SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET

MATEMATIČKI ODSJEK

NAČELO HISTORIČNOSTI – STAROGRČKI

MATEMATIČARI

Seminarski rad Metodika nastave matematike 2

Katarina Maruna, Petra Maruna

Zagreb, 2017.

Sadržaj Uvod ........................................................................................................................................................ 1

1. Tales ................................................................................................................................................ 2

1.1 Životopis ........................................................................................................................................ 2

1.2 Talesovi teoremi ............................................................................................................................ 2

1.3 Osnovna škola ............................................................................................................................... 3

1.4 Srednja škola ................................................................................................................................. 3

2. Pitagora ............................................................................................................................................ 4

2.1 Životopis ........................................................................................................................................ 4

2.2 Pitagorejska škola .......................................................................................................................... 4

2.3 Najpoznatiji Pitagorini doprinosi .................................................................................................. 5

3. Euklid .............................................................................................................................................. 6

3.1 Životopis ........................................................................................................................................ 6

3.3 Elementi ........................................................................................................................................ 6

3.4 Postulati ......................................................................................................................................... 6

4. Arhimed ........................................................................................................................................... 7

4.1 Životopis ........................................................................................................................................ 7

4.1.1 Poznata anegdota .................................................................................................................... 8

4.3 Poznati doprinosi matematici ........................................................................................................ 8

4.4 Pojmovi vezani uz Arhimeda ........................................................................................................ 8

4.4.1 Arhimedova spirala ................................................................................................................ 8

4.4.2 Arhimedov aksiom ................................................................................................................. 8

4.4.3 Glavna djela ............................................................................................................................ 9

5. Apolonije iz Perge ........................................................................................................................... 9

5.1 Životopis ........................................................................................................................................ 9

5.2 Glavna djela ................................................................................................................................... 9

5.2.1 Konusni presjeci ili Konike ................................................................................................... 9

5.2.2 Tangencies ............................................................................................................................ 10

5.3 Pojmovi vezani uz Apolonija ...................................................................................................... 10

5.3.1 Apolonijev problem .............................................................................................................. 10

5.3.2 Apolonijeva kružnica ........................................................................................................... 10

6. Heron ............................................................................................................................................. 10

6.3 Otkrića ......................................................................................................................................... 11

7. Menelaj Aleksandrijski .................................................................................................................. 12

7.1 Životopis ...................................................................................................................................... 12

7.2 Menelajev teorem ........................................................................................................................ 12

8. Ptolomej ........................................................................................................................................ 12

8.1 Životopis ...................................................................................................................................... 12

8.2 Pojmovi vezani uz Ptolomeja: ..................................................................................................... 13

8.2.1 Ptolemejev poučak ............................................................................................................... 13

8.2.2 Ptolomejev sustav ................................................................................................................. 13

9. Zaključak ....................................................................................................................................... 14

10. Literatura ................................................................................................................................... 15

1

Uvod

U ovom seminaru osvrnule smo se na biografije i stvaralaštvo nekolicine uglednih starogrčkih

matematičara točnije ovaj seminar bavit će se životom i radom: Talesa, Euklida, Arhimeda,

Pitagore, Apolonija, Menelaja, Ptolomeja, Herona. Kratko smo prikazali njihovo znanstveno

djelovanje, povijesne okolnosti u kojima su živjeli te čime su pridonijeli matematici, te koja

od njihovih otkrića i danas koristimo u školskoj matematici. Na vremenskoj crti može se

vidjeti tko je kada živio te s kim se za života mogao susresti, no što je još važnije tko je

svojim razmišljanjima i otkrićima djelovao na koga.

2

1. Tales

1.1 Životopis

Tales Milećanin rođen je u Miletu, Mala Azija, 640. ili 624. pr. Kr. – oko 547. pr. Kr., grčki

filozof predsokratovac, tradicionalno se smatra prvim zapadnjačkim filozofom i ocem

znanosti. Bio je prvi grčki matematičar, astronom i filozof. Aktivno je djelovao na gotovo

svim područjima društvenog života onog vremena. Njegova se genijalna svestranost odrazila

na sva područja tadašnjeg života. Bio je polihistoričar, prirodnjak, graditelj, političar, trgovac,

a ujedno i ugledni građanin Mileta. Godine 582. (prije nove ere) prorekao je pomrčinu Sunca.

Ovo je bilo novo otkriće, obzirom da je za to doba bilo uobičajeno predviđanje pomrčine

Mjeseca. Zbog tog je događaja Tales uvršten među sedam legendarnih mudraca i tako postao

prvi filozof i matematičar koji je uvršten među njih. Navedena „titula“ (mudraca) je bila

nagrada genijalnosti, a ne titula razine obrazovanja. Prema raznim predajama, nikad se nije

ženio i nije imao djece, ali je posvojio i odgojio sestrinog sina.

