systemes echantillonnés

8/9/2019 systemes echantillonns

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Dpartement de Gnie Electrique

5me Anne GE

AUTOMATIQUE

SYSTEMES ECHANTILLONNES

Edition 2008 J.M RETIF

Institut National des Sciences Appliques de Lyon


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[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.


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INSA 5GE JM RETIF Sommaire

i

CHAPITRE 1

STABILITE D'UN SYSTEME ASSERVI ECHANTILLONNE

1. GENERALITES

. .......................................................................................................... 1

2. STABILITE D'UNE TRANSMITTANCE EN Z. ................................................................ 12.1. Ples simples rels ............................................................... .......................................................... 1

2.2. Ples complexes........................................................... ............................................................. ..... 1

2.3. Ples multiples.............. ........................................................... ...................................................... 2

3. STABILITE D'UN PREMIER ORDRE. ........................................................................... 2

4. STABILITE D'UN SECOND ORDRE. ............................................................................. 54.1. Etude d'un second ordre en boucle ferme. ........................................................ ........................... 5

4.2. Zone de stabilit dans le plan paramtrique.............................................. ..................................... 7

5. CERCLE DE STABILITE.............................................................................................. 8



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ii

CHAPITRE 2

COMMANDE PAR MODELE INTERNE

1. INTRODUCTION...............................................................................................................11

1.1. Principe de la commande par modle interne. .........................................................................................111.2. Analyse de la commande par modle interne en prsence de perturbations. ...........................................12

2. COMPORTEMENT EN ASSERVISSEMENT ...............................................................142.1. Le numrateur du modle du processus est simplifiable..........................................................................152.2. Le numrateur du modle du processus nest pas simplifiable................................................................162.3. Le numrateur du modle du processus est partiellement simplifiable...................................................16

3. REJET DES PERTURBATIONS...................................................................................... 173.1. Rejet de la perturbation sur la sortie. .......................................................................................................173.2. Rejet dun bruit de mesure. ................................................................ ......................................................193.3. Rejet de la perturbation sur la commande................................................................................................19

4. ROBUSTESSE DUNE COMMANDE PAR MODELE INTERNE..............................194.1. Forme gnrale de la commande..............................................................................................................194.2. Robustesse................................................................................................................................................21

5. IMPLEMENTATION NUMERIQUE..............................................................................23

6. EXEMPLES.........................................................................................................................256.1. Exemple 1. ...............................................................................................................................................256.2. Exemple 2. ...............................................................................................................................................29



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iii

CHAPITRE 3.

COMMANDE RST

1. INTRODUCTION. .................................................................................................................... 331.1. Principe de la commande RST............................................................. .................................................... 331.2. Ralisation du correcteur. .............................................................. ......................................................... . 341.3. Reprsentation discrte du processus................................... ............................................................ ........ 351.4. Ides directrices pour la synthse d'un correcteur RST............................................................................ 36

2. COMMANDE POUR UN PROCESSUS A ZEROS INSTABLES....................................................... 372.1. Dynamique en asservissement. ............................................................ .................................................... 372.2. Dynamique en rgulation. ............................................................. ........................................................... 382.3. Mise en uvre de la mthode.................................................................................................................. . 39

3. COMMANDE POUR UN PROCESSUS A ZEROS STABLES. ......................................................... 413.1. Dynamique en asservissement ............................................................ ..................................................... 413.2. Dynamique en rgulation. ............................................................. ........................................................... 42

3.3. Mise en uvre de la mthode.................................................................................................................. . 43

4. PROCESSUS AVEC DES ZEROS STABLES ET INSTABLES......................................................... 444.1. Dynamique en asservissement. ............................................................ .................................................... 444.2. Dynamique en rgulation. ............................................................. ........................................................... 444.3. Mise en uvre de la mthode.................................................................................................................. . 454.4. Rsum pour la rsolution de lquation de Bezout................................................................................. 46

5. CALCUL DE LA ROBUSTESSE DUNE COMMANDE RST. ......................................................... 485.1. Influence des perturbations sur la sortie................................................................................................... 485.2. Influence des perturbations sur la commande........................................................... ............................... 495.3. Utilisation des fonctions de sensibilits pour prcaractriser R(z) et S(z)................................ ............... 50

6. RESUME POUR LA SYNTHESE DUN CORRECTEUR RST. ...................................................... 516.1. Identification du processus............................................................................... ........................................ 516.2. Prise en compte du cahier des charges de lutilisateur......... ........................................................... ......... 51

7. SYNTHESE ROBUSTE DUNE COMMANDE RST. ...................................................................... 537.1. Dfinition dun gabarit.................... ................................................................ ......................................... 537.2. Procdure de synthse................................................................ .............................................................. 54

8. EXEMPLES............................................................................................................................. 568.1. Exemple 1:commande RST d'un processus zros instables .................................................................. 568.2. Exemple 2: commande RST dun processus zros stables...................... .............................................. 63



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iv

CHAPITRE 4

REPRSENTATION DTAT DUN SYSTME CHANTILLONN

1. RAPPEL SUR LA REPRESENTATION DETAT CONTINU. ......................................................... 691.1. Solution analytique des quations dtat........... ..................................................................... .................. 701.2. Calcul de la matrice de transition................................................................. ............................................ 711.3. Rappel sur ltablissement dun systme dtat partir dun bond graph. .............................................. 71

2. ETABLISSEMENT DES EQUATIONS DETAT DISCRETES......................................................... 742.1. Echantillonnage sans lment de maintien................................................................ ............................... 742.2. Echantillonnage avec un bloqueur dordre zro....................................................... ................................ 78

3. ASSOCIATION DE SYSTEMES DISCRETS. ............................................................................... 833.1. Mise en srie de deux systmes chantillonns. ............................................................................... ....... 83

3.1.1. Etablissement des nouvelles quations dtat. 833.1.2. Application aux systmes retards. 84

3.2. Mise en parallle de deux systmes chantillonns. ................................................................................ 86

4. SOLUTION DES EQUATIONS DETAT...................................................................................... 874.1. Solution numrique......................................................... ................................................................ ......... 874.2. Solution analytique pour le vecteur dtat. ........................................................... ................................... 874.3. Solution analytique pour le vecteur de sortie. ............................................................ .............................. 88

5. REPONSE IMPULSIONNELLE. ................................................................................................ 895.1. Calcul formel...................................................................................... ...................................................... 895.2. Calcul numrique. .......................................................... ................................................................. ......... 89

5.3. Suite de pondration. ....................................................... ............................................................... ......... 91



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v

CHAPITRE 5

CHANGEMENT ENTRE LES FORMALISMES DTAT ET DETRANSMITTANCE

1. CAS MONOVARIABLE POUR UNE TRANSMITTANCE EN P..................................................... 931.1.Gnralits. ................................................... ........................................................... ........................................ 931.2.Mthode des modes. ........................................................ .............................................................. .................. 93

1.2.1. Cas de ples rels distincts. 941.2.2. Cas de ples complexes conjugus. 941.2.3. Cas dun ple multiple. 95

1.3.Dcomposition canonique............................................... ............................................................... .................. 96

2. CAS MONOVARIABLE POUR UNE TRANSMITTANCE EN Z. ................................................... 982.1.Gnralits. ................................................... ........................................................... ........................................ 98

2.2.Mthode des modes. ........................................................ .............................................................. .................. 982.2.1. Cas de ples distincts rels ou complexes. 982.2.2. Cas dun ple multiple. 101

3. SYSTEME MULTIVARIABLE DEFINI PAR UNE MATRICE DE TRANSFERT............................ 1053.1.Mthode de GILBERT.................................................................................... ............................................... 105

4. PASSAGE DES EQUATIONS DETAT A UNE MATRICE DE TRANSFERT................................. 1084.1.Prambule. ............................................................... ............................................................ .......................... 1084.2.Algorithme de LEVERRIER. .......................................................... .............................................................. 108



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vi

CHAPITRE 6

COMMANDE PAR RETOUR D'ETAT

1. GENERALITES....................................................................................................................1151.1.Notion dobservabilit dun systme. ................................................................... .........................................1161.2.Notion de gouvernabilit dun systme. ................................................................ ........................................1171.3.Principe de la commande par retour dtat. ...................................................................................................119

2. PLACEMENT DE POLES DANS LE CAS MONO VARIABLE. ...................................................1212.1.Dcomposition canonique..............................................................................................................................1212.2.Dcomposition d'tat quelconque. .......................................................... .......................................................122

2.2.1. Calcul de K via une matrice M de transformation. 1222.2.2. Calcul de K par la mthode de Bass-Gura. 124

2.2.3. Calcul de la matrice L. 1252.2.4. Etapes pour la dtermination de K et L 126

2.3.Exemple 1 : systme monovariable du troisime ordre. ................................................................ ................127

3. RETOUR DETAT POUR LES SYSTEMES MULTIVARIABLES. ............................................... 1323.1.Position du problme. ....................................................... ............................................................ .................1323.2.Etapes de calcul de la matrice de gain K. ......................................................................................................134

4. EXEMPLE:COMMANDE PAR RETOUR DETAT DUNE COLONNE A DISTILLER. ............... 1394.1.Contexte technologique. ................................................................................................................................1394.2.Modlisation de la colonne distiller. ............................................................... ............................................1404.3.Calcul du retour dtat. ..................................................................................................................................1414.4.Calcul de la matrice L....................................................................................................................................147

4.5.Simulations. ................................................................ .................................................................. .................148



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INSA GE JM RETIF Stabilit d'un systme asservi chantillonn

1

CHAPITRE 1

STABILITE D'UN SYSTEME ASSERVI ECHANTILLONNE

1. GENERALITES.

Le concept de stabilit recouvre des domaines forts divers, nous le rencontrons aussi bien dans le

domaine des sciences humaines (stabilit d'une institution, d'une civilisation...) que dans celuides sciences physiques.Il est difficile de dfinir prcisment le concept de stabilit nanmoins il est possible d'en avoirune perception empirique. Nous pouvons en effet la caractriser par la propension qu'a unsystme garder, ou modifier lgrement son quilibre, par rapport un environnement

perturbateur. Le fait de "garder un quilibre" peut paratre floue, afin de prciser cette notion,nous prendrons l'exemple suivant.Soit une bille, reposant sur une surface et ayant une position stable au dpart.

