1 

 

Κεφάλαιο

5

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα

Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι:

y

( ) O Δ=(α,β) β a x

f(Δ)

i. Η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής γραμμή για x και μόνο.

ii. Αν η f είναι μη σταθερή στο Δ, το σύνολο τιμών της είναι διάστημα.

y

B(β, f (β))

f (a)

f (β)

O β

y=η η

a x

Α(α , f (α))

Κ Λ Μ

Η συνάρτηση f : , — , στο σχήμα είναι συνεχής στο

διάστημα , , όχι σταθερή, με f ( ) f ( ) . Αν

πάρουμε πάνω στον άξονα y y έναν αριθμό η , ενδιάμεσο των f(α) και f(β) και φέρουμε την ευθεία y , παράλληλη στον άξονα x x , παρατηρούμε ότι η ευθεία αυτή τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε τρία σημεία,

, , , , , .

Η συνάρτηση f : , — , στο σχήμα δεν είναι συνεχής

στο διάστημα , , όχι σταθερή, με f ( ) f ( ) . Αν

πάρουμε πάνω στον άξονα y y έναν αριθμό η , ενδιάμεσο των f(α) και f(β) και φέρουμε την ευθεία y , παράλληλη στον άξονα x x , παρατηρούμε ότι η ευθεία αυτή δεν είναι σίγουρο ότι θα τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε τουλάχιστον ένα σημείο.

 η y

Ο δρόμος προς τις εξετάσεις – Συνέχεια σε κλειστό διάστημα

2 

 

y

[ ] O β a x

Μ

m m

Μ

Η συνάρτηση f : , — , στο σχήμα είναι συνεχής στο

διάστημα κλειστό διάστημα , , όχι σταθερή.

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση έχει: ελάχιστη (m) , μέγιστη τιμή (M).

Η συνάρτηση f : — — , στο σχήμα είναι συνεχής στο (ανοικτό διάστημα) — , όχι σταθερή. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση δεν έχει:

ελάχιστη τιμή, μέγιστη τιμή.

Όλα τα παραπάνω αναλύονται στα επόμενα.

Ερώτηση θεωρίας 1 i. Να διατυπωθεί το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών.

ii. Να αποδειχθεί το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών.

Απάντηση

Το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano.

Θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών (Θ.Ε.Τ)

i. Το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ , ] . Αν:

η f είναι συνεχής στο [ , ] και

f ( ) f ( )

τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f ( ) και f ( ) υπάρχει ένας, τουλάχιστον 0x ( , )

τέτοιος, ώστε 0f (x ) .

ii. Απόδειξη

Ας υποθέσουμε ότι f ( ) f ( ) . Τότε θα ισχύει f ( ) f ( ) . Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g(x) f (x) , x [ , ] , παρατηρούμε ότι: η g είναι συνεχής στο [ , ] και g( )g( ) 0 , αφού g( ) f ( ) 0 και g( ) f ( ) 0 . Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει 0x ( , ) τέτοιο, ώστε 0 0g(x ) f (x ) 0 ,

οπότε 0f (x ) .

x0 x0 x0

y

B(β, f(β))

f (a)

f(β)

O β

y=η η

a x

Α(α , f(α))

 

Ο δρόμος προς τις εξετάσεις – Συνέχεια σε κλειστό διάστημα

3 

 

Πρόσεξε Ότι

Α. Γεωμετρικά το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών εκφράζει ότι η ευθεία y τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y f (x) σε ένα τουλάχιστον σημείο.

Β. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστημα [ , ] , τότε, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα, δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές.

y

f (a)

f (β)

O

y=η η

x β a  

 

Γ. Το θεώρημα του Bolzano μπορεί να θεωρηθεί ειδική περίπτωση του Θ.Ε.Τ στη περίπτωση που η τιμή 0 είναι ενδιάμεση τιμή των f ( ) , f ( ) .

Δ. Η υπόθεση f ( ) f ( ) είναι απαραίτητη για να αποκλείσουμε τη περίπτωση συνεχούς και σταθερής συνάρτησης για την οποία δεν υπάρχει αριθμός η μεταξύ των f ( ), f ( ) .

 

Ε. Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι: Η εικόνα f ( ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής

συνάρτησης f είναι διάστημα. Αν f σταθερή στο Δ, τότε το σύνολο τιμών είναι μονοσύνολο.

y

( ) O β a x

y

( ) O β a x

y

[ ) O β a x

y

[ ] O β a x x1 x2

Μ

m m

Μ

Ο δρόμος προς τις εξετάσεις – Συνέχεια σε κλειστό διάστημα

4 

 

Στην ειδική περίπτωση που το Δ είναι ένα κλειστό διάστημα [ , ] , ισχύει το παρακάτω θεώρημα.