1.2 Talesovi teoremi

Iako je Tales bio zaista svestran, teško je odrediti njegova točna zaključivanja, budući da ništa

od njegovih znanstvenih i filozofskih spisa nije sačuvano. Ako je išta od svojih zaključaka

Tales i zabilježio, sve je izgubljeno već u Aristotelovo doba, 384. - 322. Godine prije novog

vijeka. Pretpostavlja se ipak da je, obzirom na dokazivanje geometrijskih problema, bilježio

svoje zaključke. Većina njegovih otkrića na području matematike pripada geometriji. Prema

Proklovim zapisima Talesu se pripisuje otkrivanje sljedećih teorema:

1. Krug je svakim svojem promjerom podijeljen na dva dijela jednakih površina.

2. Kutovi uz osnovicu jednakokračnog trokuta su jednaki.

3. Kutovi između dva pravca koji se sijeku su jednaki (misli se na vršne kutove!).

4. Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i dva kuta uz tu stranicu.

5. Kut nad promjerom kružnice je pravi.

Navedene tvrdnje su zapisane u obliku za koji se vjeruje da je najsličniji izvornom. Posljednji

po redu navedeni teorem (o kutu nad promjerom kružnice) je danas poznatiji kao Talesov

teorem. Povjesničari smatraju da je taj fenomen (iskaz teorema) prvi opisao upravo Tales -

bila je to novina koju nije preuzeo od Egipćana. Još jedan teorem, koji samo nosi ime po

Talesu je Talesov teorem o proporcionalnosti: Dva paralelna pravca na krakovima nekog kuta

odsijecaju proporcionalne dužine.

3

(𝑖)|𝑂𝐴|

|𝑂𝐵|=

|𝑂𝐴′|

|𝑂𝐵′|, (𝑖𝑖)

|𝑂𝐴|

|𝐴𝐵|=

|𝑂𝐴′|

|𝐴′𝐵′|, (𝑖𝑖𝑖)

|𝑂𝐴|

|𝑂𝐵|=

|𝐴𝐴′|

|𝐵𝐵′|

Navedeni je teorem dokazao Euklid. U svom djelu, Elementi, dokazao je proporcionalnost

površina trokuta jednakih visina, tj. upravo ovaj teorem, interpretiran na drugi način.

1.3 Osnovna škola

U petom razredu osnovne škole učenici ponavljajući pojmove kružnice i kruga (koje su

naučili u nižim razredima), uče novi pojam – promjer kruga. U udžbeniku za peti razred tako

susrećemo teorem o površini kruga u sljedećem obliku: Svaki promjer dijeli krug na dva

polukruga. To je sve što se o tom teoremu, u tom trenutku, spominje. Idući po redu je teorem

o vršnim kutovima. Teorem se samo iskazuje, ali se dokaz ne radi. Taj se teorem potom

primjenjuje u najjednostavnijim zadacima. Teorem o vršnim kutovima u istom obliku

ponavljaju u šestom razredu gdje je naglasak na rješavanju zadataka primjenom istog. U

otkrivanju pravilnosti, da se nasuprot jednakim stranicama u trokutu nalaze jednaki kutovi, ali

i da se nasuprot jednakih kutova u trokutu nalaze jednake stranice, možemo se poslužiti

mjerenjem. Prednost mjerenja je ta da učenici mogu, npr. nacrtati, razne trokute

(jednakokračne) te na više primjera uočiti istu pravilnost. Na njihovoj razini zaključivanja to

je dokaz (uvjerenje), da ta pravilnost vrijedi. Trenutak kada učenici uče razmjere i

proporcionalnost je onaj kada uče i Talesov teorem o proporcionalnosti, najpoznatiji teorem u

školskoj matematici. To je jedno od područja matematike koje (zbog zaista nepoznatog

razloga) učenicima stvara velike probleme. Bez obzira na mnoštvo realnih primjera (kao što je

npr. mjerenje udaljenosti broda od obale, učenici teorem teško primjenjuju u zadacima. Na

kraju, učeći pojmove obodnog i središnjeg kuta, učenici otkrivaju i teorem o obodnom kutu

nad promjerom kružnice. Da je svaki obodni kut nad promjerom kružnice pravi, učenici se

također mogu uvjeriti mjerenjem.

1.4 Srednja škola

Po gimnazijskom programu, u prvom razredu učenici susreću (ponavljaju) sve Talesove

teoreme. Učenici ponavljaju i proširuju svoje znanje na području sukladnosti i sličnosti te

4

pojmova kružnice i kruga. Prvi po redu teorem s kojim se učenici susreću je teorem o vršnim

kutovima. Ni na ovoj razini obrazovanja se taj teorem ne dokazuje. Teorem o

jednakokračnom trokutu se spominje kao specijalan slučaj (primjer) teorema o sukladnosti

pravokutnih trokuta te se dokazuje. Ipak, i u srednjoj školi je najveći naglasak na teoremu o

proporcionalnosti. Dokaz ovog teorema je više na opisnoj razini, bez strogih matematičkih

objašnjenja. Sam teorem učenici „usvajaju“ rješavanjem primjera. Preostaju nam teoremi o

površini kruga i kutu nad promjerom kružnice. S obzirom na to da je jedna od tema koju

učenici obrađuju i površina kruga, teorem o površini možemo navesti kao primjer. Naime,

teorem kao teorem se niti ne spominje. Talesov teorem o obodnom kutu se spominje kao

poseban slučaj poučka o obodnom kutu, te se na taj način i dokazuje.

