t í d i it t dteor ía d e circu it os concen tra dos · "2 (2 el 3001 - análisis y diseño...

EL3001 - Análisis y Diseño de

Circuitos EléctricosCircuitos Eléctricos

Profesor Pablo Estévez V.

Otoño 2009

T í d i it t dTeoría de circuitos concentrados

! Circuito físico Interconexión de componentes y !! Circuito físico Interconexión de componentes y dispositivos eléctricos reales.

! D d i it fí i i t d i

!

! Dado un circuito físico interesa predecir su comportamiento en términos de voltajes y corrientes

2 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos

Marzo de 2009


! Sistema de luz en un ! Representación mediante ! Sistema de luz en un automóvil

! Representación, mediante elementos ideales, del sistema de luz de un sistema de luz de un automóvil

Marzo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos

3


! Circuito Interconexión de elementos ideales.!! Circuito Interconexión de elementos ideales.! Elementos Ideales:

! Representan o aproximan las propiedades de los elementos

!

! Representan o aproximan las propiedades de los elementos físicos simples o fenómenos físicos. Están precisamente definidos o caracterizados.

! El análisis de circuitos consiste en determinar los voltajes y corrientes en cada uno de los elementos, dado que se y , qconocen el circuito y sus señales de entrada.

! El diseño de circuitos consiste en encontrar un circuito (típicamente los parámetros de los elementos) de modo de producir una salida determinada ante ciertas señales pde entrada.


4


! ¿Qué es un circuito concentrado?! ¿Qué es un circuito concentrado?! Un circuito concentrado es aquel cuyas dimensiones físicas son

pequeñas comparadas con la longitud de onda asociada con la pequeñas comparadas con la longitud de onda asociada con la mayor frecuencia de interés.

! Desde el punto de vista de la teoría electromagnética el ! Desde el punto de vista de la teoría electromagnética el circuito se reduce a una singularidad puntual y las ondas

i t tá t l i itse propagan instantáneamente por el circuito.

! Elementos ideales concentrados no tienen dimensiones físicas ni orientación espacial preferencial.


5


! Sea ! Sea ! d: dimensión del circuito

! c l id d d ió d d l t éti! c: velocidad de propagación de ondas electromagnéticas

! !: longitud de onda de la mayor frecuencia de interés

f f! f: frecuencia

1!! Periodo de la máxima frecuencia de interésT

fc""

1!

! Tiempo requerido por las ondas electromagnéticas para propagarse de un extremo a otro del circuitoc

d"#


6


! Condición ! Condición ! d<<!

! Ti d ió d i bl t l

$ Tcc

d"%%"

!#

T%%! Tiempo de propagación es despreciable con respecto al periodo de la máxima frecuencia de interés.

T%%#

! Ejemplo 1:! Circuito de audio

8

& ' & '8

max 3

3 1025 12

25 10

cf kHz km

f!

(" ) " " "

(


7


! Ejemplo 2:! Ejemplo 2:Cable coaxial para TV

c& ' & 'max 1000 0.3c

f MHz mf

!" ) " "

________________________________________________

Si la aproximación concentrada no es válida deben considerarse las dimensiones físicas del circuito.

Teoría de circuitos distribuidos (Líneas de transmisión, guías de onda).


8

V i bl d Ci it V lt j C i tVariables de Circuito: Voltaje y Corriente

! Corriente Eléctrica = Tasa de cambio neta de la carga ! Corriente Eléctrica Tasa de cambio neta de la carga transferida a través de una sección transversal arbitraria de un elemento conductor por unidad de tiempo de un elemento conductor por unidad de tiempo.

* + * + & 'dq t

! Ampere = Coulomb/Segundo * + * + & 'dq t

i t Adt

"

! En materiales conductores, como aluminio o cobre, la corriente corresponde al movimiento de los electrones libres.

& '_

181 6.242 10 /A e s, -" ( . /0 1. /0 1

* +191.602 10eq Coulomb2" 2 (


9

* +e

C i t lé t iCorriente eléctrica

Si una carga positiva +q0se transfiere de izquierda a derecha en un volumen a derecha en un volumen previamente neutro, se establece un diferencial de carga.

Si una carga negativa -q0se transfiere de derecha a izquierda en un volumen qpreviamente neutro, se establece la misma condición electro-estática condición electro estática que en el caso anterior.


10

C i t lé t iCorriente eléctrica

! Por razones históricas se utiliza como referencia de ! Por razones históricas se utiliza como referencia de dirección un flujo de cargas positivas.! i(t)>0 cuando un flujo de cargas positivas entra por el nodo a y ! i(t)>0 cuando un flujo de cargas positivas entra por el nodo a y

sale por el nodo b (ver figura en página anterior).

! Fí i t i d í t l fl j ! Físicamente se requiere de energía para sostener el flujo de corriente eléctrica, usualmente a través de la

li ió d f d l j ( ) l aplicación de una fuente de voltaje v(t) entre los terminales del elemento.

! La fuente no crea carga, si no que las desplaza. El efecto se produce a la velocidad de la luz, pero las cargas p p gindividuales se mueven más lentamente.


11

V lt jVoltaje

! Volts= Joules/Coulomb * + * + & 'dw t

v t V"! Volts= Joules/Coulomb (Trabajo por unidad de carga)

* +* +

& 'v t Vdq t

"

! Corresponde al trabajo w(t) requerido para transferir una unidad de carga q(t) a través de una sección transversal unidad de carga q(t) a través de una sección transversal arbitraria del elemento contra la fuerza eléctrica (debido a la presencia de otras cargas => campo eléctrico).


12

p g p )

F t d i tFuente de corriente

! Alternativamente! Alternativamente


13

P t i E íPotencia y Energía

* +ti

Fuente

* +ti

3

2v Carga

! p(t)=v(t)i(t) [W] Potencia instantánea absorbida por la

* +

! p(t)=v(t)i(t) [W] Potencia instantánea absorbida por la carga (entregada por la fuente)

! Energía entregada por la fuente entre t1 y t2g g p 1 y 2

* + * + * +2 2

1 11 2 ' ' ' ' '

t t

t tW[t ,t ] p t dt v t i t dt" "4 4


14

1 1

El t C t d d 2 T i lElemento Concentrado de 2 Terminales

! El comportamiento ! El comportamiento del elemento está completamente completamente determinado por su característica v icaracterística v-i.

! La corriente eléctrica que ingresa por un q g pterminal es igual a la que sale por el otro q pterminal.


15

El t C t d d 2 T i lElemento Concentrado de 2 Terminales

! Direcciones de referencia asociadas para el voltaje y la ! Direcciones de referencia asociadas para el voltaje y la corriente:! La flecha indica la dirección de referencia para la corriente.! La flecha indica la dirección de referencia para la corriente.

! i(t)>0 Cuando flujo neto de cargas positivas entra a la rama en el nodo A y la deja por el nodo B.

! Las marcas +/- indican las direcciones de referencia para el voltaje.! (t)>0 ( iti ) d > t i l did t ! v(t)>0 (positivo) cuando vA>vB potenciales medidos con respecto a

una misma referencia.

! CONVENCIÓN de direcciones de referencia asociadas ! CONVENCIÓN de direcciones de referencia asociadas (para elementos pasivos):! Una corriente positiva entra al elemento por el terminal ! Una corriente positiva entra al elemento por el terminal

marcado con un signo + y deja la rama por el terminal marcado por el signo -.


16

P t i I t táPotencia Instantánea

! Tasa de cambio de la energía aplicada! Tasa de cambio de la energía aplicada.

* + * + * +dw t dw t dq t* + * +* +

* + * + * +( ) [ ]dw t dw t dq t

p t v t i t W wattsdt dq t dt

5 " "

! Al usar direcciones de referencia asociadas, el producto v(t)i(t)es la potencia instantánea entregada a la rama en el tiempo t (absorbida por el elemento).

* + * + [ ]

tdw tp w t pd J Joules

dt#" ) " 4dt 26

4


17

C ió d P t iConservación de Potencia

! Teorema de Tellegen (versión muy simplificada pero útil): ! Teorema de Tellegen (versión muy simplificada pero útil): Para una red concentrada arbitraria de B ramas, con voltajes y corrientes de ramas v ivoltajes y corrientes de ramas

se cumple que ,k kv i

( ) ( ) 0B

k kv t i t "7

! Conservación de potencia:! Potencia suministrada por las fuentes= potencia absorbida por los

1k"

! Potencia suministrada por las fuentes= potencia absorbida por los elementos pasivos

* +ti * +* +tis * +ti

3* +t * +t2

* +tvs * +tv* + * + * + * +titvtitv ss "


18

N ió d i id dNoción de pasividad

! Pasividad! Un elemento es pasivo si no entrega energía neta a la red. Ejemplos

son los elementos que siempre disipan energía, es decir

( ) ( ) ( ) 0p t v t i t" 8 t9Sin embargo, también son elementos pasivos aquellos capaces de acumular energía durante un período de tiempo, y que luego devuelven esta energía al resto de la red La clave para la definición devuelven esta energía al resto de la red. La clave para la definición de pasividad es que no exista generación neta de energía. Formalmente se debe cumplir que

* + ( ) 0

t

w t p d t# #" 8 94Con condiciones iniciales nulas (no puede haber energía acumulada

l l t )

0

4


19

en el elemento)

N ió d i id dNoción de pasividad

! Activa! Si no es pasiva. Una fuente de voltaje o de corriente es activa.

! Notar que la dirección de la corriente va del signo menos al q gsigno más, contrario a la convención pasiva de direcciones de referencia asociadas. El producto v(t)i(t) corresponde a la potencia entregada por la fuente al resto de la red


20

CLASE 2


21

N t ióNotación

! Ramas ! Elementos de 2 terminales ! Nodos ! Unión de 2 o más terminales ! Voltaje de rama ! Voltaje presente entre los terminales de j j p

dicha rama! Corriente de rama ! Intensidad de corriente que circula por

dicha rama

! Ejemplo:

23 4v

! Ejemplo:

6,5,4,3,2,1 iiiiii

6,5,4,3,2,1 vvvvvv3

26v

3

25v

3

21v

23 3v


22

23 2v

Elementos ideales de los circuitos

dconcentrados

! 1) Elementos resistivos! 1) Elementos resistivos! Un elemento de dos terminales se denomina resistivo si

para cualquier instante de tiempo t su voltaje v(t) y su para cualquier instante de tiempo t, su voltaje v(t) y su corriente i(t) satisfacen una relación definida por una curva en el plano v i (ó i v)curva en el plano v-i (ó i-v).

! A esta curva se le llama la característica del elemento resistivo en el tiempo t.

! Hay cuatro categorías de elementos resistivos:y g! Lineal o no-lineal

! Invariante o variante en el tiempo! Invariante o variante en el tiempo


23

El i i li l i iElementos resistivos lineales invariantes

! Ley de Ohm: v(t)=Ri(t) ó i(t)=Gv(t)! Ley de Ohm: v(t) Ri(t) ó i(t) Gv(t)

! donde R R [!](Oh ) C d [Mh ]

1! R =Resistencia[!](Ohms) y Conductancia[Mhos]

VoltsOhms "

RG

1"

! La característica es lineal

AmperesOhms "

! La característica es lineal –invariante, ya que es una

t l 3

iR

V

recta que pasa por el origen y la curva es una f ió i d di d

RV3

2

ifunción independiente de t


24


! Casos limites:! Casos limites:V

vEjei) Ci it bi t 0i V9

i

vEjei) Circuito abierto 0

Luego R , G 0

i V" 9

)6 )

V

iEje

i

iEjeii) Corto-Circuito 0 ,

Luego R 0, G

V i" 9

" " 6


25


! En términos de potencia:p

* + * + * + * +2 0 0p t v t i t Ri t si R" " 8 :

! Un elemento resistivo lineal-invariante (resistencia) siempre consume (disipa) potencia. La energía eléctrica se transforma en calor y luz.y

! Físicamente el flujo de carga que atraviesa cualquier material encuentra una “resistencia” similar a la fricción mecánica, debido a que las colisiones entre electrones y átomos estacionarios que las colisiones entre electrones y átomos estacionarios convierten la energía eléctrica en calor o luz.

! La resistencia de un material depende de :! Tipo de material

L d! Longitud! Área transversal! Temperatura


26

! Temperatura

C d t idi i lConductor unidireccionalMientras más

largo más

l

lR ;"

largo más

colisiones

A

AR ;

Mas grande

facilita el flujo de

electronesA electrones

& 'resistividad m; " <

8

b 1 7 10; 2 =" ( Cobre es maleable, dúctil, asequible. cobre

8

aluminio

8

plata

1.7 10

2.8 10 onductores

1.6 10

C

!

!

"#$

% # &$% # '

Cobre es maleable, dúctil, asequible. Bajo costo, buenas propiedades térmicas

p 'germanio

silicio

0.45Semiconductores

2500

% "&

% '1010 "

La resistividad de los semiconductores puede controlarse agregando otros elementos: Galio, Zinc, Fosforo

10

papel

11

m ica

12

vidrio

10

5 10 A isladores

10

"%$

% # &$% '


27

vidrio '

S d tSuperconductores

alconvencion

Conductor

K23a1911en osDescubiert

ctoresSupercondu

KK

K

12595luegoy

30superan se1986En

!

KT 0 CRITICAT(

S d ti id d Z d i t i

Ejemplo:

: Superconductividad Zona de resistencia cero

Motor superconductor 5[MW] (2004) Estator estacionario de cobre Rotor enrollado superconductor enfriado con helio gaseoso a

32 [K]


28

L d Ki hh ffLeyes de Kirchhoff:

Resultan de aproximaciones de las ecuaciones de Maxwell Resultan de aproximaciones de las ecuaciones de Maxwell que describen la teoría del electromagnetismo. Son válidas para circuitos concentradosválidas para circuitos concentrados.

Ley de voltajes de Kirchhoff (LVK)

Ley de corrientes de Kirchhoff (LCK)


29

LVKLVK

Bucle trayectoria cerrada, a través de un 0*V " Bucle trayectoria cerrada, a través de un circuito eléctrico, que comienza y termina en

el mismo nodo

0%*Bucle

nV

el mismo nodo

L d l lt j d l i b l La suma de los voltajes de rama para cualquier bucle es cero.

El bucle de un circuito es un sistema conservativo, ya que l b j ll d d d i i i l el trabajo neto para llevar una carga desde un nodo inicial

al mismo nodo final es cero. Como el voltaje es trabajo id d d l lt j l d d d l b l por unidad de carga, el voltaje alrededor del bucle es

cero.


30

LVKLVK

El voltaje es la diferencia de potencial eléctrico entre dos El voltaje es la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos con respecto a una referencia (tierra).

El voltaje expresa el potencial eléctrico para realizar trabajo El voltaje expresa el potencial eléctrico para realizar trabajo entre dos nodos, es decir, mide la cantidad de trabajo que se realizaría para mover una carga eléctrica de un nodo al otrorealizaría para mover una carga eléctrica de un nodo al otro.

Ejemplo: Ejemplo:

rRlR


31

A li ió d LVKAplicación de LVK

Se da una dirección de referencia al bucle y se asigna el Se da una dirección de referencia al bucle, y se asigna el signo + a los voltajes de rama cuyas direcciones de referencia concuerden con las del bucle de otra forma es referencia concuerden con las del bucle, de otra forma es signo negativo.

Bucle I+ ,12.6 0 12.6l lV V V! - % . %

Bucle II

V- -

+ ,12.6 0 12.6l lV V V- .

+ ,0 12 6V V V V V- .

Bucle III (externo)rRlR

/ //

lV!

rV!

+ ,0 12.6l r R lV V V V V! - % . % %

+ ,///

+ ,12.6 0 12.6R RV V V! - % . %


32

A li ió LVKAplicación LVK

Los tres elementos están conectados al mismo par de Los tres elementos están conectados al mismo par de nodos, por lo tanto, tienen el mismo voltaje, luego se dice que están en paraleloque están en paralelo.

Notas: LVK expresa la ley de la conservación de la energíap y g

LVK es independiente de la naturaleza de los elementos

LVK impone una restricción lineal entre los voltajes de rama de LVK impone una restricción lineal entre los voltajes de rama de un bucle.


33

LCKLCK

0* i 0%*nodo

ni

LCK es una expresión de la ley de conservación de la carga. La carga es indestructible, no puede perderse ni crearse, se conserva.

La suma de todas las corrientes que dejan (o entran) a q j ( )una superficie cerrada Gaussiana (S) es cero

Para aplicar LCK hay que definirse un sentido para las t0

Para aplicar LCK hay que definirse un sentido para las corrientes ya sea entrando o saliendo de la superficie.


34

LCKLCK

Ejemplo Ejemplo/

si li riSea + para corriente

que entran

rRlR

s

//

Nodo I RlsRls iiiiii -%.%!! 0

Nodo II 0%--! Rls iii


35

LCKLCK

321 ,, iii

1i

i2i

3i


36

LCKLCK

LCK son ecuaciones algebraicas lineales homogéneas con LCK son ecuaciones algebraicas lineales homogéneas con coeficientes constantes en las corrientes de ramas.

LCK es independiente de la naturaleza de los elementos. Estos pueden ser lineales no lineales, activos, pasivos, variantes o invariantes en el tiempo.

LCK expresa la conservación de la carga en cualquier LCK expresa la conservación de la carga en cualquier nodo.


37

Clase 3


38

F t i d di t id lFuentes independientes ideales

1) Fuente independiente de voltaje 1) Fuente independiente de voltaje Elemento de 2 terminales que mantiene un voltaje vs(t)

determinado a través de los terminales de un circuito determinado a través de los terminales de un circuito arbitrario al cual está conectado, cualquiera que sea la corriente i(t) que fluya a través de la fuente.corriente i(t) que fluya a través de la fuente.


39

F t i d di t d lt jFuente independiente de voltaje

Si vs(t)=V0 cte., Batería o Fuente de voltaje continuocontinuo

Una fuente independiente de voltaje se considera como un Una fuente independiente de voltaje se considera como un elemento resistivo no lineal controlado por corriente. No lineal porque recta no pasa con por el origen Controlada por corriente: Para cada valor de corriente corresponde

un único voltaje Variante en el tiempo si v (t) no es constante (por ejemplo una Variante en el tiempo si vs(t) no es constante (por ejemplo una

sinusoide) Si vs(t)=0 es un corto-circuitot0


40

F t i d di t d i tFuente independiente de corriente

Elemento de dos terminales que mantiene una corriente Elemento de dos terminales que mantiene una corriente determinada is(t) hacia el circuito arbitrario al que está conectada, es decir cualquiera que sea el voltaje v(t) entre los q q j ( )terminales del circuito, la corriente que entra al circuito es is(t).

v

arbitrario

Circuito

1-

v2 3tis !

i2 3si t


41

F t i d di t d i tFuente independiente de corriente

Una fuente independiente de corriente puede Una fuente independiente de corriente puede considerarse como un elemento resistivo no lineal variante en el tiempo controlado por voltaje.p p j

Si i (t)=0 la fuente de corriente se reduce a un circuito t0 Si is(t) 0 la fuente de corriente se reduce a un circuito abierto

p(t)=v(t)i(t) Es la potencia entregada por la fuente al circuito

t0

p( ) ( ) ( ) p g pexterno

El interés por la fuente de corriente se debe principalmente a los dispositivos semiconductores como el transistor.


42

Di i d lt jDivisor de voltaje

LVK: LVK: vs=v1+v2+v3 (1)

LCK:1R

i

i i=i1=i2=i3 (2)

E ió El t-

v

!- 1v

-

v R

1i

2i

- Ecuación Elementos:

v1=R1i1 (3) v2=R2i2 (4)

!sv

!2v 2R

3R

!2 2 2 ( )

v3=R3i3 (5)!- 3v3i

vs=R1i1+R2i2+R3i3

v =(R1+R2+R3)i

.

. vs (R1+R2+R3)i

Se define Req=R1+R2+R3: Resistencia equivalente de la conexión en serie.

.


43

Di i d lt jDivisor de voltajei

v

-eqR

-

sveqR

sv

! eq!s

Luego :

is

R

vi % 1

1 1 s

Rv R i v

R

4 5% % 6 76 7

8 9

22 2 s

Rv R i v

R

4 5% % 6 76 7

8 9

33 3 s

Rv R i v

R

4 5% % 6 76 7

8 9

Regla de división de Voltaje:

eqR eqR6 78 9 eqR

6 78 9 eqR

6 78 9

4 5 A con 1, 2,3...k

k total

eq

Rv v k n

R

4 5% %6 76 78 9 1

n

eq k

k

R R%

%*

El voltaje se divide entre las resistencias en serie en proporción a sus resistencias sobre la resistencia equivalente de la conexión en serie.


44

Di i d i tDivisor de corriente

LVK LVK v=v1=v2

LCK LCK is=i1+i2 (2)i

1i 2i

1R2R

Ecuación Elementos: i1=G1i1 (3)

si 1R2R

(G G )

1 1 1 ( )

i2=G2i2 (4)

is=(G1+G2)v

Se define:

.

11 RR

21

21//

21

21

11

RR

RRR

RRGGGeq -

%.-%-% Combinación paralela de resistencias


45

Di i d i tDivisor de corriente

i

v

-

i G

si

G

21 GG -

-

vsi eqG

2G

1G

La corriente a través de la conductancia n-ésima es: v

iG

Regla de división de corriente:

2,121

%-

%% nGG

iGvGi snnn

Regla de división de corriente:

*%%N

neqsn

n GGG

iGi

1

La corriente se divide entre conductancias en paralelo en proporción al valor de sus conductancias sobre la conductancia equivalente de la conexión paralela.

%neqG 1


46

q p

Ejemplo: Circuito de luz del automóvil

+ ,12.6 V + ,5.25LR % : + ,5.25RR % :

Encontrar corriente i y la potencia suministrada por la eqR

Encontrar corriente i y la potencia suministrada por la fuente

A //

5.25 5.25 5.25[ ]

2 5.25 2eqR R

#% % % :

#

A12.6 2

4.8[ ] 60.5[ ]5.25eq

vi p vi WR

#% % % : . % %


47

q

El t i ti li l i tElementos resistivos lineales variantes

Ley de Ohm v(t)=R(t)i(t) ó i(t)=G(t)v(t) Ley de Ohm v(t) R(t)i(t) ó i(t) G(t)v(t)

Donde:R( ) G( ) 1

2 30tR

2 31tRv

R(t)=G(t)-1

!2tR

Ejemplo 1: Potenciómetroj pi

i

Contacto móvil se desplaza si iend na f nción de t

(1 )R"#

sv

$

$ v

siguiendo una función de tR"

sv v"%

s

#


48

#$ v

El t i ti li l i tElementos resistivos lineales variantes

Ejemplo 2: Interruptor ideal (switch) Ejemplo 2: Interruptor ideal (switch) !tS

!

!tS

1abierto abierto

!$ t

!ti 1

Es un circuito abierto cuando está abierto y un corto-circuito

!#$ tvcerrado1t

Es un circuito abierto cuando está abierto y un corto-circuito cuando está cerrado.

cerrado

i

0p vi t% % '

En la práctica un switch tiene una i t á i l t

abierto v

0p vi t'

corriente máxima al estar cerrado y un voltaje máximo al estar abierto.

v


49

estar abierto.

El i i li l i iElementos resistivos no- lineales invariantes

Ejemplo 1:Diodo de Germanio (real no ideal) Ejemplo 1:Diodo de Germanio (real, no ideal) La corriente de rama es una función no lineal del voltaje

! ! !/1

qv t kT

si t I e% #

I C i d ió i d <0 ( 10 4[A])

!

Is cte: Corriente de saturación inversa cuando v<0 (~10-4[A])

q: Carga de un electrón

k: Constante de Boltzman

T: Temperatura en grados Kelvin

Es un elemento resistivo controlado por voltaje.


50

El i i li l i iElementos resistivos no- lineales invariantes

Ejemplo 2: Diodo Ideal Ejemplo 2: Diodo Ideal

i=0 si v<0: circuito abierto al estar polarizado en reversa (OFF) i=0 si v<0: circuito abierto al estar polarizado en reversa (OFF)

Si i>0 !> v=0: Corto circuito cuando está conduciendo (ON)

La potencia entregada al diodo ideal es p(t)=v(t)i(t)=0 t'


51

Ci it i l tCircuitos equivalentes

Sea N un una-puerta resistivo Circuito de 2-terminales ! Sea N un una puerta resistivo Circuito de 2 terminales compuesto por elementos resistivos

!

La característica v-i del una-puerta se conoce como la pcaracterística de punto motriz.

Dos redes una-puerta son equivalentes si y solo si sus p q ycaracterísticas v-i son iguales.


52

C ió iConexión serie

Sea llama conexión serie de los elementos en la figura, 1 2y( (Sea a a co e ó se e e os e e e tos e a gu a, al una-puerta cuyos terminales son los nodos A y C

i A

1 2y

R1+

i A

+

v1

-

i1

1 2LVK v=v +vN

R2

V

-

B+

v21 2LCK i=i =i

C

-i2

La característica de la conexión serie se puede obtener gráficamente sumando para cada valor de i los valores de gráficamente sumando, para cada valor de i, los valores de voltajes de las curvas características de

1 2y( (


53

C ió iConexión serie

Analíticamente se puede determinar el equivalente de la Analíticamente se puede determinar el equivalente de la conexión serie de los elementos , solo si ambos son controlados por corriente es decir

1 2y( (

son controlados por corriente, es decir

1 1 1 2 2 2v =f (i ), v =f (i )

1 2 1 2( ) ( ) ( )v v v f i f i f i% $ % $ %

Generalizando para m elementos resistivos contralados por corriente se tiene el siguiente equivalentepor corriente, se tiene el siguiente equivalente

v =f (i ), =1,2, ,mk k k k "

( ) ( )m

kv f i f i i% % ')Marzo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos

Eléctricos54

1k%

)

Ej l d ió iEjemplos de conexión serie

1) Resistencias lineales invariantes 1) Resistencias lineales invariantes

i kv = R i , = 1 ,2 , ,m

co n

k k k

m

k

v R i R R% % )

"

2) Fuentes de voltaje

1

co n k

k

v R i R R%

% % )

2) Fuentes de voltaje

M

)k=1

V= vk)


55


3) Fuentes de corriente Viola LVK salvo que las 3) Fuentes de corriente. Viola LVK salvo que las corrientes sean idénticas, sino no tiene sentido físico

1 2 m= i =i i%"1 2 m

4) Resistencia lineal y fuente de voltajei

i l i+

vR

-R

+

i

0LVK v=v +v

v Ri+V (1)

RLCK i es la misma

para ambos

vo

V

-

0v=Ri+V (1) para ambos

elementos


56

-


Si se dibuja la característica en el plano (-i)v se obtiene la Si se dibuja la característica en el plano (-i)v se obtiene la características de la batería de un automóvil

0sc

int

VI =

R

En la zona achurada, la batería se carga por lo queabsorbe potenciaabsorbe potencia


57


4) Resistencia lineal y fuente de voltaje 4) Resistencia lineal y fuente de voltaje

La característica v-i de la conexión serie es la suma de las característicasde los elementos individuales

De (1) v=0 => i=-Vo/R

0V

R#

Corriente de corto-circuito


58


5) Resistencia lineal y diodo ideal5) es ste c a ea y o o eai

+

V

R1

V

-

V2

+

-

Característica v-i de la conexión serie

Diodo Ideal

Para i>0 el diodo es corto-circuito => 1v R i%

Para v<0 el diodo es un circuito abierto => por lo tanto la conexión serie también es c. abierto

0i %


59

Clase 4


60

Rectificador de Media OndaRectificador de Media Onda

!

"

! Sea

una sinusoide

# $( ) cossv t A t" !% & 2T

'

!

una sinusoide

A: Amplitud

"f l d/ #"frecuencia angular en rad/s

$# fase en radianes


61

Rectificador de Media OndaRectificador de Media Onda

VV

R1

i

s

1

V

R 0 0v i% & !

R f d ñ l d l d l d

10i i v R' & !

Rectificador convierte señal sinusoidal de valor medio cero a una señal de valor medio distinto de cero


62

Valor Medio de una SeñalValor Medio de una Señal

Valor Medio ( )2

1 1( ) ,

T

f t dt f t d t*

+ + ( )0 0

( ) ,2

f t dt f t d tT

*+ +

Sinusoide ( )2

0

10

2Asen t d t

*

*

!+

Señal Rectificada de Media Onda Señal Rectificada de Media Onda

( )1AR

Asen t d t

*

!+ ( )1

102

Rsen t d t

R

* *+


63

Conexión paralelaConexión paralela

Sea llama conexión paralela de los elementos en la figura al una puerta cuyos terminales son los nodos A y B

1 2y, ,figura, al una-puerta cuyos terminales son los nodos A y B

1 2LVK v=v =v

LCK i=i +i1 2LCK i i +i

La característica de la conexión paralela se puede obtener p pgráficamente sumando, para cada valor de v, los valores de corrientes de las curvas características de

1 2y, ,


64


Analíticamente se puede determinar el equivalente de la conexión paralela de los elementos , solo si ambos son controlados por corriente, es decir

1 2y, ,

1 1 1 2 2 2=g (v ), =g (v )

( ) ( ) ( )

i i

i i i g v g v g v! . ! . !

Generalizando para m elementos resistivos controlados

1 2 1 2( ) ( ) ( )i i i g v g v g v! . ! . !

ppor voltaje, se tiene el siguiente equivalente

=g (v ), =1,2, ,mk k ki k !g ( ), , , ,

( ) ( )

k k k

m

ki g v g v v! ! /0Marzo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos

Eléctricos65

1

( ) ( )k

k

g g!0

Ejemplos de conexión paralelaEjemplos de conexión paralela

1) Resistencias lineales invariantes

= G , = 1 ,2 , ,mk k ki v k !

1

co nm

k

k

i G v G G!

! ! 0

2) Fuentes de corriente

1k

M

k=1

i= ik0


66

Transformaciones de FuentesTransformaciones de Fuentes

1) Desplazamiento: Se eliminan ramas consistentes de f d l j á i i ú fuentes de voltaje que no están en serie con ningún elemento

2) LVK para todos los bucles que contienen ramas 2 y 3 en ambas redes son igualesen ambas redes son iguales

LCK en nodo es idéntica a la suma de las ecuaciones en los nodos 1 y 2 => supernodo

11


67

e os o os y supe o o


3) Desplazamiento: Se eliminan ramas consistentes de f d i á l l i ú fuentes de corriente que no están en paralelo con ningún elemento

LCK en nodos 1,2, y 3 son idénticas en ambos casos


68


Elemento en serie con fuente de corriente

is

isElemento en serie con fuente de corrientePuede reemplazarse con corto-circuito

Elemento en paralelo con fuente de voltajepuede reemplazarse por circuito abiertopuede reemplazarse por circuito abierto


69

Equivalente de Thévenin NortonEquivalente de Thévenin-Norton

Eq. Thévenin Eq. Nortonv

0 sLVK v=V -R i

V v

0LCK =I -s

vi

R

0i=s s

V v

R R& 2 0

0 =s

VI

R&

Los dos circuitos son equivalentes porque tienen la misma característica en el plano i-v

s


70

p

Fuente práctica de voltajeFuente práctica de voltaje

Una fuente ideal de voltaje provee un voltaje constante a é d i l i i l i través de sus terminales sin importar la corriente que se

extraiga de ésta.

v

v

vo

i

En la práctica (realidad) si

La caída de voltaje respecto del valor ideal V se puede LR I V3 4 3

La caída de voltaje respecto del valor ideal V0 se puede modelar como una resistencia interna de la fuente intR


71

F t á ti d lt jFuente práctica de voltaje

LVK V =R I+V

( )0 int

0 int

LVK V =R I+V

1V V R I! 2 ( )( )2LV R I!

Recta de carga (1)Cualquier que sea RL,t das las s l ci nes deben

0sc

i t

Vi

R!

todas las soluciones deben caer en la característicade la fuente


72

intR

ParámetrosParámetros

V0: voltaje de circuito abierto de la fuente

0ocV V!

: Resistencia interna de la fuente práctica

: Corriente de corto-circuitointR

I : Corriente de corto circuitoscI

intocVRI

!

El punto de operación del circuito es:scI

00

int int

, L

L L

V RI V V

R R R R! !

. . (Divisor de voltaje)


73

int intL L

TierraTierra

Ya que el voltaje es la diferencia de potencial entre dos puntos, ú f f ú es útil definir un punto de referencia común llamado tierra. A

este punto se le asocia un potencial 0 y se denota por el siguiente símbolosiguiente símbolo.

La tierra ede ser física o irt al En el rimer caso e iste La tierra puede ser física o virtual. En el primer caso, existe una conexión física a la tierra a través de conductores y mallas en el terreno. La tierra es un buen conductor y corresponde en el terreno. La tierra es un buen conductor y corresponde al potencial en que nos encontramos los seres humanos. La conexión a tierra física se hace por razones de seguridad.


74

Transformación Delta EstrellaTransformación Delta-Estrella

Las resistencias o elementos pueden no estar conectados ni en paralelo ni en serie. Ejemplo son las siguientes redes.

Conexión Y(estrella)

Conexión T(té)( )


75


Conexión 5(delta)

Conexión 6(pi)(p )


76


1b cR R

RR R R

!

Transformación 5-Y

1

a b cR R R. .

c aR RR ! a bR R

R !2

a b c

RR R R

!. . 3

a b c

RR R R

!. .

R R R R R R. .Transformación Y-5

1 2 2 3 3 1

1

a

R R R R R RR

R

. .!

R R R R R R. . R R R R R R. .1 2 2 3 3 1

2

b

R R R R R RR

R

. .!

1 2 2 3 3 1

3

c

R R R R R RR

R

. .!

Nota: Se deja como tarea propuesta la demostración de estas relaciones


77

Nota: Se deja como tarea propuesta la demostración de estas relaciones

Clase 5


78

Teoremas Generales de RedesTeoremas Generales de Redes

1. Teorema de superposición. Aplica a redes lineales en compuestas por :

Elementos lineales : resistencias (R), inductancias (L), capacitores (C), fuentes dependientes (invariantes o variantes en el tiempo).p ( p )

Fuentes independientes (cualquier forma de onda tal que la respuesta sea única).

Aplica sólo a la respuesta de estado cero de un circuito lineal Aplica sólo a la respuesta de estado cero de un circuito lineal, es decir con condiciones iniciales nulas!

Para circuitos lineales la respuesta completa se descompone en p p pla respuesta de estado-cero (RESC) y la respuesta de entrada-cero (RENC).

