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Direction Infrastructure

I-I.63 – I-I.52

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TECHNIQUES DE BASE


I-I.63 – I-I.52

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TABLE DES MATIERES

Partie A : Résistance des matériaux 4

1. BUT DE LA RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 4

2. TYPES DE SOLLICITATION 4

3. UNITÉS ET SYMBOLES ADOPTÉS EN RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 5

4. PROPRIÉTÉS MÉCANIQUES DES MATÉRIAUX 5

4.1. LES CONTRAINTES 5

4.2. L’ÉLASTICITÉ 6

4.3. INFLUENCE DE LA TEMPÉRATURE 7

5. APPLICATION À CERTAINS TYPES DE SOLLICITATION 8

5.1. TRACTION SIMPLE 8 1. Définition 8 2. Conditions de résistance 8 3. Déformation 9

5.2. COMPRESSION SIMPLE 10 1. Définition 10 2. Conditions de résistance 11 3. Déformation 11

5.3. LE FLAMBAGE 12 1. Définition 12

Partie B: Statique 13

1. GÉNÉRALITÉS – LOIS 13

1.1. LES DIFFÉRENTS MOUVEMENT D’UN CORPS 13

1.2. EQUILIBRE D’UN CORPS 14

1.3. ORIGINE D’UNE FORCE 15 1. MESURE DES FORCES 15 2. CARACTÉRISTIQUES DES FORCES 15

2. COMPOSITION ET DECOMPOSITION DES FORCES (SITUEES DANS UN MEME PLAN) 16

2.1. PRINCIPES 16

2.2. DÉCOMPOSITION D’UNE FORCE : 16

2.3. COMPOSITION DE PLUSIEURS FORCES CONCOURANTES 17 1. RESOLUTION GRAPHIQUE : PARALLELOGRAMME DES FORCES 17 2. RÉSOLUTION MATHÉMATIQUE 18

2.4. COMPOSITION DE FORCES PARALLÈLES 19 1. LA RESULTANTE DE 2 FORCES EGALES ET PARALLELES : 19


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2. LA RESULTANTE DE 2 FORCES DIFFERENTES ET PARALLELES : 19

3. CENTRE DE GRAVITE DES SURFACES ET DES SOLIDES SIMPLES 20

3.1. NOTIONS DE CENTRE DE GRAVITE (G) 20 1. 1ÈRE NOTION 20 2. 2ÈME NOTION 20 3. 3ÈME NOTION 20

3.2. CENTRE DE GRAVITE DE FORMES SIMPLES 20

3.3. CONDITIONS D’EQUILIBRE DES SOLIDES SOUS L’ACTION DE LA PESANTEUR 20 1. PREMIER CAS : LE CORPS EST SUSPENDU 20 2. DEUXIEME CAS : LE CORPS REPOSE SUR UN PLAN HORIZONTAL 21 3. CONDITIONS DE STABILITÉ 21

Partie C : Le béton 22

1. GÉNÉRALITÉS 22

1.1. IMPORTANCE DU RAPPORT EAU/CIMENT (E/C) 22

1.2. CLASSES DE RESISTANCE 23

1.3. MASSE VOLUMIQUE DU BETON 23

1.4. LE BETON MAIGRE 23

2. LE BÉTON ARMÉ 24

2.1. PRINCIPE 24

2.2. LE BETON FIBRE 25

2.3. LE BETON PRECONTRAINT 25


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Partie A : Résistance des matériaux

1. BUT DE LA RÉSISTANCE

La résistance des matériaux permet

• de déterminer les contraintes

des forces extérieures connues

• de dimensionner un corps

2. TYPES DE SOLLICITATI

En fonction de la direction des forces agissant sur une pièce, on peut définir

de sollicitations différentes.

Celles que nous envisageons ici sont uniquement la traction (ou l’extension), la

compression et le flambage.

Il en existe encore d’autre

pas l’objet de ce résumé.

Dans le cas d’une combinaison d’effet (traction + flexion p. ex.), on étudie d’abord les

sollicitations séparément et on combine ensuite les contraintes.

PARTIE A


Résistance des matériaux

UT DE LA RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

ésistance des matériaux permet :

iner les contraintes intérieures qui sont engendrées dans un corps par

des forces extérieures connues

de dimensionner un corps connaissant les limites permises de ces contraintes.

