t i k m e g e o reviderat 2013 och i t a r m e t r i s a n ... · stockholm i februari 2013 karin...

REVIDERAT 2013 och UTVEcKLAT ENL. LGR11

Diamant

0,2514

10

100

37+31 000

10 000

17+3

Geometri

Mät

ning

Aritm

etik

2, 4, 6, 8,

DIAMANT

Diagnoseri matematik

Sannolikhet och Statistik

Rationella tal

Talmönster och Algebra

ÅRSKURS 1–9

FörordSkolverket erbjuder bedömningsstöd och nationella prov som stöd för lärarens bedömning av elevens kunskaper.

Bedömningsstödet Diamant är ett diagnostiskt material i matematik för grund-skolans årskurs 1–9, sameskolans årskurs 1–6 och specialskolans årskurs 1–10. Diamant har sedan tidigare funnits för de tidigare årskurserna och har nu utökats att också gälla för de senare årskurserna samt reviderats och utvecklats utifrån Lgr 11.

Diamant är ett av de bedömningsmaterial som Skolverket erbjuder i olika ämnen. Nationella prov i årskurserna 3, 6 och 9 i grundskolan, i sameskolan årskurs 3 och 6 och i specialskolan årskurs 4, 7 och 10, utgör också viktiga bedömnings-stöd för lärare.

Tanken med diagnoserna är att de ska användas för att kartlägga hur långt elev-erna kommit i sin kunskapsutveckling i matematik. Denna kunskap är väsentlig vid planering av undervisningen för att skapa goda förutsättningar för att elev-erna ska utveckla de kunskaper och förmågor som kursplanen beskriver.

Det är vår förhoppning att Diamant kommer att vara ett fortsatt stöd för lärare i att synliggöra elevers kunskapsutveckling i matematik genom åren i grundskolan.

Diamant har på uppdrag av Skolverket utvecklats av Madeleine Löwing och Marie Fredriksson, Christian Bennet och Susanne Frisk, verksamma vid Institu-tionen för didaktik och pedagogisk profession vid Göteborgs universitet.

Stockholm i februari 2013

Karin Hector-Stahre Maj Götefelt

Enhetschef Undervisningsråd

InnehållDEL 1 4 Inledning och beskrivning

11 Vetenskapliga reflektioner och överväganden

16 Sammanställning av de 127 diagnosernas indelning i områden och delområden

20 Strukturschema över områdenas uppbyggnad och deras inbördes relation

21 Om utvecklingsschema i matematik

DEL 2. DiagnosområdenA Aritmetik

R Rationella tal

TF Talmönster och algebra

M Mätning

G Geometri

S Sannolikhet och Statistik

DEL 3. KopieringsunderlagResultatblanketter till diagnoserna

Blanketter till individuella utvecklingsscheman

DIAMANT – NATIONELLA DIAGNOSER I MATEMATIK 4

Diamant är ett diagnosmaterial i matematik som består av 127 diagnoser, avsedda för grundskolan. Tanken med diagnoserna är att de ska användas av dig som lärare för att kartlägga hur långt eleverna kommit i sin matematikutveckling. Syftet är i huvudsak formativt och diagnoserna ska ge ett underlag för planering av en strukturerad undervisning som skapar goda förutsätt-ningar för eleverna att nå kunskapskraven. Därigenom blir det möjligt att förebygga framtida svårigheter i matematik som de annars kan hamna i beroende på bristande förkunskaper eller färdigheter.

En avgörande faktor för att kunna planera en väl strukturerad undervisning för den enskilda eleven, och för att bedriva en individualiserad undervisning, är god kännedom om var eleven befinner sig i sin matematiska utveckling. Tanken är därför att du ska använda diagnoserna kontinuerligt för att följa elevens kunskapsutveckling under flera år. Tydliga mål för undervisningen och en kontinuerlig uppföljning är avgörande faktorer för elevens framgång.

Diagnosernas användning Avsikten med diagnoserna i Diamant är att de ska användas som en naturlig del av undervisningen. I all-mänhet ges en diagnos till alla, eller de flesta av elev-erna. Ibland kan en diagnos innehålla några uppgifter som vissa av eleverna ännu inte mött. I så fall kan dessa elever få hoppa över de uppgifterna. Vid andra tillfällen kanske du vill ge diagnoser enbart till en mindre grupp av elever och kanske väljer du då ut vissa speciella uppgifter. Man kan sammanfatta diagnosernas använd-ning så här:

• Dukantaredapåomallaeleverharnödvändigaför-kunskaper inför ett nytt moment i undervisningen.

• Dukananvändadiagnosmaterialetförattidentifieraelever som behöver större utmaningar för att undvika att dessa elever känner sig understimulerade i mate-matikundervisningen. Även elever som kommit långt i sin kunskapsutveckling bör kartläggas.

• Dukanmedhjälpavendiagnosstämmaavdinundervisning genom att efter ett genomgånget avsnitt ta reda på om undervisningen lett till uppställda mål.

• Dukantaredapåomenuppföljningellerettåt-gärdsprogram lett till önskat resultat.

Du som lärare avgör själv utifrån kännedom om dina elever vem som ska göra vilken diagnos och när.

Diagnosmaterialets innehåll och strukturMatematikinnehållet i Diamant är indelat i följande områden, som vart och ett utgör en ”fasett” i Diamant:

• Aritmetik

• Rationellatal

• TalmönsterochAlgebra

• Mätning

• Geometri

• SannolikhetochStatistik

0,2514

10

100

37+31 000

10 000

17+3

Geometri

Mät

ning

Aritm

etik

2, 4, 6, 8,

DIAMANT

Diagnoseri matematik

Sannolikhet och Statistik

Rationella tal

Talmönster och Algebra

Inledning och beskrivning


Inledning o

ch beskrivning

kommentarerkVarje område är i sin tur indelat i delområden. Som exempel finns inom området Mätning följande del-områden:

• Mätningavtid

• Mätningavmassa

• Mätningavlängd

• Mätningavarea

• Mätningavvolym

Inom varje delområde finns ett antal diagnoser av varierande svårighetsgrad, vilka testar olika aspekter av för området centrala begrepp.

Matematiken är uppbyggd på ett logiskt sätt och har en egen struktur. Varje moment kräver därför sina speciella förkunskaper. Med hjälp av strukturscheman (schematiska skisser som visar relationen mellan olika delområden/diagnoser) kan du se om, och i så fall hur, varje delområde/diagnos är kopplat till ett eller flera andra delområden/diagnoser.

Av strukturschemat ovan, som gäller för Mätning, framgår att Mätning av längd bör föregå Mätning av area men att Mätning av längd och Mätning av tid inte är beroende av varandra. Det kan även finnas kopplingar mellan olika områden. Viss aritmetik kan till exempel vara förkunskap till uppgifter som finns inom mätning. Ett exempel på detta är att förståelse av decimaltal är en förkunskap till enhetsbyten. Denna typ av kopplingar mellan områden redovisas i den beskrivning som föregår varje diagnos. Som framgår av det här strukturschemat ärdiagnosMGF,Förberedande mätning och geometri, även förkunskap till området Geometri.

Förvarjeområdeidiagnosmaterialetangesrelatio-nen mellan diagnoserna och kursplanen i matematik (Lgr11). Här beskrivs vilket centralt innehåll som är möjligt att utvärdera med hjälp av områdets diagnoser samt vilka av de i kursplanen beskrivna förmågorna som är möjligt att utveckla genom arbete med detta innehåll.

Tack vare strukturschemat finner du diagnoser som kanske täcker ett innehåll som du inte brukar ta upp i den årskurs som du undervisar. Dessa diagnoser kan emellertid vara lämpliga att använda för elever som kommit långt i sin kunskapsutveckling. På samma sätt finner du diagnoser som eleven borde klarat under tidi-

gare årskurser men som kan vara lämpliga att använda i senare årskurser för de elever som ännu inte nått relevanta kunskapskrav. Vi vill emellertid poängtera att alla elever bör ges möjlighet att få sina kunskaper i matematik kartlagda, var och en på sin kunskapsnivå och att detta även gäller elever som kommit långt i sin matematikutveckling.

Till varje område/delområde hör ett avsnitt kallat Didaktiska kommentarer där det ges en beskrivning av det didaktiska ämnesinnehåll som diagnoserna bygger på. Dessa kommentarer är relativt kompri-merade eftersom en översiktlig beskrivning av viktiga didaktiska aspekter av områdets innehåll ska beskrivas och täcka in utveckling och progression av innehållet från förskoleklass till årskurs 9. Om du undervisar i de tidigaste årskurserna behöver du inte i detalj vara insatt i hela matematik innehållet upp till årskurs 9. Olika delar av kommentarerna blir intressanta för olika lärare beroende på i vilka skolår man undervisar. Men ett viktigt syfte med kommentarerna är att visa på hur all matematikinlärning hänger ihop och på vilket sätt redan den tidiga matematikförståelsen blir en viktig utgångspunkt för det fortsatta lärandet. I det avseendet är kommentarerna av vikt för alla lärare.

Till varje diagnos finns även en Beskrivning av de ingående uppgifterna, om diagnosens Genomförande, tankar om vad en Uppföljning kan innehålla och ett Facit.