Ερώτηση θεωρίας 2 Να διατυπωθεί το θεώρημα μεγίστης και ελαχίστης τιμής.

Απάντηση

Πρόσεξε Ότι

Α. Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι: το σύνολο τιμών μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f ορισμένη στο [ , ]

είναι το κλειστό διάστημα m,M , όπου m η

ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της, διότι:

y

[ ] O β a x x1 x2

f(x2)=M

f(x1)=m m

Μ

η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 1 2x , x με 1 2f x f x , άρα έχει για τιμές και

όλες τις ενδιάμεσες και μόνον αυτές, αφού miny m και maxy M .

Β. Όταν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παίρνει δύο τιμές διαφορετικές μεταξύ τους, τότε η f παίρνει και όλες τις ενδιάμεσες (Θ.Ε.Τ.).

Παράδειγμα

Η συνάρτηση f (x) ημx , x [0,2 ] έχει σύνολο τιμών το [ 1,1] , αφού είναι συνεχής στο [0,2 ] με m 1 και M 1 .

O 2π 3π/2

π/2 π

1

1

y

x

 

Θεώρημα Μέγιστης και ελάχιστης τιμής

Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [ , ] , τότε η f παίρνει στο [ , ] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m. Δηλαδή, υπάρχουν 1 2x ,x [ , ] τέτοια, ώστε,

αν 1m f ( x ) και 2M f ( x ) , να ισχύει:

m f ( x ) M , για κάθε x [ , ] .

y

[ ] O β a x x1 x2

Μ

m m

Μ

Ο δρόμος προς τις εξετάσεις – Συνέχεια σε κλειστό διάστημα

5 

 

Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς και μη σταθερούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, έχουμε προαναφέρει, είναι ότι το σύνολο τιμών της είναι διάστημα. Αν το διάστημα Δ είναι κλειστό, έστω , , τότε το σύνολο τιμών της f είναι το

f m,M , όπου:

m η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f στο , ,

M η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f στο , .

Ερώτηση θεωρίας 3 Ποιο είναι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς και γνήσιας μονότονης συνάρτησης ορισμένης σε κλειστό διάστημα.

Απάντηση

Για το σύνολο τιμών μιας συνεχούς και γνήσιας μονότονης συνάρτησης f ορισμένης στο κλειστό διάστημα , , ισχύουν τα ακόλουθα:

Αν f γνήσια αύξουσα στο Δ τότε: m f ( ) και f ( ) , συνεπώς το σύνολο τιμών

της f είναι το f f ( ), f ( ) .

y

[ ] O β

M=f(β)

m=f(α)

a x

Αν f γνήσια φθίνουσα στο Δ τότε: m f ( ) και f ( ) , συνεπώς το σύνολο τιμών

της f είναι το f f ( ), f ( ) .

y

[ ] O β

Μ=f(α)

m=f(β)

a x

Για το σύνολο τιμών μιας συνεχούς και γνήσιας μονότονης συνάρτησης f ορισμένης στο ανοικτό διάστημα , , ισχύει το ακόλουθο:

Ερώτηση θεωρίας 4 Ποιο είναι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς και γνήσιας μονότονης συνάρτησης ορισμένης σε ανοικτό διάστημα.

Απάντηση

Σύνολο τιμών Συνεχούς Συνάρτησης ορισμένης σε διάστημα

Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( , ) , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ( , )

όπου xlim f (x)

και

xB lim f (x)

.

y

( ) O β

B

A

a x

Ο δρόμος προς τις εξετάσεις – Συνέχεια σε κλειστό διάστημα

6 

 

Πρόσεξε Ότι

Α. Η εικόνα f ενός διαστήματος Δ είτε ανοικτού είτε κλειστού μέσω μιας συνεχούς

και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Στο σχήμα:

Δ=(α,β), f ( ) , , όπου:

min f (x) και xim f (x)

.

Στο σχήμα: Δ=(α,β), f ( ) , , όπου:

min f (x) και max f (x) .

y

( ) O

Δ=(α,β) β a x

f(Δ)

κ

λ

y

( ) O β a x

f(Δ)

κ

λ

Γ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα στο — , τότε το

σύνολο τιμών της είναι το x x

f im f (x), im f (x)

.

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνήσια φθίνουσα στο — , τότε το

σύνολο τιμών της είναι το x x

f im f (x), im f (x)

.

Δ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα , και ισχύει:

x xim f (x) im f (x)

ή

x xim f (x) im f (x)

, τότε

το σύνολο τιμών της είναι το f , — .

Ε. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα και ισχύει 0 f ( ) , τότε η εξίσωση f (x) 0 έχει τουλάχιστον μια λύση στο Δ.