TYPES DE SOLLICITATION

En fonction de la direction des forces agissant sur une pièce, on peut définir

de sollicitations différentes.


compression et le flambage.

(la flexion, le cisaillement, la torsion…) mais elles ne font


sollicitations séparément et on combine ensuite les contraintes.

Traction

Compression (pièce courte)

Flambage (pièce

longue)

ARTIE A : RESISTANCE DES

MATERIAUX

4

engendrées dans un corps par

permises de ces contraintes.

En fonction de la direction des forces agissant sur une pièce, on peut définir des types


(la flexion, le cisaillement, la torsion…) mais elles ne font


Compression (pièce courte)

Flambage (pièce

longue)

ESISTANCE DES


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3. UNITÉS ET SYMBOLES ADOPTÉS EN RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

Dénomination Symbole Dénomination Symbole

Longueur L mètre

millimètre*

m

mm

Surface S mètre carré

millimètre carré*

m²

mm²

Masse M kilogramme Kg

Force F newton N

Poids P newton** N

Contrainte σ

τ

Newton par mètre carré

Newton par millimètre carré*

N/m²

N/mm²

Moment

Couple

M

C

Newton .mètre

Newton .millimètre

Nm

* unité dérivée utilisée en résistance des matériaux

** une masse de 1 kg soumise à l'attraction terrestre exerce un effort vertical de 9,81 N.

4. PROPRIÉTÉS MÉCANIQUES DES MATÉRIAUX

4.1. LES CONTRAINTES

A l'intérieur d'une pièce de section S soumise par exemple à la traction par un effort

extérieur F, on retrouve une contrainte interne σ (lettre grecque sigma) donnée par la

formule :

S

F=σ avec σ en N/mm², F en N, et S en mm²

Cette formule est utilisée pour calculer la contrainte effective dans la pièce.

La même formule arrangée autrement peut être utilisée pour rechercher la section à

donner à la pièce en connaissant l'effort et la contrainte admissible du matériau :

σ

FS = avec F en N, σ en N/mm² et S en mm²

On peut également déterminer l'effort qui peut être appliqué à une pièce de section

connue et pouvant supporter une contrainte connue :

F = σ.S avec F en N, σ en N/mm² et S en mm²

Application

Calculez la contrainte d'une tige en acier soumise à un effort de 80.000 N sachant que

la tige a une section carrée de 40 mm de côté.


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Solution

1) Déterminons d’abord la section S de la tige :

S = 40 x 40 = 1.600 mm²

2) Calculons ensuite la contrainte σ dans la tige :

²/501600

80000 mmN

S

F===σ

4.2. L’ÉLASTICITÉ

Considérons un corps solide et soumettons-le progressivement à l'action de forces

extérieures (une traction par exemple). Sous l'effet de ces forces, le corps se déforme

(dans le cas d’une traction, s’allonge) et cette déformation continue jusqu'à ce que

l'équilibre s'établisse entre les forces extérieures et intérieures.

Fig. 1

Si, maintenant, on diminue graduellement les forces qui provoquent la déformation du

corps, ce dernier revient entièrement ou partiellement à sa forme initiale.

La propriété des corps de revenir, après déchargement, à leur forme initiale, s'appelle

l'élasticité.

Les matériaux de construction comme l'acier, le bois et la pierre restent élastiques,

tant que la sollicitation n'a pas dépassé la limite de proportionnalité.

Dans ce cas, on peut énoncer les principes suivants :

LA DEFORMATION EST PROPORTIONNELLE A LA FORCE AGISSANTE.


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L'EFFET PRODUIT PAR PLUSIEURS FORCES AGISSANT SIMULTANEMENT

EST EGAL A LA SOMME DES EFFETS PRODUITS PAR CHACUNE DES

FORCES SUPPOSEE AGISSANT SEPAREMENT.

Dans le cas de la traction et de la compression, il existe un lien simple entre la

contrainte exercée sur une pièce et la déformation résultante ; cette loi sera énoncée

dans l’étude de la traction.

4.3. INFLUENCE DE LA TEMPÉRATURE

Dans un matériau (un rail en acier par exemple), une augmentation de température se

traduit par une augmentation de longueur ; on dit que le matériau se dilate. A

l’inverse, une diminution de température causera une diminution de longueur ; on dira

que le matériau se contracte.