2. Pitagora

2.1 Životopis

Pitagora (oko 582. - 496. pr. Kr.) je rođen na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i

zaslužnog trgovca s kojim je mnogo putovao. Na tim se putovanjima mladi Pitagora susreo s

mnogim učiteljima i misliocima iz onog vremena koji su ga poučavali filozofiji i znanosti.

Jedan od tih učitelja bio je i glasoviti Tales iz Mileta. U to je vrijeme Tales bio star čovjek i

njegova su otkrića utjecala da se Pitagora još više zainteresira za matematiku i astronomiju, te

je savjetovao Pitagoru da otputuje u Egipat gdje će još više naučiti o područjima koja ga

zanimaju. U Egipatu provodi 10 godina kao hramski svećenik. Nakon što Perzijsko Carstvo

napalo i okupiralo Egipat kao i mnogi njegovi suvremenici, odveden je kao ratni zarobljenik u

Babilon. Tamo je mnogo naučio o njihovoj religiji, znanosti i kulturi. Nakon 5 godina

zarobljeništva, vraća se na Samos. Na Samosu osniva školu, pod nazivom "Polukrug", koja je

i stoljećima kasnije mještanima otoka služila kao okupljalište mislioca. Međutim, zbog

metoda, strogosti i načina mišljenja koje su bile vrlo slične onima koje je naučio u Egiptu,

stanovnici sa Samosa, naučeni na drugačiji način mišljenja, nisu bili zadovoljni Pitagorinim

poučavanjem. Zato odlazi u južnu Italiju, u grad Krotonu (današnja Crotona) gdje je stekao

mnoge sljedbenike. Osnovao je matematičku školu koju danas nazivamo Pitagorejskom

školom, a njegove sljedbenike Pitagorejcima. Ne zna se točan datum i okolnosti Pitagorine

smrti. Legenda kaže da je Pitagorejsku školu napao zao i okrutan grof iz Krotona koji je želio

ući među Pitagorejce, ali mu je zahtjev odbijen zbog njegove zle naravi te da su Pitagorejci

morali potražiti utočište u bijegu. Pitagora je također pobjegao iz Krotona u Mezopotamiju

gdje je vjerojatno i umro.

2.2 Pitagorejska škola

Društvo se sastojalo od dva kruga: unutrašnji krug činili su učitelji i matematičari, a vanjski

učenici. Naglasak je bio na tajnosti i zajedništvu, tako da je danas teško odgonetnuti što je rad

samog Pitagore, a što njegovih učenika. Ono što je sigurno, je da je njegova škola dala velik

doprinos matematici. No, Pitagorejci nisu radili matematiku u atmosferi kakvu mi danas

5

imamo u školama i na fakultetima. Nije bilo zadataka koje bi trebalo riješiti, nije bilo

otvorenih problema s kojima bi se trebalo uhvatiti u koštac. Pitagorejce su zanimale osnove

matematike, pojam broja, trokuta i ostalih matematičkih likova, te apstraktna ideja dokaza.

Što se moralnog života Pitagorejaca tiče, Pitagora je njegovao i promicao prijateljstvo,

nesebičnost i iskrenost. I nakon Pitagorine smrti Pitagorejska škola je još dugo bila na okupu.

S vremenom škola se sve manje bavila znanošću, a sve više politikom i zato se uskoro

rascjepkala na grupice te je naposljetku zatvorena.

Evo poznatijih tvrdnji koje su dokazali Pitagorejci:

1. Pitagorin poučak

Kvadrat na hipotenuzi jednak je zbroju kvadrata na ostale dvije stranice u pravokutnom

trokutu (Pitagorin poučak). Primijetimo ovdje da Pitagorejcima "kvadrat" nije označavao

množenje duljine stranice sa samom sobom, već je označavao jednostavno geometrijski

lik kvadrat konstruiran na stranici.

2. Otkriće iracionalnih brojeva

Pitagorejci su čvrsto vjerovali da se sve može prikazati u obliku broja, pri čemu je svaki

broj kvocijent dva cijela broja. Međutim, kada su pokušali izmjeriti hipotenuzu

jednakokračnog pravokutnog trokuta, došli su do zaključka da se ona ne može prikazati

kao kvocijent dva cijela broja i to ih je užasnulo. Zapravo, činjenica da postoje brojevi

koji se ne mogu prikazati kao omjer dva prirodna broja čuvali u tajnosti kako ne bi izašla

na vidjelo.