Estado cero = condiciones iniciales nulas Estado cero = condiciones iniciales nulas

Entrada-cero = fuentes independientes se hacen cero


79

Teorema de SuperposiciónTeorema de Superposición

Establece que:( ) ( )

n

v t v t!0 donde v(t) es la respuesta de estado cero ante n-fuentes

independientes actuando simultáneamente

1

( ) ( )i

k

v t v t!

!0

independientes actuando simultáneamente

vi(t) es la respuesta de estado cero ante la fuente i-ésimaactuando aisladamente. Para calcular esto todas las fuentes menos una se hacen cero.

Si es una fuente de voltaje, hacer vs=0 significa reemplazarla por un corto-circuitopor un corto-circuito

Si es una fuente de corriente, hacer is=0 significa reemplazarla por un circuito abierto

NOTA: Sólo se hacer cero las fuentes independientes, las fuentes dependientes se mantienen


80

Ejemplo1: SuperposiciónEjemplo1: Superposición

Encontrar v0 por superposición

a) vs=0Divisor voltaje

Equivalente T-N0

240

10v1 ! 7

Divisor voltaje

10

8[ ]V!


81

Continuación Ejemplo 1Continuación Ejemplo 1

b) is=0

Usando divisor de voltaje se tiene:

20

220 4[ ]

10v V11 ! 7 !

Por superposición se obtiene:

0 0 0 12[ ]v v v V1 11! . !


82

Ejemplo 2Ejemplo 2

El circuito de la figura a) se usa para sumar señales. Determine v0 usando superposición.

Respuesta: Haciendo como en la fig. b)1 2 0s sv v! !

Queda un circuito divisor de voltaje entre R y R/2

32 svRv v111 7

R

30 3

2 3

ssv v

R R! 7 !

.

R

R +

Vs3

Vo3

-

(a) (b)


83

Ejemplo 2Ejemplo 2

Por simetría aplica la misma técnica a las 3 entradas de modo que

2 10 0y

3 3

s sv vv v11 1! !

Por superposición la respuesta a todas las fuentes es:

0 03 3

p p p

8 91v v v v v v v1 11 111! . . ! . .8 90 0 0 0 1 2 3

3s s sv v v v v v v! . . ! . .


84

Fuentes Dependientes o ControladasFuentes Dependientes o Controladas

Son elementos acoplados muy útiles en la modelación de dispositivos y circuitos electrónicos.

Elementos de 2-puertas, en los que la rama 2 es una fuente de voltaje o de corriente, mientras que la rama 1 es un circuito abierto o un corto-circuito. La fuente en la rama 2 está controlada por el voltaje o la corriente de la

1rama 1.


85

Fuentes dependientes lineales invariantesFuentes dependientes lineales-invariantes Existen 4 tipos:

0i ii i

2v.

01 !i 2i

1vmg1v.

1i 2i

2v.

1i:1v 0.

!

Fuente de corriente controlada por corriente Fuente de corriente controlada por voltaje

22212

i

v 0.

!

1i 2i

i;.

v.

.

01 !i 2i

v< v

v

1v 0!

" 1m i#! 2v!

Fuente de voltaje controlada por corriente

! 1v$2v!

1v!

Fuente de voltaje controlada por voltaje

Los parámetros , gm, !m y ", son constantes para elementos lineales invariantes

Fuente de voltaje controlada por corriente Fuente de voltaje controlada por voltaje


86

Fuentes dependientesFuentes dependientes

La potencia instantánea ingresando al 2-puertas es

Ya que en la rama 1, 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p t v t i t v t i t v t i t" "

1 1( ) 0 ó ( ) 0v t i t" "q1 1( ) ( )

En R2 se tiene

2( ) ( ) 0R %

2

2 2 2( ) ( )v t R i t" !2

2 2( ) ( ) 0p t R i t t" ! & %

La potencia instantánea ingresando al 2-puertas es siemprenegativa, es decir la fuente dependiente es activa, entrega


87

potencia al resto del circuito.

Amplificación de potencia (transistor)Amplificación de potencia (transistor)

LCKLCK

3 1 1 1(1 )i i i i' '" "

1 3 1 1(1 )iv R i R i

v R i R i

'

'

" "

0 2 2 2 1v R i R i'" ! " !

Potencia entregada por la fuente al circuito2(1 )p v i R i'" "

Potencia entregado por el circuito a la carga1 1 1(1 )i ip v i R i'" "

2 2( )p v i R i'" "Marzo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos

Eléctricos88

2 2 1( )o op v i R i'" ! "

Amplificación de potencia (transistor)Amplificación de potencia (transistor)

La ganancia de potencia es

2

2op R' 2

1(1 )

o

ip R'"

Típicamente ' es del orden de 100 para un transistor. Escogiendo R1 y R2 apropiadamente se pueden obtener g 1 y 2 p p pganancias arbitrarias


89

Ejemplo con fuentes dependientesEjemplo con fuentes dependientes

El circuito de la figura representa a un tocadiscos. D i l l d R d d l l j é Determine el valor de R de modo que el voltaje a través de la carga sea de 16[V].

Solución Solución

6

ab 6

10v ×0,2=0,1999 0,2[V]

10 500" )

o 2 2v =16=10I I =1,6[A]*

610 500

ab120v -16 8R= = =5[!]

1,6 1,6


90

Clase 6


91

Teorema de Thevenin Norton:Teorema de Thevenin-Norton:

Aplica a red lineal (R, L, C, fuentes dependientes, fuentes independientes) terminada en carga arbitraria (lineal o no independientes) terminada en carga arbitraria (lineal o no lineal, variante o invariante en el tiempo).

A ilineal Red

A

v

i

Si

N

A'

!carga

Si:a) Red N tiene solución única cuando está terminada por la carga y

también cuando la carga es reemplazada por una fuente g p pindependiente.

b) No hay acoplamiento entre red y carga (magnético o a través de fuentes dependientes).


92

fuentes dependientes).

Teorema de Thévenin NortonTeorema de Thévenin-Norton

Entonces i(!) y v(!) en terminales A- A’ no se alteran al remplazar la red N por su equivalente de Thévenin o de Norton.

N i

i Equivalente de Norton

0N cci !v

N

iEquivalente de

!0N

e

!v

qThévenin


93

cae


Red No:

Red N relajada, red equivalente de entrada-cero y estado-cero. Todas las fuentes independientes y las condiciones iniciales se h i l F t d di t d i lhacen igual a cero. Fuentes dependientes quedan igual.

eca:

V l j i i bi d N b d l Voltaje en circuito abierto de N, observado entre los terminales A-A’, considerando todas la fuentes independientes y el estado inicialel estado inicial

N A

N!cae

'A


94


icc:

Corriente de corto-circuito de N, que fluye del terminal A hacia A’. Se consideran todas las fuentes independientes y el

t d i i i lestado inicial.

A

N cci'A


95

Ejemplo T NEjemplo T-N

Equivalente de Thévenin visto desde los terminales A-B hacia la izquierda

1R 3R iA ca

eq

e

R

E 2R

!v

B

R R

B

cae

eqR i

1 23

1 2

eq

R RR R

R R"

A

cae

!v

2

1 2

ca

R Ee

R R"

B


96

!B

Ejemplo 2: Puente de WheatstoneEjemplo 2: Puente de Wheatstone

a Reóstato

1R 3R

E

b d

2R 4R

E!

b d

GR Galvanómetro

Para determinar el valor de la resistencia desconocida (R4), el reóstato (R3) se ajusta para tener una lectura nula

c

( 4), ( 3) j pen el galvanómetro.a) Determinar el equivalente de Thévenin visto desde los

i l b dterminales b-d.

b) Determinar la incidencia de la resistencia del galvanómetro en la corriente medida.


97

en la corriente medida.

a) Determinación de No:1R

b

1R

2R2R

3R 4R

3 41 2eq

R RR RR

R R R R"

d1 2 3 4

qR R R R

b) Determinación de eca:

1R 3R

E

I3 4

b

EI

R R"

2R 4R

E! aI

bI

EI "


98

4

1 2

aIR R

"

2 4

2 4ca a b

R Re R I R I E

R R R R

+ ," ! " !- .

/ 01 32 4R R R R / 0

R R3 24

1

R RR

R"

Si eca=0 puente balanceado

Luego el equivalente de Thévenin queda:

eqR b

R

gI

gRcae


99

d

Análisis de sensibilidadAnálisis de sensibilidad

b) Se tiene que:

cag

eI

R R"

ca

g g

eI I

R R R 1 "

1*

eq gR R eq g gR R R 1

2 3 0g eq g g g g gI R R I R I R1 1 1 1 " (*)

g g

g

eq g

I RI

R R

! 1* 1 )

eq g

Aproximación que desprecia el término de segundo orden en *


100

Clase 7

Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos

101

Ej l 3 F t d di tEjemplo 3: Fuentes dependientes

! Encuentre el Eq Thévenin y la resistencia de entrada R Encuentre el Eq Thévenin y la resistencia de entrada Rin

del circuito de la figura

a) Voltaje Circuito-Abiertoa) Voltaje Circuito-Abierto

! svi=0 v = 1+ v v =" "

v = v = v

v = v !s F Fi 0 v 1+ v v

1+ " " o F sv v v

1+ TH sv v

1+


102

Ej 4 ti ióEj. 4 continuación

b) Red Relajada b) Red Relajada

!1 0 0 R R !F F TH ov 1+ =0 v =0 R R" " #

Resistencia de entrada (usar fuente de corriente 1[A]) Resistencia de entrada (usar fuente de corriente 1[A])

v R 1+ R# $

!IN F F

F

v R 1+ R

= 1+ R

# $

!IN FR = 1+ R


103

Amplificadores Operacionales

(OP i l AMPlifi OPAMP)(OPerational AMPlifier: OPAMP)

Entrada Alimentación

i %I

ccV%Inversora positiva Av: Ganancia

de voltaje de lazo abierto

&&v

&i%

cI

!0 vv A v v% &# &0i

lazo abierto

%%v %i

&

cI

V

!0 v %

Entrada no-vd= (v+-v- ) Voltaje de entrada

ccV&Inversora

Alimentación

Voltaje de entrada diferencial

negativa


104

OPAMPOPAMP

Frecuentemente los terminales de las fuentes de poder se Frecuentemente los terminales de las fuentes de poder se omiten en los diagramas de circuitos. Sin embargo las fuentes tienen que estar presentes, ya que la potencia requerida para tienen que estar presentes, ya que la potencia requerida para amplificar la señal proviene de estas fuentes.

La ecuación correcta de LCK es:

i

LCK implicaría

LO QUE ES

0 c ci i i I I% &

& %# % % %0i i i& %# %

La corriente de salida proviene fundamental-mente de las fuentes de

d l i d %

&

i

&

0i INCORRECTO!

poder, las corrientes de entrada son muy pequeñas, idealmente cero.

%i


105

OPAMP: Diagrama de BloquesOPAMP: Diagrama de Bloques


106

OPAMP: Circuito IntegradoOPAMP: Circuito Integrado


107

C t í ti d T f iCaracterística de Transferencia

0v0

ccv%Ganancia de Voltaje: A

Rango de &% &# vvvd

Voltaje: Av

gexcursión

v

%d

ccv&

Saturación Negativa

Saturación Positiva

Lineal

Existen 3 modos de operación:

Negativa Positiva

Saturación +: Av(v+-v-)>+Vcc y Vo=+Vcc

Saturación - : Av(v+-v-)<-Vcc y Vo=-Vcc

Li l A | |<V V =A ( ) V <V <+V


108

Lineal Av|v+-v-|<Vcc y Vo=Av(v+-v-), - Vcc<Vo <+Vcc

Ci it E i l t M d Li lCircuito Equivalente en Modo Lineal

-i

iZ

0Z

d

%&

i

v d

do

Zi: Impedancia Zo: Impedancia +i

de entrada (resistencia)

o pde salida (resistencia)

Valores típicos: 6 12

010 10 [ ], 10 100[ ]iR R( ( ) ( ( )

5 810 10A( (


109

10 10vA( (

A lifi d O i l Id lAmplificador Operacional Ideal

Modelo válido en la zona linealo e o vá o e a o a ea

1. Av!" (ganancia)

2. Zi!" (impedancia entrada)

"

Cuando el OPAMP se conecta a cualquier circuito, no fluye corriente hacia los terminales de entrada0i i%# #

3. Zo=0 vo= Avvd (impedancia de salida)

hacia los terminales de entrada

! "

0 0d

v

vv

A# $ v v! "#

Se dice que existe un corto-circuito virtual entre los terminales de entrada ya que vd=0, pero la corriente a través

v

terminales de entrada ya que vd 0, pero la corriente a través de este cortocircuito es cero.


110

M d l d OPAMP li lModelo de OPAMP en zona lineal

"!

Ideal A.O. Modelo

En la zona lineal el OPAMP no opera en lazo abierto sino que con realimentación negativa es decir existe una que con realimentación negativa, es decir existe una conexión entre la salida y el terminal inversor del OPAMP.


111

A lifi d N IAmplificador No-Inversor

!vR 'R "v

!v

"!% 0v

!" %

"v 0v"!sV

'R

"!sV

R

1. Corto-Circuito virtual entre los terminales

v-=v+=vs

2 Amplificador no extrae corriente2. Amplificador no extrae corriente

i-=i+=0


112

A lifi d N IAmplificador No-Inversor

Ganancia de Ganancia de Lazo Cerrado

R'

R R R' R's

0 0s v

s

Rv v R+R' R'v = A = = =1+ 1

R+R' v R R '

R

Si R=!, y/o R’=0 se tiene Avs=1 Ganancia Unitaria


113

S id d V lt jSeguidor de Voltaje

0#i

""

!"!

sv!0vsv "

!"!

svv #0"

sv

La salida es vo=vs independiente de las resistencias de carga y de fuente (contrario a lo que ocurre cuando la carga y de fuente (contrario a lo que ocurre cuando la fuente se aplica directamente a la carga)

La fuente se aísla de la carga La fuente se aísla de la carga


114

A lifi d IAmplificador Inversor

R’I R

I

z'I

R

"!zI R

-

+

o

""!s

+

Existe una tierra virtual a la entrada del OPAMP

i- =i+ =0v- =v+=0


115

A lifi d IAmplificador InversorR'R

vI I 'LCK I +I =0

-vzI z'

I

+

z z'

s 0

LCK I +I 0

v v+ =0

R R' Ganancia de "!

+

o-

vvI =0

sv

R R

0v R'

=-

Ganancia de lazo cerrado

s

=-v R

Aún cuando la ganancia de lazo abierto es infinita, la ganancia de lazo cerrado es finita

Para construir un amplificador lineal con un OPAMP basta pseleccionar un par de resistencias


116

S dSumador

v =v =0 Tierra Virtual1R1i 3i v- v+ 0 Tierra Virtual

LCK:!

11

i

3

i1+i2=i31sv

"

"!

"!

2sv

2R 2i

2s

1 2

1 2

v v vs s o

FR R R" # !

R R( )

Si R1=R2=R1 2

1 2

v v vF Fo s s

R R

R R

( ) # ! "* +

, -R1 2

. /1 2v v vFo s s

R

R# ! "

Nota: Encuentre este resultado por superposición


117

R t d A lifi d Dif i lRestador o Amplificador Diferencial

Aplicando superposiciónR R Aplicando superposición

1R 2R

2 0v # 21

1

'o

Rv

Rv # ! Amplificador

inversor

"!

"!

3R

1

R R" Amplificador

"!

2sv

3

4R 10v # 1 2

1

''o

R Rv v

R"

"#

4Rv v#

Amplificador no inversor

Divisor

2

3 4

v vR R

" # "Divisor de voltaje

Luego

. /22 1' ''o o o

Rv v v v v# " # ! si 3 4

R R#. /2 1

1

o o oR 1 2R R


118

A lifi d O i l Id lAmplificador Operacional Ideal

A1. Av=!

2 Z=! i =i =0 2. Zi=! i+=i-=0

3. Zo=0

3. Zo 0

!i "!v0v!

"i"v

0


119

Ci it E i l tCircuitos Equivalentes

Existen tres circuitos equivalentes una para cada región Existen tres circuitos equivalentes, una para cada región de operación.

1) Zona lineal (modelo del corto-circuito virtual)

"!vv0#v

0#dv "! # vv

2) Zona saturación + 0#!i

!"i"

v0v0#dv

satsat EvE 00! 0

)

01dv satE 0

0

sat

d

v E

v

# "

1 3) Zona saturación –

0#"i

0dv 1

0#!i

v E

0i

satE00dv0

0

sat

d

v E

v

# !

0


120

0#"i

C dComparadores

Lineal

) Región Lineal: v =0 => v =E E <v <Ea) Región Lineal: vd=0 => vi=ET, -Esat<vo<Esat

b) sat +: vd>0 => vi>ET, vo=Esat

c) sat -: vd<0 => vi<ET, vo=-Esat

El circuito compara vi con ET. Si ET=0 se llama detector de El circuito compara vi con ET. Si ET 0 se llama detector de cruces por cero


121

D t t d Detector de cruces por cero

vs(t)5 V

t

-5 V

vo

Esat

vi

Esat

-Esat


122

OPAMP: Realimentación positivaOPAMP: Realimentación positiva

Cuando el OPAMP se realimenta positivamente opera en Cua o e O se ea e ta pos t va e te ope a e modo de saturación, oscilando entre los voltajes +Esat y -Esat

(osciladores, generadores de señal, comparadores con histéresis)

En este curso solo veremos OPAMP ideales operando en la l lzona lineal


123

Clase 8


124

Mét d d A áli i N d lMétodo de Análisis Nodal

! Plantear las ecs nodales en el circuito puente de la figura! Plantear las ecs nodales en el circuito puente de la figura

i1R 2R

av

1Si2Si

R

bv cv

P 1

3R4R

dv

! Paso 1:! Darse direcciones de

referencia asociadas para todas i

1R 2R

av

0i 1i 2i

plas corrientes de ramas y aplicar transformaciones de fuentes para dejar sólo fuentes

1Si2Si

bv cv3i 4i

5i

fuentes para dejar sólo fuentes de corriente en paralelo con algún elemento.

3R4R

dv


125

Mét d N d lMétodo Nodal

! Paso 2: Numerar nodos Escoger un nodo de referencia e ! Paso 2: Numerar nodos. Escoger un nodo de referencia e identificar las incógnitas (voltajes de nodo a nodo referencia). Usualmente el nodo referencia es el terminal negativo del Usualmente el nodo referencia es el terminal negativo del elemento activo. Se identifica por el símbolo tierra al que se le asocia potencial cero.p

v

i2Si

1R 2R

av

0i 1i 2i

Nodo 11Si

3R R

bv cv3i 4i

5i

Nodo 3

Nodo 23

4R

dv

Nodo


126

Referencia

Mét d N d lMétodo Nodal

! Paso 3: Aplicar LCK a cada nodo de voltaje desconocido y ! Paso 3: Aplicar LCK a cada nodo de voltaje desconocido y expresar cada corriente de rama en términos de voltajes de nodo a nodo referencia y los parámetros del circuito.y p

! Nodo 1: ! Nodo 2: ! Nodo 3:

! isi-i1-i2=0 ! i1-i3+is2=0 ! i2-i4-is2=0

! Las ecuaciones de los elementos son:

! i =G ( )! i1=G1(va-vb)

! i2=G2(va-vc)

! i3=G3vb

! i4=G4v


127

! i4 G4vc

Pl t i t M t i i l d E N d lPlanteamiento Matricial de Ecs Nodales

! Reemplazando las expresiones se obtiene:! Reemplazando las expresiones se obtiene:

! Nodo 1: (G1+G2) va-G1vb-G2vc=is1

! Nodo 2: -G1va+ (G1+G3) vb=is2

! Nodo 3: -G2va+ (G2+G4) vc=-is2

! Matricialmente queda:! Matricialmente queda:

1 2 1 2 1a SG G G G v i! " "# $ # $ # $% & % & % &

1 2 1 2 1

1 1 3 20

0

a S

b SG G G v i

G G G v i

% & % & % &" ! '% & % & % &% & % & % &!( ) ( ) ( )2 2 4 20 c SG G G v i% & % & % &" ! "( ) ( ) ( )


128

R l ió Mét d d CResolución por Método de Cramer

1 1 2Si G G* " " +# $, -% &

1 2 1 2SG G i G* ! " +# $, -% &

2 1 3

2 2 4

det 0

0

S

S

i G G

i G G

, -% &!, -% &, -% &" !( ). /

1 2

2 2 2 4

det 0

S

S

S

G i

G i G G

, -% &", -% &, -% &" " !( ). /

av( ). /'

02 2 2 4S

bv( ). /'

0

1 2 1 1SG G G i* ! " +# $, -% &

1 1 3 2

2 2

det

0

S

S

G G G i

G i

, -% &" !, -% &, -% &" "( ). /

cv( ). /'

0

1 2 1 2G G G G* ! " " +# $, -

1 2 1 2

1 1 3

2 2 4

det 0

0

G G G

G G G

# $, -% &0 ' " !, -% &, -% &" !( ). /

Con:


129

2 2 4( ). /

A áli i d l OPAMPAnálisis nodal con OPAMPs

! Generalmente se quiere Resto del qencontrar Vo

! Se asignan N-1 nodos, incluyendo

Resto del Circuito

Vo, V+, V-

! Como el OPAMP actúa comofuente dependiente se tiene que:fuente dependiente se tiene que:Vo=f(V+-V-) , por lo que no senecesita escribir una ecuaciónnodal en el nodo de salida

! Se formulan sólo N-2 ! Se formulan sólo N 2 ecuaciones nodales, y se impone V+=V- en zona lineal


130

Ej l Mét d N d l OPAMPEjemplo: Método Nodal con OPAMPs! Nodos A y B están conectados y

a fuentes de voltajes independientes

! Nodos C y E están conectados ! Nodos C y E, están conectados a la salida de OPAMPs

! basta plantear ecuaciones d l D Fnodales en D y F

! LCK en D: ! LCK en D:

G1(vC-vD)-G2(vD-vE)=0

G1vC+G2vE-(G1+G2)vD=01 C 2 E ( 1 2) D

! LCK en F:

G3(vE-vF)-G4vF=0

G3vE-(G3+G4)vF=0


131

Ej l (C ti ió )Ejemplo (Continuación)

! Sistema de ecuaciones nodales! Sistema de ecuaciones nodales

1 2 1 2 1( ) (1)c EG v G v G G v! ' !

3 3 4 2( ) (2)EG v G G v' !

! Reemplazando (2) en (1) se tiene que:

* +* +3 41 2 2

0 1 2

1 1 3

C

G GG G Gv v v v

G G G

* +* + !!' ' " , -, -

. / . /

1 21 4 2 3 0 1 2

2

( ), ( ) (2)

R RSi R R R R v v v

R

. / . /!

' ' 1 ' "2R

! Se obtiene un sustractor que no carga las fuentes, ya que ambas están conectadas a terminales no inversores


132

ambas están conectadas a terminales no-inversores

Método de Análisis de Mallas o Circuitos

R i lRegionales

! Planteamiento de ecuaciones de mallas (LVK + ecuaciones ! Planteamiento de ecuaciones de mallas (LVK + ecuaciones de ramas)

1R 2R

v! v!

!"

!"3R0v

!

"4v!

"

1v! " 2v! "

3v!

"1sv 2sv

! Paso 1

"

! Aplicar transformaciones de fuentes para dejar sólo

1R 2R

1v! " 2v! "fuentes de voltaje en serie con algún elemento

! D di i d

!"

!"3R0v

!

"4v!

"

1 2

3v!

"1sv 2sv

i1 i2! Darse direcciones de referencia para las corrientes de mallas.

i1 i2


133

corrientes de mallas.

Mét d d A áli i d M llMétodo de Análisis de Mallas! Paso 2

! Escoger una malla de referencia, usualmente la externa. Identificar las incógnitas (corrientes de mallas) ! i1,i2

1R 2R

!"

!"3R0v

!

4v!

1v! " 2v! "

3v!

1sv 2sv

Malla de referencia Incógnitas

i1 e i2

P 3

" ""i1 i2

1 2

! Paso 3! Aplicar LVK en cada malla y expresar cada voltaje de rama en términos

de las corrientes de malla y los parámetros del circuito.y p! Bucle 1: -vs1+v1+v3=0 (1)! Bucle 2: -v3+v2+vs2=0 (2)


134

Pl t i t d E i d M llPlanteamiento de Ecuaciones de Mallas

! Ecuaciones de los elementos:! Ecuaciones de los elementos:

! v1=R1i1! v2=R2 i2! v3= R3(i1-i2 )3 3( 1 2 )

! Sustituyendo en (1) y (2) se tiene que:

(R R )i R i R i (R R )i! (R1+R3 )i1-R2i2=vs1 ! -R3i1+(R2 +R3 )i2=-vs2

! En forma matricial:

1 3 3 11 SR R R vi! "# $ # $# $% & % &% &

3 2 3 22 SR R R vi'% & % &% &" ! "( )( ) ( )


135

R l ió R l d CResolución por Regla de Cramer

1 3Sv R"# $% &

11i

0'0

' 2 2 3

1 3 3

Sv R R

R R R

% &" !( )! "# $

% &

' 2 32 3 1 3 2

1 2 1 3 2 3

S SR R v R v

R R R R R R

! "

! !

3 2 3R R R% &" !( )

01 3 1SR R v

R

!# $% &( ) 2 3R R R

22i

0'0

3 2

1 3 3

SR v

R R R

% &" "( )! "# $

% &

2 33 1 1 3 2

1 2 1 3 2 3

S SR v R R v

R R R R R R

" !

! !' '

3 2 3R R R% &" !( )


136

Métodos Generales de Análisis de Redes con

F D diFuentes Dependientes

! Paso I: Plantear las ecuaciones nodales o de mallas ! Paso I: Plantear las ecuaciones nodales o de mallas siguiendo el procedimiento anterior, tratando las fuentes dependientes como si fueran independientesdependientes como si fueran independientes

! Paso 2: Resolver la dependencia en términos de variables i d di independientes:

! Voltajes de nodo a nodo de referencia en el análisis nodal

! Corrientes de mallas en el método de análisis de mallas

! Nota: En el caso matricial, la fuente dependiente aparece , p pprimero en el vector de fuentes, y luego se traslada a la matriz invirtiendo el signomatriz invirtiendo el signo


137

A áli i N d l F D diAnálisis Nodal con Fuentes Dependientes

! Se desea obtener i3 en el circuito de la figura3 g

! a) Transformar fuentes de voltaje a fuentes de corriente di t T N d di i d f i i dmediante T-N y darse direcciones de referencia asociadas.

! Nota: Se puede aplicar transformación T-N a fuentes dependientes siempre y cuando no se afecte la variable de la dependientes siempre y cuando no se afecte la variable de la cual depende la fuente.


138


! El circuito que resulta de aplicar el paso a) es:! El circuito que resulta de aplicar el paso a) es:

i3

G31 2

i3

G1 +G2G1vs G4 +G5 G58i3

b) Identificar nodosy las incógnitas (v1 y v2)G58 3


139 3


! c) Plantear ecs nodales tratando las fuentes dependientes ! c) Plantear ecs. nodales tratando las fuentes dependientes como si fueran independientes

( ) ( )G G G G! LCK en 1)

! LCK en 2)

1 1 2 1 3 1 2

5 3 4 5 2 3 1 2

( ) ( )

8 ( ) ( )

sG v G G v G v v

G i G G v G v v

' ! ! "

' ! " ")

! En forma matricial se tiene que:

5 3 4 5 2 3 1 2( ) ( )


1 2 3 3 11 sG G G G G vv! ! "# $ # $# $% & % &% &

3 3 4 5 5 32 8G G G G G iv'% & % &% &" ! ! ( )( ) ( )


140


! d) Resolver la dependencia en función de v1 v2 y trasladar ! d) Resolver la dependencia en función de v1,v2 y trasladar términos del vector de fuentes a la matriz invirtiendo el signosigno

3 3 1 2( )

8 8 ( )

i G v v

G i G G

' "

1 5 3 3 5 1 28 8 ( )G i G G v v1 ' "

! El resultado final en forma matricial es:

G G G G v G v! !# $ # $ # $1 2 3 3 1 1

3 3 5 3 4 5 3 5 28 8 0

sG G G G v G v

G G G G G G G G v

! ! "# $ # $ # $'% & % & % &" " ! ! ! ( )( )( )


141

A áli i d M ll F D diAnálisis de Mallas con Fuentes Dependientes

! Se desea obtener la corriente por R3 en el circuito de la figuraSe esea obte e a co e te po 3 e e c cu to e a gu a

) T f f d f d l ! a) Transformar fuentes de corriente a fuentes de voltaje mediante T-N y darse direcciones de referencia asociadas.

N E i h f i d ! Nota: En este caso no es necesario hacer transformaciones de fuentes.


142

A áli i d M ll F D diAnálisis de Mallas con Fuentes Dependientes

! b) Darse direcciones de referencia para las ramas y las ! b) Darse direcciones de referencia para las ramas y las mallas. Definir las incógnitas i1,i2,i3


143

A áli i d M ll F t D di tAnálisis de Mallas con Fuentes Dependientes

! c) Plantear ecs de mallas tratando las fuentes ! c) Plantear ecs. de mallas tratando las fuentes dependientes como si fueran independientes

! LVK en 1) ( ) ( )v R i i R i i' !! LVK en 1)

! LVK en 2)

LVK 3)

1 1 3 2 1 2

3 2 3 2 2 1

( ) ( )

15 ( ) ( )

s

x

v R i i R i i

i R i i R i i

' " ! "

" ' " ! "! LVK en 3)

4 3 3 3 2 1 3 10 ( ) ( )R i R i i R i i' ! " ! "


R R R R i!# $ # $ # $1 2 2 1 1

2 2 3 3 2 15

s

x

R R R R i v

R R R R i i

! " "# $ # $ # $% & % & % &" ! " ' "% & % & % &

1 3 1 3 4 3 0R R R R R i% & % & % &% & % & % &" " ! !( ) ( ) ( )


144

A áli i d M ll F t D di tAnálisis de Mallas con Fuentes Dependientes

! c) Resolver la dependencia en función de las variables ! c) Resolver la dependencia en función de las variables independientes y trasladar términos del vector de fuentes a la matriz

1 2

15 15 15

xi i i

i i i

' "

1 " ' " !

Fi l l i i i l d ll

1 215 15 15xi i i1 ' !

! Finalmente, las ecuaciones matriciales de mallas son:

R R R R i!# $ # $ # $1 2 2 1 1

2 2 3 3 215 15 0

sR R R R i v

R R R R i

! " "# $ # $ # $% & % & % &" ! ! " " '% & % & % &

1 3 1 3 4 3 0R R R R R i% & % & % &% & % & % &" " ! !( ) ( ) ( )


145

Clase 9


146

F d O dFormas de Onda

! La descripción completa de una fuente de voltaje v o de ! La descripción completa de una fuente de voltaje vs o de una fuente de corriente is requiere la especificación de la función completa en el tiempofunción completa en el tiempo.

! Ejemplo: La forma de onda vs (!) donde:

1. vs(t) = K , Constante.t!s( )

2. vs(t) = Acos("t+#), Sinusoide.

! A: Amplitudp

! ": Frecuencia angular [rad/s]

! #: Fase en radianes


147

F d dFormas de onda

3 v (t) = u(t) escalón unitario3. vs(t) u(t) escalón unitario

0 0t"# $ No importa en este curso,

% &0 0

1 0

1

t

u t t

# $#

' ()

p ,pero u(0)=1/2 es preferible para transformada de Fourier

10, 1 0

2ó t

!"

# $ # $ttu

1

# $tu # $0ttu %

1

t0t

R t d


148

seg.en Retardo 0t

F d dFormas de onda

4 v (t)=r(t) Rampa Unitaria # $tr4. vs(t) r(t) Rampa Unitaria

! r(t)= t u(t) t'

# $tr

1# $dr t! A

! a

1# $ # $dr t

u tdt

!

# $ # $' 't

u t dt r t!(! a

5 v (t)=p (t) Pulso

t# $ # $u t dt r t

%)!(

# $P5. vs(t)=p!(t) Pulso

# $

0 0

1

t *+

# $t,P

1área = 1

! A # $ 10 t

0 t

p t,

! * * ,-

, , * "

,

! Nota:

t,# $ # $ # $u t u tp t t,

% % ,! '

,Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos

Eléctricos149

,# $p, ,

I l U it i (D lt d Di )Impulso Unitario (Delta de Dirac)

! v (t)="(t) Impulso Unitario! vs (t) "(t) Impulso Unitario

+

# $t.

# $0 0

singular 0

tt

t.

/+! -

!"

! La singularidad es tal que para cualquier !>0

singular 0t"

! La singularidad es tal que para cualquier !>0

A # $ # $00 1

( (! A # $ # $0

1 1t dt t dt0

. .%%

! 2 !( (


150

I l U it iImpulso Unitario

! Impulso es un pulso de amplitud infinita para un tiempo ! Impulso es un pulso de amplitud infinita para un tiempo infinitesimal cuya área es finita

! A# $ # $limt p t.! A# $ # $0

limt p t. ,,2!

! Propiedad:

! Si f(t) es función continua # $ # $ # $0 0f t t dt f

0

. 0! ' 3(( )

! Relación entre impulso unitario y escalón unitario

# $ # $ # $0%(

! Relación entre impulso unitario y escalón unitario

# $ # $ # $ # $ -+ *

!!! (00

´´t

dtttutdu

t

t

.. # $ # $ # $"-

3()% 01

,t

dtttudt

t ..


151

D i d d i lDerivadas de impulsos

! Las derivadas de impulsos son también funciones ! Las derivadas de impulsos son también funciones singulares! doblete unitario# $( )v t t. 4!! doblete unitario# $( )sv t t.

# $0 0t

t./+

4 ! -

! La singularidad es tal que

# $singular 0

tt

. ! -!"

! La singularidad es tal que

# $ ( )( ) ( )

td t

t t dt t.

. . .4 4! !(! Las derivadas de orden superior se llaman tripletes

# $( ) , ( )t t dt tdt

. . .%)

! !(! Las derivadas de orden superior se llaman tripletes,…. ,

n-pletes


152



Unidad 2


Elementos CapacitivosElementos Capacitivos

! Fenómeno físico: La presencia de cargas en dos sustancias (conductores) espacialmente separadas causa una fuerza eléctrica entre ambas sustancias.

! Ej. Condensador de placas metálicas paralelas

Q! !

!!

!!

!!

!!

!!!

!!

!!

ai

!C lé i

FE

Q

d

!!!!

V

Campo eléctrico

Un dieléctrico (aislador) separa las

Eq

"

Q

d

###

##

##

##

########

(aislador) separa las placas: papel, aire, mica, cerámica, etc.


Abril de 2009

Q#

bi

Condensador de placas paralelasCondensador de placas paralelas

! Supuestos:1) Placas y alambres son conductores perfectos.

