3.4.1. Primjer 1 – Dvije kružne antene
Prvi primjer se odnosi na dvije antene u obliku kružnih petlji radijusa b=0.25m te
radijusa žice a=0.005m. Antene, čija su središta udaljena za d=0.55m, su postavljene iznad
konačno vodljive sredine karakteristika εr=20 i σ=0.01S/m, na dva različita načina,
međusobno paralelno i međusobno okomito, kako je prikazano na slikama 3.3 i 3.4.
Slika 3.3 Konfiguracija kružnih antena 1
Numeričko rješenje
52
Slika 3.4 Konfiguracija kružnih antena 2
Od dvije antene lijeva (u oba slučaja) je aktivna, odnosno napajana idealnim
naponskim izvorom iznosa U=1V i frekvencije f=300MHz postavljenim u točku B, dok je
desna antena pasivna.
U slučaju konfiguracije 1 rezultati za raspodjelu struje duž antena su prikazani na
slikama 3.5 i 3.6. Usporedbom s rezultatima iz [64], te rezultatima dobivenih programskim
paketom NEC [41] vidljivo je izvrsno slaganje rezultata i to kako za linearne tako i za
kvadratične elemente. Pri tome je korišteno 42 linearna odnosno 22 kvadratična elementa
po anteni, dok je programskim paketom NEC proračun izvršen s 40 elemenata po anteni.
0 1 2 3 4 5 6−4
−2
0
2
4
6
8x 10
−4
real(I)
(A
)
kut (rad)
Realni dio struje
0 1 2 3 4 5 6−3
−2
−1
0
1
2
3x 10
−3
Ima
g(I
) (A
)
kut (rad)
Imaginarni dio struje
GB−IMRE izo2
GB−IMRE izo3
NEC
Slika 3.5 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 1
Numeričko rješenje
53
0 1 2 3 4 5 6−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
−4
rea
l(I)
(A
)
kut (rad)
Realni dio struje
0 1 2 3 4 5 6−4
−2
0
2
4x 10
−4
Ima
g(I
) (A
)
kut (rad)
Imaginarni dio struje
GB−IMRE izo2
GB−IMRE izo3
NEC
Slika 3.6 Raspodjela struje duž pasivne antene u konfiguraciji 1
U slučaju konfiguracije 2 rezultati za raspodjelu struje na aktivnoj anteni prikazani su
na slici 3.7, uz korištenje istog broja elemenata. Struja na pasivnoj anteni je prema
očekivanju jednaka 0 tj. rezultati numeričkog proračuna daju iznose reda veličine 10-19 u
slučaju GBIMRE metode i 10-15 u slučaju NEC-a. Iz tog razloga ih nema potrebe posebno
prikazivati.
0 1 2 3 4 5 6−5
0
5
10
15x 10
−4
rea
l(I)
(A
)
kut (rad)
Realni dio struje
0 1 2 3 4 5 6−3
−2
−1
0
1
2
3x 10
−3
Ima
g(I
) (A
)
kut (rad)
Imaginarni dio struje
GB−IMRE izo2
GB−IMRE izo3
NEC
Slika 3.7 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 2
Numeričko rješenje
54
Slično kao i u slučaju konfiguracije 1 i kod konfiguracije 2 je vidljivo izvrsno slaganje
rezultata predloženih GBIMRE metoda s rezultatima dobivenim NEC-om.
Također na primjeru konfiguracije 1 izvršena je i analiza konvergencije rješenja kako u
slučaju linearnih tako i u slučaju kvadratičnih elemenata. Slika 3.8 prikazuje raspodjelu
struje na aktivnoj anteni za različiti broj linearnih elemenata. Vidljivo je da se dobra
konvergencija postiže već s 22 elementa dok se potpuna dobije s 42 elementa.
0 1 2 3 4 5 6−4
−2
0
2
4
6
8x 10
−4
real(I)
(A
)
kut (rad)
Realni dio struje
0 1 2 3 4 5 6−3
−2
−1
0
1
2
3x 10
−3
Imag(I
) (A
)
kut (rad)
Imaginarni dio struje
Ne=10
Ne=22
Ne=42
Ne=62
Slika 3.8 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 1 za različiti broj linearnih elemenata
Na slici 3.9 prikazana je raspodjela struje na aktivnoj anteni za različiti broj kvadratičnih
elemenata. Može se primijetiti da je već s 10 elemenata postignuta jako dobra točnost, dok
je s 22 elementa rješenje gotovo u potpunosti konvergiralo.
Numeričko rješenje
55
0 1 2 3 4 5 6−4
−2
0
2
4
6
8x 10
−4
rea
l(I)
(A
)
kut (rad)
Realni dio struje
0 1 2 3 4 5 6−3
−2
−1
0
1
2
3x 10
−3
Ima
g(I
) (A
)
kut (rad)
Imaginarni dio struje
Ne=10
Ne=22
Ne=42
Slika 3.9 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 1 za različiti broj kvadratičnih elemenata
3.4.2. Primjer 2 - Dalekovod
U slijedećem primjeru obrađuje se problem interferencije na vodičima nadzemnih
vodova uzrokovane ravnim valom proizvoljne incidencije. Sustav vodova se sastoji od
četiri žice smještene iznad realne zemlje (karakteristika εr=10 i σ=0.001S/m) kako je
prikazano na slici 3.10. Udaljenost između stupova koji nose vodiče je 300m. Tri donja
voda su u načelu fazni vodiči, dok je četvrti tzv. zaštitno uže. Vodiči imaju radijus
a=0.005m i ovdje se smatraju idealno vodljivima.
U prvom slučaju pretpostavlja se da su žice ravne te su pobuđene upadnim ravnim
valom jedinične amplitude, frekvencije 5MHz te kutovima incidencije α=0°, θ=60° i
φ=30°. Na slikama 3.11 do 3.14 prikazana je raspodjela struje duž svake pojedine žice
izračunata predloženom GBIMRE metodom te NEC-om. Vidljivo je izvrsno slaganje
rezultata izračunatih dvjema metodama.
Numeričko rješenje
56
Slika 3.10 Razmještaj vodiča dalekovoda
0 50 100 150 200 250 300−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
real(I)
(A
)
x (m)
Realni dio struje
0 50 100 150 200 250 300−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
Imag(I
) (A
)
x (m)
Imaginarni dio struje
GB−IMRE
NEC
Slika 3.11 Raspodjela struje na prvom vodiču
Numeričko rješenje
57
0 50 100 150 200 250 300−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
real(I)
(A
)
x (m)
Realni dio struje
0 50 100 150 200 250 300−0.05
0
0.05
Imag(I
) (A
)
x (m)
Imaginarni dio struje
GB−IMRE
NEC
Slika 3.12 Raspodjela struje na drugom vodiču
0 50 100 150 200 250 300−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
real(I)
(A
)
x (m)
Realni dio struje
0 50 100 150 200 250 300−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
Imag(I
) (A
)
x (m)
Imaginarni dio struje
GB−IMRE
NEC
Slika 3.13 Raspodjela struje na trećem vodiču
Numeričko rješenje
58
0 50 100 150 200 250 300−0.05
0
0.05
real(I)
(A
)
x (m)
Realni dio struje
0 50 100 150 200 250 300−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
Imag(I
) (A
)
x (m)
Imaginarni dio struje
GB−IMRE
NEC
Slika 3.14 Raspodjela struje na zaštitnom vodiču
U slijedećem slučaju uzet je u obzir provjes žica i to provjes od 23 m za fazne vodiče i
13.5 m za zaštitno uže. Vodiči su pobuđeni upadnim ravnim valom jedinične amplitude,
frekvencije 5MHz te incidencije α=0°, θ=0° i φ=0°. Na slikama 3.15 do 3.18 prikazana je
raspodjela struje duž svake pojedine žice izračunatu predloženom GBIMRE metodom s
linearnim i kvadratičnim elementima te NEC-om. Vidljivo je izvrsno slaganje rezultata,
kako između predloženih varijanti GBIMRE-a tako i tih rezultata s rezultatima dobivenih
NEC-om.
Numeričko rješenje
59
0 50 100 150 200 250 300−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
real(I)
(A
)
x (m)
Realni dio struje
0 50 100 150 200 250 300−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Imag(I
) (A
)
x (m)
Imaginarni dio struje
GB−IMRE izo2
GB−IMRE izo3
NEC
Slika 3.15 Raspodjela struje na prvom vodiču
0 50 100 150 200 250 300−0.05
0
0.05
real(I)
(A
)
x (m)
Realni dio struje
0 50 100 150 200 250 300−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Imag(I
) (A
)
x (m)
Imaginarni dio struje
GB−IMRE izo2
GB−IMRE izo3
NEC
Slika 3.16 Raspodjela struje na drugom vodiču
Numeričko rješenje
60
0 50 100 150 200 250 300−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
real(I)
(A
)
x (m)
Realni dio struje
0 50 100 150 200 250 300−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
Imag(I
) (A
)
x (m)
Imaginarni dio struje
GB−IMRE izo2
GB−IMRE izo3
NEC
Slika 3.17 Raspodjela struje na trećem vodiču
0 50 100 150 200 250 300−0.05
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
real(I)
(A
)
x (m)
Realni dio struje
0 50 100 150 200 250 300−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
Imag(I
) (A
)
x (m)
Imaginarni dio struje
GB−IMRE izo2
GB−IMRE izo3
NEC
Slika 3.18 Raspodjela struje na zaštitnom vodiču
Također na istom primjeru je provjeren utjecaj provjesa na raspodjelu struje uslijed
proizvoljne incidencije. Slike 3.19 do 3.22 prikazuju razliku između raspodjele struje
ukoliko se provjes uzme u obzir u odnosu na slučaj kada se koristi model s ravnim žicama.
Upadni val, jedinične amplitude, ima kutove incidencije α=0°, θ=60° i φ=30° i frekvenciju
Numeričko rješenje
61
od 5MHz. U slučaju da je provjes uzet u obzir, raspodjela struje je izračunata i s linearnim
i s kvadratičnim elementima, dok je u slučaju ravne žice korištena samo linearna
aproksimacija.
0 50 100 150 200 250 300−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
real(I)
(A
)
x (m)
Realni dio struje
0 50 100 150 200 250 300−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
Imag(I
) (A
)
x (m)
Imaginarni dio struje
GB−IMRE izo2
GB−IMRE izo3
GB−IMRE ravne
Slika 3.19 Raspodjela struje na prvom vodiču sa ili bez provjesa
0 50 100 150 200 250 300−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
real(I)
(A
)
x (m)
Realni dio struje
0 50 100 150 200 250 300−0.05
0
0.05
Imag(I
) (A
)
x (m)
Imaginarni dio struje
GB−IMRE izo2
GB−IMRE izo3
GB−IMRE ravne
Slika 3.20 Raspodjela struje na drugom vodiču sa ili bez provjesa
Numeričko rješenje
62
0 50 100 150 200 250 300−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
real(I)
(A
)
x (m)
Realni dio struje
0 50 100 150 200 250 300−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
Imag(I
) (A
)
x (m)
Imaginarni dio struje
GB−IMRE izo2
GB−IMRE izo3
GB−IMRE ravne
Slika 3.21 Raspodjela struje na trećem vodiču sa ili bez provjesa
0 50 100 150 200 250 300−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
real(I)
(A
)
x (m)
Realni dio struje
0 50 100 150 200 250 300−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
Imag(I
) (A
)
x (m)
Imaginarni dio struje
GB−IMRE izo2
GB−IMRE izo3
GB−IMRE ravne
Slika 3.22 Raspodjela struje na zaštitnom vodiču sa ili bez provjesa
Iz prikazanih rezultata jasno je vidljivo da je utjecaj provjesa značajan te bi ga kod
ovakvih situacija, gdje postoji interferencija upadnim valom proizvoljne incidencije,
svakako trebalo uzeti u obzir kod proračuna struje i/ili ostalih parametara od interesa.
Razlika u slučaju uzimanja i neuzimanja provjesa u obzir najbolje se vidi na slici 3.23 koja
Numeričko rješenje
63
prikazuje postotnu grešku u apsolutnom iznosu struje na prvom vodu ukoliko se zanemari
provjes. Pogreška u strujnoj raspodjeli ide do maksimalnog iznosa od 900%. Također valja
napomenuti da je, radi jednostavnosti usporedbe, struja na krajevima vodiča bila
postavljena na nulu.
0 50 100 150 200 250 3000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Razkik
a (
%)
x (m)
Postotna razlika apsolutnog iznosa struje
Slika 3.23 Postotna greška apsolutnog iznosa struje ukoliko se zanemari provjes
3.4.3. Primjer 3 – Mrežasti uzemljivač
U trećem primjeru razmatra se mrežasti uzemljivač dimenzija 60x60m, s okom mreže
od 10x10m [65]. Uzemljivač je izveden od bakrene žice (konačne vodljivosti) radijusa
a=0.007m te je ukopan u zemlju na dubinu od d=0.5m. Zemlja je smatrana homogenom
specifične električne vodljivosti σ=0.001S/m i relativne dielektričnosti εr=9. Geometrija
razmatranog uzemljivača je prikazana na slici 3.24, gdje su također naznačene točke
injektiranja struje: a) centar uzemljivača, i b) kut uzemljivača.
U prvom slučaju struja frekvencije 50Hz i jakosti 1kA je narinuta u centar uzemljivača
kako je naznačeno na slici 3.24. Korištenjem predložene GBIMRE metode izračunata je
raspodjela električnog polja na površini zemlje iznad uzemljivačkog sustava, primjenom
relacije (3.64).
Numeričko rješenje
64
Slika 3.24 Geometrija mrežastog uzemljivača
Na slici 3.25 prikazana je raspodjela apsolutne vrijednosti ukupnog električnog polja na
površini zemlje, dok je na slici 3.26 prikazana apsolutna vrijednost x-komponente
električnog polja.
Slika 3.25 Raspodjela efektivne vrijednosti ukupnog električnog polja na površini zemlje (50Hz centralna pobuda)
Numeričko rješenje
65
Slika 3.26 Raspodjela efektivne vrijednosti x-komponente električnog polja na površini zemlje (50Hz centralna pobuda)
U drugom slučaju narinuta struja je frekvencije 0.5MHz iste amplitude. Raspodjele
apsolutnih vrijednosti kako ukupnog električnog polja tako i x-komponente električnog
polja na površini zemlje su prikazane na slikama 3.27 i 3.28.
Slika 3.27 Raspodjela efektivne vrijednosti ukupnog električnog polja na površini zemlje (0.5MHz centralna pobuda)
Numeričko rješenje
66
Slika 3.28 Raspodjela efektivne vrijednosti x-komponente električnog polja na površini zemlje (0.5MHz centralna pobuda)
U slučaju da se struja injektira u kut uzemljivača raspodjela električnog polja na
površini se uvelike mijenja što je vidljivo iz slika 3.29 i 3.30.
Slika 3.29 Raspodjela efektivne vrijednosti ukupnog električnog polja na površini zemlje (0.5MHz kutna pobuda)
Numeričko rješenje
67
Slika 3.30 Raspodjela efektivne vrijednosti x-komponente električnog polja na površini zemlje (0.5MHz kutna pobuda)
Ukoliko se usporede rezultati prikazani na slikama 3.25 do 3.30 s rezultatima
objavljenima u [65] uočava se izvrsno slaganje, čime se potvrđuje ispravnost predložene
GBIMRE metode.
Izvrsno slaganje se može vidjeti i ukoliko se usporede izračunate vrijednosti x-
komponente električnog polja na površini zemlje izračunate duž pravca y=5m i x=0-40m u
slučaju centralne pobude s rezultatima objavljenim u [66]. Ta usporedba, na različitim
frekvencijama, je prikazana na slici 3.31.
Numeričko rješenje
68
0 5 10 15 20 25 30 35 400
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
|Ex| (V
/m)
x (m)
50Hz
0.5MHz
1MHz
50Hz Grcev
0.5MHz Grcev
1MHz Grcev
Slika 3.31 Usporedba x komponente električnog polja na različitim frekvencijama
Iz slike 3.31 je vidljivo kako GBIMRE metoda daje jako dobre rezultate bez obzira na
frekvenciju pobude.
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
69
4. KONCEPT KRUŽNOG MAGNETSKOG PRSTENA I JEDNOSTAVNE MAGNETSKE KRUŽNE ANTENE
Nema sumnje da je najčešće korišteni model pobude u teoriji žičanih antena, već
spomenuti, jednostavni idealni naponski izvor. Iako takav generator ne postoji u praksi, te
usprkos njegove jednostavnosti, rezultati koje daje su vrlo dobri. To se posebice odnosi na
dijagram zračenja.
Drugi nerijetko korišteni izvor pobude vezan je za koncept magnetskog prstena (eng.
magnetic frill). Ovaj model općenito daje točnije rezultate za ulaznu impedanciju ali pod
cijenu složenije matematičke formulacije. Kod koncepta magnetskog prstena početna
postavka je da je monopol, postavljen na ravninu (eng. ground plane), napajan
koaksijalnim kabelom. Osnovna ideja je da se tada električno polje unutar koaksijalnog
otvora može interpretirati kao primarni izvor koji pobuđuje ostatak antene. Originalno
model je predložen u [67] i uspješno implementiran u [68] i [69] za cilindrične dipole. Iako
se objašnjenje osnovne ideje modela može pronaći u mnogim knjigama na temu antena
[55], [56], [70], [71] nema mnogo znanstvenih radova u kojima se detaljnije obrađuje. Ti
radovi su uglavnom ograničeni na jednostavne dipole [43], [72] ili prstenove [73], [74].
Važno je napomenuti da su se i jedan i drugi generator do sada postavljali samo pomaknuti
od krajeva žice (antene), a nikada na otvorene krajeve žice. Dok se idealni naponski izvor
ni na koji način ne može postaviti na otvoreni kraj žice, predložen matematički model i
numeričko rješenje, kako će biti pokazano, omogućava da se jednostavni magnetski prsten
postavi na kraj žice bez da izazove numeričke nestabilnosti i nefizikalna rješenja. Ovo će
omogućiti značajno proširenje primjenljivosti naponski upravljanih pobuda na modeliranje
fizikalnih procesa. Na temelju osnovne ideje jednostavnog magnetskog prstena predložit će
se i korištenje jednostavne magnetske kružne antene kao naponski upravljanog generatora
u teoriji antena.
4.1. Koncept kružnog magnetskog prstena
Razmatra se monopol antena, vertikalna u odnosu na zemlju, kružnog presjeka, koja
predstavlja produžetak unutrašnjeg vodiča koaksijalne linije. Linija napaja antenu preko
beskonačne, idealno vodljive ravnine. Koristeći princip ekvivalentnosti pobuda
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
70
koaksijalnim kabelom se može zamijeniti ekvivalentnim tangencijalnim (u odnosu na
otvor, tj. radijalnim) električnim poljem definiranim duž otvora koaksijalne linije. U
slučaju da je otvor koaksijalne linije električki mali (valna duljina vala mnogo veća od
radijusa vanjskog vodiča) tada je distribucija električnog polja duž otvora primarno TEM
(transverzalno elektromagnetski mod) prirode. To znači da se električno polje duž otvora
koaksijalne linije može aproksimirati sa samo TEM modom [42], [55]:
01
2ln
VE e
b
a
ρ
ρ
=
(4.1)
gdje je V0 napon, b radijus vanjskog vodiča, a a radijus unutarnjeg vodiča koaksijalne linije
koji se poklapa s radijusom antene. Faktor ½ se koristi zato što se pretpostavlja da je
impedancija izvora prilagođena impedanciji antene. U slučaju da se koristi napon na
ulaznim stezaljkama antene 0 = iV V , umjesto napona iz izvora 0 = sV V , ovaj faktor postaje
1.
Električno polje na stezaljkama antene se zamjenjuje kružnom gustoćom magnetske
struje oko žice, unutarnjeg radijusa a (ujedno i radijus antene) i vanjskog radijusa b, kako
je skicirano na slici 4.1.
Slika 4.1 Monopol napajan koaksijalnom linijom i pripadajući magnetski prsten
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
71
Na površini procjepa antene vrijedi granični uvjet:
( )1 22− × − =
fn E E M (4.2)
gdje je fM
ekvivalentna gustoća magnetske struje, a:
zn e=
(4.3)
vektor smjera antene.
1E
je električno polje pobude i u slučaju koaksijalnog napajanja te pretpostavljenog
TEM moda propagacije iznosi:
01
1
2 ln
VE e
b
a
ρ
ρ
=
(4.4)
dok je:
2 0E =
(4.5)
električno polje unutar žice, budući da se smatra da je žica idealno vodljiva.
Valja napomenuti da faktor 2 u izrazu (4.2) proizlazi iz teorije preslikavanja, te se
koristi ukoliko u jednadžbi (4.1) primjenjuje napon izvora Vs. U slučaju korištenja napona
na stezaljkama antene Vi tada se faktor 2 zamjenjuje s jedinicom.
Uvrštavajući izraze (4.3)-(4.5) u (4.2) slijedi izraz za ekvivalentnu gustoću magnetske
struje oko žice :
0
lnf
VM e
b
a
φ
ρ
= −
(4.6)
Dakle, da bi se magnetski prsten mogao koristiti kao pobuda žičane strukture potrebno je
odrediti izraz za električno polje magnetskog prstena na površini antene.
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
72
Električni vektorski potencijal definiran je izrazom [75]:
( ) ( )'
, , ', ', ' '4
jkR
S
eF x y z M x y z dS
R
ε
π
−
= ∫∫
(4.7)
gdje je R udaljenost od točke izvora do točke promatranja, a k valni broj.
Općenito prostorna raspodjela magnetske struje se može zapisati u obliku:
( ) ( ) ( ) ( )', ', ' ', ', ' ', ', ' ', ', 'x y zx y zM x y z e M x y z e M x y z e M x y z= + +
(4.8)
S obzirom na cilindričnu geometriju, mnogo je podesnije zapisati komponente struje u
cilindričnom koordinatnom sustavu pomoću transformacije:
cos ' sin ' 0
sin ' cos ' 0
0 0 1
x
y
z z
M M
M M
M M
ρ
φ
φ φ
φ φ
− =
(4.9)
i transformacije koordinatnog vektora:
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
x
y
z z
e e
e e
e e
ρ
φ
φ φ
φ φ
− =
(4.10)
Uvrštavajući (4.9) i (4.10) u (4.8) dobiva se izraz za prostornu raspodjelu magnetske struje
u cilindričnom sustavu:
( )
cos( ') sin( ')
sin( ') cos( ')
', ', 'z z
M e M M
e M M
e M x y z
ρ ρ φ
φ ρ φ
φ φ φ φ
φ φ φ φ
= − + − +
+ − − + − +
+
(4.11)
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
73
U konkretnom slučaju jednostavnog magnetskog prstena ostaje samo φ komponenta Mφ
gustoće magnetske struje:
cos( ')M e Mφ φ φ φ= −
(4.12)
Udaljenost R od bilo koje točke na prstenu do točke promatranja je općenito:
( ) ( ) ( )2 2 2
' ' 'R x x y y z z= − + − + − (4.13)
odnosno ako je prikažemo u cilindričnom koordinatnom sustavu:
( ) ( )22 2' 2 'cos ' 'R z zρ ρ ρρ φ φ= + − − + − (4.14)
Budući je Mφ dano s (4.6) ne ovisi o kutu φ , tada i polje koje izrači prsten neće biti ovisno
o kutu φ . Zbog toga se, bez gubitka općenitosti može uzeti da je 0φ = . Tada se (4.14)
reducira:
( )22 2' 2 'cos ' 'R z zρ ρ ρρ φ= + − + − (4.15)
Korištenjem (4.12) i (4.15), φ komponenta električnog vektorskog potencijala (4.7)
postaje:
( )
( )
22 2' 2 ' cos ' '2
22 20
cos ' ' ' '4 ' 2 'cos ' '
jk z zb
a
eF M d d
z z
ρ ρ ρρ φπ
φ φ
εφ ρ φ ρ
π ρ ρ ρρ φ
− + − + −
=+ − + −
∫ ∫ (4.16)
gdje je diferencijal površine definiran u cilindričnom koordinatnom sustavu oblika:
' ' ' 'dS d dρ φ ρ= (4.17)
Uvrštavanjem (4.6) u (4.16) konačno slijedi:
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
74
( )
( )
22 2' 2 ' cos ' '20
22 20
cos ' ' '4 ' 2 'cos ' 'ln
jk z zb
a
V eF d d
b z za
ρ ρ ρρ φπ
φ
εφ φ ρ
π ρ ρ ρρ φ
− + − + −
= − + − + −
∫ ∫ (4.18)
Dvostruki integral u (4.18) nije analitički rješiv, te ga je nužno izračunati numerički.
Nadalje, električno i magnetsko polje izraženo je preko magnetskog i električnog
vektorskog potencijala na način [75]:
( )1 1E j A j A Fω
ωµε ε= − − ∇ ∇ − ∇ ×
(4.19)
Odnosno:
( )1 1H j F j F Aω
ωµε µ= − − ∇ ∇ + ∇ ×
(4.20)
U konkretnom slučaju jednostavnog magnetskog prstena jednadžbe (4.19) i (4.20) se
reduciraju i za cilindrični koordinatni sustav se dobiva:
( )1 1
zE Fφρε ρ ρ
∂= −
∂ (4.21)
( )1
E Fzρ φ
ε
∂=
∂ (4.22)
H j Fφ φω= − (4.23)
Dakle, električno polje magnetskog prstena na površini žice nije jednostavno odrediti
budući da postupak zahtjeva i numeričko integriranje i numeričko deriviranje, što zahtjeva
dosta vremena računanja. Što je još bitnije, numeričko integriranje, a posebice deriviranje
je jako osjetljivo na diskretizaciju domene te je mogućnost dobivanja netočnih i
nefizikalnih rezultata vrlo izgledna. Valja napomenuti da u literaturi postoje
aproksimativni analitički izrazi za polja magnetskog prstena, ali su izrazito kompleksni
[42].
Međutim, ukoliko se promatra samo polje duž osi z, tj. za 0ρ = , tada je moguće
izvesti analitički izraz za električno polje duž te osi. U slučaju da je žica dovoljno tanka,
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
75
što se implicira kod tankožičane aproksimacije, može se pretpostaviti da je polje na
površini žice jednako polju duž osi žice.
Dakle, tada simetrija problema uvjetuje da je ρ komponenta električnog polja jednaka
nuli. Također izraz za udaljenost od točke izvora do točke promatranja (4.15) se
pojednostavljuje, odnosno postaje:
( )22' 'R z zρ= + − (4.24)
pa onda izraz za električni vektorski potencijal poprima sljedeći oblik:
( )
( )
22' ' 20
220
(0, ) cos ' ' '4 ' 'ln
jk z zb
a
V eF z d d
b z za
ρ π
φ
εφ φ ρ
π ρ
− + − = −
+ −
∫ ∫ (4.25)
što je identički jednako nuli budući je:
2
0
cos ' 'dπ
φ φ∫ =0 (4.26)
Tada je magnetsko polje u osi z:
(0, ) 0H zφ ≡ (4.27)
Iz (4.21) slijedi:
( ) ( )
0 0
, ,1 1(0, )z
F z F zE z φ φ
ρ ρ
ρ ρ
ε ρ ε ρ= =
∂= − −
∂ (4.28)
Korištenjem L'Hospital-ovog pravila za prvi izraz s desne strane (0/0) (4.28) dobiva se:
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
76
( )
0
,2(0, )z
F zE z φ
ρ
ρ
ε ρ=
∂= −
∂ (4.29)
Uvrštavanjem (4.25) u (4.29) te mijenjanjem redoslijeda integracije i deriviranja slijedi:
( )( )
( )
22 2' 2 ' cos ' '20
22 20
0
10, cos ' ' '
2 ' 2 'cos ' 'ln
jk z zb
z
a
V eE z d d
b z za
ρ ρ ρρ φπ
ρ
φ φ ρπ ρ ρ ρ ρρ φ
− + − + −
=
∂ = ∂ + − + −
∫ ∫ (4.30)
Izraz (4.30) je analitički rješiv, pa je električno polje duž osi z jednako [42]:
( )( )
( )
( )
( )
2 22 2' '
0
2 22 2
10,
2 ' 'ln
− + − − + − = − + − + −
jk a z z jk b z z
z
V e eE z
b a z z b z za
(4.31)
Jednadžba (4.31) predstavlja pobudu ravne žičane strukture u vidu tangencijalnog
električnog polja, tj. ( )excsmE s u jednadžbi (2.32) kada se pobuda modelira jednostavnim
magnetskim prstenom. Valja napomenuti da se na ovaj način uspješno modelira napajanje
dipola pomoću napajanja monopola. S druge strane, iako nije praktično izvediv, ovakav
način matematičkog modeliranja se može koristiti za pobuđivanje složenijih žičanih
struktura, što uključuje ne-centralno napajane antene, proizvoljne žičane strukture s jednim
ili više generatora, a posebice strukture koje se napajaju na otvorenom kraju žice. Ovo
posljednje se naročito odnosi na modeliranje kanala groma, gromobrana i uzemljivača.
Jedini možebitni nedostatak ovako formulirane pobude je nejasno definiran radijus b.
Najčešće se radijus b određuje iz karakteristične impedancije prstenastog otvora
koaksijalne linije definirane s [55]:
ln
2
µ
ε π
=c
b
aZ (4.32)
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
77
Dakle, npr. u slučaju 50Ω-ske karakteristične impedancije (često u antenskim
primjenama) i zraku između vodiča koaksijalne linije vanjski radijus magnetskog prstena
je 2.3=b a .
Karakter aksijalnog električnog polja definiranog (4.31) uzrokovanog magnetskim
prstenom unutarnjeg radijusa 0.005a m= , vanjskog radijusa 0.0115b m= (što odgovara
50Ω-skom prilagođenju) te ulaznom naponu od 1V pri frekvenciji od 300MHz prikazana je
na slici 4.2. Zbog rapidnog opadanja polja posebnu pažnju treba posvetiti numeričkoj
integraciji pri proračunu vektora desne strane, tj. vektora pobude.
-0.2 -0.1 0 0.1 0.20
10
20
30
40
50
60
70
AB
S (
E)
[V/m
]
pozicija [m]
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2-25
-20
-15
-10
-5
0
FA
ZA
(E
) [°
]
pozicija [m]
Slika 4.2 Polje magnetskog prstena
4.2. Koncept jednostavne magnetske kružne antene
Na tragu koncepta magnetskog prstena može se predstaviti koncept jednostavne
magnetske kružne antene kao pobude proizvoljne žičane strukture, slika 4.3. Dakle na
mjestu pobude žice (antene) postavlja se jednostavna kružna antena, radijusa a (koji je
ujedno i radijus pobuđivane žice) kojom teče gustoća magnetske struje fM
.
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
78
Slika 4.3 Antena pobuđena jednostavnom magnetskom kružnom antenom
Da bi se jednostavna kružna antena koristila kao pobuda žičane strukture valja odrediti
aksijalnu komponentu električnog polja u osi antene. Dakle kao i u slučaju magnetskog
prstena električni vektorski potencijal je definiran sa (4.7), dok je prostorna raspodjela
magnetske struje u cilindričnim koordinatama dana sa (4.11).
U konkretnom slučaju magnetske antene, tj. kada b→a ostaje samo φ komponenta Mφ
magnetske gustoće struje pa slijedi:
cos( ') ( ' ) cos( ')fM e M e aφ φφ φ φ δ ϕ φ φ= − = = −
(4.33)
Slijedeći postupak analogan onome u slučaju magnetskog prstena, te uz zamjenu 'ρ = a ,
dolazi se do izraza za električni vektorski potencijal koji ima samo φ komponentu:
( )
( )
22 2 2 cos ' '2
22 20
( )cos ' '4 2 cos ' '
ρ ρ φπ
φ
εδ φ φ
π ρ ρ φ
− + − + −
= −+ − + −
∫jk a a z z
a eF a d
a a z z (4.34)
Integral u (4.34) nije analitički rješiv, te je nužna numerička integracija.