2.3 Najpoznatiji Pitagorini doprinosi

Naravno, mi danas pamtimo Pitagoru po poznatom Pitagorinom poučku. Iako je taj poučak

nazvan po Pitagori, on je bio poznat još i starim Babiloncima 1000 godina prije nego što se

Pitagora rodio. Naime, Pitagora nije prvi otkrio Pitagorin teorem (kako to mnogi brzopleto

govore), već je Pitagora bio prvi koji je dokazao taj teorem i zato se on naziva Pitagorin

poučak.

Pitagora je proučavao svojstva prirodnih brojeva koja su i dan danas poznata, kao na primjer

parni i neparni brojevi, savršeni brojevi itd. Smatra se da je sam Pitagora znao kako

konstruirati prva tri pravilna Platonova tijela (tetraedar, heksaedar (kocka), oktaedar,

dodekaedar, ikosaedar), ali ne i posljednja dva. Pojam vezan uz Pitagoru je i Pitagorina trojka

ili Pitagorini brojevi. To uređena trojka prirodnih brojeva 𝑥, 𝑦, 𝑧 koji zadovoljavaju diofantsku

jednadžbu 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2. Sva rješenja te jednadžbe, tj. sve Pitagorine trojke dane su sa:

𝑥 = 𝑚2 + 𝑛2; 𝑦 = 2𝑚𝑛; 𝑧 = 𝑚2 + 𝑛2 gdje su 𝑚 i 𝑛 proizvoljni prirodni brojevi. Na primjer,

za 𝑚 = 2, 𝑛 = 1, dobijemo Pitagorinu trojku (3, 4, 5).

6

Osim matematikom Pitagora se bavio i astronomijom. Prepoznao da se Mjesečeva putanja

nalazi pod kutom u odnosu na ekvator. Bio jedan od prvih koji je primijetio da je Venera kao

večernja zvijezda bila isti planet kao Venera kao jutarnja zvijezda. Na području glazbe

poznato je Pitagorino opažanje da žice glazbala proizvode tonove u harmoniji kada su

koeficijenti duljina tih žica cijeli brojevi. Pitagora je jako pridonio stvaranju matematičke

teorije muzike. Bio je vrstan glazbenik, svirao je liru i koristio je glazbu kao sredstvo liječenja

bolesnika (muzikoterapija).

3. Euklid

3.1 Životopis

Euklid je živio oko 330. g. pr. Kr. do oko 275. g. pr. Kr. Bio je starogrčki matematičar. Euklid

je iz Atene. Živio je i radio u Aleksandriji gdje je osnovao matematičku školu. Napisao je

brojna djela, od kojih neka nisu sačuvana i poznata su samo po naslovu. Sačuvana djela su:

Elementi (u kojoj se govori o geometriji kao znanosti o prostoru) u 13 knjiga, Data ( o

uvjetima zadavanja nekog matematičkog objekta), Optika ( s teorijom perspektive), i drugo. U

odnosu na druga znanstvena područja, geometrija je dostigla zavidan nivo oko 300. g. pr. Kr.

pojavom djela Elementi. Tada u matematici geometrija dominira, pa su i brojevi interpretirani

geometrijski. Euklid je pokušao da izlaganje bude strogo deduktivno i upravo zbog te

dosljednosti Elementi su stoljećima smatrani najsavršenijim matematičkim djelom. Posebnu

pažnju su privlačili aksiomi i postulati. U ovoj knjizi su sadržana sva saznanja i otkrića do

kojih su došli Euklid te njegovi prethodnici i suvremenici u geometriji, teoriji brojeva i

algebri. Također, dokazana su i 464 teorema na način koji je i danas besprijekoran.

3.3 Elementi

Euklidovi Elementi su matematički spisi objavljeni oko 300. g. pr. Kr. u 13 knjiga. Njihovo

značenje je u tome što je to bio jako uspješan pokušaj sustavnog izlaganja cjelokupne

elementarne geometrije na aksiomatskoj osnovi da su stoljećima bili nenadmašen uzor stroge

znanstvene dedukcije. Sve do 19. stoljeća oni su bili i osnovni udžbenik geometrije, a

doživjeli su više od 500 izdanja na mnogim jezicima, čak je dio prve knjige preveden i na

hrvatski. Nije se sačuvao izvorni tekst Euklidovih Elemenata, pa se ne zna točno što je u

njima izvorni Euklidov prilog, no on je svakako velik. U knjigama od I. do VI. obrađena je

planimetrija, od VII. do X. aritmetika i teorija brojeva u geometrijskom obliku, a od XI. do

XIII. stereometrija. Za načelna pitanja geometrijske aksiomatike najvažnija je I. knjiga jer su

u njoj skupljeni svi aksiomi na kojima se zasnivaju Euklidovi Elementi.