Στ. Δεν υπάρχει συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση f : — – , διότι το σύνολο

– των ρητών αριθμών δεν μπορεί να περιέχει την εικόνα f — του — , η

οποία είναι διάστημα. Δεν υπάρχει συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση f : — Õ , διότι το σύνολο Õ

των φυσικών αριθμών δεν μπορεί να περιέχει την εικόνα f — του — , η οποία

είναι διάστημα.

Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( , ) , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ( , )

όπου xlim f (x)

και

xB lim f (x)

.

y

( ) O β

Α

Β

a x

Ο δρόμος προς τις εξετάσεις – Συνέχεια σε κλειστό διάστημα

7 

 

Αν η συνάρτηση f : είναι συνεχής και «1-1» στο διάστημα Δ, τότε η f είναι γνήσια

μονότονη στο Δ.

Απόδειξη

 

   

Μια σημαντική πρόταση

Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε , , με θα είναι:

f f f ή f f f .

i. Έστω ότι για κάθε , , με είναι: f f f .

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα , και επειδή f f f ,

είναι f f , συνεπώς ισχύει το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών στο , ,

οπότε για την ενδιάμεση τιμή f f f f , υπάρχει τουλάχιστον ένα

, ώστε να ισχύει f f και επειδή η f είναι «1-1» θα έχουμε ,

δηλαδή , άτοπο γιατί . Επομένως θα ισχύει:

Για κάθε , , με f f f ,

οπότε f γνήσια αύξουσα στο Δ, ή Για κάθε , , με f f f ,

οπότε f γνήσια φθίνουσα στο Δ. ii. Επίσης σε άτοπο καταλήγουμε εργαζόμενοι με τον ίδιο τόπο, αν υποθέσουμε ότι:

Για κάθε , , με

f f f

ή

f f f

ή

f f f

.

Τελικά, κάθε συνάρτηση f : η οποία είναι συνεχής και «1-1» στο διάστημα Δ, τότε η f είναι γνήσια μονότονη στο Δ.

Ο δρόμος προς τις εξετάσεις – Συνέχεια σε κλειστό διάστημα

8 

 

5.1.2 Τεχνική αντιμετώπιση

Τεχνική Α: Η συνάρτηση f παίρνει τη τιμή « η » . Στη περίπτωση που θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση : , — παίρνει την τιμή η, εργαζόμαστε ως εξής:

i. Αποδεικνύουμε ότι η f είναι συνεχής στο , .

ii. Αποδεικνύουμε ότι ο αριθμός « η » ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης f : είτε, βρίσκοντας αρχικά τις τιμές f ( ) , f ( ) και εφόσον f ( ) f ( ) , δείχνουμε στη

συνέχεια ότι ο αριθμός « η » βρίσκεται μεταξύ των τιμών f ( ) και f ( ) , δηλαδή ισχύει: f ( ) f ( ) , οπότε, λόγω του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών, θα υπάρχει

τουλάχιστον ένα 0x , ώστε 0f (x ) .

είτε, βρίσκοντας αρχικά το σύνολο τιμών f ( ) της συνάρτησης f , δείχνουμε στη συνέχεια ότι f Δ , οπότε έχουμε εξασφαλίσει την ύπαρξη ενός τουλάχιστον

0x , ώστε 0f (x ) .

Παραδείγματα

1. Δίνεται η συνάρτηση : 0,5 f με 2f ( x ) x 3x 2 x . Να εξετασθεί αν η

f μπορεί να πάρει την τιμή 18. Λύση

Είναι f (0) 2

f (0) f (5)f (5) 42

, επομένως έχουμε: 2 18 42 , συνεπώς έχουμε:

f (0) 18 f (5) και εφόσον η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0,5] ως σύνθεση και πράξεις συνεχών συναρτήσεων, από Θ.Ε.Τ. συμπεραίνουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 0x 0,5 , ώστε 0f (x ) 18 .

2. Δίνεται η συνεχής και περιττή συνάρτηση :f για την οποία ισχύει:

1lim ( ) 2x

f x

. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν σημεία της fC με αντίστοιχες τεταγμένες

1 και -1. Λύση

Είναι f είναι συνεχής στο , οπότε f (1) x 1lim f (x) 2

.

Η f είναι περιττή οπότε ισχύει: f ( x) f (x) για κάθε x, x , επομένως: για x 0 έχουμε: f ( 0) f (0) f (0) 0 . για x 1 έχουμε: f ( 1) f (1) f ( 1) 2 . Έχουμε: f (0) f (1) και f (0) 1 f (1) . Η f είναι συνεχής στο [0,1], άρα από Θ.Ε.Τ. υπάρχει

τουλάχιστον ένα 0x 0,1 τέτοιο , ώστε 0f (x ) 1 .

f ( 1) f (0) και f ( 1) 1 f (0) . Η f είναι συνεχής στο [-1,0], άρα από Θ.Ε.Τ.