Under rubriken Genomförande beskrivs om det är något speciellt du bör tänka på då diagnosen genom-förs. Där anges till exempel om det behövs något hjälpmedel såsom linjal eller gradskiva och hur lång tid det brukar ta att genomföra diagnosen. Vidare finns en Resultatblanketttillvarjediagnos.Resultatblankettenhar till syfte att ge dig en snabb överblick över diagnos-resultatet på såväl individ- som gruppnivå. Dessutom finns ett Utvecklingsschema där du på individnivå kan sammanställa en elevs diagnosresultat och dina obser-vationer om elevens utveckling i matematik.

Med hjälp av diagnosernas resultatblanketter ser du om det är något moment som en stor del av gruppen ännu inte behärskar eller om det enbart gäller enstaka elever. Diagnosresultaten ger dig således underlag för att planera din undervisning såväl för den enskilda eleven som för hela gruppen. Till varje diagnos hör också ett avsnitt rubricerat Uppföljning. Där ges en kort beskrivning av vad som kan vara orsak till vissa typer av fel och förslag på hur du genom undervisning kan komma till rätta med de vanligaste problemen.

Utgående från en skriftlig diagnos kan du av-göra om en elev har vissa svårigheter men inte alltid orsakerna till dem. Enstaka elevers diagnosresultat bör därför följas upp med intervjuer eller kompletterande övningar där eleven ges tillfälle att närmare redovisa sina räknestrategier eller tankar.

MLä Längdmätning

MAr Areamätning

MTiTidsmätning

MMa Mätning av massa

MVo Volymmätning

GGeometri

MGF Förberedande mätning och geometri


Inledning o

ch beskrivning

kommentarerkmuntliga fördiagnoserTill områdena Aritmetik, Mätning och Geometri samt Sannolikhet och Statistik finns muntliga fördiagnoser. Med hjälp av dessa kan du exempelvis vid skolstart (när du ska starta med det aktuella området) se hur långt olika elever kommit i sin matematikutveckling. Den muntliga fördi-agnosen i grundläggande aritmetik har visat sig lämplig att genomföra i slutet av förskoleklassen.

kontinuitet och generaliseringVid formativ bedömning i matematik är kontinuitet och generalisering centrala begrepp. Det centrala inne-hållet i kursplanen består ju inte av ett antal isolerade moment utan de olika momenten är sammanflätade i ett förkunskapsmönster. Som exempel är goda färdig-heter i grundläggande subtraktion inte ett mål i sig. Den här färdigheten ska i själva verket återanvändas i en rad andra situationer, t.ex. vid huvudräkning och skriftlig räkning. Den är också en integrerad del i en god taluppfattning. Såväl förståelsen av olika subtrak-tionsstrategier som färdigheten att använda dem måste därför ha en sådan kvalitet att den kan generaliseras till nya områden och därmed ge kontinuitet i inlärningen.

I en god taluppfattning ingår ett antal grundläg-gande strategier för huvudräkning såsom att 72 − 39 kan beräknas genom lika tillägg av 1. Detta ger den betydligt enklare subtraktionen 73 − 40. På motsvaran-de sätt kan 28 · 25, med användning av den associativa räknelagen beräknas som 7 · 4 · 25 och divisionen 35/7 uppfattas både som delningsdivision och som innehållsdivision. I det första fallet delas 35 upp i 7 delar och i det andra fallet undersöks hur många gånger 7 ryms i 35.

Strategier av det här slaget ska inte bara fungera för naturliga tal. När eleven kommer till decimaltalen ska de vara så säkra på den här typen av strategier att de med kontinuitet kan generaliseras till rationella tal. När elev-en t.ex. ska beräkna 7,2 − 3,9 ska eleven direkt kunna använda någon av följande strategier. Antingen genom att utföra beräkningen i enheten tiondel, vilket ger 72 − 39 = 73 − 40 = 33 tiondelar, alltså 3,3 eller att göra ett lika tillägg av 0,1 vilket ger 7,2 − 3,9 = 7,3 − 4,0 = 3,3.Vid en multiplikation som 0,7 · 50 kan man använda sig av den associativa räknelagen, vilket ger 0,7 · (10 · 5) = ( 0.7 · 10) · 5 = 7 · 5 = 35. Divisioner som 3,5 / 0,7 behöver heller inte vålla några problem. Här kan man antingen räkna i enheten tiondel vilket ger divisionen 35 / 7eller använda sig av innehålls-division vilket leder till frågan hur många gånger 0,7 ryms i 3,5.

Vid planering av undervisningen är det angeläget att du som undervisar i tidigare årskurser är medveten om hur det innehåll du arbetar med kommer att genera-liseras under senare årskurser. På motsvarande sätt är det angeläget att du som undervisar i senare årskurser

är medvetna om vilka kunskaper eleverna har med sig från tidigare och på vilket sätt man med kontinuitet kan generalisera dessa kunskaper. Det är detta som är denbärandeidénienstruktureradplanering.Förattunderlätta arbetet med en strukturerad planering finns det i Diamantstrukturschemanpåolikanivåer.Ge-nom att följa pilarna i dessa strukturscheman får man ett underlag, dels för en strukturerad planering, dels om vilka kunskaper som krävs inför ett nytt innehåll.

Diamantdiagnoserna och Lgr 11I kursplanen i matematik i Lgr11 finns det tre huvud-rubriker, Syfte, Centralt innehåll och Kunskapskrav. Vi ska fördjupa oss i Syfte och de förmågor som be-skrivsdär.Förstnågrakommenterartilldetvåandrarubrikerna.

Det centrala innehållet i matematik är uppdelat i underrubrikerna: Taluppfattning och tals användning, Algebra,Geometri,Sannolikhetochstatistik,Sambandoch förändring samt Problemlösning. Som framgår av den inledande texten har vi valt andra rubriker/områ-den för att på ett tydligt sätt visa sambandet inom och mellan de olika områdena.

När det gäller kunskapskrav så är dessa inte direkt kopplade till det centrala innehållet (bortsett från några moment i årskurs 3), utan uttrycker olika kvaliteter i kunnandet.Föratttillenvissdelsekvalitetielevenskunskaper har vi vid uppgiftskonstruktionen valt att skilja mellan aktiv och passiv kunskap. Detta kan sä-kert vara till hjälp vid bedömning av elevens kunskaper inom ett moment i området. Ett exempel på detta är diagnosenRB1.Pådenförstauppgiftenärandelarnaredan skuggade och eleverna behöver bara avläsa ande-len, en typ av passiv kunskap.

1 Hur stor del av figuren är skuggad?

a) ________ b) __________ c) ________

På den tredje uppgiften finns det ett rutnät i figurerna och eleverna får själva skugga andelen. Här visar eleven ett mer aktivt kunnande.

3 a) Skugga en sjättedel av figuren

b) Skugga en fjärdedel av figuren

c) Skugga en tredjedel av figuren


Inledning o

ch beskrivning

kommentarerkPå uppgift 4 måste eleven aktivt, såväl göra indel-ningen som skugga andelarna. Härigenom kan du på ett tydligt sätt se hur långt eleven har kommit i sin kunskapsutveckling när det gäller det här momentet.

Uppgifterna i samtliga diagnoser representerar en variation av aspekter som gäller för uppgiftstypen eller också sker det en stegring i uppgifternas komplexitet och/eller kraven på förkunskaper. Man kan då avgöra vilken aspekt som eventuellt saknas respektive var i stegringen en elevs kunskapsutveckling avstannat.

När det gäller andra typer av uppgifter, såsom grundläggande addition, subtraktion, multiplikation och division, har vi valt en annan väg. Eftersom detta är färdigheter som ständigt behövs i olika samman-hang krävs det en stor säkerhet i att behärska dem. De måste behärskas med flyt. Det innebär att eleverna på motsvarande diagnoser bör ha alla uppgifter rätt och på en rimlig tid. Om eleverna ges för lång tid, kan de lösa uppgifterna genom att räkna på fingrarna, vilket inte är en kunskap som eftersträvas. På motsvarande sätt bör eleverna vara säkra på grundläggande geometriska be-grepp och vanliga lägesord för att beskriva geometriska objekts egenskaper, läge och inbördes relationer.

De i kursplanens Syfte nämnda förmågorna, har kommit att spela en viktig roll inom matematikdidak-tiken. När det gäller förmågorna brukar man hänvisa till två källor, forskningssammanfattningen Adding it up: Helping children learn mathematics. (Kilpatrick, Swafford&Findell,2001)ochKompetencer og ma-tematiklæring framtagen av danska undervisningsmi-nisteriet (Niss & Höjgaard-Jensen, 2002). Kilpatrick m.fl. talar om förmågorna i termer av Mathematical Proficiencies, som omfattar

• Conceptual understanding – förståelse av begrepp, operationer och samband.

• Procedural fluency – förmåga att utföra beräkningar med variation, effektivt och korrekt.

• Strategic competence – förmåga att formulera, repre-sentera och lösa matematiska problem.

• Adaptive reasoning – förmåga till logiskt tänkande och reflektioner samt att kunna förklara och moti-vera.

• Productive disposition – att se matematik som viktig, användbar och värd att studera kopplat till tron på sin egen förmåga.

De här fem förmågor är inte isolerade från varandra utan är intimt sammanvävda även om de visar olika aspekter av ett matematikkunnande. Det är detta kunnande som karaktäriserar en person som behärskar ämnet matematik och det är detta man bör sträva efter att utveckla i skolans matematikundervisning.

Niss & Höjgaard-Jensen menar att kompetenserna/förmågorna ser olika ut i olika åldrar och i olika situationer. De kan även betrakts ur tre olika aspek-ter: Täckningsgrad, aktionsradie och teknisk nivå. (Se även Ola Helenius artikel Matematik och kompetenser i Nämnaren 2006:3.)