S1 S2 S3

Selon la forme de cette surface (S1, S2 ou S3), il est simple d'admettre intuitivement, que parrapport une perturbation finie (vibration de la surface ou vent), la bille reprendra une positiond'quilibre aprs perturbation que sur les surfaces S2 et S3.

Notons que pour cet exemple :

- Dans le cas 2, la bille reprendra la mme position que prcdemment dans un tempsfini, ici la stabilit est dite asymptotique.

- Dans le cas 3, la bille se stabilise sur une autre position d'quilibre, la stabilit est ditesimple.

2. STABILITE D'UNE TRANSMITTANCE EN Z.

La stabilit d'une transmittance en z se ramne, comme dans le cas continu, l'tude des valeursprises par ses ples. Une approche naturelle est d'tudier la rponse une impulsion deKRONECKER.Trois cas sont distinguer :

2.1.Ples simples rels

Ici la dcomposition de H(z) en lments simples donne :

H z Az

z a( ) ....... .........= + + dont l'original dans le temps vaut : h(k) = + A ak+

Il est clair que H(z) sera stable si lim ( )h kk

=

0 c'est dire si a< 1

2.2.Ples complexes.

S'il existe des ples complexes ils sont conjugus puisque les coefficients du dnominateur sontrels.

( )( ) ( )( )H z B

z

z j z j( ) .......

. . ..........= +

+ +



10/160


2

En posant a et arctg= + =

2 2

l'lment simple correspondant devient :( ) ( )

H zB

j

z

z a e z a ej j( ) .......

. . . . ..........

. .= +

+

2

Dont l'original dans le temps vaut : ( )h k B a kk( ) .... . .sin .= +

Pour que h(k) tende vers 0 lorsque n tend vers l'infini il faut que a< 1dans le cas contraire H(z) est instable.

2.3.Ples multiples.

S'il apparait un ple d'ordre r

( ) ( ) ( ) ( )H z A

z

z aA

z

z aA

z

z aA

z

z ar r r r r r( ) .... .... ...= +

+

+

+ +

+ 1 1 2 2

Calculons l'original dans le temps de( )

z

z a

r

pour cela utilisons la mthodes des rsidus.soit:

( ) ( )z z

z ar sidus z

z

z ar

kr

les poles

=

1 1

Le rsidus au ple se dtermine par la relation( )

rr

d

dzza

r

rk=

1

1

1

1!.

ce qui donne pour une multiplicit d'ordre r un rsidus prenant l'expression suivante:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )r

k

kk k k k r aa

k r=

+ +1

1 2 3 1 1!. . . ..... . .

La rponse impulsionnelle aura pour expression: h k T) C ark k r

( . .= + +

1

1

et ne sera stable que si a< 1Thorme.

Nous pouvons donc conclure que quelque soit la forme du ou des ples, si ceux ci sont l'intrieur d'un cercle unit le systme sera stable.En fait ce thorme prsente d'une manire diffrente la condition de stabilit d'unetransmittance continue. Dans le plan des p la stabilit pour p = r + j c s'exprime par r < 0 ce quicorrespond avec le changement de variable z = eT.p | z | < 1.

3. STABILITE D'UN PREMIER ORDRE.

Afin d'analyser la stabilit correspondant un ple rel, nous allons illustrer notre propos en

tudiant la stabilit d'un premier ordre. Considrons un premier ordre continu dont la commandese fait par une simple action proportionnelle, conformment au schma bloc figure 3.1.

1

1 1+T p.1- -e

p

Tp.E

+

-

W UY

K

Bloqueur Processus

E

Figure 3-1.

Le comportement discret du processus est donn par: H z Y zU z

ep T pz

T p( ) ( )

( ).

..= =

+

1 11 1



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3

ce qui donne en posant =

e

T

T1 ( )

H zz

( )=

1

.

La fonction de transfert en boucle ferme sera:( )

( )( )

( )( )

( )

( )

.

.

.z

Y z

W z

K

z K

K

z a= =

1

1

1

avec ( )a K= . 1

Analyser la stabilit de cette fonction revient calculer la valeur du ple z=a, s'il est comprisentre zro et un, le systme sera stable, et instable dans le cas contraire. Afin de vrifier lacondition de stabilit nous allons tudier la rponse impulsionnelle pour sept valeurs diffrentesde l'action proportionnelle K (voir figure(3-2)).

Cette rponse pour expression: ( ) ( )

y k K a k( ) . .= 1 1 Nous prendrons pour l'application numrique =0,7, pour diffrentes valeurs du gain K lesrsultats algbriques sont rsums dans le tableau ci dessous, et les rponses temporelles sur lafigure 3-2.

Cas K a (z) y(k)1 -2 1,3

0 6

1 3

,

,z

( ) 0 6 1 3 1, . , k

2 -1 1 0 3

1

,

z

( ) 0 3 1 1, . k

3 1 0,4 0 3

0 4

,

,z

( )0 3 0 4 1, . , k

4 2,333 0 0 7,

z

( )0 7 0 1, . k

5 4 -0,5 1 2

0 5

,

,z + ( )

( )1 2 0 5

1, . , k

6 5,666 -1 1 7

1

,

z + ( )( )

1 7 11

, . k

7 6 -1,1 18

11

,

,z + ( )

( )1 8 11

1, . , k

Cet exemple corrobore videment les conditions thoriques de stabilit, on peut remarquer quelorsque le ple est compris entre 0 et -1 la rponse est oscillatoire. Il faudra donc se garderlorsque l'on aura le choix des ples en boucle ferme de les placer dans cet intervalle.Remarque importante.

Dans l'intervalle 0 +1 le ple z=a correspond par exemple l'lment simplez

z a, sa dynamique

a

k

correspond au comportement discret d'un premier ordre continu prcd d'un bloqueur d'ordrezro.

En effet sachant que zp

z

z e

T

1

1

1

+

=

.

. nous voyons que la dimension du ple est a e

T

=

Lorsque a est proche de 1 la constante de temps est longue, pour la valeur limite a=1 nousobtenons un chelon. Par contre lorsque le ple a est proche de 0 la constante de temps est faible la limite elle est nulle et nous avons un comportement typerponse pile.



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4

Rponse impulsionnelle.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.20.25

0.3

0.35Cas 3 a=0,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0Cas 2 a=1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.40.5

0.6

0.7Cas 4 a=0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5-4.5

-4-3.5

-3-2.5

-2

-1.5-1

-0.5

0

Cas 1 a=1,3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Cas 5 a = -0,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Cas 6 a= -1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Cas 7 a = - 1,1

k k

y(k) y(k)

y(k)y(k)

k k

y(k) y(k)

kk

y(k)

k 1234567

1

Re

Im

Plan des ples

Figure 3-2.



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5

4. STABILITE D'UN SECOND ORDRE.

4.1.Etude d'un second ordre en boucle ferme.

Notre propos est ici de montrer la relation qu'il y a entre la position d'une paire de plescomplexes dans le plan complexe et l'allure de la rponse impulsionnelle.

Nous oprerons comme dans le paragraphe prcdent en tudiant la stabilit par rapport une

action proportionnelle conformment au schma bloc figure 4.1.

+

-

W U Y

K

Processus

Figure 4.1

008 0 02

1 1 3 0 4

1 2

1 2, . , .

, . , .

.z .z

z z

- -

- -+

- +

La fonction de transfert en boucle ferme pour une priode d'chantillonnage de une secondeprend pour expression:

( )( ) ( )

( )( )

( )

. , . , .

. , . , . , , .z

Y z

W z

K z z

z K z K = =

+

+ + +

0 08 0 02

1 0 08 1 3 0 4 0 02

1 2

1 2

L'analyse de la stabilit revient tudier le polynme ( ) ( )z z K K 2 0 08 1 3 0 4 0 02+ + +. , . , , , . .Pour diffrentes valeurs du gain K nous avons calcul les ples, la pulsation propre et lecoefficient d'amortissement correspondant ainsi que la fonction de transfert en boucle ferme.Les rsultats obtenus sont reports dans le tableau suivant:

Cas Gain K ples 0 0 (z)1 0,5 0,63 +j.0,11

0,63 -j.0,110,48 0,92 0 04 0 01

1 1 26 0 41

1 2

1 2

, . , .

, . , .

z z

z z

+

+

2 1,3 0,59 +j.0,260,59 -j.0,26

0,59 0,72 0 104 0 026

1 1196 0 426

1 2

1 2

, . , .

, . , .

z z

z z

+

+

3 8 0,33 +j.0,670,33 -j.0,67

1,15 0,25 0 64 0 16

1 0 66 0 56

1 2

1 2

, . , .

, . , .

z z

z z

+

+

4 20 -0,15+j.0,88

-0,15-j.0,88

1,74 0,06 1 6 0 4

1 0 3 0 8

1 2

1 2

, . , .