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
79
Električno i magnetsko polje dobije se iz električnog vektorskog potencijala, odnosno
primjenom relacija (4.21) - (4.23).
U slučaju da se promatra samo polje duž osi z, tj. za 0ρ = , tada simetrija problema
uvjetuje da je ρ komponenta električnog polja jednaka nuli, a izraz za električni vektorski
potencijal poprima sljedeći oblik:
( )
( )
22 ' 2
220
(0, ) ( )cos ' '4 '
π
φ
εδ φ φ
π
− + −
= −+ −
∫jk a z z
a eF z a d
a z z (4.35)
što je identički jednako nuli.
Korištenjem (4.29) te mijenjanjem redoslijeda integriranja i deriviranja slijedi:
( )( )
( )
22 2 2 cos ' '2
22 20
0
0, ( )cos ' '2 cos ' '
jk a a z z
z
a eE z a d
a a z z
ρ ρ φπ
ρ
δ φ φπ ρ ρ ρ φ
− + − + −
=
∂ = ∂ + − + −
∫ (4.36)
Izraz (4.36) je analitički rješiv, te je električno polje duž osi z jednako:
( )( )
( )
( )
22 '2
2222
10,
2 ''
− + − = + + −+ −
jk a z z
z
a eE z jk
a z za z z (4.37)
Jednadžba (4.37) predstavlja pobudu ravne žičane strukture u vidu tangencijalnog
električnog polja, tj. ( )excsmE s u jednadžbi (2.32) kada se pobuda modelira jednostavnom
magnetskom kružnom antenom. Ovako formulirana pobuda još nije korištena u poznatoj
znanstvenoj literaturi. Iako nema fizikalni smisao niti je fizički izvediva, matematički je
jako pogodna i stabilna, a pogotovo pri procjeni ulazne impedancije kako će se pokazati
naknadno. Također, ovakav model generatora je pogodan za pobudu složenih žičanih
struktura bez obzira na mjesto pobude, uključujući i napajanje na otvorenom kraju žice,
bez da izazove pojavu nefizikalnih rješenja koji su se javljali kod korištenja npr. idealnog
naponskog izvora [29]. Osnovna prednost u odnosu na model magnetskog prstena je
izostanak radijusa b i izrazima koji u modelu magnetskog prstena nije jasno definiran.
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
80
Karakter aksijalnog električnog polja definiranog s (4.37) uzrokovanog magnetskom
kružnom antenom radijusa 0.005a m= , pri frekvenciji od 300MHz prikazan je na slici 4.4.
Kao i u slučaju magnetskog prstena, zbog rapidnog opadanja polja posebnu pažnju treba
posvetiti numeričkoj integraciji pri proračunu vektora pobude.
-0.2 -0.1 0 0.1 0.20
20
40
60
80
100
120
AB
S (
E)
[V/m
]
pozicija [m]
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2-25
-20
-15
-10
-5
0
FA
ZA
(E
) [°
]
pozicija [m]
Slika 4.4 Polje kružne magnetske antene
Izraz (4.37) se također može izvesti iz električnog polja duž aksijalne linije (ρ=0)
magnetskog prstena smještenog u xy ravninu unutarnjeg radijusa a i vanjskog radijusa b
danog izrazom (4.31).
Naime, u graničnom slučaju kada b→a slijedi [42]:
( )( )
( )
( )
( )
2 22 2' '0
2 22 2
10, lim
2 ' 'ln
jk b z z jk b z zPz
b a
V e eE z
b a z z b z za
− + − − + −
→
= − + − + −
(4.38)
gdje je ( )0,PzE z aksijalno električno polje magnetskog prstena.
Limes u izrazu (4.38) ima neodređeni oblik (0/0) te se koristeći L'Hospital-ovo pravilo,
dobije:
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
81
( )( )
( )
( )
22 '2
0 2222
10,
2 ''
jk a z zPz
a eE z V jk
a z za z z
− + − = + + −+ −
(4.39)
što odgovara izrazu (4.37) ukoliko se razmatra jedinični napon.
4.3. Veza između jednostavnog naponskog izvora i jednostavne magnetske kružne antene
Poznato je da se kod jednostavnog naponskog izvora pretpostavlja kako je električno
polje konstantno između stezaljki, a nula na ostatku strukture. Zadovoljenjem graničnog
uvjeta to električno polje se može zamijeniti ekvivalentnom gustoćom magnetske struje
gM [55], kako je prikazano na slici 4.5:
; '2 2
excs s
g s zV V
M n E e e e zρ φ∆ ∆
= − × = − × = − ≤ ≤∆ ∆
(4.40)
Slika 4.5 Veza između jednostavnog naponskog izvora i magnetske antene
Ponavljajući postupak kao u slučaju magnetskog prstena slijedi izraz za vektorski
električni potencijal ovako definirane gustoće magnetske struje:
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
82
( )
( )
22 2 2 cos ' '2 2
22 20
2
cos ' ' '4 2 cos ' '
ρ ρ φπ
φ
εφ φ
π ρ ρ φ
∆− + − + −
∆−
= −∆ + − + −∫ ∫
jk a a z z
sa V eF dz d
a a z z (4.41)
Tada je električno polje duž aksijalne osi, tj. za 0ρ = , u skladu s (4.26) i (4.29) definirano
relacijom:
( )( )
( )
22 2 2 cos ' '22
22 20
2 0
0, cos ' ' '2 cos ' '
ρ ρ φπ
ρ
φ φπ ρ ρ ρ φ
∆− + − + −
∆−=
∂ = ∆ ∂ + − + −
∫ ∫jk a a z z
sz
a V eE z d dz
a a z z (4.42)
Deriviranjem i jednostrukim integriranjem izraza (4.42) slijedi:
( )( )
( )
( )
22 '2 2
22222
10, '
2 ''
∆− + −
∆−
= + ∆ + −+ −
∫jk a z z
sz
a V eE z jk dz
a z za z z (4.43)
Izraz (4.43) nije analitički rješiv, pa je nužno potrebno provesti numeričku integraciju.
Međutim ukoliko se pretpostavi da je 0∆ → , odnosno da je razmak između stezaljki
dovoljno mali da je podintegralna funkcija konstantna duž intervala tada se dobiva izraz za
električno polje duž aksijalne osi ekvivalentne magnetske struje za jako mali razmak
između stezaljki napajanja:
( )( )
( )
( )
22 '2
2222
10,
2 ''
− + − = + + −+ −
jk a z z
z s
a eE z V jk
a z za z z (4.44)
što odgovara izrazu za polje magnetske kružne antene (4.39), uz proizvoljni napon.
Ovakav rezultat potvrđuje opravdanost primjene magnetske kružne antene kao naponski
upravljane pobude žičane strukture.
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
83
4.4. Numeričko rješenje i primjeri
Budući da u slučaju pobude antene kružnim magnetskim prstenom ili magnetskom
kružnom antenom izraz za tangencijalno električno polje nije trivijalan kao u slučaju
jednostavnog naponskog izvora proračun vektora desne strane (3.41) je nešto
kompliciraniji, nije analitički izvediv, te zahtjeva upotrebu sofisticiranih postupaka za
numeričku integraciju. Naime, zbog jako strme karakteristike tih polja prikazane na
slikama 4.2 i 4.4, nije pogodno koristiti jednostavnije integracijske tehnike poput Gauss-
ove kvadrature već je nužno upotrebiti adaptivne tehnike poput adaptivne Simpson-ove
integracije, koja osigurava brzu konvergenciju rješenja. Jedino na taj način je moguće, za
veliki raspon dužina elemenata, dobiti točne koeficijente vektora desne strane.
Izraz za vektor desne strane (3.41) u slučaju pobude magnetskim prstenom postaje:
( )
( )
( )
( )
2 22 22
1
' '
0
2 22 2
14
2 ' 'ln
z jk a z z jk b z ze
effj jz
V e eV j f dz
b a z z b z za
πωε− + − − + −
±
= − − + − + −
∫ (4.45)
dok u slučaju pobude magnetske antene ima oblik:
( )
( )
( )
222
1
'2
2222
14
2 ''
z jk a z ze
eff sj jz
a eV j V jk f dz
a z za z zπωε
− + −
±
= − + + −+ − ∫ (4.46)
Valja napomenuti da se u izrazima (4.45) i (4.46) koriste neizoparametarske verzije baznih
funkcija (3.28) definirane s:
2 11 2
2 1 2 1
;z z z z
f fz z z z
− −= =
− − (4.47)
Naime korištenjem baznih funkcija oblika (4.47) nema potrebe izraze za tangencijalno
polje (4.31) i (4.44) prebacivati u izoparametarsko područje ζ . Također, pri rješavanju
integrala u (4.45) i (4.46) se u ovom radu koristi adaptivna simpsonova integracija jer
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
84
klasična Legendre-Gauss-ova kvadratura ne daje dovoljno precizne rezultate a za koju je
interval integriranja potrebno prebaciti u područje [-1,1].
4.4.1. Predajna antena
Prvi primjer predstavlja jednostavnu centralno napajanu dipol antenu u predajnom
režimu rada duljine L=0.94λ i radijusa žice a=0.005λ, smještene u slobodan prostor.
Tablica 4.1 prikazuje vrijednosti vektora desne strane proračunatog prema izrazu (3.41)
(podijeljenom s konstantom 4πωε ±effj radi jasnije usporedbe) za različite vrste i modele
pobude jediničnog napona. Vrijednosti u tablici 4.1. su dobivene uz linearnu aproksimaciju
s 21. elementom. Budući je dipol napajan centralno dovoljno je pokazati samo polovicu
vektora jer je druga polovica simetrična. Vrijednosti u tablici su zbog jasnije usporedbe
prikazani grafički na slici 4.6.
Tablica 4.1 Vrijednosti vektora desne strane za različite pobude
Magnetski prsten Delta
b/a=2,3 b/a=5 b/a=100 b/a=0,1
Mag. kružna antena
Čvor
ABS faza ABS faza ABS faza ABS faza ABS faza ABS faza
1 0 0 2,31E-05 87,03 6,69E-05 86,94 5,87E-03 53,27 1,93E-06 87,05 8,99E-06 87,05
2 0 0 5,35E-05 96,86 1,55E-04 96,77 1,28E-02 62,05 4,47E-06 96,89 2,08E-05 96,88
3 0 0 6,80E-05 110,84 1,96E-04 110,74 1,48E-02 74,71 5,68E-06 110,86 2,64E-05 110,86
4 0 0 8,94E-05 124,33 2,58E-04 124,22 1,73E-02 87,10 7,47E-06 124,36 3,47E-05 124,36
5 0 0 1,23E-04 137,18 3,55E-04 137,06 2,04E-02 99,20 1,03E-05 137,21 4,79E-05 137,21
6 0 0 1,81E-04 149,14 5,22E-04 149,01 2,44E-02 111,08 1,51E-05 149,18 7,04E-05 149,17
7 0 0 2,93E-04 159,87 8,43E-04 159,73 2,99E-02 122,81 2,45E-05 159,91 1,14E-04 159,90
8 0 0 5,58E-04 168,87 1,59E-03 168,72 3,82E-02 134,57 4,68E-05 168,91 2,18E-04 168,90
9 0 0 1,44E-03 175,50 4,04E-03 175,36 5,24E-02 146,69 1,22E-04 175,54 5,65E-04 175,54
10 0 0 8,47E-03 179,21 2,10E-02 179,08 8,72E-02 159,98 7,45E-04 179,25 3,43E-03 179,24
11 0,50 180 4,91E-01 179,99 4,77E-01 179,96 3,18E-01 174,50 4,99E-01 180,00 4,97E-01 179,99
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
85
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
10−4
10−2
|V|
cvor
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110
50
100
150
200
arg
(V)
cvor
Delta
MF b=2.3
MF b=5
MF b=100
MF b=0.1
MA
Slika 4.6 Usporedba vrijednosti vektora desne strane za različite pobude
Odmah je vidljivo da se vrijednosti vektora desne strane razlikuju ovisni o modelu
pobude. U slučaju jednostavnog naponskog izvora samo čvorovi elementa na kojem je
postavljen izvor su različiti od nule i jednaki polovici narinutog napona (u ovom slučaju
0.5), dok su u slučaju magnetskog prstena i magnetske kružne antene svi članovi različiti
od nule. Međutim, opadanje vrijednosti članova je jako izraženo ukoliko se udaljavamo od
samog izvora, tako da već nakon nekoliko elemenata razlika je nekoliko redova veličine.
Također valja primijetiti da je iznos vektora desne strane na elementu na kojem je
postavljen izvor blizu polovice narinutog napona kao u slučaju jednostavnog naponskog
izvora. Jedini slučaj koji odstupa od ovog pravila je kada je faktor b puno veći od a kod
modeliranja pobude magnetskim prstenom. Tada je vektor desne strane bitno drugačiji
nego kod ostalih pobuda, kako u samom iznos tako i u brzini opadanja.
Slika 4.7 prikazuje raspodjelu struje na gore spomenutom dipolu za tri različita modela
pobude: jednostavni naponski izvor, magnetski prsten (b=2.3a), i jednostavnu magnetsku
antenu. Za numeričko rješenje je korišten 21 linearni rubni element i jedinični napon
pobude.
Odmah je vidljivo da su rezultati potpuno usklađeni. Jedina mala razlika je vidljiva u
imaginarnom dijelu struje na mjestu same pobude. Velika prednost u primjeni magnetskog
prstena i pogotovo magnetske antene kao pobude je vidljiva na slici 4.8 gdje je prikazana
raspodjela struje na istom dipolu ali izračunata na 20 linearnih elemenata. Naime, ukoliko
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
86
je dipol centralno napajan upotreba jednostavnog naponskog izvora u numeričkom rješenju
zahtjeva upotrebu neparnog broja elemenata. Takovog ograničenja nema kod magnetskog
prstena i magnetske antene koji mogu biti „numerički vezani“ bilo za čvor bilo za element.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4x 10
−3
rea
l(I)
(A
)
x/ λ
Realni dio struje
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−3
−2
−1
0
1x 10
−3
Ima
g(I
) (A
)
x/ λ
Imaginarni dio struje
Jed. nap. izvor
Mag. prsten
Mag. antena
Slika 4.7 Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4x 10
−3
real(I)
(A
)
x/ λ
Realni dio struje
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−3
−2
−1
0
1
2x 10
−3
Imag(I
) (A
)
x/ λ
Imaginarni dio struje
Mag. prsten
Mag. antena
Slika 4.8 Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija i parni broj elemenata)
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
87
Izvrsno slaganje rezultata se dobije i ukoliko se koriste tročvorni kvadratični elementi,
kako je pokazano na slici 4.9, gdje je korišteno 11 tročvornih elemenata. Također ni u
ovom slučaju nema nikakvih ograničenja u smisli postavljanja pobude u vidu magnetskog
prstena ili magnetske antene.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90
0.2
0.4
0.6
0.8
1x 10
−3
rea
l(I)
(A
)
x/ λ
Realni dio struje
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1x 10
−3
Ima
g(I
) (A
)
x/ λ
Imaginarni dio struje
Jed. nap. izvor
Mag. prsten
Mag. antena
Slika 4.9 Raspodjela struje za različite pobude (kvadratična aproksimacija)
Slika 4.10 prikazuje raspodjelu struje na nesimetrično napajanoj anteni duljine L=0.94λ
i radijusa a=0.005λ, smještene u slobodan prostor za različite modele napajanja. U ovom
slučaju napajanje je postavljeno na sedmi element tj. na poziciji 0.282λ udaljenoj od
lijevog kraja antene. Opet, slaganje rezultata je potpuno, iako je originalno izvor u vidu
magnetskog prstena izveden za centralno napajani dipol.
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
88
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
rea
l(I)
(A
)
x/ λ
Realni dio struje
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−3
−2
−1
0
1
2x 10
−3
Ima
g(I
) (A
)
x/ λ
Imaginarni dio struje
Jed. nap. izvor
Mag. prsten
Mag. antena
Slika 4.10 Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija i necentralno napajanje)
Slijedeći primjer prikazuje ovisnost raspodjele struje, na prethodno razmatranom
dipolu, o faktoru b u izrazu za električno polje magnetskog prstena. Kako je vidljivo iz
slike 4.11 utjecaj faktora b postaje značajan ukoliko je b puno veće od a. Jasno je da faktor
b može imati značaj budući da u načelu mijenja stvarni napon na ulaznim stezaljkama
antene, što može rezultirati krivom procjenom ostalih parametara od interesa, poput ulazne
impedancije. Ovakvih problema nema ukoliko se koristi jednostavni naponski izvor ili
pobuda u vidu magnetske kružne antene. Na temelju dosadašnjih razmatranja može se
zaključiti da se pobudom u vidu magnetske antene kombiniraju prednosti magnetskog
prstena u smislu slobode pozicioniranja i točnosti, te prednosti jednostavnog naponskog
izvora u smislu jedinstvenosti i neovisnosti o drugim parametrima.
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
89
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−5
0
5
10
15x 10
−4
rea
l(I)
(A
)
x/ λ
Realni dio struje
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−3
−2
−1
0
1x 10
−3
Ima
g(I
) (A
)
x/ λ
Imaginarni dio struje
b=0.1a
b=2.3a
b=5a
b=100a
Slika 4.11 Ovisnost raspodjele struje o vanjskom radijusu magnetskog prstena b
4.4.2. Uzemljivač
Kao što je već izneseno koncept magnetskog prstena i kružne magnetske antene se
može upotrijebiti u modeliranju fizikalnih procesa kod kojih se napajanje postavlja na kraj
žice. To se uglavnom odnosi na modeliranje pojava i sustava vezanih za udar munje kao
što su kanal groma, gromobran i uzemljivač. Do sada su se u literaturi koristili idealni
strujni izvor [14], [46], [47] opisan u poglavlju 2, te jednostavni naponski izvor ali samo u
slučaju kada se struktura koja se modelira (uglavnom kanal groma) nalazi iznad idealno
vodljive zemlje, pri čemu je izvor smješten na granici zemlja-zrak, pa je moguće jedan
terminal izvora postaviti na strukturu a drugi na sliku te strukture [13], [39], [40].
U ovom radu će se na primjeru uzemljivača pokazati ispravnost i točnost modela
pobude žičanih struktura na kraju strukture upotrebom magnetskog prstena ili kružne
magnetske antene, kako je skicirano na slici 4.12. Vrijedi još jednom istaknuti da su
koncept magnetskog prstena, kao i koncept kružne magnetske antene naponski upravljane
pobude za razliku od idealnog strujnog izvora te su stoga mnogo podesnije i opravdanije za
korištenje ukoliko se pojava modelira teorijom antena. To se odmah vidi ukoliko se
usporede vrijednosti vektora desne strane u slučaju korištenja idealnog strujnog izvora,
magnetskog prstena ili pak kružne magnetske antene. Usporedba je dana u tablici 4.2 i na
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
90
slici 4.13 za primjer horizontalnog uzemljivača dugog 1m ukopanog na dubini 0.5m u
zemlju karakteristika 10ε =r i 0.001σ = S m . Uzemljivač je numerički tretiran s 21
linearnim elementom, dok je frekvencija pobude iznosila 5MHz.
Slika 4.12 Pobuda na otvorenom kraju žice
Tablica 4.2 Vrijednosti vektora desne strane za različite pobude u slučaju modeliranja uzemljivača
Magnetski prsten b/a=2,3 Mag. kružna antena Idealni
strujni izvor Jedinični napon
Normaliziran na jediničnu struju
Jedinični napon Normaliziran na jediničnu struju Č
vor
ABS faza ABS faza ABS faza ABS faza ABS faza
1 0 0 4,25E-01 180,00 2,35E+02 107,00 4,50E-01 180,00 2,48E+02 107
2 0 0 7,14E-02 180,00 3,94E+01 107,00 4,84E-02 180,00 2,66E+01 107
3 0 0 2,32E-03 179,99 1,28E+00 107,00 9,13E-04 179,99 5,02E-01 106,99
4 0 0 5,88E-04 179,98 3,24E-01 106,98 2,29E-04 179,98 1,26E-01 106,98
5 0 0 2,36E-04 179,96 1,30E-01 106,96 9,19E-05 179,96 5,05E-02 106,96
6 0 0 1,18E-04 179,93 6,53E-02 106,93 4,60E-05 179,93 2,53E-02 106,93
7 0 0 6,78E-05 179,90 3,74E-02 106,90 2,63E-05 179,90 1,45E-02 106,9
8 0 0 4,24E-05 179,85 2,34E-02 106,86 1,65E-05 179,85 9,07E-03 106,86
9 0 0 2,84E-05 179,80 1,56E-02 106,81 1,10E-05 179,80 6,06E-03 106,81
10 0 0 1,99E-05 179,75 1,10E-02 106,75 7,73E-06 179,75 4,25E-03 106,75
11 0 0 1,45E-05 179,68 8,00E-03 106,69 5,63E-06 179,68 3,10E-03 106,68
12 0 0 1,09E-05 179,61 6,01E-03 106,61 4,23E-06 179,61 2,33E-03 106,61
13 0 0 8,41E-06 179,52 4,64E-03 106,53 3,27E-06 179,52 1,79E-03 106,53
14 0 0 6,62E-06 179,43 3,65E-03 106,44 2,57E-06 179,43 1,41E-03 106,43
15 0 0 5,31E-06 179,33 2,93E-03 106,34 2,06E-06 179,33 1,13E-03 106,33
16 0 0 4,33E-06 179,22 2,39E-03 106,23 1,68E-06 179,22 9,25E-04 106,22
17 0 0 3,58E-06 179,10 1,97E-03 106,11 1,39E-06 179,10 7,64E-04 106,1
18 0 0 2,99E-06 178,97 1,65E-03 105,98 1,16E-06 178,97 6,39E-04 105,97
19 0 0 2,53E-06 178,83 1,40E-03 105,84 9,82E-07 178,83 5,40E-04 105,83
20 0 0 2,16E-06 178,68 1,19E-03 105,69 8,38E-07 178,68 4,61E-04 105,69
21 0 0 1,86E-06 178,53 1,02E-03 105,53 7,21E-07 178,53 3,96E-04 105,53
22 0 0 8,42E-07 178,41 4,65E-04 105,42 3,27E-07 178,41 1,80E-04 105,41
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
91
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2210
−4
10−2
100
102
104
|V|
cvor
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220
20
40
60
80
100
120
arg
(V)
cvor
Strujni izvor
MF b=2.3
MA
Slika 4.13 Usporedba normaliziranih vrijednosti vektora desne strane za različite pobude u slučaju modeliranja uzemljivača
U slučaju idealnog strujnog izvora pobuda se modelira preko graničnog uvjeta, kako je
opisano u drugom poglavlju pa je vektor desne strane jednak nuli. U slučaju da se pobuda
modelira postavljanjem magnetskog prstena ili kružne magnetske antene na kraj žice
vektor desne strane je različit od nule. U tablici 4.2 su usporedno prikazane vrijednosti
vektora desne strane za jedinični napon i za normalizirani napon koji će dati jediničnu
struju u prvom čvoru posebno za magnetski prsten a posebno za kružnu magnetsku antenu.
Valja napomenuti da je prijelaz s jediničnog napona na jediničnu struju vrlo jednostavan
budući je sustav linearan. Ukoliko se razmotre vrijednosti vektora desne strane za slučaj
magnetskog prstena i kružne magnetske antene vidi se da je vrijednost napona na prvom
čvoru malo manja od 0.5 što je logično budući samo polovica karakteristike električnog
polja prikazanog na slikama 4.2 i 4.4 djeluje na žicu. Ovo je vrlo važno imati na umu
pogotovo kod proračuna ulazne impedancije o čemu će detaljno biti riječi u poglavlju 5.3.
Na slici 4.14 prikazana je raspodjela struje na prethodno opisanoj uzemljivačkoj
elektrodi pobuđenoj na tri različita načina: idealnim strujnim izvorom, magnetskim
prstenom (b=2.3a) i magnetskom kružnom antenom, pri 5MHz. Valja napomenuti da je
struja u slučaju pobude magnetskim prstenom i kružnom magnetskom antenom
normalizirana tako da struja u prvom čvoru bude jedan amper.
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
92
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
rea
l(I)
(A
)
x(m)
Realni dio struje
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−5
−4
−3
−2
−1
0x 10
−3
Ima
g(I
) (A
)
x(m)
Imaginarni dio struje
Jed. struj. izvor
Mag. prsten
Mag. antena
Slika 4.14 Raspodjela struje na uzemljivaču od 1m za različite pobude pri 5MHz
Vidljivo je jako dobro slaganje rezultata iako postoji mala razlika u imaginarnom dijelu
struje. Slična je situacija i u slučaju pobude istog uzemljivača frekvencijom od 50MHz, što
je prikazano na slici 4.15.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
rea
l(I)
(A
)
x(m)
Realni dio struje
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
Ima
g(I
) (A
)
x(m)
Imaginarni dio struje
Jed. struj. izvor
Mag. prsten
Mag. antena
Slika 4.15 Raspodjela struje na uzemljivaču od 1m za različite pobude pri 50MHz
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
93
Slijedeći primjer se odnosi na 10m dug horizontalni uzemljivač ukopan na dubini od
0.5m u zemlju istih karakteristika. Na slikama 4.16, 4.17 i 4.18 prikazana je raspodjela
struje na uzemljivaču za različite pobude pri 5kHz, 5MHz i 20MHz.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
rea
l(I)
(A
)
x(m)
Realni dio struje
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0x 10
−4
Ima
g(I
) (A
)
x(m)
Imaginarni dio struje
Jed. struj. izvor
Mag. prsten
Mag. antena
Slika 4.16 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5kHz
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.5
0
0.5
1
rea
l(I)
(A
)
x(m)
Realni dio struje
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
Ima
g(I
) (A
)
x(m)
Imaginarni dio struje
Jed. struj. izvor
Mag. prsten
Mag. antena
Slika 4.17 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5MHz
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
94
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1
−0.5
0
0.5
1
real(I)
(A
)
x(m)
Realni dio struje
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1
−0.5
0
0.5
1
Imag(I
) (A
)
x(m)
Imaginarni dio struje
Jed. struj. izvor
Mag. prsten
Mag. antena
Slika 4.18 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 20MHz
Jasno se uočava izvrsno slaganje rezultata dobivenih korištenjem različitih pobuda.
Slaganje rezultata je bolje nego u slučaju uzemljivača od 1m gdje je uočeno malo
razilaženje u imaginarnom dijelu struje.
Raspodjela struje na 50m-skom uzemljivaču ukopanom na isti način kao i prethodna
dva, za različite pobude pri frekvencijama od 5kHz i 5MHz je prikazana na slikama 4.19 i
4.20. I u ovom slučaju je dobiveno izvrsno slaganje rezultata dobivenih različitim vrstama
pobude.
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
95
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
rea
l(I)
(A
)
x(m)
Realni dio struje
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0x 10
−3
Ima
g(I
) (A
)
x(m)
Imaginarni dio struje
Jed. struj. izvor
Mag. prsten
Mag. antena
Slika 4.19 Raspodjela struje na uzemljivaču od 50m za različite pobude pri 5kHz
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1
−0.5
0
0.5
1
real(I)
(A
)
x(m)
Realni dio struje
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
Imag(I
) (A
)
x(m)
Imaginarni dio struje
Jed. struj. izvor
Mag. prsten
Mag. antena
Slika 4.20 Raspodjela struje na uzemljivaču od 50m za različite pobude pri 5MHz
U primjerima prikazanim na slikama 4.14 do 4.20 struja je aproksimirana linearnim
dvočvornim elementima. Na slikama 4.21 do 4.23 prikazani su rezultati raspodjele struje
za različite uzemljivače (1m, 10m, 50m) dobivene upotrebom tročvornih kvadratičnih
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
96
elemenata. Uvidom u dobivene rezultate mogu se izvući isti zaključci kao i u slučaju
linearne aproksimacije.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1re
al(I)
(A
)
x(m)
Realni dio struje
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1.5
−1
−0.5
0
Ima
g(I
) (A
)
x(m)
Imaginarni dio struje
Jed. struj. izvor
Mag. prsten
Mag. antena
Slika 4.21 Raspodjela struje na uzemljivaču od 1m za različite pobude pri 50MHz (kvadratična aproksimacija)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.5
0
0.5
1
real(I)
(A
)
x(m)
Realni dio struje
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
Imag(I
) (A
)
x(m)
Imaginarni dio struje
Jed. struj. izvor
Mag. prsten
Mag. antena
Slika 4.22 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5MHz (kvadratična aproksimacija)
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
97
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1
−0.5
0
0.5
1
real(I)
(A
)
x(m)
Realni dio struje
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
Imag(I
) (A
)
x(m)
Imaginarni dio struje
Jed. struj. izvor
Mag. prsten
Mag. antena
Slika 4.23 Raspodjela struje na uzemljivaču od 50m za različite pobude pri 5MHz (kvadratična aproksimacija)
Kako bi se potpuno provjerila ispravnost predloženih pobuda, uzemljivač je postavljen
i u zemlju različitih karakteristika. Na slici 4.24 prikazana je raspodjela struje na
uzemljivaču duljine 10m za različite pobude ukopanom u zemlju dobre vodljivosti od
0.01σ = S m , dok je na slici 4.25 prikazana raspodjela struje u slučaju jako loše
vodljivosti od 0.0001σ = S m . U oba slučaja frekvencija je iznosila 5MHz a permitivnost
zemlje 10ε =r . Vidljivo da vodljivost sredine ne utječe na točnost i stabilnost predloženih
pobuda.
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
98
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
real(I)
(A
)
x(m)
Realni dio struje
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
Imag(I
) (A
)
x(m)
Imaginarni dio struje
Jed. struj. izvor
Mag. prsten
Mag. antena
Slika 4.24 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5MHz i 0.01 /S mσ =
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
rea
l(I)
(A
)
x(m)
Realni dio struje
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
Ima
g(I
) (A
)
x(m)
Imaginarni dio struje
Jed. struj. izvor
Mag. prsten
Mag. antena
Slika 4.25 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5MHz i 0.0001 /S mσ =
Nakon analize osjetljivosti predloženih vrsta pobude na vodljivost provedena je i
analiza utjecaja permitivnosti. Slika 4.26 prikazuje raspodjelu struje za različite pobude na
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
99
uzemljivaču duljine 10m ukopanom u zemlju relativne permitivnosti 100ε =r i vodljivosti
0.001σ = S m . Vidljivo je da, kao i vodljivost, permitivnost sredine ne utječe na točnost i
stabilnost predloženih pobuda.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
rea
l(I)
(A
)
x(m)
Realni dio struje
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
Ima
g(I
) (A
)
x(m)
Imaginarni dio struje
Jed. struj. izvor
Mag. prsten
Mag. antena
Slika 4.26 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5MHz i 100; 0.001 /r S mε σ= =
4.4.3. Model povratnog udara u kanalu groma
Model povratnog udara munje (eng. lightning return-stroke model) je izraz koji se
najčešće koristi kako bi se opisala prostorno-vremenska ovisnost struje u kanalu groma pri
povratnom udaru koja se kasnije koristi pri proračunu elektromagnetskog polja
uzrokovanog udarom groma. U relevantnoj literaturi postoji nekoliko skupina modela koji
se općenito mogu podijeliti u četiri kategorije: fizikalni modeli, modeli temeljeni na
distribuiranim parametrima, inženjerski modeli te elektromagnetski modeli. Modeli
distribuiranih parametara su u načelu temeljeni na nekoj od varijanti teorije prijenosnih
linija, i to standardna teorija prijenosnih linija (eng. transmission line model– TL) [76]-
[78], zatim modificirana teorija prijenosnih linija s linearnim kašnjenjem struje s visinom
[79] i modificirana teorija prijenosnih linija s eksponencijalnim kašnjenjem struje s
visinom [77]. Inženjerski modeli uključuju modele s putujućim strujnim izvorima u koju
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
100
spada Diendorfer-Uman (DU) model [80]. S druge strane elektromagnetski modeli su
uglavnom temeljeni na teoriji tankožičanih antena pri čemu se kanal groma predstavlja
monopol antenom. Pregled i usporedba spomenutih metoda se mogu pronaći u radovima
[77], [78], [81]-[83].