2) La aislación entre placas es perfecta de modo que no fluyen cargas de una placa a la otra.

3) Siempre hay un numero igual y opuesto de cargas en ambas placas Todas las líneas de campo que dejan una placa placas. Todas las líneas de campo que dejan una placa terminan en la otra.

4) No hay campos magnéticos cercanos al capacitor.4) No hay campos magnéticos cercanos al capacitor.


3

Condensador de placas paralelasCondensador de placas paralelas

! En esas condiciones se tiene que:

! donde C es la capacitanciaQ C V" $

Á

% &0r AC F

d

' '" Farad=Coulomb/Volt

1 0 VacíoA: Área de placa [m2]d: Separación entre placas [m]

1.0 Vacío1.0006 Aire5.0 Mica6 0 Porcelana

0: Constante dieléctrica en espacio vacío [F/m] r: Permitividad relativa.

6.0 Porcelana7500 Titanato

de Bario

La constante dieléctrica indica la facilidad con que un material aislante puede establecer un campo eléctrico.


4

Carga de un condensador Carga de un condensador s 1

2

!

!!

!!

!!

!!

!!!

!!

!!

Q!

2

e

!!!!

""""""""""""""""

E

!

" Q"

Q C V# $

e

Al i l ! Al comienzo placas neutras.! Al cerrar el interruptor S, los electrones de la placa

superior son atraídos por el terminal + de la fuente el superior son atraídos por el terminal + de la fuente, el mismo número de electrones es repelido por el terminal – de la fuente y se acumula en el plato inferior.


5

y p

Carga de un condensadorCarga de un condensador

! Eventualmente se establece un equilibrio entre la energía potencial que da la fuente y las fuerzas de atracción y repulsión en las placas.

! Una vez que el condensador ha alcanzado el potencial E, el proceso se detiene y permanece cargado (si no hay pérdidas). En equilibrio la corriente es nula porque no hay d f d l l d d l b ídiferencia de potencial entre el condensador y la batería.


6

Descarga de un condensadorDescarga de un condensador

!

!!

!!

!!

!!

!!!

!!

!!

Q!

""""""""""""""""

Q"e"

! El exceso de electrones (e-) de la placa inferior fluirá a la superior, hasta que exista un número igual de e- a ambos lados. El capacitor se dice descargado.

Q = C V = 0


7

NotasNotas

! Nota 1. Las corrientes de carga y descarga fluyen en g y g ydirecciones opuestas.

! Nota 2. Idealmente el material dieléctrico aislante se comporta b (R 0)como un circuito abierto (R!" ! i=0)

En la práctica se tiene una resistencia de fuga Rd # 1000 [M!]finita por la cual el condensador se descarga

Modelo C

finita, por la cual el condensador se descarga.

dR

Capacitor Práctico

%

dR

! Nota 3. El material dieléctrico tiene un voltaje de ruptura, más allá de éste saltan chispas o arcos entre las placas. Se puede destruir el capacitor.


8

capacitor.

Elementos Capacitivos IdealesElementos Capacitivos Ideales

! Elementos de 2 terminales en los que para cualquier instante t la carga almacenada q(t) y su voltaje v(t), satisfacen una relación definida por una curva en el plano v-q.

Característica de un condensador no-lineal


9

SimbologíaSimbología

( )i t

( )t

!i(t)

( )

!

( )v t

"( )q tv(t)

"q(t)

(t) car a en la laca a la e a nta dq q(t) carga en la placa a la que apunta la flecha de la corriente i(t)

( ) , ( ) 0dq

i t i tdt

# & %

Se traen cargas positivas a la placa superior


10

Condensador lineal invarianteCondensador lineal invariante

q(t)= C v(t)[Coloumb]= [Farad][Volt]

q

[Coloumb]= [Farad][Volt]

C: Capacitancia en Farads.E

C

En este caso es una constante, independiente de t y v.

v

! La relación entre la corriente y el voltaje de rama es:

( )( )

dq dv ti t C# #

! Integrando se obtiene que

( )i t Cdt dt

1( )

t

C$'C "(

'0

0

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

t t

v t i d i d i dC C C

) ) ) ) ) )"( "(

# # !' ' '


11

(0)v

!"#"$

Condensador lineal invarianteCondensador lineal-invariante

L d ó l (0) l f d d d ( )! La condición inicial v(0) resume el efecto de desde

a .

( )i )

) #"( 0) #! Se dice que los condensadores tienen memoria ya que su

voltaje v(t) depende del valor inicial v(0) y de todos los valores de corriente entre 0 y t.

t

0

1( ) (0) ( )

t

v t v i dC

) )# ! '0


12

Conexión Serie y Paralela de Elementos

CapacitivosCapacitivos

! Conexión Serie! LCK:

!

i

( ) ( )ki t i t k# *

1 tn n + ,!

!

1v

!

"

2v

!

1i

2i

2C

1C

v

!

C

i 1 1 0

1( ) ( ) (0) ( ') '

tn n

k k

k k k

v t v t v i t dtC# #

+ ,# # !- .

/ 01 1 '

1( ) (0) ( ') '

t

v t v i t dt# ! '!

! donde :

2v

"

i

2C v

"

C0

( ) (0) ( )v t v i t dtC

# ! '

!nv

!

"

ni

nC

(0) (0)n

kv v#11

1 1n

k kC C#

#1

1

(0) (0)k

k

v v#1


13

Conexión paralela de condensadoresConexión paralela de condensadores

! ! !1i 2i ni!

i

! i

1v

"

2v

"nv

"

2C1C nCv

"

v

"

C

LCK D d

(0) (0)kv v k# *

! LCK

!

! Donde

!

1 1

n n

k k

k k

dv dvi i C C

dt dt# #

# # #1 11

n

k

k

C C#

#11 1k k# # 1k

! Se supone que los condensadores tienen los mismos voltajes iniciales,

i i l LVK


14

sino se viola LVK.

EjemploEjemplo

! Para la red de la Figura 1, determinar el voltaje si la forma d d d l i á d d l Fi 2

( )cv t

de onda de la corriente está dada por la Figura 2.

( )

!

( )si t

10!

( )si t ( )Cv t

"2 35 FC #

2 3(0) 0Cv V#

[s]t1 2 3 4

2 3( )C

10"

1( ) ( )d

t

4 4'1

[10 ( ') 20 ( ' 1) 20 ( ' 2) 20 ( ' 3) ] 't

t t t t dt'0

1( ) ( )d

0

Cv t i t tC

t

4 4#

&

'0

[10 ( ') 20 ( ' 1) 20 ( ' 2) 20 ( ' 3) ] '5

u t u t u t u t dt# " " ! " " " !' %

2 ( ) 4 ( 1) 4 ( 2) 4 ( 3)r t r t r t r t# " " ! " " " !


15

2 ( ) 4 ( 1) 4 ( 2) 4 ( 3)r t r t r t r t# ! !%

EjemploEjemplo

! Notar que:

( )r t

( 2)r t "( 1)r t "

( ) 1 ( 1) 1

( 1) 1 ( 2) 2

r t r t t

r t r t t

# ! " &

" # ! " &( 2)r t( 3)r t " ( 2) 1 ( 3) 3r t r t t" # ! " &

! Luego:1 32 t

5

[V]cv2 ( ) 0 1

2(1 ( 1)) 1 2

( ) 2 ( 2) 2 3

r t t

r t t

v t r t t

6 657 " " 6 677

6 68 2( ) 2 ( 2) 2 3

2(1 ( 3)) 3 4Cv t r t t

r t t

# " 6 687 " " 6 6779 %

1 32 t4

2


16

79 %

Propiedad de continuidadPropiedad de continuidad

! Si la forma de onda ic(!) en un capacitor lineal e invariante está acotada en el intervalo cerrado [ta,tb], entonces la forma de onda del voltaje vc(!) es una función continua en l i l bi ( ) el intervalo abierto (ta,tb).

! En particular:

( ) ( )c c a bv T v T T t T t" !# * : :


17


! Dem: Ya que ic(•) es acotada en [ta,tb],

L

/ ( ) [ , ]c a bM i t M t t t; : * <

! Luego, 1( ) ( ) ( )

T dt

c c c

T

Mv T dt v T i d dt

C C) )

!

! " # 6'T

a b

a b

t T t

t T dt t

6 6

6 ! 6a b

0 cuando 0

( ) ( ) d 0

Mdt dt

C

d d

= =

( ) ( ) cuando 0 c cv T dt v T dt% ! = =

La forma de onda ( ) es continua en cv t t T> #


18

( )c


Cv

! No puede ocurrir un salto instantáneo en el voltaje

0!

del capacitor, salvo que la corriente sea !.

0!

0"

0 t

Debe cumplirse que vc(0-)=vc(0

+) si ic es finita

! La capacitancia se puede interpretar como la propiedad de un circuito eléctrico de oponerse al cambio de voltaje entre sus terminales.


19

EjemploEjemplo

( )i t

( )si t( )v t

!( )

C( )s

"(0) 0v #

1 1a) ( ) ( ) ( ) ( ') ' ( )

t

si t u t v t u t dt r tC C

# # #'0

1 1b) ( ) ( ) ( ) ( ') ' ( )

t

s

C C

i t t v t t dt u tC C

? ?# # #

'

'0

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sC C'


20

Circuito para generar impulso de corrienteCircuito para generar impulso de corriente

! Si la corriente por el ( )Ci t pcapacitor no está acotada entonces la propiedad de

( )t 1FC continuidad del voltaje no se cumple

( )sv t 1FC #

( )sv t( )Ci t

11

@

@ t @ t

( ) ( )C Cdv dvi t C p t# # #


21

( ) ( )Ci t C p tdt dt

@# # #

Circuito para generar impulso de corrienteCircuito para generar impulso de corriente

! Cuando 0@=

( ) ( )sv t u t# ( ) ( )Ci t t?#

1

1

tt

( )( )

( ) lim ( )

CC

C

dv du ti t

dt dt

i t p t

?

? @

# # #

# #0

( ) ( )C p@@=


22

Elementos inductivosElementos inductivos! Fenómeno físico: Una corriente por un conductor produce una fuerza

a distancia (campo magnético).a distancia (campo magnético).

I

B

! Líneas de flujo magnéticos son concéntricas y siguen regla de la mano derecha.

! Para reforzar el campo magnético producido se puede hacer un enrollado de muchas vueltas en la forma de una bobina.

! En una espira se refuerza el flujo concentrándolo en un área pequeña.

! Fuera del solenoide los campos se cancelan y

I

I

I

I

! Fuera del solenoide los campos se cancelan y dentro se refuerzan.Solenoide: Alambre largo enrollado en una hélice apretada y que lleva una corriente i


23

hélice apretada y que lleva una corriente i

EjemploEjemplo

! Toroide de material no ferro-magnético

! Suposiciones:a) El campo magnético fuera de ) p g

la bobina es despreciableb) Se desprecia también la

resistencia eléctrica asociada resistencia eléctrica asociada al alambre

c) Se desprecian también las id d á i

( )v t

!

"

( )i t

capacidades parásitas que se forman entre espiras contiguas (conductores

d l separados por esmalte o barniz aislante que actúa como dieléctrico)


24

)

ToroideToroide

! En estas condiciones:

! $=L·i

! $: Flujo magnético medido en Webersj g L: Parámetro inductancia se mide en Henry (H)

L= [H] [volt·seg/Amp.]2

0 N A [ ] [ g p ]

0:4 ·10-7 [Wb/A·m] constante de permeabilidad del vacío

0

l

0 [ ] p Si el material es ferro-magnético = (i) es no-lineal

N: Número de vueltas A: Área, sección transversal en [m2] l: Largo efectivo del solenoide [m]


25

g [ ]

Ley de FaradayLey de Faraday

Un campo magnético variable induce un voltaje:( )d t!( )

( )d t

v tdt

!"

Esto se puede deber a que la corriente que produce el campo cambia en el tiempo, a que se mueve un magneto con respecto a un conductor, o a que se mueve una bobina en presencia de un campo magnético.


26

Elementos Inductivos IdealesElementos Inductivos Ideales

Elemento de 2 terminales, en el que para cualquier tiempo t, su q p q pflujo !(t) y su corriente i(t) satisfacen una relación definida por una curva en el plano i-!.

!!

Simbología

( )i t

( )v t

#

i

g ( )v t

$

(t)=L i(t) (t)=L i(t)

L constante que se llama inductancia se mide en Henry [ ·seg]


27

Elementos inductivos lineales invariantesElementos inductivos lineales invariantes

Por la ley de Faraday se inducirá un voltaje:

( )d

v tdt

!"

Luego,

dt

( )di

v t Ldt

"

1( ) (0) ( )

t

dt

i t i v dL

% %" # & Las inductancias tienen “memoria”. El valor de i(t) depende del

valor inicial i(0) y de todos los valores de la forma de onda del

0L

( ) yvoltaje v(•) en [0,t].


28


Si ( ) [0, ]fv t M t t( ) * acotado

entonces la corriente i(t) en una inductancia lineal invariante es una función continua en el intervalo abierto (0,t).

La corriente en una inductancia no puede saltar instantáneamente de un valor a otro. si el voltaje es acotado.

“La inductancia se opone al cambio de la corriente”.


29

Conexión Serie y Paralela de Elementos

InductivosInductivos

Conexión Serie LCK:

ki i k" )

En t=0

LVK:

1v

#

$#

1i

2i

1L(0) (0)ki i k" )

LVK:

2v

$

i

2L

1 1

n n

k k

k k

div v L

dt

+ ," " - .

/ 01 1

nv

#

$

ni

nL

1 1k k dt" "/ 0

n

L L1 (0) (0)di

L i i

1, 2,...,kk k

div L k n

dt" " 1

eq k

k

L L"

2 "1 , (0) (0)eq kv L i idt

" "


30


1v

#

2v

#

v

#1i 2i ni

v

#

i

L L L v

# i

1v

$

2

$ nv

$

v

$ 1L 2LnL v

$ L

1 1 0

1(0) ( ') '

tn n

k k k

k k k

i i i v t dtL" "

3 4" " #5 6

7 81 1 &

LVK

0k k k7 8

v v k" )

Sea y

kv v k" )

1

(0) (0)n

k

k

i i"

"11

1 1n

k kL L"

"10

1( ) (0) ( ') '

t

i t i v t dtL

" # &


31

Potencia y energíaPotencia y energía

( )i t

( )v t

#

$

p(t)=v(t)·i(t) [W]

P i i á b bid l Potencia instantánea absorbida por el una-puerta (entregada por el generador)

2 2

1 2[ , ] ( ') ' ( ') ( ') 't t

t t

W t t p t dt v t i t dt" "& &

Energía entregada por el generador de t1 a t2.

1 1t t


32

PasividadPasividad

Un elemento resistivo se dice pasivo si su característica t)pestá en el primer y tercer cuadrantes, incluyendo los ejes i-v

Independiente de la forma de v

( ) 0p t t9 )

onda de la corriente por la resistencia.

N i l i Nunca entrega potencia al

mundo exterior

i

Activa: Si no es pasiva. Una resistencia lineal es activa si y sólo si R(t)<0 para algún t.


33

Elementos ResistivosElementos Resistivos

La energía que entra al elemento de 2 terminales durante [t1,t2] depende de la forma de onda completa de v(•) ó i(•) en el intervalo [t1,t2].

22 ( )

( ) ( )R

v tp t R i t

R !

2 2

1 1

2 21 2

1[ , ] ( ) ( )

t t

R

t t

W t t R i t dt v t dtR

" "

0 0 RR W t# $ # % La energía se disipaen forma de calor.


34

EjemploEjemplo

1i2i

2sin(2 )t& 2

18

2i t

( ) * *+ ,- .

22

2

2

314 4t

- .

/ /

( )i t 10 0[s]t1

41

2

3

4

1 [s]t1

4

1

23

4

1

22*3

42

11

4

1 3, 10 (2sin(2 ))

4 4W t dt&( ) + ,

- . "

2*3 24

21

4

1 3 1, 10 8

4 4 2W t dt

1 2( ) ( ) * *+ , + ,3 4- . - .5 6"

W1 W2 a pesar de que valores iniciales y finales son

4

10 [Joules] 4

6,67 [Joules]

W1 W2 a pesar de que valores iniciales y finales son iguales:

1 2

1 12Ai i

( ) ( ) + , + , 1 2

3 32Ai i

( ) ( ) *+ , + ,


35

1 2 2A4 4

i i+ , + ,- . - .

1 2 2A4 4

i i+ , + ,- . - .

Energía en Elementos CapacitivosEnergía en Elementos Capacitivos

Si , capacitor controlado por carga, invariante. ˆ( )v v q v

ˆ( )v v q

2 2

1 1

1 2 ˆ ˆ( , ) ( ) ( )t q

c

t q

dqW t t v q dt v q dq

dt " "

L í d l

1( )q t 2( )q t q

La energía entregada al capacitor entre t1 y t2 esindependiente de la forma de onda de v(•) e i(•)


36

Energía en capacitoresEnergía en capacitores

Para un capacitor lineal: ˆ( )q

v qC

pC

2

2 2 2 21 2 2 1 2 1

1 1( , ) [ ] [ ]

2 2

q

c

qW q q dq q q C v v

C C * ! *"

Visto de otra forma:

12 2

qC C

2 2 22

11 1 1

21 2

1( , )

2

t t vv

c vt t v

dvW t t v i dt v C dt C v dv C v

dt ! ! ! !" " "

a) Si q1=0 v1=01 1 1

$2 21 1

(0, ) ( ) ( )2 2cW t q t C v tC

!

Capacitor absorbe energía, se almacena en su campo eléctrico.

2 2C


37

Energía en capacitoresEnergía en capacitores

b) Si q1=Q=CV carga inicial, v1=V en t1q1 g 1 1

2 2 21 2 2 2

1 1( , ) [ ( ) ] [ ( ) ]

2 2cW t t q t Q C v t VC

* ! *

La energía absorbida por el capacitor será negativa si

1 2 2 22 2cC

La energía absorbida por el capacitor será negativa siq(t2)<Q ó v(t2)<V.

Si q(t2)=0=v(t2)

21( )W C V

La energía es devuelta al circuito!

21 2( , )

2cW t t C V * !$


38

Capacitor PasivoCapacitor Pasivo

Si la característica v-q pasa por el origen y está en el primer y l d L í l d i en el tercer cuadrante. La energía almacenada es no negativa

siempre ( C!0 caso lineal-invariante),( ) 0

fq

W v q dq '" Si un elemento es pasivo la transferencia neta de energía es !0.

Si v(t) y q(t) son periódicas de períodoT=t1-t2,

0

( ) 0cW v q dq '"

( ) y q( ) p p 1 2,q(t2)=q(t1+T)=q(t1) Wc(t1,t1)=0.

Bajo estimulación periódica la energía total que absorbe un it t l d b l i í d

$

capacitor controlado por carga sobre cualquier período es nula.

La potencia entregada al capacitor no se disipa, es un elemento p g p p ,sin pérdida.

La energía se acumula en el campo eléctrico durante un i i l d l l i it d t t it d


39

semiciclo y se devuelve al circuito durante otra mitad.

Energía en Elementos InductivosEnergía en Elementos Inductivos

Si i=î(8), inductor controlado por flujo, invariante.ii

ˆ( )i i 8 2 2

ˆ ˆt

d88

" "1 1

1 2( , ) ( ) ( )L

t

dW t t i dt i d

dt 8

88 8 8 " "

Para cualquier par de formas de onda [i(•),!(•)] si se

81( )t8 2( )t8

toman los mismos valores iniciales [i(t1),!(t1)] en t1 y finales [i(t2),!(t2)] en t2, se obtiene la misma energía W ( ) WL(t1,t2).


40

Energía en elementos inductivosEnergía en elementos inductivos

Para un inductor lineal: ˆ( )i qL

8

L

2

2 2 2 21 2 2 1 2 1

1 1( , ) [ ] [ ]

2 2LW d L i iL L

8 88 8 8 8 8 * ! *"

Visto de otra forma:

12 2L L8

"

2 2 22

11 1 1

21 2

1( , )

2

t t ii

L it t i

diW t t v i dt i L dt L i di L i

dt ! ! ! !" " "

a) Si 81=0 i1=01 1 1

$2 21 1

(0, ) ( ) ( )2 2LW t t L i t

L8 !

Inductor absorbe energía, se almacena en su campo magnético.


41

Energía en elementos inductivosEnergía en elementos inductivos

b) Si "1="=LI carga inicial, i1=I en t11 1 1

2 2 2 21 2 2 2

1 1( , ) [ ( ) ] [ ( ) ]

2 2LW t t t L i t IL8 *9 ! *

La energía absorbida en el inductor será negativa si 8( )< " ó i( )<I8(t2)< " ó i(t2)<I

Si "(t2)= 0= i(t2)

$2

1 2

1( )LW t t L I * !

La energía es devuelta al circuito!

$ 1 2( , )2LW t t L I


42

Inductor PasivoInductor Pasivo

Si la característica " - i pasa por el origen y está en el primer y en el t d t L í l d ti i tercer cuadrante. La energía almacenada es no negativa siempre

( L!0 caso lineal-invariante). ( ) 0

f

LW i d

8

8 8 '" Si un elemento es pasivo la transferencia neta de energía es !0.

Si i(t) y "(t) son periódicas de período T=t2-t1, "(t2)="(t1+T)= "(t1)

0"

Si i(t) y "(t) son periódicas de período T t2 t1, "(t2) "(t1 T) "(t1) Wc(t1,t2)=0.

Bajo estimulación periódica la energía total que absorbe un

$

inductor controlado por flujo sobre cualquier período es nula.

La potencia entregada al inductor no se disipa, es un elemento i é did sin pérdida.

La energía se acumula en el campo magnético durante un semiciclo y se devuelve al circuito durante la otra mitad


43

semiciclo y se devuelve al circuito durante la otra mitad.

Ci it d P i O dCircuitos de Primer Orden

! Circuitos compuestos por fuentes independientes ! Circuitos compuestos por fuentes independientes, elementos resistivos y un elemento capacitivo o inductivo.

! S N i it i ti li l i i t! Sea N un circuito resistivo lineal e invariante.

( )Li t

( )i t

( )

( )i t

( )Li t

( )Lv t

!

L( )v t

!

"

( )ci t

( )cv t

!

"

C( )v t

!

"

"

eqR

( )cav t C

eq

( )Ci t

( )Cv t

!

eqG L( )cci t

( )Li t

( )Lv t

( )ca

Eq. Thèvenin

C ( )Cv t

!eqcc

!


44

q

Eq. Norton

D fi i iDefiniciones

! Circuito Lineal: Cada elemento del circuito es lineal o una ! Circuito Lineal: Cada elemento del circuito es lineal o una fuente independiente.

! Circuito Invariante: Cada elemento es invariante o una fuente ! Circuito Invariante: Cada elemento es invariante o una fuente independiente.

! Respuesta: Conducta de una variable de circuito: voltaje de ! Respuesta: Conducta de una variable de circuito: voltaje de rama, corriente de rama, o una combinación lineal de estas.

! Entradas: Fuentes Independientes! Entradas: Fuentes Independientes.

! Entrada-Cero: Si no hay entradas la respuesta depende de las condiciones iniciales y de las características del circuitocondiciones iniciales y de las características del circuito.

! Estado-Cero: Si no hay condiciones iniciales la respuesta depende exclusivamente de las entradas y de las características depende exclusivamente de las entradas y de las características del circuito.


45

Respuesta de entrada-cero de un circuito de

i d li l i iprimer orden lineal e invariante.1k

(0) V

RC

2k

0V

( )i t

0v(0) V#

!

RC0V

!

a) El capacitor C se carga a potencial V0 (k1 cerrado, k2 abierto por largo tiempo).g p )

b) En t=0 se abre k1 y se cierra k2 simultáneamente.

! Debido a la carga inicial en el capacitor, circulará una corriente i(t) en la dirección indicada. La carga a través del capacitor disminuirá gradualmente y eventualmente se hará cero. La energía eléctrica almacenada en el capacitor se disipa como calor en la resistencia.


46

R t d t d (RENC)Respuesta de entrada-cero (RENC)

LVK ( ) ( ) >0! Analíticamente:1. LVK: vC(t)=vR(t) t>0

2 LCK: i (t)+i (t)=0 t>0

! Analíticamente:

Ri (t)Ci (t)

2. LCK: iC(t)+iR(t)=0 t>0

3. vR=R iR Ecuaciones C RCv (t)

Rv (t)

3. vR R iR

4. iC=C dvC/dt

Ecuaciones de ramas

C RC

!R

!

C C

Ecuación diferencial de primer orden,

C 0v (0)=V

! Luego :C CR

C R

dv vvC i idt R R

# # ! # ! # !lineal homogénea con coeficientes constantes

00 0 con (0)C Cc

dv vC t v Vdt R

# $ # (1)


47

dt R

RENCRENC

! La solución de la EDO (1) es una exponencial de la forma ( ) p! . Por sustitución directa en (1), se obtiene:

0 0 01

e e e 0s t s t s tk

Cks k Cs% & # #' (

0( )s t

cv t ke#

0 0e e e 0Cks k CsR R

# #' () *

10C E ó

0

10Cs

R # Ecuación

característica.

0

1s # !+

! K es una constante que se determina de la condición inicial: v (0) = k = V

0sRC

+

vc(0) = k = V0

! Luego: , -0( ) e 0

tRC

Cv t V t!

# $

! En un circuito de primer orden todas las demás formas de onda son exponenciales.

0( )C


48

onda son exponenciales.

C t t d TiConstante de Tiempo

! Se define: “Constante de Tiempo”: T=RC ! Se define: Constante de Tiempo : T=RC

! Dimensionalmente T R C# .

/ 0Volt Coulomb Coulombseg

CoulombAmp Voltseg

1 21 2 1 2 3 45 # #3 4 3 4 3 46 76 7 3 46 7

!

seg3 46 7

( ) e 0tTv t V t

!# $

1

0 0( ) e 0,368cv T V V!# #

V

! 0( ) e 0cv t V t# $ 2

0 0(2 ) e 0,135cv T V V!# #3

0 0(3 ) e 0,0498cv T V V!# #4(4 ) e 0 0183v T V V!# #Como sólo interesa la

0V

0 0(4 ) e 0,0183cv T V V# #Como sólo interesa la respuesta para t !0, se adopta la convención de

l t d

36,8%

0 0e Tangente cruza eje ent

c Tdv v v

t t T!

# # #

que la respuesta de entrada-cero es nula para t<0 . tT 3T2T 4T 5T

2%


49

00

e Tangente cruza eje en .tt

t t Tdt T T ##

# ! # ! #

R t d E t d C (RESC)Respuesta de Estado Cero (RESC)

0t #

RC

0t #

+

vsi (t)=I v

-

! t<0: La fuente de corriente produce una corriente v(0)=0

circulante en el corto-circuito

! t=0: Se abre el interruptor y la fuente de corriente queda ! t 0: Se abre el interruptor y la fuente de corriente queda

conectada al circuito RC

LVK l l l d l l! LVK: el voltaje v es el mismo para todos los elementos

! LCK: (2)1( ) 0, (0) 0

dvC v i t I t v # # $ #


50

( )( ) 0, (0) 0sC v i t I t vdt R

$

RESCRESC

! Razonamiento:! Razonamiento:

! En t=0+, v(0+)=0, ya que el voltaje en el capacitor no puede saltar abruptamente a menos que la corriente sea infinitamente saltar abruptamente a menos que la corriente sea infinitamente grande.

(0 )(0 ) 0Rvi

8

Inicialmente toda la ( )(0 ) 0R

RiR

8 # #

(0 )Ci I #

corriente de la fuente ingresa al capacitor.

! De (2)

( )C

dv I# Tasa de aumento

! De (2)

Al l i ! i /R !

0dt C del voltaje.

! Al pasar el tiempo v! e iR=v/R !


51

RESCRESC

! Largo tiempo después de haber abierto el interruptor el ! Largo tiempo después de haber abierto el interruptor el capacitor está completamente cargado y el voltaje es prácticamente constanteprácticamente constante.

0dv

v RIdt

9 + 9

! Toda la corriente de la fuente pasa por la resistencia y el capacitor se comporta como un circuito abiertocapacitor se comporta como un circuito abierto.

! Analíticamente, la EDO a resolver es:

0dv v

C I tdt R # $

(0) 0v #


52

RESCRESC

! La solución se descompone en: ! La solución se descompone en:

h pv v v# S l ió Solución Particular

Solución Homogénea

0

1 e

1

s t

hv k#

0

1con s

RC# !

pv RI#

( )v t

1

( ) 0t

RCt k RI t!

$RI

0 98RI

( )v t

1( ) e 0RCv t k RI t# $

1 1(0) 0v k RI k RI# # + # !0,63RI

I

C

0,98RI

1 1( )

1

( ) 1 e 0t

RCv t RI t!% &

8 # ! $' () * T RC 3T2T 4T 5T t


53

) * T RC# 3T2T 4T 5T t

RENC d i it RLRENC de circuito RL

LCK! LCK

! 0i i i i # + # ! !

! LVK

0L R R Li i i i # + #

Lv

Rv

! 0 0LL

diL R i tdt

. # $! !

LiRi

!

dt

0(0)Li I#0(0)Li I#

! La solución es de la forma:

( ) 0RtL

!!

! donde T=L/R es la Constante de Tiempo.

0( ) e 0LLi t I t# $


54

p

RESC d i it RLRESC de circuito RL

EDO! EDO

diLi

Rt=0

( )LL

diL R i Vu tdt

. #

(0) 0i

LV

(0) 0Li #

, -i 0 0

! La solución es de la forma: ( ) e 0RtL

L

Vi t k t

R

!# $

, -Li 0 0#

R

(0) e 0RtL

L

V Vi k k

R R

!# # + # !

! RESC

R R

( ) (1 e ) ( )RtL

L

Vi t u t

R

!# !


55

R

R t l t d i it RLRespuesta completa de circuito RL

EDO! EDO

di( )L

L

diL R i Vu tdt

. #

(0)i I0(0)Li I#

! La solución es de la forma: RENC+RESC

( ) (1 ) ( )R Rt tL L

Vi t I t

! !1 23 4

! En régimen permanente , la inductancia se

0( ) (1 ) ( )L LLi t I e e u t

R# !3 46 7

( )i t V R#! En régimen permanente , la inductancia se

comporta como un corto-circuito ante la continua

( )Li t V R#


56

R t l lóRespuesta al escalón

! Cuando la entrada de la red de primer orden es una ! Cuando la entrada de la red de primer orden es una fuente continua, la ecuación del circuito es de la forma

! (*)0

( )( ) ( ) x tdx t x tt t

dt : :; # $

donde:

dt : :

! Circuito RC

! Circuito RLe, ( ) , R

( )

c qx v x t V C

i t I G L

!# # # Circuito RL

D d l di ió i i i l (t ) t=t l ió (*) ti

e, ( ) ,L qx i x t I G L !# # #

Dada la condición inicial x(t0) en t=t0, la ecuación (*) tiene solución única


57


( )t t$ % 00

( )( ) ( ) ( ) ( ) exp

t tx t x t x t x t

! !

& && # &

La solución está determinada por 3 parámetros:

Condición inicial 0( )x t

Valor final o estado de equilibrio

Constante de tiempo

( )x t!

0( )

Constante de tiempo

El valor final se obtiene imponiendo dx/dt=0.

Para el circuito RC C es circuito abierto

dv Para el circuito RC, , C es circuito abierto( ) 0c

c

dvi t C

dt# #

di Para el circuito RL, , L es corto-circuito( ) 0L

L

div t L

dt# #


58

Ej l i t tEjemplo con interruptores

Si el interruptor ha estado cerrado por un tiempo suficientemente p p plargo y se abre en t=0, encontrar vc(t), t 0

0t #

R CAv

' 1R

2R CA

&

( ) 0cdvi t C(( )v t cte#a) Interruptor cerrado,

Capacitor se comporta como un circuito abierto, se dice que bloquea la continua

( ) 0cCi t C

dt!( # #( )Cv t cte! #

bloquea la continua

' R '2( )C A

Rv t v

R R! #

2RAv

' 1R

Cv

'

&

1 2

( )C AR R

! '

Por divisor de voltaje


59

& de voltaje

Ej l ( ti ió )Ejemplo (continuación)

b) Interruptor abierto la constante de tiempo es T=R2Cb) Interruptor abierto, la constante de tiempo es T R2C

La condición inicial de la parte b) es la condición de final d ilib i d l t ) Ro de equilibrio de la parte a) 2

1 2

(0)C A

Rv v

R R#

'

RENC:2R C

22( ) e 0tR C

C A

Rv t v t

R R

&# )

'

C:

(0)Cv1 2R R'


60

R C l Ci i Li lRespuesta Completa para Circuitos Lineales

Respuesta Completa = Respuesta de Entrada Respuesta Completa = Respuesta de Entrada Cero + Respuesta de Estado Cero

E t lt d f d t l d l t í d i it Este es un resultado fundamental de la teoría de circuitos lineales y de la teoría de sistemas lineales.

k

BA

El switch k 1

GR

#C v

'( )si t

El switch k pasa de A a Ben t=0

0(0)v V#

&

0( )


61

R t C l tRespuesta Completa

La EDO del circuito es La EDO del circuito es

( ) 0s

dvC Gv i t t' # ) (1)( ) 0sC Gv i t tdt

0(0)v V#

( )

(2)

RENC: vi por definición es la solución de:dv (3)0 0i

i

dvC Gv tdt

' # )

0(0)iv v#

(3)

(4)

RESC: v0 por definición es la solución de:

( ) 0odvC G i t t ) (5)( ) 0oo sC Gv i t t

dt' # )

(0) 0ov #

(5)

(6)


62

R t C l tRespuesta Completa

Sumando (3) con (5) y (4) con (6) se obtiene Sumando (3) con (5), y (4) con (6) se obtiene

( )( ) ( ) 0o id v v

C G i t t'

' ' )

0(0) (0)o iv v V' #

( )( ) ( ) 0o io i sC G v v i t t

dt' ' # )

La forma de onda vi(•)+v0(•) satisface las ecuaciones (1) y (2) Y l l ió d (1) (2) ú i ti l (2). Ya que la solución de (1) y (2) es única se tiene que la respuesta completa es:

( ) ( ) ( ) 0o iv t v t v t t# ' )

Si ( ) ( )i t I u t# "1 1

0( ) e 1 e 0t t

RC RCv t V RI t& &+ ,

# ' & )- ./ 0

Si ( ) ( )si t I u t

RESC


63

/ 0RENC RESC

Ré i T it i P tRégimen Transitorio y Permanente

Reordenando términos se obtiene: Reordenando términos se obtiene:

1t

1 2 0( ) e 0t

RCv t v RI RI t&

# & ' )

Régimen Transitorio: Transitorio Permanente

Régimen Transitorio: Es despreciable para t grande. Físicamente el transitorio es resultado

de las condiciones iniciales y de la aplicación súbita de una entrada.