On peut calculer la variation de longueur en fonction de la variation de température ;

elle répond à une loi simple :

∆L = α . L0 . ∆T

avec :

• ∆L la variation de longueur en millimètre (mm) ;

• α le coefficient de dilatation linéaire en mm par mètre de longueur et par degré

(mm/m/°C) ;

• L0 la longueur initiale en mètre (m) ;

• ∆T = T - T0 la variation de température en degré Celsius (°C).

Ainsi, dans le cas d’un rail en acier (de coefficient de dilatation connu), les éléments

qui déterminent la variation de longueur sont la longueur initiale du rail et la variation

de température ; la section du rail n’intervient pas et la variation de longueur est donc

identique pour un UIC 50 et un UIC 60.

Dans la pratique, les variations de longueur sont souvent très faibles vis-à-vis de la

longueur des pièces. C’est pourquoi on exprime également les variations de longueur

dans les unités suivantes :

Valeur de quelques coefficients de dilatation linéaire α

Acier = 0,0115 mm/m/°C

Aluminium = 0,0231 mm/m/°C

Cuivre : 0,0165 mm/m/°C

Application

Soit un rail en acier dont la longueur est de 30 m en hiver à -20 °C ; en été, la

température est de 40 °C. Entre l’hiver et l’été, le rail subit donc une variation de

température ∆T = 60 °C ; sa variation de longueur sera :

∆L = α . L0 . ∆T = 0,0115 x 30 m x 60 °C = 20,7 mm.


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Ainsi le rail s'allonge de 20,7 mm et sa longueur en été sera de 30 m + 0,0207 m =

30,0207 m.

5. APPLICATION À CERTAINS TYPES DE SOLLICITATION

5.1. TRACTION SIMPLE

1. Définition

Une pièce est sollicitée à la traction simple lorsqu'elle est

soumise à deux forces directement opposées, appliquées aux

surfaces des sections extrêmes et qui tendent à l'allonger.

2. Conditions de résistance

Pour que la pièce résiste en toute sécurité, il faut que la contrainte effective σe (c’est à

dire celle réellement présente dans la pièce) soit inférieure à la contrainte admissible

σa (qui est fonction du matériau utilisé).

Ceci peut être représenté par l’équation suivante :

σe < σa

La contrainte admissible est souvent exprimée par la division de la contrainte de

rupture par un coefficient de sécurité :

K

Rra =σ

Le tableau ci-dessous donne la contrainte de rupture de quelques matériaux.

Matériaux Contrainte de rupture Traction Compression

Matériaux métalliques N/mm² N/mm²

Acier doux

Acier demi-dur

Acier dur

Acier pour béton précontraint

Acier spécial au Ni – Cr

Rail nuance 260

Rail nuance 220

360

540

880

1600

970

880

680

idem

Chêne ou hêtre

Béton

Brique

60 à 80

1.5

4

30 à 40

35

14


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Pour l'acier doux on prendra de façon courante K = 3 et donc ²/1203

360 mmNa ==σ .

3. Déformation

Comme vu plus haut, il existe une relation simple entre la contrainte à laquelle est

soumise une pièce et la déformation qu’elle subit. Une pièce soumise à de la traction

avec une contrainte σ s'allonge d'une grandeur δ (en mm) :

E

Lσδ =

où L est la longueur de la pièce (en mm) et E son module d'élasticité longitudinal (en

N/mm²), c'est-à-dire sa capacité de résister à un allongement.

E N/mm²

Bois dur

Brique

Béton

Acier

10.000

11.000

35.000

210.000

Une autre expression de cette loi (que l’on appelle loi de Hooke) est la suivante :

EL

σδ=

Application 1

Calculez la contrainte et l'allongement d'une tige en acier doux soumise à un effort de

80 kN sachant que la tige a une section carrée de 30 mm de côté et une longueur de 6

m.

