Sveučilište J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Ana ZmaićBabilonska matematika

Diplomski rad

Osijek, 2015.

1

Sveučilište J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Ana ZmaićBabilonska matematika

Diplomski rad

VODITELJ:doc. dr. sc. Ivan Matić

Osijek, 2015.

2

Sadržaj1. Uvod 3

2. Babilonska civilizacija 4

3. Babilonsko pismo 63.1. Dešifriranje klinastog pisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4. Babilonska matematika 84.1. Seksagezimalni brojevni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2. Babilonske matematičke pločice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2.1. Tablice rješenja jednadžbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2.2. Pitagorine trojke i Plimpton 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.3. Geometrijski problemi babilonskih matematičara . . . . . . . . . . . . 20

Literatura 31

Sažetak 32

Title and summary 33

Životopis 34

3

1. UvodBabilonska civilizacija prostirala se na području Mezopotamije. Na tom području nastalesu najstarije civilizacije svijeta. Prostor koji je zauzimala babilonska civilizacija poznat jepod nazivom "kolijevka zapadne civilizacije". Tu su otkriveni pismo i kotač. Babilonci supoznavali matematiku, astronomiju, medicinu, umjetnost i kalendar. Sva svoja postignućabilježili su na male glinene pločice. Imali su razvijeni seksagezimalni brojevni sustav, te suznali rješavati aritmetičke i geometrijske probleme.

U drugom poglavlju upoznati ćemo se s babilonskom civilizacijom. Ukratko ćemo opisatipodručje na kojem se prostirala, te navesti imena vladara najznačajnijih za njen razvoj.Opisati ćemo neke od sačuvanih spomenika koji datiraju iz tog razdoblja. Objasniti ćemokako su Babilonci dijelili godinu. Spomenuti ćemo neke od božanstava koji su se štovali natom području.

U trećem poglavlju opisan je razvoj babilonskog pisma. Ovo poglavlje govori nam na kojisu način Babilonci postupnim razvojem piktografskog pisma došli do klinastog pisma. Opi-sati ćemo pomagala kojima su se Babilonci služili pri pisanju. Navesti ćemo kako su izgledaliprvi oblici glinenih pločica i opisati smjer čitanja i pisanja po njima. Opisati ćemo značenjespomenika koji je dao izgraditi kralj Darije Veliki na stijeni u Behistunu za dešifriranje kli-nastog pisma. Otkriti ćemo koliko je dugo trajalo dešifriranje klinastog pisma i navesti osobekoje su za to zaslužne. Na kraju poglavlja dati ćemo dio prijedvoda s navedenog spomenika.

Posljednje i ujedno najvažnije poglavlje za ovaj rad započeti ćemo opisom brojevnogsustava Babilonaca - seksagezimalnim brojevnim sustavom. Pokazati ćemo kako izgledajuosnovni simboli pomoću kojih su zapisani svi brojevi. Navesti ćemo nedostatke brojevnogsustava koji su ponekad rezultirali pogrešnim tumačenjem i kopiranjem pločica. Objasnitićemo neke od teorija zašto su Babilonci uzeli broj 60 za bazu svog sustava. Nadalje, navedenesu formule kojima su se Babilonci služili pri dijeljenju i množenju. Kroz nekoliko primjeraobjašnjeno je kako su rješavali linearne i kvadratne jednadžbe, te sustave jednadžbi. De-taljno je opisana jedna od najpoznatijih pločica za proučavanje babilonske matematike -Plimpton 322. Analizom te pločice otkriveno je da je Pitagorin teorem bio poznat i babi-lonskim matematičarima. Na kraju poglavlja navedeno je nekoliko geometrijskih problemakojima su se bavili babilonski matematičari. Opisano je kako su Babilonci računali površinujednakostraničnog trokuta, pravokutnika, trapeza i kruga.

4

2. Babilonska civilizacijaPlodni polumjesec naziv je za područje koje se u obliku luka proteže od Perzijskog zaljevado obala Sredozemnog mora, a danas je poznato kao Bliski Istok. Dio toga područja zauzi-mala je i Mezopotamija, što u prijevodu znači "međurječje" ili "zemlja između dviju rijeka".Plodna nizina između rijeka Eufrata i Tigrisa je kolijevka zapadne civilizacije. To je područjena kojem su nastale najstarije civilizacije svijeta. Tu su se prostirali sumerski gradovi, teAkadsko, Babilonsko, Asirsko i Perzijsko Carstvo.

Slika 2.1: Plodni polumjesec i Mezopotamija

Oko 2000. godine prije Krista središnji dio Mezopotamije zauzeli su Amorićani. Bio je tonarod semitskog podrijetla. Na dijelu gdje su se dvije rijeke najviše približile razvio se gradBab-ilu, što u prijevodu znači "Božja vrata". Kasnije su ga Grci prozvali Babilon. Kada jecar Hamburabi (1792. − 1750. pr. Kr.) ujedinio mezopotamijske gradove u jednu državu,Babilon je postao glavni grad i važno trgovačko središte. Za vrijeme njegove vladavine nastaoje zakonik napisan klinastim pismom na steli od crnog diorita visokoj oko dva metra. Danasje poznat kao Hamburabijev zakonik (Slika 2.2). Na steli je prikazan car Hamburabi kakoprima zakone od boga Šamaša. Ti zakoni sadrže propise o obiteljskom, vojnom, kaznenom,nasljednom pravu i slično. Neki od zakona su bili sljedeći:

• Ako čovjek izvadi oko drugom čovjeku, mora da se i njemu oko izvadi.

• Ako graditelj ne izgradi valjano kuću vlasniku, te se ona sruši i ubije vlasnika, onda igraditelja treba ubiti.

• Ako se čovjek oženi ženom koja mu ne može podariti potomke, može dovesti druguženu, ali ona neće imati jednaka prava kao prva žena.

5

Slika 2.2: Stela s uklesanim Hamburabijevim zakonikom

Otkriće pisma, koje se pripisuje Sumeranima, omogućilo je Babiloncima bilježenje postig-nuća u astronomiji, medicini, matematici i umjetnosti. Svoje zapise ostavljali su na glinenimpločicama koje su bile veličine šake. O razvoju književnosti svjedoči pronađena babilonskaverzija epa o Gilgamešu, vladaru sumerskog grada Uruka. Koristili su oko 550 vrsta lijekovašto pokazuje da se na tom području razvijala i medicina. Za lakše obrađivanje zemlje koristilisu motiku i plug, te kola s kotačima. Godinu su dijelili na dvanaest mjeseci po trideset dana,a za prijestupnu godinu uveli su trinaesti mjesec. Njihov tjedan je brojao 7 dana, dan 24sata, sat 60 minuta, a minuta 60 sekundi.

Smrću cara Hamburabija Babilonsko Carstvo se raspalo, te su zemljom vladali drugi narodi.Carstvo je ponovno obnovljeno dolaskom cara Nabukodonosora II (605.-562. pr. Kr.) podnazivom Novobabilonsko Carstvo. Svoju vlast je proširio na područje cijele Mezopotamije,Palestine, Sirije i Fenicije. 586. godine prije Krista uništio je Jeruzalem. Za vrijeme njegovevladavine Babilon je ponovno doživio uspon i postao glavni grad. U njemu je dao izgraditihramove bogu Marduku i božici Ištar. Dao je sagraditi i Ištarina vrata koja se danas čuvajuu muzeju Pergamon u Berlinu. To su bila jedna od ulaznih vrata grada Babilona. Oko 600.godine prije Krista u čast supruge Semiramide dao je napraviti viseće vrtove Babilona kojedanas ubrajamo u sedam svjetskih čuda antike.