Régimen Permanente: Términos dominantes para t grande. El régimen permanente es

resultado de la entrada solamente (no depende de las condiciones resultado de la entrada solamente (no depende de las condiciones iniciales) y tiene generalmente una forma de onda relacionada a la de la entrada.


64

Ré i t it i tRégimen transitorio y permanente

RI

0vv

Transitorio Permanente

RIov

v

Entrada Régimen Permanente

Constante Constante

NOTA:

ivConstante Sinusoide !

Constante Sinusoide !

NOTA:

En determinadas condiciones podrían no existir los regímenes t it i t P j l i l i t i R<0 transitorio y permanente. Por ejemplo si la resistencia R<0 y C>0 entonces el exponente de la exponencial es positivo, y este término crece con el tiempo en vez de decaer Se dice que este término crece con el tiempo, en vez de decaer. Se dice que el circuito es inestable en ese caso.


65

R t l E lóRespuesta al Escalón

Una definición alternativa a los interruptores es aplicar un Una definición alternativa a los interruptores es aplicar un escalón de entrada que comienza en t=0.

k

( ) ( )i t I u t# "

RC v

'

&I ( )I u t" C Rv

'

&

( ) ( )si t I u t# "

I& &

tFuente de corriente Fuente de corriente

permanente conectada aplicada en t=0 permanente conectada al circuito (sin switch)

Respuesta al escalón s(•) de un circuito: Respuesta al escalón s( ) de un circuito:

Se define como la respuesta de estado-cero a una entrada escalón unitario u(•).escalón unitario u( ).

s(t)=0 t<0 por convención.


66


P l i i RC i Para el circuito RC anterior:

+ , j1 21

( ) 1 e ( )t

RCs t R u t&+ ,# &- .

/ 0

jo :

1

o

I #

Para indicar que la respuesta es válida respuesta es válida

para t"0


67

Li lid d I i iLinealidad e Invariancia Para cualquier circuito lineal (elementos lineales invariantes o q (

variantes en el tiempo), excitado con una única fuente independiente, se tiene que: La respuesta de estado cero es una función lineal de la entrada La respuesta de estado cero es una función lineal de la entrada.

Lo anterior por unicidad de la solución de la EDO y linealidad.

La respuesta completa en cambio, en general, no es una función p p glineal de la entrada (por efecto de las condiciones iniciales).

Se define: Se define: Operador respuesta de estado-cero Zt0

(is)

Forma de onda de la respuesta de estado C d respuesta de estado

cero (RESC)Circuito en estado cero en t=t0 y se

aplica entrada en ese


68

instante

O d RESCOperador RESC Para el ejemplo del circuito RC sea:

v0"Z0(i0) Respuesta de estado cero a entrada i0 aplicada en t=0, por convención es 0 para t<0.

v es la solución de: v0 es la solución de:

( ) 0CC o

dvC Gv i t tdt

! "

Operador lineal cumple las siguientes propiedades ( a esto nos referimos

(0) 0cv !

cuando decimos de que la RESC es función lineal de la entrada)

i ( ) i ( ) d fi id i l < 1) i1(•), i2(•) definidos para t t0 e iguales a cero para t<t0:

Zt0(i1+i2)=Zt0

(i1)+Zt0(i2) Aditividad

#

# 2) Zt0( i)= Zt0

(i) Homogeneidad$# %


69

O d d D l i t !Operador de Desplazamiento !&

Sea f(•) cualquier forma de onda definida t# Sea f( ) cualquier forma de onda definida t#

( )f t( )f t &'( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t t&+ # ( )f( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t t& &&+ ! ' ! #

El operador desplazamiento es lineal:

t&

p p

Aditividad

Homogeneidad

( )f g f g& & &+ ! + +

( )f f$ $+ ! + Homogeneidad( )f f& &$ $+ ! +


70

P i d d d i i i l tiPropiedad de invariancia en el tiempo

( ) , -0 0 0 0 0 , 0T Z i Z T i i& & &! # ". /0 1

Los operadores de respuesta de estado-cero y 0Zp p y

desplazamiento conmutan para circuitos lineales-invariantes

&+0

Esta propiedad es válida para cualquier sistema lineal-invarianteinvariante


71

Ej lEjemploLa respuesta de estado cero vo de un circuito RC lineal

óinvariante a un escalón unitario de corriente es:

( ) 2(1 ) ( )tt t'

( ) ( )i t u t! ( ) [ ( )]o ov t Z u t!

0 ( ) 2(1 ) ( )tv t e u t! '

1

( ) ( )oi t u t!2

E l d d

1

tt

i

Encuentre la respuesta de estado-cero v

ante una corriente con la forma de onda

t

1 32 4

1

2

5t

i(•) siguiente: 1 32 4

1'5


72

S l ióSolución

La forma de onda de la corriente se puede expresar

( ) ( ) 3 ( 3) 2 ( 4)i t u t u t u t! ' ' ' '

p pcomo suma de escalones desplazados

3 4( ) ( ) 3 ( ) 2 ( )i t u t u t u t! ' + ' +

0 ( )v Z i!P li lid d d l

0 3 4

0 0 3 0 4

[ ( ) 3 ( ) 2 ( )]

[ ( )] 3 [ ( )] 2 [ ( )]

Z u t u t u t

Z u t Z u t Z u t

! ' + ' +

! ' + ' +

Por linealidad del operador Z0

v

0 0 3 0 4

0 3 0 4 0

[ ( )] 3 [ ( )] 2 [ ( )]

[ ( )] 3 [ ( )] 2 [ ( )]

( ) 3 ( 3) 2 ( 4)

Z u t Z u t Z u t

Z u t Z u t Z u t

t t t

+ +

! ' + ' +

Propiedad de Invariancia

4

6( 3)

( ) 3 ( 3) 2 ( 4)

2 ( )(1 e ) 6 ( 3)(1 e )

o o o

t t

v t v t v t

u t u t' ' '

! ' ' ' '

! ' ' ' '

1 32 4

2

2'5 t

( 4)4 ( 4)(1 e )tu t ' '' ' '


73

4'

R t l i lRespuesta al impulso

! Sea h(t) respuesta en el tiempo t de un circuito dado que: Sea h(t) respuesta en el tiempo t de un circuito dado que:

a) Su entrada es un impulso unitario (t).

b) E tá t d j t t d l li ió d l i lb) Está en estado-cero justo antes de la aplicación del impulso.

h(t)=v(t) es la solución a:

RC v

( )si t!"

( ), (0 ) 0dv

C Gv t vdt

! # " "

Debido a la presencia del impulso debe distinguirse

RC

#

( )s

impulso debe distinguirse entre 0- y 0+.


74


Metodo 1: Metodo 1:

Para circuitos lineales invariantes se tiene que:t

d( ) ( ) ( ') '

tds

h t ó s t h t dtdt #$

" " % s(t): respuesta al escalón

Demostración: Demostración:

( )oh Z p& &'

0 0

1( ) 0

t

p t t&

()*

" ( ( &+ &*

( ) 1p t dt&

& "%

h : es la respuesta de estado cero del circuito RC al pulso p

.

( )o p& &

0 t

&*

, &-0

%

p p p


75

R t l i lRespuesta al impulso1 1 1

[ ( ) ( )]t t .#

/

[ ( ) ( )]p u t u t u u.& &" # # " /& & &

1 1 1 1( ) ( ) ( )Z p Z u u Z u Z u

# #0 1" / " /2 3

0 0 0 0( ) ( ) ( )Z p Z u u Z u Z u& & &" / " /2 3& & & &4 5

0 0 0

1 1( ) ( ) ( )Z p Z u Z u& &

#" / Propiedad de

I i i

respuesta al escalón

0 0 0( ) ( ) ( )p& && & Invariancia

0( ) ( ( ))s t Z u t"

0

1 1( )h Z p s s& & &" # /

& &

( ) ( )( )

s t s th t t&

# # &" 6

&ds

0lim ( ) ( )

dsh t h t

dt&&7

" "


76

R t l i l i it RCRespuesta al impulso circuito RC

Para el circuito RC paralelo sabemos que la respuesta al Para el circuito RC paralelo sabemos que la respuesta al escalón es:

9 :1

( ) ( ) 1t

RCR#0 1

2 39 :

( ) ( ) 1 e RCs t u t R 0 1" #2 34 5

0

Luego

9 : 9 :1 11t tRC RC

ds # #0 12 3

9 : 9 :1( ) ( ) 1 e e ( )

t tRC RC

dsh t t R u t

dt C! 0 1" " # 2 3

4 5

0 en t=0"(t)=0 t#09 :11

( ) e ( )t

RCh t u t#

" 9 :( ) e ( )h t u t

C"


77

Mét d 2 R t l I lMétodo 2, Respuesta al Impulso

Solución directa de la ecuación diferencial Solución directa de la ecuación diferencial

9 :( ) con (0 ) 0dv

C Gv t v! # ;

D d (t) 0 t>0 l t l i l h(t)

9 :( ) con (0 ) 0C Gv t vdt

! " " ;

Dado que (t)=0 para t>0, la respuesta al impulso h(t)para t>0 se puede calcular como una respuesta de

d di i i i i l 0+ entrada cero con condiciones iniciales en t=0+.

( ) (0 ) e 0tRCy t y t

# " ,

( ) 0 0y t t" (

( ) ( ) (0 ) e (1)tRCy t u t y t

# < " 6

Solo falta por calcular y(0+)

( ) ( ) ( ) ( )y y


78

R t l I lRespuesta al Impulso

La derivada de (1) es: La derivada de (1) es:

1( ) (0 )e ( ) (0 ) e

t tRC RC

dyt y u t y

dt RC!

# # #0 1" 2 34 5

1 ( ) (0 ) ( ) (0 ) e (2)

tRC

dt RC

t y u t y!#

2 34 5

#0 1" 2 34 5

Sustituyendo (1) y (2) en (*) y balanceando la ecuación

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y yRC

2 34 5

Sustituyendo (1) y (2) en (*) y balanceando la ecuación diferencial se obtiene:

( ) (0 ) ( ) (0 ) ( ) (0 ) ( )t tRC RCt C t G G t t! !

# # ( ) (0 ) ( ) (0 ) e ( ) (0 )e ( )RC RCt Cy u t y G Gu t y t! ! # "1

(0 )y = "( )yC

1( ) e ( )

tRCh t u t

C

#< "


79

C

At j t (0+)Atajo para encontrar v(0+)

La solución de la EDO La solución de la EDO

idé ti l l ió d

( ) con (0 ) 0 para 0 (3)dv

C Gv t v tdt

! # " " ,

es idéntica a la solución de1

0 con (0 ) para 0dv

C Gv v tdt C

" " ,

Se puede integrar a ambos lados de (3) entre t=0- y t=0+dt C

0 0 0

( ) 1dv

C dt G vdt t dt!

" "% % %

El segundo término es 0 ya que v(t) es finito. Si no fuera así "0 0 0

0

( ) 1C dt G vdt t dtdt

!# # #

" "% % %

g y q ( )v(t)= (t) y , la EDO contendría un doblete que no se podría balancear.

( ) ( ) 1(0 ) (0 ) 1Cv Cv ## " 1

(0 )vC

< "Es 0, por definición la

respuesta al impulso es una


80

respuesta de estado cero

Ej l Ci it RL S iEjemplo: Circuito RL Serie

LVK Circuito RL Serie LVK

Circuito RL SerieL

i

( ), (0 ) 0di

L Ri t id

!" # #

Aplicando se tiene:R( )sv t #

( ), ( )dt

+0

( )$%p

-0

%+

-

0

+

0

(0 ) (0 ) ( ) 1Li Li R i t dt!! " #%0 por i(t) finita

Para t>0

+ 1(0 )i

L& #

( )h t

1

L

( )h t

1 t

10, (0 )

diL Ri idt L

"" # #L 1

( ) ( ) etTh t u t

L

!#

' (1( ) e ( )

R tL

dt

h t u tL

!#


81

t

R t l ló d i it RLRespuesta al escalón de circuito RL

Y la respuesta al escalón es Y la respuesta al escalón es

' ( ' (' '1 1( ) e ( ') ' e ' ( )

t tR Rt tL Ls t u t dt dt u t

L L

! !) *# # + ,

- .% %

' (

0

1( ) 1 e ( )

R tL

L L

Ls t u t

!/

!

+ ,- .

) *0 10 12 32 3+ ,

% %

' (

' (

( ) 1 e ( )

1

L

R t

s t u tL R

!

0 1# !2 32 3+ ,4 54 5- .

0 1' (1( ) 1 e ( )

R tLs t u t

R

!0 1# !2 34 5


82

R t l ló i it RL iRespuesta al escalón circuito RL serie

1

R

( )s t1L

L1

0,63R

L

R( )u t

T 4T3T2T t

di

En t=0+ i(0+)= i(0-) ya que v es finito

' (( ), 0 0di

L Ri u t idt

!" # #

En t=0+, i(0 )= i(0 ), ya que vL es finito

' ( ' ( 10 0, 0 1R L

di div v L

dt dt L

" "6 # # # 6 #

Inicialmente todo el voltaje de la fuente aparece en la inductancia.

0 0t tdt dt L" "# #


83

R t l ló i it RLRespuesta al escalón circuito RL

Después de largo tiempo la corriente es Después de largo tiempo la corriente es aproximadamente constante

di di0 0L

di div L

dt dt7 6 # 7

Y todo el voltaje de la fuente cae en la resistencia

1' ( 1i

R/ #

La inductancia se comporta como un corto circuito en régimen permanente para un escalón de entrada


84

Ejemplo: Circuito que contiene impulsos en

l ló su respuesta al escalón

LVKL LVKL

Ri v

" ' (, 0 0ss L

div Ri L i

dt

!# " #R

si v

!

dt

Respuesta al escalón

is(t)=u(t)

Respuesta al impulso

is(t)=!(t)s( ) ( )

s(t)=v(t)=Ru(t)+L!(t)s( ) ( )

s(t)=v(t)=R !(t)+L!’(t)v v

( )Ru tLR NOTA: La respuesta al

impulso puede contener impulsos y derivadas de

t t

L

impulsos y derivadas de impulsos.


85

t t

R t l ló l i lRespuestas al escalón y al impulso


86

Respuestas al escalón y al impulso (2)Respuestas al escalón y al impulso (2)


87

Elementos variantes en el tiempoElementos variantes en el tiempo

Elemento Capacitivo Lineal Elemento Inductivo Lineal Elemento Capacitivo Lineal Variante

Elemento Inductivo Lineal Variante

( ) ( ) ( )q t C t v t# ( ) ( ) ( )t L t i t8 # ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

q t C t v t

dq dv dCi t C t v t

dt dt dt

#

# # "

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t L t i t

d di dLv t L t i t

dt dt dt

88

#

# # "

8 tq

1t

3t 8

1t

3t

t2t 2t

Ejemplo: condensador de placas paralelas: una fija y otra móvil. Se puede cambiar el á ú t l l di t i

Ejemplo: El número de vueltas puede cambiarse deslizando un contacto

di t t

v i

área común entre las placas o su distancia en forma manual o mecánica.

mediante un motor


88

Condiciones iniciales como fuentesCondiciones iniciales como fuentes

1 Equivalente a Capacitor 2 Equivalente a Inductor con 1. Equivalente a Capacitor Cargado Inicialmente

2. Equivalente a Inductor con Flujo Inicial

( )i t ( )i t ( )i t ( )i t

"

( )i t

C"

( )i t

(0) 0Cv

"

#"

( )i t

"

( )i t

(0) 0iC( )v t

!

C( )v t

!

(0) 0Cv

!

' (0E=v u t

"L( )v t

!

( )v t

!

L

' (0I u t

(0) 0Li #

0v(0)=V!

1t

1( ) (0) ( ') '

t

Li t i v t dt# " %

0(0)i I#

!0

0

1( ) (0) ( ') '

t

C

V

v t v i t dtC

# " %0

1( ) (0) ( ') '

t

Cv t v i t dt V# " "%

!0

0

( ) (0) ( )L

I

i t i v t dtL

" %

0

1( ) (0) ( ') '

t

Li t i v t dt IL

# " "%! 0

00

( ) ( ) ( )CC % ! 0

00

LL %


89

Equivalentes de Thévenin-NortonEquivalentes de Thévenin Norton

1. Capacitor 2. Inductancia

( )i t ( )i t

( )

"

( )i t

"

( )i t

( )v t

"

( )i t

"

( )i t

LC( )v t

!( )sv t

( )v t

!

C

( )si t

( )v t

!( )sv t

( )v t

! ( )si t

L L

(0) 0 Li #(0) 0 Li #

(0) 0 (Sino se pasa a fuenteCv #di

de voltaje en serie)

1( ) ( ') '

t

s sv t i t dtC

# %

( )

1( ) ( ') '

ss

t

div t L

dt

i t v t dt

#

# %0

( )

Si ( ) ( ) ( ) ( )

ss

C

dvi t C

dt

i C

#0

( ) ( )

1Si ( ) ( ) ( ) ( )

s s

s s

i t v t dtL

v t t i t u tL

# 6 #

%


90

Si ( ) ( ) ( ) ( )s sv t u t i t C t # 6 # $L

Ci it d S d O dCircuitos de Segundo Orden

Circuito RLC paralelo lineal-invariante Circuito RLC paralelo lineal-invariante.

Respuesta de entrada ceroCi Li Ri

Ecuaciones de Rama

C L R( )v t

"

( )v t

"

( )v t

"

C L Ri

' (1Ri i G C L R( )Cv t

!

( )Lv t

!

( )Rv t

!' (, 1R R R Rv R i i Gv# #

' (0 0

1( ) (0) ; ( ) ( ') ' 2

t

LL L L L

div t L i I i t I v t dt# # # " %

0 0(0) V , (0) IC Lv i# #

' (0 0

0

( ) , (0) ; ( ) ( ) 2L L L Lv t L i I i t I v t dtdt L

" %

' (0 0

1( ) ( ') ' ; ( ) , (0) 3

t

CC C C C

dvv t V i t dt i t C v V

C dt# " # #%

LVK

0C dt

' (4C R Lv v v# #

LCK ' (0 5C R Li i i" " #


91

RENC i it RLCRENC circuito RLC

L i bl á i l i Las variables más convenientes a resolver son vC o iL

De (4) y (5) 0LL L

dvC Gv i" " # De (4) y (5)

Usando (2)

0L LC Gv idt

" "

' (2

20 6L L

L

d i diLC GL i" " # ' (2

00

0 6

(0)(0)(0) , (0)

L

CL LL

LC GL idt dt

v Vdi vi I

" "

# # # #

Reescribiendo (6) por

0( ) , ( )Ldt L L L

1 Reescribiendo (6) por

LC

22L Ld i di EDO lineal homogénea 2

022 0L L

L

d i dii

dt dt: ;" " #

EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes


92

Ci it d d d RLC l lCircuito de segundo orden RLC paralelo

D d Donde:

Constante de amortiguamiento2

G

C: " g

Frecuencia de resonancia !0=2"f0 , f0 en [Hz]

2C

!0

1rad seg

LC"

Estos 2 parámetros caracterizan la conducta del circuito RLC.

El polinomio característico para esta ecuación diferencial es: El polinomio característico para esta ecuación diferencial es:

2 2

02s s# "$ $ La raíces del polinomio característico son las frecuencias

naturales del circuito:

2 2

1,2 0s # # "%& ' &


93

RENC i it d d dRENC circuito de segundo orden

La forma de la respuesta de entrada cero depende de los La forma de la respuesta de entrada cero depende de los valores relativos de y !0.

H 4 Hay 4 casos:

1. Sobre Amortiguado ( >!0)

S1,2 reales negativas iL(t)=k1es1t+k2e

s2t

k1 y k2 reales dependen de la condición inicialIm(s)

iLPlano de la f i k1

k1+k2

frecuencia compleja S

120 Re(s) tk2


94

2 C íti t ti d ( )2. Críticamente amortiguado (#="0)

S1,2=- = -!0 son iguales y reales

i (t)=(k+k’t)e - t iL(t)=(k+k t)e t

k y k’ constantes que dependen de las condiciones i i i liniciales.

iL

k

t1 k-

k'

( )* +, -


95

3 I f ti d ( )3. Infra-amortiguado (#<"0)

s = +j! s = j! son complejos conjugados s =s *s1=- +j!d , s2=- -j!d son complejos conjugados s1=s2*donde !d

2=!02 - 2

La respuesta es de la forma: iL(t)=k1es1t+k2es2t

Sea , real implica que:j k1

1k= k e , ( )Li t! -j k1

2 1 1k =k k e. % !Sea , ea p ca que:1k k e , ( )Li t 2 1 1k k k e

/ 0 / 0d 1 d 1

d d

j ! t+ k -j ! t+ k

j! t -j! t- t * - t - t

L 1 1 1

e +ei (t)=k e e +k e e =2 k e

1 23 4

! !

/ 0

L 1 1 1

- t

i (t) k e e +k e e 2 k e2

i (t)=ke cos ! t+"

3 45 6

/ 0L di (t)=ke cos ! t+"

donde constantes reales que dependen k=2 "= kk !donde constantes reales que dependen de las condiciones iniciales.

1 1k=2 ,"= kk !


96

C I f ti dCaso Infra-amortiguado

- tke #

k

k cos 8

Envolvente

- t-ke #

d

2$Periodo

!


97

4 C i é did ( 0)4. Caso sin pérdidas (#=0)G

= =0 G=0# 9

s1=j!o , s2=-j!o Frecuencias naturales imaginarias puras

0 G 02C

# 9

/ 0 / 00 1 0 1

0 0

j ! t+ k -j ! t+ k

j! t -j! t

L 1 1 1

e +ei (t)=k e +k e =2 k

2

.1 23 45 6

! !

/ 0L 0 1 1

2

i (t)=k cos ! t+" , 2 ,k k k85 6

% %!/ 0L

k cos 8

2$

!


98

0!

C i é didCaso sin pérdidas

/ 0 di

L í t t l l d l i it LC

/ 00 0 0( ) cos ( ) ( ) ( ) ( )LL c L

dii t k t v t v t L Lk sen t

dt" 8 " " 8% $ 9 % % % & $

La energía total almacenada en el circuito LC es,2 21 1

2 2( ) ( ) ( )LC L CW t Li t Cv t !

2 2

2 2 2 21 10 0 02 2

( ) ( ) ( )

cos ( ) ( ) ( )

LC L C

Lk t C Lk sen t" # " " # ! ! !

$ %

donde se ha utilizado la igualdad

2 2 2 21 10 02 2

cos ( ) ( )Lk t sen t Lk t" # " #$ % ! ! ! &' (

1 LC donde se ha utilizado la igualdad La energía total se mantiene constante, se

fi L C i é did

0 1 LC"

transfiere entre L y C sin pérdidas. La constante k depende de las cond. iniciales


99

p

Ci it d S d O d (RLC)Circuitos de Segundo Orden (RLC)

Los parámetros se determinan de las condiciones iniciales Los parámetros se determinan de las condiciones iniciales

1. Sobre amortiguado

1 2 1 2

1 2 1 1 2 2

( )( ) e e e es t s t s t s tL

L

di ti t k k k s k s

dt ! !

01 2 0 1 1 2 2

(0)(0) = L

L

dt

Vdii k k I k s k s

dt L ! !0

0 01 2 0 2 1 0

1 1

dt L

V Vk s I k s I

) * ) *+ , ,- . - ./ 0 / 0

1 2 0 2 1 0

1 2 2 1s s L s s L- . - ., ,/ 0 / 0


100

D t i ió d á tDeterminación de parámetros

2. Críticamente Amortiguado2. Críticamente Amortiguado

2 3 2 3( ) ' e ' e 'et t tLL

dii t k k t k k t k

dt

4 4 44, , , ! , ! !

3 I f ti d

0 00 0

(0)(0) , ' 'L

L

V Vdii k I k k k I

dt L L4 4 , ! 5 !

3. Infra-amortiguado

2 3 2 3( ) e cos e cost tLL d d

dii t k t k t

dt

4 4" # 4 " #, , ! , !

2 30

e sin

(0)(0) cos

t

d d

L

k t

Vdii k I

4 " " #

#

,, !

0

0 0

(0) cos

tan

Li k Idt L

I Vk

I L

#

4#

#

) * 5 , !- .

/ 00

1 0

cos

tan

d d I L

V

I L

# " "

4# ,

- ./ 0

) * , !- .

/ 0Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos

Eléctricos101

0d d I L" "- ./ 0

D t i ió d á tDeterminación de parámetros

4. Sin Pérdidas4. Sin Pérdidas

2 3 2 30 0 0

( )( ) cos sinL

di ti t k t k t

d" # " " # ! , !2 3 2 30 0 0

00 0

( )

(0)(0) cos sin

L

L

dt

Vdii I k k

dt L# " # , 0 0

10 0tan

Ldt L

I Vk #

#, ) *

, - .0 0cos LI# "- .

/ 0


102

RENC i it d dRENC circuito segundo orden


103

RENC i it d d dRENC circuito de segundo orden


104

R t l ló d i it RLCRespuesta al escalón de circuito RLC

! ! !

Ci Li Ri

( ) ( )si t u t 2

2( )L L

L

d i diLC LG i u t

dt dt! !

C L R( )Cv t

,

( )Lv t

,

( )Rv t

,

(0)(0) 0, 0LL

dii

dt

Solución particular Solución particular

ip(t)=1 para t>0

Solución general es de la forma:

iL(t)=k1es1t+k2e

s2t+1 Si las frecuencias naturales son distintas

iL(t)=(k+k’t)e-!t+1 Si las frecuencias naturales son iguales


105

R t l E ló Respuesta al Escalón

Para el caso de frecuencias naturales distintas

1 2

2 1

(0) 1 0

(0)

Li k ks s

k kdi

! ! 6,7

8 2 11 2

1 2 1 21 1 2 2

,(0)0L

k kdis s s sk s k s

dt

8, , ! 79

I ( ) La respuesta al escalón es:

2 3 2 31( ) 1 ( ) 1s t s t

$ %: ;: ;

Im( )s

1sdj"

<"=77

E l i f i d

2 3 2 31 2

2 1

1 2

(*)

1( ) e e 1 ( ) 1s t s ts t s s u t

s s , !: ;

,: ;: ;' (!"""#"""$

Re( )s04,

<0"77>777?

1 2 2 ds s j",

En el caso infra-amortiguado2s dj",

cos d"<

7?

2 3

2 3

21 0 e

j

ds j@<

4 " "!

, !

0

0

(2)

sin

< "

4< "

2 322 0

2 2 1

e

Donde tan

j

ds j

s s

@<4 " "

4" 4 " <

, !

,

, ,

) *! - .


106

0 1 2Donde tand

d

s s" 4 " <"

! - ./ 0

R t l E lóRespuesta al Escalón

El término (*) de (1) se puede escribir como: El término ( ) de (1) se puede escribir como:2 3 2 32 2

0

1e e e

2

d dj t j tt

dj

@ @" < " <4""

, , , , ,, ) *,- ./ 0

2 30 e 2 sin22

d

t

d

d

j

j tj

4" @" <"

,

/ 0

, ,

2 30( ) e cos 1 ( )

d

t

d

j

s t t u t4"" <

",$ %,

+ , !: ;' (d"' (

Li 01 e Envolvente (cuando cos 1)t

d

4"<

",! A

"

1

01 e t

d

4""

,,

t


107

Infra-amortiguado

A áli i d t l lóAnálisis de respuesta al escalón En el caso sobre amortiguado (raíces reales y distintas), la respuesta tiende

ó 1asintóticamente a 1Li

1

En t=0+ el voltaje en el capacitor y la corriente en la inductancia no cambian

tSobre-amortiguado

j p yinstantáneamente.

(0 ) 0Li! 6

7( )

(0 ) 1(0 )(0 ) 0 (0 )

L

ccL R

ivv i

R

!

! !

75 8!

5 79

Toda la corriente inicial va al capacitor. En t=0+ el capacitor actúa como un cortocircuito.


108

A áli i d t l lóAnálisis de respuesta al escalón

A medida que pasa el tiempo aumenta v y la corriente A medida que pasa el tiempo, aumenta vc y la corriente fluye por iR e iL. Después de un tiempo suficientemente grande el circuito alcanza el régimen permanentegrande el circuito alcanza el régimen permanente.

2

0 0 ( ) 1L Ldi d ii i t 5

Toda la corriente de la fuente se va por la inductancia

20, 0 ( ) 1L si i t

dt dt 5

Toda la corriente de la fuente se va por la inductancia.

0; 0, 0L C R R Cv v v i i En la inductancia actúa como un corto-circuito a una

fuente de corriente constante.t B


109

R l I l (Ci i 2d d )Respuesta al Impulso (Circuito 2do orden)

2d i di

2 32

( )

3(0 )

L LL

d i diLC LG i t

dt dt

di

C

,

! !

Método 1

(0 )(0 ) 0, 0LL

dii

dt

,

para circuitos lineales invariantes( )ds

h tdt

"$ %, 2 30( ) e cos 1 ( )t

d

d

s t t u t4"" <

",$ %,

, !: ;' (

$ %: ;

2 3 2 30 0

0 de (2)

( ) ( ) cos 1 ( ) cos sin e t

d d d

d d

dsh t t u t t t

dt

4" "C < 4 " < " " <

" ",

: ; ) *, , ! ! , , , ,$ %: ; - .' (

: ; / 0: ;' (!""#""$

2 3 2 3

0 de (2)

2 20

2 2 2 2( ) ( ) e cos sint d

d d d

d

h t u t t t4" "44 " " < " <

" 4 " 4 "

,

: ;' (

=7 ! , ! ,>

! !7?!"#"$

(4)67879


110

0

d d d"4 " 4 "! !7?

# 79


De (2) y la igualdad trigonométrica De (2) y la igualdad trigonométricasin( ) sin cos sin cosx y x y y x! !

2 31 < con

Se tiene que

2 31tan dy 4 " <,

q

2 32

0( ) ( ) t

d

d

h t u t e sen t4""

",$ %

: ;' (d' (


111

R t l I l (S l ió di t )Respuesta al Impulso (Solución directa)

Método 2 Método 2

2 302

2

0

( )L LL

d i diLC LG i t

dt dtC

!

,

! ! D EF0

0(0 ) (0 )

(0 ) (0 ) ( ) 1L LL L L

di diLC LC LGi LGi i t dt

dt dt

!! ,! ,, ! , ! F

=0 =0 =0 =0

0dt dt ,

F

Las condiciones iniciales en 0- son nulas al calcular RESC

Por propiedad de continuidad la corriente no puede saltar en t=0, es una función continua, y la integral entre 0- y 0+ es cero

( )Li t(0 ) 0Li

! una función continua, y la integral entre 0 y 0 es cero

Si hubiera un escalón en entonces la segunda derivada sería un doblete, y el lado derecho de la EDO (3) no se podría balancear

2

( )Li t

(0 ) 0Li

2

2( ) ( ) ( ) ( )L LL

di d ii t u t t t

dt dtC C G 5 5


112

R t l I l (S l ió di t )Respuesta al Impulso (Solución directa)

Por lo tanto (0 ) 1Ldi!

Por lo tanto (0 ) 1Ldi

dt LC

Para t>0 la ecuación (3) es equivalente a una ecuación homogénea con condiciones iniciales en t=0+g

2

20L L

L

d i diLC LG i

dt dt! !

2

(0 ) 1(0 ) 0, LL

dt dt

dii

dt LC

!!

En el caso infra-amortiguado la respuesta al impulso es

dt LC

2 32

0( ) ( ) t

L d

d

i t u t e sen t4""

",


113

R t l I l (Th i N t )Respuesta al Impulso (Thevenin-Norton)

Dado el circuito RLC de 2do orden Dado el circuito RLC de 2do orden

!0 0Li" #

!0 0

T f d l f i l d Th i

!Cv 0 0" #

Transformando la fuente por su equivalente de Thevenin

0t $

Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos

114

R t l I l (Th i N t )Respuesta al Impulso (Thevenin-Norton)

El circuito en t=0+ es equivalente a El circuito en t=0+ es equivalente a

! !0 0 1C Lv v C% %# # !C

1v 0

C

%

%

#

" ! ! 10 0L Ldi v% %

!0 0Li% #

! !0 0L L

dt L LC

% %# #


115

Ci it OPAMP di á iCircuitos OPAMP dinámicos

El circuito de la figura es un integrador inversor El circuito de la figura es un integrador inversor

Por tierra virtual a la entrada del OPAMP0v # Por tierra virtual a la entrada del OPAMP

LCK en nodo A

0Av #

0 0sC R

dv vi i C

dt R% # % #

Resolviendo para v0(t) se tiene que

dt R

0 0

0

1( ) (0) ( )

t

sv t v v dRC

& &# " '


116

D i d iDerivador inversor

El circuito de la figura es un derivador inversor El circuito de la figura es un derivador inversor


LCK en nodo A

0Av #

0 0sC R

dv vi i C

dt R% # % #

Resolviendo para v0(t) se tiene que

dt R

0( ) sdvv t RCdt

#"


117

Ej l Ci i OPAMP d i dEjemplo: Circuito OPAMP de primer orden


LCK en nodo A

0Av #0 0

1 2

1 2

0sc

v v dvi i i C

R R dt% % # % % #

EDO de primer orden

1 2 dt

0 22 0

1

( )s

dv RRC v v t

dt R% #"


118

Ej l Ci i OPAMP d d dEjemplo: Circuito OPAMP de segundo orden1

2

o1 2

1

2

2s

Por seguidor de voltajev v# Por seguidor de voltaje

LCK en nodo 1 2 0v v#

1 21 1 1 2 1 2

( )( ) ( ) (1)s

d v vG v v C G v v

dt

"" # % "

d LCK en nodo 2

22 2 1 2( ) (2)dv

C G v vdt

# "


119

Ej l Ci i OPAMP d d dEjemplo: Circuito OPAMP de segundo orden

! De (2) 2 (3)dv

v RC v# %! De (2)

R l d (3) (1) i

1 2 2 2 (3)v RC vdt

# %

! Reemplazando (3) en (1) se tiene

2 2 2dv dv dvdGv G RC v C RC v v G RC v v

) * ) * ) *" % # % " % % "+ , + , + ,

! Re-arreglando términos se puede reescribir como

1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2sGv G RC v C RC v v G RC v vdt dt dt dt

" % # % " % % "+ , + , + ,- . - . - .

g p

2

2 21 2 1 2 2 1 2 22

( ) ( )s

d v dvRRCC C R R v v t

dt dt% % % #

! Poniendo la ecuación característica de la forma estándar

1 2 1 2 2 1 2 22 sdt dt

2 2

02 0s s/ 0% % #


120

Ej l Ci i OPAMP d d dEjemplo: Circuito OPAMP de segundo orden

! De donde se identifican los parámetros! De donde se identifican los parámetros

2

0 1 1 2 21 RCRC0 #

1 2

1 2 1

1 1

2

R R

RR C/

1 2%# 3 4

5 6

! Si se tiene que (sobre-amortiguado)1 2R R R# # 0 2 1C C/ 07 8 $q ( g )

! Nota: Circuitos con 2 elementos L y/o C son de 2do orden salvo que estos elementos se reduzcan por combinaciones

1 2 0 2 1

salvo que estos elementos se reduzcan por combinaciones serie-paralelo

! La forma de la RENC está determinada por las raíces de la ! La forma de la RENC está determinada por las raíces de la ecuación característica, también llamadas frecuencias naturales


121

C t d A álComputador Análogo

Elementos del computador análogo Elementos del computador análogo (0)y

!0

1( ) (0)

t

y t x d yRC

& &#" %'0

!1 2( )y t x x#" %

( ) ( ) 1t t( ) ( ), 1y t ax t a# 7


122

Ej l t d álEjemplo computador análogo

Se desea resolver la EDO Se desea resolver la EDO

2d y dy1 22

( )

(0) (0)

d y dya a y f t

dt dt

dy

% % #

0 1(0) , (0)dy

y y ydt

# #

Esta ecuación se puede reescribir como

1 1 2y a y a y f# " " %!! !