Solution

a) Contrainte effective ²/89900

80000

3030

80000 mmN

xS

Fe ====σ

On contrôle que la contrainte effective est inférieure à la contrainte

admissible : 89N/mm² < 3

360 120 N/mm² => ok

b) Allongement mm 2,54210000

6000 89 ===

E

Lσδ


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Application 2

Une tige cylindrique est soumise à un effort de 50 000 N. Calculez son diamètre,

sachant que le métal à utiliser est de l'acier doux (contrainte admissible =

120 N/mm²).

Solution :

mm² 416120

50000 ===

A

FS

σ

Calcul du diamètre pour une section de 416 mm² :

mm² 4164

²=

dπ et donc mm 23

4164==

π

xd

Application 3

Une pièce de 12 m de longueur en acier doux et de 20 mm de diamètre subit un

allongement de 3 mm.

Calculez la contrainte et la charge appliquée.

Calcul de la contrainte en fonction de l’allongement :

E

Lσδ = on tire ²/5,52

12000

2100003 mmN

x

L

E===

δσ

Calcul de la section de la pièce : mm² 3144

²=

dπ

La charge appliquée vaut F = σ x S = 52,5 x 314 = 16 485 N.

5.2. COMPRESSION SIMPLE

1. Définition

Une pièce est sollicitée à la compression simple

lorsqu'elle est soumise à deux forces directement

opposées, appliquées aux surfaces des sections

extrêmes et qui tendent à la raccourcir.


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2. Conditions de résistance

Pour que la pièce résiste en toute sécurité, il faut que la contrainte effective σe (c’est à

dire celle réellement présente dans la pièce) soit inférieure à la contrainte admissible

σa (qui est fonction du matériau utilisé).

Ceci peut être représenté par l’équation suivante :

σe < σa

La contrainte admissible est souvent exprimée par la division de la contrainte de

rupture par un coefficient de sécurité :

K

Rra =σ

On a constaté que l'acier, le cuivre, le bronze ont une résistance à la rupture par

compression sensiblement égale à la résistance à la rupture par traction. Au contraire,

la fonte ordinaire résiste beaucoup mieux à la compression qu'à la traction : sa limite

de résistance est de 600 à 800 N/mm² à la compression alors qu'elle est de 140 à

300 N/mm² à la traction.

La limite de résistance à la compression du béton est environ 30 N/mm².

REMARQUE. - Dans les calculs on prendra généralement la même résistance

pratique à la traction et à la compression, sauf pour des matériaux tels que la fonte et

le béton.

On dit que la fonte et le béton "travaillent" mieux à la compression qu'à la traction.

3. Déformation

Pour autant que l’on soit en dessous de la limite élastique, la loi de Hooke est

également valable dans le cas d’une compression.

Une pièce soumise à de la compression avec une contrainte σ se raccourcira d'une

grandeur δ (en mm) :

E

Lσδ =

où L est la longueur de la pièce (en mm) et E son module d'élasticité longitudinal (en

N/mm²), c'est-à-dire sa capacité de résister à un raccourcissement.

E N/mm²

Bois dur

Brique

Béton

Acier

10.000

11.000

35.000

210.000


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Une autre expression de cette loi est la suivante

EL

σδ=

ou encore : LE

×=σ

δ

Application

Un rail de 27 m de longueur initiale subit une compression de

Calculez la diminution de longueur du rail sachant qu’il a une section de 7.670 mm².

Calcul de la contrainte effective dans le rail

Calcul de la diminution de longueur

5.3. LE FLAMBAGE

1. Définition


ne autre expression de cette loi est la suivante :

Un rail de 27 m de longueur initiale subit une compression de 596000 N.


Calcul de la contrainte effective dans le rail : ��

��² 77,7 /��²

Calcul de la diminution de longueur : LE

×=σ

δ

= 27000

210000

7,77× = 10 mm.

LE FLAMBAGE

Le flambage est la tendance qu'a

une poutre sollicitée en

compression longitudinale à

fléchir, et donc à se déformer dans

une direction perpendiculaire à la

force appliquée.

C’est notamment le cas d’un rail

soumis à compression et qui se

déforme latéralement

d’un serpentage de la voie

12

596000 N.


²

= 10 mm.

est la tendance qu'a

une poutre sollicitée en

compression longitudinale à

fléchir, et donc à se déformer dans

une direction perpendiculaire à la

C’est notamment le cas d’un rail

soumis à compression et qui se

déforme latéralement, comme lors

d’un serpentage de la voie.