Osvajanjem Babilona 539. godine prije Krista i dolaskom perzijskog vladara Kira Starijeg(559.-529. pr. Kr.) na vlast propalo je Babilonsko Carstvo koje se nakon toga nije uspjelooporaviti.

6

3. Babilonsko pismoJedno od najvećih kulturnih dostignuća mezopotamijske civilizacije je pronalazak pisma.Smatra se da su ga stvorili Sumerani jer su najstariji poznati zapisi pronađeni u Sumeru.Njihovo prvotno pismo sastojalo se od crteža koji su prikazivali hranu, životinje, vodu. Ta-kav oblik pisma nazvan je piktografsko pismo. Kako se tim oblikom nisu mogli zapisatipojmovi kao što su npr. prijateljstvo i ljubav, s vremenom se razvilo ideografsko pismo ukojem su simboli zamijenili crteže. Postupnim stiliziranjem pismo se razvilo u znakove kojisu nalikovali klinovima koje su oko 2000. godine prije Krista preuzeli Babilonci. Zbog velikesličnosti sa klinom nazvano je klinasto pismo (Slika 3.3).

Slika 3.3: Razvoj klinastog pisma

Babilonci su za pisanje prvo koristili trsku, a potom "stylus"- pisaljku sa trokutastimzavršetkom. Ona je služila za pravljenje utisaka na vlažnoj glinenoj pločici, a kako se glinabrzo sušila svi zapisi su morali biti kratki i pisani odjednom. Kako se pisaljkom nisu mo-gle crtati zakrivljene linije, svi znakovi su bili sastavljeni od klinova orijentiranih u različitesmjerove (Slika 3.4). Prve glinene pločice su bile male i kvadratnog oblika, a smjer pisanja jebio od vrha prema dnu pločice. Kasnije se koriste veće pločice pravokutnog oblika, a smjerčitanja i pisanja je postao slijeva nadesno.

Slika 3.4: Položaj znakova pri pisanju

3.1. Dešifriranje klinastog pisma

U sedamnaestom stoljeću klinasto pismo je postalo zanimljivo ljudima širom svijeta, te senekolicina njih upustila u njegovo dešifriranje.

Prvi značajan korak u rješavanju zagonetke klinastog pisma napravio je njemački učiteljGeorge Friedrich Grotefend (1775.-1853.). Iako nije bio poznavatelj orijentalnih jezika, ok-ladio se s prijateljima da može odgonetnuti natpis na klinastom jeziku iz Perzepolisa. Uz

7

pomoć dotada poznate literature o tom problemu, pronašao je ključ za čitanje klinastogpisma. Za znakove koji su se ponavljali najviše puta pretpostavio je da su samoglasnici, aza određenu grupu znakova da predstavlja riječ kralj. Uz pomoć tih pretpostavki došao jedo naslova "Kralj kraljeva" i imena Darije, Kserkso i Histap. Na taj način je uspio izdvojitidosta pojedinačnih znakova i 12 od njih ispravno pročitati. Svoja dostignuća je 1802. godineiznio na Znanstvenoj akademiji u Gottigenu. Kako nije bio poznat znanstvenik i orijentalist,izazvao je ismijavanje od strane učenih ljudi, te je njegovo otkriće palo u zaborav.

1833. godine Henry Creswick Rawlinson, britanski vojni časnik, poslan je u Perziju zbogreorganizacije vojske. Tijekom boravka u Perziji njegov interes je pobudio spomenik uklesanu stijenu u Behistunu. Spomenik je dao izgraditi Darije Veliki oko 516. godine prije Kristau čast svojim pobjedama. Zauzima površinu od oko 150× 100 koraka, a sastoji se od reljefakralja Darija u prirodnoj veličini i zapisa na trinaest ploča na tri jezika, koristeći klinastopismo. Isti tekst je napisan na staroperzijskom, elamitskom i babilonskom jeziku. Ono štoje Kamen iz Rosette predstavljao za dešifriranje hijeroglifa, to je isto stijena iz Behistunaznačila za klinasto pismo.

Prvi problem ka rješavanju zagonetke bilo je kopiranje zapisa. Kako su kamene stepeniceuništene nakon izrade spomenika, nije bilo načina da se dođe do samog zapisa. Rawlinsonje zato u početku promatrao zapis pomoću dalekozora, a kasnije je dao izraditi velike ljestvekako bi se popeo do spomenika. 1839. godine Rawilson je prebačen u Afganistan zbog ratas Velikom Britanijom. Već 1843. se ponovo vraća u Bagdad gdje nastavlja s radom. Prvo je1846. godine objavio prijevod staroperzijskog dijela zapisa zajedno sa 263 reda zapisa na ela-mitskom jeziku. Za prijevod teksta na babilonskom jeziku koristio se prethodno prevedenimstaroperzijskim tekstom, a potpunom dešifriranju babilonskog jezika pridonjeli su i arhe-olozi Isadore Lowenstern i Lois Frederick de Sauchy, te orijentalisti Jules Opperta i EdwardHincks. Dešifriranjem klinastog pisma dobili smo uvid u povijest mezopotamijske civilizacije.

Dio prijevoda glasi:

"Ja sam veliki kralj Darije, kralj kraljeva, kralj u Perziji, kralj zemalja, sin Histaspov,unuk Arsamov, Ahemenid.Govori kralj Darije: Moj je otac Histasp Histaspov je otac Arsam Arsamov je otac Ariaram-nes Ariaramensov otac je Teisp Teispov je otac Ahemenid.Govori kralj Darije: Zbog toga se zovemo Ahemenidi. Od davnih smo vremena ugledni. Oddavnih je vremena naša obitelj kraljevska. . . "

. . .

"Govori kralj Darije: Ovo su zemlje koje su mi pripale milošću Ahuramazde ja sam pos-tao njihov kralj: Perzija, Suza, Babilon, Asirija, Arabija, Egipat, (zemlje) na moru, Sparda,Jonija, [Medija], Armenija, Kapadokija, Partija, Drangijana, Arija, Korazmija, Baktrija,Sogdijana, Ga(n)dara, Skitija, Satagidija, Arachosia, Maka sveukupno 23 zemlje."

8

4. Babilonska matematikaO matematici razvijenoj u Mezopotamiji, počevši od Sumerana, Akadijaca, Babilonaca idrugih naroda govorit ćemo kao o matematici jednog naroda i zvati je Babilonska mate-matika. Babiloncima je matematika bila potrebna za izračunavanje količine žitarica, priizgradnji kanala za navodnjavanje polja, za mjerenje veličine zemljišta i slično.