3.4 Postulati

1. Dvije točke određuju segment pravca (dužinu).

2. Dužinu je moguće produžiti u beskonačnost (na oba njena kraja, čime se dobiva

pravac).

7

3. Zadani segment pravca definira kružnicu (jedan kraj segmenta je središte, a duljina

segmenta je polumjer).

4. Svi pravi kutovi su jednaki (kongruentni).

5. Ako pravac siječe dva pravca tako da je zbroj kuteva s iste strane manji od dva prava

kuta, onda se ta dva pravca (ako se dovoljno produže) sijeku.

Peti aksiom je zapravo ekvivalentan nama poznatijem obliku tog aksioma: „Neka je zadan

pravac i točka izvan tog pravca. Tada tom točkom prolazi točno jedan pravac koji je paralelan

sa zadanim pravcem.“

Među njima je, zbog svoje složenosti i eksperimentalne neočitosti, najveću pozornost

privukao takozvani 5. postulat. Jedan od najpoznatijih matematičkih problema, takozvani

problem 5. postulata, ili problem paralela, traži da se 5. postulat dokaže na osnovi ostalih

aksioma, i time se sam izbriše iz popisa aksioma. Bilo je mnoštvo neuspjelih pokušaja

rješavanja toga problema. U 19. stoljeću uvidjelo se da je 5. postulat doista aksiom neovisan o

ostalima pa se zato ne može izvesti iz ostalih. Najpoznatija anegdota o Euklidu (autor je

Proklo), kaže kako je Euklid išao faraonu Ptolemeju pokazati svoju knjigu Elementi. Faraon

ga je upitao: „Postoji li lakši način do matematike od proučavanja Elemenata?“ Ovaj je

odgovorio: „Da, postoji.“ Faraon ga upita: „Postoji li kraljevski način do matematike?“ Euklid

mu odgovori: „Ne, ne postoji. Onaj tko želi shvatiti matematiku mora raditi. Isto vrijedi i za

kraljeve.“

4. Arhimed

4.1 Životopis

Arhimed iz Sirakuze (oko 287.-212. pr. Kr.) bio je grčki fizičar, astronom i jedan od najvećih

matematičara starog vijeka. Neko vrijeme boravio u Aleksandriji, ali je najveći dio života

proveo u rodnom gradu. Njegov je otac bio Fidija, astronom i matematičar je svog sina naučio

svemu što je sam znao. Zbog školovanja Arhimed odlazi u Aleksandriju koja je tada bila

središte znanosti. U Aleksandriji susreće Eratostena s kojim postaje dobar prijatelj. Nepisano

pravilo je nalagao da svako otkriće prije objavljivanja mora biti poslano nekom drugom

matematičaru na provjeru. Tako su vršnjaci Arhimed i Eratosten sve do Arhimedove smrti

izmjenjivali brojna pisma u kojima su se nalazila gotovo sva otkrića i jednog i drugog. Nakon

što su Sirakuzu napali Rimljani Arhimed je spremno branio rodni grad. Postao legendaran po

svom tehničkom umijeću konstrukcije ratnih strojeva i pripisuju mu se mnoge ratne sprave

(parabolična zrcala za paljenje brodova ili Arhimedove zrake smrti, Arhimedova kandža,

najjači katapult u antici), ali nema valjanih dokaza da su uistinu bile izrađene i korištene.

Pojmovi koji se i danas vežu uz Arhimeda su: Arhimedov zakon, Arhimedov vijak,

hidrostatički paradoks, poluga.

8

4.1.1 Poznata anegdota

Anegdota govori kako je Arhimed otkrio da zlatna kruna, napravljena za kralja nije od čistog

zlata. Pri tom nije smio oštetiti krunu. Problem je bio kako odrediti volumen krune pomoću

kojeg bi se uz poznatu masu, odredila gustoća zlata. Rješenje je došlo za vrijeme kupanja.

Primijetio je da se ulaskom u kadu podigao nivo vode. Shvatio je da je to način kojim bi se

mogao izračunati i obujam krune. Dijeljenjem mase krune s njenim obujmom izračunala bi se

gustoća metala u kruni. Manja gustoća od gustoće zlata značilo bi da je zlatu dodano srebro. I

odatle čuvena izreka: Heureka! Heureka! (otkrio sam) i trk iz gradskog kupatila. Arhimeda bi

često zaboravljao na prilike u kojima se nalazi pa pojedinim trenucima ne bi vidio ništa drugo

osim problema kojem se posvetio.

4.3 Poznati doprinosi matematici

Da je omjer opsega kružnice i promjera isti za sve kružnice te iznosi malo više od 3 znali su

Egipćani, Babilonci, Indijci i Grci ali upravo Arhimed daje točnu aproksimaciju vrijednost

broja π o čemu govori u raspravi „O mjerenju kruga”. Upisivanjem pravilnih poligona od 6,

12, 24, 38 i 96 stranica u krug i njihovim opisivanjem oko kruga, Arhimed je našao da se

vrijednost broja π nalazi u području od 371 do 371

10 (a to odgovara približnoj vrijednosti 3.14).