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Partie B: Statique

S CHAPITRE I:

1. GÉNÉRALITÉS – LOIS

1.1.LES DIFFÉRENTS MOUVEMENT D’UN CORPS

On dit d’un corps qu’il est en translation lorsque tous ses points se déplacent au même

instant à la même vitesse (sens et grandeur). Les points se déplacent donc sur des

trajectoires parallèles. Le mouvement de translation d’un corps est donc

complètement défini par la vitesse du vecteur d’un point quelconque de ce corps. La

valeur et le sens de cette vitesse peuvent naturellement varier dans le temps.

Lors de la rotation, les différents points en mouvement décrivent des formes

circulaires. Tous les cercles décrits se trouvent dans un même plan perpendiculaire à

l’axe de rotation. La vitesse d’un point est ici proportionnelle à la distance qui sépare

ce point de l’axe de rotation. Le mouvement de rotation est complètement défini par la

position de l’axe de rotation et par la vitesse angulaire ω.

PARTIE B: STATIQUE


I-I.63 – I-I.52


Un corps peut simultanément se composer d’un mouvement de translation et d’un

mouvement de rotation. De cette façon, nous sommes face à un mouvement

QUELCONQUE. Inversement, un mouvement quelconque peut se décomposer en un

mouvement de translation et un mouvement de rotation. Si ces deux formes de

mouvements sont inexistantes, on dit d’un corps qu’il est au repos.

1.2.EQUILIBRE D’UN CORPS Un corps est en équilibre lorsque ses paramètres de mouvement ne sont pas modifiés,

c’est à dire lorsque :

1° Le corps est au repos et y reste ;

2° Le corps est uniquement soumis à un mouvement de translation invariable ;

3° Le corps est uniquement soumis à un mouvement de rotation invariable ;

4° Le corps est soumis simultanément à des mouvements de translation et de rotation

mais ces deux mouvements sont invariables.

EQUILIBRE = Non modification de l’état de mouvement ou de repos. Lois de Newton 1ère loi de Newton : principe de l'inertie Les corps sont inertes. En l'absence de force, un corps au repos demeure au repos.

Sans influence venant de l’extérieur, sa situation de repos ou de mouvement ne sera

pas modifiée.

2ème loi de Newton : Loi fondamentale de la dynamique Cette loi permet de calculer les effets de l'application de forces sur le mouvement d'un

corps. C'est une relation de cause à effet.

F= m.a (voir cours « dynamique »)

3ème loi de Newton : Action = réaction, Lorsqu’un corps exerce un effort F sur un autre corps, ce dernier exerce aussi sur le

premier un effort F’, de même direction mais de sens contraire.


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1.3.ORIGINE D’UNE FORCE La force peut avoir différentes origines : musculaire, du vent, de l’eau, de l’élasticité

des gaz, de l’électricité, de la pesanteur …

Les forces pouvant provoquer ou changer un mouvement sont des forces d’action.

Les forces qui s’opposent au mouvement sont des forces résistantes (forces de

freinage).

1. MESURE DES FORCES Tous les appareils de mesure fonctionnent sur le même principe de base, c’est-à-dire

la déformation élastique du ou des ressorts de l’appareil.

Cette déformation élastique est proportionnelle aux efforts appliqués jusqu’à une

certaine limite que l’on ne dépasse pas. Lorsqu’on ne dépasse pas cette limite, le

ressort reprend sa forme initiale quand la force cesse d’agir.

Ces appareils sont gradués à l’aide de forces connues.

On prend pour unité de force le Newton (N) ou son multiple : le daN.

Appareils de mesure :

Le dynamomètre

Le peson

2. CARACTÉRISTIQUES DES FORCES

Une force est caractérisée par :

• le point d’application : c’est à dire le point où agit la force ;

• la direction : c’est la ligne suivie par le point d’application lorsque le

corps se déplace ;

• le sens : suivant la direction, le corps peut se déplacer à gauche, à

droite, vers le haut ou vers le bas ;

• ggggrandeur ou intensité : s’exprime en N ou en daN.

Une force peut être représentée par un vecteur. Le point O est le point d’application,

la force agit dans la direction d, le sens est défini par la flèche, la grandeur est

représentée par le segment OE à condition que l’on se fixe une échelle représentative

(ex : 1cm = 1N).


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2. COMPOSITION ET DECOMPOSITION DES FORCES (SITUEES DANS UN MEME PLAN)

2.1.PRINCIPES Composer des forces, c’est rechercher une force qui produit le même effet que

plusieurs autres. Cette force s’appelle FORCE RESULTANTE.