, . , .

z z

z z

+

+ +

5 35 -0,75+j.0,73-0,75-j.0,73

2,36 -0,02 2 8 0 7

1 15 11

1 2

1 2

, . , .

, . , .

z z

z z

+

+ +

La position des ples ainsi que les rponses impulsionnelles correspondantes, figurent en 4.2.Nous constatons au vu de ces rponses que les oscillations sont d'autant plus importantes que lecoefficient d'amortissement est plus faible.



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6

Rponse impulsionnelle.

0 5 10 15 20 25 30-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0 5 10 15 20 25 30-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 5 10 15 20 25 30-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 5 10 15 20 25 30

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20 25 30-15

-10

-5

0

5

-1

-0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Axe Rel

AxeImaginaire

Cas 1 Cas 2

Cas 3 Cas 4

Cas 5

1

2

3

45

Figure 4-2.



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7

4.2.Zone de stabilit dans le plan paramtrique.

Soit une transmittance en z :

2az.1a2z

2bz1b

2z.2a1z.1a1

2z.2b1z.1b

++

+=

++

+, l'tude de la stabilit

revient tudier les deux ples de ce transfert.

Nous allons exprimer la condition de stabilit dans le plan a2 a1 et dfinir la zone l'intrieurede laquelle le systme est stable.Pour des ples rels:

Dans ce cas ( )a a12 24 0 >. ce qui implique aa

212

4< , dans le plan a2,a1 les ples se trouvent en

dessous de la parabole correspondante

za a a

11 1

224

2=

+ .

z a a a21 12 24

2= .

La stabilit s'exprime par les inquations suivantes:

< +

14

21 1

22a a a.


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8

Dans la zone ou la rponse est oscillatoire nous avons reprsent le rseau de courbes coefficient d'amortissement constant et pulsation fixe. La pulsation utilise est = .T .

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a2

a1

=0,9

0,8

0,7

0,6

0

,5

0,4

0,3

0,2

0,1

=9

10

8

10

7

10

6

10

5

10

4

10

3

10

2

10

1

10

PLAN DES PARAMTRES POUR UN SECOND ORDRE

Figure 4.4

5. CERCLE DE STABILITE.

Dans le cas continu pour qu'un systme soit stable, il est impratif que ses ples se trouvent dans

le demi-plan gauche. Pour les systmes discrets le changement de variable z eT.p= transformel'axe imaginaire en un cercle de rayon unit l'intrieur duquel, doivent se trouver les ples,

pour assurer la stabilit.

zneinstable Re

Im

Plan des ples cas continu

-r

c

-c

Im

Re

Plan des ples cas discret

Figure 5.1 Un ple double est associ une pulsation propre 0et un coefficient d'amortissement 0, Nousrappelons que pour les systmes continus les lieux amortissement constants se trouvent sur desdroites de mmes pentes, et le lieu de pulsation constante sur un cercle.



17/160


9

Nous allons maintenant voir comment se transforment ces lieux dans le cas discret.

Soit une paire de ples ( )( ) ( )( ) ( )p r j c p r j c p r p r c+ + + = + + +. ) . . . .2 2 22 (4-1)

= + +p2 0 022. . en identifiant on obtient les valeurs de r et de c soit:

r= . 0 et c= 021. (4-2)

Dans le domaine continu les ples de lquation (4-1) sont :

cjr1p = et cjr2p += (4-3)

Dans le cas discret nous aurons deux ples

z1=+j. et z2=-j. (4-4)

correspondant au polynme: P(z)=( ) ( )( )z z z z 1 2. ( )( ) ( )( )= + z j z j . . . (4-5)

P(z)=z z2 2 2 2 + +

. . (4-6)

Pour passer du plan des p au plan des z nous effectuerons la transformation :

z eT p= . = ( )cjrTe TcjeTre =

on obtient : ( ) ( )( )TcsinjTccosTre1z += ( ) ( )( )TcsinjTccosTre1z

= En identifiant (4-5) il vient:

( )T.ccos.T.re= et ( )T.csinT.re= soit en explicitant la pulsation propre et le coefficientd'amortissement par les relations (4-2):

= 2

01.T.0cos.

T..e 00

= 2

01.T.0sin.

T..e 00 (4-7)

Ces quations paramtriques permettent de construire dans le plan des ples les courbes

amortissement constant et pulsation constante.

-1-0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Im(z)

= 0,90,8

0,7

0,60,5

0,4

0,3

0,2

0,1

= 0

10.T

=

10.T

2.

10.T

3.

10.T

4.

10.T

5.10.T

6.

10.T

7.

10.T

8.

10.T

9.

10.T

10. Re(z)

Figure 5.2



18/160


10

Remarques sur le placement de ples.Des ples l'intrieur du cercle de rayon unitaire assurent de la stabilit du systme, cependantsi ces ples sont parties relles ngatives, ou si leurs composantes imaginaires sont tropimportantes, cela entrane des modes oscillatoires proscrire.Dans un contexte de placement de ples on limitera l'aspect oscillatoire en se fixant des bornes

pour le coefficient d'amortissement. En outre le temps de monte tant li la pulsation propre

celle-ci sera aussi limite entre une borne infrieure correspondant la vitesse la plus lentedsire et une limite haute au-del de laquelle il y a risque de saturation de la commande.

Par exemple pour une frquence d'chantillonnage de 10 Hz, si on limite le coefficientd'amortissement et la pulsation tel que:

0.7


19/160

INSA GE JM RETIF Commande par modle interne

11

CHAPITRE 2

COMMANDE PAR MODLE INTERNE

1. Introduction.

1.1.

Principe de la commande par modle interne.La commande par modle interne repose dans son principe sur une reprsentation explicite du

processus P(z) et de son modle )z(P

. Ainsi, pour compenser les erreurs de modlisation, la

commande traitera lcart de comportement entre le processus et son modle.Sur le schma bloc dcrit figure 1-1, le correcteur C(z) permet de dfinir la dynamique enasservissement et le filtre F(z) sera utilis pour dfinir la dynamique de rejet de la perturbationde sortie.

Ce type de commande fait partie de la classe des correcteurs qui traite sparment la consigne etla mesure, contrario, pour la commande classique (type PID) seul le signal dcart consignemesure est trait.

Dans ce cas, la commande est rgie par deux transmittances et la grandeur U(z) a pour

forme : )z(Y)z(2)z(W)z(1)z(U KK += (1-1)

Les deux transmittances )z(2et)z(1 KK permettent dobtenir des rponses diffrentes enasservissement et pour le rejet des perturbations.

Nous pouvons remarquer que lorsque )z()z(2et)z()z(1 KKKK == nous retrouvons lecorrecteur classique pour le quel la commande ( ))z(Y)z(W)z()z(U K = .Dans la structure de commande par modle interne nous avons :

P(z) Transmittance du processus.

)z(P

Modle du processus utilis pour la commande.

C(z) Correcteur pour fixer la dynamique en asservissement.F(z) Filtre de rejet des perturbations.

)z(P

)z(F

)z(P)z(C

Consigne W(z)

Sortie Y(z)

Commande U(z)


+

+

-

-

)z(f

)z(

)z(

Processus

Figure 1-1

Lors de la synthse de ce type de commande, nous considrerons que les comportements du

processus P(z) et de son modle )z(P

sont identiques.



20/160


12

Il est immdiat de constater que lorsque )z(P)z(P =

la structure de la commande par

modle interne dcrite figure 1-1 devient :

Figure 1-2

Ainsi, dans son principe, la commande par modle interne repose sur une conception en boucleouverte. Dans ce cas le comportement dsir sera dtermin par la transmittance :

)z(P)z(C)z(W

)z(Y)z(

== (1-2)

La ncessit davoir, lquilibre, une sortie qui rejoint la valeur de consigne, impose lafonction de transfert )z( un gain statique unitaire.Ce n'est qu'une fois la commande dfinie que l'on pourra apprcier l'influence d'une erreur demodlisation sur les performances en asservissement et rgulation.

Remarque importante.

Il est clair, au vu de la structure de commande (figure 1-2), que celle-ci tant tablie en boucleouverte, le processus doit tre naturellement stable.Dans le cas contraire la commande par modle interne n'est envisageable qu'en ayant

pralablement stabilis le systme par une boucle de rgulation classique.

1.2.Analyse de la commande par modle interne en prsence de perturbations.

Dans un contexte rel, le modle )z(P

a un comportement diffrent du processus )z(P . En

outre, si celui-ci possde un capteur bruit par un signalb

W et se trouve affect dune

perturbation yW sur la sortie et dune perturbation uW sur la commande, le schma bloc est le

suivant :

)z(P

)z(F

)z(P)z(C

Consigne W(z)

Sortie Y(z)

Commande U(z)


+

+

-

-

)z(f

)z(

)z(

Processus

yW

bW

uW

+

+++

+

+

Figure 1-3

)z(P)z(C

Consigne W(z) Sortie Y(z)U(z)



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13

Nous nous retrouvons dans le cas classique o la sortie est rgie par 4 entres constitues de laconsigne et des 3 perturbations.Dans ce cas la fonction de transfert reliant la sortie Y(z) aux diffrentes entres aura la formesuivante :

( )

)z(yu)z(yb)z(yy)z(W

)z(P)z(P)z(F)z(C1

)z(P)z(C)z(Y +++

+

= (1-3)

Dans cette expression de Y(z), nous pouvons distinguer :La dynamique en asservissement.