Posljednjih desetak godina objavljeno je mnogo radova posvećenih elektromagnetskim
modelima tj. modelima temeljenima na teoriji antena [40], [84]-[89]. U tim modelima,
kanal groma je najčešće modeliran kao monopol antena iznad idealno vodljive zemlje.
Pobuda je realizirana ili u vidu idealnog strujnog izvora [40], [89], [90] ili u vidu
jednostavnog naponskog izvora (delta gap) [85]-[88]. Pripadajuća integralna jednadžba
(Pocklington-ova ili Hallen-ova) se rješava ili u vremenskom [84] ili u frekvencijskom
području [40], [89], [90] nekom od varijanti metode momenata. Prilikom rješavanja
problema u frekvencijskoj domeni često se koristi NEC npr. [89], [90] kod kojega se u
model mora ubaciti prikladne distribuirane parametre otpora i induktiviteta kako bi se
ostvarila stvarna brzina munje od 0.43c (c – brzina svjetlosti). Također, ukoliko se
integralna jednadžbe rješava u frekvencijskom području vremenski odziv se dobiva
primjenom algoritma inverzne brze fourierove transformacije (IFFT), koji je vrlo osjetljiv
na ulazne parametre poput vremenskog uzorkovanja, širine frekvencijskog spektra i broja
uzoraka. Više o IFFT-u će biti riječi u Prilogu A ovog rada.
U ovom radu razmatra se model kanala groma pri povratnom udaru munje modeliran
kao centralno napajana dipol antena duljine 15km i radijusa žice 0.05m pobuđena
magnetskom antenom. Antena je postavljena u dielektrični homogeni prostor
karakteriziran relativnom permitivnošću 5.3rε = u svrhu snižavanja brzine propagacije
munje na stvarnu brzinu (0.43c). Ovakav model zamjenjuje model kanala groma realiziran
monopol antenom duljine 7.5km iznad idealno vodljive zemlje pobuđene idealnim strujnim
izvorom na dnu kanala [40], prikazan na slici 4.27.
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
101
Slika 4.27 Model povratnog udara munje u kanalu groma a)Model sa strujnim izvorom; b)Model s magnetskom antenom
Razmatrana su dva modela, prvi u kojem se pretpostavlja idealna vodljivost žice i
drugi, realističniji kod kojega se uzimaju u obzir omski gubici duž kanala realizirani
otporom po jedinici dužine u iznosu od 0.07 /R m= Ω . Kako bi se rezultati dobiveni u
ovom radu mogli usporediti s rezultatima u literaturi kod kojih je definirana ulazna struja u
bazi kanala, pri proračunu frekvencijske karakteristike struje duž kanala koristi se
promjenljivi ulazni napon koji na mjestu izvora generira struju od 1A, tj. drugim riječima
potrebno je normalizirati struju antene na iznos od 1A na mjestu izvora. Na ovaj način se
praktički dobije frekvencijski spektar struje duž kanala (tj. antene) u odnosu na jediničnu
ulaznu struju antene, koji omogućuje dobivanje odziva na bilo koji valni oblik ulazne
struje.
Za ulaznu struju baze kanala, u svrhu usporedbe, odabran je valni oblik koji ima vršnu
vrijednost od otprilike 11kA i brzinu porasta od 105kA/µs preuzet iz [77], i korišten u [40],
[84] i [91]. Valni oblik struje baze je prikazan na slici 4.28.
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
102
0 10 20 30 40 50 600
2
4
6
8
10
12
I (k
A)
t (µs)
Slika 4.28 Valni oblik struje baze
Slika 4.29 prikazuje frekvencijski spektar struje kanala groma pri povratnom udaru u
točki koja se nalazi 1km od baze kanala za slučaj idealno vodljivog kanala, dok slika 4.30
pokazuje isti spektar struje u slučaju kanala s gubicima.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 106
0
1
2
3
4
I (A
)
f (Hz)
101
102
103
104
105
106
0
1
2
3
4
I (A
)
f (Hz)
Slika 4.29 Frekvencijski spektar struje kanala groma pri povratnom udaru 1km od baze za idealno vodljivi kanal (linearna i logaritamska skala)
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
103
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 106
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
I (A
)
f (Hz)
101
102
103
104
105
106
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
I (A
)
f (Hz)
Slika 4.30 Frekvencijski spektar struje kanala groma pri povratnom udaru 1km od baze za kanal s gubitcima (linearna i logaritamska skala)
Kao što je vidljivo iz slika 4.29 i 4.30 kanal groma je visoko rezonantna struktura te je
potrebno uzeti veliki broj uzoraka da bi se dobio zadovoljavajući odziv u vremenskom
području (2594 u slučaju idealno vodljivog kanala i 1214 u slučaju konačno vodljivog
kanala u frekvencijskom spektru 0 – 5MHz). Veći broj uzoraka u slučaju idealno vodljive
antene je potreban budući su oscilacije struje s frekvencijom mnogo izraženije u slučaju
idealno vodljive antene u odnosu na antenu s gubicima. Da bi se dobio vremenski odziv na
ulaznu struju prikazanu na slici provedena je inverzna Fourier-ova transformaciju u obliku
opisanom u prilogu A.
Vremenska ovisnost struje kanala groma na različitim visinama (u bazi, 100m, 500m,
1km, 3km i 5km) u slučaju idealno vodljivog kanala je prikazana na slici 4.31, dok je slučaj
kanala s gubitcima prikazan na slici 4.32.
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
104
0 10 20 30 40 50 600
2
4
6
8
10
12
t (µ s)
I (k
A)
GB−IMRE 0 km
GB−IMRE 100m
GB−IMRE 500m
GB−IMRE 1 km
GB−IMRE 3 km
GB−IMRE 5 km
Grcev [40] 0 km
Grcev [40] 1 km
Slika 4.31 Vremenska ovisnost struje kanala groma na različitim visinama za idealno vodljivi kanal
Iz slike 4.31 je jasno vidljiva propagacija struje duž kanala (tj. antene) i lagano gušenje
vala s udaljavanjem od baze kanala. Na rezultatima je vidljivo neznatno istitravanje
uzrokovano prvenstveno u malom broju točaka kojima je uzorkovana ulazna struja, budući
je valni oblik struje dobiven približno iz [40] i [91]. Rezultati se izvrsno poklapaju s
rezultatima objavljenim u [40].
U slučaju kanala s gubicima, iz slike 4.32 je jasno vidljivo veliko gušenje vala s
udaljavanjem od baze kanala. Također, može se pažljivim promatranjem uočiti da s
visinom raste i vrijeme porasta struje duž kanala. Ovi rezultati su u zadovoljavajućem
skladu s rezultatima objavljenim u [84]. Čak štoviše, kod ovih rezultata nema istitravanja u
vršnom djelu strujne karakteristike što je slučaj u [84], vjerojatno kao posljedica
numeričkog šuma. Dokaz tomu se može naći u radu [91], gdje također nema takvog
istitravanja što upućuje na zaključak da metoda opisana u [84] „pati“ od numeričkih
nestabilnosti.
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
105
0 10 20 30 40 50 600
2
4
6
8
10
12
t (µ s)
I (k
A)
GB−IMRE 0 km
GB−IMRE 100m
GB−IMRE 500m
GB−IMRE 1 km
GB−IMRE 3 km
GB−IMRE 5 km
Moini [84] 0 km
Moini [84] 1 km
Moini [84] 3 km
Moini [84] 5 km
Slika 4.32 Vremenska ovisnost struje kanala groma na različitim visinama za kanal s gubitcima
Na slikama 4.33 i 4.34 prikazano je vertikalno električno polje (Ez komponenta – u
smjeru kanala) na razini zemlje (z=0) na udaljenosti 500m i 5km uslijed povratnog udara
modeliranog idealno vodljivom antenom. Rezultati su usporedivi s rezultatima
objavljenima u [40] iako postoje određene razlike. Naime, sami autori u [40] priznaju,
citiram, da bi trebali detaljnije ispitati parametre proračuna, poput parametara
diskretizacije u metodi momenata te parametre Diskretne Fourier-ove transformacije,
vezane uz uzorkovanje i skraćenje funkcija u vremenskom i frekvencijskom području, kako
bi detaljno ispitali valjanost predložene metode. Valja napomenuti, da je proračun u ovom
radu izvršen na veličini elementa od cca 3m u cijeloj dužini antene te da je pri toj veličini
postignuta konvergencija, dok je u slučaju rezultata objavljenih u [40] veličina elementa
bila 3m samo do visine od 1km, a nakon toga puno veća (ne navodi se kolika).
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
106
0 10 20 30 40 50 600
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
t (µ s)
E (
V/m
)
GB−IMRE
Grcev [40]
Slika 4.33 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 500m za idealno vodljivi kanal
0 10 20 30 40 50 600
10
20
30
40
50
60
70
80
90
t (µ s)
E (
V/m
)
GB−IMRE
Grcev [40]
Slika 4.34 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 5km za idealno vodljivi kanal
Vertikalno električno polje (Ez komponenta) na razini zemlje na udaljenosti 500m i
5km uslijed povratnog udara modeliranog konačno vodljivom antenom je prikazana na
slikama 4.35 i 4.36. Uspoređujući te rezultate s rezultatima u [84], uočava se jako dobro
slaganje. Mala razlika koja se može primijetit u slučaju polja na udaljenosti 500m može se
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
107
objasniti već spomenutim numeričkim nestabilnostima u proračunu struje kod [84] i
činjenici da je kod proračuna električnog polja u [84] veličina segmenta bila relativno
velikih 15m za razliku od slučaja u ovom radu gdje je veličina segmenta iznosila cca. 3m.
Također, dana je i usporedba s rezultatima dobivenim tvz. DU (Diendorfer i Uman)
modelom [80] koji daje rezultate koji se vrlo dobro slažu s mjerenim vrijednostima
elektromagnetskog polja [84]. Kako se vidi iz slika 4.35 i 4.36 postignuto je jako dobro
slaganje rezultata izračunatim GBIMRE-om i DU modelom.
0 10 20 30 40 50 600
500
1000
1500
2000
2500
t (µ s)
E (
V/m
)
GB−IMRE
Moini [84]
DU [80]
Slika 4.35 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 500m za kanal s gubitcima
Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene
108
0 10 20 30 40 50 600
10
20
30
40
50
60
70
80
t (µ s)
E (
V/m
)
GB−IMRE
Moini [84]
DU [80]
Slika 4.36 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 5km za kanal s gubitcima
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
109
5. PARAMETRI ZRAČEĆE I/ILI RASPRŠNE ŽIČANE STRUKTURE
U analizi žičanih struktura, nakon raspodjele struje, određene s zadovoljavajućom
preciznošću, vrlo često je potrebno odrediti i druge parametre od interesa. Ti parametri,
ovisno o primjeni žičanog modela, mogu biti: zračeno električno i/ili magnetsko polje,
raspršni napon, raspodjela potencijala, zračena snaga, ulazna impedancija,
međuimpedancija, tranzijentna impedancija itd. Proračun električnog i magnetskog polja je
opisan u trećem poglavlju, dok će se u ovom poglavlju razraditi koncepti proračuna drugih
važnih parametara vezanih za žičane strukture. Pri tome se prvenstveno misli na proračun
napona (raspršni napon na žici, raspodjela potencijala na površini zemlje iznad uzemljivača
i sl.), zatim proračun izračene snage antene koja se također može povezati s ulaznom
impedancijom kao i proračun ulazne impedancije žičane strukture koja može predstavljati
antenu ili uzemljivač.
5.1. Proračun napona
Kad je jednom izračunata raspodjela struje po žicama, odgovarajući napon između bilo
koje dvije točke poluprostora je definiran krivuljnim integralom druge vrste električnog
polja od točke A do točke B [57]:
A
AB
B
V Edl= −∫
(5.1)
Općenito napon ABV predstavlja rad koji je potrebno uložiti da bi se jedinični naboj od
točke B pomaknuo duž određenog puta do točke A pod utjecajem vremenski promjenljivog
elektromagnetskog polja.
Električno polje uslijed zračenja jedne žice u homogenom poluprostoru, prema
razmatranju iznesenom u 2. i 3. poglavlju, dano je izrazom:
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
110
[ ] [ ]
[ ] [ ]
20 0
' '
2 22
2 2' '
'
( ') ( , ') ' ' ( ') ( , ') ''
1( ') ( , ') ' * ( ') ( , *) '
4 *
( ') ( , ') '
C C
i i
eff C C
s
C
I s g s s ds k s I s g s s dss
k kE I s g s s ds k s I s g s s ds
j k k s
I s G s s ds
πωε
±
±
±
± ±
∂⋅∇ + ⋅ ⋅ +
∂ − ∂
= + ⋅∇ + ⋅ ⋅ + + ∂
+ ⋅
∫ ∫
∫ ∫
∫
∓
∓
(5.2)
Prije detaljne analize integrala (5.1) valja pojasniti i razlučiti određene pojmove.
Električno polje žice (5.2) je, u skladu s (2.2), posljedica „djelovanja“ skalarnog
električnog potencijala φ i vektorskog magnetskog potencijala A . Budući da vektorski
magnetski potencijal A nije konzervativnog (potencijalnog) karaktera jer je 0∇ × ≠
A
onda i električno polje žice (5.2) također nije konzervativnog karaktera. Ta činjenica
implicira da napon definiran izrazom (5.1) onda općenito nije jednoznačan, i ovisi o
krivulji integracije, te ga se ne smije poistovjećivati s naponom kao posljedicom razlike
skalarnih potencijala.
Definicija napona (5.1) je općenita i vrijedi za konzervativna i nekonzervativna polja.
Ukoliko je električno polje u jednadžbi (5.1) konzervativnog karaktera tada izraz (5.1)
predstavlja razliku potencijala između točaka A i B, odnosno napon definiran u statičkom i
kvazistatičkom smislu.
Fizikalno značenje napona definiranog s (5.1) će dakle ovisiti o stazi krivulje
integracije te o početnoj i krajnjoj točki i biti će objašnjeno nešto kasnije.
Za slučaj više žica, izraz za napon koji je posljedica zračenja niza žica je dan izrazom:
1 1 1
W W WA AN N N
i iAB ABii i iB B
V E dl E dl V= = =
= − = − =
∑ ∑ ∑∫ ∫
(5.3)
Integral (5.1) se može riješiti raznim adaptivnim numeričkim metodama, najčešće na
način da se područje integracije podjeli na Nv dijelova, te se potom integracija vrši na
svakom pojedinom dijelu nekom od metoda numeričke integracije (Gauss-ova kvadratura,
Simpson-ova metoda):
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
111
1 1 1 1
n mW W
n m
a aN NNv Nv
im imABm i m ib b
V E dl E dl= = = =
= − = −
∑ ∑ ∑∑∫ ∫
(5.4)
gdje su an i bn granice pojedinih dijelova integracijskog područja.
Poseban slučaj je ukoliko je točka B u tzv. dalekoj zemlji (u beskonačnosti). Tad se
izraz (5.4) pretvara u beskonačnu sumu ( → ∞Nv ) određenih integrala. Budući da
električno polje opada s udaljenošću, u jednom trenutku vrijednosti izračunatih integrala će
postati zanemarive te će se proračun moći prekinuti.
Ovakav način proračuna napona je jako zahtjevan sa stanovišta vremena proračuna i
snage procesora. Isto tako, budući da izraz za električno polje (5.2) sadrži derivaciju
Green-ove funkcije koja se najčešće zamjenjuje konačnim diferencijama, može doći do
ozbiljnih numeričkih nestabilnosti ukoliko se promatra točka na površini žice ili u veoma
bliskoj okolini žice.
S druge strane ukoliko se provedu određene matematičke i numeričke manipulacije nad
početnim integralom, vrijeme proračuna se može značajno smanjiti, te se u znatnoj mjeri
mogu eliminirati numeričke nestabilnosti.
Općenito, ako se odabere put integracije duž pravca s vektorom smjera le
, koji ne
utječe na općenitost postupka, tada je vektor diferencijala luka jednak:
ldl e dl=
(5.5)
Radi jednostavnijeg prikaza koncepta rješavanja, električno polje će se rastaviti na tri
dijela:
i D R SE E E E= + +
(5.6)
gdje je DE
direktno polje oblika:
[ ] [ ] 20 0
' '
1( ') ( , ') ' ' ( ') ( , ') '
4 'D
eff C C
E I s g s s ds k s I s g s s dsj sπωε
±
±
∂= ⋅ ∇ + ⋅ ⋅
∂ ∫ ∫
(5.7)
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
112
RE
je dio reflektiranog polja koje proizlazi iz teorije preslikavanja:
[ ] [ ]2 2
22 2
' '
1( ') ( , *) ' * ( ') ( , *) '
4 *R i i
eff C C
k kE I s g s s ds k s I s g s s ds
j k k sπωε±
±
± ±
− ∂= ⋅∇ + ⋅ ⋅
+ ∂ ∫ ∫
∓
∓
(5.8)
i SE
dio polja koji proizlazi iz Sommerfeldove teorije o zračenju elementarnog strujnog
dipola u prisutnosti konačno vodljivog poluprostora:
'
1( ') ( , ') '
4S s
eff C
E I s G s s dsj πωε ±
= ⋅∫
(5.9)
U skladu s podjelom na direktno, reflektirano i „Sommerfeld-ovo“ polje (5.6) i odabranom
stazom integracije jednadžba (5.3) postaje:
( )1 1
W WB B B BN N
Di Ri Si Di Ri Sil l l lABi iA A A A
V E E E e dl E e dl E e dl E e dl= =
= − + + = − + +
∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫
(5.10)
Prvi integral s desne strane izraza (5.10) je doprinos direktnog polja na napon:
[ ] [ ]0
'
20
'
( ') ( , ') ''1
4' ( ') ( , ') '
A AC
Di l lDieffB B
C
I s g s s dss
V E e dl e dlj
k s I s g s s dsπωε ±
±
∂⋅∇ +
∂ = =
⋅ ⋅
∫∫ ∫
∫
(5.11)
što se može napisati na način:
[ ] 20 0
' '
1 ( ')( , ') ' ' ( ') ( , ') '
4 '
D DA
A A
l lDieff B C B C
V V
I sV g s s ds e dl k s I s g s s ds e dl
j s
ϕ
πωε±
±
∂
= ⋅∇ + ⋅ ⋅ ∂
∫ ∫ ∫ ∫
(5.12)
Prvi dvostruki integral u izrazu (5.12) može se napisati u obliku:
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
113
[ ]0
'
( ')( , ') '
'
A
lD
B C
I sV e g s s ds dl
sϕ
∂= ⋅ ⋅∇
∂∫ ∫
(5.13)
Korištenjem izraza za usmjerenu derivaciju:
ld
edl
⋅∇ =
(5.14)
dobije se:
0
'
( ')( , ') '
'
A
D
B C
I s dV g s s ds dl
s dlϕ
∂= ⋅
∂∫ ∫ (5.15)
ili drugačije zapisano:
0
'
( ')( , ') '
'
A
D
B C
d I sV g s s ds dl
dl sϕ
∂= ⋅
∂∫ ∫ (5.16)
Formalnim integriranjem izraza (5.16) po varijabli l slijedi relacija koja ovisi samo o
početnoj i krajnjoj točki integracije:
0
'
( ')( , ') '
'
A
D
C B
I sV g s s ds
sϕ
∂= ⋅
∂∫ (5.17)
Razvojem raspodjele struje ( ')I s u red linearno nezavisnih funkcija Ng (3.2) s
prethodno izračunatim vrijednostima struje u čvorovima duž žice relacija (5.17) postaje:
01 '
( ')( , ') '
'
gAN
nD n
n C B
f sV I g s s ds
sϕ=
∂= ⋅
∂∑∫ (5.18)
Prelaskom na lokalni sustav izoparametarskih rubnih elemenata slijedi:
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
114
1
01 1 1
( ')( , ') '
'
gAN enl
e kD k
n k B
fV I g s s dϕ
ζζ
ζ= = −
∂= ⋅
∂∑∑∫ (5.19)
što predstavlja konačni numerički izraz za računanje izraza (5.13).
Drugi dvostruki integral u izrazu (5.12):
20
'
' ( ') ( , ') 'A
lDA
B C
V k s I s g s s ds e dl±= ⋅ ⋅∫ ∫
(5.20)
za slučaj žice položene okomito u odnosu na smjer integracije iščezava:
0DAV = (5.21)
jer je skalarni produkt okomitih vektora jednak nuli ( ' 0ls e⋅ =
).
Ukoliko pak to nije slučaj tada se na integral po varijabli l (od beskonačnosti od točke
promatranja) mora primijeniti numerički postupak opisan jednadžbama (5.3) odnosno (5.4)
. Na integral po varijabli s' se primjenjuje numerički postupak sličan prethodno opisanom
za jednadžbu (5.17).
Razvojem raspodjele struje ( ')I s u red linearno nezavisnih funkcija Ng (3.2) s
prethodno izračunatim vrijednostima struje u čvorovima duž žice slijedi:
20
1 '
' ( ') ( , ') 'gNA
lDA n nnB C
V k s e I f s g s s ds dl±=
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∑∫ ∫
(5.22)
a prelaskom na lokalni sustav se dobiva:
1
20
1 1 1
'' ( ') ( , ') '
'
gNA nle e
lDA k kn kB
sV k s e I f g s s d dlζ ζ
ζ±
= = −
∂= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∂ ∑∑∫ ∫
(5.23)
Kombiniranjem (5.23) s podjelom područja integracije u skladu s (5.4) konačno slijedi:
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
115
1
20
1 1 1 1
'' ( ') ( , ') '
'
m g
m
a NNv nle e
lDA k km n kb
sV k s e I f g s s d dlζ ζ
ζ±
= = = −
∂ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∂ ∑ ∑∑∫ ∫
(5.24)
što predstavlja konačni izraz za računanje dvostrukog integrala (5.20).
Ukoliko je točka B u beskonačnosti, suma po m-u neće ići do beskonačnosti već do
neke konačne vrijednosti pri kojoj nastupi zadovoljavajuća konvergencija rješenja.
Doprinos dijela reflektiranog polja proizašlog iz teorije preslikavanja, naponu u točki
promatranja, se izvodi na identičan način kao i za doprinos direktnog polja iz:
[ ]2 2
22 2
' '
1 ( ')( , *) ' * ( ') ( , *) '
4 *
R RA
A A
l lRi i ieff B C B C
V V
k k I sV g s s ds e dl k s I s g s s ds e dl
j k k s
ϕ
πωε±
±
± ±
− ∂
= ⋅∇ + ⋅ ⋅ + ∂
∫ ∫ ∫ ∫∓
∓
(5.25)
Dakle, slično kao i u slučaju doprinosa direktnog polja prvi dvostruki integral u izrazu
(5.25) može se napisati u obliku:
[ ]'
( ')( , *) '
*
A
lR i
B C
I sV e g s s ds dl
sϕ
∂= ⋅ ⋅∇
∂∫ ∫
(5.26)
Korištenjem izraza za usmjerenu derivaciju (5.14) dobiva se:
'
( ')( , *) '
*
A
R i
B C
I s dV g s s ds dl
s dlϕ
∂= ⋅
∂∫ ∫ (5.27)
Formalnim integriranjem izraza (5.27) po varijabli l slijedi relacija koja ovisi samo o
početnoj i krajnjoj točki integracije:
'
( ')( , *) '
*
A
R i
C B
I sV g s s ds
sϕ
∂= ⋅
∂∫ (5.28)
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
116
Razvojem raspodjele struje ( ')I s u red linearno nezavisnih funkcija Ng (3.2) s
prethodno izračunatim vrijednostima struje u čvorovima duž žice relacija (5.28) postaje:
1 '
( ')( , *) '
*
gAN
nR n i
n C B
f sV I g s s ds
sϕ=
∂= ⋅
∂∑∫ (5.29)
a prelaskom na lokalni sustav izoparametarskih rubnih elemenata slijedi:
1
1 1 1
( ')( , *) '
'
gAN nl
e kR k i
n k B
fV I g s s dϕ
ζζ
ζ= = −
∂= − ⋅
∂∑∑∫ (5.30)
što predstavlja konačni numerički izraz za računanje relacije (5.26).
Drugi dvostruki integral u (5.25):
2
'
* ( ') ( , *) 'A
lRA i
B C
V k s I s g s s ds e dl±= ⋅ ⋅∫ ∫
(5.31)
za slučaj žice okomite na smjer integracije iščezava. Ukoliko pak to nije slučaj, slično kao
u slučaju direktnog polja mora se primijeniti numerički postupak opisan jednadžbama (5.3)
odnosno (5.4), te se dobije:
1
2
1 1 1 1
'* ( ') ( , *) '
'
m g
m
a NNv nle e
lRA k k im n kb
sV k s e I f g s s d dlζ ζ
ζ±
= = = −
∂ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∂ ∑ ∑∑∫ ∫
(5.32)
Konačno, potrebno je promotriti doprinos dijela polja proizašlog iz Sommerfeld-ove
teorije:
'
1( ') ( , ') '
4
A
s lSieff B C
V I s G s s ds e dlj πωε ±
= ⋅∫ ∫
(5.33)
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
117
Jedini način da se izračuna integral u izrazu (5.33) je već spomenuti postupak opisan
izrazima (5.3) odnosno (5.4).
Dakle, razvojem raspodjele struje ( ')I s u red linearno nezavisnih funkcija Ng (3.2) s
prethodno izračunatim vrijednostima struje u čvorovima duž žice slijedi:
1 '
1( ') ( , ') '
4
gNA
l sSi n nneff B C
V I f s e G s s ds dlj πωε =±
= ⋅ ⋅
∑∫ ∫
(5.34)
Prelaskom na lokalni sustav izoparametarskih rubnih elemenata se dobiva:
1 1 '
1 '( ') ( , ') '
4 '
gNA nle e
l sSi k kn keff B C
sV I f e G s s d dl
jζ ζ
πωε ζ= =±
∂= ⋅ ⋅
∂ ∑∑∫ ∫
(5.35)
Konačno podjelom područja integracije u skladu s (5.4) slijedi:
1
1 1 1 1
1 '( ') ( , *) '
4 '
m g
m
a NNv nle e
l sSi k km n keff b
sV I f e G s s d dl
jζ ζ
πωε ζ= = =± −
∂ = ⋅ ⋅ ⋅
∂ ∑ ∑∑∫ ∫
(5.36)
Ukupni napon u točki promatranja od NW proizvoljno postavljenih žica je tada:
( ) ( )2 2
2 21
1 1
4 4
W
i i i i i
N
AB D DA R RA Si eff eff
k kV V V V V V
j j k kϕ ϕπωε πωε
±
= ± ± ±
−= − + + + +
+ ∑ ∓
∓
(5.37)
Uvrštavanjem izraza (5.17), (5.20), (5.28), (5.31) i (5.33) u (5.37) konačno slijedi
formulacija za proračun napona između točaka A i B od NW proizvoljno postavljenih žica:
20 0
' '
2 22
2 2' '
'
( ')( , ') ' ' ( ') ( , ') '
'
1 ( ')( , *) ' * ( ') ( , *) '
4 *
( ') ( , ') '
A A
l
C B CB
A A
lAB i ieff C B CB
A
s l
B C
I sg s s ds k s I s g s s ds e dl
s
k k I sV g s s ds k s I s g s s ds e dl
j k k s
I s G s s ds e dl
πωε
±
±
±
± ±
∂ ⋅ + ⋅ ⋅ +
∂
− ∂ = − + ⋅ + ⋅ ⋅ +
+ ∂
+ ⋅
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∓
∓
1
WN
i=
∑ (5.38)
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
118
Razvojem raspodjele struje ( ')I s u red linearno nezavisnih funkcija te prelaskom na
lokalni sustav izoparametarskih rubnih elemenata slijedi numeričko rješenje za napon
između točaka A i B od NW proizvoljno postavljenih žica:
1
01 1 1
12
01 1 1 1
1
2 21
2 2
( ')( , ') '
'
'' ( ') ( , ') '
'
1 ( ')( , *)
4 '
g
m g
m
AN enle i ikk
n k B
a NNv nli e i e i
l k km n kb
e i ikAB k i
eff
fI g s s d
sk s e I f g s s d dl
fV I g s s d
j k k
k k
ζζ
ζ
ζ ζζ
ζζ
πωε ζ
= = −
±= = = −
± −±
±
∂⋅ +
∂
∂ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
∂
∂= − − ⋅
∂−+
+
∑∑ ∫
∑ ∑∑∫ ∫
∫∓
∓
1 1
12
1 1 1 1
1
1 1 1
'
'* ( ') ( , *) '
'
'( ') ( , *) '
'
g
m g
m
m g
m
AN nl
n k B
a NNv nli e i e i
l k k im n kb
a N nl ie i el sk k
n kb
sk s e I f g s s d dl
sI f e G s s d dl
ζ ζζ
ζ ζζ
= =
±= = = −
= = −
+
+ ∂
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∂
∂+ ⋅ ⋅ ⋅
∂
∑∑
∑ ∑∑∫ ∫
∑∑∫ ∫
1
1
WN
i
Nv
m
=
=
∑
∑
(5.39)
ili zapisano u sažetijem obliku:
1 2 2
0 2 21 1 1
1 2 22
0 2 21 1 1
( ')( , ') ( , *) '
'
1 '( ') ' ( , ') * ( , *) '
4 '
g
g
AN enl
e i i ikk i
n kB
N nle i e i i i i
l lAB k k in keff
k kfI g s s g s s d
k k
k k sV k I f s e g s s s e g s s d
j k k
ζζ
ζ
ζ ζπωε ζ
±
= = ±−
±±
= =± ±−
−∂⋅ − +
∂ +
− ∂= − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
+ ∂
∑∑∫
∑∑∫
∓
∓
∓
∓
1 1
1
1 1 1 1
'( ') ( , *) '
'
mW
m
m g
m
aN Nv
i m b
a NNv nl ie i el sk k
m n kb
dl
sI f e G s s d dlζ ζ
ζ
= =
= = = −
+
∂
+ ⋅ ⋅ ⋅ ∂
∑ ∑ ∫
∑ ∑∑∫ ∫
(5.40)
Da bi se objasnio fizikalni smisao ovako definiranog napona, žice će se, radi
jednostavnosti, postaviti u homogeni prostor. Tada je napon definiran samo direktnim
valom:
20 0
1 ' '
1 ( ')( , ') ' ' ( ') ( , ') '
4 '
WA AN
lABieff C B CB
I sV g s s ds k s I s g s s ds e dl
j sπωε =
∂ = − ⋅ + ⋅ ⋅
∂ ∑ ∫ ∫ ∫
(5.41)
odnosno u skladu s numeričkim rješenjem:
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
119
1
01 1 1
112
01 1 1 1
( ')( , ') '
'1
4 '' ( ') ( , ') '
'
g
W
m g
m
AN enlei ikk
N n k BAB
a N nlieffi ei e i
l k km n kb
fI g s s d
Vj s
k s e I f g s s d dl
ζζ
ζ
πωεζ ζ
ζ
= = −
∞=
= = = −
∂ ⋅ +
∂ = −
∂ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∂
∑∑∫∑
∑ ∑∑∫ ∫
(5.42)
Prvi integral u izrazima (5.41) i (5.42) posljedica je električnog skalarnog potencijala i daje
iznos razlike potencijala između točaka A i B, tj. iznos klasično definiranog napona iz
elektrostatike. Drugi je pak integral posljedica magnetskog vektorskog potencijala te je
njegov smisao u pogledu usporedivosti s rezultatima mjerenja upitan budući da su mjerenja
isključivo vezana za razliku potencijala (u statičkom i kvazi-statičkom smislu). Naime
jednadžba (5.1) iz koje slijedi (5.41) i (5.42) se može zapisati kao:
A
AB A B
B
V j Adlϕ ϕ ω= − − ∫
(5.43)
Kao što je već spomenuto integral u jednadžbi (5.43) nije jednoznačno određen budući
da vektorsko polje A nije konzervativno. Ukoliko bi pak vremenska promjena magnetskog
toka, definiranog Faraday-ovim zakonom bila jednaka nuli, tada bi i integral u (5.43) bio
jednoznačan. U praksi ukoliko je valna duljina puno veća od dimenzija promatranog
sustava tada je i vremenska promjena magnetskog toka približno jednaka nuli, te se
spomenuti integral može smatrati jednoznačnim.