Proširenjem te metode na druge slučajeve, ne samo u ravnini već i u prostoru, Arhimed je na

vješt način izveo mnoge površine likova i volumene tijela. Osobito je važan njegov rezultat da

se volumeni stošca, kugle i valjka jednakih polumjera i visina odnose kao 1 : 2 : 3.

4.4 Pojmovi vezani uz Arhimeda

4.4.1 Arhimedova spirala

Arhimedova spirala je transcendentna krivulja koja nastaje kada točka, polazeći iz ishodišta,

jednolično obilazi ishodište i jednolično se udaljuje od njega; udaljenost neke točke

Arhimedove spirale od ishodišta razmjerna je pripadnom kutu zakreta.

Slika1. Arhimedova spirala

4.4.2 Arhimedov aksiom

Arhimedov aksiom: Za svaka dva realna broja 𝑎 > 0 i 𝑏 > 0 postoji takav prirodni broj

𝑛 da je 𝑛𝑏 > 𝑎.

9

4.4.3 Glavna djela

Između sačuvanih Arhimedovih djela najvažnija su: O kvadraturi parabole, O sferoidima i

konoidima,O kugli i valjku ,O mjerenju kruga, O tijelima uronjenima u vodu ili o plivanju

tjelesa, Račun s pješčanim zrncima, O ravnoteži ravnih likova, Metoda.

5. Apolonije iz Perge

5.1 Životopis

Apolonije iz Perge ( 262. pr. Kr. – 190. pr. Kr.) bio je grčki matematičar, astronom poznat i

kao veliki geometar. Školovao se u Aleksandriji, a kao što mu i samo ime kaže nije bio rodom

iz Aleksandrije, ali zbog važnosti i prosperiteta koje je Aleksandrija imala u to doba,

školovanje i dio svoga rada na sveučilištu proveo je upravo tamo. Svoj rad najprije je započeo

na području astronomije. Nakon početaka u astronomiji, ostatak rada posvetio se matematici,

preciznije analitičkoj geometriji i konikama. Prvi je za konike upotrijebio nazive elipsa i

hiperbola (naziv parabola dolazi od Arhimeda) te je ustanovio da se sve te tri vrste presjeka

mogu dobiti presijecanjem stošca ravninom. „Konusni presjeci“ili „Konike“ su Apolonijevo

najpoznatije djelo koje je uzrokovalo dosta „bure“ s obzirom da je neobjavljeno djelo pod

istim imenom već napisao Arhimed, Apolonijev suparnik toga vremena na znanstvenom

polju, te je bio optužen za plagijat. Ta optužba nije bila istinita već se temeljila na političkim

manipulacijama i zavjerama koje su bile aktualne u to doba.

5.2 Glavna djela

5.2.1 Konusni presjeci ili Konike

U djelu potpuno i sustavno izučava konike. „Konike“ sastoje se od osam knjiga od kojih su

četiri do nas došle izvorno (sačuvane na grčkom jeziku), sljedeće tri sačuvane su na arapskom

prijevodu, a posljednja je izgubljena.

U prvoj knjizi Apolonije, promatra sva tri oblika krivulja drugog reda kao ravninske presjeka

jednog te istog, uspravnog ili kosog kružnog stošca čiji se plašt prostire na obje strane od

vrha. Dobiva elipsu, hiperbolu ili parabolu ovisno siječe li ravnina samo jedan plašt stošca,

oba ili je usporedna s jednom od izvodnica. Druga važna generalizacija je da stožac ne mora

biti pravilan (os mu je okomita na kružnu bazu), nego može biti i kosi, šiljasti ili tupi. Vrsta

krivulje ovisi o kutu ravnine pod kojim presiječemo stožac.

U drugoj knjizi govori o tangentama, konjugiranim dijametrima i asimptotama te dokazuje da,

koliko god da se produži, asimptota ne siječe niti dodiruje hiperbolu. U trećoj knjizi obrađuje

pojmove kao što su sekante konika, polovi i polare, te fokusi elipse i hiperbole. U četvrtoj

knjizi Apolonije uočava da broj sjecišta dviju konika nije veći od četiri.

10

5.2.2 Tangencies

U djelu „Tangencies“ Apolonije je opisao, problem danas poznat kao "Apolonijev problem".

Dana su tri elementa, to može biti točka, pravac ili kružnica. Treba nacrtati kružnicu koja je

tangenta na ostala 3 elementa. Taj problem uključuje deset slučajeva, od 2 najlakša (u kojem

su tri zadana elementa tri točke ili tri linije) do najtežih od svih (nacrtati kružnicu koja je

tangenta na tri kružnice). Smatralo se da Apolonije nije riješio zadnji slučaj te su taj problem

razmatrao kao izazov misaonih mogućnosti. Newton je bio među onima koji su dali rješenje

problema koristeći ravnalo i šestar.