( ))z(W

)z(P)z(P)z(F)z(C1

)z(P)z(C

+

(1-4)

Linfluence sur la sortie de la perturbation de sortie.

( ) yW

)z(P)z(P)z(F)z(C1

)z(P)z(F)z(C1)z(yy

+

+=

(1-5)

Linfluence sur la sortie dun bruit de mesure.

( ) bW

)z(P)z(P)z(F)z(C1

)z(P)z(F)z(C)z(yb

+

= (1-6)

Linfluence dune perturbation de commande.

( )( ) u

W)z(P)z(P)z(F)z(C1

)z(P)z(F)z(C1)z(P)z(yu

+

+=

(1-7)

Sachant que le modle )z(P

est imprcis, il est ncessaire de vrifier, lorsque celui-ci a un gain

statique diffrent du processus, que cela nentrane pas des erreurs rdhibitoires sur la grandeurde sortie.

Lors de la synthse de C(z), nous avons impos un gain statique unitaire au transfert )z( , ilvient donc : 1)1(P)1(C)1( ==

.

En outre le filtre F(z) doit avoir un gain statique unitaire afin de compenser sans biais, lerreurde modlisation.A partir des quations (1-4) (1-7) il vient :

Pour laspect asservissement.

)1(W)1(Y)1(W1)1(P)1(C1

)1(P)1(C)1(W

)1(P)1(F)1(C)1(P)1(F)1(C1

)1(P)1(C)1(Y =

+

=+

= (1-8)

Avec cette structure de commande, le correcteur a un gain statique gal linverse du gain dumodle. Nous pouvons ici vrifier que lorsque )1(P)1(P

, lerreur statique en asservissement

sera nulle.

Pour le rejet de perturbation sur la sortie.

( )0)1(yyyW

)1(P)1(C

)1(P)1(C1yW

)1(P)1(P)1(F)1(C1

)1(P)1(F)1(C1)1(yy =

=

+

=

Pour une perturbation permanente sur la sortie, linfluence sur celle-ci sera nulle.

Pour linfluence dun bruit de mesure.

( ) bW)1(ybbW)1(P)1(C )1(P)1(CbW)1(P)1(P)1(F)1(C1 )1(P)1(F)1(C)1(yb ==+ =



22/160


14Ici il est clair, et cest aussi le cas pour une commande classique, quune erreur

permanente sur le capteur conduira une erreur systmatique sur la sortie.

Pour le rejet dune perturbation sur la commande.

( )( )

( )0)1(yuuW

)1(P)1(C

11)1(PuW

)1(P)1(P)1(F)1(C1

)1(P)1(F)1(C1)1(P)1(yu =

=

+

=

Comme pour le bruit de sortie, les perturbations permanentes sur la commande sont rejetes.

Maintenant que nous avons montr la consistance de la commande par modle interne, nousallons nous attacher la synthse des diffrentes parties la constituant.Dans un premier temps, nous nous intresserons aux aspects inhrents la matrise de ladynamique en asservissement, dans un second temps nous verrons comment fixer la dynamiquede rejet des perturbations.In fine nous aborderons les aspects robustesse et montrerons la gnralit de ce type decommande.

2. Comportement en asservissementComme il a t vu prcdemment, dans le cas idal, la commande par modle interne revient auschma suivant :

)z(P)z(C

Consigne W(z) Sortie Y(z)

)z(P)z(C

Consigne W(z) Sortie Y(z)U(z)

Figure 2-1.

La dynamique dsire est rgie par )z(P)z(C)z(W

)z(Y)z(

== (2-1)

A ce niveau, s'offrent nous deux possibilits. Pour la premire on considre que la dynamiqueen asservissement est dtermine par le produit (z) C(z).P(z) = . Il sensuit, dans le cas idal,au regard de lquation (1-5) que lerreur amene par une perturbation sur la sortie

sera : ( )yy (z) 1 (z) F(z)= .La dynamique de rejet de perturbation sera donc plus lente que celle de lasservissement. Aumieux, si F(z)=1, elles seront identiques. Gnralement lutilisateur dsire un rejet de la

perturbation de sortie plus rapide que la dynamique dasservissement. Cest pour cette raisonque nous nutiliserons pas cette procdure de conception de la commande.Pour avoir des dynamiques diffrentes pour lasservissement et le rejet des perturbations, il estimpratif que le transfert )z( soit le plus rapide possible. Cette deuxime approche aura notre

prfrence et nous allons dans ce qui suit la dtailler.Dans ce cas, pour satisfaire la dynamique dsire en asservissement, on adjoint en amont de lacommande par modle interne, un modle de rfrence srie conformment au schma suivant.

)z(P)z(C

Consigne W(z) Sortie Y(z)

G(z)

U(z)W'(z)

Figure 2-2

Ainsi, si lon considre )z(P)z(C)z('W

)z(Y)z(

== trs rapide, la dynamique en asservissement

sera alors rgie par la transmittance G(z).



23/160


15

)z(G)z(P)z(C)z(G)z(W

)z(Y=

(2-2)

Si lon pose, pour le modle du processus, dz)z(A

)z(B)z(P =

, lexpression du correcteur pour

un comportement pile retard ( 1 d(z) z = ) est particulirement simple :

1(z) A(z)C(z) (z) zB(z)P(z)

= = (2-3)

Nous constatons que cette mthode simplifie le numrateur du modle du processus et ne doitpas conduire pour le correcteur des ples instables ou trop oscillatoires. Cette remarque vaorienter le choix du transfert )z( .

La simplification de zros instables

conduit une commande divergente.Il est cependant prudent, afin d'avoir unecommande qui noscille pas, d'viter desimplifier les zros trop oscillatoires.Si nous limitons, pour des zros doublesle coefficient damortissement

5,00= et pour un zro simple la valeur

0,4 comme limite infrieure, la zone lintrieur de laquelle doit se trouver leszros du modle est reprsente sur lafigure 2-3.

Figure 2-3.

Nous allons maintenant dcliner les diffrentes situations et voir comment choisir )z( .

2.1.Le numrateur du modle du processus est simplifiable.

Dans ce cas, on cherchera le transitoire le plus rapide du transfertY z

W z

( )

( )' , en reportant la

dynamique en asservissement sur le modle de rfrence srie G(z).

G zB z

A zm

m( )

( )

( )= (2-4)

Le transfert en asservissement est :

( )( )

( )

). ( )

( ).

'z

Y z

W z

C(z B z

A zz d= = (2-5)

Si l'on s'autorise simplifier le numrateur et le dnominateur du modle, la vlocit la plusgrande sera une rponse pile au retard prs, ce qui donne :

( )z z d= 1

Le correcteur vaut alors : C(zA z

B zz)

( )

( ).= 1 (2-6)

-1 0 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

9,00 =0,8

0,70,60,50,40,30,20,1

0.80.60.40.2-0.2-0.4-0.6-0.8



24/160


16Ici la dynamique d'asservissement est reporte sur le modle de rfrence srie G(z).Le transfert total en poursuite devient alors :

dz1z....2z.

2ma1z.

1ma1

....2z.2mb1z.1mb0mbdz1z

)z(mA

)z(mB

)z(W

)z(Y +++

+++== (2-7)

Afin d'viter tout retard indsirable dans le profil de la sortie, on veillera ce que G(z) soit unsystme possdant un coefficient bm0non nul.

Application. Voir exemple 1 6-1.

2.2.Le numrateur du modle du processus nest pas simplifiable.Si le numrateur B(z) nest pas simplifi par le correcteur C(z), il est vident quil se retrouveradans la fonction de transfert )z( . Sachant que pour celle-ci on dsire un gain statique unitaire,la fonction de transfert la plus rapide sera :

dzmb2b1b

nzm

b2z2

b1z1

bdz

)1(B

)z(B)z( +++

+++==

(2-8)

Dans ce cas le correcteur aura pour expression :

)1(B

)z(A)z(C = (2-9)

Application. Voir exemple 1 6-2.

2.3.Le numrateur du modle du processus est partiellement simplifiable.

Ici, il est ncessaire dans la reprsentation du modle du processus )z(P

de sparer les parties

simplifiables de celles qui ne le sont pas. La forme gnrale du modle du processus est :

dznaz.naa...

3z.3a2z.2a

1z.1a1

nbz.nbb...3z.3b

2z.2b1z.1b)z(P

+++++

++++=

(2-10)

Le numrateur peut se factoriser en deux polynmes Bi(z) et Bs(z) correspondant respectivementaux zros instables et stables du numrateur.

dz)z(A

)z(s

B).z(i

B)z(P =

(2-11)

avec : ++++= 3z.3sb2z.2sb

1z.1sb1)z(sB (2-12)

.3z.3ib2z.2ib

1z.1ib)z(iB +++= (2-13)

Le polynme )z(iB reprsente la partie du numrateur que lon ne veut pas simplifier, en

consquence il se retrouvera dans le comportement de )z( .

Soit : dz)1(iB

)z(i

B

)z('W

)z(Y)z( == (2-14)



25/160


17Il est normal que dans ce transfert l'on retrouve l'intgralit du retard ainsi que la partie nonsimplifiable, la prsence de Bi ( )1 assure un gain unitaire ( )z .