Décomposer une force, c’est rechercher plusieurs autres de direction donnée qui

produiraient le même effet que la force initiale. Les forces obtenues par

décomposition s’appellent : les FORCES COMPOSANTES

2.2.DÉCOMPOSITION D’UNE FORCE :

Il faut projeter la force F (100N) suivant l’axe X et Y,

Nous avons donc comme forces composantes:

Fy = 100 N. sin(30°)

Fx = 100 N . cos(30°)

F² = F²x + F²y

Remarque :

La projection de la résultante d’un système de forces concourantes sur un axe

quelconque est égale à la somme algébrique des projections composant le système de

force.


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2.3.COMPOSITION DE PLUSIEURS FORCES CONCOURANTES Recherchons, par exemple, la résultante de ces 3 forces représentées ci-dessous.

Nous pouvons trouver la résultante des forces de deux façons différentes :

• soit graphiquement ;

• soit mathématiquement.

1. RESOLUTION GRAPHIQUE : PARALLELOGRAMME DES FORCES

Pour connaître graphiquement la valeur de la résultante, il faut tout d’abord

représenter le graphique à l’échelle.

Ensuite, il faut construire le parallélogramme des forces.

S’il y a plus de deux forces, il faut répéter l’opération afin de prendre toutes les

forces, tout en faisant attention de ne pas prendre deux fois la même force.

Prenons pour commencer les forces de 40 et 50 N, et construisons la première

résultante R1.

Ensuite, on ne s’occupe plus des forces de 40 et 50 N. On construit la résultante totale

grâce à la résultante R1 et la force de 45 N.


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Il ne reste plus qu’à mesurer la valeur de la résultante et de l’angle.

2. RÉSOLUTION MATHÉMATIQUE Afin de calculer la résultante de ces trois forces, il faut passer par la décomposition

des forces.

On va décomposer les différentes forces suivant deux axes perpendiculaires X et Y.

Suivant X, on a :

Rx = 40 + 50 . cos 45° + 45 cos 30° = 40 + 35,35 + 38,97 = 114,32 N

Suivant Y on a :

Ry = 0 + 50 . sin 45° - 45 . sin 30° = 0 + 35,35 – 22,5 = 12,85 N

On peut calculer la résultante : R = 85,1232,11422

+ = 115 N

Rx= R x Cos α et donc �� ∝ ��

�

Cos α = 115

32,114 = 0,994 ; par conséquent : α = 6°.


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2.4.COMPOSITION DE FORCES PARALLÈLES

1. LA RESULTANTE DE 2 FORCES EGALES ET PARALLELES : La résultante a pour point d’application le milieu de la ligne qui joint les points

d’applications des composantes et pour valeur, la somme de celles-ci.

2. LA RESULTANTE DE 2 FORCES DIFFERENTES ET PARALLELES :

La résultante a la même direction et le même sens que les composantes. Son point

d’application divise la ligne droite qui joint les points d’application des composantes

en parties inversement proportionnelle aux forces composantes. Son intensité vaut la

somme des intensités des composantes.

FR= F1 + F2 (valeur de la force Résultante)


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3. CENTRE DE GRAVITE DES SURFACES ET DES SOLIDES SIMPLES

3.1.NOTIONS DE CENTRE DE GRAVITE (G)

1. 1ÈRE NOTION

Le centre de deux ou plusieurs forces parallèles est le point d’application de la

résultante. Ce centre ne change pas quelle que soit l’orientation du corps, à condition

que le parallélisme des forces soit respecté.

2. 2ÈME NOTION Le centre de gravité (G) d’un cercle coïncide avec le centre du cercle.

3. 3ÈME NOTION Le centre de gravité (G) d’un corps est le point d’application de la résultante des

forces dues à l’attraction terrestre qui s’exercent sur tous les éléments qui composent

le corps. Si ce corps est maintenu par le centre de gravité, il sera en équilibre.

3.2.CENTRE DE GRAVITE DE FORMES SIMPLES Le centre de gravité d’un corps qui a un centre, un ou plusieurs axes, un ou plusieurs

plans de symétrie, se trouve respectivement en ce centre, sur les axes ou dans les plans

de symétrie

Remarque : Nous déduisons d’après ce qui précède qu’un corps suspendu par son centre de gravité

(à la condition que ce centre de gravité soit un point du corps), est en équilibre.