Dakle, može se ustvrditi da integral oblika kao u (5.43) ima potpuni fizikalni smisao
ukoliko se integracija vrši po zatvorenoj petlji (prema Faraday-ovom zakonu) dok za
linijski integral ta fizikalnost izostaje. Posebice se to odnosi na primjene u modeliranju
fizikalnih procesa i sustava, poput kanala groma, sustava za zaštitu od munje, prijenosnih
linija, antena i sl. Naime napon definiran u takvim modelima, uključujući teoriju krugova,
prijenosne linije i složene elektromagnetske modele, ali i u mjerenjima je definiran kao
razlika potencijala (u statičkom i kvazi-statičkom smislu) budući je kao takav jednoznačan
i lako usporediv, odnosno provjerljiv. Mora se spomenuti kako u literaturi postoje i
proračuni napona direktno po izrazu (5.1) odnosno (5.4) poput [14] i [39], međutim
fizikalni smisao takvog napona je upitan, pogotovo u smislu računanja impedancije.
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
120
U slučaju da se odabere smjer integracije okomit na žice izraz (5.38) se
pojednostavljuje:
2 2
0 2 2' '
1
'
( ') ( ')( , ') ' ( , *) '
' *1
4( ') ( , ') '
W
A A
iNC CB B
ABAieff
s l
B C
k kI s I sg s s ds g s s ds
s k k sV
jI s G s s ds e dl
πωε
±
±
=±
−∂ ∂ ⋅ + ⋅
∂ + ∂ = −
+ ⋅
∫ ∫∑
∫ ∫
∓
∓
(5.44)
odnosno ukoliko se promatra numeričko rješenje (5.40) slijedi:
2 21
0 2 21 1 1
11
1 1 1 1
( ')( , ') ( , *) '
'1
4 '( ') ( , *) '
'
W
m
m
AeN nl
ei i ikk i
N n kB
ABaNv N nlieff ie i e
l sk km n kb
k kfI g s s g s s d
k kV
j sI f e G s s d dl
ζζ
ζ
πωεζ ζ
ζ
±
= = ±−
=±
= = = −
−∂ ⋅ − + ∂ +
= − ∂
+ ⋅ ⋅ ⋅ ∂
∑∑∫∑
∑ ∑∑∫ ∫
∓
∓
(5.45)
To rezultira velikim skraćenjem vremena računanja, budući da u izrazu (5.37) iščezavaju
komponente napona proizašle iz magnetskog vektorskog potencijala iDAV i
iRAV , te ostaje
samo doprinos električnog skalarnog potencijala ( ϕiDV i ϕiRV ) i doprinos Sommerfeld-ovog
korekcijskog dijela (iSV ). Ukoliko se pak zanemari doprinos Sommerfeld-ovog
korekcijskog dijela (iSV ), što je vrlo često moguće jer je doprinos Sommerfeld-ovog
korekcijskog dijela (iSV ) puno manji od doprinosa ostalog dijela polja dobiva se izraz za
napon koji je posljedica razlike skalarnog potencijala i to na razini formulacije:
2 2
0 2 21 ' '
1 ( ') ( ')( , ') ' ( , *) '
4 ' *
WA A
N
AB AB iieff C CB B
k kI s I sV g s s ds g s s ds
j s k k sϕ
πωε±
=± ±
−∂ ∂ = = − ⋅ + ⋅
∂ + ∂ ∑ ∫ ∫
∓
∓
(5.46)
odnosno na razini numeričkog rješenja:
2 21
0 2 21 1 1 1
1 ( ')( , ') ( , *) '
4 '
gW
ANN enl
e i i ikAB AB k i
i n keff B
k kfV I g s s g s s d
j k k
ζϕ ζ
πωε ζ±
= = =± ±−
−∂= = − ⋅ −
∂ + ∑∑∑∫
∓
∓
(5.47)
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
121
Izraz (5.46) odnosno (5.47) daje jedinstveno rješenje budući da ne ovisi o putu integracije.
Vrlo često je potrebno izračunati napon u odnosu na udaljenu zemlju (eng. remote
ground) za koju se pretpostavlja da je na potencijalu nula. Tako definiran napon predstavlja
potencijal bilo koje točke poluprostora, uzrokovan strujom koja teče kroz Nw žica, u
odnosu na udaljenu zemlju i može se odrediti iz jednadžbe:
( ) ( )2 2
0 2 21 ' '
1 ( ') ( ')( , ') ' ( , *) '
4 ' *
WN
iieff C C
k kI s I sV r r g r s ds g r s ds
j s k k sϕ
πωε±
=± ±
−∂ ∂ = = − ⋅ + ⋅
∂ + ∂ ∑ ∫ ∫
∓
∓
(5.48)
odnosno na razini numeričkog rješenja iz:
2 21
0 2 21 1 1 1
1 ( ')( ) ( ) ( , ') ( , *) '
4 '
gWNN enl
e i i ikk i
i n keff
k kfV r r I g r s g r s d
j k k
ζϕ ζ
πωε ζ±
= = =± ±−
−∂= = − ⋅ −
∂ + ∑∑∑∫
∓
∓
(5.49)
Ovako formulirana jednadžba za napon nalazi primjenu u mnogim aplikacijama poput
određivanja napona točke napajanja kada se koristi idealni strujni izvori (uzemljivač,
gromobran, kanal groma i sl.), zatim proračun raspodjele potencijala na površini zemlje
(uzemljivač), određivanje raspršnog napona kod prijenosnih linija i sl.
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
122
5.2. Proračun izračene snage
5.2.1. Energija i snaga elektromagnetskih valova
Opća veza kojom se snaga i energija izražavaju preko električnih i magnetskih polja
dana je Poynting-ovim teoremom koji predstavlja jedan od temeljnih zakona u
elektromagnetskoj teoriji.
Promatra se određeno područje volumena V s karakteristikama permitivnosti ε,
permeabilnosti µ i vodljivosti σ zatvoreno površinom S. Unutar područja općenito postoje
električni i magnetski izvori (JJJJ i MMMM ). Prostorno – vremenski ovisna polja uzrokovana tim
izvorima koja postoje unutar tog područja su električno polje EEEE i magnetsko polje
HHHH
opisana Maxwell-ovim jednadžbama [75]:
i i i d
t tµ
∂ ∂∇× = − − = − − = − −
∂ ∂
B HB HB HB HE M M M ME M M M ME M M M ME M M M M
(5.50)
i c i i c dt t
σ ε∂ ∂
∇× = + − = + + = + +∂ ∂
D ED ED ED EH J J J E J J JH J J J E J J JH J J J E J J JH J J J E J J J
(5.51)
gdje su:
ε=D ED ED ED E
(5.52)
µ=B HB HB HB H
(5.53)
c σ=J EJ EJ EJ E
(5.54)
dt
ε∂
=∂
EEEEJJJJ
(5.55)
dt
ε∂
=∂
EEEEJJJJ
(5.56)
Pri tome oznake u jednadžbama (5.50) do (5.56) su:
EEEE
- trenutna vrijednost električnog polja [ ]V m ;
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
123
HHHH
- trenutna vrijednost magnetskog polja [ ]A m ; DDDD - trenutna vrijednost gustoće električnog toka 2C m ;
BBBB - trenutna vrijednost gustoće magnetskog toka [ ]T ;
iJJJJ
- trenutna vrijednost gustoće električne struje izvora 2A m ;
iMMMM
- trenutna vrijednost gustoće magnetske struje izvora 2V m ;
cJJJJ - trenutna vrijednost gustoće kondukcijske gustoće električne struje (koja generira
gubitke) 2A m ;
dJJJJ - trenutna vrijednost gustoće pomačne električne struje 2A m ;
dMMMM - trenutna vrijednost gustoće pomačne magnetske struje 2V m ;
Valja napomenuti da priloženi fontovi korišeni u ovom dijelu rad znače trenutne
vrijednosti vremenski promjenljivih veličine pri čemu je vremenska ovisnost proizvoljna
(ne nužno harmonijska).
Skalarnim množenjem jednadžbe (5.50) s HHHH
i jednadžbe (5.51) s EEEE
dobije se:
( ) ( )i d⋅ ∇× = − ⋅ +H E H M MH E H M MH E H M MH E H M M
(5.57)
( ) ( )i c d⋅ ∇× = ⋅ + +E H E J J JE H E J J JE H E J J JE H E J J J
(5.58)
Oduzimanjem izraza (5.58) od (5.57) slijedi:
( ) ( ) ( ) ( )i d i c d⋅ ∇× − ⋅ ∇× = − ⋅ + − ⋅ + +H E E H H M M E J J JH E E H H M M E J J JH E E H H M M E J J JH E E H H M M E J J J
(5.59)
Koristeći vektorski identitet:
( ) ( ) ( )∇ ⋅ × = ⋅ ∇ × − ⋅ ∇ × A B B A A B (5.60)
lijeva strana jednadžbe (5.59) mijenja oblik:
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
124
( ) ( ) ( )∇ ⋅ × = − ⋅ + − ⋅ + +E H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J J
i d i c d (5.61)
što se može drugačije zapisati:
( ) ( ) ( ) 0∇ ⋅ × + ⋅ + + ⋅ + + =E H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J J
i d i c d (5.62)
Ukoliko se izraz (5.61) integrira po volumenu V, slijedi:
( ) ( ) ( )∇ ⋅ × = − ⋅ + − ⋅ + +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫E H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J J
i d i c d
V V V
dV dV dV (5.63)
te, se korištenjem teorema divergencije na lijevoj strani jednadžbe (5.63), dobiva:
( ) ( ) ( )i d i c d
S V V
d S dV dV× = − ⋅ + − ⋅ + +∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
E H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J J (5.64)
što se može zapisati u obliku:
( ) ( ) ( ) 0i d i c d
S V V
d S dV dV× + ⋅ + + ⋅ + + =∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
E H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J J (5.65)
Jednadžbe (5.62) i (5.65) predstavljaju diferencijalni odnosno integralni oblik zakona o
očuvanju energije [75].
Integrand s lijeve strane izraza (5.64) oblika:
= ×S E HS E HS E HS E H
(5.66)
naziva se Poynting-ovim vektorom, a dimenzijski predstavlja gustoću snage
elektromagnetskog vala.
Ukupna snaga PPPPe koja izlazi iz volumena V koji je obuhvaćen zatvorenom površinom S
tada je dana izrazom:
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
125
( )e
S S
d S d S= × =∫∫ ∫∫
P E H SP E H SP E H SP E H S (5.67)
S druge pak strane integrandi s desne strane jednadžbe (5.64) se mogu raspisati na način:
( )= − ⋅ + ⋅p H M E Jp H M E Jp H M E Jp H M E J
i is (5.68)
( ) 2σ σ= ⋅ = ⋅ =p E J E E Ep E J E E Ep E J E E Ep E J E E E
cd (5.69)
2
21 1
2 2ε ε ε
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ = ⋅ = ⋅ = = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
D E ED E ED E ED E EE J E E E wE J E E E wE J E E E wE J E E E w
d et t t t t (5.70)
2
21 1
2 2µ µ µ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ = ⋅ = ⋅ = = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
B H HB H HB H HB H HH M H H H wH M H H H wH M H H H wH M H H H w
d mt t t t t (5.71)
gdje je:
pppp s - prostorna gustoća privedene snage [W/m3]
pppp d - prostorna gustoća disipirane snage [W/m3]
wwww e - prostorna gustoća električne energije [J/ m3]
wwwwm - prostorna gustoća magnetske energije [J/ m3]
Integriranje izraza (5.68)– (5.71) po volumenu daje:
( )= − ⋅ + ⋅ =∫∫∫ ∫∫∫P H M E J pP H M E J pP H M E J pP H M E J p
i is s
V V
dV dV (5.72)
( ) ( )2σ= ⋅ = =∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫P E J E pP E J E pP E J E pP E J E p
cd d
V V V
dV dV dV (5.73)
( ) 21
2ε
∂ ∂ ∂ ⋅ = = =
∂ ∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫E J E w WE J E w WE J E w WE J E w W
d e e
V V V
dV dV dVt t t
(5.74)
( ) 21
2µ
∂ ∂ ∂ ⋅ = = =
∂ ∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫H M H w WH M H w WH M H w WH M H w W
d m m
V V V
dV dV dVt t t
(5.75)
gdje je:
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
126
PPPPs - privedena snaga [W]
PPPPd - disipirana snaga [W]
WWWWe - električna energija [J]
WWWWm - magnetska energija [J]
Dakle, sažeto se može napisati:
( ) 0∂
− + + =∂
P P + P W WP P + P W WP P + P W WP P + P W We s d e mt (5.76)
ili,
( )∂
+ +∂
P = P + P W WP = P + P W WP = P + P W WP = P + P W Ws e d e mt (5.77)
što predstavlja zakon o očuvanju snage, koji kaže da, unutar volumena V omeđenog
površinom S, privedena snaga PPPPs je jednaka sumi snage PPPPe koja izlazi iz volumena V kroz
površinu S, disipirane snage PPPPd i vremenske promjene (povećanja ukoliko je pozitivna)
električne WWWWe odnosno magnetske WWWWm energije sadržane unutar promatranog volumena.
5.2.2. Vremenski harmonijska EM polja
U prethodnom podpoglavlju 5.2.1 dan je pregled Poynting-ovog teorema za općeniti
oblik vremenski promjenljivih elektromagnetskih polja. Međutim, u mnogim primjenama
vremenska promjena je sinusna i naziva se vremenski harmonijska. Takva vremenska
promjena se predstavlja s j te ω te se trenutni vektori elektromagnetskog polja mogu zapisati
u kompleksnom obliku na jednostavan način:
( ), , ; Re ( , , ) ω = AAAA
j tx y z t A x y z e (5.78)
Dakle, uvažavajući izraz (5.78) harmonijska električna i magnetska polja se mogu
zapisati na slijedeći način:
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
127
( ) ( ) ( )*1
, , ; Re , ,2
ω ω ω = = + EEEE
j t j t j tx y z t E x y z e Ee Ee (5.79)
( ) ( ) ( )*1
, , ; Re , ,2
ω ω ω = = + HHHH
j t j t j tx y z t H x y z e He He (5.80)
gdje znak * označava konjugirano kompleksnu vrijednost. Uvrštavajući (5.79) i (5.80) u
(5.66) slijedi:
( ) ( )* *1 1
2 2ω ω ω ω = + × +
SSSS
j t j t j t j tEe Ee He He (5.81)
Koristeći teoreme vektorske algebre lako se dođe do konačnog izraza za Poynting-ov
vektor za harmonijski promjenjiva elektromagnetska polja [75]:
* 21 1
Re Re2 2
ω = × + × SSSS
j tE H E He (5.82)
Budući da ni E ni
H nisu funkcije vremena, a vremenska ovisnost drugog pribrojnika u
izrazu (5.82) je dvostruko veća od frekvencije vektora polja, tada vremenski usrednjen
Poynting-ov vektor, tj. uprosječena gustoća je jednaka:
2
* *2
0
1 1 1 1Re Re ( ) Re
2 2 2 2
πω ω
π
= = × + × = × ∫SSSS
j t
A S E H E He d t E H (5.83)
*× E H je općenito kompleksni broj, te realni dio od
*× E H predstavlja realni dio gustoće
snage, dok imaginarni dio predstavlja takozvanu jalovu snagu.
Uvažavajući gore navedeno, sada se mogu izvesti izrazi za zakon očuvanja snage i
energije za harmonijska polja. Prve dvije Maxwell-ove jednadžbe za harmonijski
promjenljiva polja su definirane sa [75]:
ωµ∇ × = − −
iE M j H (5.84)
ωε∇ × = + +
i cH J J j E (5.85)
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
128
gdje je iJ
kompleksna gustoća električne struje izvora a cJ
kompleksna gustoća
konduktivne električne struje koja je odgovorna za gubitke.
Skalarnim množenjem jednadžbe (5.84) s *H i konjugirano kompleksne varijante
jednadžbe (5.85) s E dobija se:
( )* * *
ωµ⋅ ∇ × = − ⋅ −
iH E H M j H H (5.86)
( )* * * *ωε⋅ ∇ × = ⋅ + ⋅ − ⋅
i cE H E J E J j E E (5.87)
Oduzimanjem jednadžbe (5.86) od (5.87) slijedi:
( ) ( )* * * * * * *
ωε ωµ⋅ ∇ × − ⋅ ∇ × = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ +
i i cE H H E H M E J E J j E E j H H (5.88)
Koristeći vektorski identitet (5.60) proizlazi:
( )* * * 2 2 2i iE H H M E J E j H Eσ ω µ ε −∇ ⋅ × = ⋅ + ⋅ + + −
(5.89)
Diferencijalni oblik zakona očuvanja energije za harmonijski promjenljiva polja tada je
dan relacijom:
* * * 2 2 21 1 1 1 1 1
22 2 2 2 4 4
i iE H H M E J E j H Eσ ω µ ε
−∇ ⋅ × = ⋅ + ⋅ + + −
(5.90)
Integrirajući (5.90) po volumenu uz primjenu teorema o divergenciji slijedi:
( )* * *
2 2 2
1 1
2 2
1 1 12
2 4 4
i i
S V
V V
E H d S H M E J dV
E dV j H E dVσ ω µ ε
− × = ⋅ + ⋅ +
+ + −
∫∫ ∫∫∫
∫∫∫ ∫∫∫
(5.91)
Ili drugačije napisano:
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
129
( )* * * 2
2 2
1 1 1
2 2 2
1 12
4 4
i i
V S V
V
H M E J dV E H d s E dV
j H E dV
σ
ω µ ε
− ⋅ + ⋅ = × +
+ −
∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
(5.92)
što predstavlja zakon o očuvanju energije harmonijsko promjenljivih polja u integralnom
obliku.
Jednadžba (5.92) se kraće može zapisati na način [75]:
( )2 m es e dP P P j W Wω= + + − (5.93)
gdje su:
( )* *1
2i is
V
P H M E J dV= − ⋅ + ⋅∫∫∫
kompleksna snaga izvora; (5.94)
( )*1
2e
S
P E H d S= ×∫∫ kompleksna snaga koja izlazi kroz površinu S; (5.95)
*21 1
2 2cd
V V
P E dV E J dVσ= = ⋅∫∫∫ ∫∫∫
disipirana snaga; (5.96)
21
4m
V
W H dVµ= ∫∫∫ uprosječena magnetska energija; (5.97)
21
4e
V
W E dVε= ∫∫∫ uprosječena električna energija. (5.98)
5.2.3. Uprosječena snaga antene
U slučaju tanke žice (antena) napravljene od idealno vodljivog materijala na kojoj
postoji struja koja se mijenja po harmonijskom zakonu, vrijedi sljedeće:
0; 0; 0; 0; 0; 0; 0;≠ ≠ ≠ = ≠ = ≠
i di c dEEEE H J J J M MH J J J M MH J J J M MH J J J M M (5.99)
tj. nema gubitaka te nema izvora magnetske struje.
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
130
Tada zakon o očuvanju energije (5.61) poprima sljedeći oblik:
2 21 1
2 2i
tµ ε
∂ ∇ ⋅ = − ⋅ − +
∂
S E J H ES E J H ES E J H ES E J H E (5.100)
Budući se radi o harmonijski promjenjivim poljima, vremenski usrednjen Poynting-ov
vektor, odnosno uprosječena gustoća snage je dana jednadžbom (5.83), te je ukupna
uprosječena snaga dana izrazom:
*1
Re2A
S S
P Sd S E H d S = = × ∫∫ ∫∫ (5.101)
što može predstavljati npr. izračenu snagu antene.
Također za periodična polja vrijedi da je usrednjena vremenska promjena uskladištene
elektromagnetske energije jednaka nuli pa drugi član s desne strane izraza (5.100) nestaje.
Zbog toga je ukupna uprosječena snaga dana i sa [57]:
*1
Re2
iAV
S V
P Sd S E J dV= = − ⋅∫∫ ∫∫∫ (5.102)
Ovo znači da se uprosječena izračena snaga može izračunati ili integrirajući komponentu
Poynting-ovog vektora okomitu na zatvorenu površinu ili integrirajući gustoću privedene
snage po volumenu izvora.
5.2.4. Proračun uprosječene snage sustava žica
U slučaju tanke žice (antene) napravljene od idealno vodljivog materijala na kojoj
postoji struja koja se mijenja po harmonijskom zakonu, izraz *iJ dV
u (5.102) se može
zapisati kao:
* *
iiJ dV I S ds=
(5.103)
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
131
gdje je S površina presjeka žice a *
I
označava konjugirano kompleksnu vrijednost struje.
Uvrštavanjem (5.103) u (5.102) slijedi:
*1
Re2
iAV
C
P E I ds= − ⋅∫
(5.104)
što predstavlja uprosječenu izračenu snagu antene.
Generalizacijom izraza (5.104) slijedi uprosječena kompleksna izračena snaga antene:
*1
2= − ⋅∫
AV
C
P E I ds (5.105)
gdje realni dio predstavlja realnu izračenu snagu a imaginarni dio jalovu snagu.
Za slučaj Nw vodiča kojima teče kompleksna struja In totalna uprosječena snaga jednaka je:
*
1 1
1
2 = =
= − ⋅∑∑ ∫ W W
m
N N
mn nAV mm n C
P E I ds (5.106)
gdje je mnE
dio električnog polja na mjestu m-tog vodiča koji je posljedica zračenja n-tog
vodiča, i u skladu s matematičkom formulacijom i numeričkim rješenjem obrađenim u
poglavljima 2 i 3, definiran relacijom:
20 0
2 22
2 2
( ' )( , ' ) ' ( ' ) ( , ' ) '
'
( ' )1( , ' ) * ( ' ) ( , * ) '
4 *
( ' ) ( , ' ) '
n
n
n
n nm n n n n m n n
nC
n nmn i m n n n n i m n n
eff nC
sn n m n n
C
I sg s s k s I s g s s ds
s
k k I sE g s s k s I s g s s ds
j k k s
I s G s s ds
πωε
±
±
±
±
∂⋅∇ + ⋅ ⋅ +
∂
− ∂= + ⋅∇ + ⋅ ⋅ +
+ ∂ + ⋅
∫
∫
∫
∓
∓
(5.107)
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
132
Radi jednostavnosti prikaza pretpostavlja se sustav žica koji se nalazi u homogenom
mediju, a potom se formulacija dade proširiti na vodljivi poluprostor. Za slučaj homogenog
medija jednadžba (5.107) se pojednostavljuje:
20 0
1 ( ' )( , ' ) ' ( ' ) ( , ' ) '
4 'n
n nmn m n n n n m n n
eff nC
I sE g s s k s I s g s s ds
j sπωε
∂= ⋅ ∇ + ⋅ ⋅
∂ ∫
(5.108)
Uvrštavanjem izraza (5.108) u (5.106) slijedi:
*0
1 1 20
( ' )( , ' )1 ' '
8' ( ' ) ( , ' )
W W
m n
n nN Nm n
mnAV n mm neff C C
n n n m n
I sg s s
sP ds I dsj
k s I s g s sπωε = =
±
∂ ⋅ ∇ + ∂= − ⋅
+ ⋅ ⋅
∑∑ ∫ ∫
(5.109)
tj.:
*0
1 1 2 *0
( ' ) ( , ' )( ) '
'1
8' ( ' ) ( ) ( , ' ) '
W Wm n
m n
n n m nm m n m
N Nn mC C
AVm neff
m n n n m m m n n m
C C
I s g s sI s ds ds
s sP
jk s s I s I s g s s ds ds
πωε = =
±
∂ ∂⋅ ⋅ +
∂ ∂ = −
+ ⋅ ⋅ ⋅
∫ ∫∑∑
∫ ∫
(5.110)
Kako bi se izbjeglo djelovanje diferencijalnog operatora na jezgru operator će se prebaciti
s jezgre na struju * ( )m mI s pomoću izraza za deriviranje umnoška dviju funkcija:
*
* *00 0
( , ' ) ( )( ) ( , ' ) ( ) ( , ' )m n m m
m m m n m m m n
m m m
g s s I sI s g s s I s g s s
s s s±
± ±
∂ ∂ ∂ ⋅ = ⋅ − ⋅ ∂ ∂ ∂
(5.111)
Integrirajući izraz (5.111) po dužini žice (m) slijedi:
** *0
0 0
( , ' ) ( )( ) ( , ' ) ( ) ( , ' )
m
m
m m
s endm n m m
m m m m n m m m n ms startm mC C
g s s I sI s ds g s s I s g s s ds
s s±
± ±
∂ ∂⋅ = ⋅ − ⋅
∂ ∂∫ ∫ (5.112)
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
133
Prvi izraz s desne strane sadrži uvjete na krajevima žice koji se naknadno uključuju u
numeričku formulaciju, te ga je stoga potrebno zanemariti u nastavku rješavanja. Inače bi
sustav postao predimenzioniran.
Uvažavajući to, te uvrštavanjem (5.112) u (5.110) slijedi:
*
0
1 1 2 *0
( ' ) ( )( , ' ) '
'1
8' ( ' ) ( ) ( , ' ) '
W Wm n
m n
n n m mm n n m
N Nn mC C
AVm neff
m n n n m m m n n m
C C
I s I sg s s ds ds
s sP
jk s s I s I s g s s ds ds
πωε = =
∂ ∂− ⋅ ⋅ +
∂ ∂ = −
+ ⋅ ⋅ ⋅
∫ ∫∑∑
∫ ∫
(5.113)
Razvojem raspodjele struje ( ' )n nI s odnosno * ( )m mI s u red linearno nezavisnih funkcija
Nn odnosno Nm s prethodno izračunatim vrijednostima struje u čvorovima duž žice:
( )1
' ( ' )=
=∑nN
n n ni ni ni
I s I f s (5.114)
( )* *
1
( )=
=∑mN
m m mj mj mj
I s I f s (5.115)
slijedi:
*0
1 1
1 1 2 *0
1 1
( )( ' )( , ' ) '
'1
8' ( ' ) ( ) ( , ' ) '
n m
W Wm n
n m
m n
N Nmj mni n
ni mj m n n mN N
i j n mC C
AV N Nm neff
ni mj m n ni n mj m m n n mi j C C
f sf sI I g s s ds ds
s sP
jk I I s s f s f s g s s ds ds
πωε
= =
= =
= =
∂∂− ⋅ ⋅ ⋅ +
∂ ∂ = −
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∑∑ ∫ ∫∑∑
∑∑ ∫ ∫
(5.116)
tj.
0*
1 1 1 1 20
( )( ' )( , ' )1
' '8
' ( ' ) ( ) ( , ' )
W W n m
m n
mj mni nN N N Nm n
n mAV ni mj n mm n i jeff C C
m n ni n mj m m n
f sf sg s s
s sP I I ds dsj
k s s f s f s g s sπωε = = = =
∂∂− ⋅ ⋅ +
∂ ∂= − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∑∑ ∑ ∑ ∫ ∫
(5.117)
Izraz (5.117) se također može napisati i u obliku:
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
134
*
1 1 1 1
1
8
W W n mN N N Nnm
AV ni mj jim n i jeff
P I I Zj πωε = = = =
= −
∑∑ ∑ ∑ (5.118)
gdje je:
0
20
( )( ' )( , ' )
' '
' ( ' ) ( ) ( , ' )m n
mj mni nm nnm
n mji n m
C Cm n ni n mj m m n
f sf sg s s
s sZ ds ds
k s s f s f s g s s
±
±
∂∂− ⋅ ⋅ +
∂ ∂= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∫ ∫
(5.119)
Također jednadžba (5.118) se može napisati matrično:
*
1 1
*11 12 1 1
*21 2 1
1 21 1
*
1
1
8
1
8
W W
m
W Wm
n
mn n m
N NT
AV i ji jn nm mm neff
N
N NN
N nm neff
NN N N mnm
P I Z Ij
Z Z Z I
Z Z II I I
j
IZ Z
πωε
πωε
= =
= =
= − =
=
∑∑
∑∑
(5.120)
pri čemu se elementi matrice ji nmZ računaju iz relacije (5.119). Dakle prelaskom na
lokalni sustav dolazimo do izraza za elemente matrice:
1 10
21 1 0
( , ' )'
'' ( , ' )
n m T
m nnm i j n mji n m T
m n m ni j
D D g s s ds dsZ d d
d dk s s f f g s sζ ζ
ζ ζ
±
− − ±
− ⋅ ⋅ + = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∫ ∫ (5.121)
gdje vektori n
if i
m
jf sadrže oblikovne funkcije dok vektori
n
iD i
m
jD sadrže
njihove derivacije redom Nn elementa n-te žice odnosno Nm elementa m-te žice.
Izraz ji nmZ predstavlja matricu međuimpedancija elemenata između n-te i m-te žice i
potpuno je ista matrici međuimpedancija koja se dobije prilikom računanja struje (3.36).
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
135
Također sve matrice međuimpedancije asemblirane čine globalnu matricu sustava (3.36).
Na taj način izraz (5.120) se može sažeto napisati kao:
[ ] *1
8
T
AV
eff
P I Z Ij πωε
= − (5.122)
gdje je T
I transponirani vektor struje:
1
2
1 2
1
2
1 2
= =
NWW
NWW
T
N
TT TNT
N N NN
NN
I
II I I I
I
(5.123)
[ ]Z je globalna matrica sustava:
[ ]
1 1 1 2 1
2 1
1
1 1
11 12 1
21
1
1 1
−
−
−
−
=
NWW
N NW WW W
N N N N Nw W W W WW W W W W
N N N N N NN
N N
N NN N
N N N N N NN N N N N
Z Z Z
ZZ
Z
Z Z Z
(5.124)
a *I je vektor konjugirano kompleksnih vrijednosti struje u svim čvorovima svih žica:
1
2
*
1
*
* 2
*
=
NWW
N
N
NN
I
II
I
(5.125)
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
136
Dakle, proračun snage vrlo jednostavno provodi s već izračunatim matricama
dobivenim prilikom proračuna struje, što je prednost predložene metode jer se proračun
svodi na množenje vektora već izračunate struje i globalne matrice već asemblirane u
postupku proračuna struje.