Ce transfert s'exprime par rapport au correcteur et au processus par :

dz)z(A

).z(sB).z(iB)z(C)z(P)z(C)z( ==

(2-15)

De ces deux dernires quations ((2-4) & (2-5) ) il est ais de dterminer le correcteur soit:

C(zA z

B z Bs i)

( )

( ). ( ).=

1 (2-16)

Ici le transfert total pour la poursuite vaut:

dz)1(iB

)z(iB.2z.2ma

1z.1ma1

.2z.2mb1z.1mb0mbdz

)1(iB

)z(iB

)z(mA

)z(mB

)z(W

)z(Y +++

+++==

Il est remarquer que le transfertB z

Bi

i

( )

( )1est rponse impulsionnelle finie, ce qui implique un

suivi relativement correct de Y par rapport W'.

3. Rejet des perturbations.

3.1.Rejet de la perturbation sur la sortie.

Nous allons analyser ici linfluence sur la sortie Y dune perturbation de sortie yW . Nous nous

placerons dans le cas idal o )z(P)z(P

= , dans ce cas lerreur sur la sortie vaut :

( ) )z(yW)z(P).z(F).z(C1)z(yy =

(3-1)

Soit en formulant cette expression avec le transfert )z(

( ) )z(yW)z().z(F1)z(yy = (3-2)

Le schma bloc en rgulation dans le cas idal est donc:

C(z)F(z)

+

-

)z(P

yW

+

)z(yy

)z(

Figure 3-1

Nous allons maintenant tudier comment caractriser F(z) afin dobtenir le rejet dsir de la

perturbation yW . Afin de ne pas alourdir lcriture nous allons considrer dans ce qui suit un

retard nul (d=0).



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18

3.1.1. Cas de zros stables

Comme nous l'avons vu prcdemment, si lon simplifie B(z), il est facile davoir 1z)z( = .

Dans ce cas : )z(yW1z).z(F1)z(yy

= (3-3)

A titre illustratif, admettons que lon dsire un rejet de perturbation tel que :k)k(yy = , ce qui donne 1z1

1)z(yy

= .

Pour une perturbation en chelon de yW , partir de la relation (3-3) il vient :

1z)z(F11z1

1z1

)z(yW

)z(yy =

=

1z1

1)z(F

=

Nous retrouvons ici la transmittance dun premier ordre prcd dun bloqueur dordre zro dontla rponse indicielle est avance dune priode dchantillonnage.

F(z)

+

-

yW

+

)z(yy

1z

Figure 3-2

On voit apparatre clairement sur la figure 3-2, qu'au retard prs, F(z) fixe explicitement le rejetde la perturbation.

3.1.2. Cas de zros instables.

Sachant que la transmittance rapide dsire vaut ici)1(B

)z(B)z( = (relation (2-8), ici le transfert

en rgulation s'exprime, dans le cas idal par :

)z(F

)1(B

)z(B1

)z(Wy

)z(yy=

(3-4)

Nous remarquerons que le transfert)1(B

)z(Best rponse impulsionnelle finie, par consquent en

premire approximation F(z) fixera comme prcdemment la dynamique en rgulation.

3.1.3. Cas des zros partiellement instables.

Ici)1(iB

)z(iB)z( = , dans ce cas )z(F)1(iB

)z(iB1)z(Wy

)z(yy=

(3-5)

Le transfert )1(iB

)z(iB

tant rapide, nous considrerons que cest le filtre F(z) qui fixe la dynamique

de rejet de la perturbation.



27/160


19

3.2.Rejet dun bruit de mesure.Ici dans le cas idal la relation (1-6) devient :

bW)z(P)z(F)z(C)z(yb = (3-6)

bW)z()z(F)z(yb = bW)z(F (3-7)

Comme F(z) possde un gain statique unitaire, une erreur systmatique se rpercuteraintgralement sur la sortie.

3.3.Rejet de la perturbation sur la commande.Pour une perturbation sur la commande lquation (1-7) vaut :

( ) uW)z(P)z(F)z(C1)z(P)z(yu +=

(3-8)

( ) uW)z()z(F1)z(P)z(yu += ( ) uW)z(F1)z(P (3-9)

La dynamique de rejet correspond celle lie yW filtre par le processus.

Nota :On remarquera que dans le cas dune commande classique, il en est de mme puisque

yySPyuS = .

4. Robustesse dune commande par modle interne.La structure de la commande par modle interne est particulire et ne se prte pas directement lexpression de la robustesse et des fonctions de sensibilits.

Nous allons montrer que cette commande peut se mettre sous une forme gnrale pour laquellela grandeur de commande U est fonction de deux transmittances. La premire traite la consigneW et la seconde la mesure Y.A partir de cette formulation, nous pourrons ramener le schma de commande par modleinterne un bouclage classique.

4.1.Forme gnrale de la commande.A partir du schma gnral donn figure 1-1, nous pouvons exprimer la commande en fonction

du correcteur C(z), du filtre F(z) et du modle )z(P

.

)z(Y.)z(P).z(F).z(C1

)z(F).z(C)z('W.

)z(P).z(F).z(C1

)z(C)z(U

= (4-1)

Nous voyons ici que cette commande dpend de la consigne intermdiaire W' et de la mesure Y.Cette structure correspond un systme multivariable recevant deux entres et dlivrant unesortie U. Ainsi, la commande U peut donc se calculer partir de deux fonctions de transfert que

nous noterons )z(1K et )z(2K .

)z(S

)z(T)z(1 =K =

)z(P).z(F).z(C1

)z(C

(4-2)

)z(S

)z(R)z(2 =K

)z(P).z(F).z(C1

)z(F).z(C

= (4-3)

Avec ces notations, la commande peut se mettre sous la forme:

)z(Y).z(2)z('W).z(1)z(U KK = =

T z

S zW z

R z

S zY z

( )

( ). ( )

( )

( ). ( )' (4-4)



28/160


20A partir de cette formulation, le schma de commande, en prsence de perturbations,devient :

+W'

T(z)S(z)

B(z)

A(z)z-d

PROCESSUS

R(z)

S(z)

-

U Y+

Wy

+

+

+

Wb

+

+

Wu

)z(1K

)z(2K

P(z)

Figure 4-1

Pour implanter la commande par modle interne sous cette forme, il faut dterminer lespolynmes R(z), S(z) et T(z) qui sont pris sous la forme suivante :

++++= 3z.3r2z.2r

1z.1r0r)z(R (4-5)

++++= 3z.3s2z.2s

1z.1s1)z(S (4-6)

++++= 3z.3t2z.2t

1z.1t0t)z(T (4-7)

Sachant que )z(Y.)z(S

)z(R)z('W.

)z(S

)z(TU = (quation (4-1))

Les quations rcurrentes correspondantes au schma de la figure 4-1 seront :

+++=

)3k(u3s)2k(u2s)1k(u1s

)2k(y2r)1k(y1r)k(y0r

)2k('w2t)1k('w1t)k(

'w0t)k(u

Pour obtenir ces quations de commande, il nous faut donc trouver les relations liant les

polynmes R(z), S(z) et T(z) en fonction des transmittances C(z), F(z) et )z(P

.

Pour cela nous poserons :

F zN z

D zf

f( )

( )

( )= C(z

N z

D zc

c)

( )

( )= dz.

)z(A

)z(B)z(P =

(4-8)

Lidentification de la relation (4-1) aux quations (4-8) permet dobtenir pour ces troispolynmes :

R z N z N z A zc f( ) ( ). ( ). ( )= (4-9)

dfcfc z).z(B).z(N).z(N)z(A).z(D).z(D)z(S

= (4-10)

T z N z D z A zc f

( ) ( ). ( ). ( )= (4-11)

Cette nouvelle structure de la commande par modle interne peut videmment se remettre soussa forme originale.



29/160


21En effet si nous exprimons, daprs le schma de la figure 4-1, la sortie en fonction de laconsigne et des perturbations, nous obtenons :

Wu2P1

PbW

2P1

2PyW

2P1

1'W2P1

1PY +

++

++

+

=

KKK

KKK

(4-12)

En explicitant dans cette relation les expressions des fonctions de transfert )z(1K et )z(2K (quations (4-2) & (4-3)), on retrouve les mmes quations quen (1-3) (1-7) soit :

( ) +

+

= )z(W

)z(P)z(P)z(F)z(C1

)z(P)z(C)z(Y

( ) yW

)z(P)z(P)z(F)z(C1

)z(P)z(F)z(C1

+

( ) bW

)z(P)z(P)z(F)z(C1

)z(P)z(F)z(C

+

)( ) u

W)z(P)z(P)z(F)z(C1

)z(P)z(F)z(C1)z(P

+

+

(4-13)

Mettre la commande par modle interne sous une forme correspondante au schma de la figure4-1 permet de reformuler celle-ci, sous une forme plus gnrale faisant appel trois polynmesR(z), S(z) et T(z). Cependant le principal intrt de la formulation qui vient dtre prsente estde mettre le schma de commande sous une forme permettant dexprimer la robustesse et les

fonctions de sensibilit.4.2.Robustesse.

Ainsi pour la robustesse par rapport aux perturbations, on considre W'=0 et le schma bloc dela figure 4-1 devient :

-

U Y+

+

Wy

+

+

Wb

+-

Wu

R(z)

S(z)

)z(1K

B(z)

A(z)

z-d

PROCESSUS

rel

P(z)

Figure 4-2

Si nous comparons cette dernire figure au schma classique de la commande d'un processus

P zB z

A z( )

( )

( )= par un correcteur K z

R z

S z( )

( )

( )= , nous constatons que les schmas sont quivalents.

Nous pourrons donc, partir de cette formulation, exprimer les diffrentes marges et fonctionsde sensibilits inhrentes ltude de la robustesse dune commande.

En conclusion, pour dterminer la robustesse d'une commande par modle interne, dans unpremier temps, il faut exprimer les polynmes R(z) et S(z) partir de transmittances de lacommande par modle interne.