3.3.CONDITIONS D’EQUILIBRE DES SOLIDES SOUS L’ACTION DE LA

PESANTEUR 1. PREMIER CAS : LE CORPS EST SUSPENDU

Pour que le corps reste en équilibre stable, il faut qu’il soit suspendu par un point situé

au-dessus de son centre de gravité (G).


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2. DEUXIEME CAS : LE CORPS REPOSE SUR UN PLAN HORIZONTAL

Un corps peut reposer sur un plan horizontal de trois façons

1° Par un seul point :

Un corps qui repose sur un plan horizontal par un point fixe est en équilibre

lorsque le centre de gravité et le point d’appui se trouvent sur la même verticale.

2° Par deux points : (c’est-

Un solide soumis à l’action de la pesanteur est en équilibre lorsque la verticale

abaissée de son centre de gravité tombe à l’intérieur de sa base de sustentation.

Le solide perd l’équilibre dès le moment où la verticale passant par G ne passe plus

dans la base de sustentation.

3° Par trois points non en ligne droite

En équilibre si G est au dessus du triangle.

3. CONDITIONS DE STABILITÉ Un corps posé sur un plan horizontal est d’autant plus stable que sa base d’appui est

plus grande et que son centr

L’équilibre d’un solide est

gravité (G) tombe à l’intérieur de la base de sustentation (B).

Quand la charge augmente, le centre de gravité se déplace. Si la verticale du centre de

gravité tombe sur le point de rotation (ici le p

instable.

Lorsque la verticale tombe en dehors de la base de sustentation, il y a

basculement.


DEUXIEME CAS : LE CORPS REPOSE SUR UN PLAN HORIZONTAL

n corps peut reposer sur un plan horizontal de trois façons :


centre de gravité et le point d’appui se trouvent sur la même verticale.

-à-dire par une ligne ou par un axe sur un plan horizontal)


son centre de gravité tombe à l’intérieur de sa base de sustentation.


dans la base de sustentation.

Par trois points non en ligne droite : c’est-à-dire géométriquement par un plan.

En équilibre si G est au dessus du triangle.

CONDITIONS DE STABILITÉ

Un corps posé sur un plan horizontal est d’autant plus stable que sa base d’appui est

plus grande et que son centre de gravité est plus bas.

L’équilibre d’un solide est stable lorsque la verticale abaissée du centre de

gravité (G) tombe à l’intérieur de la base de sustentation (B).


gravité tombe sur le point de rotation (ici le pneu avant du véhicule), l’équilibre est

Lorsque la verticale tombe en dehors de la base de sustentation, il y a

21

DEUXIEME CAS : LE CORPS REPOSE SUR UN PLAN


centre de gravité et le point d’appui se trouvent sur la même verticale.

dire par une ligne ou par un axe sur un plan horizontal)


son centre de gravité tombe à l’intérieur de sa base de sustentation.


par un plan.

Un corps posé sur un plan horizontal est d’autant plus stable que sa base d’appui est

stable lorsque la verticale abaissée du centre de


neu avant du véhicule), l’équilibre est


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Partie C : Le béton

1. GÉNÉRALITÉS

Le béton est un matériau de construction composite constitué de gros et fins granulats

(gravier ou pierre concassée, sable) agglomérés par un liant.

Ce liant est habituellement un mélange ciment/eau formant une pâte qui durcit.

Lorsque les granulats utilisés avec le mélange ciment/eau se limitent à des sables, on

parle alors de mortier.

Le béton frais associé :

• à de l'acier permet d'obtenir le béton armé, un matériau de construction

courant.

• à des fibres permet d'obtenir des bétons fibrés

1.1.IMPORTANCE DU RAPPORT EAU/CIMENT (E/C)

Le dosage de l’eau et du ciment sont deux facteurs importants.

En effet, la mise en oeuvre et la résistance sont grandement affectées par ces deux

paramètres.

Plus le rapport eau/ciment est grand, plus la mise en oeuvre sera grande.

En effet, plus il y a d'eau, plus le béton aura tendance à remplir aisément les formes.

PARTIE C : BETON


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Le rapport e/c "moyen" est normalement fixé à 0,45.