El circuito OPAMP que resuelve esta EDO esMayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos

Eléctricos123

El circuito OPAMP que resuelve esta EDO es

Ej l t d álEjemplo computador análogo

-y!y!!

y

y!

Este circuito simula la solución de la EDO de 2do orden. Se observa en tiempo real. Se puede escalar en el tiempo si fuera necesario. 9 : 9 :0,1; 1 10t si t s s/& / &# # # 8 #9 : 9 :

1dy dy d dy

dt d dt d

&& / &

# #


124

dt d dt d& / &

R t t d bit iRespuesta a una entrada arbitraria

Sea la entrada aplicada en con( )i t t t# ( ) 0i t t t# ; 7 Sea la entrada aplicada en con

Consideremos la aproximación escalonada de en

( )si t 0t t# 0( ) 0,si t t t# ; 7

( )si t !0,t t

( )si < ( )sai <0 0 1( ) '

( ) '

si t t t t

i t t t t

= =>? = =? 1 1 2( )

( ')

' [ ] ( ) '

s

sa

i t t t t

i t

t t t i t t t t

= =???

# @A = =?

"

0t 1t#

1nt " t

0 1

1 1

[ , ] ( )

( ) '

s k k k

s n n n

t t t i t t t t

i t t t t t

%A = =???

= = #?B

"

01 0,

t tt t

n

"C # # % C# 1 1( )s n n n" "?B


125


La aproximación i (t) se puede interpretar como la suma La aproximación isa(t) se puede interpretar como la suma de pulsos rectangulares del mismo ancho !, pero

distinta altura y posición a lo largo del tiempodistinta altura y posición a lo largo del tiempo.C

0t 1t 't

0 0( ) ( ' )si t p t tC " C

C

1 1( ) ( ' )si t p t tC " C1

( ) ( ) ( )n

sa s k ki t i t p t t"

CD D# " CEC

0t 1t 't2t0

( ) ( ) ( )sa s k k

k

pC#E

0t 1t 't

2 2( ) ( ' )si t p t tC " C

2t 3t


126

0 1 2 3


Calculemos la RESC a una entrada ( )sai tD Calculemos la RESC a una entrada

li lid d9 : 9 :1

( ) ( ) ( )n

Z i t Z i t t t"

D D CE

( )sa

por linealidad9 : 9 :0 0

0

( ) ( ) ( )sa s k k

k

Z i t Z i t p t tC#

D D# " CE

Basta encontrar la respuesta de estado-cero del circuito al pulso (k+1)-ésimo . Sea .( ) ( )s k ki t p t tC D " C 0( ) ( ( ))h t Z p tC C#

Por linealidad e invariancia se tiene que:

9 :( ) ( ) ( ) ( )Z i t t t Z i t T t) *D DC C- .9 :

9 :0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

k

k k

s k k s k t

s k t s k t

Z i t p t t Z i t T p t

i t Z T p t i t T Z p t

C C

C C

) *D D" C # C #- .

) *D DC # C #- . 9 :0 0( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

k ks k t s k t

s k k

p p

i t h t t

C C

C

- .D " C


127


Luego la RESC a una entrada arbitraria es( )sai tD Luego la RESC a una entrada arbitraria es

9 :1

( ) ( ) ( ) (1)n

Z i t i t h t t"

D D CE

( )sa

9 :0

0

( ) ( ) ( ) (1)sa s k k

k

Z i t i t h t tC#

D D# " CE

El intervalo es fijo, luego si

( ) ( )

, 0nF G C F0t t"

9 : 9 :0 0

( ) ( )

( ) ( )

sa s

sa s

i t i t

Z i t Z i t

F

F9 : 9 :9 : 9 :0 0( ) ( ) ( ) ( )h t Z p t h t Z tHC C# F #


128

I t l d l ióIntegral de convolución

Cuando la suma (1) se transforma en la integral de 0C F ( ) gconvolución

t

'

0F

0

0( ) ( ) ( ) (2)s

t

v t h t i d t t& & &# " I'

Para calcular la RESC de cualquier circuito lineal-invariante a una entrada arbitraria se tiene que:una entrada arbitraria se tiene que: Determinar la respuesta la impulso h(t) Calcular la integral de convolución (2)g ( )

La respuesta de estado-cero de un circuito lineal-invariante a una t d bit i f ió li l d l t d El d entrada arbitraria, es una función lineal de la entrada. El operador

respuesta de estado-cero Z0 es la convolución de la entrada con la respuesta la impulso.


129

Ci it Li l V i tCircuitos Lineales-Variantes

El concepto de respuesta al impulso aplica también a circuitos p p p plineales variantes

Sea h(t, ) la respuesta de estado-cero en t debido a un i l li d impulso aplicado en .

En general para un circuito lineal-variante

1( , )h t

! " ! "1 2 1 2, ,h t h t para # #1 t

t2

2( , )h t

t


130

Ci it Li l V i tCircuitos Lineales-Variantes

Para circuitos lineales variantes se puede demostrar que la p qRESC es una función lineal de la entrada

t

$0

0( ) ( , ) ( ) (3)s

t

v t h t i d t t % &$

Para circuitos invariantes:

Ya que esta ecuación es válida para todo T la expresión h(t ) está

! " ! ", ,h t h t T T T % ' ' )

Ya que esta ecuación es válida para todo T, la expresión h(t, ) está únicamente definida por la diferencia

Por ejemplo, sea

t *! ",0T h t % * + *! "


131

Cál l d i t l d l ióCálculo de integrales de convoluciónt

$0

1 1 0( ) ( ) ( )t

h t t t d h t t t t , * * % * -$

donde t. es el instante de aplicación del impulso. Demostración:

1

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

tt

v t h t t d h t t d , , '

% * * % * * %$ $0 1

1

( ) ( ) ( )

t t

t

h t t t d h t t t t t,

*

'

- -

$ $

$

Y h f ió

1

1 1 1 1 0( ) ( ) ( ),

t

h t t t d h t t t t t, *

* * % * - -$

! "t, t Ya que es cero excepto en , y h es una función continua en

! "1t, * 1t %! "0,/


132

Cál l d i t l d l ióCálculo de integrales de convoluciónt t

$ $0 0

( ) ( ) ( ) ( ) 0s sh t i d i t h d t * % * &$ $

Sea Demostración

, (2)t z t z d dz en * % + % * % *

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

t

s sv t h t i d h z i t z dz % * % * * %$ $0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

t t t

t t t t

h z i t z dz h i t d

*

* *

$ $

$ $

Si l l i ld d d i l i é i

0 0

( ) ( ) ( ) ( )s sh z i t z dz h i t d * % *$ $

0t Si se cumple la igualdad a demostrar y existe un rol simétrico de la entrada y la respuesta al impulso

0 0t %


133

C l ió áfiConvolución gráficaR

iv (t)

' '

i ( )

1

iv

'

*

ov

*C

T 3T2T tT

vd

2

1*

Calculemos la respuesta al impulso

oi o

vv v

dRC

dt% '

0 0 0' ' '

!

0 0 0

00

0 0 0

1 1( ) 1 (0 ) ( ) ( )t RCdv

RC dt v dt t dt v h t e u tdt RC RC

,' ' '

* * *

' *' % % + % + %$ $ $!

0

1 ( ) ( )tSi RC h t e u t*% + %


134

C l ió áfiConvolución gráfica

( )h ( )h

1

( )h *

1

( )h t *

1

e t*1 1

! El método de la convolución gráfica consiste en dibujar primero h(- ) y luego desplazar la curva h(t- ) sobre la curva

t

primero h(- ), y luego desplazar la curva h(t- ) sobre la curva de entrada en la medida que aumenta t.

! En este caso se desea calcular:! En este caso se desea calcular:

( ) ( ) ( )

t

c iv t h t v d % *$0

( ) ( ) ( )c i$


135


Para el intervalo 0T

t( (2( )iv

( ) ( ) ( )

t

o iv t v h t d % *$1

( )h t *0

( )

( ) ( ) ( )

1 e 1 e

o i

t

t td * * *% 1 % *

$

$

Para el intervalo

t0

2

T 0

$

Tt T( (

2( )iv

1

2( ) ( )( ) 1 e ( 1) e

Tt

t tv t d d * * * *% 1 ' * 1$ $1

( )h t *'

''

''

***

' ' '

*** *

*'''

''

'''

02

( ) ( )2

0

( ) 1 e ( 1) e

e e

o

T

T tt t

T

v t d d

* * * *

'

% *

$ $

t02

T T' ' ' * *

1

'''''' 02

2 2e e 1

T

Tt

t

2 3* *4 5 *6 7% * *


136

1*


Gráficamente se obtiene aproximadamente la siguiente Gráficamente se obtiene aproximadamente la siguiente solución:

iv (t)v (t)ov (t)

t

¿Qué sucede si la misma entrada rectangular del problema anterior se aplica al siguiente circuito RC?p g

' '

C

0 0 (*)idv dv v

iv

'

*

ov

'

*R

0 0 (*)i

dt dt RC% '


137


Calculemos la respuesta al impulso: Calculemos la respuesta al impulso:

( ) ( ) ( )t RCh t ke u t t,*% '

( ) ( ) ( ) ( )t RC t RCkh t ke t e u t t

RC, ,* *8 8% * '

Reemplazando en (*) y balanceando impulsos y dobletes se obtiene:

1 RC1, 1 ( ) ( ) ( )t RCk si RC h t e u t t

RC,*% * % + % * '

( )h ( )h ( )h t *( )h ( )h * ( )h t

Propuesto:Calcular la RESC al tren de pulsos

1*

1*

1*

t

al tren de pulsosrectangular porconvolución

áfi


138

gráfica

EL3001 Análisis y Diseño de EL3001 - Análisis y Diseño de

Circuitos Eléctricos

Unidad 3

Profesor Pablo Estévez VProfesor Pablo Estévez V.

T f d d L lTransformada de Laplace

! Herramienta fundamental para estudiar sistemas lineales ! Herramienta fundamental para estudiar sistemas lineales e invariantes. Reduce la solución de EDOs lineales a la solución de ecuaciones algebraicas lineales.g

! Sea una función del tiempo definida enf(t) [0, ) !

" #!

$" #

" #0

1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

stF s L f t f t e dt

f t L F

%

! %

%

& & $ Transformada de Laplace

A tit f d d L l

! Nota: El límite inferior de integración es 0- para incluir la ibilid d d i l 0 E d fi i ió

" #1( ) ( )f t L F s& Antitransformada de Laplace

posibilidad de un impulso en t=0. Esta definición corresponde a la transformada unilateral de Laplace útil

áli i d í t it i di i en análisis de regímenes transitorios con condiciones iniciales.


Mayo de 2009

T f d d L lTransformada de Laplace

! Donde es la frecuencia complejas j' (& )! Donde es la frecuencia compleja

! La región de convergencia o el dominio de existencia de l T d L l l i l d h i i l i l j

s j' ()

la T. de Laplace es el semiplano derecho sin incluir el eje imaginario.

( )

0 0 0 0cosst j t t te dt e dt e tdt j e sen tdt' ( ' '( (

% % % %

! ! ! !% % ) % %& & %$ $ $ $

! Si fi i t t d t

donde cosj te t jsen t ! " !

# $R 0 Si suficientemente grande, entonces

suficientemente rápido para que la integral sea

# $Re 0s %" &

0te %! 'finita debido a que el intervalo de integración es infinito


Mayo de 2009

Ej l 1 E ló it iEjemplo 1: Escalón unitario

( ) ( )f t u t"( ) ( )f t u t

( )0 0

1( ) ( ) st st stL u t u t e dt e dt e

s! !

** *! ! !" " " !+ +0 0

0

( )1 11j t

s

e %

!

! ,- ." ! ! "/ 0

+ +

Donde cuando

# $1e

j s% *- ." ! ! "/ 0,

# $0

j t% ! , t'* Donde cuando # $0

j te

% ! , ' t'*

( ) 1( ) para Re( ) 0L u t s

s" &


Mayo de 2009

Ej l E i l i lEjemplos: Exponencial e impulso

Exponencial ( ) atf t e" Exponencial ( )f t e

( ) ( )

0 0

1

( )

at at st s a t s a tL e e e dt e dt es a

! !

** *! ! ! ! !- . " " " !/ 0 + +0 0

0( )

1para Re( ) 0

s a

s a

!/ 0 !

" &

+ +

# $para Re( ) 0s a

s a" ! &

!1

R ( ) 0atL - .

Impulso# $

1para Re( ) 0atL e s a

s a- . " ! &/ 0 !

Impulso

( )( ) ( ) ( ) 1stL t e t dt t dt s1 1 1* *

!" " " 2+ +( )0 0

( ) ( ) ( )! !+ +


Mayo de 2009

P i d d d T f d d L lPropiedades de Transformada de Laplace

1 Unicidad: Una función del tiempo f(t) está especificada 1. Unicidad: Una función del tiempo f(t) está especificada únicamente por su transformada de Laplace y viceversa

( ) ( )f t F

2. Linealidad

( ) ( )f t F s3

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )L c f t c f t c L f t c L f t, " ,

1 1 2 2 1 2( ) ( ) , constantesc F s c F s c c" ,

También( )1

1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )L c F s c F s c f t c f t! , " ,


Mayo de 2009

Ej l C Ejemplos: Coseno y seno

Coseno ( ) cosf t t " Coseno ( ) cosf t t

( ) 1 1 1 1cos j t j tL t L e e !- ." , " ,5 6( )cos

2 2 2( ) 2( )L t L e e

s j s j

s

, ,5 6 ! ,/ 0

# $2 2

s

s "

,

Seno ( )f t sen t " Seno ( )f t sen t

( ) # $1 1j t j tL sen t L e e

!- ." ! "5 6( ) # $2 22 2

L sen t L e ej j s

5 6 ,/ 0


Mayo de 2009


3 Regla de diferenciación 3. Regla de diferenciación

( )( ) (0 )df

L sL f t f !- . " !5 6/ 0 Ejemplo

( )( ) ( )f fdt5 6/ 0

j p

( ) ( ) ( )( ) 1, ( ) , , ( )n nL t L t s L t s1 1 17 - ." " "/ 0!

La regla se extiende de modo que

( ) ( ) / 0

( ) ( )( )

2

( ) 1 ( 2) ( 1)

( ) ( ) (0 ) (0 )L f t s L f t sf f! !77 7" ! !

- . ( )( ) 1 ( 2) ( 1)( ) ( ) (0 ) (0 ) (0 )n n n n nL f t s L f t s f sf f! ! ! ! ! !- . " ! ! !/ 0 !


Mayo de 2009


3 Regla de integración ( )1t- .5 6+

3. Regla de integración ( )0

1( ) ( )L f d L f t

s8 8

!

- ."5 6

5 6/ 0+

t Ejemplo ( ) ( )

0

1 1( ) ( ) ( ) ( )

t

d u t L u t L ts s

1 8 8 1!

" ' " "+

( ) ( )

0

2

1 1( ) ( ) ( ) ( )

t

u d r t L r t L u t8 8 " ' " "+ ( ) ( )

( )

2

0

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

1 1t

s s

t t

!

- .

+

+ ( ) 3

0

1 1( ) ( ) ,

2 2

t tr d L L r t

s s8 8

!

- ." ' " "5 6

/ 0+ !

# $

1

1

1

! 1 ! !

t n n n

n

td L n

n n n s

8 88

,

,

- ." ' " 25 6, / 0

+9 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos

EléctricosMayo de 2009

# $0

! 1 ! !n n n s! , / 0

T d C l ióTeorema de Convoluciónt,

+3 1 2 1 2

0

( ) ( )* ( ) ( ) ( ) , 0f t f t f t f t f d t8 8 8!

" " ! 9+ Si f2 tiene un impulso en el origen, este debe incluirse.

Igualmente si f1 tiene un impulso en t=8, debe incluirse.

( )3 3 1 2( ) ( ) ( ) ( )L f t F s F s F s" "

donde

( ) ( )1 1 2 2( ) ( ), ( ) ( )L f t F s L f t F s" "


Mayo de 2009

D t ió T d C l ióDemostración Teorema de Convolución

t,- .( )1 2 1 2

0

( )* ( ) ( ) ( )

t

L f t f t L f t f d8 8 8!

- ." ! "5 6

5 6/ 0+0

1 2( ) ( )

t

stf t f d e dt8 8 8,*

!

5 6/ 0

- .!5 6+ +

Como se puede reemplazar el

1 2

0 0

( ) ( )f t f d e dt8 8 8! !

5 65 6/ 0+ +

( ) 0f t t8 8! " 2 & Como se puede reemplazar el límite superior de integración por

1,2 ( ) 0f t t8 8! " 2 &

*

( )( )* ( ) ( ) ( ) stL f t f t f t f d e dt8 8 8* *

!- .

" !5 6+ +( )1 2 1 2

0 0

( ) ( ) ( ) ( )L f t f t f t f d e dt8 8 8! !

" 5 65 6/ 0+ +


Mayo de 2009

Dem. Teorema de Convolución (2)

Reemplazando Reemplazando( )st s t se e e8 8! ! ! !"

y reagrupando términos se tiene

* *- .( ) ( )

1 2 2 1

0 0

( )* ( ) ( ) ( )s s tL f t f t f e d f t e dt8 88 8 8! !

! ! !- .

" ! "5 65 6/ 0

+ +

2 1( ) ( ) cons sf e d f e d t8 :8 8 : : : 8* *

! !- .

" !5 65 6

+ +

Por lo tanto

2 1

0 0

( ) ( )f f! !

5 65 6/ 0

+ +

Por lo tanto

( )1 2 1 2( )* ( ) ( ) ( )L f t f t F s F s"


Mayo de 2009

Respuesta de estado cero

Para cualquier circuito lineal-invariante la RESC se Para cualquier circuito lineal-invariante la RESC se obtiene por convolución

,

0

( ) ( ) ( ) 0

t

sv t h t i d t8 8 8,

!

" ! 9+ Si tiene un impulso en el origen debe incluirse. Lo

mismo para , luego podría contener un ( )si "

0

( )h " ( )h t 8!p , g pimpulso en .

La Transformada de Laplace de la respuesta al impulso es

( ) ( )

t 8"

La Transformada de Laplace de la respuesta al impulso es la Función de Red (o Función de Transferencia)

( )( ) ( )L h t H s"


Mayo de 2009

Función de Red

La función de red es por definición La función de red es por definición

; <; <

( )L RESC

H sL Entrada

"; <L Entrada

( )( ) ( ) ( ) ( )

t

L v t L h t i d V s8 8 8,- .

" ! "5 6+( )0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

sL v t L h t i d V s

V s H s I s

8 8 8!

" ! "5 65 6/ 0

"

+

En general hay 4 combinaciones posibles, ya que tanto la

( ) ( ) ( )sV s H s I s"

En general hay 4 combinaciones posibles, ya que tanto la variable de salida como la entrada pueden ser un voltaje o una corriente


Mayo de 2009

R t l i l T d L lRespuesta al impulso y T. de Laplace

h(t)=v(t) es la solución a: h(t)=v(t) es la solución a:

RC v

,( )si t1"

( ), (0 ) 0dh

C Gh t h1 !, " "

Y

!( ), (0 ) 0C Gh t h

dt1,

dh- .( )( ) ( )H s L h t" Y

( )( ) 1dh

L C Gh L tdt

1- ., " "5 6/ 0

- .

( )( ) ( )

( ) ( ) (0 ) ( ) 1dh

CL GL h C sH s h GH Sdt

!- . - ., " ! , "/ 05 6/ 0

# $1 1 1

( ) ( ) 1 ( )1

Cs G H s H sCs G C s RC

, " = " ", ,# $

; <# $

1 11 1 1( ) ( ) ( )

1

t RCh t L H s L e u t tC s RC C

! ! !> ?@ @

" " " 2A B,@ @C D


15

# $1C s RC C,@ @C D

Representación de entrada-salida

Para circuitos lineales invariantes con una entrada w(t) y Para circuitos lineales invariantes con una entrada w(t), y una salida, y(t), la relación entrada-salida puede en general expresarse como una EDO de n ésimo orden con expresarse como una EDO de n-ésimo orden con coeficientes constantes de la forma

1 1n n m md d d d! !1 1

0 1 0 11 1(1)

n n m m

n mn n m m

d y d y d w d wa a a y b b b wdt dt dt dt! !

, , , " , , ,! !

Los coeficientes dependen de los valores de los elementos y de la topología del circuito

,j ja b

elementos y de la topología del circuito

Las condiciones iniciales son:

1

1(0), (0), , (0)

n

n

dy dyy

dt dt

!

!!


Mayo de 2009

Respuesta de estado cero caso orden n

Aplicando transformada de Laplace con condiciones Aplicando transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas a (1) se obtiene

# $ # $1 1( ) ( ) ( )n n m mb b b

De donde se obtiene la función racional en s# $ # $1 1

0 1 0 1( ) ( ) (2)n n m m

n ma s a s a Y s b s b s b W s! !, , , " , , ,! !

# $# $

1

0 1

1

( )( ) (3)

( )

m m

m

n n

b s b s bY sF s

W s a s a s a

!

!

, , ," "

, , ,

!

Factorizando los polinomios en términos de sus ceros se ti

# $0 1( )

nW s a s a s a, , ,!

tiene

1

( )( )

( ) (4)

m

i

i

K s zY s

F s "

!E1

1

( )( ) (4)

( )( )

i

n

j

j

F sW s

s p"

" "!E


Mayo de 2009

1j"

Función de red

A los ceros del polinomio en el numerador se les iz A los ceros del polinomio en el numerador, , se les llama CEROS

A l d l li i l d i d l p

iz

A los ceros del polinomio en el denominador, , se les llama POLOS (o frecuencias naturales)

jp

En particular si

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1, ( ) ( )

w t t y t h t

L w t W s L h t H s

1" ' "

" " "

Recordar que por definición la función de red es la razón entre las T de Laplace de las RESC y de la entrada

( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( )

entre las T. de Laplace de las RESC y de la entrada

1

( )( )

( ) (5)

m

i

i

K s zY s

H "

!E1

1

( )( ) (5)

( )( )

i

n

j

j

H sW s

s p

"" "!E


Mayo de 2009

1j"

Ecuaciones de los elementos

Resistencia ( ) ( ) ( ) ( )v t Ri t V s RI s' Resistencia ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

v t Ri t V s RI s

I s GV s

" ' "

"

Capacitorp

01( ) ( )C C

VV s I s" F , V

G( ) ( )I s C s V s C V

( ) ( )C CV s I sC s s

,F Gs

Vo

Cs

1oCV

Cs

0( ) ( )C CI s C s V s C V" F F ! F

( )0

( )( ) ( ) ( )cc c c

dv ti t C I s C sV s V

dt" ' " !


Mayo de 2009

Ecuaciones de los elementos

Inductancia InductanciaiL(t) iL(t)

++

G Iou(t)vL(t)

-

LvL(t)

-

Gs

I o

( )0

( )( ) ( ) ( )LL L L

di tv t L V s L sI s I" ' " !

iL(0-)=Io

!0

0

( ) ( ) ( )

1 1( ) ( )

L L Lv t L V s L sI s Idt

II s V s

"

# " $ % "( ) ( )

1( ) ( ) ( )

L L

t

I s V sLs Ls s

i t d I t

# " $ % "

%& 0

0

( ) ( ) ( )L Li t v d I u tL

' '$ %&


Mayo de 2009

Impedancia

Se define la impedancia de punto motriz del una-puerta N Se define la impedancia de punto motriz del una-puerta N como la razón entre la transformada de Laplace del voltaje y la transformada de Laplace de la corriente en la voltaje y la transformada de Laplace de la corriente en la puerta, con condiciones iniciales nulas y fuentes independientes nulas (red N relajada)independientes nulas (red N relajada).

I(s)

L[vs(t)] N

+

V(s)

-

( )( )

( )

V sZ s

I$


Mayo de 2009

( )I s

Admitancia

Se define la admitancia de punto motriz del una-puerta N Se define la admitancia de punto motriz del una-puerta N como la razón entre la transformada de Laplace de la corriente y la transformada de Laplace del voltaje en la corriente y la transformada de Laplace del voltaje en la puerta, con condiciones iniciales nulas y fuentes independientes nulas (red N relajada)independientes nulas (red N relajada).

( )( )

I sY s $

Para los elementos R,L,C las impedancias y admitancias son:

( )( )

Y sV s

$

Para los elementos R,L,C las impedancias y admitancias son:

Elemento Impedancia Admitancia

R R GR R G

L Ls 1/Ls

C 1/Cs Cs


Mayo de 2009

C 1/Cs Cs

Ejemplo Función de Red

Para el circuito de la figura determine la función de red Para el circuito de la figura determine la función de red

0 0( ) [ ( )]( )

E s e tH s $ $

!( )

( ) [ ( )]i i

H sE s e t

$ $!

1 [ ])i

% %%%

1 [ ])

2 [ ])

%

i

2mg v*

3v

%

+

3mg v*

0e

%

+

1mg v*

2v

%

+ie

%

+1v

%

+

1 [F] 1 [ ])!""#""$

1 [F] 1 [ ])!""#""$

1 [F] 1 [ ])!""#""$!""#""$

1 mhomg $


Mayo de 2009

Ejemplo Función de Red (2)

LCK en el bloque 2 LCK en el bloque 2

21 2 0 /m

dvg v C G v* % * % * $ !1 2

1 2( ) ( ) ( ) 0

m

m

gdt

g V s Cs G V s* % % * $

2

1

( ) 1 (1)

( ) ( ) 1

mgV s

V s Cs G s

+ +$ $

% %

En bloque 3

1( ) ( )

3( ) 1 (2) ya que es igual al bloque 2)

( ) 1

V s

V s s

+$

%2 ( ) 1V s s %


Mayo de 2009


En el bloque 1 En el bloque 1

2 1 22 ( ) /i !1 0 0

01

2 ( ) /3 3 3

( )( )1 2 1 2( ) ( ) ( ) (3)

i i i iv e i e e e e e

E sV sV E E

$ + * $ + * + $ * % * !

011 0

( )( )( ) ( ) ( ) (3)

3 3 ( ) 3 3 ( )i

i i

VV s E s E s

E s E s$ * % , $ %

Luego de (1), (2) y (3)

3 3 02 1

2

( ) ( )1 1 2 (4)

( ) ( 1) 3 3 ( )

V s V E sV V

E V V E E

- .$ * * $ * %/ 0

1 22

2 1( ) ( 1) 3 3 ( )i i iE s V V E s E s/ 0% 1 2


Mayo de 2009


En el bloque 4 En el bloque 4

03 0 0( ) 3 /m i

deg v C G e e e

dt* % * % * $ + !

3 0

4( ) ( ) ( ) ( ) 3

3i

dt

V s s E s E s% % * $

%

3 0 0

2 2

(4)

( ) ( ) ( )4 1 2 3 4 1 1( ) ( ) 1

( ) 3 ( ) 3 ( 1) 3 ( ) 3 ( 1)i i ide

V s E s E ss s

E s E s s E s s

3 4 3 4% % * $ , % % * $ * +5 6 5 6% %7 8 7 8

De aquí se despeja

(4)( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i ide 7 8 7 8

( )0 ( )

( )i

E s

E s


Mayo de 2009

Mét d N d l T d L lMétodo Nodal con T. de Laplace

1) Incorporar las condiciones iniciales como fuentes 1) Incorporar las condiciones iniciales como fuentes

o

+o+

2

-

S 121

-


27

Mét d N d l T d L lMétodo Nodal con T. de Laplace

2) Transformar fuentes de voltaje a fuente de corriente, ) j ,usar admitancias e identificar las incógnitas, es decir los voltajes de nodo a nodo de referencia e1 y e2. Plantear voltajes de nodo a nodo de referencia e1 y e2. Plantear LCK aplicando Transformada de Laplace

01 1 1 0 1 2

1( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))

II s G E s CsE s CV E s E s

L$ % + % % +

9 :

1 1 1 0 1 2

02 2 1 2

10 ( ) ( ) ( )

s Ls

IG E s E s E s$ + + +


28

9 :2 2 1 2( ) ( ) ( )s Ls

Mét d N d l T d L l (3)Método Nodal con T. de Laplace (3)

Reescribiendo en forma matricial se tiene que Reescribiendo en forma matricial se tiene que

0 01 11 1 ( ) ( )sI s CVG Cs Ls Ls E s I s + %% % + 3 43 4 3 4 3 4

5 65 6 5 60 01 1

02 2

( ) ( )

1 ( ) 0

s

I sLs G Ls E s

3 43 4 3 4 3 4$ % 5 65 6 5 6 5 6+ % 7 87 8 7 8 7 8

Matriz de Admitancias NodalesEl d i d i

Condiciones inicialesVector defuentesEl determinante de esta matriz es: fuentesindependientes

2

- .- . - .2

1 2

1 1 1G Cs G

Ls Ls Ls

- .- . - .; $ % % % + $/ 0/ 0 / 01 21 2 1 2

1 21 2 2

G G CGG G Cs

Ls L

% - .% % %/ 01 2


29

1 2

Mét d N d l T d L l (3)Método Nodal con T. de Laplace (3)

Por Regla de Cramer Por Regla de Cramer

0 0

1

11( )

1

sI I s CV LsE s

I G L

+ % +$

;

9 : 9 :

1

0 2

1 2 2 0 0 0

( )1

1 s

I s G Ls

E G Ls I G I s CV CV Ls

%;

;# $ % + + %

Reemplazando ; y multiplicando por Ls/G2 se obtiene T. de Laplace de EDO 2do orden con condiciones iniciales de Laplace de EDO 2do orden con condiciones iniciales incorporadas

3 4- .2 1 21 2 1

2 2

( )G GLs C

LCs GG E sG L G

3 4%- .% % %5 6/ 01 27 8

00 0

1( )s

I CLs I s Ls CV V

G s G

- . - .% + + %/ 0 / 01 21 2


30

2 2G s G1 21 2

Mét d d l M ll T d L lMétodo de las Mallas con T. de Laplace

1) Incorporar las condiciones iniciales como fuentes 1) Incorporar las condiciones iniciales como fuentes

R1CVou(t)

vS(t)L R2

+

vLIou(t)

-


31


2) Aplicar transformaciones de fuentes para dejar sólo 2) Aplicar transformaciones de fuentes para dejar sólo fuentes de voltaje en serie con algún elemento. Usar i d i T d L l D di i d impedancias con T. de Laplace. Darse direcciones de referencia para las corrientes de mallas. Escoger una malla d f i l l Id ifi l de referencia, usualmente la externa. Identificar las incógnitas, las corrientes de mallas I1 e I2.


