systemes b

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Caract´ erisations des signaux et syst` emes Point de vue d´ enotationnel Point de vue structurel Point de vue comportemental plan deno plan deno plan deno

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Systemes b

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  • Caracterisations des signaux et syste`mes

    Point de vue denotationnel

    Point de vue structurel

    Point de vue comportemental

    plan denoplan denoplan deno

  • Point de vue denotationnelUn signal est une application du temps dans un domaine :

    plan structplan structplan struct

  • Point de vue denotationnelUn signal est une application du temps dans un domaine :

    x : T Dxou` :

    plan structplan structplan struct

  • Point de vue denotationnelUn signal est une application du temps dans un domaine :

    x : T Dxou` :

    T est soit le temps continu R soit le temps logique N (Z ?)

    plan structplan structplan struct

  • Point de vue denotationnelUn signal est une application du temps dans un domaine :

    x : T Dxou` :

    T est soit le temps continu R soit le temps logique N (Z ?) Dx est le type du signal, R, N , Bool

    plan structplan structplan struct

  • Point de vue denotationnelUn signal est une application du temps dans un domaine :

    x : T Dxou` :

    T est soit le temps continu R soit le temps logique N (Z ?) Dx est le type du signal, R, N , Bool

    Un syste`me est un transformateur de signaux :

    Par exemple

    S : (T Dx) (T Dy)

    plan structplan structplan struct

  • Point de vue structurelSyste`me de premier ordre (deuxie`me ordre, . . .) :

    plan compplan compplan comp

  • Point de vue structurelSyste`me de premier ordre (deuxie`me ordre, . . .) :

    differentiel recurrent, automate, programme objetX(0)

    X = F (X,U)

    Y = G(X,U)

    X(0)

    Xn+1 = F (Xn, Un+1)

    Yn = G(Xn, Un)

    Ordre du syste`me : dimension du vecteur X

    remarque : pas intrinse`que

    plan compplan compplan comp

  • Point de vue structurelSyste`me de premier ordre (deuxie`me ordre, . . .) :

    differentiel recurrent, automate, programme objetX(0)

    X = F (X,U)

    Y = G(X,U)

    X(0)

    Xn+1 = F (Xn, Un+1)

    Yn = G(Xn, Un)

    Ordre du syste`me : dimension du vecteur X

    remarque : pas intrinse`que

    Syste`me detat fini :

    Automate, machine detat fini

    plan compplan compplan comp

  • Point de vue comportemental

    plan planplan planplan plan

  • Point de vue comportementalSyste`me lineaire :

    plan planplan planplan plan

  • Point de vue comportementalSyste`me lineaire :

    S(x+ y) = S(x) + S(y)

    remarques :

    Ne concerne que les signaux dont le domaine se pre`te a` la linearite

    Quid de linitialisation ?

    plan planplan planplan plan

  • Point de vue comportementalSyste`me lineaire :

    S(x+ y) = S(x) + S(y)

    remarques :

    Ne concerne que les signaux dont le domaine se pre`te a` la linearite

    Quid de linitialisation ?

    Syste`me stationnaire :

    plan planplan planplan plan

  • Point de vue comportementalSyste`me lineaire :

    S(x+ y) = S(x) + S(y)

    remarques :

    Ne concerne que les signaux dont le domaine se pre`te a` la linearite

    Quid de linitialisation ?

    Syste`me stationnaire :

    Qui commute avec un retard :

    S(x(t )) = (Sx)(t )

    Les syste`mes lineaires stationnaires forment une classe importante historiquement etpratiquement.

    plan planplan planplan plan

  • Syste`mes rationnelsRepresentables en transformee de Laplace :

    Ly(s) = LS(s)Lx(s)

    Ces syste`mes sont lineaires, stationnaires :

    plan planplan planplan plan

  • Syste`mes rationnelsRepresentables en transformee de Laplace :

    Ly(s) = LS(s)Lx(s)

    Ces syste`mes sont lineaires, stationnaires :

    Lineaires : a` cause de la linearite de la transformee de Laplace :

    plan planplan planplan plan

  • Syste`mes rationnelsRepresentables en transformee de Laplace :

    Ly(s) = LS(s)Lx(s)

    Ces syste`mes sont lineaires, stationnaires :

    Lineaires : a` cause de la linearite de la transformee de Laplace :