• Täckningsgraden beskriver de olika aspekter som kompetensen täcker. När det t.ex. gäller argumenta-tionskompetens, så har kompetensen hos den som kan föra en argumentation högre täckningsgrad än hos den som bara kan följa argumentationen.

• Aktionsradien beskriver de olika situationer och områden av matematiken som kompetensen omfat-tar. Det kan handla om att lösa problem algebraiskt, geometriskt eller grafiskt.

• Dentekniska nivån beskriver hur tekniskt avance-rade situationer kompetensen omfattar, alltså vilka matematiska modeller en person förmår använda vid problemlösning.

exempel på tolkning av förmågornaFörmågornaärintimtkoppladetillmatematikunder-visningens innehåll. Det är vid undervisningen av det centrala innehållet som lärare förväntas hjälpa eleverna att utveckla förmågorna och därmed den här synen på matematik. Vi ska nu ge vår tolkning av innebörden av de förmågor som nämns under rubriken Syfte i kursplanen och även ge några konkreta exempel på hur man kan arbeta med dessa förmågor.

Formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder samt använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp.

Detta bör tolkas som att undervisningen i problemlös-ning inte bör handla om att lösa enstaka problem, utan istället om att diskutera och analysera val av metoder och strategier och därmed ge eleverna verktyg för att analysera och lösa nya typer av problem. Detta kräver att eleverna känner till en variation av metoder och strategier. Det är genom att utgå från redan kända matematiska modeller, och eventuellt modifiera dem, som man brukar finna lösningar till nya problem som man inte tidigare mött.


Inledning o

ch beskrivning

kommentarerkProblemlösning handlar således inte om att pröva eller gissa sig fram till ett svar, arbeta med ”kluringar” eller att låta eleverna konstruera egna problem. Det bör vara en målinriktad verksamhet som hjälper eleverna att tillägna och tillämpa sig nya matematiska modeller och lösningsstrategier. En central del av problemlösandet är därför att diskutera olika, tänkbara matematiska mo-deller och att eleverna i samband med detta får lära sig att analysera och värdera dessa modeller och strategier, i relation till det problem de ska lösa.

Det är också angeläget att skilja mellan problem-lösning och att lösa textuppgifter som för det mesta handlar om att tolka en text och förstå vilket räknesät-tet eller vilken formel som ska användas. Lösningen är då oftast en upprepning av en redan känd beräkning och snarast en färdighetsträning.

Som stöd för problemlösandet lär man ofta ut regler eller ger checklistor för problemlösning. Sådana regler finner man t.ex. i Pólyas (1970) bok Problem- lösning, men dessa råd måste följas med omdöme. Riskenärannarsstorattproblemlösandetkommeratt styras av rigida regler istället för att göra den till en kreativ process. Problemlösandet ska vara intresse-väckande och leda till resonemang.

Pólyas problemlösningsschema ser i stora drag ut så här:

• Attförståproblemet

• Vadärdetsomsöks?Vadärgivet? Vilka villkor gäller och kan de uppfyllas?

• Ritaenfigur.Införlämpligabeteckningar.

• Attgöraenplan

• Kännerdutillnågotliknandeproblem? Kan man formulera om problemet?

• Attgenomföraplanen

• Kontrolleravarjestegsåattlösningenblirkorrekt.

• Attreflekteraöverlösningen

• Ärsvaretrimligt?Finnsdetandrabättrelösningar?Kan man generalisera lösningen för att lösa andra problem.

Att reflektera över lösningen, är den viktigaste delen av schemat. Det är under den fasen, och i diskussion med lärare och kamrater, som man lär sig nya strategier och nya aspekter av problemlösandet. Vad undervisningen om problemlösning bör fokusera på är nämligen att eleverna lär sig bygga upp en arsenal användbara ma-tematiska modeller. Dessa bör i sin tur utvecklas så att eleverna efter hand kan lösa nya och mer komplicerade problem.

Välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter.

Vardagsproblem och rutinuppgifter som man möter gång på gång, måste man behärska med stor säkerhet.

Deingårblandbaskunskapernaimatematik.Genomatt analysera och diskutera rutinproblem tar man ett första steg mot att lösa nya problemtyper och därmed ingår lösandet av rutinuppgifter som en central del av undervisningen i problemlösning.

Ju fler matematiska modeller (metoder) en elev behärskar, desto troligare är det att eleven kan finna en lösning även på en ny typ av problem. En förutsättning för detta är att eleven har en tilltro till sin förmåga och ett språk för att resonera och reflektera i anknytning till problemet. Detta har utvecklats i en artikel How do mathematicians learn?: resources and acts for constructing and understanding mathematics (Wilkerson-Jerde & Wilensky,2011).Författarnamenar,attdetinteräckeratt ha ett antal färdiga strategier, t.ex. formler för att lösa nya problem. Det handlar istället om att känna till hur dessa strategier och formler är uppbyggda och att utgå från dessa delar för att bygga upp nya lösnings-strategier. Att lösa nya problem handlar alltså om en förmåga att dela upp kända strategier och att foga sam-man dem i nya mönster.

Föra och följa matematiska resonemang.

Undervisningen i matematik bör i första hand handla om att resonera sig fram till lösningar, beskriva lös-ningarnaochbedömadessrelevans.Fördettabehöverman ett språk, inte bara för att kommunicera med andra personer, utan också för att själv kunna tänka (resonera med sig själv). Detta kräver att eleverna lär sig ett adekvat språk för att kommunicera matematik och det gör de genom att föra matematiska resone-mang. Att eleverna har ett språk för att lära matematik ger en säkerhet, som i sin tur är en förutsättning för att uppnå syftet att eleverna utvecklar intresse för matema-tik och tilltro till sin förmåga att använda matematik i olika sammanhang.

Inom matematiken används ett speciella genre-språk, ett så kallat ”Mathematical register”. Det här är ett språk som man kommit överens om för att kunna uttrycka sig på ett klart sätt, utan missuppfattningar och som omfattar termer, begrepp och definitioner. En hel del av matematiken uttrycks dessutom med ett kortfattat symbolspråk. Det är angeläget att läraren själv använder sig av det här språket på ett sådant sätt, att även eleverna lär sig ett språk med vars hjälp de kan resonera.

Använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräk-ningar och slutsatser.

Matematiken har alltså inte bara ett eget språkbruk, som gör det möjligt att på ett effektivt sätt kommuni-cera matematiska problem, utan också ett eget symbol-språk. Man kan t.ex. beskriva och lösa en rad olikar-tade problem med en enda subtraktion som 8 − 3 = 5. På grund av uppbyggnaden av vårt tal-


Inledning o

ch beskrivning

kommentarerksystem, ett positionssystem med basen 10, kan denna subtraktion även generaliseras till 18 − 3 = 15, 18 − 13 = 5, 80 − 30 = 50 osv. och man kan därmed lösa sviter av nya problem. Det är detta som är styrkan med äm-net matematik och det är genom att samtala, argumen-tera och redogöra som man kan lyfta fram värdet av matematikens uttrycksformer för eleverna och ge dem generaliserbara verktyg.

I det här sammanhanget vill vi synliggöra skillnaden mellan matematikens uttrycksformer och olika repre-sentationsformer. En matematisk uttrycksform kan vara en ekvation, ett bråk eller en formel. Likheten 5 = 3 + 2 kan även uttryckas som 3 + 2 = 5, 5 − 3 = 2. En representationsform är det sätt på vilket man pre-senterar en lösning eller ett resultat, t.ex. med en bild, ett material eller en tabell.

En beräkning är, som redan nämnts, bara en liten del av en problemlösning. Det är genom att presentera sin lösning och diskutera den med andra elever, och ta del av deras lösningar, som man lär sig problemlösning. Detta förutsätter att eleverna verkligen kan argumen-tera och redogöra för frågeställningar och beräkningar. Det handlar alltså inte om att lösa många problem, utan istället om att lära sig matematik och problemlös-ning genom att reflektera över värdet och generaliser-barheten av olika lösningar.

Ofta är det så, att de beräkningar man gör inte ger svar på den ställda frågan. Man måste därför lära eleverna att skilja mellan en beräkning, svaret och en lösning på problemet. Av det skälet är det angeläget att diskutera beräkningar och slutsatser. I det här sam-manhanget bör man även lyfta fram överslagsräkning sommetod.Redaninnanmanlöserettproblem,ellergör en beräkning, bör man se till att göra en överslags-räkning för att ta reda på vad som kan vara ett rimligt svar. Studier genomförda med hjälp av diamantdiagno-serna visar att varannan elev i årskurs 8 på diagnos AS5 får divisionen 864/8 till 18 utan att reagera. Detta visar på vikten av att behärska överslagsberäkning.

exempel på undervisning utifrån förmågornaFörattkonkretiseravadförmågornahandlarom,följerhär några exempel på hur man i undervisningen kan arbeta med förmågorna. I de här exemplen är förmå-gorna hela tiden knutna till ett matematiskt innehåll.

• Underenlektioniårskurs1harelevernafåtttreblomsterpinnar var. Vissa har fått tre olika långa pinnar, för andra är två eller tre av pinnarna lika långa. Eleverna bygger trianglar av pinnarna genom att foga samman pinnarna med modellera. De ska därefter beskriva trianglarna för varandra

Eleverna ges här möjligheter att använda termer som sida och sidors längd, hörn, vinkel, liksidig, likbent

m.m. De bygger samtidigt upp grundläggande be-grepp för den plana geometrin. Det handlar här om förmågorna att använda och analysera matematiska begrepp och att använda ett matematiskt språk.