Ο δρόμος προς τις εξετάσεις – Συνέχεια σε κλειστό διάστημα

9 

 

υπάρχει τουλάχιστον ένα 1,0 τέτοιο , ώστε f ( ) 1 .

3. Δίνεται η συνάρτηση f : 2,1 με 2 2xf ( x ) 2x 3 5 x 4

2

. Να

εξετασθεί αν η f μπορεί να παίρνει τις τιμές: 0, -1, 2, 5 . Λύση Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 2,1 ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.

2 2 22f ( 2) 2 2 3 5 2 4 8 3 5 2 4 7

2

2 2f (1) 2 1 3 5 4 2 3 5 4 22

.

Επειδή η συνάρτηση fείναι συνεχής στο διάστημα 2,1 με f ( 2) f (1) , παίρνει κάθε

τιμή μεταξύ των 2 f (1) και 7 f ( 2) συνεπώς και τις τιμές 0, 1, 2, 5 .

4. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : a, , με α<β, a, . Να δειχθεί ότι η f

είναι σταθερή. Λύση Αν υποθέσουμε ότι η f δεν είναι σταθερή τότε:

Θα υπάρχουν τουλάχιστον δύο αριθμοί , , , με , ώστε f ( ) f ( ) .

Επειδή η f είναι συνεχής στο [α,β] θα είναι συνεχής και στο , .

Από το Θ.Ε.Τ. η συνάρτηση f θα παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ των ακεραίων f ( ) και f ( ) , όμως μεταξύ δύο ακεραίων αριθμών υπάρχουν και ρητοί και άρρητοι, άρα το σύνολο τιμών θα περιέχει και μη ακέραιους αριθμούς, που είναι άτοπο, γιατί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το σύνολο των ακεραίων .

Τεχνική Β: Ύπαρξη , με .

Στη περίπτωση που θέλουμε να δείξουμε ότι για μια συνάρτηση : , — υπάρχει

, τέτοιο ώστε 1 1 2 2

1 2

f ( x ) f ( x ) f ( x )f ( )

, 1 2, ,..., , για

δοσμένα 1 2x ,x , ,x a, , εργαζόμαστε ως εξής:

i. Αποδεικνύουμε ότι η f είναι συνεχής στο , .

ii. Εφόσον η f συνεχής στο , , οι τιμές της παίρνουν ελάχιστη τιμή, έστω m και

μέγιστη τιμή, έστω Μ, επομένως ισχύει για κάθε x , : m f (x) M .

iii. Χρησιμοποιούμε το θεώρημα μέγιστης – ελάχιστης τιμής για κάθε

1 2 3 4x , x , x , x , x , δημιουργώντας κατάλληλες ανισότητες , της μορφής:

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 2

m f x M m f x M

m f x M m f x M

. . ί , , ,

. . ί ί

. . ό ί ά

m f x M m f x M

iv. Προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε:

Ο δρόμος προς τις εξετάσεις – Συνέχεια σε κλειστό διάστημα

10 

 

1 2 1 1 2 2 1 2... m f x f x ... f x ... M

1 1 2 2

1 2

f x f x ... f xm M

...

v. Ο αριθμός 1 1 2 2

1 2

f x f x ... f x

...

ανήκει στο σύνολο τιμών της

συνάρτησης f που είναι το m,M , επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα , ώστε

1 1 2 2

1 2

f (x ) f (x ) f (x )f ( )

.

Σχόλιο Αν η f είναι σταθερή τότε ισχύει το ζητούμενο για οποιοδήποτε , .

Παρατήρηση 1 Όταν σε κάποιο πρόβλημα έχουμε τρεις ή περισσότερες τιμές της συνάρτησης f , η

αντιμετώπιση και η λύση γίνεται συνήθως με το θεώρημα ελαχίστου – μεγίστου και στη συνέχεια θεώρημα ενδιαμέσων τιμών.

Παρατήρηση 2 Στο βήμα iv συνήθως προσθέτουμε κατά μέλη, αλλά υπάρχουν και ασκήσεις που το

ζητούμενο μας καθοδηγεί στο να πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις ανισότητες οι οποίες θα είναι θετικών όρων. Δες τα λυμένα παραδείγματα 8 και 9.

Παραδείγματα

5. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : 2,4 . Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

0x 2,4 τέτοιο ώστε να ισχύει: 0

f ( 2 ) 2 f ( 3 ) 3 f ( 4 )f ( x )

6

.