Ukoliko se žica postavi u homogeni poluprostor tada je matricu međuimpedancija nužno
proširiti da bi se uzelo u obzir i reflektirano polje na isti način kao i u slučaju proračuna struje:
0
20
2 2
2 2 2
( , ' )
' ( , ' )
( , * )'
' ( , ' )
( , ' )
n nT
m ni j
n mT
m m m ni j
nm n mT nji i m ni j
n mT
m n i m ni j
n mTSm m ni j
D D g s s
k s s f f g s s
dsZ dD D g s sk k d
k k k s s f f g s s
s f f G s s
ζζ
±
± ±
±±
± ± ±
±
− ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + − + +
+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
∓
∓
1 1
1 1
' mdsd
dζ
ζ− −
∫ ∫ (5.126)
5.3. Proračun ulazne impedancije
Općenito, žičana antena se pomoću Thevenin-ovog i/ili Norton-ovog ekvivalentnog
kruga može nadomjestiti s ekvivalentnom impedancijom ZA [55]. Ekvivalentna
impedancija se postavlja između dva terminala a – b koji se koriste za povezivanje antene
na generator, prijemnik ili prijenosnu liniju (Slika 5.1), i predstavlja ulaznu impedanciju.
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
137
Slika 5.1 Antena i ekvivalentni krug
U slučaju da je antena izolirana u slobodnom prostoru, ulazna impedancija jednaka je
vlastitoj impedanciji antene. U praksi, naravno, to nije slučaj jer gotovo uvijek treba uzeti u
obzir utjecaj poluprostora budući se antene postavljaju iznad ili u zemlju.
Ulazna impedancija ovisi o mnogim parametrima kao što su radna frekvencija, geometrija
antene, metode pobuđivanja te blizina okolnih objekata.
U relevantnoj literaturi navodi se nekoliko, u prvom redu analitičkih, načina proračuna
ulazne impedancije. Prema [55] i [92] ulazna impedancija se može izračunati primjenom:
• metode rubnih vrijednosti (eng. boundary-value problems) – metode temeljene
direktno na jednadžbama polja;
• metode Poynting-ovog vektora (eng. Poynting vector method)
• metode inducirane elektromotorne sile (eng. induced EMF method)
• metode prijenosnih linija (eng. transmission line method).
Metoda rubnih vrijednosti je klasična metoda kod koje se Maxwell-ove jednadžbe
izraze preko krivolinijskih koordinata pogodno odabranih prema obliku vodiča. Zatim se
uz zadovoljenje graničnih uvjeta na vodiču rješava rezultirajuća diferencijalna jednadžba.
Potom se odrede prirodni modovi titanja te se iz prigušenja tih titraja dade odrediti realni
dio impedancije, odnosno radni otpor. Glavni nedostatak metode je da je ograničena na
vrlo uski skup geometrija budući je egzaktno rješenje moguće samo u slučaju sferoidnih
vodiča. Ostali oblici geometrije sadrže diskontinuitete na krajevima što čini svaku analizu
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
138
približnom. To se odnosi i na vodič oblika cilindra, za koji egzaktna analiza nije moguća
[93]. Općenito, metoda rubnih vrijednosti je točnija od ostalih metoda budući da sadrži
najmanje aproksimacija i pojednostavljenja. Pri tome se prvenstveno misli da se raspodjela
struje ne pretpostavlja već se određuje iz graničnog uvjeta o nestajanju tangencijalnih
komponenti električnog polja na površini idealnog vodiča.
Metoda Poynting-ovog vektora se sastoji od integracije Poynting-ovog vektora po
zatvorenoj površini (najčešće sfera) koja obuhvača antenu na dovoljno velikoj udaljenosti.
Pri proračunu električnog i magnetskog polja se pretpostavlja sinusna raspodjela struje.
Osnovni nedostatak ove metode je da daje samo realni dio impedancije tj. otpor zračenja
budući da uzima u obzir samo daljinsko polje. Preciznost metode je u najvećoj mjeri
ovisna o točnosti pretpostavljene raspodjele struje.
Metoda inducirane elektromotorne sile se sastoji od proračuna integrala produkta
raspodjele struje i električnog polja na površini antene koje je posljedica te raspodjele
struje [94]. Tada je ulazna impedancija dana sa [92], [94], [95]:
2
0
1( ) ( )ul sZ E s I s ds
I= − ⋅∫ (5.127)
gdje je 0I struja na ulaznom terminalu, ( )I s pretpostavljena sinusna raspodjela struje i
( )sE s raspodjela tangencijalnog električnog polja duž žice.
Kao i kod metode Poynting-ovog vektora iz pretpostavljene strujne raspodjele se
računaju električna i magnetska polja te točnost metode ovisi o preciznosti pretpostavljene
struje. Metoda daje istu vrijednost otpora zračenja kao i metoda Poynting-ovog vektora za
istu pretpostavljenu raspodjelu struje, dok joj je prednost što daje i vrijednost imaginarnog
dijela impedancije tj. reaktanciju. U načelu metoda Poynting-ovog vektora se pretvara u
metodu inducirane elektromotorne sile ukoliko se za integracijsku površinu uzme površina
antene. Iz tog razloga neki autori metodu inducirane elektromotorne sile promatraju samo
kao podvrstu metode Poynting-ovog vektora [55], [96].
Kod metode prijenosnih linija, antena se razmatra kao prijenosna linija i često se koristi
kod bikoničnih antena.
Detaljan pregled opisanih metoda se može pronaći u [92] i [97].
Kombiniranjem ovih osnovnih analitičkih metoda za proračun ulazne impedancije s, u
prethodnim poglavljima, opisanim matematičkim i numeričkim modelom za proračun
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
139
raspodjele struje duž proizvoljne žičane strukture, napona te totalne uprosječene izračene
snage, u ovom radu se predlažu četiri načina proračuna ulazne impedancije složene žičane
strukture (proizvoljne antene):
• direktno iz definicije ukoliko je poznat ulazni napon, dok se ulazna struja dobije
iz rješenja za strujnu raspodjelu;
• direktno iz definicije ukoliko je poznata ulazna struja, dok se ulazni napon
računa integriranjem električnog polja;
• direktno iz definicije ukoliko je poznata ulazna struja, dok se ulazni napon
računa množenjem globalne matrice međuimpedancija s izračunatom strujnom
raspodjelom;
• poopćenjem metode Poynting-ovog vektora i metode inducirane elektromotorne
sile uvođenjem izvedenog numeričkog rješenja za uprosječenu izračenu snagu.
Prvi način, ujedno i najjednostavniji, temelji se na samoj definiciji ulazne impedancije
kao omjera ulaznog napona i struje:
= ulul
ul
VZ
I (5.128)
Ovisno o karakteru problema koji se promatra, poznat je ili ulazni napon ili ulazna
struja. Naime, kada složena žičana struktura predstavlja predajnu antenu tada se kao
pobuda koristi idealni naponski izvor, kružni magnetski prsten te predložena kružna
magnetska antena pa je ulazni napon poznat dok se ulazna struja postupkom opisanim u
poglavljima 2 i 3 dobije rješavanjem integralne jednadžbe. Korištenjem kružnog
magnetskog prstena ili kružne magnetske antene kao pobude na otvorenom kraju žičane
strukture ovaj koncept se može proširiti i na proračun ulazne impedancije uzemljivača,
gromobrana ili kanala groma kod kojih je izvor gotovo uvijek na otvorenom kraju žice.
Dakle, za razliku od dosadašnjih metoda, kod kojih se na otvoreni kraj žice postavljao
idealni strujni izvor te je ulazni napon bio nepoznat, u ovom slučaju ulazni napon je poznat
a ulazna struja se ionako izračuna u okviru proračuna ukupne raspodjele struje.
U slučaju modeliranja fenomena pomoću idealnog strujnog izvora (kanal groma,
gromobran, uzemljivač) poznata je ulazna struja, dok je ulazni napon potrebno izračunati.
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
140
Jedan od načina, vrlo često korišten, proračuna ovog napona (koji se odnosi na udaljenu
zemlju eng. remote ground) je integriranje električnog polja od točke izvora do
beskonačnosti prema izrazu (5.1) gdje je točka B u beskonačnosti, a točka A sa nalazi na
površini žice na sredini elementa na koji je priključen idealni strujni izvor [14], kako je
prikazano na slici 5.2.
Slika 5.2 Integracija pri proračunu ulaznog napona
Točka A se postavlja na sredinu elementa na koji se spaja pobuda da se izbjegnu
numeričke nepravilnosti pri proračunu bliskog polja, prvenstveno u vidu pojave
nefizikalnih rješenja, koje se javljaju na spojevima i otvorenim krajevima žica [29], [98].
Izbjegavajući ove numeričke nestabilnosti, nailazi se na novi problem. Naime, različitim
odabirom broja elemenata tj. dužine elemenata mijenja se i položaj točke A, a samim time i
iznos proračunatog napona što znači da ovako definiran napon u numeričkom smislu nije
jednoznačan i izravno ovisi o odabranom broju elemenata. Također, strogo gledano tada se
ulazni napon i ulazna struja promatraju u različitim točkama: struja u čvoru elementa koji
sadrži izvor a napon na sredini tog elementa, što znači da je pripadajuća impedancija
aproksimativna.
Drugi način proračuna napona u točki pobude može se provesti izravno iz globalne
matrične jednadžbe nastale pri proračunu struje duž žičane strukture, oblika:
[ ] Z I V= (5.129)
koja izravno slijedi iz (3.35).
Vektor desne strane V predstavlja pobudu i ima fizikalni smisao napona. Valja
napomenuti da pri proračunu struje vektor desne strane smatramo jednakim nuli budući da
se pobuda u slučaju idealnog strujnog izvora u formulaciju uvodi putem graničnog uvjeta.
Međutima, član vektora desne strane koji odgovara čvoru u koji je injektirana struja nije
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
141
jednak nuli. Naime, u postupku rješavanja matrične jednadžbe (5.130), red koji odgovara
čvoru injektiranja izbacuje iz formulacije. To znači da i član vektora desne strane koji
odgovara čvoru injektiranja struje nestaje iz procesa računanja struje (ovdje je, bez utjecaja
na općenitost, pretpostavljeno da je to prvi čvor odnosno red):
11 12 1
21 22 2 2
1 2
0
0
n g
n
n n nn n
Z Z Z I V
Z Z Z I
Z Z Z I
=
…
…
…
(5.130)
Na taj način se dobiva matrična jednadžba, iz koje se računa raspodjela struje, koja ne
sadrži informaciju o naponu čvora u koji je injektirana struja:
22 23 2 2 21
32 33 3 3 31
2 3 1
n
ng
n n nn n n
Z Z Z I Z
Z Z Z I ZI
Z Z Z I Z
= −
…
…
…
(5.131)
Zbog toga se element vektora desne strane koji odgovara čvoru u koji je injektirana struja
može odrediti iz početne matrične jednadžbe (5.130) jednostavnim množenjem
odgovarajućeg reda globalne matrice međuimpedancija s izračunatom raspodjelom struje:
[ ] 211 12 1 1
1
g
n
n i ii
n
I
IV Z Z Z Z I
I=
= =
∑…
(5.132)
Rješenje tog množenja (5.132) je upravo napon čvora u koji je injektirana struja.
Ovakav način proračuna napona, a posljedično i ulazne impedancije, je mnogo točniji i
stabilniji od prethodno opisanog (integrala električnog polja), budući da se napon vezuje za
istu točku kao i struja. Također, postupak je mnogo brži i jednostavniji budući zahtjeva
množenje prvog reda globalne matrice već izračunate u postupku proračuna struje s tom
strujom. Valja naglasiti da ovaj koncept proračuna napona na žici vrijedi samo za točku na
koju je priključen strujni izvor, dok prethodno opisani postupak vrijedi za bilo koju točku
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
142
na žici i oko žice. Ovaj koncept je primjenljiv i kod modeliranja antena, ali je u suštini
nepotreban budući je ulazni napon ionako poznat.
Posljednja metoda je možda najopćenitija i temelji se na poopćenju gore opisane
metode Poynting-ovog vektora i metode inducirane elektromotorne sile. Slijedeći te
osnovne ideje ulazna impedancija je definirana preko relacije [50], [92], [95]:
*
2 2
0 0
2 1AVul
C
PZ E I ds
I I= = − ⋅∫
(5.133)
gdje je AVP uprosječena izračena snaga a 0I kompleksna ulazna struja.
Ukoliko se umjesto AVP uvrsti izraz (5.122) slijedi formula za proračun ulazne
impedancije proizvoljnog sustava žica (antena) bez obzira na karakter i mjesto pobude:
[ ] *2
0
1
4
T
ul
eff
Z I Z Ij Iπωε
= − (5.134)
Dakle, opisani postupak za proračun ulazne impedancije je maksimalno općenit te je
usko povezan s numeričkim rješenjem pomoću GBIMRE, budući je proračun ulazne
impedancije sveden na jednostavno množenje matrica već asembliranih u postupku
proračuna struje duž žičane strukture. Valja napomenuti da izraz (5.134) predstavlja
poopćenje sličnog izraza za ravne i paralelne žice iz [1].
Ovakav način proračuna ulazne impedancije uvelike olakšava proračun tzv.
međuimpedancije koja se definira kao omjer napona stvorenog na prvoj anteni uslijed
zračenja druge antene i struje na drugoj anteni, pri čemu na prvu antenu nije priključen
nikakav generator. Naime, međuimpedancija između dvije antene se može definirati kao
[50]:
*
0 0
1
j
ji jji j
j i C
Z E I dsI I
= − ⋅∫
(5.135)
što je istog oblika kao i izraz za ulaznu impedanciju (5.133).
Ponavljajući postupak izvoda uprosječene snage slijedi:
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
143
*
0 0
1
4 i i j j
T
ij n n n ni ij jeff i j
Z I Z Ij I Iπωε
= − (5.136)
gdje je i
T
n iI transponirani vektor rješenja za i-tu antenu, *
jnj
I konjugirano kompleksnih
vrijednosti struje na j-toj anteni, i jn n
ijZ generalizirana matrica impedancije koja u stvari
predstavlja podmatricu globalne matrice sustava (5.124), 0iI je ulazna struja i-te antene a
0 jI ulazna struja j-te antene.
Može se kazati da način proračuna ulazne impedancije žičane strukture u najvećom
mjeri ovisi o vrsti pobude. Ukoliko se koristi naponski upravljana pobuda (jednostavni
naponski izvor, kružni magnetski prsten i kružna antena), bez obzira na primjenu, tada je
ulazni napon poznat a ulazna struja se dobije proračunom raspodjele struje duž žičane
strukture, te se ulazna impedancija dobije iz definicije (5.128). Ukoliko se pak koristi
idealni strujni izvor tada je poznata ulazna struja dok je ulazni napon potrebno odrediti bilo
integriranjem električnog polja bilo korištenjem relacije (5.132). Korištenjem Poynting-
ovog teorema tj. izvedene relacije (5.134) ulazna impedancija se može izračunati direktno
bez obzira na karakter i mjesto pobude. Tablica 5.1 sadrži kratki sažeti pregled načina
proračuna ulazne impedancije u ovisnosti o vrsti pobude.
Tablica 5.1 Sažeti pregled načina proračuna ulazne impedancije
Pobuda Poznati parametar Proračun ulazne impedancije
Idealni strujni izvor Ulazna struja
- proračun ulaznog napona integriranjem E polja (BCINTZ)*
- proračun napona iz (5.132) (BCMZ)* - direktni proračun ulazne impedancije
pomoću (5.134) (BCPTZ)*
Jednostavni naponski izvor
Ulazni napon
- ulazna struja se dobije iz proračuna raspodjele struje (DGZ)*
- direktni proračun ulazne impedancije pomoću (5.134) (DGPTZ)*
Magnetski kružni prsten
Ulazni napon
- ulazna struja se dobije iz proračuna raspodjele struje (MFZ)*
- direktni proračun ulazne impedancije pomoću (5.134) (MFPTZ)*
Magnetska kružna antena
Ulazni napon
- ulazna struja se dobije iz proračuna raspodjele struje (MAZ)*
- direktni proračun ulazne impedancije pomoću (5.134) (MAPTZ)*
* - kratice u zagradama označavaju različite pobude i pripadne načine proračuna ulazne impedancije koji će biti uspoređeni u nastavku rada
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
144
5.4. Numerički primjeri
5.4.1. Proračun napona
5.4.1.1. Jednostavni uzemljivač
Prvi primjer tiče se proračuna napona u odnosu na daleku zemlju (odnosno potencijala)
na površini zemlje iznad jednostavnog horizontalnog uzemljivača prikazanog na slici 5.3.
Također, na istoj slici mogu se vidjeti geometrijske karakteristike uzemljivača i profila po
kojem se računa napon, kao i karakteristike tla u koje je postavljen uzemljivač. Praktična
važnost ovako izračunatog napona je u proračunu napona dodira i napona koraka, veličina
definiranih normama koje uređuju pitanja uzemljenja i uzemljivača.
Slika 5.3 Jednostavni horizontalni uzemljivač i profil proračuna
Proračun je izvršen na frekvenciji od 15MHz, pri čemu je za proračun struje korišteno
50 linearnih elemenata, dok je napon izračunat u 61 točki na površini zemlje. Slika 5.4
prikazuje raspodjelu napona na površini duž profila izračunatog na tri načina: integralom
električnog polja po formuli (5.4), ubrzanim proračunom po formuli (5.45) i ubrzanim
proračunom bez uzimanja u obzir Sommerfeld-ovih integrala po formuli (5.49). Vidljivo je
da se rezultati izračunati pomoću prva dva načina izvrsno slažu dok zanemarenje
Sommerfeld-ovih integrala kod proračuna napona unosi minimalnu grešku. Budući da se
radi o samoj granici područja za očekivati je da će greška u najvećem broju slučaja biti
upravo tu najveća ukoliko se zanemari utjecaj Sommerfeld-ovih integrala. Za ubrzani
proračun prema formuli (5.45) potrebno je cca. 60% vremena u odnosu na originalni
postupak dok u slučaju zanemarenja Sommerfeld-ovog dijela vrijeme proračuna pada cca.
4 reda veličine, što u praktičnom inženjerskom smislu predstavlja izuzetan rezultat. U
konkretnom slučaju, radi ilustracije, ta vremena su redom iznosila 162s, 100s i 0.068s.
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
145
−2 0 2 4 6 8 10 12−60
−40
−20
0
20
40
60
imag(U
) (V
)
x (m)
Imaginarni dio napona
−2 0 2 4 6 8 10 12−40
−20
0
20
40
60
real(U
) (V
)
x (m)
Realni dio napona
Integral E polja
Ubrzan proracun
Ubrzan proracun bez Somm
Slika 5.4 Napon na površini zemlje duž profila
Također je, na istom uzemljivaču, izvršen proračun frekvencijskog spektra ulaznog
napona pomoću opisana tri načina. Rezultat tog proračuna je prikazan na slici 5.5, gdje se
vidi da nema praktički nikakve razlike između rezultata dobivenih ubrzanim proračunom
sa i bez formulacije sa Sommerfeld-om. Razlika je prisutna u odnosu na proračun u odnosu
na originalni integral i nastaje kod proračuna električnog polja uz sami rub žice. Naime
izraz za električno polje sadrži derivaciju Green-ove funkcije aproksimiranu konačnim
diferencijama koja generira relativno veliku grešku kada se točka proračuna nalazi uz sami
rub žice. Kako je električno polje najveće uz samu žicu i brzo opada udaljavanjem od žice
jako mala greška pri proračunu polja uz samu žicu uzrokuje grešku u proračunu ulaznog
napona.
Budući da proračun električnog polja otpada u slučaju ubrzanog algoritma, taj problem
nestaje pa samim time i točnost proračuna je veća. Na ovom primjeru može se jasno vidjeti
da je utjecaj Sommerfeld-ovih integrala na proračun napona, posebice ulaznog napona
uzemljivača, praktički zanemariv.
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
146
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 107
−100
−50
0
50
100
imag(U
) (V
)
f (Hz)
Imaginarni dio napona
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 107
0
50
100
150
200
real(U
) (V
)
f (Hz)
Realni dio napona
Integral E polja
Ubrzan proracun
Ubrzan proracun bez Somm
Slika 5.5 Frekvencijski spektar ulaznog napona
5.4.1.2. Složeni uzemljivač
Prvi primjer se odnosi na mrežasti uzemljivač prikazan na slici 3.23. Dakle, radi se o
mrežastom uzemljivaču dimenzija 60x60m, s okom mreže od 10x10m. Uzemljivač je
izveden od bakrene žice radijusa a=0.007m, te je ukopan u zemlju na dubinu od d=0.5m.
Zemlja je smatrana homogenom, specifične električne vodljivosti σ=0.001S/m i relativne
dielektričnosti εr=10. Slika 5.6 prikazuje prostorno vremensku raspodjelu napona, u
odnosu na udaljenu zemlju, na vodičima mrežastog uzemljivača. Vremenska ovisnost je
dobivena primjenom inverzne Fourier-ove transformacije na proračunati frekvencijski
spektar napona po vodičima. Odziv je dobiven u odnosu na tipični dvostruko
eksponencijalni strujni impuls, s maksimalnom strujom od 1kA, vremenom porasta od 1µs i
vremenom pada na polovinu maksimalne vrijednosti od 50µs, injektiran u centar mreže.
Strujni impuls je opisan jednadžbom:
( )( ) t ti t I e eα β− −= − (5.137)
gdje je 1.0167I kA= , 10.0142 sα µ −= i 15.073 sβ µ −= .
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
147
Usporedbom rezultata prikazanih na slici 5.6 s rezultatima obavljenim u [99] može se
uočiti jako dobro slaganje.
Slika 5.6 Prostorno-vremenska ovisnost napona u odnosu na daleku zemlju na žicama
mrežastog uzemljivača
Drugi primjer je kompleksni uzemljivač vjetroagregata, prikazan na slici 5.7. Sami
uzemljivač se sastoji od osnovnog uzemljivača prikazanog na slici 5.7a, i dodanih
horizontalnih traka kako je ilustrirano na slici 5.7b.
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
148
(a)
(b)
Slika 5.7 Geometrija uzemljivača vjetroagregata
Osnovni uzemljivač se sastoji od dva bakrena prstena izračena od vodiča presjeka
70mm2 (Cu 70 mm2) prvenstveno namijenjena izjednačavanju potencijala. Manji je
radijusa 3.25m i ukopan je na dubini od 5cm, dok je veći radijusa 6.8m i ukopan je na
dubini 55cm. Unutar većeg prstena je postavljen mrežasti kvadratni uzemljivač (Fe/Zn
30x4mm) stranice 9.6m na dubini od 2m. Dodatne horizontalne trake (Fe/Zn 30x4mm) od
28m, 29m i 9m su postavljene radijalno kako je prikazano na slici 5.7 na dubinu 1m kako
bi se dodatno poboljšala svojstava uzemljivača. Također, na uzemljivač je spojeno i
uzemljivačko uže koje se postavlja u kabelski rov i povezuje sve vjetroagregate u
vjetroparku zajedno s ostatkom uzemljenja mreže. Uzemljivačko uže u kabelskom rovu je
modelirano do dužine od 200m budući da u impulsnom režimu rada ostatak uzemljivačkog
sustava nema gotovo nikakav utjecaj na ponašanje konkretnog uzemljivača vjetroagregata.
Uzemljivač je postavljen u tlo specifičnog otpora ρ=1200Ω/m i relativne dielektričnosti
εr=9, te je pobuđen u vidu strujnog impulsa opisanog s jednadžbom (5.137) s parametrima
1.1043I A= , 10.07924 sα µ −= i 14.0011 sβ µ −= što odgovara impulsu s omjerom
vremena porasta i opadanja 1/10 µs. Valni oblik signala je prikazan na slici 5.8.
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
149
10−9
10−8
10−7
10−6
10−5
10−4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
|I| (A
)
t (s)
Slika 5.8 Strujni impuls u vremenu - logaritamska skala
Slika 5.9 prikazuje prostorno vremensku raspodjelu napona (potencijala) na površini
zemlje iznad promatranog uzemljivača uslijed protjecanja struje munje opisane gornjim
parametrima. Na slikama se jasno vidi porast i pad napona na površini zemlje kao i
karakteristična kašnjenja u propagaciji samog impulsa duž uzemljivača.
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
150
Slika 5.9 Prostorno-vremenska ovisnost napona na površini zemlje iznad uzemljivača
vjetroagregata uslijed udara munje
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
151
5.4.2. Proračun ulazne impedancije
5.4.2.1. Uzemljivač
5.4.2.1.1 Jednostavni uzemljivač
Prvi primjer predstavlja jednostavnu horizontalnu uzemljivačku elektrodu duljine 10m
ukopanu na dubini od 0.5m u zemlju karakteristika 10ε =r i 0.001σ = S m . Za pobudu su
korišteni idealni naponski izvor, magnetski kružni prsten (b=2.3a) i magnetska kružna
antena u skladu s slikom 4.11. Za proračun ulazne impedancije, ovisno o pobudi, korištene
su metode opisane u tablici 5.1. Proračun je proveden za različite brojeve linearnih
elemenata kako bi se ispitala konvergencija i stabilnost rješenja ulazne impedancije.
Slika 5.10 prikazuje frekvencijsku karakteristiku ulazne impedancije u relevantnom
pojasu od 0 – 30MHz, dok slika 5.11 predstavlja odgovarajuću vremensku karakteristiku
apsolutne vrijednosti ulazne impedancije u odnosu na već opisani strujni impuls 1/10 µs.
Karakteristike su proračunate za različiti broj elemenata metodom BCINTZ. Odmah je
jasno da postoje relativno velike razlike u rezultatima u ovisnosti o broju elemenata.
Razlog tolikim razlikama leži u samoj metodi proračuna ulazne impedancije. Naime,
metoda BCINTZ, koja je do sada bila najčešće korištena, podrazumijeva proračun ulaznog
napona integriranjem električnog polja od točke na sredini prvog elementa (element na koji
je priključen strujni izvor) do beskonačnosti. Budući da ta točka, uslijed promjene broja
elemenata, nije fiksna dolazi i do velikih promjena u proračunu ulaznog napona, što
rezultira u velikim promjenama u proračunatim vrijednostima ulazne impedancije. Izvor
velikih promjena je ponašanje napona na samom kraju žice koje je nestabilno upravo zbog
uvjeta na kraju žice.
Očigledno je da je ovakav način proračuna ulazne impedancije nepouzdan i vrlo
osjetljiv na diskretizaciju. Također postavlja se pitanje da li vrijednosti ulazne impedancije
konvergiraju nekoj vrijednosti, tj. u konkretnom slučaju da li je točnije rješenje s 100
elemenata ili ono s 200 elemenata.
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
152
103
104
105
106
107
0
50
100
150
200
250
|Zt| (
Ω)
f (Hz)
ABS ulazne impedancije
103
104
105
106
107
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
arg
(Z)
(°)
f (Hz)
Faza ulazne impedancije
Ne=10
Ne=20
Ne=50
Ne=100
Ne=200
Slika 5.10 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s
BCINTZ
10−8
10−7
10−6
10−5
20
40
60
80
100
120
140
160
|Zt| (
Ω)
t (s)
Ne=10
Ne=20
Ne=50
Ne=100
Ne=200
Slika 5.11 Tranzijentna impedancija uzemljivača proračunata s BCINTZ
Rezultati proračuna ulazne impedancije, kako frekvencijski tako i vremenski, s
metodama BCMZ i BCPTZ su prikazani na slikama 5.12 do 5.15. Rezultati pokazuju da
obje metode daju praktički identične rezultate bez obzira na broj elemenata. Ovo je velika
prednost u odnosu na prethodnu metodu BCINTZ budući da rješenje ne ovisi o broju
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
153
elemenata te je dovoljno koristiti relativno mali broj elemenata da bi se dobilo kvalitetno
rješenje. Taj broj je u principu određen samo konvergencijom rješenja struje koje je dosta
brzo, kako je već pokazano u 2. poglavlju, posebno na frekvencijama relevantnim za
uzemljivače (do maksimalno nekoliko desetaka MHz).
103
104
105
106
107
0
50
100
150
200
250
|Zt| (
Ω)
f (Hz)
ABS ulazne impedancije
103
104
105
106
107
−60
−40
−20
0
20
40
arg
(Z)
(°)
f (Hz)
Faza ulazne impedancije
Ne=10
Ne=20
Ne=50
Ne=100
Ne=200
Slika 5.12 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s
BCMZ
10−8
10−7
10−6
10−5
80
90
100
110
120
130
140
150
|Zt| (
Ω)
t (s)
Ne=10
Ne=20
Ne=50
Ne=100
Ne=200
Slika 5.13 Tranzijentna impedancija uzemljivača proračunata s BCMZ
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
154
103
104
105
106
107
0
50
100
150
200
250
|Zt| (
Ω)
f (Hz)
ABS ulazne impedancije
103
104
105
106
107
−60
−40
−20
0
20
40
arg
(Z)
(°)
f (Hz)
Faza ulazne impedancije
Ne=10
Ne=20
Ne=50
Ne=100
Ne=200
Slika 5.14 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s
BCPTZ
10−8
10−7
10−6
10−5
80
90
100
110
120
130
140
150
|Zt| (
Ω)
t (s)
Ne=10
Ne=20
Ne=50
Ne=100
Ne=200
Slika 5.15 Tranzijentna impedancija uzemljivača proračunata s BCPTZ
Ukoliko se usporede dosad spomenute tri metode za proračun ulaznog napona dobiju se
slike 5.16 i 5.17 za 20 elemenata odnosno slike 5.18 i 5.19 za 100 elemenata. Iz tih slika se
može uočiti da metode BCMZ i BCPTZ daju identične rezultate bez obzira na broj
elemenata dok metoda BCINTZ daje dobre rezultate samo za 100 elemenata. Ova činjenica
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
155
upućuje i na zaključak da rješenje metode BCINTZ ne konvergira ka točnom rješenju jer se
iz slika 5.10 i 5.11 vidi da daljnjim povećanjem elemenata se ne dobiva rješenje koje bi se
složilo s rješenjima drugih metoda.
103
104
105
106
107
0
50
100
150
200
250
|Zt| (
Ω)
f (Hz)
ABS ulazne impedancije
103
104
105
106
107
−80
−60
−40
−20
0
20
40
arg
(Z)
(°)
f (Hz)
Faza ulazne impedancije
Ne=20 BCINTZ
Ne=20 BCMZ
Ne=20 BCPTZ
Slika 5.16 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije uzemljivača proračunate s različitom metodama s 20 elemenata
10−8
10−7
10−6
10−5
40
60
80
100
120
140
160
|Zt| (
Ω)
t (s)
Ne=20 BCINTZ
Ne=20 BCMZ
Ne=20 BCPTZ
Slika 5.17 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača proračunate s različitim
metodama s 20 elemenata
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
156
103
104
105
106
107
50
100
150
200
250
|Zt| (
Ω)
f (Hz)
ABS ulazne impedancije
103
104
105
106
107
−60
−40
−20
0
20
40
arg
(Z)
(°)
f (Hz)
Faza ulazne impedancije
Ne=100 BCINTZ
Ne=100 BCMZ
Ne=100 BCPTZ
Slika 5.18 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije uzemljivača
proračunate s različitom metodama sa 100 elemenata
10−8
10−7
10−6
10−5
70
80
90
100
110
120
130
140
150
|Zt| (
Ω)
t (s)
Ne=100 BCINTZ
Ne=100 BCMZ
Ne=100 BCPTZ
Slika 5.19 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača proračunate s različitim
metodama s 20 elemenata
Slike 5.20 i 5.21 prikazuju frekvencijsku karakteristiku ulazne impedancije
promatranog uzemljivača izračunatu redom metodama MFZ i MFPTZ, što znači da je kao
pobuda korišten magnetski kružni prsten. Odmah je uočljivo da točnost proračuna ulazne
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
157
impedancije kod obje metode ne ovisi o broju korištenih elemenata budući se rezultati
preklapaju u potpunosti.