4.1. Seksagezimalni brojevni sustav

Danas je sačuvano oko 400 000 babilonskih glinenih pločica po muzejima cijeloga svijeta. Odtih 400 000, njih oko 400 je matematičkog sadržaja. Analiziranjem njihovog sadržaja došlose do spoznaje da je babilonska matematika bila daleko razvijenija od egipatske. Babiloncisu koristili seksagezimalni brojevni sustav sa bazom 60. Prema tome, trebali su oznake zabrojeve 1,2,...,59. Na Slici 4.5 možemo vidjeti njihov prikaz. Svi brojevi su zapisani pomoćudva osnovna simbola oblika Y i <. Okomit klin Y imao je vrijednost 1 i mogao se koristitidevet puta, a klin < imao je vrijednost 10 i mogao se koristiti pet puta. Pisalo se slijevaudesno. Seksagezimalni sustav bio je djelomično pozicijski, to jest vrijednost simbola ovisi omjestu koje znamenka zauzima u brojčanom zapisu. Prednost pozicijskog sustava u odnosuna druge sustave leži u činjenici da je dovoljan ograničen skup znamenki kako bi se prika-zao neki broj, bez obzira na njegovu veličinu. Znamenku s najvećom težinskom vrijednošćuBabilonci su pisali s lijeve strane i njezina težinska vrijednost bila je 60 · n, pri čemu vrijedi1 6 n 6 59. Mjesto jedinica bilo je rezervirano za brojeve od 1 do 59. Na primjer, babi-lonski zapis 3 25 4 predstavlja broj 3 · 602 + 25 · 60 + 4 = 12304, koji bi u našem sustav bio3 · 103 + 25 · 102 + 4 = 3254.

Slika 4.5: Znamenke babilonskog brojevnog sustava

Brojevi za čiji su zapis bila potrebna oba simbola, Y i <, simbole koji odgovaraju deseticamasu prikazivali lijevo od onih koji odgovaraju jedinicama kao što je vidljivo iz zapisa

9

Mali razmak između odgovarajućih grupa simbola predstavljao je silazne potencije od 60,što možemo vidjeti u zapisu koji prikazuje broj 1 · 603 + 28 · 602 + 52 · 60 + 20 = 319940.

Kako bi skratili zapis, Babilonci su ponekad upotrebljavali još jedan znak. Pomoću njegamogli su na primjer prikazati broj 19 u obliku 20 − 1, umjesto upotrebe znaka za deset izakojeg slijedi 9 znakova za jedinicu (Slika 4.6).

Slika 4.6: Dva načina zapisa broja 19

Kako Babilonci nisu imali simbol za nulu, a i razmak se nije strogo primjenjivao daukaže na nedostatak cijelog seksagezimalnog mjesta, neki zapisi su bili dvosmisleni što jedovelo do pogrešnog tumačenja i kopiranja pločica. Nije bilo načina da se razlikuju brojevi1 · 60+24 = 84 i 1 · 602+0 · 60+24 = 3624 s obzirom da je svaki prikazan klinastim pismomu obliku

Oko 300. godine prije Krista Babilonci su počeli koristiti "djelilo" - simbol koji je ukazivaona prazan prostor između dvije znamenke unutar broja (Slika 4.7).

Slika 4.7: Babilonsko djelilo

Na taj način bilo je moguće razlikovati broj 84 od broja 3624 čiji je klinasti zapis

Kako nije postojao nikakav simbol koji bi ukazao na nedostatak znamenke na kraju broja,a babilonsko djelilo je korišteno samo unutar broja, pogreške su i dalje bile prisutne. Takone možemo sa sigurnošću tvrditi predstavlja li klinasti zapis

broj 2 · 60 + 24 = 144 ili na primjer broj 2 · 602 + 24 · 60 = 8640. Budući da Babilonci nisupostigli pravi pozicijski brojevni sustav, danas se često moramo oslanjati na kontekst kako

10

bi protumačili zapise iz toga doba.

Danas postoje mnoge teorije zašto su Babilonci uzeli broj 60 kao bazu svog sustava. Jednikao razlog navode veliki broj djelitelja broja 60. Naime, 60 je najmanji prirodan broj djeljivs 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 i 30, pa pridonosi jednostavnijoj podjeli na polovine, trećine,četvrtine, petine i slično. Drugi navode da su Babilonci uzeli 60 kao bazu svog sustava zbogpodjele godine na 360 dana. Prema toj teoriji je prva baza bila 360 te je kasnije spuštenana 60. Neki kao objašnjenje navode da se razvio spajanjem dva naroda od kojih je jedankoristio sustav s bazom 6, a drugi dekadski. Neki odabir temelje na umnošku tada poznatogbroja planeta (5) i broja mjeseci u godini (12).

Prednost babilonskog brojevnog sustava u usporedbi s drugim sustavima se očituje unjegovoj uporabi. Seksagezimalni brojevni sustav je bio glavno sredstvo računanja međuastronomima tog vremena. U svom poznatom djelu Velika rasprava Ptolomej na početkuobjašnjava kako će sve izračune izvesti u seksagezimalnom brojevnom sustavu.

4.2. Babilonske matematičke pločice

Izvori za povijest babilonske matematike su brojne glinene pločice. Oko 350 pronađenihpločica datira iz razdoblja 2000. − 200. godine prije Krista, a najviše ih je iz razdoblja1800. − 1600. godine prije Krista. Do 1930-ih godina nije se znao sadržaj mnogih pločica itek istraživanjima Otta Neugebauera utvrđeno je da se radio o matematičkim tablicama itekstovima, odnosno o velikom doprinosu Babilonaca razvoju matematike.

Mnoge pločice napisane klinastim pismom bave se problemima koje bismo danas nazvalialgebarskim ili se bave geometrijskim odnosima. Dvije pločice pronađene 1854. godine uSenkerahu na Eufratu iz razdoblja Hammurabija sadrže kvadrate brojeva od 1 do 59, tekubova do 32. Tablica kvadrata se lako čita do 72, odnosno 49. Za 82 u tablici stoji 1 4,iz čega zaključujemo da 1 stoji za 60. Isti je slučaj i sa 92 gdje 1 21 očito predstavlja1 · 60 + 21 = 81. Isti postupak se nastavlja u tablici sve do zadnjeg unosa- broja 58 1, kojipredstavlja kvadrat broja 59, odnosno 58 · 60 + 1 = 3481 = 592. Osim toga, proučavanjembrojnih tablica došlo se do spoznaje da su Babilonci množenje olakšali upotrebom sljedećihformula:

a · b = (a+ b)2 − a2 − b2

2

i

a · b = (a+ b)2

4− (a− b)2

4

iz kojih zaključujemo da im je za množenje brojeva bila potrebna samo tablica kvadrata.Dijeljenje je bilo zahtjevnije, a Babilonci su ga sveli na množenje recipročnim brojem:

11

a : b = a · 1b.

U tu svrhu poslužila im je tablica recipročnih brojeva (Tablica 3.1). Takva tablica obično sesastoji od dva stupca pri čemu je umnožak para brojeva uvijek jednak 60. Svaki par brojevačine broj na lijevoj strani i njegova recipročna vrijednost u seksagezimalnom sustavu nadesnoj strani tablice.

Tablica 4.1: Tablica recipročnih brojeva

4 155 126 108 7; 309 6; 4010 612 515 416 3; 4518 3; 20

Iz tablice možemo lako uočiti da nedostaju brojevi 7,11,13 i 14. Razlog tome je što raz-lomci 1

7, 111, 113, 114

nemaju konačan decimalni prikaz. Naime, brojeve koji imaju recipročnuvrijednost sa konačnim prikazom u seksagezimalnom brojevnom sustavu Babilonci su zvaliregularnim brojevima. Za neregularne brojeve kao što je 7, Babilonci bi dali približnu vri-jednost uz objašnjenje "7 ne dijeli".

Osim tablica množenja, tablica kvadrata, tablica kubova i tablica recipročnih brojeva,Babilonci su imali i tablice kvadratnih i kubnih korijena, tablice suma kvadrata i tablicerješenja jednadžbi.

4.2.1. Tablice rješenja jednadžbi

Pronalaskom i analiziranjem pločica koje datiraju iz 2000. godine prije Krista doznajemo dasu Babilonci znali rješavati linearne i kvadratne jednadžbe oblika

ax = b

ix2 ± ax = b.