• Ettproblembehöverintevarakopplattillenberät-telse eller en kontext. Det kan också handla om olika strategier för att utföra en aritmetisk opera-tion. En uppgift som 25 · 28 kan t.ex. lösas på en rad olika sätt.

Med hjälp av den distributiva lagen som 25 (30 − 2) = 25 · 30 − 25 · 2 = 750 − 50.

Med hjälp av den associativa lagen för multiplika-tion som 25 · 28 = 25 · 4 · 7 = 100 · 7

Genomfördubblingavdenenatermenikombina-tion med halvering av den andra termen, alltså 25 · 28 = 50 · 14 = 100 · 7.

Här gäller det att använda och analysera matematis-ka begrepp, använda lämpliga matematiska model-ler, föra och följa matematiska resonemang samt använda ett matematiskt språk.

• Medhjälpavföljandetypavproblemkanmanvisaeleverna att räknandet i sig ofta är underordnat ett logiskt tänkande.

På en mörk vind ligger en påse med kulor. Du vet att 6 är röda och 5 är blå. Hur många kulor måste du minst ta för att få två kulor av samma färg.

Istället för att direkt börja räkna lönar det sig i det här fallet att fundera och pröva olika strategier. Tar man två kulor måste resultatet antingen bli två likadana kulor eller en av varje färg. Tar man en tredje kula måste därför två kulor få samma färg. Uppgifter av det här slaget leder till diskussioner där eleverna får använda och analysera matematiska begrepp, för logiska resonemang och använda ett matematiskt språk. Antalet kulor spelar alltså en underordnad roll i det här sammanhanget.

• Divisionavtalibråkformkanuppfattaspåolikasätt.

En division som 6 _ 7 / 3 har av tradition beräknats som 6 _ 7 · 1 _ 3 , vilket stämmer väl med hur man gör motsvarande algebraiska beräkningar, men detta döljer innebörden i bråket 6 _ 7 vars grundläggande betydelse är 6 · 1 _ 7 . Skriver man detta som 6 sjunde-delar blir det tydligt att en division med 3 ger resul-tatet 2 sjundedelar, dvs. att det är täljaren (antalet sjundedelar) som ska divideras med 7.

Divisioner av typen 6 _ 7 / 3 _ 7 brukar på motsvarande sätt lösas som 6 _ 7 · 7 _ 3 , men då har man återigen tap-pat innebörden i divisionen. Man kan istället tolka detta som innehållsdivision, dvs. hur många gånger


Inledning o

ch beskrivning

kommentarerk3 enheter ryms i 6 enheter, vilket direkt ger svaret 2. Lägg märke till att detta gäller även om det inte varit sjundedelar utan niondelar eller tolftedelar. Om nämnarna är lika är det således enbart täljarna som är intressanta vid divisionen.

Det här handlar om förmågan att använda för situa-tionen lämpliga matematiska modeller för att göra beräkningar … och att värdera valda strategier och metoder.

Vad diagnoserna inte innehåller De ovan beskrivna förmågorna i kursplanens syftestext låter sig inte prövas i enskilda diagnoser och omfattas därför inte av diamantdiagnoserna. Eftersom intresse och tilltro sin förmåga hänger intimt samma med hur en elev lyckas utveckla sina kunskaper inom kurspla-nens centrala innehåll, kommer diamantdiagnoserna ändå att spela en stor roll även när det gäller elevers intresse och förmåga. Med hjälp av diagnoserna testas om eleverna har det begreppsförråd och det verktygs-förråd som krävs för att utveckla sitt matematikkun-nande vidare. Det ger en trygghet och ökad motivation för eleven att veta vad hon kan och vad hon behöver träna mera på liksom för läraren att veta vad undervis-ningen bör innehålla framöver.

Att diagnostisera problemlösning och kommuni-kativ förmåga låter sig inte göras med denna typ av diagnosinstrument. En orsak till detta är att såväl pro-blemlösning som kommunikation förutsätter en given kontext(sammanhang).Förattensådankontextskabli realistisk måste den anpassas till varje klass, grupp och elev. En annan orsak är att en viktig aspekt av pro-blemlösning är att kunna resonera, argumentera och välja olika lösningsstrategier. Det är således inte proble-mets lösning i sig som är intressant utan förmågan att

se olika lösningar och att kunna generalisera dem till nya obekanta situationer. Som en konsekvens av detta, kartläggs elevers kunskaper i problemlösning bäst i en annan form såsom till exempel i muntliga situationer. Detsamma gäller för huvudräkning som är ett centralt innehåll för såväl årskurs1–3 som årskurs 4–6. Även detta innehåll bör behandlas i dialog med eleverna där just reflektionen över valda strategier blir viktig liksom att diskutera strategierna och värdera dess för- och nackdelariolikasituationer.Förattkunnavaraef-fektiv problemlösare, argumentera och diskutera samt använda effektiva huvudräkningsstrategier krävs dock redskap i form av automatiserad talfakta, begrepps-förståelse och terminologi. Syftet med diagnoserna i Diamant är att säkerställa att eleverna har tillgång till dessa verktyg som i sin tur är en förutsättning för att kunna genomföra en problemlösning eller huvudräk-ning.VissauppgiftersomtillexempelidiagnosAG4,där generaliserade tabellkunskaper testas, är givetvis en typ av huvudräkningsuppgifter och uppgifter på diagnoserinomgeometrinsomGFo7,harkaraktärenav problemlösning eftersom det är ett sätt att testa om eleven kan använda relevanta begrepp.

En vanlig fråga om Diamant gäller i vilken årskurs eleverna ska behärska de olika diagnoserna. Eftersom olika skolor och klasser har stor frihet att lägga upp sin undervisning och planering på sitt eget sätt, kan man inte ange i vilken årskurs, en viss diagnos skall göras. Detta betor helt på din planering och i vilken ordning du valt att arbeta med olika innehåll. Däremot kan du med hjälp av diagnosmaterialet Diamant skaffa dig en god uppfattning om elevernas aktuella kunskaper i av-sikt att på sikt öka elevens kunskapsutveckling i ämnet matematik.


kommentarerkV

ete

nskapliga refl

ektio

ner

Syftet med den här texten är att beskriva hur innehål-let i diagnosmaterialet Diamant förhåller sig till aktuell forskning och kunskapssyn. Här beskrivs även den teo-rigrund på vilken materialet vilar, hur det är uppbyggt och hur det kan användas.

Synen på skolämnet matematikFörattgeenbakgrundtilldiagnosernasuppbyggnadger vi här vår syn på skolämnet matematik och vad det innebär att lära matematik. Abstraktion är en väsentlig del av kunskapsutvecklingen i matematik. Det innebär att eleverna ska lära sig att använda ett antal grundläg-gande matematiska modeller mentalt, alltså utan stöd av konkretrserande material. Dessa modeller ska senare på ett flexibelt sätt kunna användas för att kommu-nicera, generalisera och lära mera matematik, för att tolka omvärlden och för att studera andra skolämnen. Med hjälp av diagnoserna ska man kunna se vilka kunskaper som eleven behärskar och i vilken utsträck-ning eleverna lyckats abstrahera det ämnesinnehåll som beskrivs i kursplanen i matematik.

Enligt Nationalencyklopedin är matematik en ”…abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling /.../ den har frigjort sig från det konkreta ursprunget hos problemen vilket är en förutsättning för att den ska vara generell, dvs. tillämpbar i en mångfald situationer”. Även skolans matematik syftar till abstrak-tion vilket är en förutsättning för att komma vidare i kunskapsutvecklingen. Sven-Erik Liedman (2001) påpekar att ”Redan påståendet att två plus två är lika med fyra utgör en svindlande abstraktion i förhållande till den konkreta verkligheten: två äpplen eller två tankar gör ingen skillnad” (s. 102).

I skolan går ofta vägen till abstraktion via konkre-tisering.Förattgöraskolansmatematikgenerellochfunktionell måste eleven emellertid lämna konkretise-ringen bakom sig och abstrahera. Konkretiseringen får således inte bli ett mål utan det krävs att eleven lär sig abstrahera redan i de tidigare årskurserna. Detta har varit en utgångspunkt vid konstruktionen av diagnos-materialet Diamant.

Förattlösaettmatematisktproblemräckerdetintemed att förstå problemet och att ha en lösningsmetod. Det krävs dessutom så goda räknefärdigheter att eleven också kan utföra de beräkningar som krävs för att få ett korrektsvar.Behärskarinteelevensådanafärdigheterblir lösningen oftast felaktig, eller kräver så mycket tan-kekraft, att eleven får svårigheter med att bearbeta den primära uppgiften. Man kan uttrycka detta som att eleven då saknar flyt i sitt räknande på samma sätt som

en del elever kan sakna flyt i sitt läsande. Det är angelä-get att diagnoserna inte enbart kartlägger begreppsför-ståelse, utan också att eleverna har så goda färdigheter att de får flyt i sitt räknande och sin kommunikation. Detta har under senare år allt mer betonats i interna-tionelldidaktiskforskning(LoewenbergBall,Ferrini-Mundy, Kilpatrick, Milgram, Schmid & Schaar, 2005).

Skolmatematiken i internationell forskningEfter internationella jämförelser ansåg sig USA behöva öka elevernas kunskaper i matematik. Man tillsatte av det skälet en grupp bestående av framstående mate-matikdidaktiker och matematiker för att utarbeta en gemensam grundsyn på skolans matematikinnehåll, Common ground(LoewenbergBallm.fl.,2005). Centrala punkter som man kom överens om var:

• Automatical recall of basic facts. Man menade att vissa procedurer och algoritmer inom matematiken är så grundläggande och är så generellt tillämpbara att de måste behärskas med automatik.