103
104
105
106
107
0
50
100
150
200
250|Z
t| (
Ω)
f (Hz)
ABS ulazne impedancije
103
104
105
106
107
−60
−40
−20
0
20
40
arg
(Z)
(°)
f (Hz)
Faza ulazne impedancije
Ne=10
Ne=20
Ne=50
Ne=100
Ne=200
Slika 5.20 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s
MFZ
103
104
105
106
107
0
50
100
150
200
250
|Zt| (
Ω)
f (Hz)
ABS ulazne impedancije
103
104
105
106
107
−60
−40
−20
0
20
40
arg
(Z)
(°)
f (Hz)
Faza ulazne impedancije
Ne=10
Ne=20
Ne=50
Ne=100
Ne=200
Slika 5.21 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s
MFPTZ
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
158
Međusobna usporedba MFZ i MFPTZ metode je prikazana na slikama 5.22
(frekvencijska karakteristika) i 5.23 (vremenska karakteristika). Vidljivo je potpuno
slaganje u rezultatima ulazne impedancije.
103
104
105
106
107
50
100
150
200
250
|Zt| (
Ω)
f (Hz)
ABS ulazne impedancije
103
104
105
106
107
−60
−40
−20
0
20
40
arg
(Z)
(°)
f (Hz)
Faza ulazne impedancije
Ne=20 MFZ
Ne=20 MFPTZ
Slika 5.22 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije uzemljivača
proračunate s različitom metodama s 20 elemenata
10−8
10−7
10−6
10−5
80
90
100
110
120
130
140
150
|Zt| (
Ω)
t (s)
Ne=20 MFZ
Ne=20 MFPTZ
Slika 5.23 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača proračunate s različitim
metodama s 20 elemenata
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
159
Na koncu, proračun ulazne impedancije je izvršen i metodama MAZ i MAPTZ, čiji
rezultati su prikazani na slikama 5.25 i 5.25 za različite brojeve elemenata. Opet se može
primijetiti potpuno slaganje rezultata za obe metode bez obzira na broj elemenata.
103
104
105
106
107
0
50
100
150
200
250
|Zt| (
Ω)
f (Hz)
ABS ulazne impedancije
103
104
105
106
107
−60
−40
−20
0
20
40
arg
(Z)
(°)
f (Hz)
Faza ulazne impedancije
Ne=10
Ne=20
Ne=50
Ne=100
Ne=200
Slika 5.24 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s
MAZ
103
104
105
106
107
0
50
100
150
200
250
|Zt| (
Ω)
f (Hz)
ABS ulazne impedancije
103
104
105
106
107
−60
−40
−20
0
20
40
arg
(Z)
(°)
f (Hz)
Faza ulazne impedancije
Ne=10
Ne=20
Ne=50
Ne=100
Ne=200
Slika 5.25 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s
MAPTZ
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
160
Usporedbom metoda međusobno, može se također vidjeti potpuno slaganje rezultata,
kako je prikazano na slikama 5.26 i 5.27.
103
104
105
106
107
50
100
150
200
250
|Zt| (
Ω)
f (Hz)
ABS ulazne impedancije
103
104
105
106
107
−60
−40
−20
0
20
40
arg
(Z)
(°)
f (Hz)
Faza ulazne impedancije
Ne=20 MAZ
Ne=20 MAPTZ
Slika 5.26 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije uzemljivača
proračunate s različitom metodama uz aproksimaciju s 20 elemenata
10−8
10−7
10−6
10−5
80
90
100
110
120
130
140
150
|Zt| (
Ω)
t (s)
Ne=20 MAZ
Ne=20 MAPTZ
Slika 5.27 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača proračunate s različitim
metodama uz aproksimaciju s 20 elemenata
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
161
Usporedba svih metoda koje daju stabilne rezultate je prikazana na slikama 5.28 do
5.30, koje prikazuju vremensku promjenu iznosa ulazne impedancije za tri horizontalna
uzemljivača dužine redom 10m, 1m i 50m, smještenih u zemlju istih karakteristika na
dubinu od 0.5m. Pregledom slika jasno je da svih šest predloženih metoda daju gotovo
identične rezultate, bez obzira na duljinu uzemljivača.
10−8
10−7
10−6
10−5
80
90
100
110
120
130
140
150
|Zt| (
Ω)
t (s)
BCMZ
BCPTZ
MFZ
MFPTZ
MAZ
MAPTZ
Slika 5.28 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača od 10m proračunate s
različitim metodama uz aproksimaciju s 20 elemenata
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
162
10−8
10−7
10−6
10−5
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
|Zt| (
Ω)
t (s)
BCMZ
BCPTZ
MFZ
MFPTZ
MAZ
MAPTZ
Slika 5.29 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača od 1m proračunate s različitim
metodama uz aproksimaciju s 10 elemenata
10−8
10−7
10−6
10−5
30
40
50
60
70
80
90
100
110
|Zt| (
Ω)
t (s)
BCMZ
BCPTZ
MFZ
MFPTZ
MAZ
MAPTZ
Slika 5.30 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača od 50m proračunate s
različitim metodama uz aproksimaciju s 50 elemenata
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
163
5.4.2.1.2 Složeni uzemljivač
Kao primjer proračuna ulazne impedancije složenog uzemljivača razmatra se već
spomenuti mrežasti uzemljivač prikazan na slici 3.23 dimenzija 60x60m, postavljen u
zemlju različitih vodljivosti σ1=0.001S/m i σ2=0.01S/m i relativne permitivnost εr=9.
Također, struja je injektirana u jednom slučaju u centar, a u drugom u kut uzemljivača.
Na slikama 5.31 i 5.32 prikazana je frekvencijska karakteristika ulazne impedancije
promatranog mrežastog uzemljivača proračunatog na šest predloženih i stabilnih metoda
(sve osim BCINTZ) postavljenog u zemlju lošije vodljivosti (σ1=0.001S/m) kod centralne i
kutne eksitacije, dok je na slikama 5.33 i 5.34 impedancija u slučaju zemlje bolje
vodljivosti (σ2=0.01S/m). Zajedno s tim rezultatima priloženi su i rezultati objavljeni u [37]
(Grcev) dobiveni metodom momenata i proračunom integrala električnog polja po
konceptu BCINTZ.
101
102
103
104
105
106
107
0
10
20
30
40
50
60
|Zt| (
Ω)
f (Hz)
ABS ulazne impedancije
BCMZ
BCPTZ
MFZ
MFPTZ
MAZ
MAPTZ
Grcev
101
102
103
104
105
106
107
−60
−40
−20
0
20
40
60
arg
(Z)
(°)
f (Hz)
Faza ulazne impedancije
Slika 5.31 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača za σ1=0.001S/m i
centralnu pobudu
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
164
101
102
103
104
105
106
107
0
20
40
60
80
100
|Zt| (
Ω)
f (Hz)
ABS ulazne impedancije
BCMZ
BCPTZ
MFZ
MFPTZ
MAZ
MAPTZ
Grcev
101
102
103
104
105
106
107
−40
−20
0
20
40
60
arg
(Z)
(°)
f (Hz)
Faza ulazne impedancije
Slika 5.32 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača za σ1=0.001S/m i
kutnu pobudu
101
102
103
104
105
106
107
0
5
10
15
20
|Zt| (
Ω)
f (Hz)
ABS ulazne impedancije
BCMZ
BCPTZ
MFZ
MFPTZ
MAZ
MAPTZ
Grcev
101
102
103
104
105
106
107
−10
0
10
20
30
40
50
60
arg
(Z)
(°)
f (Hz)
Faza ulazne impedancije
Slika 5.33 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača za σ2=0.01S/m i
centralnu pobudu
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
165
101
102
103
104
105
106
107
0
10
20
30
40
|Zt| (
Ω)
f (Hz)
ABS ulazne impedancije
BCMZ
BCPTZ
MFZ
MFPTZ
MAZ
MAPTZ
Grcev
101
102
103
104
105
106
107
−10
0
10
20
30
40
50
arg
(Z)
(°)
f (Hz)
Faza ulazne impedancije
Slika 5.34 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača za σ2=0.01S/m i
kutnu pobudu
Vidljivo je iz slika 5.31 do 5.34 da se rezultati dobiveni različitim metodama odlično
poklapaju te jako dobro slažu s rezultatima objavljenima u [37]. Neznatna razlika se može
uočiti jedino kod faze u slučaju dobre vodljivosti zemlje.
Naposljetku, izračunat je odgovarajući tranzijentni odziv mrežastog uzemljivača u
različitim uvjetima pobude (centar i kut) i karakteristike zemlje (σ1=0.001S/m i
σ2=0.01S/m), i to oblikom inverzne Fourier-ove transformacije opisane u prilogu A.
Tranzijentna ulazna impedancija je prikazana na slici 5.35 dok je ulazni tranzijentni napon
prikazan na slici 5.36.
Zanimljivo je primijetiti da u sva četiri slučaja iznos impedancije je najveći u vrlo
ranom stadiju tranzijenta i pada do stacionarnog stanja. Također, da se zaključiti je
tranzijentni odziv mnogo bolji, tj. da su vrijednosti tranzijentne impedancije i napona
znatno niže, u slučaju uzemljivač koji je centralno napajan u odnosu na kutno napajanog.
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
166
10−8
10−7
10−6
10−5
0
10
20
30
40
50
60
|Zt| (
Ω)
t (s)
0.001S/m centar
0.001S/m kut
0.01S/m centar
0.01S/m kut
Slika 5.35 Tranzijentna impedancija mrežastog uzemljivača za različite vodljivosti zemlje i
mjesta pobude
10−8
10−7
10−6
10−5
0
5
10
15
20
25
30
35
|V| (V
olt)
t (s)
0.001S/m centar
0.001S/m kut
0.01S/m centar
0.01S/m kut
10*It
Slika 5.36 Tranzijentni ulazni napon mrežastog uzemljivača za različite vodljivosti zemlje i
mjesta pobude
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
167
5.4.2.2. Predajna antena
Slika 5.37 prikazuje frekvencijsku karakteristiku ulazne impedancije centralno
napajanog dipola u slobodnom prostoru, duljine L=0.94m i radijusa žice a=0.005m,
pobuđenog idealnim naponskim izvorom, proračunatu za različite brojeve linearnih
elemenata. Također, za proračun impedancije su korištene dvije metode proračuna opisane
u tablici 5.1 DGZ i DGPTZ koje kao što se može vidjeti daju praktički identične rezultate.
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
0
200
400
600
800
1000
1200
real(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Realni dio impedancije
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
−600
−400
−200
0
200
400
600
imag(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Imaginarni dio impedancije
DGZ Ne=11
DGZ Ne=31
DGZ Ne=61
DGPTZ Ne=11
DGPTZ Ne=31
DGPTZ Ne=61
Slika 5.37 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije dipola napajanog idealnim
naponskim izvorom
Iz slike 5.37 je također vidljivo da ulazna impedancija značajnije ovisi o broju
elemenata. Ta ovisnost najviše je određena iznosom ulazne struje, koja se za razliku od
ostatka struje duž antene značajnije mijenja, kako se jasno može vidjeti na slikama 3.8 i
3.9. Ovaj problem nije svojstven samo predloženoj numeričkoj metodi već je općeniti
problem kod proračuna ulazne impedancije tankožičanih antena. To ilustriraju rezultati
prikazani na slici 5.38 koji prikazuju ulaznu impedanciju proračunatu GBIMRE metodom
(i to DGZ načinom) zajedno s rezultatima dobivenim pomoću NEC-a [41] za različiti broj
elemenata. Vidljivo je općenito dobro slaganje rezultata između NEC-a i GB-IMRE -a ali i
spomenuta ovisnost o broju elemenata za obe metode.
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
168
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
0
200
400
600
800
1000
1200
rea
l(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Realni dio impedancije
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
−600
−400
−200
0
200
400
600
ima
g(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Imaginarni dio impedancije
DGZ Ne=11
DGZ Ne=31
DGZ Ne=61
NEC Ne=11
NEC Ne=31
NEC Ne=61
Slika 5.38 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije
Kao što je već istaknuto u 4. poglavlju, korištenje magnetskog kružnog prstena ili
magnetske kružne antene kao pobude centralno napajane antene u okviru predložene
numeričke metodologije omogućuje izbor parnog broja elemenata. U svrhu usporedbe,
slika 5.39 prikazuje frekvencijsku karakteristiku impedancije proračunate za različite
iznose parnog i neparnog broja elemenata. U ovom slučaju dipol je napajan magnetskim
kružnim prstenom (s faktorom b=2.3a) a impedancije je proračunata MFZ metodom. Iz
slike 5.39 se može iščitati da je ovisnost impedancije o broju korištenih elemenata mnogo
manja u slučaju parnog broja elemenata. Generalno s može uočiti jako dobro slaganje svih
rezultata prikazanih na slici 5.39, osim možda u slučaju rezultata dobivenih s 11 elemenata
i to samo u dijelu frekvencijskog spektra. Isti zaključci se dobiju ukoliko se dipol napaja
magnetskom kružnom antenom za koju je frekvencijski spektar impedancije prikazan na
slici 5.40 također proračunat za različiti broj kako parnih tako i neparnih elemenata.
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
169
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
0
200
400
600
800
1000
1200
rea
l(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Realni dio impedancije
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
−600
−400
−200
0
200
400
600
ima
g(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Imaginarni dio impedancije
MFZ Ne=10
MFZ Ne=11
MFZ Ne=30
MFZ Ne=31
MFZ Ne=60
MFZ Ne=61
Slika 5.39 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunate za različite
brojeve elemenata metodom MFZ
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
0
200
400
600
800
1000
1200
real(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Realni dio impedancije
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
−600
−400
−200
0
200
400
600
imag(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Imaginarni dio impedancije
MAPTZ Ne=10
MAPTZ Ne=11
MAPTZ Ne=30
MAPTZ Ne=31
MAPTZ Ne=60
MAPTZ Ne=61
Slika 5.40 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunate za različite
brojeve elemenata metodom MAPTZ
Usporedba spektra ulazne impedancije dipola napajanog različitim pobudama
prikazana je na slici 5.41. Vidljivo je odlično slaganje rezultata za 3 različite pobude i
neparni broj elemenata (DGPTZ, MFPTZ i MAPTZ) kao i izvanredno slaganje rezultata za
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
170
2 pobude i parni broj elemenata (MFPTZ i MAPTZ). Međusobno, kako je već spomenuto,
rezultati se nešto malo razilaze u određenom dijelu spektra uslijed korištenja neparnog
odnosno parnog broja elemenata. Također na slici 5.41 je prikazana frekvencijska
karakteristika proračunata NEC-om s 31 elementom (neparno jer parni ne može biti u
slučaju centralnog napajanja) da se vidi odnos u odnosu na druge metode. Kako se može
vidjeti, karakteristika dobivena NEC-om se nalazi praktički točno između „dvije“
karakteristike dobivene GBIMRE-om.
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
0
200
400
600
800
1000
1200
rea
l(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Realni dio impedancije
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
−600
−400
−200
0
200
400
ima
g(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Imaginarni dio impedancije
DGPTZ Ne=31
MFPTZ Ne=31
MAPTZ Ne=31
MFPTZ Ne=30
MAPTZ Ne=30
NEC Ne=31
Slika 5.41 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunate za različite
pobude
Utjecaj odabira kvadratičnih izoparametarskih elemenata na proračun ulazne
impedancije je prikazan na slici 5.42. Kako se može jasno vidjeti, korištenje duplo manjeg
broja kvadratičnih elemenata u odnosu na linearne, daje jako slične iznose ulazne
impedancije kao korištenje linearnih elemenata. Također razlika između rezultata se
smanjuje povećanjem broja elemenata.
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
171
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
0
200
400
600
800
1000
rea
l(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Realni dio impedancije
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
−600
−400
−200
0
200
400
ima
g(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Imaginarni dio impedancije
MAPTZ Ne=10 ISO2
MAPTZ Ne=6 ISO3
MAPTZ Ne=30 ISO2
MAPTZ Ne=16 ISO3
MAPTZ Ne=60 ISO2
MAPTZ Ne=30 ISO3
Slika 5.42 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunata linearnim i
kvadratičnim elementima
Na temelju iznesenoga može se općenito zaključiti kako svih šest predloženih metoda
proračuna ulazne impedancije (DGZ, DGPTZ, MFZ, MFPTZ, MAZ i MAPTZ) daju
gotovo iste iznose ulazne impedancije antene za isti broj elemenata. Određena razlika
postoji ukoliko se koristi paran broj elemenata u odnosu na neparan broj elemenata.
Također je jasno da iznos ulazne impedancije nezanemarivo ovisi broju korištenih
elemenata, s tim da je ta ovisnost manja u slučaju parnog broja elemenata. Povećanjem
broja elemenata, očigledno je da iznos ulazne impedancije konvergira, međutim mnogo
sporije nego sama struja duž antene koja je analizirana u drugom poglavlju. Zbog
numeričkog uvjeta da veličina elementa mora biti puno veća od radijusa, nije moguće ići
na po volji veliki broj elemenata da bi se do u detalje provjerila ta konvergencija. Valja
napomenuti da je ovdje analizirana samo jedna žica, odnosno dipol, te je u načelu potrebna
mnogo šira i sveobuhvatnija analiza da bi se u potpunosti rasvijetlio ovaj problem spore
konvergencije i ovisnosti iznosa ulazne impedancije o broju elemenata, koji se, kako je već
napomenuto, ne odnosi samo na predloženu numeričku tehniku.
Budući da se ovaj rad odnosi na proizvoljne žičane strukture, potrebno je spomenuti i
kratko analizirati jednu takvu antenu. Na slici 5.43 prikazana je složena antena koja se
sastoji od pet dvostrukih pravokutnih petlji. Druga petlja s desne strane je jedina napajana i
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
172
to u centru središnje žice. Prva petlja s desne strane predstavlja reflektor, dok ostale petlje
predstavljaju usmjerivače. Radijus žica je 5mm dok su dimenzije elemenata, kao i
udaljenosti između petlji, prikazane na slici 5.43 (iznosi u m).
Slično kao i u slučaju dipola proračunata je ulazna impedancija u spektru frekvencija
od 120 – 600MHz, na razne načine, te su rezultati međusobno uspoređeni.
Slika 5.43 Složena antena
Slika 5.44 prikazuje usporedbu frekvencijskog spektra ulazne impedancije složene
antene proračunate MAZ metodom (parni broj elemenata) i NEC-om za različite brojeve
linearnih elemenata. Rezultati pokazuju odlično slaganje svih rezultata bez obzira na
metodu i broj elemenata u cijelom spektru. Neznatno odstupanje jedino se može primijetiti
u slučaju rezultata dobivenih NEC-om s 11 elemenata. Valja napomenuti da su se kod
proračuna sve žice diskretizirale jednakim brojem elemenata budući da su sličnih dužina.
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
173
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
0
500
1000
1500
2000
real(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Realni dio impedancije
MAZ Ne=10
MAZ Ne=20
MAZ Ne=30
NEC Ne=11
NEC Ne=21
NEC Ne=31
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
−1000
−500
0
500
1000
imag(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Imaginarni dio impedancije
Slika 5.44 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije
Slično kao i kod dipola konvergencija rješenja je puno bolja ukoliko se koristi parni
broj elemenata na napajanoj žici. Također i sama razlika između rješenja dobivenih
različitim brojem elemenata je očigledno manja ukoliko se koristi parni broj elemenata, što
je ilustrirano na slici 5.45, gdje je ulazna impedancija proračunata MFPTZ metodom s
faktorom b=2.3a.
Same razlike između svih šest predloženih metoda (DGZ, DGPTZ, MFZ, MFPTZ,
MAZ i MAPTZ) su zanemarive ukoliko se koristi neparni broj elemenata, dok postoji mala
razlika između rezultata dobivenih metodama MFZ, MFPTZ, MAZ i MAPTZ ukoliko se
koriste parni elementi, što je ilustrirano slikama 5.46 odnosno 5.47.
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
174
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
0
500
1000
1500
2000
real(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Realni dio impedancije
MFPTZ Ne=10
MFPTZ Ne=11
MFPTZ Ne=20
MFPTZ Ne=21
MFPTZ Ne=30
MFPTZ Ne=31
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
−1000
−500
0
500
1000
imag(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Imaginarni dio impedancije
Slika 5.45 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunate za različite
brojeve elemenata metodom MFPTZ
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
0
500
1000
1500
2000
real(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Realni dio impedancije
DGZ Ne=31
DGPTZ Ne=31
MFZ Ne=31
MFPTZ Ne=31
MAZ Ne=31
MAPTZ Ne=31
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
−1000
−500
0
500
1000
imag(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Imaginarni dio impedancije
Slika 5.46 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije proračunate
različitim metodama
Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture
175
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
real(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Realni dio impedancije
MFZ Ne=30
MFPTZ Ne=30
MAZ Ne=30
MAPTZ Ne=30
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
x 108
−1000
−500
0
500
1000
imag(Z
) (Ω
)
f (Hz)
Imaginarni dio impedancije
Slika 5.47 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije proračunate
različitim metodama
Usporedbom ovih rezultata s rezultatima proračuna ulazne impedancije dipola može se
kazati da je dipol (posebice kratki) osjetljiviji na promjenu broja elemenata budući da
struja vrlo brzo pada na nulu na kraju žice, za razliku od složenije antene gdje se struja na
kraju napajane žice grana i ne iščezava, pa je samim time i manje osjetljiva posebice na
ulaznim stezaljkama, koja definira ulaznu impedanciju.
Zaključak
176
6. ZAKLJUČAK
U ovom radu razvijen je napredni elektromagnetski model za analizu složenih
tankožičanih struktura primjenom teorije antena, u frekvencijskom području. Model se
temelji na sustavu spregnutih integro-diferencijalnih jednadžbi Pocklington-ovog tipa za
složene žičane strukture iznad ili unutar konačno vodljivog poluprostora, pri čemu je
utjecaj granice uzet u obzir rigorozno preko Sommerfeld-ovih integrala. Ovako formuliran
sustav integro-diferencijalnih jednadžbi riješen je Galerkin-Bubnovljevom inačicom
indirektne metode rubnih elemenata (GBIMRE) uz implementiranje izoparametarskih
rubnih elemenata. U prvom dijelu rada kao pobuda složene žičane strukture korišten je
idealni naponski izvor, idealni strujni izvor te upadni ravni val. Predloženi model je
testiran na nekoliko ilustrativnih primjera usporedbom s rezultatima u dostupnoj literaturi
te rezultatima dobivenim komercijalnim programskim paketom za analizu antena NEC-om.
Rezultati te usporedbe su pokazali kako se primjenom predloženog modela i numeričkog
rješenja generiraju valjani rezultati uz vrlo brzu konvergenciju.
U slijedećem dijelu rada osnovni, prethodno definirani, model je proširen konceptom
kružnog magnetskog prstena i kružne magnetske antene kao naponski upravljanih pobuda
za složene žičane strukture. Za razliku od idealnog naponskog izvora, kružni magnetski
prsten i antena se mogu postaviti i na otvoreni kraj žice čime se proširuje primjena
naponski upravljanih pobuda na modele kod kojih je pobuda smještena na kraj žice (npr.
uzemljivač). Iako je koncept kružnog magnetskog prstena poznat i korišten kao pobuda
jednostavnih linearnih antena, do sada nije bio u upotrebi u smislu pobude koja se
postavlja na otvoreni kraj žice. S druge strane, koncept kružne magnetske antene do sada
nije uopće korišten kao pobuda žičane strukture. U detaljnoj analizi koncepta magnetske
antene pokazana je jasna veza s idealnim naponskim izvorom. Također, na numeričkim
primjerima je sustavno demonstrirana valjanost predloženih pobuda te istaknute prednosti i
mane predloženih pobuda. Naime, pokazano je da su i magnetski prsten i magnetska
antena prikladni koncepti naponsko upravljane pobude žičane antene pri čemu, za razliku
od idealnog naponskog izvora, ne treba voditi računa je li broj elemenata u numeričkoj
realizaciji neparan za slučaj centralno napajane antene. Nadalje, uočen je i nedostatak u
modelu kružnog magnetskog prstena koji se odnosi na postojanje konstante čija vrijednost
se određuje empirijski. U okviru predložene formulacije ona se elegantno eliminira
korištenjem magnetske antene. Na primjeru jednostavnog uzemljivača je pokazana
Zaključak
177
valjanost i stabilnost dviju predloženih pobuda za slučaj pobude smještene na otvorenom
kraju žice. Također, na primjeru kanala groma je ilustrirana primjena predloženih pobuda u
simuliranju udara munje. Taj primjer predstavlja ujedno i uvod u daljnje istraživanje
primjene predloženog modela u simuliranju procesa udara munje.
Proračun važnih parametara žičanih struktura je opisan u posljednjem, ujedno i
najobimnijem dijelu ove disertacije. Pri tome se prvenstveno misli na proračun napona
(koji može predstavljati raspršni napon na žici, raspodjelu potencijala na površini zemlje
iznad uzemljivača i sl.), zatim na proračun izračene snage antena koja se također povezuje
s ulaznom impedancijom, kao i proračun ulazne impedancije žičane strukture koja može
predstavljati antenu ili uzemljivač.
Pri proračunu napona između dviju točaka poluprostora izvorni izraz je nizom
matematičkih i numeričkih postupaka modificiran, a sam proračun ubrzan tako da više nije
potrebno provoditi zahtjevnu numeričku integraciju električnog polja duž krivulje
integracije. U sklopu tog postupka detaljno su analizirane dobivene konačne relacije te su
predložena daljnja pojednostavljenja i aproksimacije, a sve u svrhu jednostavnosti i bržeg
proračuna napona. Ta pojednostavljenja i aproksimacije su detaljno analizirane na primjeru
jednostavnog uzemljivača kako bi se detaljno ispitala njihova valjanost.
Polazeći od Poynting-ovog teorema te korištenjem izraza dobivenih u postupku
numeričkog rješenja sustava integro-diferencijalnih jednadžbi, razvijen je jednostavan
postupak za proračun uprosječene izračene snage proizvoljne žičane strukture pobuđene
određenom pobudom. Sama metoda nije direktno testirana već indirektno preko ulazne
impedancije budući da je postupak proračuna uprosječene izračene snage temelj za jedan
od načina proračuna ulazne impedancije proizvoljne žičane strukture.
U završnom dijelu rada detaljno je proučen koncept ulazne impedancije kao i analiza
metoda proračuna ulazne impedancije. Na temelju cjelokupne dotadašnje analize
predložena su četiri načina proračuna ulazne impedancije složene žičane strukture, koji
prvenstveno ovise o pobudi žičane strukture. Sva četiri načina su detaljno analizirana na
primjerima uzemljivača i antena, te su rezultati uspoređeni s rezultatima drugih metoda. Na
primjeru uzemljivača pokazano je da metoda kod koje se koristi proračun napona u točki
pobude, pri čemu je pobuda dana u vidu idealnog strujnog izvora, daje najlošije rezultate
koji uvelike ovise o broju rubnih elemenata korištenih pri numeričkom rješenju. S druge
strane, metode temeljene na Poynting-ovom teoremu, te modeli kod kojih se koriste
magnetske pobude daju vrlo konzistentne rezultate bez obzira na broj elemenata. Također,
rezultati dobiveni tim metodama se međusobno jako dobro slažu. Međutim, na primjeru
Zaključak
178
antene je pokazano da sve predložene metode daju gotovo iste rezultate, ali i da ti rezultati
značajno ovise o broju elemenata. Ta ovisnost, nije specifična samo za predloženu
numeričku metodologiju, već je, kako je pokazano, općeniti problem, što otvara vrata
daljnjem istraživanju u svrhu pronalaska što kvalitetnijeg postupka proračuna ulazne
impedancije antene. U slučaju složene antene ta ovisnost je manja budući da struja na
krajevima napajane žice ne iščezava kao u slučaju kratkog dipola pa je i promjena struje na
ulaznim stezaljka u ovisnošću s brojem elemenata manja.
Valja napomenuti da je prethodno spomenuta činjenica i razlog zašto se u ovom radu
nalazi velik broj primjera s jednostavnom geometrijom iako su u radu prevenstveno od
interesa složene konfiguracije. Naime, na jednostavnim konfiguracijama je puno pogodnije
testirati osnovne koncepte budući da su nedostaci i netočnosti puno jasnije izraženi kod
jednostavnih konfiguracija za razliku od složenih struktura gdje se greške često na neki
način „zakamufliraju“. Zbog toga su svi novi koncepti u ovom radu prvo testirani na
jednostavnoj, a potom na složenoj konfiguraciji.
Predloženi model, kako slijedi iz izloženih primjera, predstavlja vrlo robustan alat za
analizu složene žičane strukture u elektromagnetizmu postavljene uz granicu dvaju
vodljivih poluprostora u frekvencijskom spektru od reda nekoliko Hz do nekoliko desetaka
GHz. Primjenom Fourier-ove transformacije vrlo jednostavno je analizirati i tranzijentne
pojave. Od važnijih primjena, predloženi model je pogodan za analizu antena i antenskih
nizova proizvoljnog oblika iznad ili unutar vodljivog poluprostora, prijenosnih linija iznad
(zračni vodovi) ili ispod zemlje (kabeli), sustava za zaštitu od udara munje (gromobran,
uzemljivač i sl.), kanala groma te izloženosti ljudi elektromagnetskom zračenju.
Iako je primjenljivost modela višestruka, prostora za daljnje istraživanje i razvoj ima
jako puno. Izvorna formulacija se može proširiti na način da se uzme u obzir slučaj kada se
dijelovi žičane konfiguracije nalaze sa različitih strana granice dvaju poluprostora tj. uzeti
u obzir transmisiju vala kroz granicu. Nadalje, formulacija se dodatno može proširiti tako
da se uzme u obzir višesloj. Na razini numeričkog rješenja dodatna poboljšanja se mogu
postići npr. uvođenjem približnih postupaka ukoliko se točke nalaze dovoljno daleko jedna
od druge a sve u svrhu ubrzanja proračuna, posebice kada se rješava kompleksan problem.
Koncepti razvijeni u ovom radu se mogu pokušati prebaciti u vremensko područje, te na taj
način razviti nove metode i koncepte direktno u vremenskom području. Uz već prethodno
spomenute, ovo su samo neke od mogućnosti za daljnje istraživanje i razvoj.
Na koncu, vrijedi rezimirati osnovne znanstvene doprinose ove disertacije.
Zaključak
179
Temeljni znanstveni doprinos ove doktorske disertacije je razvoj naprednog i cjelovitog
elektromagnetskog modela za stacionarnu i tranzijentnu analizu složenih žičanih struktura,
smještenih u homogeni poluprostor, zasnovanog na teoriji žičanih antena. U okviru razvoja
takvog modela ostvareni su slijedeći znanstveni doprinosi:
• Sustav spregnutih integro-diferencijalnih jednadžbi Pocklington-ovog tipa, za
slučaj složene žičane strukture proizvoljnog oblika iznad ili unutar homogenog
poluprostora, gdje je utjecaj granice uzet u obzir preko Sommerfeld-ovih
integrala, je po prvi puta riješen Galerkin-Bubnovljevom inačicom indirektne
metode rubnih elemenata, što je napredak u odnosu na dosadašnje radove gdje
je GBIMRE metodom tretirana jednostavnija konfiguracija proizvoljnih žica
bez spoja tri i više žica i gdje je utjecaj granice uzet u obzir preko Fresnelovih
refleksijskih koeficijenata.
• Koncept kružnog magnetskog prstena primijenjen je u vidu naponski upravljane
pobude proizvoljne žičane strukture, koja se može postaviti bilo gdje na žicu
uključujući i otvoreni kraj žice, što do sada nikad nije napravljeno čak ni za
jednostavne žičane konfiguracije. Naime, kružni magnetski prsten je do sad
upotrebljen isključivo kao naponski upravljana pobuda jednostavnih linearnih
antena, što predstavlja doprinos ove disertacije.
• Predstavljen je koncept jednostavne kružne magnetske antene kao naponski
upravljane pobude proizvoljne žičane strukture koju je moguće postaviti bilo
gdje na žicu uključujući i otvoreni kraj žice. Valja napomenuti da koncept
jednostavne magnetske kružne antene do sada nije korišten kao pobuda žičane
strukture.
