2019. 02. 28.

1

SZINTAKTIKAI KÖVETKEZMÉNY

Szintaktikai következmény fogalom

Szintaktikai következmény fogalom Szintaktikai következmény-Helyes? Teljes? Helyesség: Helyes-e a nulladrendű logika? Ha egy formula

valamely formulahalmazból (szintaktikailag) levezethető, akkor az vajon ugyenezen formulahalmaznak szemantikai következménye-e, és fordítva?

Tétel: Ha {F1, F2, ..., Fn}0 G akkor {F1, F2, ..., Fn}=0 G. (Helyesség)

Teljesség: Ha valamely formula egy formulahalmaznak szemantikai következménye, akkor vajon levezethető-e ezen formulahalmazból?

Tétel: Ha{F1, F2, ..., Fn}=0G, akkor {F1, F2, ..., Fn}0 G. (Teljesség)

2019. 02. 28.

2

Szintaktikai következtetés=Levezetés

Definíció: Azt mondjuk, hogy az {F1, F2, …Fn} formulahalmazból levezethető a G formula, ha van olyan 1, 2, 3…k formulasorozat, amelyre a k formulák :

- F-ből valók vagy

- axiómák vagy

- Modus Ponenssel keletkezett a megelőző formulákból

Jelölés: {F1, F2, …Fn} 0G

Ha üres formulahalmazból is levezethető a G, akkor tételnek nevezzük, és a levezetést bizonyításnak.

Szintaktikai következtetés=Levezetés

AXIÓMARENDSZER + KÖVETKEZTETÉSI SZABÁLY

Szokásos axiómarendszer nulladrendben (vannak más axiómarendszerek is, általában tautológiák):

A1: () – bizonyítsuk hogy tautológia

A2: (())(()()) – házi feladat: tautológia

A3: ()(()) - bizonyítsuk hogy tautológia

Modus Ponens következtetési szabály: {, =0

Példa (ellentmondásos rendszerből minden levezethető):{, }0

PéldaLevezetésre

A 1, 2, 3…7, 8formulasorozattallevezettük -t akiindulási formulákból.

Példa levezetésre

2019. 02. 28.

3

Gödel Igazság tétel:

A tétel szerint, ha egy L elsőrendű nyelvben megadott T elméletnek (zárt formulák halmazának) van modellje, akkor konzisztens (ellentmondásmentes). Ez nyilvánvaló, hiszen a modellben minden T-ből levezethető állításnak igaznak kell lennie, márpedig a modellen nem teljesülhet egyszerre egy zárt formula és tagadása.

Teljességi tétel:

A teljességi tétel az igazság tétel megfordítása:

Ha egy L elsőrendű nyelvben megadott T elmélet konzisztens, akkor van modellje.

1. Nemteljességi tétel: Minden ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formális-axiomatikus elméletbenmegfogalmazható olyan állítás, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható

Alexandriai EukleidészKe. 365 - 300

A geometria atyja

Az ő híres matematikai tankönyve azElemek, amelyben összefoglalja az akkorismert matematika alapjait.Az Elemekben a geometriai objektumok tulajdonságait kis számú axiómából vezeti le.

NINCS KIRÁLYI ÚT

I. Ptolemaiosz királynak arra a kérdésére, hogy miként lehetne a geometriát könnyen elsajátítani, Eukleidész azt felelte:

„A geometriához nem vezet királyi út.”

Ezt még egy gondolattal megtoldotta:

„Munka nélkül nincs kenyér, sem geometria”

Axiomatikus módszer –Euklidész: Elemek

A kilenc axióma:1. Az egy és ugyanavval egyenlők egymással is egyenlők.2. Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk, akkor az összegek is egyenlők.3. Ha egyenlőkből egyenlőket veszünk el, akkor a maradékok is egyenlők.4. Ha nem egyenlőkhöz egyenlőket adunk, az összegek nem egyenlőek.5. Ugyanannak a kétszeresei is egyenlők.6. Ugyanannak a fele részei is egyenlők.7. Az egymással egybevágók egyenlők.8. Az egész nagyobb a résznél.9. Két egyenes nem fog közre területet.

2019. 02. 28.

4

Axiomatikus módszer – Euklidesz 5 posztulátuma (további 5 axióma)

1. Minden pontból minden ponthoz egyenes húzható.

2. Az egyenes szakasz végtelenül meghosszabbítható.

3. Minden pontból, mint középpontból tetszőleges sugarú kör rajzolható.

4. A derékszögek egyenlők.

5.Ha két, azonos síkban fekvő egyenes egy harmadik metsz, akkor a két egyenes a harmadiknak azon az oldalán metszi egymást, amelyiken a keletkezett belső szögek összege két derékszögnél kisebb.