R z N z N z A zc f( ) ( ). ( ). ( )= (4-14)


= (4-15)

http:///reader/full/N().N().zhttp:///reader/full/N().N().zhttp:///reader/full/N().N().zhttp:///reader/full/N().N().zhttp:///reader/full/N().N().z


30/160


22A partir de ces polynmes les fonctions de sensibilit sexprimeront par les relationshabituelles.

Sensibilit de la sortie une perturbation sur la sortie

SK Pyy

=+

1

1 . S

A S

AS B R yy=

+.

. (4-16)

Sensibilit de la sortie une perturbation sur la mesure

SK P

K Pyb=

+.

.1 S

B R

AS B R yb=

+.

. (4-17)

Sensibilit de la sortie une perturbation sur la commande

P.K1

PSyu +

= R.BAS

S.BSyu +

= (4-18)

Sensibilit de la commande un bruit de sortie ou de mesure

P.K1

KSuy +

= R.BAS

R.ASuy +

= (4-19)



31/160


23

5. Implmentation numrique.La commande ncessite le calcul de quatre fonctions de transfert, l'ordre dans lequel doit sesquencer les quations rcurrentes n'est pas arbitraire. Il est tout d'abord ncessaire d'analyserles degrs respectifs de chacun des transferts ( en puissance de z positive).Deux cas sont envisager :S'il y a galit, le gain pour une pulsation infini est non nul, ou autrement formul la sortie l'instant k, dpendra de l'entre au mme instant.Si le degr du dnominateur est suprieur au degr du numrateur la sortie l'instant k dpendrad'chantillons du pass de l'entre. Ces remarques tant faites, analysons les degrs relatifs desdiffrents transferts.

Le modle du processus :

La forme utilise montre que )k(y dpend des chantillons passs de la commande U.

Le modle de rfrence G(z).

Ici les degrs sont identiques (bm00) donc w'(k) dpendra de w(k).

Le correcteur C(z) et le filtre F(z).

Ces transmittances ont le mme degr au numrateur qu'au dnominateur.

De toutes ces contraintes il est ais, partir du schma de commande rappel figure 5-1, dedterminer le squencement des quations rcurrentes :

+W'

Bm(z)

Am(z)

W

PROCESSUS

-

U Y+

Wy

+

G(z)

C(z)

+

-

P(z)

F(z)f

YP(z)

Figure 5-1



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24Alternative de codage.

Il peut tre plus efficace de ne pas coder le modle )z(P

en remarquant que pour calculer la

sortie du modle ( )y k il est possible de lobtenir avec (z) C(z) P(z) = .

Cela peut tre plus simple si celui ci est de complexit plus rduite que )z(P

(figure (5-2)).

+

-

W'

Bm(z)

Am(z)

W

PROCESSUS

-

U Y+

Wy

+

G(z)

C(z)

+

-

P(z)

F(z)f

)z(Y

Figure 5-2.

Dans ce cas l'algorithme aura la forme suivante:



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25

6. Exemples.

6.1.Exemple 1.Considrons un processus du deuxime ordre dont lidentification, pour une priodedchantillonnage T=0,1s, a fourni la transmittance suivante :

2z.72,01z.7,11

2z.4,01z.8,0)z(P +

+

=

.

Ce modle possde deux ples lintrieur du cercle unit (z1=0,8 et z2=0.9), nous pouvonsdonc appliquer la commande par modle interne. Son numrateur prsente un zro ngatif( 5,0z = ) ce qui va conduire des oscillations sur la grandeur de commande u(k). En effet cezro du modle conduira la prsence dun ple pour le correcteur qui fera apparatre un terme

en ( )k5,0 . Afin de juger linfluence dun zro stable ngatif, nous considrerons ici que cesoscillations seront acceptables et simplifierons le numrateur B(z).

6.1.1. Choix de la dynamique en asservissement.

6.1.1.1. Calcul de C(z)

Le numrateur B(z) du modle du processus tant simplifiable, comme le systme est sans retardpur (d = 0) nous pouvons avoir une rponse pile.

)z(P).z(C1z)z('W

)z(Y ==

1z4,08,0

2z72,01z7,111z)z(B

)z(A)z(C

+

+==

1z.5,01

2z.9375,01z.125,225,1)z(C

+

+=

L'quation rcurrente de commande sera :

)1k(u5,0)2k(9375,0)1k(125,2)k(25,1)k(u +=

6.1.1.2. Calcul du modle de

rfrence srie G(z)

Pour une consigne W en chelon on dsire que la sortieprogresse en rampe et que la valeur de la consigne soit

atteinte en m.T priodes dchantillonnages (fig 6-1).

Figure 6-1

Le transfert global en asservissement a pour expression : )z()z(G)z('W

)z(Y)z(G

)z(W

)z(Y==

Qui dans notre cas vaut : 1z)z(G)z(W

)z(Y =

Exprimons Y(z) comme la diffrence de deux rampes dcales dun retard m.T.

0 5 10 15

0.5

1

1 3 43 6 7 8 9

k

y(k)



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26

soit ici :

( )( )

1m

21

1 T zY(z) 1 z

m T1 z

=

Ce qui conduit pour le modle de rfrence srie au transfert suivant :

= mz1

1z1

1

m

1)z(G

Soit pour m = 10 :

== 10z11z1

1

10

1

)z(W

)z('W)z(G

Lquation rcurrente vaudra :

( )' '1

w (k) . w(k) w(k 10) w (k 1)10

= +

6.1.2. Rejet des perturbations, calcul de F(z).

Nous dsirons pour la perturbation de sortiey

W , avoir une dynamique de lerreur sur la sortie

du premier ordre, k)k(yy = avec 5,0= .Conformment lquation (1-5) du 1 lerreur due une perturbation sur la sortie

vaut : )z(yW)z(F1z1)z(yy

= soit ici

1z1

1)z(yy

= .

Ce qui donne pour le filtre F(z) :

1z1

1)z(F

= et pour 5,0=

1z5,01

5,0

)z(

)z(f)z(F

==

Lquation rcurrente correspondante prend pour expression :

)1k(f5,0)k(5,0)k(f +=

6.1.3. Algorithme de commande.Il faut ici calculer les quations rcurrentes correspondantes au modle de rfrence srie G(z),

au correcteur C(z), au filtre F(z) et au modle )z(P

.

Le squencement de ces quations rcurrentes n'est pas indiffrent.Il faut reprer parmi ces 4 transmittances celles qui correspondent des systmes propres (mmedegr du numrateur et du dnominateur).En effet, dans ce cas il y a transmission directe (gain non nul pour une frquence infinie).Lorsque z

z

1)z(P

Ceci implique ( ))1k(uf)k(y = .

C(z) , 1 25 Ceci implique u(k) = f((k)).( ) 1)z(F Ceci implique f(k) = f((k))

P zm

( )1

Ceci implique w '(k) = f(w(k)).

Si toutes les transmittances taient propres, nous aurions des boucles algbriques et lesquencement des quations rcurrentes ne serait pas possible.



35/160


27

Forme de lalgorithme.

1. Calcul de la sortie du modle du processus )k(y

.

)2k(y72,0)1k(y7,1)2k(u4,0)1k(u8,0)k(y ++=

.

2. Calcul de la consigne intermdiaire.

[ ]' '1w (k) . w(k) w(k 10) w (k 1)10

= +

3. Calcul du signal dcart )k( entre le processus et son modle.)k(y)k(y)k(

=

4. Calcul du signal dcart filtr )k(f .)1k(f5,0)k(5,0)k(f +=

Calcul du signal dcart )k( .

)k(f)k('w

5.

Calcul de la commande u(k).

)1k(u5,0)2k(9375,0)1k(125,2)k(25,1)k(u += 6. Gestion des mmoires historiques.

u(k-2) u(k-1) u(k-1) u(k))1k(y)2k(y

)k(y)1k(y

f(k-1) f(k))8k(w)9k(w)9k(w)10k(w

)k(w)1k(w)1k(w)2k(w .

)k('w)1k('w (k-2) (k-1) (k-1) (k)

6.1.4. Simulation

Nous nous placerons ici dans le cas idal ou )z(P)z(P =

2z.72,01z.7,11

2z.4,01z.8,0

+

+=

Simulation pour une consigne en chelon.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8 0 .9 1

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Sortie du processus

y(t) et y(k)Commande )t(bU

Figure 6-2 Figure 6-3

Pour une consigne W en chelon, nous avons bien, aux instants dchantillonnage la rponse

pile attendue, mais il y a une lgre oscillation avec un dpassement de 20% provenant de laprsence du zro simplifi. Lallure de la commande est dailleurs bien reprsentative de laprsence de ce zro.



36/160


28

Simulation pour une consigne en rampe.

0 0.5 1 1. 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5

-0.1

-0.05

0

0 . 0 5

0.1

0.15

Sortie du processus

y(t) et y(k)

Commande )t(bU


Le fait de solliciter la commande par une consigne en rampe rduit lamplitude de la commandedans un rapport 10. Il est clair quici les oscillations de y(t) sont tout fait acceptables.

Rejet dune perturbation sur la sortie.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

y(t) et y(k) Commande )t(bU


Pour une perturbation en chelon de 20% de la consigne, nous retrouvons bien aux instants

dchantillonnages un rejet k5,02,0)k(yy = . Entre ces instants, la sortie y(t) oscille un peu.