5.3 Pojmovi vezani uz Apolonija

5.3.1 Apolonijev problem

Apolonijev problem je konstrukcijski geometrijski zadatak što ga je prvi postavio i riješio

Apolonije u djelu Elementi konika, a glasi: konstruiraj sve kružnice u ravnini koje dodiruju tri

zadane kružnice. Zadatak se može riješiti elementarno, to jest upotrebom ravnala i šestara.

5.3.2 Apolonijeva kružnica

Apolonijeva kružnica je skup točaka u ravnini za koje je omjer udaljenosti od dviju zadanih

točaka A i B stalan; ako je taj omjer jednak jedinici, Apolonijeva kružnica svodi se na

simetralu dužine AB.

Slika 2. Apolonijeva kružnica

6. Heron

6.1 Životopis

Heron je živio oko 10. g. n. e. – 70.g. n. e. bio je starogrčki matematičar i inženjer, koji je

živio u današnjoj Aleksandriji. Smatra se jednim od najvećih predstavnika znanosti u staroj

Grčkoj. Izvodio je mnogo pokusa, poučavao je u poznatom Muzeju, u čijem sklopu je bila

Aleksandrijska knjižnica. Najpoznatiji rad mu je bio Heronova kugla ili eolipile, koji se

smatra prvim parnim strojem u povijesti. Poznati izum mu je i vjetrenjača, kojom je koristio

energiju vjetra za sviranje na orguljama. Mnogi njegovi radovi su izgubljeni, ali neke njegove

radove možemo naći u arapskim rukopisima. Veliki utjecaj na njega je imala aritmetika i

11

geometrija iz Babilonskog carstva. Bavio se matematikom, mehanikom, fizikom i

pneumatikom.

6.2 Djela

Napisao je brojna djela, od kojih su neka ostala sačuvana. Dioptra u kojoj opisuje teodolite i

druge sprave za mjerenje zemljišta. Ovo njegovo djelo je toliko značajno da ga se s pravom

može smatrati ocem geodetske znanosti, a njegova Dioptra je najsavršeniji geodetski

instrument starog vijeka. U jednom poglavlju astronomskim metodama, odnosno,

utvrđivanjem razlike mjesnog vremena mjerenog pomoću mjesečevih pomrčina, utvrđuje

udaljenost između Aleksandrije i Rima. Pneumatika (Nauka o stlačenom zraku) u kojoj u

dvije knjige opisuje mehaničke sprave koje rade na zrak, paru ili tlak vode. Značajni su i

ostali njegovi radovi iz područja mehanike, metoda mjerenja, geometrije i stereometrije.

Belopoiika (O bacalačkim napravama) opisuje konstrukciju ratnih sprava. Bavio i mjerenjima

i to opisuje u radovima Metrika (Nauka o mjerenju), Geometroumena (Geometrija) i Stereo-

metroumena (Uvod u stereometriju). U prvoj knjizi Metrike dokazao je formulu za računanje

površine trokuta koja je po njemu nazvana Heronova formula. Ova formula mu je služila da

bez korištenja trigonometrije izračuna površinu poligonalnih likova.

6.3 Otkrića

Poznati su brojni Heronovi izumi i otkrića. Heronova kugla ili eolipile se smatra prvim

parnim strojem u povijesti. Heronova vjetrenjača je pokretala orgulje,i bila je jedan od prvih

primjera korištenja energije vjetra za pogon nekog uređaja. Poznat je i izum automat za svetu

vodu, koji je radio kada bi ubacili kovanice. Njegove izume najviše je koristilo starogrčko

kazalište. Zasigurno jedan od najvažnijih Heronovih izuma na području tehnike bila je vodena

pumpa. Jedno od njegovih najvećih matematičkih dostignuća bilo je otkriće zamišljenih ili

imaginarnih brojeva a ono po čemu ga pamte brojni studenti i učenici je zasigurno Heronova

formula.

Heronova formula omogućava izračunavanje površine trokuta, za što je dovoljno samo znati

duljinu stranica.

