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Sucessões e Séries de funções

Cálculo II

Departamento de Matemática Universidade de Aveiro

2018-2019

Cálculo II | 2018-2019 Sucessões e Séries de funções 1 / 22

Sucessões de funções

Definição [Sucessão de funções]

Seja D ⊂ R e F (D) um conjunto de funções definidas no doḿınio D.Uma sucessão de funções é uma aplicação

(fn) : N −→ F (D)n 7→ fn

onde para cada n ∈ N

fn : D −→ Rx 7→ fn(x)



Exemplo 1

No intervalo D = [0, 1] podemos definir a sucessão de funções (fn) paracada n ∈ N

fn : D −→ Rx 7→ fn(x) = xn

x

y

f1

f2

f3

n = 1 n = 2 . . . n = n . . .

fn(x) f1(x) f2(x) . . . fn(x) . . .

xn x1 x2 . . . xn . . .

x = 1 fn(1) 11 12 . . . 1n . . .

x = 12

fn(12

) ( 12

)1 ( 12

)2 . . . ( 12

)n . . .

x = 13

fn(13

) ( 13

)1 ( 13

)2 . . . ( 13

)n . . .

x = 14

fn(14

) ( 14

)1 ( 14

)2 . . . ( 14

)n . . .

x = 0 fn(0) 01 02 . . . 0n . . .



Se para cada ponto x ∈ D a correspondente sucessão (fn(x)) forconvergente para f (x), podemos definir a função

f : D −→ Rx 7→ f (x) = lim

n→∞fn(x)

Definição [Convergência pontual]

Quando, para todos os pontos x ∈ D, se verifica que

f (x) = limn→∞

fn(x)

dizemos que a sucessão de funções (fn(x)) converge pontualmente paraa função f e escrevemos

fnp

−−−−→ f

A função f (x) é o limite pontual da sucessão de funções (fn(x)) nodoḿınio D.



Exemplo 1 (continuação)

No intervalo D = [0, 1] podemos definir a sucessão de funções (fn) para cadan ∈ N

fn : D −→ Rx 7→ fn(x) = xn

se x ∈ [0, 1[, limn→∞

fn(x) = limn→∞

xn = 0

se x = 1, limn→∞

fn(x) = limn→∞

1n = 1

esta sucessão de funções converge pontualmente para a função

f (x) =

{1, se x = 1,0, se x ∈ [0, 1[.

A sucessão de funções cont́ınuas em todo o doḿınio D = [0, 1] converge

pontualmente para uma função f (x) que não é cont́ınua no ponto 1.



Exemplo 2

No intervalo D = [0, 1] podemos definir a sucessão de funções (fn) para cadan ∈ N,

fn : D −→ Rx 7→ fn(x) = xn

x

y

f1

f2f3

n = 1 n = 2 . . . n = n . . .

fn(x) f1(x) f2(x) . . . fn(x) . . .

xn

x1

x2

. . . xn

. . .

x = 1 fn(1) 112

. . . 1n

. . .

x = 12

fn(12

) 12

14

. . . 12n

. . .

x = 13

fn(13

) 13

16

. . . 13n

. . .

x = 14

fn(14

) 14

18

. . . 14n

. . .

x = 0 fn(0)01

02

. . . 0n

. . .



De um modo geral, a convergência pontual de uma sucessão de funções(fn(x)) cont́ınuas não garante que a função limite pontual f (x) sejatambém cont́ınua.

Exemplo 3

No doḿınio D = [0, 1] podemos definir a sucessão de funções (fn) paracada n ∈ N fn(x) = x

n

n , x ∈ R, n ∈ N

x

y



Definição [Convergência uniforme]

Num doḿınio real D, dizemos que uma sucessão de funções (fn) convergeuniformemente para uma função f e escrevemos

fnu

−−−−−→ f

se, para todo o � > 0, existe p ∈ N tal que, para todo o n ∈ N, se n ≥ p, então

|fn(x)− f (x)| < �

para todo o x ∈ D.

Diz-se que (fn) converge uniformemente para f em D se a sucessão numérica determo geral

Mn := supx∈D|fn(x)− f (x)|

é um infinitésimo, i.e. limn→∞

Mn = 0.



Exemplo 4

No doḿınio D = R podemos definir a sucessão de funções (fn) para cadan ∈ N, fn(x) = arctan(x)n , x ∈ R, n ∈ N

−200 −150 −100 −50 50 100 150 200

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

y = arctan(x)n



Exemplo 4

No doḿınio D = R podemos definir a sucessão de funções (fn) para cadan ∈ N, fn(x) = arctan(x)n , x ∈ R, n ∈ N

−1 −0.5 0.5 1

−3

−2

−1

1

2

3

limn→∞

arctan(x

n) = 0

x

y

y = arctan(x)n



Exemplo 5

No doḿınio D = R podemos definir a sucessão de funções (fn) para cadan ∈ N fn(x) = arctan( xn ), x ∈ R, n ∈ N

−200 −150 −100 −50 50 100 150 200

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

y = arctan( xn )



Exemplo 6

No doḿınio D = [0, 1] podemos definir a sucessão de funções (fn) paracada n ∈ N fn(x) = x

n

n , x ∈ R, n ∈ N

x

y

(fn(x))p

−−−−→ f (x) = 0

(fn(x))u

−−−−→ f (x) = 0



Proposição

Se (fn) converge uniformemente para f num conjunto D, então (fn)converge pontualmente para f nesse conjunto.