Λύση Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο [2,4] , υπάρχουν 1 2x , x 2,4 τέτοια ώστε η

f να παίρνει μια μέγιστη τιμή Μ 2f (x ) και μια ελάχιστη τιμή 1m f (x ) , συνεπώς

έχουμε: m f (x) M για κάθε x 2,4 . (1)

Από την (1) διαδοχικά έχουμε: για x 2 : m f (2) M για x 3 : m f (3) M 2m 2f (3) 2M για x 4 : m f (4) M 3m 3f (4) 3M . Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: 6m f (2) 2f (3) 3f (4) 6M

f (2) 2f (3) 3f (4)m

6

.

Αν m , τότε σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ. στο [2,4], θα υπάρχει τουλάχιστον ένας

0x 2, 4 τέτοιος , ώστε 0

f (2) 2f (3) 3f (4)f (x )

6

.

Αν m , τότε η f είναι σταθερή και ισχύει το ζητούμενο για οποιοδήποτε

0x 2, 4 .

6. Δίνεται η συνεχής μη σταθερή συνάρτηση f : , — . Αν 1 2 3x ,x ,x a, και κ,λ,μ

θετικοί αριθμοί με κ+λ+μ=2012, να αποδειχθεί ότι υπάρχει a, τέτοιο ώστε:

Ο δρόμος προς τις εξετάσεις – Συνέχεια σε κλειστό διάστημα

11 

 

1 2 3f ( x ) f ( x ) f ( x )f ( )

2012

.

Λύση Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο , , υπάρχουν s,p , , ώστε η f να

παίρνει μια μέγιστη τιμή f (s) και μια ελάχιστη τιμή m f (p) , συνεπώς έχουμε:

m f (x) M , για κάθε x , . (1)

Από την (1) για 1x x έχουμε: 1 1m f (x ) M m f (x ) M

Από την (1) για 2x x έχουμε: 1 1m f (x ) M m f (x ) M

Από την (1) για 3x x έχουμε: 1 1m f (x ) M m f (x ) M

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:

1 2 3

1 2 31 2 3

( ) m f (x ) f (x ) f (x ) ( ) M

f (x ) f (x ) f (x )2012 m f (x ) f (x ) f (x ) 2012 M m

2012

Οπότε, σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ. στο [α,β], θα υπάρχει τουλάχιστον ένας ,

τέτοιος , ώστε 1 2 3f (x ) f (x ) f (x )f ( )

2012

.

7. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : 0,2 — . Να αποδειχθεί ότι υπάρχει 0,2

τέτοιο ώστε: f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 2 )

f ( )2 3 6

.

Λύση A. Η ζητούμενη σχέση μας οδηγεί αρχικά στο να δείξουμε ότι έχει εφαρμογή το θεώρημα

του Bolzano για τη συνάρτηση g : 0, 2 — με f (0) f (1) f (2)

g(x) f (x)2 3 6

.

Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 0, 2 και είναι:

f (0) f (1) f (2) f (0) f (1) f (2)g(0) f (0)

2 3 6 2 3 6 ,

f (0) f (1) f (2) f (0) f (1) 5f (2)g(2) f (2)

2 3 6 2 3 6 .

Επομένως:

f (0) f (1) f (2) f (0) f (1) 5f (2)g(0) g(2)

2 3 6 2 3 6

.

Το πρόσημο του γινομένου g(0) g(2) είναι δύσκολο να το προσδιορίσουμε, επομένως η επιλογή μας να λύσουμε την άσκηση με το θεώρημα Bolzano, δεν ενδείκνυται.

B. Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0, 2 , υπάρχουν s, p 0,2 , ώστε η f να

παίρνει μια μέγιστη τιμή f (s) και μια ελάχιστη τιμή m f (p) , συνεπώς έχουμε:

m f (x) M , για κάθε x , . (1).

Από την (1) : για x 0 έχουμε: 1m f (0) M 3 m 3 f (x ) 3 M

για x 1 έχουμε: 1m f (1) M 2 m 2 f (x ) 2 M

για x 2 έχουμε: m f (2) M Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:

Ο δρόμος προς τις εξετάσεις – Συνέχεια σε κλειστό διάστημα

12 

 

33

3 f (0) 2 f (1) f (x )6 m 3 f (0) 2 f (1) f (x ) 6 M m M

6

f (0) f (1) f (2)m M.

2 3 6

i. Αν m M , τότε η συνάρτηση f είναι σταθερή στο διάστημα 0, 2 , με συνέπεια

οποιοσδήποτε αριθμός 0,2 να αποτελεί λύση του προβλήματος.

ii. Αν m M , τότε σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ στο 0, 2 , θα υπάρχει τουλάχιστον ένας

0,2 τέτοιος , ώστε f (0) f (1) f (2)

f ( )2 3 6

.