Mit jelent az 5. posztulátum?

5. Ha két, azonos síkban fekvőegyenes egy harmadik metsz,

akkor a két egyenes a harmadiknakazon az oldalán metszi egymást,

amelyiken a keletkezett belsőszögek összege

két derékszögnél kisebb.

5. Posztulátum átfogalmazása

Euklidesz: Egy egyenesen kívül adott ponton át az egyenessel csak EGY párhuzamos húzható

Bolyai: Egy egynesen kívül álló ponton át az egyeneshez 2 párhuzamos (félegyenes) húzható

Hiperbolikus geometria –párhuzamos fogalma

2019. 02. 28.

5

Nem euklideszi geometriák – modell

Hiperbolikus geometria - wiki

Gömbi geometria - wiki

Egyenes def. ? – legrövidebb út!!

https://www.youtube.com/watch?v=noQnwkc0Mvs

https://www.youtube.com/watch?v=B16YjC9OS0k

(inkább hang nélkül )

Bolyai János (1802-1860)Euklidesz: Elemek fordításából egy oldal

2019. 02. 28.

6

Bolyai János pályája

- nem jut el Gausshoz tanulni- matematikai tehetség- katonai hadmérnöki pálya- hegedű virtuóz- párbajhős- társasági élet

1923 november 3

Levél Bolyai Farkashoz: „A parallellákról egy munkát adok ki; ebbe a pillanatba nints kitalálva, de az út, mellyen mentem, tsaknem bizonyosan ígérte a tzél el-érésit, ollyanfelséges dolgokat hoztam ki, hogy magam elbámultam, s örökös kár volna el-veszni; ha meglátja Édes Apám, meg-esméri;most többet nem szollhatok, tsak annyit:

hogy semmiből egy ujj más világot teremtettem”

1826 elméleti munkáját átadja Wolter von Eckwehr Jánosnak, Akadémiai tanárának, ez a német nyelvű példány elveszett1831 Bolyai Farkas TENTAMEN című könyvéhez János elküldi latin nyelvű 26 oldalas füzet alakú munkáját, ami 1932-ben a Tentamen függeléke: APPENDIX formájában megjelenik.1831-ben Farkas levelet küld Gaussnak: „Fiam többre becsüli egész Európa ítéleténél a Tiédet” Gauss az Appendixet csak 1932-ben kapta meg

1832, Zeyk levele, 154 oldalGauss levele Gerlingnek: „Ezt a fiatal geométert, Bolyait elsőrangú lángésznek tartom”

Gauss levele Bolyai Farkasnak:„Most valamit a Fiad munkájáról. Ha avval kezdem, hogy nem szabad dicsérnem, bizonyára megütődsz egy pillanatra. De mást nem tehetek: ha dicsérném, akkor magamat dicsérném, mivel a mű egész tartalma, az út, melyet Fiad követ és az eredmények, amelyekre jutott, majdnem végig megegyeznek részben már 30-35 év óta folytatott elmélkedéseimmel. Valóban, a dolog rendkívül meglepett. Szándékom volt, hogy munkásságomból, melyből egyébiránt mostanáig csak keveset tettem papirosra, életemben semmit sem bocsátok nyilvánosságra. A legtöbb embernek nincs is meg a kellő érzéke az iránt, amin ez a dolog megfordul, és csak kevés emberre akadtam, aki különös érdeklődéssel fogadta, amit vele közöltem.”

1833 júniusban Bolyai János nyugdíjba vonul

2019. 02. 28.

7

A geometria újra axiomatizálásaAz eukleidészi axiómák és posztulátumok együtt jelentik az EUKLIDÉSZI AXIÓMARENDSZERT.A matematika tudományával foglalkozók több, mint 2000 évig nem tudtak tökéletesebbet alkotni, elfogadták, és úgy ragaszkodtak hozzá, mint a geocentrikus világnézethez.Csak a XIX. század végén fogalmazta meg DAVID HILBERT német matematikus az axiómarendszerek követelményeit:

Legyen teljes, azaz tartalmazza mindazokat az axiómákat, amelyek szükségesek az általa megalapozott tudomány bármely tételéhez.

Legyen ellentmondásmentes, azaz ne forduljon elő olyan tétel amelynek helyessége és hamissága egyidejűleg igazolható.

Legyenek az axiómák egymástól függetlenek, egyiket se lehessen igazolni a másik alapján.

M. C ESCHER művészete

https://www.mcescher.com/gallery/

2019. 02. 28.

8

2019. 02. 28.

9