Za razliku od prethodnih pločica, ove pločice se sastoje od niza usko povezanih problema iodgovarajućih izračuna i odgovora. Nerijetko je tekst problema završavao i riječima "Takavje postupak". Iako Babilonci nisu imali neko općenito pravilo pomoću kojeg bi rješavali mate-matičke probleme, niti današnju notaciju, može se naslutiti da su imali neku vrstu teorijskogpristupa matematici.

Kako bi ilustrirali babilonski način rješavanja linearne jednadžbe ax = b, pogledajmo sljedećiprimjer.

12

Primjer 4.1. Babilonski način rješavanja linearne jednadžbe.

Pretpostavimo da je pisar trebao riješiti problem: Uzmimo 23od 2

3određene količine ječma.

100 jedinica ječma dodajmo kako bi dobili izvornu količinu ječma. Potrebno je odrediti ukupnukoličinu ječma.

Uputa pisara za rješavanje zadanog problema bila je sljedeća: Pomnoži 23s 2

3da dobiješ 4

9.

Rezultat koji si dobio oduzmi od 1 da dobiješ 59. Zatim pogledaj u tablicu recipročnih vrijed-

nosti kako bi pronašao recipročnu vrijednost od 59. Pomnoži 9

5sa 100 da dobiješ rezultat 180.

U današnjoj algebarskoj notaciji problem glasi:2

3· 23x+ 100 = x

što je ekvivalentno formuli (1− 4

9

)x = 100

iz koje je sada uputa pisara razumljivija. Iz navedenog primjera možemo zaključiti da surješavanje linearne jednadžbe ax = b Babilonci jednostavno sveli na traženje broja 1

au tablici

recipročnih vrijednosti i množenje brojem b.

Deseci sačuvanih glinenih pločica svjedoče da je Babiloncima bila poznata naša formula zarješavanje kvadratne jednadžbe oblika x2 ± ax = b. Također je potrebno naznačiti da suBabilonci promatrali samo pozitivna rješenja kvadratne jednadžbe, te da nisu koristili vari-jable i zapis kojim se mi danas služimo. Kako bi objasnili njihov način rješavanja kvadratnejednadžbe, promotrimo sljedeći problem.

Primjer 4.2. Babilonski način rješavanja kvadratne jednadžbe

Problem je bio sljedeći: Površina i dvije trećine stranice kvadrata iznose 0;35. Potrebno jeizračunati stranicu kvadrata.

Takve i slične probleme moguće je zapisati u današnjim terminima zamjenom riječi dužina iširina slovima x i y. Stoga, problem možemo zapisati u obliku

x2 +2

3x =

35

60.

Pisar je rješenje opisao riječima: Uzmimo navedeni koeficijent od x (1). Dvije trećine od1 u seksagezimalnom prikazu su 0; 40. Polovica od 0; 40 pomnožena sa 0; 20 iznosi 0; 6, 40.Dobivenom iznosu dodaš 0; 35 i dobiješ rezultat 0; 41, 40. Drugi korijen od 0; 41, 40 je 0; 50.0; 20, koji si pomnožio sa samim sobom, oduzmeš od 0; 50. Duljina stranice kvadrata je 0; 30.

Sljedeći pisareve upute, u modernom algebarskom zapisu, imamo:

x =√

(0;402)2 + 0; 35− 0;40

2

=√0; 6, 40 + 0; 35− 0; 20

=√0; 41, 40− 0; 20

= 0; 50− 0; 20= 0; 30.

13

Iz pisarevih smjernica možemo zaključiti da su koristili formulu ekvivalentnu danas poznatompravilu za rješavanje kvadratne jednadžbe x2 + ax = b koja glasi:

x =

√(a

2

)2

+ b− a

2.

Iako danas o babilonskim jednadžbama govorimo kao o kvadratnim jednadžbama, bilo bi ihprikladnije zvati pravokutnim jer su se razvile iz problema o pravokutniku. Naime, radilose o problemu odnosa opsega i površine pravokutnika. Smatralo se da površina lika ovisiisključivo o njegovu opsegu, odnosno da isti opseg uvijek ograničava istu površinu. Pitanjemopsega i površine bavili su se i Babilonci, pa ćemo navesti i jedan takav primjer.

Primjer 4.3. Problem opsega i površine pravokutnika

Neka je dan poluopseg x+ y = a i površina xy = b pravokutnika. Odredite duljinu x i širinuy pravokutnika.

Za rješavanje toga problema Babilonci su se opet poslužili tablicama. Tablice su sadržavalerazličite iznose površine, dok je opseg (poluopseg) bio konstantan. Neka je dan poluopsegpravokutnika x+ y = a = 20. Tada je za različite vrijednosti x = a

2+ z i y = a

2− z, gdje je

z jedan od brojeva 0 do 9, površina prikazana idućom tablicom.

Tablica 4.2: Tablica vrijednosti

x = a2+ z y = a

2− z b = xy (a

2)2 − b

z = 0 10 10 100 0

z = 1 11 9 99 12

z = 2 12 8 96 22

z = 3 13 7 91 32

z = 4 14 6 84 42

z = 5 15 5 75 52

z = 6 16 4 64 62

z = 7 17 3 51 72

z = 8 18 2 36 82

z = 9 19 1 19 92

14

Iz tablice možemo iščitati da se povećanjem z površina smanjuje, te da je razlika (a2)2 − b

jednaka kvadratu od z, to jest (a2)2 − b = z2. Pretpostavlja se da su Babilonci shvatili da se

cijeli postupak može promatrati i obrnuto, te da se iz izraza (a2)2 − b može odrediti z. Kako

je z =√

(a2)2 − b, moguće je odrediti i nepoznanice x = a

2+√(a2)2 − b i y = a

2−√(a2)2 − b.

Dakle, cijeli postupak rješavanja se može zapisati u nekoliko koraka:

Neka je zadano x+ y = a i xy = b. Odredimo vrijednosti od x i y.

1. Stavimo x = a2+ z i y = a

2− z, čiji je zbroj jednak a.

2. Uvrstimo x i y u jednadžbu xy = b

• (a2+ z)(a

2− z) = b

• (a2)2 − z2 = b

• z2 = (a2)2 − b

• z =√(a2)2 − b, (negativan korijen je zanemaren).

3. Prema tome, x = a2+√

(a2)2 − b, y = a

2−√

(a2)2 − b.

Navedeni postupak ilustrirajmo jednim zadatkom koji se nalazi na glinenoj pločici babilonskezbirke na Yaleu.

Primjer 4.4. Pronađite rješenje sustava jednadžbi:

x+ y =13

2, xy =

15

2.

Rješenje:Prateći postupak, stavimo x = 13

4+ z, y = 13

4− z.

Tako dobivene izraze za x i y uvrstimo u drugu jednadžbu xy = 152

(13

4+ z

)(13

4− z)

=15

2(13

4

)2

− z2 = 15

2

z2 =

(13

4

)2

− 15

2

z =

√(13

4

)2

− 15

2

z =

√169

16− 15

2

z =7

4

S tako izračunatim z slijedi da je x = 134+ 7

4= 5, a y = 13

4− 7

4= 3

2.