• Proračun napona između dvije točke homogenog poluprostora uslijed
protjecanja struje složenom žičanom strukturom, sveden na integriranje
električnog polja, je pojednostavljen i uvelike ubrzan primjenom odgovarajućih
matematičkih i numeričkih postupaka na originalni integral i izraz za električno
polje definiran integro-diferencijalnom jednadžbom Pocklington-ovog tipa.
Doprinos se očituje u tome što se u literaturi mogu pronaći slična cjelovita
pojednostavljenja i ubrzanja samo za slučaj jednostavnih horizontalnih ili
vertikalnih žica.
Zaključak
180
• Polazeći od Poynting-ovog teorema i korištenjem GBIMRE izveden je
jednostavni postupak za proračun uprosječene izračene snage proizvoljne
žičane strukture pobuđene danom pobudom. Sličan postupak se može pronaći u
relevantnoj literaturi ali je ograničen na ravne i paralelne žice iznad zemlje
pobuđene jednostavnim naponskim izvorom na sredini žice. Doprinos se tako
sastoji u poopćenju izvorne ideje na slučaj proizvoljne žičane strukture, bez
obzira na vrstu i mjesto pobude;
• Daljnji doprinos rada je postupak određivanja ulazne impedancije proizvoljne
žičane strukture, neovisno o karakteru pobude iz dobivene uprosječene izračene
snage poopćenjem koncepta inducirane elektromotorne sile. Do sada se ovaj
postupak koristio samo za jednostavne strukture sastavljene od ravnih i
paralelnih žica, najčešće centralno napajane dipole. Na ovaj način postupak je
poopćen i primjenjiv na brojne druge probleme. Također, u okviru određivanja
ulazne impedancije su se razvili različiti postupci proračuna ulazne impedancije
u ovisnosti o vrsti pobude, prvenstveno ukoliko se pobuda postavlja na otvoreni
kraj žice.
Literatura
181
7. LITERATURA
[1] Poljak D.: Advanced Modeling in Computational Electromagnetic Compatibility, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 2007 (monografija).
[2] Tesche F., Ianoz M., Karlsson T.: EMC Analysis Methods and Computational Models, John Wiley & Sons, New York 1997.
[3] Luo W. Q., Tan S. Y.: A Distributed Circuit Model for Power-Line Communications, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol 22, No. 3, July 2007. pp 1440-1445
[4] Grcev L., Popov M.: On high-frequency circuit equivalents of a vertical ground rod, IEEE Transactions on Power Delivery, 20(2), 1598-1603, 2005.
[5] Liu Y., Theethayi N., Thottappillil, R.: An Engineering Model for Transient Analysis of Grounding System Under Lightning Strikes: Nonuniform Transmission-Line Approach, IEEE Transactions on Power Delivery, 20(2), 722-730, 2005.
[6] Liu Y., Zitnik M., Thottappillil R.: An improved transmission-line model of grounding system, IEEE Transactions On Electromagnetic Compatibility, 43(3), 348-355, 2001.
[7] Poljak D., Rachidi F. Tkachenko S. V.: Generalized Form of Telegrapher's Equations for the Electromagnetic Field Coupling to Finite-Length Lines Above a Lossy Ground, IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 49(3), 689-697, 2007.
[8] Poljak D., Doric V., Rachidi F., Drissi K. E., Kerroum K., Tkachenko S. V., et al.: Generalized Form of Telegrapher's Equations for the Electromagnetic Field Coupling to Buried Wires of Finite Length, IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 51(2), 331-337, 2009.
[9] Poljak D.: Electromagnetic Modelling of Wire Antenna Structures, WIT Press, Southampton-Boston 2002.
[10] Poljak D. Tham C.Y.: Integral Equation Techniques in Transient Electromagnetics“, WIT Press, Southampton-Boston 2003.
[11] Poljak D., Doric V., Vucicic D., Brebbia C. A.: Boundary element modeling of radio base station antennas, Engineering Analysis with Boundary Elements, 30, 419-425. 2006.
[12] Cui T. J., Chew W. C.: Accurate Model of Arbitrary Wire Antennas in Free Space, Above or Inside Ground, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 48(4), 482-493, 2000.
[13] Baba Y., Rakov V. A. Electromagnetic models of the lightning return stroke, Journal of Geophysical Research, 112, .2007.
[14] Grčev L. Dawalibi F.: An Electromagnetic Model for Transients in Grounding Systems. IEEE Transactions on Power Delivery,. Vol.5, Issue 4, pp 1773-1781, Oct. 1990 1990.
Literatura
182
[15] Maxwell J. C.: A Treatise on Electricity and Magnetism, Oxford Univ. Press, 1865, 1904. (Also Dover, New York, 1954 republication of the 3rd ed., Clarendon Press, 1891.)
[16] Pocklington H.C.: Electrical Oscillations in Wires, Proc. Camb. Phil. Soc. 9, pp. 324-333, 25 October 1897.
[17] Mei K.: On the Integral Equations of Thin Wire Antennas. IEEE Transactions on Antennas And Propagation, vol 13, pp 59-62, 1965.
[18] Harrington R., Mautz J.: Straight wires with arbitrary excitation and loading. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 15(4), 502-515. 1967.
[19] Harrington R.F.: Time-Harmonic Electromagnetic Fields, New York, McGraw-Hill Book Co., 1961.
[20] Harrington R.F.: Matrix Methods for Field Problems, Proc. IEEE. vol. 55, pp. 136-149, February, 1967
[21] Harrington R.F. et al.: Matrix Methods for Solving Field Problems, Final Report, Contract AF 30 (602)-3724, Rome Air Development Center, March, 1966.
[22] Silvester R.P., Chan K.K.: Bubnov-Galerkin solutions to wire antenna problems, Proc.IEE, 119, pp 1095-1099, 1972.
[23] Silvester R.P., Chan K.K.: Analysis of antenna structures assembled from arbitrarily located straight wires, Proc. IEE, 120 (1), 1973.
[24] Butler C.M., Wilton D.R., Analysis of various numerical techniques applied to thin wire scatterers, IEEE Trans. AP, 23, 1975.
[25] Butler C.M., Wilton D.R.: Efficient numerical techniques for solving Pocklington's integral equation and their relationship to other methods, IEEE Trans. AP, 24, 1976.
[26] Poljak D., Brebbia C.A.: Boundary Element Methods for Electrical Engineers, WIT Press, Southampton-Boston 2005.
[27] Poljak D.: New Numerical Approach in Analysis of Thin Wire Radiating over Lossy Half-Space, International Journal for Numerical Methods in Engineering. 38, 22; 3803-3816, 1995.
[28] Volakis J. L., Kempel L. C.: Electromagnetics: computational methods and considerations, IEEE Computational Sc. & Eng., , pp. 42–57. Spring 1995
[29] Miller E.: A selective survey of computational electromagnetics. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 36(9), 1281-1305. 1988.
[30] Miller E. K., Poggio A. J., Burke G. J., Selden E. S.: Analysis of Wire Antennas in the Presence of a Coundacting Half-Space. Part I. The Vertical Antenna in Free Space, Canadian Journal of Physics, Vol. 50, pp. 332-341, 1972.
[31] Miller E. K., Poggio A. J., Burke G. J., Selden E. S.: Analysis of Wire Antennas in the Presence of a Coundacting Half-Space. Part II. The Horizontal Antenna in Free Space, Canadian Journal of Physics, Vol. 50, pp. 2614-2627, 1972.
Literatura
183
[32] Sarkar T.K.: Analysis of arbitrarily oriented thin wire antennas over a plane imperfect ground, Archiv fur elektronik und ubertragungstechnik, 31, pp 449-457. 1977.
[33] Parhami P., Mittra R.: Wire antennas over a lossy half-space, IEEE Trans. AP, 28, pp 397-403. 1980.
[34] Burke G. J., Miller E. K.: Modeling Antennas Near to and Penetrating a Lossy Interface, IEEE Trans. on Antennas and Propagation, Vol. AP-32, No. 10, pp. 1040-1049, October 1984.
[35] Poljak D.: Electromagnetic Modeling of Finite length Wires Buried in a Lossy Half-Space, Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol 26, pp. 81-86, 2002.
[36] Bridges G.E.: Transient Plane Wave Coupling to Bare and Insulated Cables Buried in a Lossy Half-Space”, IEEE Trans. EMC, Vol. 37, No 1., pp. 62-70, Feb. 1995.
[37] Grčev L. D., Heimbach M.: Frequency Dependent and Transient Characteristics of Substation Grounding Systems, IEEE Transactions on Power Delivery, 12(1), 172-178. 1997.
[38] Arnautovski-Toseva V., Grčev L.: Electromagnetic Analysis of Horizontal Wire in Two-layered Soil. Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 168, No, 168, 21-29. 2004.
[39] Grčev L., Rachidi F.: On Tower Impedance for Transient Analysis, IEEE Trans.on Power Delivery, Vol. 19, No. 3, pp: 12381244, July 2004.
[40] Grčev L., Rachidi F., Rakov V.A.: Comparison of electromagnetic models of lightning return strokes using current and voltage sources, International Conference on Atmospheric Electricity, ICAE’03 Versailles, France, June 2003.
[41] Burke G. J., Poggio A. J.: NEC - program description Theory, Program, 1981.
[42] Tsai L. L.: A Numerical Solution for the Near and Far Fields of an Annular Ring of Magnetic Current, IEEE Transactions On Antennas And Propagation, 20(5). 1972
[43] Fikioris G., Lionas G., Lioutas C. G.: The use of the frill generator in thin-wire integral equations, IEEE Trans. Antennas and Propagation,, 51(8), 1847-1854. 2003.
[44] Capoglu I., Smith G.: The Input Admittance of a Prolate-Spheroidal Monopole Antenna Fed by a Magnetic Frill. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 54(2), 572-585, 2006.
[45] Dorić V.: Analiza elektromagnetske kompatibilnosti elektroenergetskih vodova u komunikacijskom režimu rada primjenom teorije antena, doktorska disertacija. Split : Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje, 2009
[46] Poljak D., Doric V.: Wire Antenna Model for Transient Analysis of Simple Grounding systems , Part I : The Vertical Grounding Electrode, Progress In Electromagnetics Research, PIER Vol. 64, 149-166. 2006.
[47] Poljak D., Doric V.: Wire Antenna Model for Transient Analysis of Simple Grounding Systems Part II: The Horizontal Grounding Electrode, Progress in Electromagnetics Research, PIER Vol. 64, 167-189, 2006.
Literatura
184
[48] Poljak D., Roje V.: Boundary Element Approach to Calculation of Wire Antenna Parameters in the Presence of a Dissipative Half-Space, IEE Proc. Microw. Antennas Propag., Vol. 142, pp. 435-440, Dec. 1995.
[49] Dorić V. Modeliranje žičanih antenskih struktura u elektromagnetskoj kompatibilnosti, magistarski rad. Split : Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje, 2003.
[50] Elliott R.S.: Antenna Theory and Design, John Wiley & Sons, New Jersey 2003.
[51] Banos A., Dipole Radiation in the Presence of a Conducting Half-Space, Pergamon Press, New York, 1966.
[52] Burke G. J.: NEC 4 Methods of Moments, Part II - Program description: Theory, 1992.
[53] Lytle R. J., Lager D. L.: Numerical Evaluation of Sommerfeld Integrals, UCRL-51688, Lawrence Livermore Laboratory, CA, 1974.
[54] King R.W.P, Wu T.T.: Analysis of Crossed Wires in a Plane-Wave Field, IEEE trans. on Electromagnetic Compatibility, Vol. 17, No. 4, 1975, pp 255-265
[55] Balanis, C.A.:Antenna Theory: Analysis and Design, John Wiley & Sons, New Jersey, 2005.
[56] Gibson W.C.: A Methods of Moments in Electromagnetics, Chapman & Hall/CRC, 2008.
[57] Stratton J.A.: Electromagnetic Theory, New York and London: McGraw-Hill Book Company, Inc., 1941.
[58] Bridges G. E., Shafai L.: Plane Wave Coupling to Multiple Conductor Transmission Lines Above a Lossy Earth, IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol. EMC-31, pp. 21-33, February 1989.
[59] King R.W.P., Wu, T.T.: The Imperfectly Conducting Cylindrical Transmiting Antenna, IEEE Trans. on Antenna and Propagation, Vol. 14, No. 5, September 1966.
[60] Rudge W.: Input Impedance of a Dipole Antenna Above a Conducting Half-Space, IEEE Trans. Antennas and Propagation, pp. 86-89, January 1972.
[61] Poljak D.: New Numerical Approach in the Analysis of a Thin Wire Radiating over a Lossy Half-Space, Int. Jour. for Num. Methods in Eng., Vol. 38, pp. 3803-3816, 1995.
[62] Poljak D., Roje V.: The weak finite element formulation for solving Pocklington's integro-differential equation, Int. Journ. Eng. Modelling 6 (1-4), 1993, pp 21-25.
[63] Jovic V.: Uvod u numeričko modeliranje, Aquarius engineering Split, 1993.
[64] Cui T. J., Chew C. W.: Modeling of Arbitrary Wire Antennas Above Ground, IEEE Trans. on Geoscience and Remote Sensing, Vol. 38, No. 1, January 2000.
[65] Xiong W, Dawalibi F.P. Transient Performance of Substation Grounding Systems Subjected to Lightning and Similar Surge Currents. IEEE Transactions on Power Delivery. 1994;9(3).
Literatura
185
[66] Grčev L. Computation of Transient Voltages Near Complex Grounding Systems, IEEE 1992 International Symposium on Electromagnetic Compatibility1992.
[67] Otto D.V.: Cylindrical antenna theory. PhD dissertation Univ. Aukland, Aukland, New Zealand, 1967.
[68] Otto D.V.: The admitance of cylindrical antennas driven from a coaxlal line, Radio Sci. (New Series), vol. 2, no. 9, pp. 1031-1042, 1967.
[69] Otto D.V.: Fourier transform method in cylindrical antenna theory, Radio Sei. (New Series), vol. 3, no. l l , pp. 1050-1057, 1968.
[70] Kolundzija B. M., Djordjević A. R.: Electromagnetic Modeling of Composite Metallic and Dielectric Structures, Artech House Boston, London, 2002
[71] Stutzman W. L., Thiele G. A., Antenna Theory and Desing, John Wiley & Sons, New Jersey, 1981.
[72] Geranmayeh A., Moini R., Sadeghi S.H.H., Deihimi A.: A Fast Wavelet-Based Moment Method for Solving Thin-Wire EFIE. IEEE Trans On Magnetics. 2006;42(4):575-578.
[73] Jensen M.A., Rahmat-Samii Y.: Electromagnetic Characteristics of Superquadric Wire Loop Antennas. IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1994;42(2):246-249.
[74] Zhou G., Smith G.S.: An accurate theoretical model for the thin-wire circular half-loop antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat. vol:39no8pp.
[75] Balanis A.C.: Advanced Engineering Electromagnetics, John Wiley & Sons, New York, 1989.
[76] Uman M.A., McLain D.K.: Magnetic field of lightning return stroke, Journal of Geophysical Research, 74, 6899-6910, 1969
[77] Nucci, C.A. Diendorfer G., Uman, M.A., Rachidi, F., Ianoz, M., Mazzetti, C.: Lightning return stroke current models with specified channel base current: A review and comparison, Journal of Geophysical Research, 95,20 395-20,408, 1990.
[78] Thottappillil R, Rakov V.A., Uman M.A.: Distribution of charge along the lightning channel: Relation to remote electric and magnetic fields and to return-stroke models, Journal of Geophysical Research, 102, 6987-7006, 1997
[79] Rakov V.A., Dulzon A.A.: A modified transmission line model for lightning return stroke field calculation, Proc. Int. Zurich Symp. on EMC, 9,229-235, 1991.
[80] Diendorfer, G., Uman M.A.: An improved return-stroke model with specified channel-base current, Journal of Geophysical Research, 95, 13,621-13,644, 1990.
[81] Rakov V.A., Uman M.A.: Review and evaluation of lightning return stroke models including some aspects of their application. IEEE Trans. Electromagn. Compat, Vol. 40pp:403-426.
[82] Thottappillil R., Uman M.A.: Comparison of lightning return-stroke models, J. Geophys. Res., vol. 98, pp. 22 903–22 914, Dec. 1993.
Literatura
186
[83] Rakov V.A.: Lightning return stroke modeling: recent developments, Proc. 3rd Brazilian Workshop Atmospheric Electricity/Int. Conf. Grounding and Earthing, Rio de Janeiro, Brazil, Nov. 2002, pp. 85–96.
[84] Moini R., Kordi B., Rafi G. Z., Rakov V.A.: A new lightning return stroke model based on antenna theory model, J. Geophys. Res., vol. 105, no. D24, pp. 29 693–29 702, Dec. 2000.
[85] Baba Y., Ishii M.: Numerical electromagnetic field analysis of lightning current in tall structures,” IEEE Trans. Power Del., vol. 16, no. 2, pp. 324–328, Apr. 2001.
[86] Kordi B., Moini R., Rakov V. A.: Comment on “Return stroke transmission line model for stroke speed near and equal that of light, by R. Thottappillil, J. Schoene, and M. A. Uman, Geophys. Res. Lett., vol. 29, no. 10, p. 1369, 2002.
[87] B. Kordi, R. Moini, and V. A. Rakov, Comparison of lightning return stroke electric fields predicted by the transmission line and antenna theory models, in Proc. 15th Int. Zurich Symp. Electromagn. Compat., Zurich, Switzerland, Feb. 2003, pp. 551–556.
[88] Baba Y., Ishii M.: Characteristics of electromagnetic return-stroke models, IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol. 45, no. 1, pp. 129–135, Feb. 2003.
[89] Shoory A., Moini R., S. Sadeghi H. H.: Analysis of lightning electromagnetic fields in the vicinity of a lossy ground, using a new antenna theory model, Proc. IEEE Bologna PowerTech.,, Bologna, Italy, Jun. 2003.
[90] Baba Y., Rakov V. A.: On the transmission line model for lightning return stroke representation, Geophys. Res. Lett., vol. 30, no. 24, p. 2294, 2003.
[91] Shoory A., Moini R., Sadeghi S.H.H., Rakov V.A.: Analysis of Lightning-Radiated Electromagnetic Fields in the Vicinity of Lossy Ground. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility. 2005;47(1):131-145.
[92] Burgess, R. E.: Aerial Characteristics, Wireless Engr., Vol. 21, pp. 154–160, April 1944.
[93] Hallen, E.: Theoretical Investigations into the Transmiting and receiving Qualities of Antennae, Nova Acta reg.Soc.Sci. Upsaliensis, 1938, Vol 11, pp.3 – 44
[94] Carter, P.S.: Circuit Relations in Radiating Systems and Applications to Antenna Problems, Proc. IRE, 20, 1004-1041, June 1932.
[95] Krass J.D.: Antennas, Tata McGraw-Hill New Delhi 1997.
[96] Jordan E.C., Belmain K.G.: Electromagnetic Waves and Radiating Systems, Prentice-Hall INC, New Jersey, 1968.
[97] Schelkunoff S.A.: Theory of Antennas of Arbitrary Shape and Size, Proc. Inst. rad. Eng. Vol 29, pp. 493-521, 1941
[98] Grčev L.: Proračun tranzijentne impedancije uzemljivačkih sistema, Doktorska disertacija, Elektrotehnički fakultet Zagreb, 1986.
[99] Grčev L.: Computer Analysis of Transient Voltages in Large Grounding Systems. IEEE Transactions on Power Delivery. 1996;11(2):815-823.
Prilog A - Fourier-ova transformacija
187
PRILOG A FOURIER-OVA TRANSFORMACIJA
Osnovi alat za analizu vremenski promjenljivih funkcija (signala) je Fourier-ova
analiza. Ona se temelji na svojstvu da se bilo koja periodična funkcija može izraziti kao
beskonačna suma eksponencijalnih funkcija s kompleksnim argumentom [1]-[3].
A.1. Kontinuirana Fourier-ova transformacija
Osnovni koncept Fourier-ove analize se da proširiti na aperiodičke funkcije na način da
se takva funkcija promatra kao periodička funkcija s periodom T → ∞ . To je osnova za
definiranje kontinuirane Fourier-ove transformacije (FT) kojom se kontinuirani signal x(t)
iz vremenskog područja prebacuje u frekvencijsko područje [1]-[3]:
2( ) ( ) j ftX f x t e dtπ+∞
−
−∞
= ⋅∫ (A.1)
gdje je t vrijeme, f frekvencija, x(t) polazna funkcija u vremenskom području i X(f)
odgovarajući frekvencijski transformat. Budući je Fourier-ova transformacija inverzna,
moguće je iz transformirane funkcije odrediti polaznu funkciju. Takva transformacija se
naziva inverzna Fourier-ova transformacija i definirana je s izrazom [1]-[3]:
2( ) ( ) j ftx t X f e dfπ+∞
−∞
= ⋅∫ (A.2)
Nužni uvjeti za postojanje Fourier-ove transformacije su:
• x(t) je apsolutno integrabilna funkcija: ( )x t dt+∞
−∞
< ∞∫
• x(t) sadrži konačan broj diskontinuiteta, unutar bilo kojeg konačnog intervala,
• x(t) ima konačan broj minimuma i maksimuma unutar konačnog intervala.
Prilog A - Fourier-ova transformacija
188
Transformirana funkcija u frekvencijskom području je kompleksna funkcija čija se
apsolutna vrijednost u analizi signala naziva spektralna gustoća amplitude a faza spektralna
gustoća faze.
Budući se kontinuirana Fourier-ova transformacija odnosi na kontinuirane signale ona
je neprikladna za implementaciju na računalu u takvoj formi, te je stoga potrebno uvesti
aproksimaciju spomenute transformacije tako da bude pogodna za diskretne podatke. Ova
aproksimacija se naziva diskretna Fourier-ova transformacija (eng. discrete Fourier
transform – DFT) .
A.2. Diskretna Fourier-ova transformacija
Diskretna Fourier-ova transformacija je aproksimacija kontinuirane Fourier-ove
transformacije prilagođena radu s diskretnim skupom podataka tj. signal je uzorkovan u
vremenu, pa DFT za razliku od FT pokriva konačno vremensko i frekvencijsko područje.
Ovakva aproksimacija je valjana pod uvjetom da je frekvencija uzorkovanja barem
dvostruko veća od najviše frekvencije koja se javlja u razmatranom signalu izraženom kao
skup podataka, odnosno uzoraka.
DFT za N kompleksnih uzoraka kao i njena inverzna transformacija definirane su
sljedećim jednadžbama [1]-[3]:
[ ] [ ]1 2
0
0,1, 2,..., 1N j mn
N
n
X m x n e za m Nπ− −
=
= ⋅ = −∑ (A.3)
[ ] [ ]1 2
0
10,1, 2,..., 1
N j mnN
n
x n X m e za n NN
π−
=
= ⋅ = −∑ (A.4)
gdje n i m predstavljaju diskretne vremenske odnosno frekvencijske uzorke, a [ ]x n i
[ ]X m predstavljaju signal u diskretiziranom vremenskom odnosno frekvencijskom
području.
Korak između dva susjedna DFT koeficijenta jednak je:
Prilog A - Fourier-ova transformacija
189
1
fT
∆ = (A.5)
gdje je T ukupno vrijeme trajanja signala na kojem se vrši DFT. Dakle, ukupnim
vremenom trajanja signala je i određena frekvencijska rezolucija što znači da ukoliko je
potrebna visoka frekvencijska razlučivost potrebno je uzeti veći vremenski uzorak. Period
uzorkovanja i ukupno vrijeme trajanja signala su povezani relacijom:
s
NT N t
f= ⋅ ∆ = (A.6)
gdje je t∆ period uzorkovanja, tj. vremenski interval između dva uzastopna uzimanja
uzorka, a fs frekvencija uzorkovanja. Iz jednadžbi (A.5) i (A.6) je da su spomenuti
parametri DFT-a međusobno jako ovisni pa da npr. povećanje broja uzoraka, uslijed
povećanja frekvencije uzorkovanja neće poboljšati frekvencijsku rezoluciju.
DFT ima nekoliko nedostataka:
• Iz jednadžbe (2.7) slijedi da je za proračun samo jednog DFT koeficijenta
potrebno N kompleksnih množenja i N-1 kompleksnih zbrajanja, tj. ukupno 2N2
operacija s kompleksnim brojevima. Ovo su vrlo veliki zahtjevi na procesor
digitalnog računala.
• Rezultat množenja dvaju brojeva na računalima ima više bita nego li svaki od
tih brojeva posebno pa je rezultat potrebno zaokruživati čime se unosi dodatna
greška u proračun, tvz. greška zaokruživanja.
Ova dva nedostatka DFT mogu se donekle ukloniti primjenom brze Fourierove
transformacije (eng. Fast Fourier Transform, FFT). FFT je naziv za cijelu klasu
algoritama koji efikasno računaju DFT konačnog skupa realnih ili kompleksnih brojeva
koji predstavljaju uzorkovani signal. Važno je napomenuti da FFT nije aproksimacija DFT
već njen matematički ekvivalent. FFT metodom se dobiju potpuno isti rezultati kao i DFT
metodom. Međutim, ona uklanja redundanciju iz proračuna koji bi se provodili direktnom
primjenom jednadžbe (A.3), smanjujući tako broj potrebnih množenja i zbrajanja. Ovime
je postignuta optimizacija samog postupka, a osim toga je i vrlo prilagođena za
implementaciju na digitalnom računalu. Manji broj množenja znači i manji broj
Prilog A - Fourier-ova transformacija
190
zaokruživanja rezultata, a time i manju akumulaciju pogreške. Na ovaj način smanjena je
greška šuma kvantizacije. Primjeri različitih FFT algoritama su: Cooley – Tukey FFT,
prime factor FFT, chirp z-transform, Goertzelov algoritam...
FFT algoritmi imaju računalnu složenost reda veličine N·logN u odnosu na N2 kod
DFT-a. U slučaju da je N=2k FFT algoritam zahtjeva manje od 3N·log2N operacija, što je
npr. za slučaj N=220 35000 puta brže od 2N2. Valja napomenuti da je algoritam FFT-a
najbrži ukoliko je N potencija broja 2.
Dakle kod optimalnog korištenja FFT-a daljnje se postrožava odabir parametara
Fourier-ove transformacije samim biranjem broja uzoraka iz skupa potencija broja 2. U
nekim slučajevima, kada priroda problema to zahtjeva, potrebno je uzeti jako veliki broj
točaka (>220) što dovodi do velikih memorijskih zahtjeva posebice ako se vrši
multidimenzionalna transformacija. Nadalje, često je poznata vrijednost funkcije za
ograničeni broj uzoraka koji ne slijede pravila DFT-a i FFT-a te je njihov broj mnogo
manji od optimalnog broja uzoraka za kvalitetan FFT. Tada je potrebno interpolirati
funkciju u točno određenim točkama i broj tih točaka mora biti potencija broja 2. Također,
FFT algoritmima se računa svih N vrijednost funkcije definirane jednadžbama (A.5) i (A.6)
u frekvencijskom području (vremenskom području za IFFT), iako od interesa mogu biti
samo neke. Sve ovo se javlja u primjerima koji su prezentirani u ovom radu.
A.3. Približna Fourier-ova transformacija
Da bi se eliminirali neki od navedenih nedostataka FFT algoritma predlaže se približna
Fourier-ova transformacija temeljena na kontinuiranoj Fourier-ovoj transformaciji gdje se
funkcija x(t) između poznatih vrijednosti aproksimira Lagrange-ovim interpolacijskim
polinomom kroz K točaka [4]:
( )1
( )eK
e ei i
i
x t x N t=
=∑ (A.7)
Tada se fourier-ova transformacija (A.1) se može zapisati kao beskonačna suma određenih
integrala s konačnim granicama:
Prilog A - Fourier-ova transformacija
191
2
1
2
1
( ) ( )
e
e
tj ft
e t
X f x t e dtπ∞
−
=
= ⋅∑∫ (A.8)
Ideja je preuzeta iz [5] u kojem je predstavljena linearna analitička inverzna Fourier-ova
transformacija za struju na žici, koja je ovdje generalizirana i proširena. Sličan koncept se
može pronaći u [6] gdje se vrši numerička integracija trapeznim pravilom između
neravnomjerno raspoređenih frekvencijskih uzoraka raspodjele potencijala kod
uzemljivača da bi se dobila inverzna Fourier-ova transformacija.
Uvrštavanjem izraza (A.7) u (A.8), te zamjenom redoslijeda sume i integrala slijedi:
( )2
1
2
1 1
( )
ee
e
tKe e j fti i
e i t
X f x N t e dtπ∞
−
= =
= ⋅∑∑ ∫ (A.9)
Ukoliko se koristi linearna aproksimacija tada se funkcija x(t) aproksimira između dvije
susjedne točke s dvije linearne funkcije:
( ) ( )2 11 2
2 1 2 1
;e et t t tN t N t
t t t t
− −= =
− − (A.10)
Tada je aproksimacija funkcije (A.7) jednaka:
2 11 2
2 1 2 1
( )e e
e ee e e e
t t t tx t x x
t t t t
− −= +
− − (A.11)
a, aproksimacija Fourier-ove transformacije (A.9) poprima oblik:
2 2
1 1
2 22 11 2
1 2 1 2 1
( )
e e
e e
t te ee j ft e j ft
e e e ee t t
t t t tX f x e dt x e dt
t t t tπ π
∞− −
=
− −= ⋅ + ⋅
− − ∑ ∫ ∫ (A.12)
Oba integrala u izrazu (A.12) su analitički rješiva tako da slijedi konačni izraz za približnu
vrijednost Fourier-ove transformacije:
Prilog A - Fourier-ova transformacija
192
2 1
2 1
2 2 2 11 2 2
2 1
11 2 1 1
2 2 22 1
1 11
( )1 11
e e
e e
e e e ej t j te
e e
e e e ee j t j te
e e
t j t t j tx j e j e
t tX f
t j t t j tx j e j e
t t
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω ω ω
ω ω
ω ω ω ω
− −
∞
= − −
+ +− + − + +
− =
+ + − + + − −
∑ (A.13)
gdje je 2 fω π= kružna frekvencija.
Također, može se koristiti i kvadratična aproksimacija preko tri susjedna uzorka, uz
korištenje tri kvadratične funkcije koje opisuju signal između uzoraka:
( )( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
2 31
1 2 1 3
1 32
2 1 2 3
1 23
3 1 3 2
e
e
e
t t t tN t
t t t t
t t t tN t
t t t t
t t t tN t
t t t t
− −=
− −
− −=
− −
− −=
− −
(A.14)
Tada je aproksimacija funkcije (A.7) jednaka:
( ) ( )
( ) ( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )2 3 1 3 1 2
1 2 3
1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
( )e e e e e e
e e e
e e e e e e e e e e e e
t t t t t t t t t t t tx t x x x
t t t t t t t t t t t t
− − − − − −= + +
− − − − − − (A.15)
pa, aproksimacija Fourier-ove transformacije (A.9) poprima oblik:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
3
1
3
1
3
1
2 3 21
1 2 1 3
1 3 22
1 2 1 2 3
1 2 23
3 1 3 2
( )
e
e
e
e
e
e
e ete j ft
e e e et
e ete j ft
e e e ee t
e ete j ft
e e e et
t t t tx e dt
t t t t
t t t tX f x e dt
t t t t
t t t tx e dt
t t t t
π
π
π
−
∞−
=
−
− − ⋅ +
− −
− − = ⋅ +
− −
− − ⋅ − −
∫
∑ ∫
∫
(A.16)
Prilog A - Fourier-ova transformacija
193
Kao i u slučaju linearne aproksimacije, integrali u izrazu (A.16) su analitički rješivi pa je
analitička kvadratična aproksimacija Fourier-ove transformacije dana relacijom:
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
3
1
3
1
3
1
2 212 3 33
1 2 1 3
2 221 3 33
2 1 2 3
2 231 2 23
3 1 3 2
2 2
( ) 2 2
2 2
e
e
e
e
e
e
te
j t
t
te
j t
t
te
j t
t
j xe t t t j t t j t j t
t t t t
j xX f e t t t j t t j t j t
t t t t
j xe t t t j t t j t j t
t t t t
ω
ω
ω
ω ω ω ω ω ω ωω
ω ω ω ω ω ω ωω
ω ω ω ω ω ω ωω
−
−
−
− + + − + + − − + − −
= − + + − + + − − − −
− + + − + + − − − −
1e
∞
=
∑ (A.17)
Valja napomenuti da u slučaju korištenja kvadratična aproksimacije broj uzoraka mora biti
neparan.