C'est ce rapport qui est le plus souvent utilisé, car le béton obtenu dispose d'une assez

bonne mise en oeuvre, tout en ayant une bonne résistance.

1.2.CLASSES DE RESISTANCE

Les bétons sont classés selon leur résistance à la compression.

Ce classement est de la forme Cx/y.

• x désigne la résistance caractéristique exigée à 28 jours, mesurée sur des

cylindres de 150 mm de diamètre sur 300 mm de haut ;

• y désigne la résistance caractéristique exigée à 28 jours, mesurée sur des cubes

de 150 mm de côté.

Les classes de résistance normalisées et les cas les plus courants sont :

• C16/20 : Béton maigre, Fondations légères,

• C20/25 : Fondations, non armées ou armées légèrement

• C25/30, C30/37 : Béton armé (colonnes, poutres, dalles...)

1.3.MASSE VOLUMIQUE DU BETON

La masse volumique d’un béton normal varie entre 2.000 et 2.600 kg/m3.

La masse volumique du béton armé > 2.500 kg/m³

1.4.LE BETON MAIGRE

Le béton maigre ou de propreté est un béton faiblement dosé en ciment.

Il est étalé sur le sol ou en fond de fouilles - ou fond de coffre - afin de créer une

surface de travail plane et non terreuse.

Il protège le sol des intempéries (mise hors gel) et permet de travailler « au propre »

d'où son nom.

Il évite également le contact de la terre avec le béton de fondation.

Non structurel, il est mis en oeuvre sur des épaisseurs ne dépassant pas 5 à 10 cm.


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2. LE BÉTON ARMÉ

De façon intrinsèque, le béton de ciment possède une bonne résistance à la

compression, mais une faible résistance à la traction. Aussi est-il nécessaire, lorsqu'un

ouvrage en béton est prévu pour subir des sollicitations (contraintes) en traction ou en

flexion (comme par exemple un plancher, un pont, une poutre...), d'y incorporer des

armatures en acier destinées à s'opposer aux efforts de traction et à les reprendre.

2.1. PRINCIPE

1. Une poutre en béton a son poids propre, elle est construite pour supporter une

charge utile en tenant compte de coefficients de sécurité

2. Sans armature, le fléchissement de la poutre entraîne l’apparition de fissures

pouvant conduire à la rupture

3. La mise en place d’une armature (théoriquement) permet au béton de résister à

des efforts de traction

4. Pratiquement, les armatures forment un ensemble rigide (treillis, cages,...)

pour faciliter leur mise en place dans le coffrage


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2.2.LE BETON FIBRE

Dans certains cas, le béton est armé au moyen de fibres en aciers ou synthétiques.

Elles sont ajoutées au mélange lors de la préparation du béton.

Fibres en acier

Les fibres en acier augmentent la ductulité du béton durci et réduisent ainsi

l’ouverture des fissures.

Dimensions des fibres : longueur de 30 à 100 mm, diamètre de 0.1 à 1 mm

Application : Tuyaux en béton armé

Fibres synthétiques

Les fibres en matière synthétique limitent la formation de fissures dues au retrait

plastique et ont donc indirectement un effet favorable sur la durabilité du béton durci.

De plus, ce type de béton offre une meilleure qualité de surface (meilleure résistance

au gel, aux agents agressifs,...)

2.3.LE BETON PRECONTRAINT

La précontrainte a pour but de soumettre le béton lors de sa fabrication à des

contraintes préalables permanentes de compression.

Les étapes de fabrication :

1 Mise sous tension de l’armature avant bétonnage

2 Bétonnage


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3 Décoffrage et mise sous tension du béton

4. Mise en service

Une fois l’ouvrage en service, ce gain en compression va s’opposer aux contraintes de

traction créées par les charges appliquées à l’ouvrage (poids propre, charge

d’exploitation, charge climatique, etc.).

Le béton, matériau qui présente une faible résistance à la traction, se trouve ainsi

utilisé au mieux de ses possibilités en ne travaillant qu’en compression.

Lors du transport et du montage, les éléments précontraints doivent être

manutentionnés correctement pour éviter qu’ils ne se cassent.

La photo ci-dessous illustre une unité de mise sous tension des armatures.


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La photo ci-dessous illustre un passage supérieur constitué de poutres en

béton précontraint

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