15

Isti postupak Babilonci su koristili ako je na početku dana razlika x−y = a umjesto x+y = a.Također, složenije algebarske probleme su svodili na sustav

x± y = a, xy = b

koji zovemo standardni oblik. Pretpostavlja se da je Babiloncima bio poznat i algebarskiidentitet

(x+ y)2 = (x− y)2 + 4xy

pomoću kojeg su jednadžbu sveli na standardni oblik. To možemo vidjeti u sljedećem pri-mjeru.

Primjer 4.5. Pronađite rješenje sustava jednadžbi:

xy = 600, (x+ y)2 + 120(x− y) = 3700.

Rješenje:Koristeći prethodni identitet i jednadžbu xy = 600, jednadžbu (x + y)2 + 120(x− y) = 3700svedimo na standardni oblik:

=⇒ (x− y)2 + 4xy + 120(x− y) = 3700

=⇒ (x− y)2 + 4 · 600 + 120(x− y) = 3700

=⇒ (x− y)2 + 120(x− y) = 1300.

Time je jednadžba (x−y)2+120(x−y) = 1300 postala kvadratna u x−y. Tada se jednostavnoprimjenom formule x =

√(a2)2 + b − a

2došlo do rješenja x − y = 10, te je početni sustav

sveden na standardni oblikx− y = 10, xy = 600.

Prateći prethodno objašnjen postupak za rješavanje sustava jednadžbi dolazimo do rješenjax = 30 i y = 20.

Osim kvadratne jednadžbe oblika x2 + ax = b, poznavali su i kvadratne jednadžbe oblika

x2 = ax+ b

ix2 + b = ax

te njihova odgovarajuća rješenja

x =

√(a

2

)2

+ b+a

2

i

x =

√(a

2

)2

− b+ a

2.

Bitno je napomenuti da je negativni korijen uvijek bio zanemaren, odnosno da Babiloncinikada nisu prepoznali negativna rješenja kvadratne jednadžbe.

16

Osim kvadratnih jednadžbi mogli su riješiti i neke kubne jednadžbe oblika

x3 = a

ix2(x± 1) = a.

4.2.2. Pitagorine trojke i Plimpton 322

Povjesničari Otto Neugebauer i Abraham Sachs dešifrirali su 1945. godine babilonsku glinenupločicu koja datira između 1900. i 1600. godine prije Krista. Pločica je pisana na starobabi-lonskom pismu, a naziv je dobila po kolekcionaru Georgeu Arthuru Plimptonu u čijoj zbircise i nalazi na Sveučilištu u Kolumbiji. Na pločici se nalazi jedan red teksta i tablica brojevakoja se sastoji od petnaest redaka i četiri stupca. Pločica Plimpton 322 je desni dio većepločice čiji je lijevi dio nakon iskapanja odlomljen i izgubljen, te nedostaje dio prvog stupca.Osim toga, postoji udubljenje kod sredine desnog ruba pločice.

Slika 4.8: Plimpton 322

Analizom sadržaja pločice došlo se do zaključka da je Pitagorin teorem bio poznat i babilon-skim matematičarima. Sačuvana su tri stupca brojeva zajedno sa naslovom. Zadnji stupacsadrži brojeve 1, 2, . . . , 15 i numerira linije na pločici. Prethodna dva stupca brojeva nosenazive "širina" i "dijagonala". Naime, u to vrijeme se pravokutni trokut promatrao kao polo-vica pravokutnika pa su se odgovarajuće stranice nazivale širina i dijagonala umjesto katetai hipotenuza. Kvadriranjem broja u trećem stupcu i oduzimanjem odgovarajućeg kvadratau drugom stupcu dobivamo potpuni kvadrat. Na taj način iz petog reda čitamo sljedeće:

(97)2 − (65)2 = (72)2.

17

U Tablici 4.3 nalazi se sadržaj cijele pločice.

Tablica 4.3: Pločica Plimpton 322

širina dijagonala

(1).983402778 119 169 1

(1).949158552 3367 4825 (11521) 2

(1).918802127 4601 6649 3

(1).886247907 12709 18541 4

(1).815007716 65 97 5

(1).785192901 319 481 6

(1).719983674 2291 3541 7

(1).692709418 799 1249 8

(1).642669444 481 (541) 769 9

(1).586122566 4961 8161 10

(1).5625 45 75 11

(1).48941684 1679 2929 12

(1).450017361 161 (25921) 289 13

(1).43023882 1771 3229 14

(1).387160494 56 106 (53) 15

Tablica sadrži i nekoliko pogreški koje su navedene u zagradama desno od ispravljene brojke.Pogreške se nalaze u drugom, devetom, trinaestom i petnaestom retku. Broj 11521 navedenu drugom redu zajedno sa katetom 3367 tvori pravokutni trokut čija druga kateta nemacjelobrojnu vrijednost. Broj 541 u devetom redu je zabunom napisan umjesto broja 481.Naime, broj 541 u seksagezimalnom zapisu se piše 9, 1, a broj 481 se piše 8, 1. U trinaestomredu je umjesto broja 161 napisan njegov kvadrat 25921. U zadnjem redu je navedena polo-vina broja 106 umjesto broja 106.

18

S obzirom da tablica sadrži velike brojeve do kojih se nije jednostavno moglo doći pogađa-njem, a zadovoljavaju svojsto

a2 + b2 = c2 (1)

postavlja se pitanje na koji su način Babilonci došli do brojeva a, b i c. Odgovor na to pitanjenalazi se u prvom stupcu tablice. Prvi stupac u tablici sadrži kvocijente ( c

a)2 ili ( b

a)2. Kako

zbog oštećenja na pločici ne vidimo vodeću znamenku, koja može biti 0 ili 1, ne znamo točnoo kojem se kvocijentu radi. Dijeljenjem izraza (1) s a2 dobivamo

1 +

(b

a

)2

=

(c

a

)2

(2)

iz čega vidimo da se navedeni kvocijenti razlikuju za jedan, odnosno početni izraz (1) jesveden na (

c

a

)2

−(b

a

)2

= 1. (3)

Uz oznake α = cai β = b

aizraz (3) postaje:(

α)2 − (β)2 = 1. (4)

Bilo je potrebno skicirati pravokutni trokut čije su stranice racionalni brojevi, α i β. Akojednadžbu (4) zapišemo u obliku

(α + β)(α− β) = 1

možemo zaključiti da je umnožak dvaju brojeva jednak 1, to jest da su to recipročni brojevi.Dakle, jedan broj je m

n, a drugi n

m, pri čemu su m i n cijeli brojevi. Možemo pisati

α + β =m

n, α− β =

n

m

gdje zbrajanjem, odnosno oduzimanjem, dolazimo do

α =1

2

(m

n+n

m

)i β =

1

2

(m

n− n

m

).

Prema tome,

α =m2 + n2

2mn, β =

m2 − n2

2mn. (5)

Budući je c = αa i b = βa, stavimo a = 2mn kako bi dobili rješenje u cijelim brojevima.Dakle, imamo

a = 2mn, b = m2 − n2, c = m2 + n2. (6)

Za pronalazak rezultata (6) Babiloncima je bilo ključno poznavanje formule

α2 − β2 = (α− β)(α + β). (7)

19

Pretpostavlja se da su do formule (7) mogli doći promatranjem površina kao na Slici 4.9.

Slika 4.9: Površine likova

Zatamnjena površina α2 − β2 može se presložiti u pravokutnik sa stranicama duljine α − βi α + β.

Tablica 4.4 sadrži vrijednosti brojeva m i n pomoću kojih dolazimo do brojeva a, b i c utablici Plimpton 322. Na primjer, za m = 9 i n = 4 u formuli (6) dolazimo do brojevaa = 72, b = 65 i c = 97 (peti red tablice).