Po istom konceptu daju se izvesti linearna i kvadratična aproksimacija inverzne
Fourier-ove transformacije, pa se dobije izraz za linearnu aproksimaciju Fourier-ove
transformacije:
2 1
2 1
2 22 2 2 11 2 2 2 2
2 1
2 21 2 1 12 2 2 2 2
2 1
1 2 1 21
2 4 2 4( )
1 2 1 21
2 4 2 4
e e
e e
e e e ej tf j tfe
e e
e e e ej tf j tfe
e e
f j tf f i tfX j e i e
f f t t t tx t
f j tf f i tfX j e i e
f f t t t t
π π
π π
π π
π π π π
π π
π π π π
− −− − + + +
− =
− −+ + − − −
1e
∞
=
∑ (A.18)
odnosno, za kvadratičnu aproksimaciju:
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( )
3
1
3
1
2 2 2 212 3 33 3
1 2 1 3
2 2 2 221 3 33 3
2 1 2 3
231 23 3
3 1 3 2
2 2 1 2 1 2 24
( ) 2 2 1 2 1 2 24
24
e
e
e
e
fe
j tf
f
fe
j tf
f
ej tf
Xe f t f t j tf f t j tf j t f tf j
t f f f f
Xx t e f t f t j tf f t j tf j t f tf j
t f f f f
Xe f t f
t f f f f
π
π
π
π π π π π π ππ
π π π π π π ππ
π ππ
− + − + − − + + + − −
= − + − + − − + + + − −
−− −
( ) ( )3
1
1
2 2 222 1 2 1 2 2
e
e
e
f
f
t j tf f t j tf j t f tf jπ π π π π
∞
=
+ − + − − + +
∑ (A.19)
Prilog A - Fourier-ova transformacija
194
A.4. Numerički primjeri
Opravdanost predloženog pristupa Fourier-ove transformacije će se provesti na
tipičnim vremenski signalima korištenim u ovom radu. Prvenstveno se to odnosi na
vremenski oblik struje munje opisan jednadžbom:
( )( ) t ti t I e eα β− −= − (A.20)
s različitim parametrima:
a) 1.0454I A= , 10.0737 sα µ −= i 19.866 sβ µ −= što odgovara veoma strmom
0.5/10 µs impulsu (značajniji udio viših frekvencija);
b) 1.1067I A= , 10.0142 sα µ −= i 15.073 sβ µ −= što odgovara sporo opadajućem
impulsu 1/50 µs;
Oblici impulsa su prikazani na slici A.1.
10−4
10−3
10−2
10−1
100
101
102
103
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
It (
A)
t (µ s)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
It (
A)
t (µ s)
0.5/10 µ s
1/50 µ s
Slika A.1 Strujni impuls u vremenu
Impuls oblika (20) je odabran i iz razloga što je moguće analitički izračunati Fourier-
ovu transformaciju. Tada izraz za struju (20) u frekvencijskom području ima oblik:
Prilog A - Fourier-ova transformacija
195
1 1
( )2 2
I f Ia j f b j fπ π
= ⋅ −
+ + (A.21)
Slika A.2 prikazuje frekvencijsku karakteristiku za dva strujna impulsa proračunatu
analitički s (21).
102
103
104
105
106
107
108
0
2
4
6
8x 10
−5
abs(I
f) (
A)
t (µ s)
102
103
104
105
106
107
108
−200
−150
−100
−50
0
faza(I
f) (
°)
t (µ s)
0.5/10 µ s
1/50 µ s
Slika A.2 Frekvencijski spektar strujnih impulsa
Slika A.3 prikazuje postotnu razliku u amplitudi frekvencijske karakteristike, u odnosu
na analitičko rješenje, 0.5/10µs impulsa izračunatu približnim metodama s redom 21, 31,
61 i 101 vremenskih uzoraka. Valja napomenuti da suma u jednadžbama (13) i (17) nije
beskonačna, već konačna i ide od t=0s do t=10-3s, budući je potrebno samo sumirati
područje u kojem je sadržana većina energije signala. Naime, impulsi su takvog oblika da
vrlo brzo padaju na zanemarive vrijednosti što znači da je moguće zanemariti ostatak
signala.
Sa slike A.3 je vidljivo da se vrlo brzo (sa malim brojem uzoraka) dobije vrlo
kvalitetno rješenje za frekvencijsku karakteristiku, kako za linearno tako i kvadratičnu
aproksimaciju. Uočeno je da kvadratična aproksimacija nešto brže konvergira, što je i
očekivano. Veća postotna greška može se uočiti na visokim frekvencijama, iako opada s
brojem uzoraka, ali ako se pogleda sama frekvencijska karakteristika (slika A.2) jasno je i
Prilog A - Fourier-ova transformacija
196
zašto. Naime na tim visokim frekvencijama (1-100Mz) amplituda frekvencijske
karakteristike je praktički jednaka nuli, pa i mala greška u apsolutnoj vrijednosti može
uzrokovat veliku relativnu razliku.
Gotovo isti zaključci se mogu izvući na temelju rezultata na slici A.4 koji prikazuju
relativnu pogrešku u amplitudi frekvencijske karakteristike impulsa 1/50µs proračunatu
približnim metodama.
102
103
104
105
106
107
108
100
101
102
Razlik
a %
N=21
102
103
104
105
106
107
108
100
102
Razlik
a %
N=31
102
103
104
105
106
107
108
10−2
100
102
Razlik
a %
N=61
102
103
104
105
106
107
108
10−2
100
102
Razlik
a %
f (Hz)
N=101
LINEAR
KVADR
Slika A.3 Postotna razlika u amplitudi (0.5/10µs)
Prilog A - Fourier-ova transformacija
197
102
103
104
105
106
107
108
100
101
102
Razlik
a %
N=21
102
103
104
105
106
107
108
100
102
Razlik
a %
N=31
102
103
104
105
106
107
108
100
102
Razlik
a %
N=61
102
103
104
105
106
107
108
10−2
100
102
Razlik
a %
f (Hz)
N=101
LINEAR
KVADR
Slika A.4 Postotna razlika u amplitudi (1/50µs)
Osim, proračuna predloženim aproksimacijskim metodama, frekvencijska
karakteristika je izračunata i FFT-om, kako bi se proučila točnost i konvergencija takvog
rješenja. Signal 0.5/10µs je uzorkovan različitim brojem uzoraka (redom N=216, N=218,
N=222 i N=224) uz promjenu duljine signala redom T=0.1s, T=1s i T=10s. Naime, zbog
povezanosti svih faktora uključenih u FFT (duljina signala, broj uzoraka, vremenski korak,
frekvencijski korak i frekvencija uzorkovanja) nije moguće proizvoljno birati duljinu
Prilog A - Fourier-ova transformacija
198
signala i broj uzoraka da bi se dobila kvalitetna frekvencijska karakteristika u pojasu od
100Hz do 10MHz karakteristična za promatrani impuls. Slika A.5 pokazuje postotnu
grešku amplitude frekvencijske karakteristike promatranog signala proračunatu FFT-om, u
odnosu na analitičko rješenje, za redom različite duljine signala (T=0.1s, T=1s i T=10s) uz
različiti broj uzoraka.
Vidljivo je iz slike A.5 da se jedino u slučaju duljine signala od T=1s dobiva
usporedivo rješenje dok se tek za veliki broj uzoraka (N=222 i N=224) dobiva kvalitetno
rješenje, tj. rješenje koje je u cijelom relevantnom spektru signala dovoljno dobro u odnosu
na analitičko rješenje. Skraćivanjem signala greška je cca 1000% dok produženjem signala
greška je reda veličine 100% u odnosu na analitičko rješenje.
Uz to što se točno rješenje dobiva samo za određeni set parametara, FFT-om se dobiva
rješenje za cijeli spektar (određen parametrima FFT-a) bez obzira dali je cijeli spektar od
interesa. Također, uslijed korištenja velikog broja uzoraka, rješenje je jako redundantno te
se javljaju zahtjevi za velikim memorijskim kapacitetima, što može biti problematično
pogotovo ukoliko se paralelno obrađuje više točaka. Uz veliki broj uzoraka dolazi i duže
vrijeme računanja, npr. za N=224 to je reda veličine nekoliko sekundi.
Za usporedbu, za proračun dovoljno kvalitetne frekvencijske karakteristike (cca 50
frekvencijskih točaka jednako raspoređenih u logaritamskoj skali) približnim metodama je
bilo potrebno reda veličine 10-30ms s neoptimiziranim kodom u matlab-u.
Imajući sve ovo u vidu jasno je da je FFT neprimjeren za analizu ovakvih signala te da
predložena aproksimacijska daje mnogo stabilnije i točnije rezultate.
Prilog A - Fourier-ova transformacija
199
102
103
104
105
106
107
108
103
Ra
zlik
a %
T=0.1s
102
103
104
105
106
107
108
100
102
Ra
zlik
a %
T=1s
102
103
104
105
106
107
108
102
Ra
zlik
a %
f (Hz)
T=10s
FFT N=216
FFT N=218
FFT N=222
FFT N=224
Slika A.5 Postotna razlika u amplitudi za FFT (T=0.1s;T=1s;T=10s)
Općenito se slični zaključci kao i za prethodno analiziranu Fourier-ovu transformaciju
mogu donijeti i za inverznu Fourier-ovu transformaciju. Međutim postoje i razlike. Slika
A.6 prikazuje vremenski oblik signala 0.5/10µs proračunat približnim varijantama inverzne
Fourier-eve transformacije (18) i (19) iz frekvencijske karakteristike. Odmah je vidljivo da
je slaganje dobivenih rezultata s analitičkim rješenjem odlično. Jedino malo odstupa
Prilog A - Fourier-ova transformacija
200
kvadratična aproksimacija u vrlo ranom vremenskom periodu. Rješenje prikazano na slici
A.6 je dobiveno s 61 uzoraka u spektru od 100Hz – 100MHz.
10−3
10−2
10−1
100
101
102
103
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
It (
A)
t (µ s)
Analitièki
LINEAR
KVADR
Slika A.6 IFT signala 0.5/10µs
Detaljna analiza točnosti i konvergencije približne inverzne Fourier-ove transformacije
je dana na slici A.7, koja prikazuje postotnu grešku približne IFT uz korištenje redom 21,
31, 61 i 101 frekvencijskih uzoraka u spektru 100Hz – 100MHz. Može se uočiti da je
točnost proračuna u djelu gdje je signal intenzivan jako dobra te brzo konvergira za obje
metode. Međutim, u vrlo ranom periodu greška je zamjetna pogotovo u slučaju kvadratične
aproksimacije. Razlog vjerojatno leži u odnosu jako malih ( ∼ 10-9) i jako velikih ( ∼ 108)
veličina koje se još kod kvadratične aproksimacije kubiraju te lako dolazi do greške
zaokruživanja.
Prilog A - Fourier-ova transformacija
201
10−3
10−2
10−1
100
101
102
100
101
102
Razlik
a %
N=21
10−3
10−2
10−1
100
101
102
100
101
102
Razlik
a %
N=31
10−3
10−2
10−1
100
101
102
100
102
Razlik
a %
N=61
10−3
10−2
10−1
100
101
102
10−2
100
102
Razlik
a %
t (µ s)
N=101
LINEAR
KVADR
Slika A.7 Postotna greška približne IFT za 0.5/10µs
Još veće greške, posebice za kvadratičnu aproksimaciju, se mogu primijetiti u
proračunu IFT u slučaju drugog signala (1/50µs), za koji je provedena ista analiza, kako je
prikazano na slikama A.8 i A.9.
Prilog A - Fourier-ova transformacija
202
10−3
10−2
10−1
100
101
102
103
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
It (
A)
t (µ s)
Analitièki
LINEAR
KVADR
Slika A.8 IFT signala 1/50µs
Jasno je iz slika A.8 i A.9 da je u slučaju 1/50µs signala konvergencija rješenja nešto
malo sporija, ali još uvijek jako dobra posebice u slučaju linearne aproksimacije. Greške su
zamjetne samo u vrlo ranom periodu gdje je iznos signala jako mali pa i mala apsolutna
greška može generirati veliku relativnu grešku. Pomalo je iznenađujuće da za IFT puno
bolje cjelovito rješenje daje linearna aproksimacija za razliku od FT gdje je ipak
kvadratična aproksimacija generirala neznatno bolje rezultate.
Konačno, napravljen je i IFFT za signal 0.5/10µs za redom različite frekvencije
uzorkovanja fs=200MHz, fs=500MHz i fs=1GHz uz različit broj uzoraka (N=216, N=218,
N=222 i N=224). Razlog za veliku frekvenciju uzorkovanja je potreba za proračunom
signala u vrlo ranom periodu, što je s druge strane nepotrebno budući da je glavnina
energije signala sadržana u frekvencijskom spektru do 10-tak MHz. Slika A.10 prikazuje
postotnu grešku IFFT-a za redom fs=200MHz, fs=500MHz i fs=1GHz uz različite brojeve
uzoraka. Vidljivo je da IFFT u ranom i kasnom periodu daje rezultate koji imaju relativno
veliku grešku. Također, za dobivanje kvalitetnog rješenja u cijelom periodu signala
potrebno je uzeti veliki broj uzoraka što opet dovodi do problema s memorijom i usporava
sami proračun, slično kao i za FFT.
Prilog A - Fourier-ova transformacija
203
10−3
10−2
10−1
100
101
102
100
101
102
Razlik
a %
N=21
10−3
10−2
10−1
100
101
102
100
101
102
Razlik
a %
N=31
10−3
10−2
10−1
100
101
102
100
101
102
Razlik
a %
N=61
10−3
10−2
10−1
100
101
102
101
102
Razlik
a %
t (µ s)
N=101
LINEAR
KVADR
Slika A.9 Postotna greška približne IFT za 1/50µs
Prilog A - Fourier-ova transformacija
204
10−3
10−2
10−1
100
101
102
10−2
100
102
Razlik
a %
T=0.1s
10−3
10−2
10−1
100
101
102
10−1
100
101
102
Razlik
a %
T=1s
10−3
10−2
10−1
100
101
102
10−1
100
101
102
Razlik
a %
t (µ s)
T=10s
FFT N=216
FFT N=218
FFT N=222
FFT N=224
Slika A.10 Postotna greška FFT za 0.5/10µs
Priloženi primjeri su pokazali da je približna Fourier-ova transformacija s linarnom
aproksimacijom najbolji izbor za vremensko – frekvencijsku i frekvencijsku – vremensko
transformaciju signala koji se promatraju u ovom radu. Kvadratična aproksimacija
praktički nimalo ne zaostaje u slučaju FT-a ali je daje greške u vrlo ranom odzivu u slučaju
IFT-a. Usporedbom, predloženih metoda s FFT-om i IFFT-om može se zaključiti da su
Prilog A - Fourier-ova transformacija
205
mnogo fleksibilnije, jednostavnije, točnije i mnogo primjerenije za promatrane signale i
probleme.
A.5. Literatura
[1] Bronštejn, I. N.; Semendjajev, K.A.: Matematički priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga, 1991.g.
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform (01.02.2011.)
[3] http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html (01.02.2011.)
[4] Jović, V.: Uvod u numeričko modeliranje, Aquarius engineering Split, 1993.
[5] Antonijevic S., Doric V., Poljak D.: Optimized Transient Analysis using GB-BEM, XI-th International Workshop on Optimization and Inverse Problems in Electromagnetism September 14 – 18, 2010, Sofia, Bulgaria
[6] Lovrić D., Vujević, S., Sarajcev P.: Accuracy of the Inverse Fast Fourier Transform algorithm in grounding grid transient analysis, ICECom2010, Dubrovnik 2010.
Prilog B - Numeričko rješavanje Sommerfeld-ovih integrala
206
PRILOG B NUMERIČKO RJEŠAVANJE SOMMERFELD –ovih INTEGRALA
Sommerfeld-ovi integrali (2.25) i (2.26) nisu analitički rješivi, te je potrebna numerička
integracija. Budući se sami integrali pojavljuju i u drugim izrazima (2.20) – (2.24) u načelu
je potrebno numerički integrirati slijedećih šest integrala:
2
' '' 32 02
0
( ) ( )R
z zVD e J dγλ λρ λ λ
ρ±
∞− +±∂
=∂ ∫ (B.1)
2
'22 02
0
( ) ( )R
z zVD e J d
zγλ γ λρ λ λ±
∞− +±
±
∂=
∂ ∫ (B.2)
2
' ' 22 0
0
( ) ( )R
z zVD e J d
zγλ γ λρ λ λ
ρ±
∞− +±
±
∂= −
∂ ∂ ∫ (B.3)
' ' 22 0
0
1 1( ) ( )
Rz zV
D e J dγλ λρ λ λρ ρ ρ
±
∞− +±∂
=∂ ∫ (B.4)
'2 0
0
( ) ( )z zRV D e J dγλ λρ λ λ±
∞− +
± = ∫ (B.5)
'1 0
0
( ) ( )z zRU D e J dγλ λρ λ λ±
∞− +
± = ∫ (B.6)
U ovom radu je primijeniti postupak numeričkog rješavanja razvijen u [1] i [2] te
korišten u [3]. Naime u [1] su detaljno ispitana svojstva podintegralnih funkcija u
integralima (B.1) do (B.6) kako bi se odabrao najpovoljniji postupak numeričkog
integriranja. U nastavku će se samo kratko prikazati konačni rezultati te analize i postupak
integracije.
Integrali (B.1) do (B.6) se rješavaju numeričkom integracijom duž kontura u
kompleksnoj λ ravnini, jer se pokazalo da takvo rješavanje puno efikasnije nego
Prilog B - Numeričko rješavanje Sommerfeld-ovih integrala
207
integriranje duž realne osi. Budući su sve podintegralne funkcije vrlo slične, osnovni
koncept će biti prikazan na primjeru proračuna RV+ . Podintegralne funkcije imaju
razgranišne linije reza (eng. branch cut) od k−± do beskonačnosti i od k+± do
beskonačnosti zbog kvadratnih korijena u γ − odnosno γ + . Linije reza su odabrane da budu
vertikalne kako je prikazano na slikama 1 do 3.
Da bi se postigla vrlo brza konvergencija numeričkog integriranja potrebno je
iskoristiti eksponencijalno ponašanje eksponencijalne i Bessel-ove funkcije za veliki λ. U
svrhu optimiziranja konvergencije, kontura integracije se izmješta iz realne osi u
kompleksnu ravninu izbjegavajući linije reza i uzimajući u obzir polove.
Slika B.1 Kontura za proračun integrala s Bessel-ovom funkcijom
Kontura koja se koristi za proračun Sommerfeld-ovih integrala s Bessel-ovim
funkcijama je prikaza na slici B.1. U tom slučaju dominantan faktor za brzu konvergenciju
je eksponencijalna funkcija kada se povećava Rλ . Bessel-ova funkcija s povećanjem Rλ
oscilira uz sporu konvergenciju te eksponencijalno raste s porastom Iλ . Ovo ograničava
konturu na mali Iρ λ , i od male je pomoći kod konvergencije. Lom konture je u točki
p jpλ = + gdje je p jednako:
Prilog B - Numeričko rješavanje Sommerfeld-ovih integrala
208
1 1
min ,'
pz zρ
=
+ (B.7)
Integracija po ovoj konturi postaje zahtjevna za mali ( )'z z ρ+ budući da postoji mnogo
oscilacija Bessel-ove funkcije prije konvergencije. U tom slučaju se koristi alternativni
oblik integrala (B.5) s Hankel-ovom funkcijom:
' (2)2 0
1( ) ( )
2z zRV D e H dγλ λρ λ λ±
+∞− +
±
−∞
= ∫ (B.8)
Budući da Hankel-ova funkcija drugog tipa opada eksponencijalno kada Iλ postane
negativan, ona pruža jako brzu konvergenciju bez obzira na utjecaj eksponencijalne
funkcije. Osnovna kontura za proračun integrala s Hankel-ovom funkcijom je prikazan na
slici B.2, gdje su:
( )
( )
0.4
0.6 0.2
1.02 0.2
1.01Re( ) 0.99 Im( )
'
a j k
b j k
c j k
d k j k
z zarctgθ
ρ
+
+
+
− −
= −
= +
= +
= +
+=
(B.9)
Prilog B - Numeričko rješavanje Sommerfeld-ovih integrala
209
Slika B.2 Kontura za proračun integrala s Hankel-ovom funkcijom
Ova kontura pruža jako brzu konvergenciju osim u slučaju kada je 'z z+ mali, kρ − veliki
i Im( ) / Re( )k k− − mali. Tada postoji mogućnost da dođe do oscilacija između c i d s jako
malo konvergencije. U tom slučaju se koristi kontura prikazana na slici B.3, gdje su:
( 0.1 0.2)
(0.1 0.2)
e k j
f k j−
−
= + − +
= + + (B.10)
Prilog B - Numeričko rješavanje Sommerfeld-ovih integrala
210
Slika B.3 Kontura za proračun integrala s Hankel-ovom funkcijom i Re( ) Im( )k k− −
Dakle oblik s Hankel-ovom funkcijom se koristi kada je ( )' / 2z zρ > + dok oblik s Bessel-
ovom funkcijom u ostalim slučajevima.
Integracija duž kontura je provedena adaptivno Romberg-ovom integracijom. U
dijelovima konture gdje jedna granica teži u beskonačnost, primijenjena je adaptivna
Romberg-ova integracija potpomognuta s Shank-ovom nelinearnom transformacijom kako
bi se ubrzala konvergencija.
B.1. Literatura
[1] Lytle R.J., lager D. L.: Numerical Evaluation of Sommerfeld Integrals, UCRL-51688, Lawrence Livermore Laboratory, University of California, October 1974;
[2] Lytle R.J., lager D. L.: FORTRAN Subrutines for the Numerical Evaluation of Sommerfeld Integrals Unter Anderem, UCRL-51821, Lawrence Livermore Laboratory, University of California, May 1975
[3] Burke, G. J., Poggio, A. J.: NEC - program description Theory, Program, 1981.
Prilog C - Matematički dokaz
211
PRILOG C MATEMATIČKI DOKAZ
Prilog C donosi dokaz izraza (3.11) korištenog u trećem poglavlju pri izvodu nejake
formulacije GMIMRE:
0 0( , ') ' ( , ')g s s g s s∇ = −∇ (C.1)
gdje se operator nabla može napisati kao:
x y ze e ex y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂ (C.2)
nabla crtano:
'' ' '
x y ze e ex y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂ (C.3)
te Grenn-ova funkcija:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2' ' '
0 2 2 2 2( , ')
' ' '
jk x x y y z z aeg s s
x x y y z z a
− − + − + − +
=− + − + − +
(C.4)
Lijeva strana izraza (C.1) je tada određena sa:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2' ' '
2 2 2 2L
' ' '
jk x x y y z z a
x y ze
e e ex y z x x y y z z a
− − + − + − + ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ − + − + − +
(C.5)
Dok je desna strana određena sa:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2' ' '
2 2 2 2D
' ' ' ' ' '
jk x x y y z z a
x y ze
e e ex y z x x y y z z a
− − + − + − + ∂ ∂ ∂ = − + + ∂ ∂ ∂ − + − + − +
(C.6)
Prilog C - Matematički dokaz
212
Tada su komponente lijeve odnosno desne strane dane sa:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2' ' '
2 2 2 2L
' ' '
jk x x y y z z a
x
e
x x x y y z z a
− − + − + − + ∂ = ∂ − + − + − +
(C.7)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2' ' '
2 2 2 2L
' ' '
jk x x y y z z a
y
e
y x x y y z z a
− − + − + − + ∂ = ∂ − + − + − +
(C.8)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2' ' '
z 2 2 2 2L
' ' '
jk x x y y z z ae
z x x y y z z a
− − + − + − + ∂ = ∂ − + − + − +
(C.9)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2' ' '
2 2 2 2D
' ' ' '
jk x x y y z z a
x
e
x x x y y z z a
− − + − + − + ∂ = − ∂ − + − + − +
(C.10)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2' ' '
y 2 2 2 2D
' ' ' '
jk x x y y z z ae
y x x y y z z a
− − + − + − + ∂ = − ∂ − + − + − +
(C.11)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2' ' '
z 2 2 2 2D
' ' ' '
jk x x y y z z ae
z x x y y z z a
− − + − + − + ∂ = − ∂ − + − + − +
(C.12)
Budući da se komponente dobivaju na identičan način dovoljno je dokazati da je npr.
L =Dx x da bi dokazali (C.1).
Provođenjem parcijalne derivacije na izraz (C.7) dobiva se:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 21
2 2' '2
2
( ') ' * 'L
'
jk x x K jk x x K
x
x x x x K jk e x x K e
x x K
−− − + − − + − − + − − + + =
− +(C.13)
gdje je ( ) ( )2 2 2' 'K y y z z a= − + − + i služi jednostavnijem zspisu, dok provođenjem
parcijalne derivacije u izrazu (C.10) slijedi:
Prilog C - Matematički dokaz
213
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 21
2 2' '2
2
( ') ' * 'D
'
jk x x K jk x x K
x
x x x x K jk e x x K e
x x K
−− − + − − + − − + − − + + =
− +(C.14)
Usporedbom izraza (C.13) i (C.14) jasno slijedi da je L =Dx x , čime je i dokazana tvrdnja iz
(C.1).
Science never solves a problem without creating ten more.
George Bernard Shaw
Životopis
ŽIVOTOPIS
Damir Čavka je rođen 5. siječnja 1982. godine u Splitu. Nakon završetka osnovne škole 1996. godine, upisuje III. gimnaziju u Splitu, prirodoslovno-matematički smjer, gdje uspješno maturira 2000. godine s izvrsnim uspjehom. Iste godine upisuje studij elektrotehnike, smjer elektronika, na Fakultetu elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu. U travnju 2005. godine diplomira s izvrsnim uspjehom, pod mentorstvom prof.dr.sc. Dragana Poljaka, s temom diplomskog rada „Mjerenje elektromagnetskog zračenja GSM bazne stanice“. Tokom studija je aktivno sudjelovao u nastavi kao demonstrator na nekoliko kolegija. Stručnu industrijsku praksu u trajanju od pet tjedana je uspješno odradio u inozemstvu u Cyprus Telecommunications Authority-u, Cipar. U listopadu 2005. godine upisuje poslijediplomski znanstveni studij Environmental Electromagnetic Compatibility, koji se izvodi u suradnji FESB-a, Split i Wessex Institute of Technology (WIT), UK. U sklopu tog studija provodi tri mjeseca na WIT-u, u ljeto 2006. godine.
Magistarski rad je obranio u Southampton-u 14. rujna 2007. godine na temu „Human Exposure to Electrostatic Field Generated by Video Display Units“, pod mentorstvom prof.dr.sc. Dragana Poljaka i prof.dr.sc. Andres Peratta-e, te time stekao pravo na titulu Master of Philosophy (MPhil), dodijeljenu od strane Sveučilišta u Wales-u, UK (University of Wales).
Poslijediplomski doktorski studij Elektrotehnike i informacijske tehnologije na FESB-u, upisao je 2007. godine, pri čemu mu je odobren direktan upis u četvrti semestar na temelju završenog poslijediplomskog magistarskog studija.
Od 01.05.2006. godine je zaposlen na FESB-u kao znanstveni novak na projektu „Utjecaj elektromagnetske interferencije na električnu opremu i ljude“ (0023010) glavnog istraživača prof.dr.sc. Dragana Poljaka, dok od ožujka 2007. godine radi na projektu „Modeliranje ljudskog tijela i izvora zračenja: okolišni i zdravstveni aspekti“ (023-0231582-1585) glavnog istraživača prof.dr.sc. Dragana Poljaka, na kojem i danas radi.
Kao asistent sudjeluje u nastavi, izvodeći auditorne i/ili laboratorijske vježbe na kolegijima Elektrotehnika, Osnove elektrotehnike 2, Numeričke metode u elektronici, Numeričke metode u komunikacijama, Izloženost ljudi elektromagnetskom zračenju, Elektromagnetska ekologija i dozimetrija, Elektromagnetska kompatibilnost i Polja i valovi u elektronici.
Njegovo područje istraživanja uključuje numeričko modeliranje žičanih struktura u frekvencijskom području primjenom teorije antena kao i primjenu tih modela u elektromagnetskoj kompatibilnosti te utjecaj elektromagnetskog zračenja na ljude.
U sklopu ERASMUS programa, u studenome 2009. godine je proveo tjedan dana na stručnom usavršavanju na Blaise Pascale University, Clermont Ferrand, Francuska.
Do danas je u svojstvu autora i koautora objavio ukupno 14 znanstvenih radova na skupovima s međunarodnom recenzijom, jedan stručni rad te nekoliko stručnih elaborata.
Biography
BIOGRAPHY
Damir Čavka was born in Split on January 5th 1982. After finishing eight year elementary school in 1996, he attended science high school where he graduated in 2000. Same year he enrolls in the study of electronics at the University of Split, Faculty of electrical engineering, mechanical engineering and naval architecture. In April 2005 he graduated with honors under the supervision of Prof. Dragan Poljak, with the thesis untitled “GSM base station electromagnetic radiation measurement”. During the study he was actively involved in teaching process as a teaching assistant in several courses. Within the study, he spent five weeks in Cyprus Telecommunications Authority, Cyprus performing his professional industrial training. In October 2005 he received scholarship from British Foreign Office for a study of Environmental Electromagnetic Compatibility which was organized by Faculty of electrical engineering, mechanical engineering and naval architecture and Wessex Institute of Technology (WIT), UK. As a part of the study he spent three months at WIT performing research for Mphil thesis. In September 2007 he received MPhil degree from the University of Wales, UK with a thesis untitled “Human Exposure to Electrostatic Field Generated by Video Display Units”. The thesis was written under the supervision of Prof. Dragan Poljak and Prof. Andres Peratta. In October 2007 he entered the PhD program at the University of Split, Faculty of electrical engineering, mechanical engineering and naval architecture. Since May 2006 Damir has been employed at Faculty of electrical engineering, mechanical engineering and naval architecture as a researcher on the projects “Influence of electromagnetic interference on electrical equipment and humans“ and “Modeling of the Human Body and Radiation Sources: Environmental and Health Aspects” under the supervision of lead researcher Prof. Dragan Poljak. As a teaching assistant he is involved in several courses including Electrical Engineering Fundamentals, Numerical Methods in Electrical Engineering, Human Exposure to Electromagnetic Fields, Electromagnetic compatibility and Electromagnetic Fields and Waves. His research interests include frequency domain computational methods in electromagnetic compatibility, particularly in the numerical modeling of wire structures using antenna theory and human exposure to electromagnetic fields. In 2009 Damir visited Blaise Pascale University, Clermont Ferrand, France as a part of professional training within ERASMUS program. To date Damir Čavka has published 14 conference papers in the area of computational electromagnetic compatibility and several professional studies.