32


2) Aplicar LVK en cada malla y expresar cada voltaje de 2) Aplicar LVK en cada malla y expresar cada voltaje de rama en términos de las corrientes de mallas y los

á t d l i itparámetros del circuito

9 :0 1( )

VV s R I I LI Ls I I$ % % + % +9 :

9 :

1 1 1 0 1 2

2 2 0 2 1

( )

0

sV s R I I LI Ls I Is Cs

R I LI Ls I I

$ % % + % +

$ % % +

En forma matricial

9 :2 2 0 2 1

0 01 11 ( )

0

sLI V sR Cs Ls Ls I V s

LILs R Ls I

+% % + 3 43 4 3 4 3 4$ % 5 65 6 5 6 5 6 ++ % 7 87 8 7 8 7 802 2 0 LILs R Ls I ++ % 7 87 8 7 8 7 8


33


El determinante es: El determinante es:

9 : 9 : 9 :2 21 RLR L R L L R R R R L

- . - .; % % % % % % %/ 0 / 0

Por regla de Cramer

9 : 9 : 9 :21 2 1 2 1 2R Ls R Ls Ls R R R R LsCs C Cs

; $ % % % + $ % % % %/ 0 / 01 2 1 2

Por regla de Cramer

1 0 01 ( )1 R Cs Ls V s LI V s% % % +1 0 0

2

0

1 ( )1 sR Cs Ls V s LI V sI

Ls LI

% % %$

+ +;

3 4 021 2 1 2 2 1 0 0( ) s

LIRL sR R Ls R R I LR I LsV LV

C Cs Cs L

3 4- .% % % % $ + + % + #/ 05 61 27 8

2 2 01 2 21 2 2 1 0 0

1( ) s

IR R RR R s s I s V R I s V s

L C LC C

3 4- .% % % % $ + + +/ 05 61 27 8


34

L C LC C1 27 8

Ej l Ci i OPAMP T d L lEjemplo: Circuito OPAMP con T. de Laplace

1

2

Encontrar f ió d d

o

1 21

2 función de red usandométodo nodal

2s

(admitancias)

Por seguidor de voltajeV V Por seguidor de voltaje

LCK en nodo 1 2 0V V

! "1 1 1 1 2 2 1 2( ) ( ) (1)sG V V Cs V V G V V# # $ #

LCK en nodo 2 2 2 2 1 2( ) (2)C sV G V V #


35

Ci i OPAMP F ió d d 2d dCircuito OPAMP: Función de red 2do orden

En forma matricial se tiene En forma matricial se tiene

1 2 1 2 1 1 1 sG G C s G C s V GV$ $ # #% & % & % &

' ( ' ( ' (

El determinante de la matriz es2 2 2 2 0G G C s V

' ( ' ( ' (# $ ) *) * ) *

! "! " ! " ! "2

1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2G G Cs G C s G G Cs CC s G G C s GG+ $ $ $ # $ $ $ $

Por regla de Cramer

G G C G1 2 1 1 1 22

2

1

0s

G G C s G s GG VV

G

$ $

#+ +

! "2

2

1 2 1 2 1 2 2

1( )

1

VH s

V R R C C s R R C s

$ $ $


36

! "1 2 1 2 1 2 2 1sV R R C C s R R C s$ $ $

L d Ki hh ff l D i iLeyes de Kirchhoff en el Dominio-s

Las leyes de Kirchhoff no cambian bajo la Transformada de Las leyes de Kirchhoff no cambian bajo la Transformada de Laplace, por lo que pueden plantearse directamente en el dominio-sdominio s

LCK en nodo

1 1

( ) 0 ( ) 0N N

n ni t I s , - -

donde . /( ) ( )n nI s i t n 0

1 1n n

LVK en malla

. /

( ) 0 ( ) 0N N

t V,- -

1 1

( ) 0 ( ) 0n n

n n

v t V s

, - -

donde . /( ) ( )n nV s v t n 0


37

E i l t S i Di i d V lt jEquivalente Serie y Divisor de Voltaje

1 2 LVK

1 1

( ) ( ) ( ) ( )N N

n n

n n

V s V s Z s I s

1 2 3 4

5 6- -

1

( )( ) ( )

( )

N

eq n

V sZ s Z s

I s -

Divisor de voltaje

1( ) nI s

! "( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n eqV s Z s I s Z s Z s V s n 0


38

j ! "n n n eq

E i l P l l Di i d C iEquivalente Paralelo y Divisor de Corriente

N N1 2

LCK 1 1

( ) ( ) ( ) ( )n n

n n

N

I s I s Y s V s

1 2 3 4

5 6- -

1

( )( ) ( )

( )

N

eq n

n

I sY s Y s

V s

-

Divisor de corriente ! "( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n eqI s Y s V s Y s Y s I s n 0


39

! "n n n eq

Ej lEjemplo

Encontrar a) V2(s)/V1(s) b) Zeq(s) Encontrar a) V2(s)/V1(s), b) Zeq(s)

a) Por divisor de voltaje

b) 2 1 2( ) ( ) ( )V s V s Ls R Ls $

! " ! " b) ! " ! "! "! "

1 1 2

1 1 2

( ) 1

1

eqZ s R C s R Ls

RC s R Ls

$ $

$ $! "! "1 1 2

2

1 1 2 1

1

( ) 1

RC s R Ls

LC s R R C s

$ $

$ $ $


40

T d S i ióTeorema de Superposición

Para redes lineales invariantes el teorema de Para redes lineales invariantes el teorema de superposición puede expresarse en términos de funciones de redfunciones de red

! " ! " ! "m

-! " ! " ! "1

k k

k

X s H s I s

-T.Laplace

de RESC debido

a todas las fuentes

t d i ltá t

T.Laplace de entradas

Funciones de red

! "X

actuando simultáneamente Funciones de red

de las m entradas

a la salida

! " ! "! " 0m

k

Ikk

X sH s

I s 0


41

m k0 8

Ej l d S i ióEjemplo de Superposición

i$

L1R ! " ! " ! " ! " ! "

! " ! "! " ! "! "

1 1 2 2

1

1

1

V s H s E s H s I s

V sH s

G C

$

#$

2iRv#

C1e

! "! " ! "! "

! " ! "! " ! "! "

2

1

1 1 20

12

1I

E s R Ls G Cs

V s R LsH s

$ $ $

$ ! "

! " ! "! "1

2

2 1 201

EI s R Ls G Cs

$ $ $

" 0a I P di i d lt j" 2 0a I 1R L s$

! "! "

1

2

Por divisor de voltaje

1

1

EV s

G CsR Ls

$ % &

$ $' (

2

1

G Cs$#$ ! "V s

$

#

! "1E s! "

! "! "! "

1

2

1

1

R LsG Cs

V s

E R L G C

$ $' ($) *

! "! "1 1 21E R Ls G Cs$ $ $

b) Propuesto de Tarea


42

b) Propuesto de Tarea

T d Th i N tTeorema de Thevenin-Norton

Para redes lineales invariantes los equivalentes de T-N Para redes lineales invariantes los equivalentes de T-N

toman la forma! "I s

! "eqZ s

! "I s

! "V s$

A

! "Y s ! "V s$

! "I s

! "I s

A

! "Eca s$#

! "V s#

'A

! "eqY s ! "V s#

! "ccI s

'A

! " ! ". /Sean

E t

Eq. de Thévenin E q. de N orton

Ad á l l l ió! " ! ". /! " ! ". /

Eca ca

cc cc

s e t

I s i t

Además se cumple la relación:( )

( )( )

caeq

cc

E sZ s

I s

! " 1eq

eq

Z sY

0

Impedancia de punto motriz

de la red relajada vista

desde los terminales '

N

A A#

Que es muy útil para determinar laimpedancia de Thévenin cuando hay fuentesdependientes


43

desde os e es p

Diagrama de Polos y Ceros

La función de red es una función racional en s La función de red es una función racional en s

! "! "

1

0 1( )( ) (1)

m m

mb s b s bP sF s

#$ $ $

!

En la forma estándar, se factoriza el polinomio en el

! "1

0 1

( ) (1)( ) n n

n

F sQ s a s a s a#$ $ $!

En la forma estándar, se factoriza el polinomio en el numerador por sus CEROS, zi, y el polinomio en el denominador por sus raíces denominadas POLOS pjdenominador por sus raíces denominadas POLOS, pj

( )( )

m

iK s zP s

#91( )

( ) (2)( )

( )

i

n

j

P sF s

Q ss p

#

9

9

La constante se llama factor de escala

1

( )jj

p 9

0bKa

La constante se llama factor de escala


Mayo de 2009

0a

Diagrama de Polos y Ceros

Una función de red está únicamente determinada por la Una función de red está únicamente determinada por la ubicación de sus ceros y polos, y por el factor de escala K.

El di d l t l bi ió d El diagrama de polos y ceros, muestra la ubicación de estos en el plano de la frecuencia compleja s.

Los polos se representan por una X y los ceros por O

j :; plano s j :; plano s j :; plano s

<

j p

<

j p

<

j p

j =;

># >#

(2)j =# ;

( ) ( )tf t e u t># ; ; ( ) [ cos( )] ( )tf t A e t u t> =# ; ; ; ; ; ( ) ( )f t t u t ;

1( )F s

s >

$ 2 2

( )( )

( )

A sF s

>=

; $

$ $ 2

1( )F s

s


Mayo de 2009

s >$ 2 2( )s > =$ $ s

Anti-transformada de Laplace

1) Si la función (grado ( ) grado ( ))m n P s Q s? ? 1) Si la función racional es impropia

(grado ( ) grado ( ))m n P s Q s? ?

"Resto

Cuociente""Cuociente

( ) ( )ˆ( ) ( ) grado ( ) < grado ( )( ) ( )

P s R sF s P s R s Q s

Q s Q s $

Donde es un polinomio en s, luego las funciones di l i l li i

( ) ( )Q Q

( )P s#

correspondientes en el tiempo al aplicar anti-transformada de Laplace son:

L i

( ), '( ), ''( ), etc.t t t ( ) ( ) 1 2n n Lo anterior ya que

Como H(s) es la T. Laplace de la respuesta al impulso, si

( ) ( ) 1,2,n nt s n ! "

, la respuesta al impulso contendrá a su vez un impulso y sus derivadas hasta orden m-n.m n#


Mayo de 2009

Expansión en Fracciones Parciales

1) Si la función (grado ( ) grado ( ))m n P s Q s% % 1) Si la función racional es propia. Hay 4 casos:

) P l i l

(grado ( ) grado ( ))m n P s Q s% %

a) Polos simples

Sea el denominador de F(s)& '1

( )n

j

j

Q s s p" () La expansión en fracciones parciales es de la forma

1j"

njk*

1

( )j

j j

kF s

s p"

"(*

El residuo del polo se calcula con la fórmula jp

& 'lim ( )k s p F s" (& 'lim ( )j

j js p

k s p F s+

"


Mayo de 2009

Ejemplo caso polos simples

1 k k

& '& '1 21

( )1 3 1 3

k kF s

s s s s" " ,

, , , ,

& '

1 21, 3

1 1

p p" ( " (

& '1 11

1 11 ( )

3 2ss

k s F ss"(

"(

" , " ",

& '1 33

1 13 ( )

1 2ss

k s F ss"(

"

" , " " (,

& '3

31( ) e e ( )

2

s

t tf t u t

"(

( (" (& '2


Mayo de 2009

a) Polos Simples

La expansión en fracciones parciales y su anti- La expansión en fracciones parciales y su anti-transformada son de la forma

n k

1

( )n

j

j j

kF s

s p"

"(

- .

*

/ 01

1

( ) ( ) e ( )j

np t

j

j

f t F s k u t(

"

- ." " 1 2

3 4*!

Si polo en semiplano derecho abierto, se ti i l i t

& ' 0je p5 6tiene una exponencial creciente.

Si polo en semiplano izquierdo abierto, se & ' 0je p5 %

tiene una exponencial decreciente.


Mayo de 2009

b) Polos Múltiples

& ' & ' & '1 2

1 2( )

d d ( )

rn n n

r

r

Q s s p s p s p

Q

" ( ( (

*

"

1

con , grado de ( )i

i

n n Q s"

"*

La expansión en fracciones parciales es de la formakk k

& ' & '1

1

111 12

2

1 1 1

( )n

n

kk kF s

s p s p s p

kk k

" , , ,( ( (

& ' & '2

2

221 22

2

2 2 2

n

n

kk k

s p s p s p, , , ,

( ( (

,

& ' & '1 2

2

r

r

r nr r

n

r r r

kk k

s p s p s p

,

, , , ,( ( (


Mayo de 2009

& ' & 'r r rp s p s p

b) Polos Múltiples (2)

Los residuos se calculan como Los residuos se calculan como

& ' 1

11

1 1 ( )n

ns p

k s p F s"

" (

& '

1

1

1

1

1 1 1 ( )n

n

s p

dk s p F s

ds(

"

7 8" (9 :

& ' 1

1

1

2

1 2 12

1( )

2!

n

n

s p

dk s p F s

ds(

"

7 8" (9 :1

etc.

p

Luego ser aplica anti-transformada de Laplace

1

1 nt(!

& ' 1

1e

!

nat

n

t

ns a

(, +

,

!


Mayo de 2009

c) Polos Complejos Conjugados

Los polos complejos ocurren en pares conjugados ya que Los polos complejos ocurren en pares conjugados ya que F(s) es una razón de polinomios de coeficientes reales.

Si l t j, ( ) 0Q Si es un polo, , entonces

también es un polo,

1 1 1p j; <" , 1( ) 0Q p "*

1 1 1p j; <" ( & '*

1 0Q p "

En el caso de polos simples la expansión en fracciones parciales queda de la forma,p q ,

1 2

1 1 1 1

k k

s j s j; < ; <,

( ( ( , & ' & '1 1 1 1e ej t j t

k k; < ; <, (= ,

Y su anti-transformada es

1 1 1 1s j s j; < ; <, & ' & '

& ' & '& '1

1 2

*

2 1 1 1

e e .

, ek

k k

k k

k k k k >

= ,?

" "??@ & ' & '& '

& '

1 1 1 11

1

1

1 1 1

e e e

2 e cos

j t k j t kt

t

k

k t k

< <;

; <

,> ( ,>@,?

?,>?A


Mayo de 2009

& '1 1 1?A

Valor Inicial y Valor Final

Las propiedades de valor inicial y final son las siguientes: Las propiedades de valor inicial y final son las siguientes:

0Valor inicial: lim ( ) lim ( )

stf t sF s

, +B+"

0

0Valor final: lim ( ) lim ( )

st

t sf t sF s

+B+

+B +"

Demostración (caso valor final):

dfB

C0

( ) (0 ) stdfsF s f e dt

dt(

( (( " C Propiedad de diferenciación

0 00

lim ( ) (0 ) lim ( ) (0 )st

s s

dfsF s f e dt f f

dt(

B( ( (

+ +

7 87 8( " " B ( DE F9 :

E F9 :C

G H0

0lim ( ) lim ( )s t

sF s f t+ +B

E F9 :"


Mayo de 2009

Ejemplo Respuesta Completa

Encontrar respuesta completa ante ambas entradas Encontrar respuesta completa ante ambas entradas, utilizando el método nodal y Transformada de Laplace

G H G H(0) 5 (0) 10 1 1 1 1/ 2V V RC R C R C R C

Luego ser aplica anti-transformada de Laplace

G H G H1 2 1 1 2 1 3 2 2 2(0) 5 , (0) 10 , 1, 1, 1, 1/ 2v V v V RC R C R C R C" " " " " "

g p p


Mayo de 2009

Respuesta Completa

Incorporar C I como fuentes transformar a fuentes de Incorporar C.I. como fuentes, transformar a fuentes de corriente, usar admitancias y Transformada de Laplace. Definir incógnitas E y EDefinir incógnitas E1 y E2.


Mayo de 2009

Respuesta Completa (2)

Plantear LCK en función de incógnitas Plantear LCK en función de incógnitas.

LCK en 1)1 1 1 1 1 1 1 10 2 1 2( ) (1)sGV GE CsE CV G E E" , ( , (

LCK en 2)

En forma matricial3 2 3 1 2 2 2 2 1 2 20( ) (2)sGV GE C sE G E E CV" , , ( (

1 2 1 2 1 1 1 101 sG G C s G GV CVE, , ( ,7 8 7 87 8E F E FE F

1 2 1 2 1 1 1 101

2 2 3 2 3 2 2 202

s

sG G G C s G V C VE"E F E FE F( , , ,9 :9 : 9 :

El determinante es

& ' & ' 2

1 2 1 3 2 3 1 2 2 2 3 1 1 2GG GG GG G G C s G G Cs CC sI" , , , , , , ,& ' & '1 2 1 3 2 3 1 2 2 2 3 1 1 2

2

1 2

5 4s sCC

I" , ,


Mayo de 2009

1 2CC

Respuesta Completa (3)

Por regla de Cramer Por regla de Cramer

1 1 1 10 21 21

1 sGV CV GCCE

, ("1

3 2 2 20 2 3 21 2

365 35

sGV C V G G C sC C

s

, , ,I

- ., ,1 2

& '2

2 2

5 355 35 36

(3)5 4 5 4

ss ss

s s s s s

, ,1 2 , ,3 4" ", , , ,

Expandiendo en fracciones

& '5 4s s s, ,2

1 20

5 35 36 36lim 9

5 4 4s

s sK

s s+

, ," " "

, ,en los polos simples 0, -1, -4

31 2( )KK K

E s " , ,

2

21

5 4 4

5 35 36 6lim 2

( 4) 3s

s s

s sK

s s+(

, ,, ,

" "( "(,

& '1

4

1

( )1 4

( ) 2 2 9 ( )t t

E ss s s

e t e e u t( (

" , ,, ,

" ( ( ,& '

2

34

( 4) 3

5 35 36 24lim 2

1 12s

s s

s sK

s s+

,

, ," "( "(

,57 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos

EléctricosMayo de 2009

& ' & '4 1 12s s s+( ,

Suma de Residuos

La suma de residuos de una función racional propia debe La suma de residuos de una función racional propia debe cumplir ciertas restricciones que son útiles para verificar que los cálculos sean correctosque los cálculos sean correctos

& '1 10 1

lim ( ) lim lim

m m mmb s b s b s

sF s s K

( ,, , ," " "

"

& '1

0 1

lim ( ) lim limnn ns s s

n

n n

sF s s Ksa s a s a

K s

(+B +B +B, , ,

* *

"

Donde K es el factor de escala

D d > h 2 lt d ibl1 1

limj

js

j jj

K sK

s p+B" "

",* * Donde K es el factor de escala

y los Kj son los residuos

Dado que n>m, hay 2 resultados posibles

0 si n 1n mK

6 ,=@* Nota: Verificar que esto

1 si n 1j

j

KK m"

" @" ,A

* Nota: Verificar que estose cumple en el ejemplo anterior. Comprobar con el valor inicial


Mayo de 2009

valor inicial.

Diseño de Funciones de Red

Diseño: Encontrar un circuito que realice una función de Diseño: Encontrar un circuito que realice una función de red dada, con valores prácticos para los elementos.

Divisor de voltaje

1

2 21

1 1 2

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

V s Z sH s

V s Z s Z s" "

,

22

1

1 1 2( ) ( ) ( )

Divisor de corriente

2 2( ) ( )( )

I s Y sH 2 2

2

1 1 2

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )H s

I s Y s Y s" "

,


Mayo de 2009

Circuitos de Primer Orden

Se desea realizar la función de red Se desea realizar la función de red.

( )K

H s "

Esto se puede hacer con un divisor de voltaje

( )H ss J,

p j

2

1 2

( )( )

( ) ( )

Z sKH s

s Z s Z sJ" "

, ,

Donde

1 2( ) ( )s Z s Z sJ, ,

2

1 2 1

( )

( ) ( ) ( )

Z s K

Z s Z s s Z s s KJ J

"

, " , D " , (

Existen muchas formas de realizar Z1 y Z2

1 2 1( ) ( ) ( )Z s Z s s Z s s KJ J, , D ,


Mayo de 2009

Diseño RL

( )2 2

1 1

( )

( ) , con 1[ ], [ ]

Z s K R

Z s s K Ls R L H R KJ J

" "

" , ( " , " " ( K

Sujeto a la restricción K JL


Mayo de 2009

Diseño RC

( )Z sK s 2

1 2

( )( )

1 ( ) ( )

Z sK sH s

s Z s Z sJ" "

, ,

& '2 2 2( ) 1 con 1 [ ]

1 1

Z s K s C s C K F

KJ

" " "

(& '1 1

1

1 1( ) 1 , con [ ], 1[ ]

KZ s R C F R

s C s K

JJ

" , " , " " K(

Sujeto a la restricción K JL


Mayo de 2009

Ejemplo 2

Se desea realizar la siguiente función de red con R y C Se desea realizar la siguiente función de red con R y C

( )Ks

H s "

Esto se puede hacer con un divisor de voltaje

( )H ss J,

p j

2

1 2

( )( )

1 ( ) ( )

Z sKH s

s Z s Z sJ" "

, ,

Donde

1 21 ( ) ( )s Z s Z sJ, ,

2 2( ) [ ]

1 1( ) 1 1 [ ] [ ]

Z s K R

Z K R R K C FJ

" " K

K1 1 1 1

1

( ) 1 , con 1 [ ], [ ]Z s K R R K C Fs C s J

" ( , " , " ( K "


Mayo de 2009

Diseño de Circuitos Activos con OPAMP

Combinan ganancia de amplificación con características Combinan ganancia de amplificación con características de respuesta de frecuencia de los elementos pasivos RLC

L di ñ i d i d t i Los diseños no requieren de inductancias que son grandes y costosas, basta elementos R y C

OPAMP tiene una baja impedancia de salida, lo que hace que pueda conectarse en cascada sin alterar la función de red de la etapa (a diferencia del divisor de voltaje)

La función de red puede dividirse en etapas que se La función de red puede dividirse en etapas que se diseñan en forma independiente, y que al conectarse en cascada realizan la función deseadacascada realizan la función deseada


Mayo de 2009

Factor de Escala

En general los valores típicos de elementos pasivos son: En general los valores típicos de elementos pasivos son:

:1 a 100

100 100

C pF F

L H H

M:100 a 100

:10 a 100

L H mH

R M

MK K

Un OPAMP debe tener una resistencia de realimentación mayor a 10kK para mantener una corriente de salida mayor a 10kK para mantener una corriente de salida dentro de sus capacidades

C it i d di ñ T d l i t i d b Criterio de diseño: Todas las resistencias deben ser mayores a 10kK


Mayo de 2009

Factor de Escala (2)

Se puede escalar la magnitud de las impedancias sin Se puede escalar la magnitud de las impedancias sin cambiar la función de red

( )( )k k ZZ 22

1 2 1 2

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

m m

m m m

k k Z sZ sH s

k Z s Z s k Z s k Z s" "

, ,

Sea p: posterior y a: anterior

C, , a

p m a p m a p

m

CR k R L k L C

k" " "

Usualmente se obtiene primero un prototipo con valores de elementos demasiado pequeños o grandes. Se aplica el factor de escala para producir el diseño final con valores prácticos para los elementos.


Mayo de 2009

Prototipo 1: Divisor de Voltaje con Ganancia

2 ( )( ) con

( ) ( )

A BZ s R RH s K K

Z s Z s R

! !

1 2( ) ( ) BZ s Z s R


Mayo de 2009

Prototipo 2: Amplificador Inversor

( ) ( )V s Z s0 2

1

( ) ( )( )

( ) ( )i

V s Z sH s

V s Z s! ! "


Mayo de 2009

Prototipo 3: Amplificador No-Inversor

0 1 2( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

V s Z s Z sH s

V s Z s

! !

1( ) ( )iV s Z s


Mayo de 2009

Diseño: No existe solución única

Una función de red se puede particionar en etapas de Una función de red se puede particionar en etapas de primer orden de distinta manera

S d l i d l t ti (i Se puede ocupar cualquiera de los prototipos (inversor, no-inversor, divisor de voltaje + OPAMP) para realizar un blbloque

Una vez seleccionado un prototipo hay varias formas de asignar valores a los elementos

Cada etapa requiere un factor de escala diferente para Cada etapa requiere un factor de escala diferente para obtener valores de elementos en los rangos prácticos


Mayo de 2009

Diseño con Amplificador Inversor

( )Z ss $ 2

1

( )( )

( )

Z ssH s K

s Z s

$

%

! " ! "

Diseño RC

& ' & '1 1 1 1 1( ) 1 1 con ,Z s Ks K C s G G K C K$ $! ! ! !& ' & '1 1 1 1 1

2 2 2

1 1( ) , con 1,Z s C G

s C s G

$ $

%%

! ! ! ! 2 2s C s G%

1/!1/(k")

1

+

-

k


Mayo de 2009

Diseño en Cascada

Diseñar un circuito RC que realice la siguiente función de Diseñar un circuito RC que realice la siguiente función de red

1 100( ) 10

sH s

!

& '& '( ) 10

1 20 1 1000H s

s s!

Para lograr este objetivo se descompone la función de rede en el producto de 2 bloques de primer orden. p q pExisten varias formas de hacer esto mismo.

& '1 100 10& '

& ' & '

1 100 10( )

1 20 1 1000

sH s

s s

!

Seleccionaremos prototipos con amplificadores inversores


Mayo de 2009

Bloque 1

La función de red a realizar es La función de red a realizar es

& '

& '2

1 100( ) sZ s !& '1( ) 1 20Z s s

& ' & '1 1 1 1 1( ) 1 1 100 1 con |1, 1 100Z s s C s G G C! ! ! !& ' & '

& '

1 1 1 1 1

2 2 2

1 1( ) , con 1 20, 1

1 20Z s C G

s C s G! ! ! !

Prototipo de diseño bloque 1

& ' 2 21 20s C s G


Mayo de 2009

Bloque 1

Para hacer que las resistencias sean del orden de 10k( o Para hacer que las resistencias sean del orden de 10k( o más, se usa un factor de escala 410mk !

10 , 1y5p pR k C F)! ( !

Diseño final bloque 1


Mayo de 2009

Bloque 2

La función de red a realizar es La función de red a realizar es

& '2 ( ) 10Z s

!& '1( ) 1 1000Z s s

1( ) 1 10Z s !

& '

1

2 2 2

2 2

1 1( ) , con 1 1000, 1

1 1000Z s C G

s C s G! ! ! !

Prototipo de diseño bloque 2

& ' 2 21 1000s C s G


Mayo de 2009

Bloque 2

Para hacer que las resistencias sean del orden de 10k( o Para hacer que las resistencias sean del orden de 10k( o más, se usa un factor de escala 510mk !

10 y100 , 10p pR k k C nF! ( ( !

Diseño final bloque 210[nF]

10 [k#]100 [k#]


Mayo de 2009

Régimen Permanente Sinusoidal (RPS)

! Considere una red lineal-invariante con una única entrada ! Considere una red lineal invariante con una única entrada sinusoidal

! Notar que ! "1 m m( ) I I cosj ti t e e t# #$% $! Notar que

! donde es el operador parte real

! "1 m m( ) cosi t e e t#%

! "e% !

! Es más conveniente trabajar con la exponencial compleja, ya que su anti-transformada de Laplace es

! " & 'm mI Ij tL e s j# #$ (


Junio de 2009

Régimen Permanente Sinusoidal (2)

! La T de Laplace de las ecuaciones nodales dan origen a la ! La T. de Laplace de las ecuaciones nodales dan origen a la siguiente expresión matricial

& '( ) IE j) *) *

+ ,

& '1 m

2

( ) I

( ) 0( )

e

e

E s s j

E sY s

#) ( *) *- .- .- .- . $- .- .

+ ,( )

( ) 0

n

ne

Y s

E s

- . $- .- .- .- .

/ 0 / 0

" "

! donde el subíndice “e” en los voltajes de nodo a nodo de f i (i ó it ) d b l t d i l

( )ne/ 0 / 0

referencia (incógnitas) se debe a la entrada exponencial

! es la matriz nxn de admitancias nodales, cuyo ( )nY sn

determinante es 1

( ) ( ) ( ) para algunn

n ij ij

i

s Y s s j$

1 $ 12


Junio de 2009


! Donde & '( ) cofactor 1 veces el determinantej i

ij ijs Y es3

1 $ (! Donde

que se obtiene de eliminar la fila i y la columna j de

& '( ) cofactor 1 veces el determinanteij ijs Y es1

( )nY s

! Por regla de Cramer se obtiene la incógnita E2e como

12 ( ) Ims1

! Donde

& '12

2

( ) Im( )

( )e

n

sE s

s s j#1

$1 (

! Donde12 ( )

( )( )

sH s

s

1$1

! Suponiendo que todos los polos de H(s) están en el

( )n s1

! Suponiendo que todos los polos de H(s) están en el semiplano izquierdo abierto, es decir ! " 0je p j% 4 5


Junio de 2009


! La expansión en fracciones parciales de (1) se puede ! La expansión en fracciones parciales de (1) se puede agrupar en 2 tipos de términos

a)& '

1 ( 1)

( 1)!

j

kLp tjk

jkk

K tK e

ks p

( (

6(

Todos estos términos tienden acero cuando t tiendo a infinito

b)1

m( ) I( ) I

Lj tH jK

H j e ###

(

$ 6

& ' ( 1)!j

ks p(

Este es el únicotérmino que b)

& ' & ' m( ) IH j es j s j

## #

6( (

término que sobrevive en régimenpermanente, por esoRPS! Ya que el residuo K es calcula como

mIlim ( ) ( ) ( ) IK s j H s H j# #$ ( $

RPS

& ' mlim ( ) ( ) ( ) Is j

K s j H s H js j#

# ##6

$ $(


Junio de 2009


! Para t suficientemente grande la respuesta en el tiempo ! Para t suficientemente grande la respuesta en el tiempo es

1

2 2 m( ) [ ( )] ( ) I j t

e ee t L E s H j e ##($ 7

& '2 2 m

2 2 m( ) [ ( )] ( ) I cos ( )

e e

ee t e e t H j t H j# # #$% 7 3#

Cuando la respuesta en régimen permanente sinusoidal se obtiene evaluando la función de red en

t !s j"#

( ) ( )s j

H s H j"

"##

j

Esto corresponde a la razón entre el fasor de entrada y el

s j"

fasor de salida en RPS a la frecuencia "


Junio de 2009

Filtros La idea es eliminar o atenuar ciertas componentes de La idea es eliminar o atenuar ciertas componentes de

frecuencia de la forma de onda.

R

( )t

SR

R( )v t LR

Fuente Periódica

o de Frecuencia Variable

Carga

Filtro Pasa Bajos: Deja pasar bajas frecuencias y bloquea las altas.

Filtro Pasa Altos: Deja pasar las altas frecuencias y atenúa las bajas frecuenciasj


Junio de 2009

Ejemplo: Circuito RL Serie

SR

Lz j L"#

0 en 0" #

( )V sen t"% % LRLI

Lz j L" en "! # !

A una determinada frecuencia se tiene:" A una determinada frecuencia se tiene:

L

L

VI

R R j L"#

& &!

"

' ( ' ( ' (2 2 2

1

1

s L

L

s Ls L

R R j L

V VI

R RR R L L

R R

"

" "

& &

# #&& & ) *

& + ,- .

!

1tan

s L

L

s L

R R

LI

R R

"/

+ ,&- .

) *# / + ,&- .!"


Junio de 2009

Respuesta de Frecuencia

I ' (' ( cIH jw

V#

1

R R

' (H jw"

0

s LR R&0.707

s LR R&

s LR R& w0 w90/ #

Filtro pasa bajos ideal

s Lcw

L#

Filtro pasa-bajos ideal

Magnitud unitaria0' (H jw

Magnitud unitaria

Frecuancia de corte cw

0

01

0cw w

10 Ancho de bandaB w# /


Junio de 2009

0 Ancho de bandacB w#

Frecuencia de corte

Frecuencia de corte frecuencia a la cual la magnitud $ Frecuencia de corte frecuencia a la cual la magnitud de la función de transferencia es igual a .

P l filt b j RL i

max

1

2H

$

Para el filtro pasa-bajos RL serie

1 1 1

2

1 1 1( ) ( 0)

21

C

s LC

H j H jR R

L

""

# #& ) *

& + ,1

1

s L

C s L

R R

L R R""

& + ,&- .&

2 # 2 #1 C

s LR R L"2 # 2 #

&


Junio de 2009

Frecuencia de corte (2)

A la frecuencia de corte la potencia media entregada por A la frecuencia de corte la potencia media entregada por el circuito es la mitad de la máxima potencia media.

max

max

max

max

1 1( ) ( )

2 2

L

L C C L

I H V

I j H j V H V I" "

#

# # #max

max

max

2

2

2 2

1 1 1( ) ( )

2 2 2

L C C L

C L C L L LP j I j R I R" " ) *# # + ,

- .

max

2

max

2 2 2

1 1( )

2 2 2

L

C L

IP R P"

- .

# #

En la banda aceptada la potencia media entregada a la p p gcarga es al menos el 50% de .maxP


Junio de 2009

Filtro Pasa-bajos de Primer Orden

Cualquier circuito con función de transferencia Cualquier circuito con función de transferencia,

1( ) CH

"( )

1

C

C

C

H sss ""

# #& &

es un filtro pasabajos de primer orden, con frecuencia de corte "corte

Ejemplo: Circuito RC serieR

c"

R

&

iv 0v

/C


Junio de 2009

Diagrama de Bode

La ganancia de amplitud se expresa en Decibeles [dB] La ganancia de amplitud se expresa en Decibeles [dB]

10( ) 20log ( )dB

H j H j" "#

Puede ser positiva, negativa o cero

10( ) 0 og ( )dB

j j" "

p g

El decibel proviene originalmente de una razón de potencias Ppotencias

10Número de 10 log salida

entrada

PdB

P#

Suponiendo que se mide sobre una misma resistencia se tiene 2

Salvi

) *) * ) *+ ,

2Número de 10 log 20log ó 20logSal Sal

En En En

v iRdBv v iR

) * ) *+ ,# # + , + ,+ ,- . - .+ ,

- .


Junio de 2009

Diagrama de Bode

Los diagramas de Bode pueden ser de magnitud o fase Los diagramas de Bode pueden ser de magnitud o fase

20log ( ) vs log Magnitud en [ ]H j dB" "

Para el filtro pasa-bajos de primer orden ( ) vs log FaseH j" ""

p j p

1 1( ) ( )

1 1

H s H js

j

""

# 2 #& &

2

1 1

1( ) 20log ( ) 10log 1

C C

j

H j H j

" "

"" "

& &

3 4) *5 6# 2 # / & + ,

2( ) 20log ( ) 10log 1

1C

C

H j H j" """

"

5 6# 2 # & + ,5 6- .) * 7 8

& + ,- .

Si 20log Recta de pendiente -20

Si 0 Si 10l 2 3[ ]

C

C

dBdécada

dB

"" "

") * 3 49 / + , 7 8- .

%

&


Junio de 2009

Si 0; Si 10log 2 3[ ]C C dB" " " "9 # 9 / # /&

Diagramas Asintóticos de Bode

Diagrama de Bode de magnitud Diagrama de Bode de magnitud

Asíntotas0

dB

20dB década/20/

0

1 10

Una década es un rango de frecuencia de razón 10:1

C

""

1 10

Una década es un rango de frecuencia de razón 10:1

Diagrama de Bode de fase) *1( ) tan

C

H j"

""

/ ) *% # / + ,

- .'

0º

Grados90ºC" ":: 2 /

45ºC" "# 2 /0ºC" ";; 2

1 100 1

0º

45º/90º/

"

C


Junio de 2009

1 100,1C"

Filtro Pasa-altos de Primer Orden

Cualquier circuito con función de transferencia Cualquier circuito con función de transferencia,

s

( )

1

C

C

C

sH s

ss

""

"

# #& &

es un filtro pasa-altos de primer orden, con frecuencia de corte

C

"corte

Ejemplo 1: Circuito RL serie

c"

R

&

V! 0V

/

!L


Junio de 2009

Ejemplo 2: Circuito RC Serie

RSR

!

1Cz

j C"#

en 0"! #

( )V sen t"% % LRCIj

0 en " # !

La frecuencia de corte se calcula como1V V | |I

' (

1

1 11

C

s Ls L

s L

V VI

R RR R

j C j C R R" "

# #& ) *& & &+ ,

&- .

! | || ( ) | CIH

V" #

1

R R&' (

2max

( ) 1 1

21

1

C s LI R RH j

H V

" &# # #

) *& + ,

!S LR R&

0,707

S LR R&

' (

' (

1

1

s L

C

C R R

C R R

"

"

& + ,&- .

2 #&

"1

( )C

S LC R R" #

% &


Junio de 2009

' (s LC R R&

Diagrama de Bode filtro pasa-altos

Para el filtro pasa-altos de primer orden Para el filtro pasa altos de primer orden

( ) ( )CC

js

H s H j

"""

"2

2

( ) ( )

1 1

C

C C

H s H js

j

""

" "

# 2 #& &

El segundo término a la derecha de la igualdad ya es

2

20log ( ) 20 log 20log 1 (*)C C

H j" "

"" "

) *# / & + ,

- .