Teorema [Propriedades da convergência uniforme]

Seja (fn) uma sucessão de funções cont́ınuas em D = [a, b] que convergeuniformemente para f em D, então

1 f é cont́ınua em D = [a, b]

2 f é integrável em D = [a, b] e tem-se∫ ba

f (x)dx =

∫ ba

limn→∞

fn(x)dx = limn→∞

∫ ba

fn(x)dx

3 se, adicionalmente, as funções têm derivadas cont́ınuas em D = [a, b]e a sucessão (f

′n) converge uniformemente em D = [a, b], então f é

diferenciável em D = [a, b] e

f′(x) = lim

n→∞f′n(x), ∀x ∈ D = [a, b]


Séries de funções

Definição

Para uma dada sucessão (fn(x)) de funções definidas em D ⊂ R, podemos definir uma série defunções de termo geral fn(x)

+∞∑n=1

fn(x)

também aqui podemos definir a sucessão das somas parciais, calculadas para cada n ∈ N por

Sn(x) = f1(x) + f2(x) + · · ·+ fn(x) =n∑

n=1

fn(x)

Se existe o limite, pontual ou uniforme, da sucessão (Sn(x)) dizemos que a série é convergente ea esse limite chamamos soma da série

S(x) =

+∞∑n=1

fn(x)

Uma série converge pontualmente em D quando a sucessão (Sn) converge pontualmente em D.Uma série converge uniformemente em D quando a sucessão (Sn) converge uniformemente emD. Cálculo II | 2018-2019 Sucessões e Séries de funções 15 / 22


Teorema [Propriedades das séries de funções]

Seja+∞∑n=1

fn(x) uma série de funções cont́ınuas em D = [a, b] e uniformemente convergente para

uma função S(x) em D, então

1 S é cont́ınua em D = [a, b]

2 S é integrável em D = [a, b] e tem-se∫ ba

S(x)dx =

∫ ba

+∞∑n=1

fn(x)dx =

+∞∑n=1

(

∫ ba

fn(x)dx)

3 se, adicionalmente, as funções têm derivadas cont́ınuas em D = [a, b] e a série+∞∑n=1

f′n

converge uniformemente em D = [a, b], então S é diferenciável em D = [a, b] e

S′(x) =

(+∞∑n=1

fn(x)

)′=

+∞∑n=1

f′n (x), ∀x ∈ D = [a, b]



Critério de Weierstrass

Sejam D ⊂ R e (fn) uma sucessão de funções definidas em D. Se1 existe uma sucessão (an) de números reais não negativos tal que a

série numérica+∞∑n=1

an é convergente,

2 para todo o n ∈ N e para todo o x ∈ D se tem

|fn(x)| ≤ an

Então a série de funções+∞∑n=1

fn(x) converge uniformemente em D.


Séries de potências

Teorema

Seja+∞∑n=0

an(x − c)n uma série de potências com raio de convergência

R 6= 0. Então a série converge uniformemente em qualquer subintervalofechado e limitado do seu intervalo de convergência ]c − R, c + R[.



Teorema de Abel

Seja+∞∑n=0

an(x − c)n uma série de potências com raio de convergência

R > 0. Se a série converge no ponto x = c + R (ou no ponto x = c − R),então a série converge uniformemente em [c, c + R] (ou, resp., em[c − R, c]).



Teorema

Seja+∞∑n=0

an(x − c)n uma série de potências com raio de convergência R 6= 0, seja

I =]c − R, c + R[ o seu intervalo de convergência e seja f (x) =+∞∑n=0

an(x − c)n.

Então

1 a função f é cont́ınua em todo o doḿınio de convergência da série,

2 a função f é diferenciável no intervalo I de convergência da série,

3 a função F (x) =+∞∑n=0

ann+1 (x − c)

n é a primitiva de f em I tal que F (c) = 0,

4 a função f é integrável em qualquer subintervalo [a, b] do doḿınio deconvergência e∫ b

a

f (x)dx =

∫ ba

(+∞∑n=0

an(x − c)n)dx =+∞∑n=0

(

∫ ba

an(x − c)ndx)



Teorema [unicidade de representação em séries de potências]

Se

f (x) =+∞∑n=0

an(x − c)n, x ∈ I =]c − R, c + R[, R 6= 0,

então f possui derivadas finitas de qualquer ordem em I e

an =f (n)(c)

n!

para todo n ∈ N0.



Representação em série de potências (Taylor)

11

1− x=

+∞∑n=0

xn, x ∈]− 1, 1[

2 ln(1 + x) =+∞∑n=1

(−1)n−1

nxn, x ∈]− 1, 1[

3 ex =+∞∑n=0

1

n!xn, x ∈ R

4 sin(x) =+∞∑n=0

(−1)n

(2n + 1)!x2n+1, x ∈ R

5 cos(x) =+∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2n, x ∈ R



Representação em série de potências (Taylor)

11

(1− x)2=

+∞∑n=1

n xn−1, x ∈]− 1, 1[

2 − ln(1− x) = ln( 11− x

) =+∞∑n=0

1

n + 1xn+1, x ∈]− 1, 1[

3 arctan(x) =+∞∑n=0

(−1)n

2n + 1x2n+1, x ∈]− 1, 1[


sweet - sucessoes e s eries de...

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