    LS(s)L(x1 + x2)(s) = LS(s)(Lx1(s) + Lx2(s))

    plan planplan planplan plan

  • Syste`mes rationnelsRepresentables en transformee de Laplace :

    Ly(s) = LS(s)Lx(s)

    Ces syste`mes sont lineaires, stationnaires :

    Lineaires : a` cause de la linearite de la transformee de Laplace :

    LS(s)L(x1 + x2)(s) = LS(s)(Lx1(s) + Lx2(s))LS(s)L(x1 + x2)(s) = LS(s)Lx1(s) + LS(s)Lx2(s)

    plan planplan planplan plan

  • Syste`mes rationnelsRepresentables en transformee de Laplace :

    Ly(s) = LS(s)Lx(s)

    Ces syste`mes sont lineaires, stationnaires :

    Lineaires : a` cause de la linearite de la transformee de Laplace :

    LS(s)L(x1 + x2)(s) = LS(s)(Lx1(s) + Lx2(s))LS(s)L(x1 + x2)(s) = LS(s)Lx1(s) + LS(s)Lx2(s)

    Stationnaires : parce que loperateur retard est un produit qui commute :

    plan planplan planplan plan

  • Syste`mes rationnelsRepresentables en transformee de Laplace :

    Ly(s) = LS(s)Lx(s)

    Ces syste`mes sont lineaires, stationnaires :

    Lineaires : a` cause de la linearite de la transformee de Laplace :

    LS(s)L(x1 + x2)(s) = LS(s)(Lx1(s) + Lx2(s))LS(s)L(x1 + x2)(s) = LS(s)Lx1(s) + LS(s)Lx2(s)

    Stationnaires : parce que loperateur retard est un produit qui commute :

    LS(s)esLx(s) = esLS(s)Lx(s)

    plan planplan planplan plan

  • Syste`mes rationnelsForme generale : N(s)

    D(s)avec degre N degre D.

    Y (s) =n

    0 aisin1

    0 bisi + sn

    X(s)

    (n10

    bisi + sn)Y (s) =

    n0

    aisiX(s)

    snY (s) =n0

    aisiX(s)

    n10

    bisiY (s)

    Y (s) =n0

    aisinX(s)

    n10

    bisinY (s)

    Y (s) = anX(s) +n10

    sin(aiX(s) biY (s))

    plan planplan planplan plan

  • Syste`mes rationnels

    Y (s) = anX(s) +n10

    sin(aiX(s) biY (s))

    Posons :

    U0(s) = s1(a0X(s) b0Y (s)). . .

    Ui+1(s) = s1(ai+1X(s) bi+1Y (s) + Ui(s)). . .

    Y (s) = anX(s) + Un(s)

    Il est facile de verifier algebriquement que ces deux expressions sont egales.

    plan planplan planplan plan

  • Syste`mes rationnels

    U0(s) = s1(a0X(s) b0Y (s)). . .

    Ui+1(s) = s1(ai+1X(s) bi+1Y (s) + Ui(s)). . .

    Y (s) = anX(s) + Un(s)

    Conclusion : pour simuler un syste`me rationnel dordre n, il suffit dutiliser nintegrateurs.

    plan planplan planplan plan

  • Syste`mes rationnels

    Exemple :

    a2s2 + a1s+ a0

    s2 + b1s+ b01y

    1s

    1s

    b0 b1

    a2a1a0

    1x

    u0 u1

    plan planplan planplan plan

  • Syste`mes rationnels

    1y

    1s

    1s

    b0 b1

    a2a1a0

    1x

    u0 u1

    U0(s) = s1(a0X(s) b0Y (s))U1(s) = s1(a1X(s) b1Y (s) + U0(s))Y (s) = a2X(s) + U1(s)

    Y (s) = a2X(s) + s1(a1X(s) b1Y (s) + s1(a0X(s) b0Y (s)))Y (s) = a2X(s) + s1a1X(s) + s2a0X(s) s1b1Y (s) s2b0Y (s)

    s2Y (s) = a2s2X(s) + a1sX(s) + a0X(s) b1sY (s) b0Y (s)

    plan planplan planplan plan

    Caractrisations des signaux et systmes Point de vue dnotationnel Point de vue structurel Point de vue comportemental Systmes rationnels Systmes rationnels Systmes rationnels Systmes rationnels Systmes rationnels Systmes rationnels