Tablica 4.4: Tablica brojeva m i n

m n a = 2mn b = m2 − n2 c = m2 + n2

22 · 3 5 120 119 16926 33 3456 3367 4825

3 · 52 25 4800 4601 664953 2 · 33 13500 12709 1854132 22 72 65 97

22 · 5 32 360 319 4812 · 33 52 2700 2291 354125 3 · 5 960 799 124952 22 · 3 600 481 76934 23 · 5 6480 4961 8161

Iznimka 60 45 7524 · 3 52 2400 1679 29293 · 5 23 240 161 2892 · 52 33 2700 1771 322932 35 90 56 106

U jedanaestom redu tablice je izbor za broj m = 2, a za broj n = 1. Kako bi dobili vrijed-nosti a = 60, b = 45 i c = 75 iz tablice, svaki od brojeva a, b i c mora se pomnožiti sa 15.Također, bilo je predloženo da se vrijednosti od c računaju iz formule c = (m + n)2 − 2mnkoja je ekvivalentna formuli c = m2 + n2. Na taj način može se objasniti pisarska greška udrugom redu pločice. Naime, pretpostavlja se da je pisar umjesto oduzimanja dodao izraz2mn, te je poslije u množenju umjesto 2mn = 2 · 64 · 27 napisao 2mn = 2 · 60 · 27 što je

20

dovelo do rezultata 11521 umjesto 4825.

O upotrebi Pitagorinog teorema među babilonskim matematičarima svjedoči i grupa pločicaotkrivena u Susi 1936. godine. Sljedeći primjer pokazuje kako su Babilonci primjenjivaliPitagorin teorem.

Primjer 4.6. Izračunajte polumjer r kružnice koja je opisana jednakokračnom trokutu sastranicama 50, 50 i 60.

Slika 4.10: Kružnica opisana trokutu ABC

RješenjePrvo primjenimo Pitagorin teorem na trokut ADB:

(AD)2 = (AB)2 − (BD)2

AD =√502 − 302

AD = 40.

Kako je AE = r, imamoED = AD − AE = 40− r.

Sada primjenimo Pitagorin teorem na trokut EDB:

(BE)2 = (BD)2 + (ED)2

r2 = 302 + (40− r)2.iz čega slijedi da je r = 2500

80, odnosno r = 31; 15.

4.2.3. Geometrijski problemi babilonskih matematičara

Analizom teksta, brojeva i figura utisnutih na glinene pločice doznajemo da su se Babiloncibavili i izračunavanjem površine pravokutnika, kvadrata, pravokutnog trokuta, trapeza ikruga. Također, detaljnim istraživanjima pločica došlo se do zaključka da su na područjudrevne Mezopotamije postojale i škole u kojima se osim pisanja učila i matematika. Tako nanekim pločicama možemo pronaći kratke bilješke sa skicom zadatka koje je učenik zabilježiotijekom nastave. Jedan takav zadatak opisan je u sljedećem primjeru.

21

Primjer 4.7. MS 3908 je kružna glinena pločica koja se nalazi u Schoyen kolekciji. Napločici se nalazi crtež trapeza koji je s dvije transverzale podijeljen na tri dijela (Slika 4.11).Transverzale su paralelne s osnovicama trapeza i dijele visinu trapeza na tri dijela čije suduljine 10, 20 i 30 roda. Cijeli trapez je podijeljen na tri dijela pri čemu prvi i treći dioimaju istu površinu koja iznosi 1 40 roda. Pretpostavimo da učenik treba odrediti duljinečetiri paralelne dužine.

Slika 4.11: Trapez s transverzalama na kružnoj pločici

Rješenje:Označimo tražene duljine s a, b, c i d. Tada naš problem glasi:

a+ b

2· 10 = 1 40

c+ d

2· 30 = 1 40

a− b10

=b− c20

a− b10

=c− d30

.

Prve dvije jednadžbe slijede iz formule za površinu trapeza, a druge dvije slijede iz jednadžbia−b10

= b−c20

= c−d30

. Navedene jednadžbe možemo svesti na jednostavnije oblike:

a+ b = 20 (8)

c+ d =20

3(9)

22

2 · (a− b) = b− c (10)

3 · (a− b) = c− d. (11)

Tada vrijedi sljedeće:

1. b = 20− a iz (8)

2. c = b− 2 · (a− b) = 20− a− 2 · (a− (20− a)) = 60− 5a iz (10) i 1.

3. d = c− 3 · (a− b) = 60− 5a− 3 · (a− (20− a)) = 120− 11a iz (11), 2. i 1.

4. 60− 5a+ 120− 11a = 203

=⇒ a = 1056

iz (9), 3. i 4.

5. b = 916, c = 55

6, d = 5

6iz 1., 2. i 3.

Ili u seksagezimalnom sustavu, a=10;50, b=9;10, c=5;50 i d=;50.

Ne možemo sa sigurnošću tvrditi kojom su metodom Babilonci riješili gore navedeni problemi je li on uopće tako glasio, s obzirom da se uz pomoć crteža i brojeva navedenih na pločicimože sastaviti i neki drugi problem. Iako ne znamo koja je bila prava svrha ove pločice,zanimljivo je što su u ono doba prikupljeni podaci za trapez te razmatrani mogući problemi.

U babilonskoj geometriji posebno mjesto su zauzimali likovi koji nastaju "unutar drugih"likova, odnosno površine između koncentričnih kružnica, kvadrata, trokuta i slično. Na Slici4.12 nalazi se jedan takav primjer.

Slika 4.12: Trokutasti pojas između dva koncentrična jednakostranična trokuta

Na prethodnoj slici nalazi se pločica MS 2192. To je kružna glinena pločica na kojoj senalazi crtež dva koncentrična i paralelna jednakostranična trokuta. Prostor između dvatrokuta čine tri jednaka spojena trapeza. Na pločicu su utisnuti i brojevi koji označavajuodgovarajuće duljine stranica. Tako imamo duljinu duže osnovice trapeza, 43;20, utisnututri puta, duljinu kraka trapeza, 16;40, utisnutu šest puta, i duljinu stranice unutrašnjegjednakostraničnog trokuta, 10, utisnutu tri puta. Moguća interpretacija pločice opisana je usljedećem primjeru.

23

Primjer 4.8. Neka je duljina stranice unutrašnjeg jednakostraničnog trokuta jednaka 10, aduljina stranice vanjskog jednakostraničnog trokuta jednaka 1 00. Odredite površinu izmeđuvanjskog i unutrašnjeg trokuta.

Rješenje:Označimo s a duljinu kraka jednog trapeza kao na Slici 4.13. Tada su duljine kraće i dužeosnovice trapeza jednake 10+ a i 10+ 2a, dok je duljina stranice vanjskog jednakostraničnogtrokuta jednaka 10 + 3a. Kako je duljina stranice vanjskog jednakostraničnog trokuta 1 00,tada vrijedi 10 + 3a = 1 00, odnosno a = 16; 40.

Slika 4.13: Skica zadatka

Kako je a = 16; 40, onda je duljina kraće osnovice trapeza jednaka 10 + a = 26; 40, dokje duljina duže osnovice trapeza jednaka 10 + 2a = 43; 20. Tada se površina između dvajednakostranična koncentrična trokuta može izračunati tako da se zbroje površine tri jednakatrapeza. Uvedimo sljedeće oznake:P -tražena površinaPt-površina trapezaTada vrijedi:

P = 3 · Pt

P = 3 ·(10 + a+ 10 + 2a

2

)· h

P = 3 ·(26; 40 + 43; 20

2

)· h

P = 3 · 702· h

24

P = 3 · 35 · h

pri čemu je h visina trapeza, a 35 broj utisnut pokraj skice zadatka na pločici.Također, tražena površina se mogla izračunati i na drugi način - oduzimanjem površinevanjskog i unutrašnjeg jednakostraničnog trokuta.