• Calculators. Miniräknare bör användas även i de lägre årskurserna, men, påpekar man, de måste användas med stor försiktighet så att man inte även-tyrar inlärningen av basala kunskaper.

• Learning algorithms. Eleverna ska med säkerhet kunna använda algoritmerna för de fyra räknesätten. Samtidigt är det viktigt att de förstår hur algorit-merna är uppbyggda och fungerar. Ett skäl för detta är att algoritmerna bygger på strukturen i vårt talsys-tem med basen 10 och därmed förstärker elevernas taluppfattning.

• Fractions.Förståelsenavbråkärviktigeftersomdetär omöjligt att på djupet förstå förhållande, propor-tionalitetochprocentutanattbehärskabråk.Bråkär också en nödvändig förkunskap för algebran.

• Teacher knowledge. En effektiv undervisning för-utsätter att läraren förstår den matematik som det undervisade innehållet bygger på. Det räcker alltså inte med att behärska det just aktuella innehållet utan läraren måste dessutom kunna se detta innehåll i ett större perspektiv och förstå de underliggande matematiska idéerna.

Man kan konstatera att forskare i USA har tagit klar ställning i dessa frågor och vi som arbetat med diag-nosmaterialet Diamant delar i stort den syn på skolans matematikinnehållsomredovisasiCommonGround(LoewenbergBallm.fl.,2005).

Vetenskapliga reflektioner och överväganden


kommentarerkV

ete

nskapliga refl

ektio

ner

Individens uppfattning om matematiska begreppSkolans matematikundervisning syftar till att eleven ska behärska ett antal centrala matematiska begrepp. Det är dessa begrepp som sedan, på ett flexibelt sätt, ska kunna användas i en rad olika situationer. Dessa begrepp är emellertid inte statiska utan de utvecklas och förfinas efter hand. Ett nödvändigt villkor är därför att de begrepp som erbjuds eleverna i under-visningen ska vara utvecklingsbara för att främja ett fortsatt lärande. Ett diagnosinstrument måste därför bygga på teorier för hur skolans matematikinnehåll kan struktureras på ett logiskt sätt och vilka förkunskaper som krävs för att utveckla olika begrepp till en högre begreppsnivå (Ma, 1999; Löwing, 2002). Det är detta som beskrivs till vänster i nedanstående figur, där ring-arnarepresenterardenyaförkunskaper(F)somkrävsför att utveckla begreppet A vidare från en nivå till nästa. Även om begrepp kan byggas upp på olika sätt, kan man inte gå hur som helst mellan olika begrepp och begreppsnivåer. Matematiken har en inneboende struktur som är hierarkisk men inte linjär.

De begrepp som eleverna erbjuds i skolans matema-tikundervisning presenteras för dem i undervisnings-processen.Beroendepåvilkenförförståelseochvilkaerfarenheter eleverna har, kommer de att uppfatta de erbjudna begreppen på olika sätt. En elev vars upp-fattning om begrepp A inte överensstämmer med begreppet på nivå 1, får givetvis problem med att utvidga begreppet till nivå 2. Av det skälet måste ett diagnosmaterial vara så konstruerat att man med dess hjälp kan avgöra dels huruvida en elev har uppfattat ett begrepp på ett adekvat sätt, dels vilka förkunskaper som saknas för att en elev ska kunna tillägna sig ett begrepp på en högre nivå. (Löwing & Kilborn, 2008; Löwing, 2008).

Förattelevernaskafåförståelse/uppfattningarsomöverensstämmer med begreppen krävs en variation i undervisningsprocessen. ”This establishes a possible link between the variation of an aspect of the object of learning

during a mathematics lesson and the possible discernment of that aspect ”(Häggström, 2008). En genomtänkt variation som exponeras i undervisningen möjliggör för eleven att bygga upp en förståelse/uppfattning som har god överensstämmelse med begreppet.

Vad en mindre god relation mellan begrepp och uppfattningkanledatillbeskrivsavRiesbeck(2008).Hon beskriver där hur elever resonerar när de skall till-lämpa matematiska modeller.

Eleverna lyckas i vår studie inte med att hålla isär de olika resonemangskedjorna. Eleverna reder inte ut hur logiken ser ut och vilka argument som är giltiga i ett givet ögonblick. Istället anförs skäl, belägg eller information hörande till olika matematiska modeller utan att man frågar sig om just den aktuella modellen kan ta hänsyn till detta. (s. 227)

Vad figuren ovan visar är inte bara kopplingen mellan olika begreppsnivåer och i vilken utsträckning eleven har uppfattat begreppen. Däremellan ligger undervis-ningsprocessen som omfattar planering, presentation av innehåll, arbetsformer, arbetssätt m.m. Även om detta är viktiga inslag i undervisningen, så kan allt detta inte kartläggas med hjälp av ett nationellt diag-nosmaterial. Vad Diamant fokuserar på är elevernas uppfattningar av olika begrepp. Mindre bra resultat på en diagnos kan emellertid ofta härledas till brister i undervisningsprocessen.

När det gäller teorier för ämnesinnehållet, alltså det vi kallar didaktisk ämnesteori, så har denna beskrivits i Marton (1986), Schulman (1986, 1987), Kilborn (1989,2005a,b),BallochBass(2000)samtiLöwing(2002, 2004, 2008, 2011). En viktig del av denna teori omfattar analyser av vilka förkunskaper som krävs och vilka strategier som kan användas inom olika områden av skolmatematiken. Denna teori har tidigare använts för att bygga upp andra diagnosinstrument (Johansson & Kilborn, 1982). Detta överensstämmer väl med det omfattande ramverk för formativ bedömning som Wiliam och Thompson (2007) beskriver och som omfattar tre centrala processer: nämligen att fastställa var eleven befinner sig i sin kunskapsutveckling, vilka målen är och vilket innehåll eleven behöver förstå för att nå målen.

krav på en funktionell diagnosRedanisambandmedPUMP-projektet(Kilborn,1979) gjordes ett grundläggande arbete som omfattar såväl en teori för diagnosers innehåll som en teori för urvalet av uppgifter och synen på validitet och reliabili-tet. Det är detta arbete vi utgått från och vidareutveck-lat i diagnosmaterialet Diamant.

En förutsättning för att ett diagnosinstrument ska fungera är att det har god validitet som anger i vilken utsträckning ett mätinstrument mäter vad det avser

F F

F F

F F

F F

Uppfattning av A, nivå 3



Begrepp A nivå 3

Begrepp A nivå 2

Begrepp A nivå 1

UNDER-

VISNINGS-

PROCESSEN


kommentarerkV

ete

nskapliga refl

ektio

ner

att mäta och reliabilitet som mäter förekomsten av tolkningsfel. När det gäller validiteten så är tre faktorer viktiga:

• Diagnosinstrumentetskahjälpalärarenattfåredapå kvalitet och omfattning av de begrepp och meto-der som eleven har tillägnat sig utifrån en didaktisk förkunskapsstruktur.

• Uppgifternaiendiagnosbörbaradiagnostiseraettavgränsat innehåll i sänder. Om uppgifterna blir komplexa och berör flera olika innehåll samtidigt är risken stor att man inte kan avgöra vari elevens eventuella kunskapsluckor består. Detta påverkar i sin tur diagnosens reliabilitet.

• Uppgifternaskonstruktionochantalmåstevarasådant att man med stor säkerhet kan kartlägga elevens svårigheter. I annat fall får man inte utrett, och därmed inte möjligheter att åtgärda dessa, vilket kan komma att utgöra hinder vid elevens fortsatta matematikinlärning.

Förattuppnåhögreliabilitetharvisträvatefterattkonstruera uppgifter som är så enkla att tolka att olika lärare bedömer lösningarna på samma sätt. Detta underlättar för läraren att avgöra vari elevens eventuella svårigheter består. I annat fall går det inte att kommu-nicera och med precision följa upp och åtgärda aktuella kunskapsbrister.

När det gäller teorier för urvalet av uppgifter och dess validitet och reliabilitet utgår vi från två kompletterande dimensioner. De olika uppgifterna i diagnosmaterialet täcker alla aspekter av de begrepp som testas, samtidigt som varje enskild uppgift inte testar mer än en aspekt. Mäter man flera saker samtidigt får läraren problem med att entydigt tolka resultatet. Den ökande komplexiteten inom ämnet i kombination med större krav på förkun-skaper gör emellertid detta något svårare i diagnoser som rör de senare årskurserna.

Föruppgiftersomprövarvissafärdigheterharvividurvalet och valet av antalet uppgifter i respektive diag-nos, använt en speciell teori. Denna bygger på beräk-ningar av sannolikheten att en elev ska klara en diagnos utan att hon behärskar motsvarande kunskapsområde. Det är till exempel inte ovanligt att en elev gör fel på var fjärde uppgift av ett visst slag. Detta tolkas av många lärare som slarvfel, trots att eleven ifråga alltid har en liknande felprocent på den typen av uppgift. I själva verket brukar det vara så att uppgifterna i en viss, skenbart homogen, grupp av uppgifter, innehåller något olika förkunskaper. De uppgifter eleven missar är sådana där just den förkunskapen saknas. Konsekvenserna av detta är att en elev som brukar gör rätt på tre av fyra uppgifter (75 % av uppgifterna) av ett visst slag, med ca 56 % sannolikhet får rätt på två uppgifter i rad och med ca 42 % sannolikhet får rätt på tre uppgifter i rad. Om antalet uppgifter som behandlar ett sådant kunskapssteg

i en diagnos är för få, är därför risken stor att en elev ger intryck av att klara av en diagnos trots att hon inte behärskar det aktuella området. Mot denna bakgrund är det viktigt att inte bara valet av uppgifter, utan även valet av antalet uppgifter, görs på ett professionellt sätt. Det är denna typ av övervägande som ligger bakom valet av uppgifter på bland annat diagnoserna i aritmetik.