El segundo término a la derecha de la igualdad ya es conocido, es aprox. 0 hasta y luego cae con 20 dBc"

Cuando hay polos en el origen se tiene:

(20 [ / ]

120log 20 log

( )N N dB década

Nj

"" /

# /


Junio de 2009

Diagrama de Bode filtro pasa-altos

Caso de polos o ceros en el origen Caso de polos o ceros en el origen

20

40( )j "

2( )j "%dB

( )j

2( )j "%( ) 90 N< " # / %

90

180

0

20

20/40

101

( )j "%

1( )j " /%2

2( )j " /

1( )j " /%

( )j "%0( )j "%

90/

90

180

0

El diagrama de magnitud de Bode para el filtro pasa altos

40/ 2( )j " /% ( )j "%180/

El diagrama de magnitud de Bode para el filtro pasa-altos es !H!dB

0

0.1 1 10

"/"c

-20 -20 dB/Decada

c


Junio de 2009

-40

Ejercicio

Un circuito tiene el diagrama de Bode de magnitud de la Un circuito tiene el diagrama de Bode de magnitud de la figura

) E t l f ió d t f i ' (H j a) Encuentre la función de transferencia

b) Encuentre el valor ' (lim H j"

" !

' (H j"

" !

dBH

17

?

"2 8


Junio de 2009

Forma estándar de H(s)

1

2

1

( )

2

i i

sK

H s"

=

#

) *&+ ,

- .#) *) * ) *) *

>

1 1 0 0

21 1

Polos Complejos Conjugados

k k

N k

m km

ss ss

=" " "# #

) *) * ) *) * + ,& & &+ , + ,+ , + , + ,+ ,- . - . - .- .> >

p j j g

20log ( ) 20log 20 log 1 20log ( )N

i

H j K j j"

" ""

# & & /?2

2 20 log 1 20 log 1

i i

k

k

jj j

"

=" ""

" " "

) * ) */ & / & &+ , + ,+ , + ,

- . - .? ?

Propuesto: Trazar diagrama de Bode para

0 0k km km" " "+ , + ,

- . - .

1 100"@ @ Propuesto: Trazar diagrama de Bode para 10 1

50( )

1 1 1

j

H j

j j j

"

"" " "

) *&+ ,- .#

) *) *) *& & &+ ,+ ,+ ,- .- .- .

1 100"@ @


Junio de 2009

2 20 80j j j+ ,+ ,+ ,- .- .- .

Filtro Pasa-Banda Deja pasar intervalo específico de frecuencias, si es pasivo Deja pasar intervalo específico de frecuencias, si es pasivo

utiliza el fenómeno de resonancia.( )H j

1 Pasa-Banda ideal, no cambia

C C 0

ni la magnitud ni la fase en labanda de paso

Posee tres parámetros característicos

1C

2C

0

B

1) frecuencia central o frecuencia de resonancia

2) ancho de banda

0 1 2c c !

2 1c cB ! "2) ancho de banda

3) factor de calidad, es una medida de la discriminación en frecuencia del filtro

2 1c c

0Q B !discriminación en frecuencia del filtro


Junio de 2009

Resonancia

Circuito RLC serie o paralelo Circuito RLC serie o paralelo( )i t

Condición de Resonancia:(t) i(t) d b t f

( )e t RLCe(t) y i(t) deben estar en fase

0Im0Im !#%&

'()!#

%&

'()*

++

TT YóZ

RLC serie SR

TZ

RLC serie

V ,!

S

LRLI

En el capacitor presenta una impedancia infinita.0 ! En el capacitor presenta una impedancia infinita.

En la inductancia es un circuito abierto.

0

! -


Junio de 2009

Resonancia

La impedancia de la combinación LC es La impedancia de la combinación LC es

2

1 ) &

" ' #20

11 1

LC

LCZ j L

j C j C j C

"' #" ( %! $ ! !

Cuando se tiene que y

donde la función de transferencia es

0

1

LC ! ! 0LCZ ! 0 max

1( )

s L

H HR R

! !$

donde la función de transferencia es

1( ) LIH ! !

) &

/ 0

( )1

1 1 1( )

s L

HV

R R j LC

H

) &$ $ "' #( %

/ 0/ 0

/ 0

2 222

( )1 1

1s L

s L

s L

HR R

LCR R LC C R R

! !$) & ) &"$ $ " $' # ' #( % $( %


Junio de 2009

Frecuencias de corte

La condición para las frecuencias de corte es La condición para las frecuencias de corte es

/ 0

2

max 1( ) 1 (*)

2C

H LCH

C R R

"! * ! 1

$

a) Considerando +1 en (*)

/ 02 s LC R R $

) ( )

2 10s LR R

L LC

$) &$ " !' #( %

/ 0R R$

/ 0 / 02

2

1 4,

2 2

s L s LR R R R

L L LC $ " " $ $

! 1 $

Se define

Se encuentra que (la solución de frecuencia negativa no

/ 0 2 2

0,2

s LR R

L2 2 2 $ "$

* ! " 1 $#

Se encuentra que (la solución de frecuencia negativa no tiene sentido)

1

2 2

0C 2 2 ! " $ $


Junio de 2009

1

Frecuencias de corte b) Considerando -1 en (*) se obtiene) ( )

2 2

0C 2 2 ! $ $ Ancho de Banda

1 0C 2 2

2 12 s L

C C

R RB

L 2

$! " ! !

F d lid d0

Si la carga afecta el ancho de banda

Si varía, varía pero es fijo.

R B

C B 3 3

Factor de calidad

(1)0 0 0LQ

! ! !

Para

2 s L

QB R R2 $

0010

2Q

Q

2 !$ %

1 20 0,C C 2 24 " 4 $


Junio de 2009

Q

Resonancia

Para el circuito RLC serie Para el circuito RLC serie

/ 0 / 01 1 1

( )1

L

HR R

R R j L

! !$) & ) &

' #

Sea

/ 0 / 00

0

11s L

s L

R RR R j L jQ

C

$) & ) &$ $ " $ "' # ' #( % ( %

1s LR R$ !

1 0

12 2

02 0

1( ) , ( ) tan , ( )

2 2H H Q H

5 5

") &) &

! ! " " " 6 6' #' #' #( %( %7 8) &9 :

& &

2 0

0

1 Q

) &

9 :$ "' #9 :( %; <


Junio de 2009

Filtros Pasa-banda y Rechaza-Banda

Filtro pasa-banda tiene función de transferencia Filtro pasa banda tiene función de transferencia,

2 2( )

BsH s !

2 2

0

( )H ss Bs $ $

Filtro rechaza-banda tiene función de transferencia,

2 22 2

0

2 2

0

( )s

H ss Bs

$!

$ $( )H j

FiltroRechaza Banda Ideal"


Junio de 2009

1C

2C

Filtro Pasa-bajos Activo

1 'R1R

0 0 iV

S i S

v v vA

v v v! ! =

"

$R

Sv 0viv 0i iv v v"

!C

1 1

0 1

'

'1

R R

v R

!

) &* ! $' #

1iv R' #( %

1 1conS i iv v v

s C v "

! = = * ! !0

0

con

1i

S

s C vsR v R C

! * ! !=$

1 1

0

(1 ' )

1V

R RA

s

$!

$


Junio de 2009

0

Filtro Pasa-altos Activo

0 0 iV

v v vA ! ! =

1 'R1R

S i Sv v v

0 1 '1

v R) &! $' #

"

1

1

Divisor de voltaje

i

S

v R

R vv

$' #( %

=* !

$C

Sv 0viv

Divisor de voltaje1

iv

Rs C

* !) &$' #=( %

R

0

0

1, i

S

v s

v s R C

! !

$ =


Junio de 2009

Filtros Pasa-banda Activo

Conexión en cascada de circuitos pasa-alto y pasa-bajo Conexión en cascada de circuitos pasa alto y pasa bajo

( )H s ( )H s$ $

1( )

Pasa-alto

H s 2 ( )

Pasa-bajo

H s1( )V s

"2 ( )V s

"

1 21 2 1 2( ) ( ) ( ) , con

K s KH s H s H s

s s

) & ) &=

! = ! = >>' # ' #$ $( % ( %1 2

1 2

2 2 2 2

1 2

| | | || ( ) |

s s

K KH j

$ $( % ( %

) & ) &=' # ' #= ! =' # ' #$ $( % ( % | ( ) |H j1 2

1 21 2

1 2

| |

| |

K K

K K

( % ( %= =

>> >> ?=

| ( ) |H j =

1 21 2

2

1 22 1

| |

| |

K K

K K

=>> >> ?

=@@ @@ ?

1 2


Junio de 2009

2 1

Filtros Pasa-banda Activo

Conexión en cascada Conexión en cascada

'RR'RR

"

$2R

0v"

'v

2C$

1C

1R

Sv 0v

2

0 0 0 1' ' 1

1v v v sR

A ) &

' # P Dib j0 0 0 1

0

1 2

1'

1 1V

S S

As sv v v R

) &! ! = ! $ = =' #( % $ $

Propuesto: Dibujarel diagrama de Bode de magnitud

1 2

1 1 2 2

1 1

R C R C ! >> !

= =


Junio de 2009

Filtros Rechaza-banda Activo

Conexión en paralelo Conexión en paralelo

1( )H s

Pasa-alto

1( )V s 2 ( )V s$

$

1 21 2

2 2 2 2

1 2

| | | || ( ) |

K KH j

) & ) &=' # ' #= ! $ @@' # ' #$ $( % ( %

2 ( )

Pasa-bajo

H s

1 2

22 1

2

| || | cte.

KH

( % ( %

>> >> ? !

1 2 1

21

| | | | cte.

| | (Se escoje | | )

H K

KK

@@ @@ ? !

!| |H 2

22

2

| |K

@ ?

| |H

11

1

| |K

=

> ? 1

Pasa-alto

'()(*2

Pasa-bajo

'()(*


Junio de 2009



Unidad 4


Nú C l jNúmeros Complejos! Representación en coordenadas rectangulares

! Representación en coordenadas polares

! ", , Im( )z x jy e z x z y# $ % # #

2 2 1, , tanj yz z e z x y z& ! " #$ $ % $ $& '

( ) , ,

cosj

yx

e jsen

& '( )

$ %

Nota: Tomar en cuenta los

cos ,x z y z sen $ $

Nota: Tomar en cuenta los

signos de x e y para

especificar el cuadrantep


Junio de 2009

FFasores

Fasor: Número complejo que representa una sinusoide de determinada frecuencia

Fasor

( ) cos( )mx t A t+ ,$ - - % | |j

mA A e A, ,-$ - $" #

( )j te A e +- -. -" +

( )( ) ( )j t j te A e e A e+ + ,- - - %. - $ . -"( ) ( )me A e e A e. .

[ cos( ) ( )]m me A t j A sen t+ , + ,$. - - % % - - - %

cos( )A t+ ,$ %

Im( )j tA e +- --"

( ) ( )y t A sen t+ ,$ %


Junio de 2009

cos( )mA t+ ,$ - - % ( ) ( )my t A sen t+ ,$ - - %

T P i i lTeorema Principal

La suma algebraica de cualquier número de sinusoides de la misma frecuencia angular y de cualquier número de sus derivadas de cualquier orden es también una sinusoide de l i f i lla misma frecuencia angular

La demostración de este teorema se basa en tres lemas l i l d

+

( ).relativos al operador

Lema 1: Operador es lineal

( )e. -

( )e. -

Sean números complejos

Aditividad

1 2,Z Z

1 2 1 2[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]e Z t Z t e Z t e Z t. % $. %.

Homogeneidad 1 1[ ( )] [ ( )],e Z t e Z t/ / /. - $ -. 0$


Junio de 2009

T P i i l (2)Teorema Principal (2)

Lema 2: Operadores conmutan1 2

( ) yd

edt

. -%

dt

( )( ) ( ) [ cos( )]j t j t

m m

d d de A e e A e A t

dt dt dt

+ + , + ,%. - $ . - $ - %"

( )( ) ( ) ( )j t j t

m m

dt dt dt

A sen t e j A e e j A e+ , ++ + , + +% -$ ! - - % $ . - - $ . - -"( ) ( ) ( )m mj j,

( ) ( ) ( )j t j t j td de Ae e Ae e j Ae

dt dt

+ + ++. $. $. -" " "

Lema 3: Unicidad

" " " "( ) ( )j t j te A e e B e+ +. - $. -" " t A B3 4 $" "

A B" " ( ) ( )j t j tA B+ +. ." "


Junio de 2009

A B$ ( ) ( )j t j te A e e B e+ +4. - $ . -

Ej lEjemplo

cos( ) ( )A t B sen t+ +% 0ºA B5

%# #cos( ) ( )m mA t B sen t+ +- - % - 0º2

m mA B% !# #

m mA j B$ ! -

2 2 cos( )m mA B t+ ,$ % - - ! 2 2

m mA B ,$ % !#

B

2 2 j j,

1tan m

m

B

A, !$

2 2[ ]j j t

m me A B e e, +! - - -. % - -


Junio de 2009

Mét d F i lMétodo Fasorial

Permite determinar la solución particular de una ecuación diferencial lineal ordinaria con coeficientes constantes, cuando la función forzante es una sinusoide.

1

0 1 11..... cos( ) (1)

n n

n n mn n

d x d x dxx A t

dt dt dt/ / / / + ,

!

!!- % - % % - % - $ - %

donde son constantes reales

Fasores

0 1, ,...., , , ,n mA/ / / + ,

jA A e ,-" & Función forzantemA A e

j

mX X e 6-" &

Función forzante

Solución particular

Reemplazando en (1)( ) ( )j tx t e X e +$ . -"


Junio de 2009

Mét d F i l (2)Método Fasorial (2)

0 ( ) ..... ( ) ( )n

j t j t j t

n

de X e e X e e A e+ + +/ /- . - % % -. - $ . -"" "

Por lema 1

0 ( ) ( ) ( )nndt

nd

Por lema 2 aplicado repetidamente

0( ) ..... ( ) ( )n

j t j t j t

nn

de X e e X e e A e

dt

+ + +/ /. - - % %. - - $ . -"" "

Por lema 2 aplicado repetidamente

Por lema 1

0( ( ) ) ..... ( ) ( )n j t j t j t

ne j X e e X e e A e+ + +/ + /. - - % %. - - $ . -"" "

Por lema 1

P l 3

1

0 1 1{[ ( ) ( ) ..... ( ) ] } ( )n n j t j t

n ne j j j X e e A e+ +/ + / + / + /!!. - - % - % % - % - - $ . -""

Por lema 31

0 1 1

(*)

[ ( ) ( ) ..... ( ) ]n n

n nj j j X A/ + / + / + /!!- % - % % - % - $ ""

'(((((((()((((((((*


Junio de 2009

(*)


Si (*) es distinto de cero

1

0 1 1( ) ( ) ..... ( )n n

n n

AX

j j j/ + / + / + /!!

$- % - % % - %

""

La magnitud es

mAX $1

2 2 3 2 22 1 3

potencias pares de potencias impares de

[ ( ...) ( ...) ]

m

n n n n

X

+ +

/ / + / + / +! ! !

$

! - % % - ! - %'((()(((* '(((()((((*

Y la fase es3" #%3

1 1 3

2

2

....tan

....

n n

n n

/ + / +6 ,

/ / +! ! !

!

" #- ! - %$ ! & '! - %( )


Junio de 2009


Si (*) es igual a cero, quiere decir que jw es una raíz del polinomio característico, o sea la frecuencia de la función forzante coincide con una frecuencia natural.

En ese caso la solución particular es del tipo

cos( )t A t+ ,- - %

Por lo tanto no existe régimen permanente sinusoidal

cos( )t A t+ ,%

g p(RPS) en esta situación.


Junio de 2009

C G lCaso General

El desarrollo previo se puede generalizar a un circuito lineal-invariante descrito por la ecuación diferencial

1 1n n m md y d y d w d w! !

1 0 11 1..... .....n mn n m m

d y d y d w d wa a y b b b w

dt dt dt dt! !% - % % - $ % - % % -

Donde y son números reales1 2, ,..., na a a1 2, ,..., mb b b

( ) ( ) | | cos( )j tw t e A e A t+ + ,$ . - $ - %"| | jA A ,-"

Las k ésimas derivadas de w(t) e y(t) se reemplazan

( ) ( ) | | cos( )w t e A e A t+ ,$ . - $ - % | | jA A e ,$ -

( ) ( ) | | cos( )j t

py t e B e B t+ + 6$ . - $ - %" | | jB B e 6-$ -"

Las k-ésimas derivadas de w(t) e y(t) se reemplazan, respectivamente, por ( ) , 0, ,kj A k m+ - $" +

( ) 0kj B k"


Junio de 2009

( ) , 0, ,kj B k n+ - $ +

C G l (2)Caso General (2)

Se obtiene la ecuación algebraica

1 1

1 0 1[( ) ( ) ... ] [ ( ) ( ) ... ]n n m m

n mj a j a B b j b j b A+ + + +! !4 - % - % % - $ - % - % % - ""

Ejemplo

i2

( ) L Ld i dii t LC LG i

si R L C

Li 2( ) L Ls Li t LC LG i

dt dt$ % %

( ) | | cos( ) ( )j t

s si t I t e I e ++ ,$ % $ . "

j,"

S l ó l

| | j

sI I e ,$

j t" Solución particular ( ) ( ) | | cos( )j t

Lp L Li t e I e I t+ + 6$. $ %


Junio de 2009

Ej l (C ti ió )Ejemplo (Continuación)

La relación entre los fasores de entrada y salida es:

2[ ( ) ( ) 1] L sLC j LG j I I+ +- % - % - $" "

2[ ( ) ( ) 1]

sL

II

LC j LG j+ +$

- % - %

""

12 2 2 2

| || |

(1 ) ( )

sL

II

LC LG+ +$7 8! %9 :

""

Magnitud(1 ) ( )LC LG+ +7 8%9 :

1

2tan

1

LG

LC

+6 , ! " #$ ! & '

( )Fase

21 LC+& '!( )


Junio de 2009

R t C l t RPSRespuesta Completa y RPS

( ) cos( )s mv t V t+ ,$ - - %

La respuesta de cualquier variable de red “y” es de la La respuesta de cualquier variable de red y es de la forma:

( ) ( ) ( )h py t y t y t t$ % 3

( ) is t

h i

i

y t k e-$ -;

k

( ) cos( )p my t A t+ ,$ - - %

ik


Junio de 2009

Ré i P t Si id lRégimen Permanente Sinusoidal

1) Si todas las frecuencias naturales de la red están en el semiplano izquierdo abierto, entonces ésta se dice asintóticamente estable.

lim ( ) 0hty t

<=$

lim ( ) ( ) cos( )y t y t A t+ 6$ $ %

Independiente de las condiciones iniciales

A esta respuesta se le denomina régimen permanente

lim ( ) ( ) cos( )p mty t y t A t+ 6

<=$ $ - %

p g psinusoidal (RPS)

2) Si una o más de sus frecuencias naturales están en el )semiplano derecho abierto (del plano de la frecuencia compleja), el circuito es inestable, y lim ( )h

ty t

<$ =


Junio de 2009

t<=

Ré i P t Si id l (2)Régimen Permanente Sinusoidal (2)

3) Para frecuencias naturales imaginarias puras.

i) Raíces simples:

Solo si no es una frecuencia natural existirá régimen á d l

j+permanente aunque no será sinusoidal

Si

2 2

0 1 0 2 0,s s j s j+ + +% < $ - $ ! -

+ +> Si 0+ +>0 0

1 2 0( ) cos( )

( ) cos( )

j t j t

h

p

y t k e k e k t

y t B t

+ + + ,

+ 6

- ! -$ - % - $ - %

$ - %

Si la respuesta contiene un término

( ) ( )py 6

0+ +$

cos( )A t t+ ,%

Es inestable, no existe RPS en este último caso

ii) Raíces múltiples: es siempre inestable no existe RPS

cos( )A t t+ ,- - %

ii) Raíces múltiples: es siempre inestable, no existe RPS


Junio de 2009

R l i F i l El tRelaciones Fasoriales para Elementos

j t"

( ) ( )j tv t e V e +- -$. -"( ) ( )j ti t e I e +- -$ . -

Resistencia ( ) ( ) ( ) ( )j t j tv t R i t e V e R e I e+ +- - - -$ - <. - $ -. -" "

( )j te R I e +- -$. - -"( ) ( )i t G v t$ ( )e R I e$. - -V R I4 $ -" "

I G V$ -" "

( ) ( )i t G v t$ -

+

I"

V R I$ -" "

V I $ $" "# #V" I"

Fasor rota a frecuencia angular w, su proyección sobre el eje real es x(t)

( )


Junio de 2009

R l i F i l El tRelaciones Fasoriales para Elementos

Capacitor

Lema 2

dvi C I j CV+$ < $" "

+V"

90ºI V$ %" "# #

"

1 1

jdt

v idt V IC j C+

$ $? " "V"#

I

El fasor corriente

Inductoradelanta al fasor voltaje en 90º

div L V j LI

d+$ < $" "

+ V"

1

jdt

ó I Vj L+

$" "

90ºI V$ !" "# #V"#

+ V 90I V# #

El fasor corriente está 90º en atraso con respecto al fasorvoltaje


Junio de 2009

I"voltaje

I d iImpedancia

N: Una-puerta lineal-invariante

j t"

( )si t( )v t

Se define impedancia de punto motriz del una puerta N, a la

( ) ( ) | | cos( )

( ) ( ) | | cos( )

j t

s s s s

j t

i t e I e I t I

v t e Ve V t V

+

+

+

+

- -

- -

$ . $ %

$. $ %

#

" #

Se define impedancia de punto motriz del una puerta N, a la frecuencia , como la razón entre el fasor voltaje de salida y el fasor corriente de entrada

+

| |( ) | ( ) |

| |s s

V VZ j Z j

I I+ +< $

"& "

,

( ) sZ j V I+ $ !" "# # #

( ) ( ) ( ( ) )j t

s sV Z j I v t e Z j I e ++ +$ < $." " "


Junio de 2009

( ) | ( ) || | cos( ( ) )s sv t Z j I t Z j I+ + +$ % %# #

Ad it iAdmitancia

( )i t

( )sv t

( )i t

( ) ( ) | | cos( )

( ) ( ) | | cos( )

j t

s s s

j t

v t e Ve V t V

i t e Ie I t I

+

+

+

+

$. $ %

$. $ %

" "#

" "#

Se define admitancia de punto motriz del una puerta N, a la

( ) ( ) | | ( )

Se define admitancia de punto motriz del una puerta N, a la frecuencia , como la razón entre el fasor corriente de salida y el fasor voltaje de entrada

+

s sV V I I$ 4 $" " " "Si

I"&

| || ( ) |

| |s

IY j

V+ $

1( )

1| ( ) |

| ( ) |Z j

Y j+ $

( )s

IY j

V+ & "

( ) sY j I V+ $ !# # #

1( )

( )Z j

Y j+

+$ | ( ) |Y j+

( ) ( )Z j Y j+ +$ !# #


Junio de 2009

s

R I d i /Ad it iResumen Impedancias/Admitancias

En resumen para los elementos RLC se tiene

R G

1/ j C+j L+

j C+1/ j L+

R G

Un circuito lineal-invariante está en RPS a frecuencia si+y solo si todos los voltajes de ramas, corrientes de ramasy voltajes nodales son sinusoides de la misma frecuenciaangular. Por lo tanto todos los voltajes y corrientes sepueden describir por fasores.


Junio de 2009

F l ió F i l L d Ki hh ffFormulación Fasorial Leyes de Kirchhoff

En RPS las ecuaciones de Kirchhoff se pueden escribir directamente en términos de voltajes fasoriales y corrientes fasoriales.

1v 2v

3v

2i1i 3i

1v 2v

4v4i4i 1 2 3( ) ( ) ( ) 0i t i t i t% ! $ t3

Sea el fasor que representa a la sinusoide con b el número de ramas

kI" ( ), 1, ,ki t k b$ +

( ) ( )j t

k ki t e I e +$. -"


Junio de 2009

F l ió F i l L d Ki hh ffFormulación Fasorial Leyes de Kirchhoff

Reemplazando en (*)

1 2 3( ) ( ) ( ) 0j t j t j te I e e I e e I e t+ + +. - %. - !. - $ 3" " "

1 2 3[( ) ] 0j te I I I e +. % ! - $" " " Lema 11 2 3[( ) ]

1 2 3 0I I I% ! $" " "Lema 3

LCK se puede plantear directamente con corrientes fasoriales

Del mismo modo aplicando LVK en el bucle 1-2-3-1

1 2 4 1 2 4( ) ( ) ( ) 0 0v t v t v t V V V! ! $ 4 ! ! $" " "

donde es el fasor que representa a la sinusoide

LVK se puede plantear directamente con voltajes fasoriales

kV" ( )kv t

p p j


Junio de 2009

C ió i d i d iConexión serie de impedancias

En RPS, las impedancias se combinan como ( )kZ j resistencias en serie

+++ - --V V V I

1Z 2Z nZ

+

+++ 1V nV2VnI

2I

1I

I

-

V

( ) ( )nV

Z j Z j ! 1 2 ... nI I I I

V V V V

" " " "

# # #

1

( ) ( )i

i

Z j Z jI

"

" $ " $! 1 2 ... n

i i i

V V V V

V Z I

" # # #

" $ 1,...,i n"


Junio de 2009

C ió l l d d it iConexión paralela de admitancias

En RPS, las admitancias se combinan como ( )kY j conductancias en paralelo

I

1Y

+

1V

V nV

2V

nI

2I

1I

nY2Y1

-

-1V n2- -n2

1

( ) ( )n

i

i

IY j Y j

V

"

" $ " $!

1 2

1 2

...

...

n

n

I I I I

V V V V

I Y V

" # # #

" " " "

"

1i n"

LCK

LVK

i i iI Y V" $ 1,...,i n"


Junio de 2009

Ej lEjemplos

12Z R j L " # $ $ [ ]% 12

1Z R

j C " #

$ $[ ]%

12

1Y G" #

12Y G j C " # $ $


Junio de 2009

12j L $ $ 12 j

A áli i N d l RPSAnálisis Nodal en RPS

0v1R 4R3R2R

si

j C

G G3G2G

I 1ee

En RPS usando admitancias3e1G 4GsI

j L 2e1e

( ) cos( ) j

s si t A t I Ae ' ' $" # ( "


Junio de 2009

A áli i N d l RPS (2)Análisis Nodal en RPS (2)

1 1 2 1 2 1 3( ) ( )sI G E G E E j C E E " # ) # ) 3s

2 1 2 2 3 2 3

10 ( ) ( )G E E E G E E

j L " ) ) # # )

$ $

0 ( ) ( )G E E G E j C E E 3 2 3 4 3 1 30 ( ) ( )G E E G E j C E E " ) ) # ) )

G G C G C* +1 2 2

1

2 2 3 3 2

3

10

0

s

G G j C G j CE I

G G G G Ej L

E

* +# # ) )* + * +, -, - , -, -) # # ) ", - , -, -, - , -, - . / . /

3

3 3 4

0Ej C G G G j C

, - . / . /) ) # #. /

Fuera de la diagonal:

suma de admitancias entre

Diagonal: Suma de

admitancias en nodo i i

Suma de fuentes de corriente

ingresando al nodosuma de admitancias entre

nodos y

-

i j

admitancias en nodo i iingresando al nodo


Junio de 2009

A áli i d ll RPSAnálisis de mallas en RPS

Determinar en RPS( )Li t

1C 2Cse1

1

j C sE

2

1

j C

3R

1R

R 3R

1R

R

1I

2I

0 11 1R " %Li

32R

L

2R

j L $ $

3I

0 10 10 10 1

1

1

1

1

1

1

R

R

L H

" %

" %

" 0 10 10 1

0 1

1

2

1

4

cos(2 )s

C F

C F

e t V

"

"

"


Junio de 2009

0 1( )s

A áli i d M ll RPS (2)Análisis de Mallas en RPS (2)

Fuera de la diagonal:

!suma de impedancias comunes

entre mallas i y j

1 2 1 2

1

1R R R R

j CI E

* +# # ) ), -, - * + * +

entre mallas i y j

11

1 1 3 3 2

2

3

1

0

s

s

jI E

R R R R I Ej C

IR R R R j L

, - * + * +), - , - , -

) # # ) " #, - , - , -, - , - , -. / . /, -

3

2 3 2 3R R R R j L . / . /, -) ) # #, -. /

Suma"de"fuentes"de"

voltaje con subidaDiagonal: Suma de

impedancias en malla i

voltaje"con"subida"

de"voltaje"en"la"

dirección"de"la"

corriente


Junio de 2009

corriente

A áli i d M ll RPS (3)Análisis de Mallas en RPS (3)1

2 1 12j

# ) )2

11 2 1

8

j

j) # #

3

1 1 0

12 1 1

I

) )

"# ) )

2 1 12

11 2 1

8

j

j

#

) # )

1 1 2 2j) ) #


Junio de 2009

P t i RPSPotencia en RPS

La potencia instantánea entregada al una-puerta N de la figura es ( ) ( ) ( )p t v t i t"

( )i t

( )v t

En RPS ( ) cos( ) ( ) conj t

m mv t V t V e V e V V V " $ # "2 $ " ! !( ) ( ) ( )m m

( ) cos( ) ( ) conj t

m mi t I t I e I e I I I " $ # "2 $ " ! !

( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )m mp t v t i t V I t V t I " $ " $ $ # $ #! !( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mp

té i t t Si id d f i 2

1 1cos( ) cos(2 )

2 2m m m mV I V I V I t V I " $ ) # $ # #! ! ! !

#$$$%$$$& #$$$$$%$$$$$&


Junio de 2009

término constante Sinusoide de frecuencia 2

P t i M diPotencia Media

Se define potencia media como el promedio sobre un período 2T 3 "

1 1( ') ' cos( )

t

P p t dt V I V I$ $ " $ $ $4' ! !

Nota 1:

0( ) cos( )

2m mP p t dt V I V I

T$ $ " $ $ $ )4' ! !

, ya queV I Z V ZI) " " ! ! !

Nota 2: Si N contiene sólo elementos pasivos (R,L,C > 0) por el principio de conservación de energía

, y q

p p p g

0 90º 90º | ( ) | 90ºP V I Z j 5 6) 7 ) 7 6 $ 7 8! ! !

pero p(t) puede ser negativo sobre algunos intervalos de tiempotiempo.


Junio de 2009

P t i C l jPotencia Compleja

Se define la potencia compleja entregada al una-puerta N como

*1

2S V I" $ $

( )

2

1 1 1| | | | | || | cos( ) | || | ( )

2 2 2

j V IV I e V I V I j V I sen V I)" $ $ $ " $ ) # $ )! ! ! ! ! !

Potencia activa o media

0 1*1 1( ) ( ) | || | cos( )

2 2P e S e V I V I V I W"2 "2 $ " $ ) ! !

Potencia reactiva

0 1( ) ( ) | || | ( )2 2

0 1*1 1I ( ) I ( ) | || | ( )Q S V I V I V I VAR ! !

Potencia compleja

0 1Im( ) Im( ) | || | ( )2 2

Q S V I V I sen V I VAR" " $ " $ )! !

0 1S P j Q VA" # $


Junio de 2009

0 1j Q

P t i C l j I d iPotencia Compleja e Impedancia

Sea la impedancia de punto motriz del una-puerta 9 :Z j N a la frecuencia

Sea la admitancia de punto motriz del una-puerta N

9 :Y j

"V Z I" $ I Y V" $

*1S V I" $ $ 21

| |Z I$ $ * 21| |Y V$ $""

2S V I | |

2Z I | |

2Y V"

2 21 1| | ( ( )) | | ( ( ))P I e Z j V e Y j " $ $2 " $ $2| | ( ( )) | | ( ( ))

2 2j j

2 21 1| | Im( ( )) | | Im( ( ))

2 2Q I Z j V Y j " $ $ " ) $ $


Junio de 2009


Luego 0 si ( ( )) 0P e Z j 5 2 5 8

Im( )Z

, , 0R L C 50 90ºZ; 7 !

( )e Z2

0P 5

90º 0Z) 7 ; !


Junio de 2009


Resistencia2 2| | | |2 2| | | |

2 2

0 ya que V= I

R I VV R I P

R

Q

$" $ 6 " "

$"

( (

Inductancia0, ya que V IQ ( (

90ºV j L I V I " $ 6 ) " ! !| | | |

cos90º 0;V I

P$

" $ "90V j L I V I 6! ! cos90 0;2

P

| | | | 190º | | | | 0

2 2

V IQ sen V I

$" $ " $ $ <

2 2| | | |

2 2L

I IQ L X ! " ! "

Capacitor

2 2 2 2

190ºV I V I

j C ! # $ ! $ ! !j

221 1 1 1 | |

0, | || | ( 90º ) | || | 0 | |2 2 2 2

C

IP Q V I sen V I I X

C % '! ! " $ ! $ ( ! $ " ! $ ") *+ ,


Junio de 2009

V l Ef ti RMSValor Efectivo o RMS

Valor RMS (Root Mean Square) es equivalente a Valor Cuadrático Medio o Valor Efectivo

Para una resistencia en RPS

2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) cos ( )mp t v t i t R i t R I t -! " ! " ! " " .

2 2 2 21 1T T

/ /

Usando la identidad trigonométrica

2 2 2 2

0 0

1 1cos ( ) cos ( )m mP R I t dt R I t dt

T T - -! " " " . " ! " " " . "/ /

2 1cos (1 cos2 )x x! . Usando la identidad trigonométrica

se obtiene

Se define valor efectivo de una señal sinusoidal como:

( )2

21 1

2m m mP R I V I

T! " " ! " "

Se define valor efectivo de una señal sinusoidal como:

2, tal que P=2 2

m mef ef ef ef ef

I VI V RI V I! ! !


Junio de 2009

2 2

V l Ef ti RMS (2)Valor Efectivo o RMS (2)

Ejemplo: La línea doméstica es de 220 volts efectivos luego su amplitud es

Para una onda periódica de periodo T

220 2"

2 2

0 0

1 1( ) , ( )

T T

ef efI i t dt V v t dtT T

! " ! "/ /

2 2 2

0 0 0

1 1 1( ) ( ) ( )

T T T

efP p t dt R i t dt R i t dt R IT T T

! " " ! " " " ! " " " ! "/ / /

La potencia media entregada por una onda periódica a una resistencia R esuna resistencia R es

2

2 2 2ef

ef ef ef

VP R I V I

R! " ! ! "


Junio de 2009

R

V l Ef ti RMS (3)Valor Efectivo o RMS (3)

Al usar valores efectivos las expresiones de potencia quedan

*

ef efS V I! " Potencia complejaef ef

& 1| | ef efS V I VA! "

| | [W]P S - 2

Potencia aparente

| | cos [W]

| | s [VAR]

P SQ P tg

Q S en

--

-! " 2

! "3! " 4

| | , con S P j Q S Z V I- -! . " ! ! ! $ ! ! ! !