Još jedna pločica koja sadrži geometrijske probleme kojima su se bavili starobabilonski ma-tematičari je i pločica MS 3049. Zapravo, to je sačuvani dio pločice koja sadrži veći brojmatematičkih zadataka. Sažetak na drugoj strani ulomka otkriva da je pločica orginalnosadržavala 16 zadataka. Prema njemu na pločici se nalazilo:

• 6 problema za krugove

• 5 problema za kvadrate

• 1 problem za trokut

• 3 problema za "kamene blokove" (eng. brick molds)

• 1 problem za unutrašnju dijagonalu vrata.

Na Slici 4.14 nalazi se rekonstruirana pločica.

Slika 4.14: Rekonstruirani izgled pločice MS 3049

Od šest problema za krugove koji su se nalazili na prednjoj strani pločice sačuvana su samoprva dva i to djelomično. Označimo ih s K1a i K1b. Uz tekst oba zadatka nalaze se iden-tične ilustracije. To su skice kruga s promjerom, tetivom i odgovarajućim brojevima. Odzadatka K1a nedostaje nekoliko riječi iz prve četiri i zadnjih pet linija teksta. S obzirom daje sačuvan gotovo cijeli postupak rješenja, moguće je rekonstrurati zadatak K1a.

25

Primjer 4.9. MS 3049, K1a: Neka je promjer kruga 20, a udaljenost tetive od kruga 2.Izračunajte duljinu tetive.

Rješenje:Označimo s x udaljenost tetive od kruga, a s y udaljenost tetive od promjera kruga, kao naSlici 4.15.

Slika 4.15: Skica zadatka K1a

Tada vrijedi x+ y = r. Kako je x = 2, a polumjer r = 10, imamo 2 + y = 10. Iz toga slijedida je y = 8. Tada vrijedi sljedeće:

(t

2

)2

= r2 − (r − x)2(t

2

)2

= 102 − (10− 2)2(t

2

)2

= 100− 64(t

2

)2

= 36

t

2= 6

t = 12.

S obzirom da nedostaje velik dio pločice na kojem se nalazi drugi problem o krugovima, nijemoguće točno rekonstruirati problem K1b. Kako se identična ilustracija ponavlja u drugomproblemu, može se pretpostaviti da je to zapravo bila jedna varijacija prvog problema. UK1b se možda traži da se izračuna duljina promjera ako je poznata duljina tetive i udaljenosttetive od kruga.

26

Na sačuvanom ulomku pločice MS 3049 ne nalaze se problemi za kvadrat i trokut. Na dru-goj strani ulomka pločice MS 3049 djelomično su sačuvana dva problema za kamene blokove,problem za unutrašnju dijagonalu vrata i sažetak u kojem su navedeni svi problemi kojeje sadržavala pločica. Kako je sačuvan jako mali broj redaka u kojima se nalazi sadržajproblema za kamene blokove, ne možemo sa sigurnošću reći što se u tim problemima tražilo.Problem označen na Slici 4.15 s S5c završava riječima da je to zadnji od tri problema zakamene blokove. Problem za unutrašnju dijagonalu vrata naveden je u četrnaest redaka pričemu zadnji dijelovi prve četiri linije teksta nisu sačuvani. U recima su dani podaci za visinuvrata, ;26 40, širinu vrata, ;08 53 20, i debljinu vrata, ;06 40. Unutrašnja dijagonalavrata određena je pomoću starobabilonskog pravila dijagonale. Cijeli postupak izračuna di-jagonale naveden je u sljedećem primjeru.

Primjer 4.10. MS 3049, Unutrašnja dijagonala vrata: Neka je visina vrata ;26 40, širinavrata ;08 53 20 i debljina vrata ;06 40. Izračunajte duljinu unutrašnje dijagonale vrata.

Rješenje:Neka vrata imaju oblik kvadra pri čemu d označava unutarnju dijagonalu vrata, w širinuvrata, t debljinu vrata i d1 dijagonalu baze vrata.

Slika 4.16: Unutrašnja dijagonala vrata

Formula za unutrašnju dijagonalu vrata dobivena je primjenom starobabilonskog pravila zaodređivanje duljine dijagonale proširenog na tri dimenzije. Duljina dijagonale baze vrataprema starobabilonskom pravilu u dvije dimenzije iznosi d21 = w2 + t2. Sada to praviloprimjenimo na dijagonalu d. Tada imamo:

27

d2 = d21 + h2

d2 = w2 + t2 + h2

d2 = (; 08 53 20)2 + (; 06 40)2 + (; 26 40)2

d2 =; 01 19 00 44 26 40 + ; 00 44 26 40 + ; 11 51 06 40

d2 =; 13 54 34 04 26 40

d =; 28 53 20.

Vrijednosti navedene za širinu, visinu i debljinu vrata, te unutrašnju dijagonalu vrata uprethodnom primjeru nisu slučajne. One su proporcionalne brojevima 3, 4, 12 i 13, odnosno:

; 06 40 = 3 · ; 02 13 20

; 08 53 20 = 4 · ; 02 13 20

; 26 40 = 12 · ; 02 13 20

; 28 53 20 = 13 · ; 02 13 20.

Ili, u našem sustavu

; 06 40 =3

27

; 08 53 20 =4

27

; 26 40 =12

27

; 28 53 20 =13

27.

Prema tome, imamo

(t, h, w, d) =1

27· (3, 4, 12, 13).

Tada (3, 4, 12, 13) predstavlja rješenje jednadžbe

d2 = w2 + t2 + h2

u cijelim brojevima konstruirano pomoću dvije dijagonalne trojke (13, 12, 5) i (5, 4, 3). Rje-šenje je tada babilonski matematičar pomnožio određenom konstantom (u našem slučaju s; 02 13 20, odnosno 1

27) kako bi dobio realne dimenzije za vrata ili kako bi sam postupak

računanja bio jednostavniji.

Još jedna pločica koja sadrži važna otkrića babilonskih matematičara je i pločica MS 3876(Slika 4.17). Na prednjoj strani pločice nalazi se 28 redaka teksta u kojima su objašnjena triproblema o 20 jednakostraničnih trokuta i jednoj "rogatoj figuri". Stražnja strana pločiceje prazna.

28

Tekst na pločici počinje izračunom odgovarajućeg broja geometrijskih likova. Za geome-trijske likove u tekstu je korišten naziv igraće polje. Označimo broj takvih traženih likova sN . Broj N je dobiven na sljedeći način:

• Neka je dana konstanta 6.

• Od dane konstante oduzmimo 1, a ostatak pomnožimo s 4.

• Rezultat tada iznosi N = (6− 1) · 4 = 20.

Slika 4.17: MS 3876

Dalje navedeni postupak na pločici otkriva da se naziv igraće polje odnosi na jednakostra-nični trokut sa stranicom duljine 3. Nakon što je poznat broj takvih trokuta na pločici seu sljedećih nekoliko linija računa njihova površina. Označimo stranicu jednakostraničnogtrokuta s a, a = 3. Formula za površinu jednakostraničnog trokuta jednaka je

P =a

2·√3

2a

pri čemu je√32a visina trokuta. Babilonski matematičari prvo su izračunali

a · 12= 3 · 1

2=; 07 30.