6.1.5. Robustesse.

Pour calculer la robustesse, il faut mettre cette commande sous une forme adquate faisant appel

dans la boucle de contre raction une transmittance)z(S

)z(R. Dans le 4-2 nous avons montr

que les polynmes sont donns par les quations (4-9) & (4-10) soit :

R z N z N z A zc f( ) ( ). ( ). ( )=


= .

4z324,03z53,12z7062,21z125,2625,0)z(R ++= 4z36,03z49,02z07,11z2,21)z(S ++=

Aprs simplifications des racines communes :

2z455,01z0625,1625,0)z(R += 2z5,01z5,01)z(S =



37/160


29Ici le correcteur vaut :

+

+=

1z5,011z1

2z455,01z0625,1625,0

)z(S

)z(R, nous pouvons remarquer quil possde un ple pour

z=1 (aspect intgrateur), ce qui est normal, puisque la synthse par modle interne garanti uneerreur statique nulle.

A partir de cette formulation, on obtient pour la robustesse de cette commande :75,0Myy= et ms260= .

Ici la marge de module est trs correcte.Pour juger de la marge de retard, nous allons la comparer aux constantes de temps du modle du

processus.

Ici

=+= 1z.T

T

e11z.T

T

e11z.9,011z.8,012z.72,01z.7,11)z(A 21

Ce qui donne pour les constantes de temps ms4481

T = et ms9522

T = . Ici ms260=

est

assez faible et la prsence dun retard nglig de cette valeur, nest pas carter.Pour juger si cette commande est acceptable, il faut en fonction de ce que lon sait sur le

processus, savoir si un retard pur de 260 ms est physiquement possible.

6.2.Exemple 2.

Nous allons ici reprendre le mme modle que prcdemment :2z.72,01z.7,11

2z.4,01z.8,0)z(P

+

+=

pour lequel nous ne simplifierons pas le numrateur.

6.2.1. Choix de la dynamique en asservissement.

6.2.1.1. Calcul de C(z).

La dynamique le plus rapide sans simplifier le numrateur a pour fonction de transfert :

)z(P).z(C)1(B

)z(B

)z('W

)z(Y ==

)1(B

)z(A)z(C =

2z.6,01z.4167,18333,0)z(C +=

L'quation rcurrente de commande sera :

)2k(6,0)1k(4167,1)k(8333,0)k(u +=

Nota: Ce correcteur est rponse impulsionnelle finie.

6.2.1.2. Calcul du modle de rfrence srie G(z)

Nous reprendrons le mme modle que prcdemment, pour la dynamique dasservissement.

Soit pour m = 10 :

== 10z11z1

1

10

1

)z(W

)z('W)z(G

Nous allons voir comment la forme idale en rampe est altre dans ce cas.

)z()z(G

)z('

W

)z(Y).z(G

)z(W

)z(Y==

)1(B

)z(B)z(G =

+= 2z3333,01z6667,0)z(G



38/160


30

k 0 1 2 3 8 9 10 11W(k) 1 1 1 1 1 1 1 1

)k('w dsir0 0,1 0,2 0,3 0,8 0,9 1 1

)k('w obtenu0 0.0667 0.1667 0.2667 0.7667 0.8667 0.9667 1.0000

Nous pouvons constater un cart de comportement tout fait acceptable.

6.2.2. Rejet des perturbations, calcul de F(z).Nous prendrons le mme filtre F(z) que dans lexemple prcdent, soit :

1z1

1)z(F

= et pour 5,0=

1z5,01

5,0

)z(

)z(f)z(F

==

6.2.3. Simulation.

Simulation pour une consigne en chelon.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sortie du processusy(t) et y(k) Commande )t(bU


Il est clair en comparant les figures 6-2 et 6-8 que le fait de navoir pas simplifi le zro ngatifdu processus amliore considrablement la rponse indicielle.

Simulation pour une consigne en rampe.

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Commande )t(bUSortie du processusy(t) et y(k)


La rponse est meilleure que dans lexemple prcdent et lamplitude de la commande est plusfaible.



39/160


31Rejet dune perturbation sur la sortie.

0 0 . 1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8 0.9 1

0.8

0.85

0.9

0 . 9 5

1

1.05

1.1

1.15

1.2

0 0 .1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Commande

Sortie du processusy(t) et y(k)


La dynamique de la sortie est moins oscillatoire que pour lexemple 1, bien quaux instantsdchantillonnage lon nait pas exactement une dynamique du premier ordre.

6.2.4.

Robustesse.Aprs simplifications des racines communes

2z3,01z7083,0416,0)z(R += .2z1667,01z8333,01)z(S =

Ici le correcteur vaut :

+

+=

1z1667,011z1

2z455,01z0625,1625,0

)z(S

)z(R,

Pour les marges permettant dapprcier la robustesse on obtient : 77,0Myy= ms297=

Ici les marges de module et de retard sont un peu meilleures, mais nous pouvons faire la mmeremarque que dans lexemple 1 sur la faiblesse de la marge de retard.



40/160


32



41/160

INSA 5GE JM RETIF Commande RST

33

CHAPITRE 3.

COMMANDE RST

1. INTRODUCTION.

1.1. Principe de la commande RST.

Gnralement la commande d'un processus est constitue d'un rgulateur C(z) recevant comme

entre, le signal d'cart consigne-mesure, et fournissant la commande U au processus. Ce typede structure de commande, comme nous avons pu le souligner prcdemment, ne permet pas de

diffrencier la dynamique en asservissement de celle du rejet de perturbation.

Nous allons maintenant tudier un correcteur de forme gnrale, qui possdera comme entres,

la consigne W et la mesure Y et comme sortie la grandeur de commande U. Nous passons ainsi

d'un rgulateur monovariable dfini par une seule transmittance, un correcteur ayant deux

entres et une sortie, caractris par deux transferts. Le schma global de la commande

correspond la figure 1.1:

+ +

Commande U

Perturbation Wy

YPROCESSUS

discrtis

CORRECTEUR

RST

Consigne W

Mesure Y

Figure 1-1.

La commande prend la forme gnrale )z(Y).z(2K)z(W).z(1K)z(U = .

Le fait de traiter indpendamment la consigne et l'entre conduit, dans la synthse du correcteur, avoir deux transmittances )z(1K et )z(2K qui nous permettront de dfinir des dynamiques

diffrentes en rgulation et en asservissement.

La commande RST correspondant au schma bloc figure 1-2, ou R(z), S(z) et T(z) sont des

polynmes etBm

m

z

A z

( )

( )une fonction de transfert fixant la dynamique en asservissement.

Les diffrentes parties du correcteur ont pour forme :

R z r r z r z r znn

rr( ) . . ... .= + + + + 0 1

12

2 (1-1)

1 2 ns1 2 nsS(z) 1 s .z s .z ... s .z = + + + + (1-2)

T z t t z t z t znn

tt( ) . . ... .= + + + + 0 1

12

2 (1-3)

B z

A z

bm bm z bm z bm z

am z am z am z

m

m

nn

nn

bmbm

amam

( )

( )

. . ... .

. . ... .=

+ + + +

+ + + +

0 1

12

2

11

221

(1-4)



42/160


43/160


35

1.2.1. Ralisation spare du correcteur RST et du modle dasservissement.

1.2.1.1.Modle de rfrence srie.

W z

W z

B z

A z

m

m

' ( )

( )

( )

( )=

= + + + W z bm W z bm z W z bm z W z am z W z am z W z'( ) . ( ) . . ( ) . . ( ) ... . . ' ( ) . . ' ( ) ...0 11

22

11

22

Lquation rcurrente du modle dasservissement sera :w k bm w k bm w k bm w k am w k am w k ' ( ) . ( ) . ( ) . ( ) ... . ' ( ) . ' ( ) ...= + + + 0 1 2 1 21 2 1 2

1.2.1.2.Correcteur RST.

Les quations rcurrentes du correcteur RST, reliants Y W', se dduiront de la relation (1-7)

soit :

1 21 2

1 20 1 2

1 20 1 2

U(z) s U(z) z s U(z) z

t W '(z) t W '(z) z t W '(z) z

r Y(z) r Y(z) z r Y(z) z

+ + + =

+ + + +

+

Ce qui amne l'quation rcurrente:

0 1 2

0 1 2

1 2 3

u(k) t w '(k) t w '(k 1) t w '(k 2)

r y(k) r y(k 1) r y(k 2)

s u(k 1) s u(k 2) s u(k 3)

= + + +

(1-8)

Nous voyons dans cette quation rcurrente que si les coefficients ri et ti sont gaux nous

retrouvons une commande classique ou le correcteur reoit le signal d'cart consigne-mesure.

1.2.2. Ralisation conjointe du correcteur RST et du modle dasservissement.A partir de la relation (1-7) on peut crire :

U z T z Bm zS z Am z

W z R zS z

Y z B zA z

W z R zS z

Y zrr

( ) ( ). ( )( ). ( )

. ( ) ( )( )

. ( ) ( )( )

. ( ) ( )( )

. ( )= = = U z U z1 2( ) ( ) (1-9)

Nous avons ici un correcteur multivariable deux entres une sortie, il est possible de le raliser

par des quations dtat discrte ou par deux transferts en z. Cest cette dernire solution que

nous retiendrons. En considrant la commande comme la somme de deux grandeurs U1 et U2 les

quations rcurrentes de commande seront :

u k br w k br w k br w k ar u k ar u k 1 0 1 2 1 1 2 11 2 1 2( ) . ( ) . ( ) . ( ) ... . ( ) . ( ) ....= + + + u k r y k r y k r y k s u k s u k 2 0 1 2 1 2 2 21 2 1 2( ) . ( ) . ( ) . ( ) ... . ( ) . ( ) ....= + + + u k u k u k ( ) ( ) ( )= 1 2

1.3.