8. Δίνεται η συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση *f : 1,4 — για την οποία ισχύει:

f (1) f ( 2 ) f ( 4 ) 8 . Να αποδειχθεί ότι υπάρχει 1,4 τέτοιο ώστε: f ( ) .

Λύση 1ος Τρόπος Η ζητούμενη σχέση f ( ) μας οδηγεί να αναζητήσουμε λύση της εξίσωσης

f (x) x ή ισοδύναμα της εξίσωσης f (x)

1x

στο διάστημα 1,4 .

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f (x)h(x)

x η οποία είναι συνεχής στο 1,4 . Θα δείξουμε

ότι ο αριθμός 1 ανήκει στο σύνολο τιμών της. Επειδή η συνάρτηση h είναι συνεχής στο 1,4 , υπάρχουν s,p 1,4 , ώστε η h να

παίρνει μια μέγιστη τιμή h(s) και μια ελάχιστη τιμή m h(p) , συνεπώς έχουμε:

m h(x) M , για κάθε x 1,4 . (1)

Από την (1) :

για x 1 έχουμε: f (1)

m h(1) M m M1

. (2)

για x 2 έχουμε: f (2)

m h(2) M m M2

. (3)

για x 4 έχουμε: f (4)

m h(4) M m M4

. (4)

Η συνάρτηση f παίρνει μόνο θετικές τιμές, επομένως και η συνάρτηση

f (x)h(x)

x ,

x 1,4 παίρνει και αυτή θετικές τιμές, συνεπώς m,f (1), f (2), f (3),M θετικοί, άρα τα

μέλη των (2), (3), (4) είναι θετικά, οπότε πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη, έχουμε: 3 3 3 3 3 3f (1) f (2) f (4) f (1) f (2) f (4) 8

m M m M m M1 2 4 8 8

3 3m 1 M m 1 M . Επειδή h μη σταθερή, είναι m M , οπότε ο αριθμός 1 ανήκει στο σύνολο τιμών, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα 1, 4 τέτοιο ώστε:

f ( )h( ) 1 1 f ( )

.

2ος Τρόπος (εις άτοπο απαγωγή και Bolzano) Η ζητούμενη σχέση μας οδηγεί αρχικά στο να δείξουμε ότι έχει εφαρμογή το θεώρημα

του Bolzano για τη συνάρτηση g : 1,4 — με g(x) f (x) x .

Ο δρόμος προς τις εξετάσεις – Συνέχεια σε κλειστό διάστημα

13 

 

   

Έχουμε: g(1) f (1) 1 , g(4) f (4) 4 . Επομένως: g(1) g(4) f (1) 1 f (4) 4 .

Το πρόσημο του γινομένου g(1) g(4) είναι δύσκολο να το προσδιορίσουμε, συνεπώς θα εργαστούμε με εις άτοπο απαγωγή.

Αν υποθέσουμε ότι για κάθε x 1,4 είναι f (x) x , τότε θα έχουμε:

ί όροιf (1) 1

f (2) 2 f (1) f (2) f (3) 8

f (4) 4

, άτοπο γιατί f (1) f (2) f (4) 8 .

Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα 1,4 με f ( ) f ( ) 0 .

Αν υποθέσουμε ότι για κάθε x 1,4 είναι f (x) x , τότε θα έχουμε:

ί όροιf (1) 1

f (2) 2 f (1) f (2) f (3) 8

f (4) 4

, άτοπο γιατί f (1) f (2) f (4) 8 .

Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα 1,4 με f ( ) f ( ) 0 .

Αν , τότε για τη συνάρτηση g : , — με g(x) f (x) x , ισχύει το θεώρημα

του Bolzano, αφού g( ) g( ) f ( ) f ( ) 0 και g( ) f ( ) 0 ,

επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα , ώστε g( ) 0 f ( ) 0 f ( )

9. Έστω η συνάρτηση f συνεχής και μη σταθερή στο [ , β] και για την οποία ισχύει για

κάθε x [ , β] ότι f ( x ) 0 . Να δείξετε ότι για κάθε 1 2 3x ,x ,x [ , ] , υπάρχει

τουλάχιστον ένα [ , β] ώστε να ισχύει 31 2 3f ( ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) .

Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο , επομένως υπάρχουν

s,p , , ώστε η f να παίρνει μια μέγιστη τιμή f (s) και μια ελάχιστη τιμή

m f (p) , συνεπώς έχουμε: m f (x) M , για κάθε x , . (1)

Από την (1) : για 1x x έχουμε: 1m f x M . (2)

για 2x x έχουμε: 2m f x M . (3)

για 3x x έχουμε: 3m f x M . (4)

Η συνάρτηση f παίρνει μόνο θετικές τιμές, επομένως οι (2), (3), (4) είναι ανισότητες με θετικούς όρους, οπότε πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε:

3 3 31 2 3 1 2 3m f x f x f x M m f x f x f x M .