Kako su√32

aproksimirali s 78, odnosno

√3 s 7

4, postupak je bio sljedeći:

a

2· a =

3

2· 3 =; 01 52 30

a

2· a · 1

8=

3

2· 3 · 3 =; 00 14 03 45.

29

Prema tome površina trokuta iznosi

P =

(a

2· a− 1

8

a

2· a)

= (; 01 52 30 − ; 00 14 03 45) =; 01 38 26 15.

Nakon što je izračunata površina jednog jednakostraničnog trokuta na pločici se traži masarogate figure koja se sastoji od 20 jednakostraničnih trokuta. Svaki trokut te figure naprav-ljen je od bakrenih ploča debljine 1 prsta. Stoga se na pločici računa površina koju zauzima20 takvih trokuta. Traženu površinu označiti ćemo s P20 i ona je jednaka

P20 = 20 · P = 20 · ; 01 38 26 15 =; 32 48 45.

Nakon toga je uslijedilo računanje volumena rogate figure. Osnovna babilonska jedinica zavolumen bila je

1 rod2 × 1 cubit,

a1 prst =; 02 cubit.

Prema tome, volumen rogate figure, V20, iznosi

V20 =; 32 48 45 rod2 · ; 02 cubit

V20 =; 01 05 37 30 rod2 × cubit.

Babilonci su masu računali kao umnožak volumena i gustoće. U tu svrhu je na pločici daljenavedena konstanta za bakar, 1 12, koja predstavlja gustoću bakra. Tada masa zadanefigure, u oznaci W20, iznosi:

W20 =; 01 05 37 30 · 1 12

W20 = 1 18 ; 45 talent

Nakon što smo izračunali masu rogate figure preostaje nam objasniti koja se geometrijskafigura krije iza tog naziva. Nameće se pitanje: koju je figuru moguće konstruirati s 20 jed-nakostraničnih trokuta pri čemu znamo da je broj 20 dobiven iz (6 − 1) · 4? Odgovor jepravilni poliedar i to ikosaedar. U prilog tome ide i činjenica da je Babiloncima bila poznatapiramida s kvadratnom ili pravokutnom bazom, te jednakostranični trokut. Kombinacijomtih elemenata mogli su doći do figure danas poznate pod nazivom ikosaedar (Slika 4.18).

Slika 4.18: Ikosaedar i njegova mreža

30

Na Slici 4.18 lijevo prikazana je mreža ikosaedra. Pomoću nje se može objasniti na koji sunačin Babilonci došli do 20 jednakostraničnih trokuta od kojih su formirali ikosaedar. Kakobismo napravili ikosaedar potrebno je prvo iz pravilnog šesterokuta ukloniti jedan trokut pričemu nam ostaje 6 − 1 jednakostraničnih trokuta. Nakon toga napravimo 6 − 1 lanaca pričemu se svaki lanac sastoji od 4 jednakostranična trokuta. Lance označimo s

1a, 1b, 1c, 1d

2a, 2b, 2c, 2d

3a, 3b, 3c, 3d

4a, 4b, 4c, 4d

kao na Slici 4.18 lijevo. Spajanjem tih 6− 1 lanaca nastaje ikosaedar.

31

Literatura[1] F. M. Brückler, Povijest matematike 1, Odjel za matematiku, Sveučilište J. J. Stros-

smayera u Osijeku, 2007.

[2] D. Burton, The History od Mathematics: An Introduction, Sixth Edition, The McGraw-Hill Companies, 2007.

[3] J. Friberg, A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts, Springer Science+ Business Media, 2007.

[4] J. Friberg, A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts, Notices of theAMS, listopad 2008., 1076−1087, dostupno na http://www.ams.org/notices/200809/tx080901076p.pdf

[5] M. Libl, I. Matić, Plimpton 322, Matematika i škola, 73 (2014), 114 - 118., dostupno nahttp://www.mathos.unios.hr/~imatic/plimpton.pdf

[6] http://www.nova-akropola.rs/kako-je-odgonetnuto-klinasto-pismo/

[7] http://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/egypt_babylon/babylon.pdf

[8] http://ahyco.uniri.hr/seminari2007/povijestmatematike/1.htm

[9] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Babylonian_mathematics.html

[10] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Babylonian_numerals.html

32

SažetakU ovom radu upoznali smo se s babilonskom civilizacijom, njezinim razvojem kroz povijesti na kraju s njezinim završetkom. Na početku smo naveli neke od njenih najvećih kulturnihdostignuća, kao što su otkriće pisma i kotača. Naveli smo neke od spomenika koji su ostalisačuvani do danas i čuvaju se u muzejima diljem svijeta. Nadalje, opisali smo kako je tekaorazvoj klinastog pisma. Njihovo prvotno pismo bilo je piktografsko, zatim ideografsko dokse na kraju nije razvilo klinasto pismo. Za pisanje su prvo koristili trsku, a potom pisaljkus trokutastim završetkom. Svoja postignuća utiskivali su na vlažne glinene pločice. Navelismo tko je i na koji način odgonetnuo klinasto pismo. Nakon toga u sljedeća dva poglavljaopisali smo aritmetičke i geometrijske probleme kojima su se bavili babilonski matematičari.Saznali smo kako je izgledao njihov brojevni sustav, te naveli formule koje su koristili pri dije-ljenju i množenju. Kroz nekoliko primjera opisali smo kako su rješavali linearne i kvadratnejednadžbe, te sustave. Opisali smo jednu od najpoznatijih babilonskih glinenih pločica -pločicu Plimpton 322. Uz pomoć tablica i formula opisali smo kako su Babilonci došli dobrojeva utisnutih na tu pločicu. Na nekoliko primjera opisali smo geometrijske problemekoje su proučavali babilonski matematičari.

33

Title and summaryIn this work we met with Babylonian civilization, its development through history and inthe end with its completion. At the beginning we mentioned some of its greatest culturalachievements, such as discovery of letters and wheels. We listed some of the monumentswhich have been preserved until today and are kept in the museums all around the world.Furthermore, we described how progressed development cuneiform. Their initial letter waspictographic, then ideographic until the end has not developed cuneiform. First they usedreed to write, and then the stylus with triangular ending. Their achievements are imprintedon the wet clay tablets. We described who was the first one to decipher the cuneiform andhow did he do it. Then, in the next two chapters we described the arithmetic and geometricproblems which were Babylonian mathematicians dealing with. We found out how didtheir number system look like, and stated formulas which they used during multiplicationand division. Through several examples we described how they solve linear and quadraticequations and systems. We have described one of the most famous Babylonian clay tablets -tablet Plimpton 322. Using tables and formulas, we described how the Babylonians came tothe numbers imprinted on the tablet. In some examples, we describe the geometric problemsthat have studied the Babylonian mathematicians.

34

ŽivotopisRođena sam 17.05.1989. godine u Starim Perkovcima. Pohađala sam Osnovnu školu IvanaMeštrovića od 1. do 4. razreda u Starim Perkovcima, a od 5. do 8. razreda u Vrpolju.Nakon završetka osnovne škole upisala sam Klasičnu gimnaziju fra Marijana Lanosovića spravom javnosti u Slavonskom Brodu. Godine 2008. upisala sam Sveučilišni nastavničkistudij matematike i informatike na Odjelu za matematiku u Osijeku.