En uppgift som utgör kriterium på att en elev be-härskar ett innehåll, kan ibland lösas på flera olika sätt. Vilken strategi man än väljer så bygger den oftast på speciella förkunskaper eller en speciell förförståelse. När en uppgift blir fel beror det oftast på att eleven saknat någonförkunskap/förförståelse.Förattsäkerställakun-skapen ifråga och få hög validitet och reliabilitet skulle det därför krävas ett stort antal uppgifter av liknade slag. Ett alternativ som vi valt är i stället att bygga upp nätverk av uppgifter. Dessa uppgifter kan tillsammans ge all den information, eller omfatta de olika aspekter av det aktuella begreppet, som krävs för att hjälpa elever att komma vidare. Det är dessa, teoretiskt väl underbyggda analyser som är utmärkande för Diamant. Hur de nämnda sambanden mellan och inom olika kunskaps-områden i Diamant ser ut, beskrivs i materialet med hjälpavstrukturscheman.Genomdennauppbyggnadminskar risken för att en elev ska ge intryck av att klara en diagnos trots att eleven har brister inom det aktuella området, t.ex. som följd av att läraren i sin undervisning missat att erbjuda eleven olika aspekter av begreppet eller en nödvändig förkunskap.

Diagnosernas uppbyggnadDiagnoserna bygger på väl kända och allmänt ac-cepterade forskningsresultat om hur barn tillägnar sig matematik. Det är t.ex. känt att det inom områden såsom Aritmetik, Mätning/geometri och Statistik krävs en förförståelse för att komma vidare. Till dessa områ-den finns därför muntliga diagnoser för att kartlägga elevernas förförståelse av grundläggande begrepp och termer.

Diagnoserna i Grundläggande aritmetik skiljer sig från övriga diagnoser. Det beror på att subtraktioner som 7 – 5 och 14 – 8 eller multiplikationer som 7 · 8 bör vara så väl automatiserade att eleverna med flyt, alltså utan att extra tankekraft, ska kunna använda dessa som delberäkningar vid såväl skriftlig räkning och huvudräkning som vid problemlösning. Sådana uppgifter förekommer därför i homogena grupper omfattande sex uppgifter. Målet är att eleverna ska behärska dessa uppgifter på ett sådant sätt att alla upp-gifterna blir rätt inom ett begränsat tidsintervall.

Uppgifterna på de övriga diagnoserna är av en annan karaktär och bygger i stället på en sekvensering där komplexitetsnivån successivt höjs och olika aspekter av begreppet prövas. Det betyder att man som lärare kan avgöra vilken nivå och vilka aspekter respektive elev


kommentarerkV

ete

nskapliga refl

ektio

ner

behärskar och vad som fattas för att eleven ska komma vidare. Inom det här området finns det en mångårig erfarenhetvidGöteborgsuniversitet,Institutionenfördidaktik och pedagogisk profession, vilket framgår av referenslistan. De gjorda erfarenheterna bygger i sin tur på en omfattande internationell forskning som bedrivitsavbl.a.Gelman&Galistel(1983),Schulman(1986,1987),Carpenter&Moser(1984),Fennema,E.,Carpenter,Franke,Jacobs&Empson,(1996), Ma(1999),Ball(2000),Ball&Bass(2000)ochClarke (2001) samt Kilpatrick m.fl. ( 2001).

Materialet är uppbyggt på liknande sätt som Wiliam (2007) lyfter fram så att det kan användas som ett verktyg för olika ändamål:

• förattkartläggaochföljauppdenenskildeelevenskunskapsutveckling.

• förattkartläggaochföljauppgruppensellerklassens kunskapsutveckling

• förattanalyseramåluppfyllelseniskolanellerkom-munen och synliggöra eventuella behov av kompe-tensutveckling.

Litteratur och källorBall,D.(2000).WorkingontheInside:UsingOne’s

Own Practice as a Site for Studying Teaching and Learning.InA.Kelly&R.Lesh(Eds.),Research Design in Mathematics and Sciene Education (pp. 365–402). Mahwah, NJ: Laurence Erlbaum.

Ball,D.,&Bass,H.(2000).InterweavingContentand Pedagogy in Teaching and Learning to Teach: KnowingandUsingMathematics.InJ.Boaler(Ed.), Multiple Perspectives on Mathematics Teaching (pp.83–104). Westport: Ablex Publishing.

Carpenter, T., & Moser, J. (1984). The aquisition of addition and subtraction concepts in grades one through three. Journal for Research in Mathematics Education, 15(3), 179–202.

Clark, D. (2001). Complementary Accounts Metho-dology. In D. Clark (Ed.), Perspectives on Practice and Meaning in Mathematics and Science Classrooms (pp. 13–32). Dordrecht: Kluwer Academic Publis-hers.

Fennema,E.,Carpenter,T.P.,Franke,M.L.,Jacobs,V.R.,&Empson,S.B.(1996).ALongitudinalStudy of Lerning to Use Children´s Thinking in Mathematics Instruction. Journal for research in Mathematics Education, 27:403–434.

Gelman,R.,&Galistel,C.R.(1983).Thechild’sunderstandingofnumber.InM.Donaldson,R.Grieve,&C.Pratt(Eds.),Early childhood develop-ment and education.Oxford:BasilBlackwell.

Johansson,B.,&Kilborn,W.(1982).Räkning. Stockholm: Utbildningsförlaget.

Häggström, J. (2008). Teaching systems of linear equations i Sweden and China.(GöteborgStudiesinEducationalSciences262)Göteborg:ActaUniversi-tatisGothoburgensis.

Kilborn, W. (1979a). PUMP-projektet. Bakgrund och erfarenheter.(Utbildningsforskning,FoUrapport37). Stockholm: Skolöverstyrelsen.

*Kilborn, W. (1979b). Ämnesmetodiska processanalyser i matematik inom KomVux. Stockholm: Högskolan för lärarutbildning.

Kilborn, W. (1989). Didaktisk ämnesteori i matematik. Del 1: Grundläggande aritmetik. Stockholm: Utbildningsförlaget.

*Kilborn, W. (1996), On national assessment. A study about goals and results in grade 5. Maputo, Mocam-bique: National Institute for Educational Develop-ment (INDE).

Kilborn, W. (2005a). Manual de didactica de mata-mática. Volum 1 e volum 2. Cardernos de Pesquisa n016. Maputo: Instituto Nacional do Desenvolvi-mento da Educação (INDE ).

Kilborn, W. (2005b). O primeiro ano com um novo curriculo. Maputo: Instituto Nacional do Desenvol-vimento da Educação (INDE ).

*Kilborn,W.,Dhliwayo,N.,Gudza,E.&Ngaru,M.,(1996). A Study of State of Mathematics Education in the Zimbabwean Primary Schools.Göteborg:Göte-borgs Universitet, Institutionen för ämnesdidaktik. Harare Zimbabwe: CDU Ministry of Education.

Kilpatrick,J.,Swafford,J.,&Findell,B.(Eds.).(2001). Adding it up: Helping children learn mathe-matics. Washington, DC: National Academy Press.

Liedman, S-E. (2001). Ett oändligt äventyr. Om människans kunskaper.Stockholm:Bonnier.

LoewenbergBall,D.,Ferrine-Mundy,J.,Kilpatrick,J.,Milgram,R.J.,Schmid,W.&Schaar,R.(2005)Reaching for Common Ground in K-12 Mathematics Education. http://www.maa.org/common-ground/cg-report2005.html

Löwing, M. (2002). Ämnesdidaktisk teori för Matema-tikundervisning. Ämneskunskapens relation till individ och omvärld.(IPD-rapportnr2002:11)Göteborg:GöteborgsUniversitet,Institutionenförpedagogikoch didaktik.

Löwing, M. (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning. En studie av kommunikationen lärare–elev och matematikens didaktiska ramar. (GöteborgStu-diesinEducationalSciences208)Göteborg:ActaUniversitatisGothoburgensis.

Löwing, M. (2008). Grundläggande Aritmetik – Mate-matikdidaktik för lärare. Studentlitteratur: Lund.

Löwing, M. (2011). Grundläggande geometri – Mate-matikdidaktik för lärare. Studentlitteratur: Lund.


kommentarerkV

ete

nskapliga refl

ektio

ner

*Löwing, M. & Kilborn, W. (2000). Mathematics in Foundation Phase. Department of Education in the Nothern Cape Province and SIDA (Swedish Interna-tional Development Authority). Kimberley, Sydafrika

*Löwing, M., & Kilborn W. (2002) Baskunskaper i Matematik, för skola, hem och samhälle. Studentlit-teratur. Lund

*Löwing, M., & Kilborn, W. (2003) Huvudräkning. En inkörsport till matematiken. Studentlitteratur Lund.

Löwing, M., & Kilborn, W. (2008) Språk, kultur och matematikundervisning. Studentlitteratur Lund.

Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics. Mahwah NJ: Lawrence Erlbaum.

Marton,F.(Red.).(1986).FackdidaktikvolymIII. (s. 87–101). Lund: Studentlitteratur.

Nationalencyklopedin(1989–1996).Höganäs:BraBöcker.

*Nilsson,G.(2005).Att äga π. Praxisnära studier av lärarstudenters arbete med geometrilektioner. (Göte-borgStudiesInEducationalSciences228)Göte-borg:ActaUniversitatisGothoburgensis.

Niss, M., & Højgaard Jensen, T. (2002). Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Köpenhamn: Uddannelseministeriet.

Riesbeck,E.(2008).På tal om matematik. Linköping: Institutionen för beteendevetenskap och lärande.

Schulman, L. (1986). Those who understand: Know-ledge growth in teaching. Educational Researcher, 15(2), 4–14.

Schulman,L.(1987).Knowledgeandteaching:Foun-dations of the new reform. Harvard Educational Review, 57 (1), 1–22.

Wiliam, D. (2007). Keeping learning on track. InF.Lester,(Ed.)Second Handbook of Research on

Mathematics Teaching and Learning. Charlotte, NC: NCTM

Wiliam, D., & Thompson, M. (2007). Integrating Assessment with Instruction: What Will It Take to Make It Work.InC.A.Dwyer,(Ed.)TheFuture of Assessment: Shaping Teaching and Learning. Mahwah N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

* Betecknarlitteratursominteärdirektnämndidennasam-manställning, men som har sitt ursprung i, och belyser den forskning inom matematikdidaktik och diagnostisering, som bedrivitsvidGöteborgsuniversitetochsomutgörenviktigkunskapsbas för ¨detta diagnosmaterial.


kommentarerkS

amm

anställning av diagnose

r

områden Delområden Diagnoser

aritmetikFörberedande aritmetik aF Förberedande aritmetik

Grundläggande aritmetik aG1 Additioner och subtraktioner, talområdet 1–9

aG2 Additioner och subtraktioner, talområdet 10–19, utan tiotalsövergång

aG3 Additioner och subtraktioner, talområdet 10–19

aG4 Additioner och subtraktioner, talområdet 20–99

aG5 Räknesättens innebörd, addition och subtraktion

aG6 Multiplikationstabellen

aG7 Generaliserad multiplikationstabell

aG8 Divisionstabell

aG9 Räknesättens innebörd, multiplikation och division

aritmetik, skriftlig räkning

aS1 Skriftlig addition

aS2 Skriftlig subtraktion

aS3 Addition och subtraktion, textuppgifter

aS4 Skriftlig multiplikation

aS5 Skriftlig division

aS6 Multiplikation och division, textuppgifter

aS7 Skriftlig multiplikation, flersiffriga faktorer

aS8 Skriftlig division, tvåsiffrig nämnare

aS9 Skriftlig addition och subtraktion, tal i decimalform

aS10 Skriftlig multiplikation, tal i decimalform

aS11 Skriftlig division, tal i decimalform

aritmetik, utvidgad aUn1 Negativa tal, taluppfattning

aUn2 Negativa tal, addition och subtraktion

aUn3 Negativa tal, multiplikation och division

aUn4 Negativa tal

aUp1 Potenser, grundläggande

aUp2 Potenslagar 1

aUp3 Potenslagar 2

aUp4 Kvadratrötter

aUp5 Potenser och kvadratrötter

Sammanställning av de 127 diagnosernas indelning i områden och delområden


kommentarerkS

amm

anställning av diagnose

r


rationella talrationella tal Bråk rB1 En del av en hel

rB2 Flera delar av en hel

rB3 Del av ett antal

rB4 Bråk som tal

rB5 Taluppfattning av bråk

rB6 Addition och subtraktion av tal i bråkform

rB7 Multiplikation och division av tal i bråkform

Decimaltal rD1 Tal i decimalform

rD2 Taluppfattning av decimaltal, addition och subtraktion

rD3 Taluppfattning av decimaltal, multiplikation och division

rD4 Huvudräkning med tal i decimalform, addition och subtraktion

rD5 Huvudräkning med tal i decimalform, multiplikation och division

rD6 Närmevärden

Proportionalitet och procent

rP1 Grundläggande proportionalitet

rP2 Proportionalitet i grafform

rP3 Grundläggande procenträkning

rP4 Procenträkning

rP5 Procent, problemlösning

rP6 Förändringsfaktor

rP7 Ränta

talmönster och algebratalföljder och talmönster

tat1 Talföljder 1

tat2 Talföljder 2

tat3 Talmönster 1

tat4 Talmönster 2

tat5 Geometriska mönster

algebraiska uttryck tau1 Enkla uttryck

tau2 Uttrycks värde

tau3 Förenkling av uttryck

tau4 Multiplikation av binom

tau5 Förenkling av rationella uttryck

ekvationer tae1 Enkla ekvationer

tae2 Ekvationer

tae3 Ekvationer, rationella tal

tae4 Ekvationer med och utan lösningar


Sam

manställning av diagno

ser

kommentarerk


tae5 Olikheter

tae6 Andragradsekvationer

tae7 Ekvationssystem, algebraiskt

koordinatsystem och grafer

tag1 Koordinatsystem

tag2 Räta linjen

tag3 Räta linjens ekvation

tag4 Ekvationssystem grafiskt

mätningFörberedande mätning och geometri

mGF Förberedande mätning och geometri

mätning av längd mLä1 Grundläggande mätning, längd

mLä2 Mätning, omkrets

mLä3 Enhetsbyte, längd

mLä4 Mätning, cirkeln

mätning av massa mma1 Grundläggande mätning, massa

mma2 Enhetsbyte, massa

mätning av tid mti1 Analog tid

mti2 Tidsdifferens, analog tid

mti3 Från analog till digital tid

mti4 Delar av sekund

mti5 Tidsdifferens, dagar m.m.

mätning av area mar1 Grundläggande mätning, area

mar2 Enhetsbyte, area

mar3 Enkel areaberäkning

mar4 Areaberäkning

mar5 Enkel begränsningsarea

mar6 Cirkelområdets area

mar7 Begränsningsarea

mätning av volym mVo1 Grundläggande mätning, volym

mVo2 Volym i vardagen

mVo3 Enhetsbyte, volym 1

mVo4 Enkel volymberäkning

mVo5 Volymberäkning 1

mVo6 Volymberäkning 2

mVo7 Enhetsbyte volym 2

GeometriGeometriska former GFo1 Grundläggande symmetri

GFo2 Avbildning

GFo3 Plana figurer

GFo4 Kroppar


Sam

manställning av diagno

ser

kommentarerk


GFo5 Likformighet begrepp

GFo6 Likformighet beräkning

GFo7 Pythagoras sats

GFo8 Geometrisk konstruktion

Skala GSk1 Avbildning och perspektiv

GSk2 Förstoring och förminskning

GSk3 Avläsa kartor och ritningar

GSk4 Längd-, Area- och Volymskala

Vinklar GVi1 Vinklar

GVi2 Vinklar, samband

GVi3 Vinklar, problemlösning

Sannolikhet och StatistikSannolikhet SaF Förberedande sannolikhet

Sa1 Grundläggande kombinatorik

Sa2 Kombinatorik

Sa3 Grundläggande sannolikhet

Sa4 Experimentell sannolikhet

Sa5 Sannolikhet

Statistik StF Förberedande statistik Std1 Tabeller

Std2 Stapeldiagram

Std3 Stolpdiagram

Std4 Cirkeldiagram

Std5 Linjediagram

Std6 Histogram

Lägesmått Stl1 Grundläggande lägesmått Stl2 Lägesmått


kommentarerkS

truktu

rschem

a

Strukturschema över områdenas uppbyggnad


Som lärare ska du enligt Skollagen följa elevens kunskapsutveckling och minst en gång per termin informera eleven och elevens vårdnadshavare om elevens kunskaper. Vid dessa utvecklingssamtal ska du skriftligt sammanfatta vilka insatser som bör göras för att eleven så långt som möjligt ska utvecklas i enlighet med läroplanen och kursplanerna. Informationen som du ger till elev och vårdnadshavare ska grundas på en utvärdering av elevens kunskapsutveckling i relation till kunskapskraven i kursplanen.

Strukturscheman och diagnoser i Diamant är ana-lysverktyg som hjälper dig att beskriva elevens utveck-ling i relation till delmål, vilka är formulerade med utgångspunkt i centralt innehåll och kunskapskraven i kursplanen i matematik. Dessa verktyg hjälper dig också att fatta beslut om vilka insatser som krävs för att eleven ska utvecklas vidare och nå de delmål som du formulerat. Med hjälp av diagnoserna inom Diamant kan du följa elevens kunskapsutveckling på en mycket detaljerad nivå och se vilka kunskaper en elev för tillfället har och vad som återstår att lära för att eleven ska uppfylla aktuella kunskapskrav. Samtidigt får du en överblick över vilka kunskaper eleven har tillägnat sig, såväl när det gäller förståelse som färdigheter, inom olika områden. När klassen/gruppen har gjort en diag-nos för du in denna information i en resultatblankett som finns till varje diagnos. För att göra informationen ännu mer inriktad mot enskilda elevers kunskapsut-veckling, finns ett speciellt underlag kallat Utvecklings-schema kopplat till diagnoserna i Diamant.