Επειδή f μη σταθερή, είναι m M , οπότε ο αριθμός 31 2 3f x f x f x ανήκει στο

σύνολο τιμών, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα , τέτοιο ώστε:

31 2 3f ( ) f x f x f x .

Ο δρόμος προς τις εξετάσεις – Συνέχεια σε κλειστό διάστημα

14 

 

Τεχνική Γ: Σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτησης ορισμένης σε διάστημα.

Στη περίπτωση που θέλουμε να υπολογίσουμε το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης ορισμένης σε διάστημα, εργαζόμαστε ως εξής:

Α. Η f συνεχής στο ,

Εφόσον η f συνεχής στο , , οι τιμές της παίρνουν ελάχιστη τιμή, έστω m και

μέγιστη τιμή, έστω Μ, επομένως το σύνολο τιμών της είναι το κλειστό διάστημα:

f ( ) m,M , οπότε αρκεί να βρούμε τα m, M.

Ελέγχουμε τη μονοτονία της συνάρτησης στο Δ. i. Αν η f είναι γνήσια αύξουσα στο Δ, τότε m f ( ) και f ( ) .

ii. Αν η f είναι γνήσια φθίνουσα στο Δ, τότε m f ( ) και f ( ) . iii. Αν η f αλλάζει μονοτονία στο Δ, τότε βρίσκουμε (συνήθως με παραγώγους), το

σύνολο τιμών της, f ( ) m,M .

Β. Η f συνεχής στο , .

Εφόσον η f συνεχής στο , , οι τιμές της παίρνουν ελάχιστη τιμή, έστω m και

μέγιστη τιμή, έστω Μ, επομένως το σύνολο τιμών της είναι το κλειστό διάστημα:

f ( ) m,M , οπότε αρκεί να βρούμε τα m, M.

Ελέγχουμε τη μονοτονία της συνάρτησης στο Δ.

i. Αν η f είναι γνήσια αύξουσα στο Δ, τότε x xf ( ) im f (x), im f (x)

.

ii. Αν η f είναι γνήσια φθίνουσα στο Δ, τότε x xf ( ) im f (x), im f (x)

.

iii. Αν η f αλλάζει μονοτονία στο Δ, τότε βρίσκουμε (συνήθως με παραγώγους), το σύνολο τιμών της, το οποίο μπορεί να είναι κλειστό ή ανοικτό διάστημα ή συνδυασμός τους.

Παρατήρηση 1 Αν

xim f (x)

και

xim f (x)

ή

xim f (x)

και

xim f (x)

, τότε η

μονοτονία της f στο Δ δεν είναι απαραίτητη, οπότε έχουμε σύνολο τιμών το , δηλαδή f ( ) — .

Παρατήρηση 2 Αν ( , + ) — , τότε: αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα, είναι:

x xf ( ) Lim f (x), Lim f (x)

,

αν η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα, είναι: x x

f ( ) Lim f (x), Lim f (x)

.

Παραδείγματα

10. Να βρεθεί το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων στο αντίστοιχο διάστημα: 4i ) f ( x ) x 3x 1,x 1,2 .

i. 4f ( x ) x 3x 1, x 1,2 .

ii. f ( x ) 2x x, x 0,

Λύση i. Η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο [1,2].

Ο δρόμος προς τις εξετάσεις – Συνέχεια σε κλειστό διάστημα

15 

 

Για κάθε 1 2x , x 1,2 με 4 4 ( )

4 41 21 2 1 1 2 2

1 2

x xx x x 3x x 3x

3x 3x

4 4 4 41 1 2 2 1 1 2 2 1 2x 3x 1 x 3x 1 x 3x x 3x f (x ) f (x ) ,

επομένως η f είναι γνήσια αύξουσα στο [1,2]. Είναι m f (1) 5 και

M f (2) 23 , συνεπώς: το σύνολο τιμών της f είναι το m, M 5, 23 .

ii. Η f είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων στο 0, .

Για κάθε 1 2x , x 0, με ( )

1 21 2

1 2

x xx x

2x 2x

1 1 2 2 1 22x x 2x x f (x ) f (x ) , επομένως η f είναι γνησίως

φθίνουσα στο 0, . Είναι m f ( ) 2 1 και M f (0) 1 , συνεπώς το

σύνολο τιμών της f είναι: m,M 2 1, 1 .

11. Έστω η συνάρτηση f : 0,1 με 1

f ( x ) ln xx

.

i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία..

ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .

iii. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς 0,1 τέτοιο ώστε 2 ln 2 3 .

Λύση

i. Για κάθε 1 2x , x 0,1 με ( )

1 2 1 21 2

1 2 1 2

1 1 1 1

x x x xx x είναι

ln x ln x ln x ln x

1 2f (x ) f (x ) , επομένως η f γνησίως φθίνουσα στο 0,1 .

ii. Είναι f (1) 1 και x 0lim f (x)

Για το σύνολο τιμών στο 0,1 ισχύει x 0

f 0,1 f (1), lim f (x) 1,

.

iii. Το ζητούμενο μετασχηματίζεται στο εξής: :3 1 3 3

2 ln 2 3 2 2 ln 3 1 ln ln f ( )2 2 2

,

και επειδή 3f 0,1 1,

2 , συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση

3f (x)

2 έχει

τουλάχιστον μία λύση στο 0,1 και αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα σε αυτό

θα έχει ακριβώς μία λύση 0,1 ώστε 3

f ( ) 2 ln 2 32

.

12. Δίνεται η συνάρτηση x 1f ( x ) nx e 2012 . Να βρεθεί το σύνολο τιμών της. Λύση Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το 0, και είναι συνεχής στο Δ.

x 1 1

x 0 x 0im f (x) im nx e 2012 e 2012

.

x 1

x xim f (x) im nx e 2012 2012

.

Επειδή η f είναι συνεχής στο Δ, η εικόνα του Δ μέσω της f είναι διάστημα και επειδή

x 0im f (x)

και

xim f (x)

, συμπεραίνουμε ότι f — .

Ο δρόμος προς τις εξετάσεις – Συνέχεια σε κλειστό διάστημα

16 

 

5.1.3 Ασκήσεις με υπόδειξη λύσης

 

Υποδείξεις Εκφωνήσεις

Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών.

Θέμα 1ον Δίνεται η συνάρτηση f (x) (x 3) ln x x 2 . Να εξετασθεί αν οι

αριθμοί 1

2 και

2

5 είναι τιμές της συνάρτησης.

Μελέτησε το παράδειγμα 12

Θέμα 2ον Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f (x) 1 x ln x .

ν ν 1ν ν 1 1f(x) α x α x ... α x

Βρείτε τα xLim f(x)

και

xLim f(x)

, τεχνική Γ.

Θέμα 3ον Δείξτε ότι κάθε πολυωνυμική συνάρτηση περιττού βαθμού έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα.

(Τεχνική Β) Ισχύει ότι m f(x) M ,

οπότε και

12m 2f(x ) 2M

23m 3f(x ) 3M

34m 4f(x ) 4M

Θέμα 4ον Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [ , β] . Να δείξετε ότι για κάθε

1 2 3x ,x ,x [ , ] , υπάρχει τουλάχιστον ένα [ , β] ώστε να ισχύει

1 2 39f ( ) 2f (x ) 3f (x ) 4f (x ) .

Εργασθείτε όπως στη προηγούμενη άσκηση.

Θέμα 5ον Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [ , β] . Να δείξετε ότι για κάθε

1 2x ,x ,..., x [ , ] , υπάρχει τουλάχιστον ένα [ , β] ώστε να ισχύει

1 2f (x ) f (x ) ... f (x )f ( )

.

Η σχέση μετασχηματίζεται στη

2 21 2f(x ) 2 f(x ) 3 0

1 2f(x ) 2 και f(x ) 3 ,

οπότε δείξτε ότι οι αριθμοί 2,3 είναι τιμές της συνάρτησης 

Θέμα 6ον

Έστω η συνάρτηση f με 2f (x) x 3x 1 x 3x 1 . Εξετάστε αν

υπάρχουν 1 2x , x [1, 8] ώστε: 2 21 2 1 2f (x ) f (x ) 4f (x ) 6f (x ) 13 0 .

 

Διαβάστε καλά τη θεωρία και προσπαθήστε να καταλάβετε

τις έννοιες.

Θέμα 7ον Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λάθος (Λ) και να δώσετε μια σύντομη εξήγηση της όποιας απάντησή σας: i. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ , ] , τότε η

συνάρτηση g με f (x )g(x) e έχει ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο στο [ , ] . Σ– Λ

ii. Αν για μια συνεχή συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το —, είναι

xLim f (x) 10

και xLim f (x) 10

, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα

0x — τέτοιο ώστε 0f (x ) 5 . Σ– Λ iii. Αν f μια συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα — ,

τότε για κάθε 0x — έχουμε 0

0x xLimf (x) f (x )

. Σ – Λ

iv. Αν για μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — ισχύει για κάθε x— η σχέση 2f (x) 1 , τότε η f είναι συνεχής. Σ – Λ