Reprsentation discrte du processus.Pralablement toute commande, il est ncessaire d'identifier le processus par une mthode

d'identification paramtrique (moindre carr gnralis, simplex, gradient etc).

On mettra le processus sous la forme :

H zB z

A zz d( )

( )

( ).=

(1-10)

avec d reprsentant le retard en nombre de priodes d'chantillonnage.

b

a

nzmb

2z2b

1z1b)z(B

nzna

2z2a1z1a1)z(A

++

+

=

++++=

(1-11)



44/160


36

Nous noterons que le numrateur B(z) a un coefficient b0 nul ce qui implique que sa rponse

indicielle vaut zro linstant initial.

La plupart du temps un modle du premier ordre ou du second ordre ventuellement retard est

suffisant pour reprsenter un processus. Nous les formulerons :

Pour le 1er ordre retard H zb z

a zz d( )

.

..=

+

1

1

1

11 (1-12)

Pour le 2e ordre retard H zb z b z

a z a zz d( )

. .

. ..=

+

+ +

1

12

2

11

221

(1-13)

1.4. Ides directrices pour la synthse d'un correcteur RST.

1.4.1. Dynamique en asservissement.En asservissement la perturbation Wy est nulle en variation et le schma de commande

correspond la figure 1.3.

Pour fixer la dynamique en asservissement il faudra essayer d'obtenir, par un calcul adquat des

polynmes R(z), S(z) et T(z), un transfert

Y z

W z

( )

' ( ) le plus vloce possible. Si ceci est ralis les

signaux Y et W' seront proches et la dynamique sera principalement dtermine par le modle de

rfrence srieB z

A z

m

m

( )

( ).

B z

A z

T z

R z

S z

m

m

( )

( )

( )

( )

( )

1 B z

A z

( )

( )

+

-

U

YW W'

B z

A z

m

m

( )

( )

W W' Transfert

le plus rapide

possible entre Y et W'

Y

SCHEMA BLOC POUR L'ASSERVISSEMENT

z-d

Figure 1-3.

1.4.2. Dynamique en rgulation.

Ici nous considrerons que le processus a atteint son rgime d'quilibre, c'est dire que la sortiea rejoint la valeur de la consigne. Celle ci est donc nulle en variation et le schma bloc de la

commande est conforme la figure 1.4.

La dynamique en rgulation (W'=0) donne par la relation (1-6) ou dtermine partir du

schma bloc donne :

Y z

Wy z

A z S z

A z S z B z z R zd

( )

( )

( ). ( )

( ). ( ) ( ). . ( )=

+ (1-14)

En calculant avec pertinences les polynmes R(z) et S(z) il est possible de dfinir une

dynamique de rejet de la perturbation Wy.



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37

R z

S z

( )

( )

1B z

A z

( )

( )

+

-

YWy SCHEMA BLOC POUR LA REGULATION

z-d

Figure 1-4.

Pour une perturbation constante, il faut que la fonction de transfertY z

W zy

( )

( )ait un gain statique

nul, cela implique que le produit A(z).S(z) possde un zro pour z=1 c'est dire que le

correcteur doit tre intgrateur.

Pour faire la synthse d'une commande RST nous allons utiliser deux approches tendant

matriser indpendamment la dynamique en rgulation (raction une perturbation) et la rponse

en asservissement (changement de consigne).

Nous allons, avant de dtailler le calcul du correcteur RST, voir quelles sont les diffrentes

approches de synthse.

2. COMMANDE POUR UN PROCESSUS A ZEROS INSTABLES.

Aucune hypothse a priori n'est faite sur le processus. Il peut possder des zros ou des ples

instables (racines de A(z) ou de B(z) en dehors du cercle unit).

2.1. Dynamique en asservissement.

Cherchons tout dabord dfinir une rponse rapide entre Y et W, sachant quil nest pas

possible de simplifier le numrateur du processus, on mettra ce transfert sous la forme :

Y z

W z

B z T z

P zz d

( )

' ( )

( ). ( )

( ).= (2-1)

Pour matriser les changements de consignes nous choisirons T(z) de faon liminer P(z) tout

en maintenant un gain unitaire pour la transmittanceY z

W z

( )

' ( )

Pour y parvenir on prendra T zP z

B( )

( )

( )=

1. (2-2)

Dans ce cas on obtient:Y z

W z

B z

B

z d( )

' ( )

( )

( )

.=

1

(2-3)

Nous pouvons noter, que cette transmittance ne possde pas de termes en z au dnominateur,

cest donc un filtre rponse impulsionnelle finie. La matrise de la dynamique en

asservissement sera assure par le modle de rfrence srieB z

A z

m

m

( )

( ) se trouvant en amont de

T(z).



46/160


38

B z

Bz

d( )

( ).

1

-

T z( )

-

B z

A z

m

m

( )

( )

W W' YW" B z z

A z S z B z z R z

d

d

( ).

( ). ( ) ( ). . ( )

-

-+

B(z) z

P(z

d-.

)

Figure 2-1.

Dans ce type de commande il n'y aura pas une correspondance exacte en asservissement entre la

trajectoire souhaite W' et la sortie Y car aucun moment nous n'avons cherch liminer lenumrateur de la transmittance B(z).

Si l'on cherche le supprimer (voir mthode suivante) les hypothses sur le processus seront plus

restrictives, car dans ce cas B(z) devra avoir des zros stables.

2.2. Dynamique en rgulation.

Reprenons le transfert spcifiant la dynamique en rgulationY z

Wy z

( )

( )issue de la relation (1-14)

Y z

Wy z

A z S z

A z S z B z z R zd( )

( )

( ). ( )

( ). ( ) ( ). . ( )=

+

Afin de dterminer le comportement en rgulation nous fixerons les ples de cette fonction detransfert tel que P z A z S z B z z R zd( ) ( ). ( ) ( ). . ( )= + (2-4)

Cette quation polynomiale possde une solution unique qui permet de dterminer les polynmes

R z et S z( ) ( ) .

La dynamique en rgulation sera rgie par :Y z

Wy z

A z S z

P z

( )

( )

( ). ( )

( )= (2-5)

Remarque.

Comme nous pourrons le montrer ultrieurement des valeurs particulires des racines de R(z) et

S(z) conduisent des proprits spcifiques de filtrage sur les perturbations. Afin de fixer a

priori des conditions de rejets de perturbations pour des frquences bien dtermines il est

ncessaire de fixer une partie de R(z) et de S(z).

Dans ce cas nous poserons : S z S z S z et R z R z R zp p( ) ( ). ( ) ( ) ( ). .( )= =1 1 S z et R zp p( ) ( )

reprsentant les parties dites prcaractrises des polynmes S z et R z( ) ( ) .



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39

Rsolution de l'quation de Bezout.

Dans le cas o nous avons des parties prcaractrises sur les polynmes S z et R z( ) ( ) l'quation

(2-4) devient : P z A z S z S z B z z R z R zpd

p( ) ( ). ( ). ( ) ( ). . ( ). .( )= +

1 1

Cette quation pouvant se mettre sous la forme gnrale :

P z C z D z E z F z z d( ) ( ). ( ) ( ). ( ).= + (2-6)

avecC z A z S z D z S z

E z B z R z F z R z

p

p

( ) ( ). ( ) ( ) ( )

( ) ( ). ( ) ( ) ( )

= =

= =1

1 (2- 7)

La connaissance de P(z), C(z) et E(z) assurant alors le calcul de D(z) et F(z) qui permettent

ensuite d'obtenir les polynmes de rgulation :S z D z S z

R z F z R z

p

p

( ) ( ). ( )

( ) ( ). ( )

=

=

Les degrs des polynmes inconnus sont dfinis par les galits suivantes :

( )

( )( )

n P z n n d

n D z n d

n F z n

p c e

d e

f c

= = + +

= = + = =

deg ( )

deg ( )

deg ( )

1

1

1

(2-8)

avec n et nc e les degrs respectifs de C(z) et E(z)

La rsolution pratique de l'galit de Bezout (2-6) revient rsoudre l'quation matricielle

P M X= (2-9)

avec X vecteur contenant les coefficients des polynmes D(z) et F(z)

[ ]X d d d d f f f f T n nd f= 1 1 2 3 0 1 2, , , ,..., , , , , ..., (2-10)

P vecteur des coefficients du polynme P(z) fixant le fonctionnement en rgulation

P p p p pT np=

1 1 2 3, , , , ... , (2-11)

On obtient alors D(z) et F(z) en rsolvant lidentit de Bezout (2-9 )soit :

X = M1.P. (2-12)

Une fois calcul D(z) et F(z) qui reprsentent ici respectivement S z et R z1 1( ) ( ) les polynmes

recherchs sont donn par

S z S z S z

R z R z R z

T(z

P z

B

p

p

( ) ( ). ( )

( ) ( ). ( )

)

( )

( )

==

=

1

1

1

(2-13)

2.3. Mise en uvre de la mthode.

La connaissance du cahier des charges, concernant les contraintes en asservissement et en

rgulation, permet de dfinir P(z) et le modle de rfrence srieBm z

Am z

( )

( ). Il faudra tenir le plus

grand compte de la dynamique en boucle ouverte et de la saturation des actionneurs pour la

dfinition de la commande. La rsolution de lquation de Bezout fournie les polynmes S(z) et

R(z) dont on ne matrise pas les racines. Il est poss

systemes echantillonnés

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