𝑃 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

𝑠 =𝑎 + 𝑏 + 𝑐

2

12

7. Menelaj Aleksandrijski

7.1 Životopis

Menelaj Aleksandrijski živio je oko 70 g. n.e. – 140. g. n.e. Bio je grčki matematičar i

astronom. Vrlo malo zna o Menelajevom životu, no pretpostavlja se da je živio u Rimu, gdje

se vjerojatno preselio nakon što je proveo mladost u Aleksandriji. Bavio se geometrijom sfere

i njezinom primjenom u astronomiji, te se smatra se začetnikom sferne trigonometrije. U

arapskom prijevodu sačuvano je njegovo djelo Sferika. Djelo sadrži tri knjige u kojima se

razvija teorija sfernih trokuta. U prvoj knjizi, analogno Euklidovoj teoriji trokuta u ravnini,

sferni trokut definiran je kao trokut kojemu su stranice lukovi glavnih kružnica (kružnica sa

središtem u središtu sfere). U drugoj knjizi dana je primjena sferne trigonometrije u

astronomiji, a postojeće teoreme je Menelaj dokazao bolje nego prethodnici. U trećoj knjizi

nalazi se teorem koji se danas naziva Menelajev teorem. Bio je poznat u ravninskoj

geometriji, a Menelaj ga je dokazao u sfernoj. Njegovi suvremenici i nasljednici spominju

njegova do danas nesačuvana djela: Elementi geometrije, Knjiga o trokutu, O poznavanju

težine i njezine raspodjele u različitim tijelima. Po njemu je nazvan krater na Mjesecu

(Menelaus).

7.2 Menelajev teorem

Neka su točke 𝐵1 i 𝐶1 na stranicama 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ i 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , a točka 𝐴1 na produžetku stranice 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , trokuta

𝐴𝐵𝐶. Točke 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1 su kolinearne ako i samo ako vrijedi

|𝐴𝐶1|

|𝐶1𝐵|∙

|𝐵𝐴1|

|𝐴1𝐶|∙

|𝐶𝐵1|

|𝐵1𝐴|= 1

8. Ptolomej

8.1 Životopis

Klaudije Ptolomej ili Claudius Ptolemaeus (oko 85. – oko 165.) bio je starogrčki matematičar,

zemljopisac, astronom, astrolog i glazbeni teoretičar koji je živio u Rimskom Egiptu, a umro

u Aleksandriji. U djelu od 13 knjiga Veliki matematički sustav astronomije, poznatijem kao

Almagest sustavno je izložio antičku znanost o svemiru u okviru geocentričnog sustava koji je

13

po njemu nazvan Ptolomejev sustav. Tek je Kopernik Ptolemejev sustav zamijenio

heliocentričnim sustavom. Osobit je Ptolomejev doprinos geografiji i kartografiji. U djelu

Geografska uputa koje se sastoji od 8 knjiga, dao je detaljan prikaz zemljopisnoga znanja

grčko-rimskoga svijeta. Treća bitna znanstvena rasprava koju je napisao Ptolomej je

Tetrabiblos (Četveroknjižje) u kojoj on pokušava horoskopsku astrologiju prilagoditi

tadašnjoj Aristotelovskoj filozofiji prirode.

8.2 Pojmovi vezani uz Ptolomeja:

8.2.1 Ptolemejev poučak

Ptolemejev poučak izražava vezu između dijagonala i stranica tetivnog četverokuta: "U

svakom je tetivnom četverokutu produkt dijagonala jednak zbroju produkata duljina suprotnih

stranica": 𝑒 ∙ 𝑓 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑑

Slika3. Ptolomejev poučak

8.2.2 Ptolomejev sustav

Ptolemejev ili geocentrični sustav zasniva na pretpostavci da se Sunce, planeti i zvijezde

gibaju oko Zemlje kao nepomičnoga središta svemira. Iako se zasnivala na pogrešnoj

pretpostavci, ta se teorija dobro slagala s promatranjem gibanja planeta.

14

9. Zaključak

Unatoč tome što mnogi smatraju da se matematika ne mijenja te da je fiksna građevina to ipak

nije istina. Matematika se konstantno mijenja i doživljava promjene. U ovom seminaru mogli

smo vidjeti da su mnogi starogrčki matematičari imali velik utjecaj na matematiku kakvu

danas poznajemo te su svojim stvaralaštvom i radom pridonijeli razumijevanju i razvijanju,

kako matematike tako i drugih znanstvenih disciplina. Kod učenika interes prema matematici

može se poticati i na ovaj način. Učenici obično nemaju ni najosnovniju predodžbu o razvoju

matematike, o njezinoj staroj i bogatoj povijesti. Oni možda misle da je matematika uvijek

bila takva kakva je sada. Njih treba osposobiti da nauče vrednovati matematiku, cijeniti

suvremene matematičke pojmove, ideje i metode. Oni će ih bolje shvatiti ako poznaju barem

djelomično njihov razvoj.

15

10. Literatura

[1] M. Bruckler, Povijest matematike, Sveučilište J. J. Strossmayara u Osijeku, 2007.

[2] V. Devide, Matematika kroz kulture i epohe, Školska knjiga, Zagreb, 1979.

[3] G. I. Gleizer, Povijest matematike za školu, Školske novine i HMD, Zagreb, 2003.

[4] Ž. Dadić, Povijest ideja i metoda u matematici i fizici, Školska knjiga, Zagreb, 1992.

[5] E. T. Bell, Veliki matematičari, Znanje, Zagreb, 1972.