Junio de 2009

Inductancias Acopladas Lineales e

InvariantesInvariantes

Dos bobinas de alambre cercanas físicamente, o en un núcleo común de material ferro magnético2v1v

1i 2i

g

Potencia instantánea entregada por el exterior a las inductancias

1 1 2 2( ) v ( ) ( ) v ( ) ( )p t t i t t i t! "

1i 2i

v

# $ # $1 s

2 2

v v

Aún si 0, habrá un voltaje inducido v 0

t t

i

%! &

! '1v 2v( )sv t # $1

2 12 1 2

siempre que t sea variable

, v = d di

Mi Mdt dt

%

%% ! !

Junio de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos

41

dt dt



! Caracterización !-i :

1 1 1 12 2

2 2 2 21 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t L i t M i t

t L i t M i t

%

%

! "

! "

L1,L2 [H] Auto Inductancia L1,L2 >0

(Puede ser positiva o negativa

M[H]: Inductancia Mutua12 21M M M! !

!""#""$

De consideraciones energéticas

! De la Ley de Faraday

dependiendo de la disposición relativa de las bobinas)

De consideraciones energéticas, mismo camino magnético

! De la Ley de Faraday

1 21 1v ( )

di dit L M

dt dt! "

1 1 1 2V j L I j MI( (! "% % %RPS

1 22 2v ( )

dt dt

di dit M L

dt dt! "

2 1 2 2V j MI j L I( (! "% % %


42



! En notación Matricial:

1 1,

ii

i

%%

%) * ) *

! !+ , + ,- . - .

& & / 0 1

2

L ML

M L

) *! + ,- .

Matriz de inductancias

2 2i%- . - . 2- .

/ 0 / 0 / 0v= Vdi

L i L j L Idt

% (! !& ' '& & ' %

! Para el análisis nodal conviene tomar el recíproco de la matriz de inductanciasmatriz de inductancias.

/ 0 / 0 11=

1

L i i L

L M

% %11! 2 3 3 !

) *

& && &

/ 0# $ / 0# $2 1

11 22det det

L L

L L3 ! 3 !

/ 0# $2

1

1

det

L M

M LL

1) *3 ! + ,1- .

# $ # $

/ 0# $ # $12 21 0 si M>0det

M

L

13 ! 3 ! 4


43



! En el dominio del tiempo

1 11 1 12 2 1

0 0

' ' (0)

t t

i v dt v dt i! 3 " 3 "5 5

! En RPS2 21 1 22 2 2

0 0

' ' (0)

t t

i v dt v dt i! 3 " 3 "5 5! En RPS

1 11 1 12 2( / ) ( / )I j V j V( (! 3 " 3% % %1 11 1 12 2

2 21 1 22 2( / ) ( / )I j V j V( (! 3 " 3% % %


44



! Marcas de polaridad:

! Asignar direcciones de referencia asociadas

! Seleccionar un enrollado y marcar un punto en el terminal d d l l b bdonde la corriente entra a la bobina

! Determinas la dirección del flujo creado por esa corriente aplicando la regla de la mano derechaaplicando la regla de la mano derecha

! La marca de polaridad en el segundo enrollado se ubica de tal manera que una corriente positiva que entre por la marca manera que una corriente positiva que entre por la marca produzca un flujo en la misma dirección

! Marcas de polaridad sirven para indicar la posición relativa de dos enrollados entre los cuales existe acoplamiento magnético.


45



6 61i 2i

1v 2v

61i 2i

1v 2v

6

1 21 1v

di diL Mdt dt

! " 1 21 1v

di diL Mdt dt

! 1

1 22 2v

di diM Ldt dt

! " 1 22 2v

di diM Ldt dt

! 1 "


46



! Convención para el signo de M

! Si ambas corrientes (>0) entran o salen por las marcas de polaridad, el signo del voltaje mutuo es igual al del voltaje

ipropio

=> Flujos mutuos y propios se refuerzan.

! En caso contrario si una corriente entra por la marca y la otra ! En caso contrario si una corriente entra por la marca y la otra sale, el signo del voltaje mutuo es opuesto al el voltaje propio (flujos mutuos y propios se oponen).( j y p p p )


47



! Conexión Serie

1v 1v

v

v

1i 1i

2v2v

v2i 2i

! LCK

! i=i =i

! LCK

! i=i =-i! i=i1=i2

! LVK

! v=v + v

i=i1=-i2

LVK

v=v v

Suposición 1(0)= 2(0)=0

v=v1 + v2

=> = 1 + 2

v=v1 – v2

=> = 1 - 2


48



Conexión en Serie

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

( )

( )

L i Mi L M i

Mi L i L M i

! " ! "

! " ! "1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

( )

( )

L i Mi L M i

Mi L i L M i

! " ! #

! " " ! # #

1 2 1 2( 2 | |)

eqL

L L M i ! " ! " " !!!"!!!# 1 2 1 2( 2 | |)

eqL

L L M i ! # ! " # !!!"!!!#

1 2 2 | |eqL L L M! " $La inductancia de la

Si los flujos se suman

1 2 | |eq

conexión serie esSi los flujos se oponen


49



Conexión Paralelo 1ii

1v

v2i

2v

1 2 1 2

1 2

LVK v =v

si (0) (0) 0

t

% ! ! &

! !

1 2LCK i i i! "

11 22 12( 2 | |)i ! ' " ' $ 'Flujos opuestos

11 22 12( | |)i Flujos misma dirección

Matriz de inductancias recíprocas( ) 1L

#' !


50

Matriz de inductancias recíprocas( )L' !

Transformador IdealTransformador Ideal

Elemento de 2-puertas 1. Acoplamiento perfecto, no é fhay pérdidas de flujo

1i 2i

1 1 , : flujo es el mismo por vueltan !

Los transformadores permiten subir y/o b j l j /

1v 2v

1 2:n n

2 2 1,2 : número de vueltasn n !

1 1 1v n d dt n bajar voltajes y/o corrientes alternas

1 2:n n1 1 1

2 2 2

v

v

n d dt nt

n d dt n

+ ! ! &

2. Auto inductancias son ", #$ ", en circuito abierto si i2=0 => i1=0 (la corriente i2 depende de i1 solamente, no de v1)1)

1 2

2 1

( )

( )

i t nt

i t n! # &

, -1 1 2 2n n 0,

: Reluctancia 0

i i

.

" !/ ! 01%2

/ 34%/3 15


51


Propiedad de cambio de impedancias (Transformadores i d i d i )permiten adaptar impedancias)

1I%

2I%

1

2

nV

nV

6 78 9: ;

%%

1V%

1 2

2V%

2Z

21

1

1 2

2

1

nVZ

I nI

n

: ;! !6 7

#8 9: ;

%%

1 2:n n1Z

2 2

1 2 1

1 2

2 22

n V nZ Z

n nI

6 76 7 6 7! !8 98 9 8 9

#: ; : ;: ;

%

%

2

1

1 2

2

nZ Z

n

6 7! 8 9: ;

Z1: impedancia reflejada o impedancia del circuito secundario referida al primario Sólo la magnitud de Z es

1 21

secundario referida al primario. Sólo la magnitud de Z2 es afectada, el ángulo de fase no se altera.


52


Si se cambian las marcas de polaridad se invierten los signos de las ecuaciones de voltaje y corriente

%

1V%

1I%

2I%

2V%

2Z1 1 1 2,v n i n

i! ! #

1 2:n n1Z

2 2 2 1v n i n

V%

1I%

2I%

V%1 1 1 2v n i n! # !

1V 2V

1 2:n n

2Z

1Z

2 2 2 1

,v n i n

! !


53

1 21Z


Un transformador ideal no disipa potencia ni almacena energía, ya que:

, - , - , -1 2n n6 7 6 7, - , - , -1 2

1 1 2 2 2 2

2 1

,en sal

n nP t v i v i v i P t t

n n

6 7 6 7! ! # ! # ! &8 9 8 9

: ; : ;

Lo anterior en RPS, significa que la potencia compleja de entrada es igual a la potencia compleja de salidag p p j

, -* *1 21 1 1 2 2 2 2 2

2 1

1 1 1

2 2 2

n nS V I V I V I S t

n n

6 7 6 7! ! # ! # !8 9 8 9

: ; : ;% % % % % %

2

2 2 21

1 1 1 1 2 2 2 2

2

| | ( ) | | ( ) | | ( )n

P I e Z I e Z I e Z Pn

6 7! / ! / ! / !8 9

: ; !"!#


54

22

| |I


Aplicaciones:S bi /B j V l j Subir/Bajar Voltaje

Adaptación de Impedancia

Aislación Eléctrica Aislación Eléctrica

Subir/bajar voltaje Si n2>n1 entonces v2>v1 e i2<i1, sube el voltaje

Si n1>n2 entonces v1>v2 e i1<i2, baja el voltaje

Adaptación de Impedancias1I%

2I%

1V%

1 2

2V%

2Z

La impedancia vista desde el primario se llama impedancia reflejada 1 2:n n

1Z


55

La impedancia vista desde el primario se llama impedancia reflejada

G ió d C i t AltGeneración de Corriente Alterna

Caso monofásico (1 )

( )t ( )


Junio de 2009


Caso bifásico (2 )

cos( )

cos( 90º )

a

b

v V t

v V t

<

<

! = =

! = = #


Junio de 2009


Caso trifásico (3 ): tres enrollados separados 120° c/u, permiten que se induzcan voltajes desfasados 120° entre si.

cos( )

cos( 120º )

cos( 120º )

a

b

v V t

v V t

v V t

<

<

<

! = =

! = = #

! "cos( 120 )cv V t<! = = "


Junio de 2009

F t 3 Fuentes 3 Tres fuentes monofásicas en conexión estrella (Y) o delta

(>)

anv

a

+

-a b c

x yz

Conexión Ycnv bnv

bc

+ +

--n(z,x,y)

b

a,z

a b cConexión >

abvcav+

+ -

-

x yz

Conexión >

bcvb,x

c,y

+-


Junio de 2009

V lt j F t 3 Voltajes en Fuentes 3

Voltajes fase-neutro en la Voltajes fase-fase en la jfuente Y (fase ´a´ es la referencia)

Voltajes fase fase en la fuente !

( ) cos( )

( ) cos( 120º )

an Yv t V t

v t V t

<

<

! = = ( ) cos( )

( ) ( )

abv t V t<

>! = = #

( ) cos( 120º )

( ) cos( 120º )

bn Y

cn Y

v t V t

v t V t

<

<

! = = #

! = = "( ) cos( 120º )

( ) cos( 120º )

bc

ca

v t V t

v t V t

<

< >

>

! = = # #

! = = " #

Definición: Si los tres voltajes tienen la misma magnitud y frecuencia, y cada voltaje está 120º fuera de fase con respecto a los otros dos, se dice que la fuente trifásica es simétrica y equilibrada.


Junio de 2009

Di F i lDiagrama Fasorial

Secuencia positiva: abc

V%:<

cnV

abV%

caV%

%

anV%

bnVbcV%

0an bn cnV V V" " !% % % 0ab bc caV V V" " !% % %


Junio de 2009

O d d S iOrden de Secuencia

Orden en que las ondas de voltaje de cada fase alcanzan sus respectivos valores máximos positivos.

Secuencia positiva: abc (ab-bc-ca)

120º

cnV%

Basta usar el primer subíndice

a b bc ca120120º

120º

bnV%

anV%

a b- bc- ca

abc !"!#

Secuencia negativa: acb

bn

bnV%

cnV%

anV%


Junio de 2009

O d d S i (2)Orden de Secuencia (2)

El orden de secuencia depende del sentido de la rotación, las conexiones de los enrollados y la numeración de los terminales.

La secuencia de fases de la fuente puede tener un gran efecto en el comportamiento de la carga:

Si se invierte la secuencia de las fases de la tensión en un motor 3 , se invierte su sentido de rotación

I ti l d d i d 3 té Invertir el orden de secuencia en un generador 3 que esté en paralelo con otro generador puede causar graves daños a ambas máquinasq


Junio de 2009

R d 3 E ilib dRedes 3 Equilibradas

Están compuestas por fuentes 3 simétricas y equilibradas, y cargas 3 equilibradas

Carga n equilibrada: Las “n” cargas asociadas a los “n” voltajes de las fuentes de un sistema polifásico son iguales.

Z Z Z (n=3 caso 3 ) ! ! !% % %

Existen 2 tipos básicos de conexiones:

1 2Z Z ... Z (n=3 caso 3 )n ! ! !

p

Conexión Y-Y

Conexión >->


Junio de 2009

C ió Y Y N tConexión Y-Y con Neutro

Neutro: Conductor común usado como trayectoria de retorno de los tres circuitos

Z

anV

'aaI

I

LZ

YZ

'nnZ

Notación

cnV

bnV

'nnI

Z

YZ

YZ

nn

' ' ', , corrientes de línea

, , voltajes fase neutro en la fuente

i d i d lí

aa bb cc

an bn cn

I I I

V V V

Z

'ccI

'bbI

LZ

LZ impedancia de línea

impedancia de carga en Y

L

Y

Z

Z

cc


Junio de 2009

C ió Y Y N t (2)Conexión Y-Y con Neutro (2)

LCK I I I I I ! " "' ' ' ' 'LCK

LVK

Bucle naa'n'n = ( ) ( ) (1)

n n nn aa bb ccI I I I I

V I Z Z Z I I I

" "

# " " # " " ' ' ' ' '

' ' ' ' '

Bucle naann ( ) ( ) (1)

nbb'n'n = ( ) ( ) (2)

ncc'n'n

an aa L nn aa bb cc

bn bb L nn aa bb cc

V I Z Z Z I I I

V I Z Z Z I I I

" " " "

# " " # " "

= ( ) ( ) (3)V I Z Z Z I I I# " " # " " nccnn ' ' ' ' '= ( ) ( ) (3)cn cc L nn aa bb ccV I Z Z Z I I I# " " # " "

' ' ' 'Sumando (1-3) 0 ( 3 ) ( )L nn aa bb ccZ Z Z I I I " " # # " "

' ' ' ' ' 0n n nn aa bb ccI I I I I$ ! " "

E d 3% l b d l l En una red 3% equilibrada no circula corriente por el neutro


Junio de 2009

E i l t 1% d C ió Y YEquivalente 1% de Conexión Y-Y

Los puntos n y n´ están al mismo potencial, por lo tanto

' ' ' 0n n nn n nV Z I #

El problema se reduce a analizar el siguiente circuito monofásico (basta resolver para la fase a)( p )

'aaI LZ

Equivalente 1%

anV Z

Equivalente 1

para red Y-Y

equilibrada

%

'an

aa

L

VI

Z Z$

"


Junio de 2009

L

E i l t 1% d C ió Y Y (2)Equivalente 1% de Conexión Y-Y (2)

En una red 3% equilibrada las corrientes de línea también son equilibradas y suman cero

'an

aa

L

VI

Z Z

"

' '

120º120ºbn an

bb aa

L L

V VI I

Z Z Z Z

! !

" "

" "

' '

120º120ºan an

cc aa

L L

V VI I

Z Z Z Z

"

" "

" " L L


Junio de 2009

E i l t 1% Y Y Equivalente 1% Y-Y

Si existieran impedancias internas de fuente, el equivalente monofásico quedaría como sigue

fZ

anV 'an An f aaV V Z I ! #

AnV

an

fZ

V

LZ

AnV

'An

aa

f L

VI

Z Z Z

" "

'aaI

Z


Junio de 2009

C ió ' 'Conexión '!'

Notación

l j f f d l f

aLZ

a’

baI

' 'a bI

'aaI

' ' ' ' ' '

, , voltajes fase-fase de las fuentes

, , voltajes fase-fase de las cargas

corrientes de línea

ab bc ca

a b b c c a

V V V

V V V

I I I

abV

caV

+

+ -

- Z' Z'

Z'

' 'c aI

I acI

I ' ' ', , corrientes de línea

, , corrientes de fase en fuentes

aa bb cc

ba cb ac

I I I

I I I

I

' ' ' ' ' ', , corrientes de fase en cargaa b b c c aI I

bcV

bc

+-

Z

LZ c’ b’

'' 'b cI

'bbI

accbI

ga b b c c aLZ

'ccI


Junio de 2009

C ió ' ' (2)Conexión '!' (2)

LVK en carga 0 (1)V V V" " ' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

LVK en carga 0 (1)

Carga equilibrada ( ) 0

a b b c c a

a b b c c a

V V V

Z I I I'

" "

$ # " "

' ' ' ' ' ' de (1) 0 (2)a b b c c aI I I" "

(3)I I I (

LCK

' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' '

(3)

(4) 0 (6)

aa a b c a

bb b c a b aa bb cc

I I I

I I I I I I

( !)

! $ " " *)

La ecuación (6) se cumple siempre para una red sin neutro

' ' ' ' ' (5)cc c a b cI I I) ! +

La ecuación (6) se cumple siempre para una red sin neutro (supernodo)


Junio de 2009

C ió ' ' (3)Conexión '!' (3)

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'De (3) - (4) 2bb b b b bI I I I I I I$ ! # ! ! ! " ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

0 por (2)

De (3) (4) 2aa bb a b c a b c a b a bI I I I I I I$ "#$$%$$&

' ' ' '3 (7)bb bI I I! # ' ' ' '

' ' ' '

3 (7)

3 (8)

( )

aa bb a b

bb cc b c

I I I

I I I! #

LVK

' ' ' '3 (9)cc aa c aI I I! #

B l 'b'b (10)V Z I Z I Z I ' ' ' '

' ' ' '

Bucle aa'b'ba = (10)

bb'c'cb = (11)

ab L aa a b L bb

bc L bb b c L cc

V Z I Z I Z I

V Z I Z I Z I

'

'

# " # ! #

# " # ! #

' ' ' ' cc'a'ac = (12)ca L cc c a L aaV Z I Z I Z I'# " # ! #


Junio de 2009

E i l t 1% C ió ' 'Equivalente 1% Conexión '!' Introduciendo (7) en (10), (8) en (11), y (9) en (12) se tiene

' '=(3 ) (13)

=(3 ) (14)

ab L a bV Z Z I

V Z Z I

'# " #

# " #

' '

' '

=(3 ) (14)

=(3 ) (15)

bc L b c

ca L c a

V Z Z I

V Z Z I

'

'

# " #

# " #

Equivalente 1%,conexión '!' equilibrada:

3 LZ#

0ºV V "

abV Z'

' 'a bI

' '

0º

3 3

120º120º

aba b

L L

bc

V VI

Z Z Z Z

V VI I

'

' '

'

# " # "

!

"

" "

Equivalente 1 para%

' ' ' '

' ' ' '

120º3 3

120º120º

bcb c a b

L L

cac a a b

I IZ Z Z Z

V VI I

'

' '

'

!# " # "

" "

"

" "


Junio de 2009

para red - equilibrada' ' 3 3c a a b

L LZ Z Z Z' '# " # "

C ió ' ', I d i d F t Conexión '!',con Impedancias de Fuente

a

+

LZ

a’

I 'aaI

acI

aBV

V

+

-

-

Z' Z'

' 'c aI' 'a bI

fZ

fZ

BA

bCV

cAV

bc

+

+

-LZ

c’ b’

Z'

baI

' 'b cI

'bbI

cbI

fZ

fZ

C

LZ

'ccI

'bbI

' '=(3 ) = (13a)ab L a b aB f baV Z Z I V Z I'# " # ! #

' '

' '

=(3 ) = (14a)

=(3 ) = (15a)

bc L b c bC f cb

ca L c a cA f ac

V Z Z I V Z I

V Z Z I V Z I

'

'

# " # ! #

# " # ! #


Junio de 2009

f

C ió ' ', I d i d F t Conexión '!',con Impedancias de Fuente

LCK 0ab bc caV V V" "

( ) ( ) 0aB bC cA f ba cb acV V V Z I I I" " ! # " "

0ba cb acI I I" " $

LCK ' ' ' (3a); (4a); (5a)aa ba ac bb cb ba cc ac cbI I I I I I I I I ! ! !

De (3a) (4a) 2 3I I I I I I I I$ " ' '

0

De (3a) - (4a) 2 3aa bb ba ac cb ba ba baI I I I I I I I$ ! # ! ! ! " #$$%$$&

' ' ' ' ' '3 (7a); 3 (8a); 3 (9a)bb b bb bI I I I I I I I I! # ! # ! #

De (7-9) y (7a-9a) se tiene:

' ' ' ' ' '3 (7a); 3 (8a); 3 (9a)aa bb ba bb cc cb cc aa acI I I I I I I I I

' ' ' ' ' '; ;ba a b cb b c ac c aI I I I I I


Junio de 2009

Equivalente 1% Conexión '!' con

I d i d F tImpedancias de Fuente Reemplazando en (13a), (14a), y (15a) se tiene

' '

' '

=(3 )

=(3 )

aB L f a b

bC L f b c

V Z Z Z I

V Z Z Z I

'

'

# " " #

# " " #

' '=(3 )cA L f c aV Z Z Z I'# " " #

Equivalente 1%,conexión '!' equilibrada con impedancias internas de fuente:

fZ

+V

3 LZ#

aBV

-' '

3

aBa b

f L

VI

Z Z Z'

" " #

' 'a bI Z'


Junio de 2009

T f i ' Y Y ', l Transformaciones '!Y o Y-',en la carga

Y'-

ABZ

CAZ AZ

AB CAA

AB BC CA

Z ZZ

Z Z Z

#

" "

A B B C C AAB

C

Y

Z Z Z Z Z ZZ

Z

-'

# " # " #

ABZCAZ

CZ

BZ

AB BCB

AB BC CA

Z ZZ

Z Z Z

Z Z

#

" "

C

A B B C C ABC

A

Z Z Z Z Z ZZ

Z

Z Z Z Z Z Z

# " # " #

BCZ

BC CAC

AB BC CA

Z ZZ

Z Z Z

#

" "

A B B C C A

CA

B

Z Z Z Z Z ZZ

Z

# " # " #

3 , 3

Y Y

ZZ Z Z '' # Caso equilibrado:

3


Junio de 2009

T f i ' Y Y ', l f tTransformaciones '!Y o Y-',en la fuente Estas transformaciones dependen del orden de secuencia

abV

caV

Sean los voltajes fase-neutro

de secuencia positivaV abca p

0º

120º

an Y

bn Y

V V

V V

!

"

"

cnV

bnV

anV

V lt j f f

bcV

120ºcn YV V "

Voltajes fase-fase

(1 0º 1 120º ) 3 30º 30º

(1 120º 1 120º ) 3 90º 90º

ab an bn Y YV V V V V V

V V V V V V

' ! # ! ! # " " " "

(1 120º 1 120º ) 3 90º 90º

(1 120º 1 0º ) 3 150º 150º

bc bn cn Y Y

ca cn an Y Y

V V V V V V

V V V V V V

'

'

! # ! ! # ! !

! # ! #

" " " "

" " " "


Junio de 2009

3 YV V' # Ejemplo: Si 220, 380 VYV V'

Di F i lDiagrama Fasorial Regla para transformación Y-': rotar vectores en +30° y

multiplicar por (suponiendo secuencia positiva)3multiplicar por (suponiendo secuencia positiva)

Diagrama fasorial

3

cnV

abV

bnV!

caV

3 YV

30º

90ºV! V

3YV# 3

YV#

ref.

90º

anV anV

3YV#

cnV! bnV

3


Junio de 2009

bcV

T bl R T f ió Y 'Tabla Resumen Transformación Y-' Sec +, abc Sec -,acb

30º

a 0º

120º

an Y

bn Y

V V

V V

!

"

"

0º

120º

an Y

bn Y

V V

V V

"

"

30ºV

abV

caV

bc

anV

bnV

cnV

V

abV

caV

anV

bnV

cnV

120ºcn YV V "120ºcn YV V !"

30ºbcV

bcV

3 30º 3 30º

3 90º 3 30º

ab Y an

bc Y bn

V V V

V V V

# #

# ! #

" "

" "

3 30º 3 30º

3 90º 3 30º

ab Y an

bc Y bn

V V V

V V V

# ! # !

# # !

" "

" "

3 150º 3 30ºca Y cnV V V # # " " 3 150º 3 30ºca Y cnV V V # ! # ! " "


Junio de 2009

T bl R T f ió ' YTabla Resumen Transformación '-Y Sec +, abc Sec -,acb

30º

a 0º

120º

ab

b

V V

V V

'

'

!

"

"

0º

120º

ab

bc

V V

V V

'

'

"

"

30ºV

abV

caV

bc

anV

bnV

cnV

V

abV

caV

anV

bnV

cnV

120

120º

bc

ca

V V

V V

'

'

"

"120ºcaV V' ! "

30ºbcV

bcV

130º 30º

3 3

1

an ab

VV V

V

' ! # ! " "

130º 30º

3 3

1

an ab

VV V

V

'

'

# " "

1

150º 30º3 3

190º 30º

bn bc

VV V

VV V

'

'

! # !

# !

" "

" "

1150º 30º

3 3

190º 30º

bn bc

cn ca

VV V

VV V

'

'

#

! #

" "

" "


Junio de 2009

90 303 3

cn caV V # !" "3 3

cn ca

Ej l ' ',E ilib dEjemplo '!',EquilibradaLZ

'aaI

0ºabV V' "120ºcaV V' "Z' Z'

Z'

Aplicando transformacionesde carga y fuente, se obtiene una

120ºbcV V' ! "

LZ

LZ

'

'ccI

'bbI

g yconexión Y-Y equivalente

cc

'aaI LZ

Z

90º3

cn

VV ' "

150º3

bn

VV ' ! "

30º3

an

VV ' ! "

3

Z' 3

Z'

3

Z'

3

I

'bbI

LZ

LZ


Junio de 2009

'ccI LZ

Ej l ' ',E ilib d (2)Ejemplo '!',Equilibrada (2)

'aaI LZ

Equivalente 1% 30º3

V

I

' !"

30º3

an

VV ' ! "

3

Z'

'

' ' '

3

3 30º3 30º

3

aa

L

aa a b

IZ Z

VI I

Z Z

'

'

"

# ! # !

" " 3

aa a b

LZ Z' " #


Junio de 2009

Relación entre corrientes de línea y

i t d fcorrientes de fase

Sea I ( 'aaI

' '

' ' ' '

' ' ' '

Sea

120 Sec(+)

120

a b

b c a b

b

I

I I

I I

()

! *) +

"

"

' 'c aI

' 'a bI

aa

3YI I' #

Las corrientes de línea son 3 ' ' ' ' 120c a a bI I +"

' 'b cI

'ccI

veces las corrientes de fase en

la carga. Además, hay que rotar en

-30º para sec (+)

'bbI

p ( )

' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

(1 0º 1 120º ) 3 30º

(1 120º 1 0º ) 3 150º 3 30º

aa a b c a a b a b

bb b b b b b

I I I I I

I I I I I I

! # ! # !

! # ! ! # ! # !

" " "

" " " "' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

(1 120 1 0 ) 3 150 3 30

(1 120º 1 120º ) 3 90º 3 30º

bb b c a b a b a b b c

cc c a b c a b a b c a

I I I I I I

I I I I I I ! # ! ! # # !

" " " "

" " " "


Junio de 2009

Di F i lDiagrama Fasorial

'ccI

'bcI!

I ' ' 'c aI

3#

' 'bI

' 'bI!

3I'

# 3I '#

' 'a bI' 'a bI

'bbI

' 'b cI

' 'c aI! 'aaI


Junio de 2009

T bl R T f ió C i tTabla Resumen Transformación Corrientes

30º,secY !' "

,sec

1

Y !' !

'I 'bbI

' 'bI 'aaI

'bbI

' 'a bI

' ' '

130º

3

190º

a b aaI I

I I

#

# !

"

"

' ' '

' ' '

130º

3

190º

3

a b aa

b c aa

I I

I I

# !

#

"

"

I

'aaI 'bbI' 'a bI

' 'c aI

' 'b cI

I

aabb a b

' 'c aI

' 'b cI

' ' '

' ' '

903

1150º

3

b c aa

c a aa

I I

I I

#

"

"' ' '

3

1150º

3c a aaI I # ! "

'-Y sec + sec -

'ccI 'ccI

' ' '

' ' ' ' '

3 30º

3 150º 3 30º

aa a b

bb a b b c

I I

I I I

# !

# ! # !

"

" "

' ' '

' ' ' ' '

3 30º

3 150º 3 30º

aa a b

bb a b b c

I I

I I I

#

# #

"

" "

' ' ' ' '3 90º 3 30ºaa a b c aI I I # # ! " "' ' ' ' '3 90º 3 30º

bb a b b c

aa a b c aI I I # ! # " "


Junio de 2009

P t iPotencia! Sean! En sistemas de potencia la magnitud de los fasoresV e I se

, 0ºV V I I!" "! !" "

! En sistemas de potencia la magnitud de los fasoresV e I se expresa en valor efectivo o RMS

| | | | cos cos [W] Potencia activa o mediaVP V I V I !" # # " # #

!

Q 0 i l i d i ( l f

| | | | cos cos [W] Potencia activa o media

| | | | [VAR] Potencia reactiva

I

V

I

P V I V I

Q V I sen V I sen

! " " ! " "

! " " ! " "

!

!

Q>0 si la carga es inductiva (o en atraso ya que el fasorcorriente está en atraso c/r al fasor voltaje, >0)

Q<0 si la carga es capacitiva (o en adelanto ya que el fasorQ g p ( y qcorriente está en adelanto c/r al fasor voltaje, <0)

Potencia complejaS P j Q! # "

2 2

| | | | | | [VA] Potencia aparente

| |

S V I

S P Q

! "

! #


Junio de 2009

Di d P t iDiagrama de Potencia

$

cosP SQ P tg

Q S sen

! " $

! "%! " &

Factor de potencia

| | | | coscos

| | | | | |

V

IV IP

FPS V I

" "

! ! !"

!

FP=1 elemento resistivo puro, FP=0 elemento capacitivo o inductivo puro

Relación con impedancia V ZI! Relación con impedancia

2VVV '(

V ZI!

2

VVV

S VI Z Z

ZII Z I S Z

' ' '

'

(!)

! ! *) ! + ! !,

" "


Junio de 2009

,

P t i Si t 3 -E ilib dPotencia en Sistemas 3 -Equilibrados

3 13P P ! "

#

3 1

1

3

cos 3 cosY

YV V

P I V I V

. . .

.! "

! " " ! " " "

$

1

3

cos cos3

Y

YY Y

YI I

IV I V

. . .

.

.! "! " " ! " "

Y .

3 cos 3 cos 3 cos [W]P V I V I V I ! " " " ! " " " ! " " "3

3

3 cos 3 cos 3 cos [W]

3 3 3 [VAR]

Y Y Y

Y Y Y

P V I V I V I

Q V I sen V I sen V I sen

Q P

. . .

. . .

! ! !

! " " " ! " " " ! " " "

3 3

2 2

3 3 3 3 3 3, | |

Q P tg

S P j Q S P Q

! "

! # " ! #


Junio de 2009

Ej l 1Ejemplo 1 Para el sistema 3 equilibrado de la figura determine: a) La potencia compleja y el del sistema a) La potencia compleja y el del sistema b) La corriente de línea

cos

PN t 1 HP 746 W Efi i i salidaNota: 1 HP=746 W, Eficiencia=

P

salida

entrada


Junio de 2009

Ej l 1 ( ti ió )Ejemplo 1 (continuación) a) Potencia activa

746 200 (746)HP 746 200 (746)158,7 [kW]

0,94 (1000)

50 [kW], 40 [kW]

M

C O

HPP

EF

P P

" "! ! !

"

! !

b) Potencia reactiva

[ ], [ ]

248,7 [kW]

C O

T M C OP P P P! # # !

1

1

158,7 {cos 0,88} 85,7 [kVAR]

0 [kVAR]

M M M

C

Q P tg tg

Q

0! " ! " !

!

Potencia compleja

1Q 40 {cos 0,7} 40,8 [kVAR]

126,5 [kVAR]

O O O

T M C O

P tg tg

Q Q Q Q

0! " ! " !

! # # !

Potencia compleja

3 3 3

3

248,7 126,5 279 27º [kVA]

248,7cos =cos(27º)=0.89; 0,89 en atraso

S P j Q j

PFP

! # " ! # " !

! ! !

!


Junio de 2009

3

cos cos( 7 ) 0.89; 0,89 e at aso| | 279S

Ej l 1 ( ti ió )Ejemplo 1 (continuación)

Corriente de línea

3

3

| | 3

| | 279 10

YS V I

S

.! " "

3| | 279 10

358 [A]3 3 (450)

Y

SI

V

.

"+ ! ! !

" "


Junio de 2009

M j i t d l F t d P t iMejoramiento del Factor de Potencia Determine la capacitancia en cada rama de un banco de

condensadores conectado en estrella necesaria para ajustar el condensadores conectado en estrella, necesaria para ajustar el factor de potencia a 0,95 en atraso.

Cargas240 Vff

3

equilibradas

100 [kW]

240 Vff

25 Hz

Banco de condensadores en Y

FP=0,6 atraso

Diagrama de potencia

1cos 0,6 53,1ºoriginalQ 0! !originalQ

1

, ,

cos 0,95 18,1º

original

deseado

Q

Q 0! !53º

18º

deseadoQCQ


Junio de 2009

P=100 [kW]

M j i t d l F t d P t i (2)Mejoramiento del Factor de Potencia (2)

100 53,1º 133,33 [ ]orig origQ P tg tg kVAR ! " ! " !

100 18,1º 32,86 [ ]des desQ P tg tg kVAR ! " ! " !

100, 47 [kVAR]C i dQ Q Q! 0 !3

3

1

100, 47 [kVAR]

Banco en Y 33,49 [kVar]3

C orig des

C

C

Q Q Q

QQ

+ ! !

1

2

voltaje fase neutro

1, reactanciaC

C C

C

VQ X

X C 1! !

"

1

2 2

3

voltaje fase-neutro

( 240 3 )0,57 [ ]

33,49 10

CC

C

VX

Q

! ! ! 2"

&'(')

1,

1 1 10,57

2 2 (25)

C

C

Q

XC f C C

1 3 3! ! ! !

" " " " " " "


Junio de 2009

311,1 10 [F]C 0+ ! "

Ej l 2Ejemplo 2 Para el sistema 3 equilibrado de la figura determinar los

voltajes en la fuente La lectura del voltímetro es de 190 [V] voltajes en la fuente. La lectura del voltímetro es de 190 [V] efectivos. Tome como referencia. a bV 4 4

Resultado V 512,9 9,1ab ! 0 5 "


Junio de 2009

t í d i it t dteor ía d e circu it os concen tra dos · "2 (2 el 3001 - análisis y diseño...

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