Tanken är att du kontinuerligt kan hålla reda på den enskilda elevens aktuella kunskaper i matematik genom att successivt föra in diagnosresultat i olika ut-vecklingsscheman. Genom att jämföra elevens aktuella kunskaper med de mål du ställt upp kan du när som helst under terminen bilda dig en uppfattning om vad eleven bör arbeta med för att utvecklas vidare och på

sikt uppfylla kunskaps kraven. Denna information har du god nytta av när du förbereder dig inför utveck-lingssamtalen eller upprättar en skriftlig individuell utvecklingsplan. Med denna information som bak-grund kan man ge en väl underbyggd information av elevens kunskapsutveckling i matematik och samtidigt presentera en plan för hur den aktuella eleven ska utvecklas vidare.

Uppbyggnaden av UtvecklingsschemaDiamantdiagnoserna omfattar sex områden, de sex facetterna i diamanten. Dessa är

• A,Artimetik

• R,Rationellatal

• TA,Talmönsterochalgebra

• M,Mätning

• G,Geometri

• S,Sannolikhetochstatistik

Till vart och ett av dessa områden hör ett struktur-schema som beskriver hur de olika diagnoserna inom området är relaterade till varandra. Dessa struktursche-man utgör grunden för de utvecklingsscheman som du här erbjuds för att kunna bokföra den enskilda elevens kunskapsutveckling inom matematik. Du kan använda utvecklingsschemat för varje område, utvecklings-schemat för de olika delområdena samt när det gäller de Förberedande diagnoserna och inom den inledande Aritmetiken, även utvecklingsscheman för varje diagnos.

Användochsparaettdigitaltexemplaravdeolikautvecklingsschemana för varje elev. Dessa utvecklings-scheman följer sedan eleven genom ett antal årskurser. Du kan successivt notera när en elev anses behärska ett visst ämnesinnehåll genom att fylla i ett datum i rutan som finns vid varje diagnos.

Om utvecklingsschema i matematik


Inledning o

ch beskrivning

kommentarerk

I var och en av de rutor som representerar de olika diagnoserna finns ett vitt fält till höger. Där kan du skriva in datum för den dag den aktuella eleven har klarat diagnosen, vilket innebär att eleven har visat att hon behärskar alla delar av diagnosen och därmed abstraherat det aktuella innehållet.

Ett analysverktyg av detta slag ger en översikt av vad respektive elev kan eller ännu inte kan inom ett område. För att få en något tydligare bild kan du komplettera det utvecklingsschema som svarar mot områdets innehåll med ett utvecklingsschema som svarar mot delområdets innehåll. På den här blanketten, se nästa sida, kan du även göra andra noteringar om du önskar.

RB1 En delav en hel

RB2 Flera delar av en hel

RB4 Bråk som tal

RB5 Tal-uppfattning av bråk

RB6 Addition och subtraktionav tal i bråkform

RB7 Multiplika-tion och divisionav tal i bråkform

RB3 Del avett antal

RD1 Tal i decimal form

RD3 Taluppfattning avtal i decimalform, multi-plikation och division

RD5 Huvudräkning medtal i decimalform, multi-plikation och division

RD6 Närmedvärden

RD4 Huvudräkning med tal i decimalform, addition och subtraktion

RD2 Taluppfattning av tal i decimalform, addition och subtraktion

RP6 Förändrings-faktorer

RP1 Grund-läggande proportionalitet

RP2 Propor-tionalitet i grafform

RP3 Grund-läggande procent

RP4 Procent-räkning

RP5 Procent problemlösning

RP7 Ränta

AUp1 Potenser

TAg2

Datum Kommentarer


Inledning o

ch beskrivning

kommentarerk

AS9 Skriftlig addition och subtraktion, tal i decimalform

AS3 Addition och subtraktion, textuppgifter

AS2 Skriftlig substraktion

AUn1 Negativa tal, taluppfattning

AUp1 Potenser grundläggande

AUn2 Negativa tal, addition och subtraktion

AUp2 Potenslagar 1

AUp4 Kvadratrötter

AUn3 Negativa tal, multiplikation och division

AUp3 Potenslagar 2

AUn4 Negativa tal

AUp5 Potenser och kvadratrötter

AS1 Skriftlig addition

AS4 Skriftlig multiplikation

RD2 RD4

RD3 RD5

AF Förberedande aritmetik

AG1 Addition och subtraktion, talområdet 1–9

AG2 Addition och subtraktion, talområdet 10–19, utan tiotalsövergång

AG4 Addition och subtraktion, inom talområdet 20–99

AG3 Addition och subtraktion, talområdet 10–19

AG5 Räknesättens innebörd, addition och subtraktion

AG7 Generaliserad multiplikationstabell

AG9 Räkne-sättens innebörd, multiplikation och division

AS8 Skriftlig division, två-siffrig nämnare

AS7 Skriftlig multiplikation, flersiffriga faktorer

AS6 Multiplika-tion och division, textuppgifter

AS10 Skriftlig multiplikation, tal i decimalform

AS11 Skriftlig division, tal i decimalform

AS5 Skriftlig division

AG8 Divisions-tabell

AG6 Multiplikationstabellen4/4 -12

25/5 -12

1a

2012/2013

Namn Klass

Skola Läsår

Emil Andersson

Solskolan

Datum Kommentarer

För att få mer detaljerad information om elevens aktuella kunskaper kan du studera resultatblanketten och samtidigt läsa den information som ges till diagnosen. Du ser där vad varje uppgift testar och kan på så sätt få en tydligare kunskapsbild. Nedan finns ett exempel från DiagnosAUp4,Kvadratrötter.

Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, AUp4, kräver förkunskaper från AUp1.

Uppgifterna i diagnosen är varierade på ett sådant sätt att de testar olika aspekter av förenklingar och beräk-ningar med hjälp av rotlagarna. Genom att studera vilka uppgifter eleverna löst respektive inte klarat av kan du få en uppfattning om vad vissa elever behöver ytterligare undervisning om.

När du tolkat elevens resultat har du möjlighet att göra korta anteckningar nedanför utvecklingsschemat.


Inledning o

ch beskrivning

kommentarerk

Utvecklingsscheman för Förberedande diagnoser och de inledande diagnoserna inom aritmetik Till vissa diagnoser finns detaljerade utvecklingsscheman. Efter hand som en elev behärskar de kunskaper/färdigheter som svarar mot en diagnos, noterar du detta i det övergripande utvecklingsschemat och behöver således inte längre det mer detaljerade schemat. För en elev som ännu inte behärskar alla delar av en diagnos kan elevens mapp (tillfälligt) kompletteras med det mer detaljerade utvecklingsschemat, så att du tydligt ska kunna följa elevens kunskapsutveckling.

SomexempelpådettaväljervidiagnosenAG3,addition och subtraktion inom talområdet 10–19 med tiotalsövergång. Detta detaljerade utvecklingsschema följer diagnosens innehåll och ser ut som schemat ovan.

På den här blanketten kan du skriva in såväl datum som eventuella kommentarer. För att följa upp respektive elevs kunskapsutveckling börjar du med att analysera resultaten på denna mer detaljerade nivå. NärenelevtillexempelhargjortdiagnosAG3kandugenom att fylla i utvecklingsschemat ovan utgående från klassens/gruppens resultatblankett, få en uppfattning av elevens aktuella kunskaper och färdigheter. På så sätt kan du direkt se vilka kunskaper/färdigheter som saknas innan eleven behärskar alla delar av diagnos AG3.Varjeelevbehöversåledestillfälligtenblankettav det här slaget tills eleven behärskar alla delar av diagnosen.NärelevenbehärskaralladelaravAG3,behövsinte längre den mer detaljerade informationen, utan du noterar i det övergripande utvecklingsschemat att elevennubehärskarhelaAG3.

FöreleversomdirektbehärskarAG3kanduförain resultatet direkt i elevens övergripande utvecklingsschema utan att använda den detaljerade blanketten.

Så här kan du använda utvecklingsschemat.Blanketterna i utvecklingsschemat är utformade för att vara individuella vilket betyder att duför varje elev behöver en digital mapp som innehåller sex övergripande utvecklingsscheman:

• A,Artimetik• R,Rationellatal• TA,Talmönsterochalgebra• M,Mätning• G,Geometri• S,Sannolikhetochstatistik

och/eller utvecklingsscheman för delområden inom:

• A.Artimetik AF,FörberedandeAritmetik AG,GrundläggandeAritmetik AS,SkriftligAritmetik AU,UtvidgadAritmetik• R.Rationellatal RB,Bråk RD,Talidecimalform RP,Proportionalitetochprocent

Osv.

Förslagsvis kan dessa individuella elevmappar förvaras i en klassmapp. När sedan eleven byter klass eller lärare kan elevens eller hela klassens mapp med utvecklingsscheman följa med. Elevens utvecklingsscheman utgör ett bra underlag för dig både när du skriver omdömen i den skriftliga individuella utvecklingsplanen och vid utvecklingssamtalet.

1a Tiokamrater typ 4 + 6 och 5 + __ = 10. 1b Tiokamrater typ 10 – 6 och 10 – __ = 8.

2a Additioner typ 9 + 2 och 5 + 9. Enbart addition med 9. 2b Subtraktioner typ 14 – 9 och 15 – 6. Enbart subtraktion med 9.

3a Additioner typ 8 + 7 och 3 + 8. Enbart addition med 8. 3b Subtraktioner typ 13 – 8 och 14 – 6. Enbart subtraktion med 8.

4a Additioner typ 6 + 6 och 5 + 7. Övriga kombinationer. 4b Subtraktioner typ 14 – 7 och 13 – 6. Övriga kombinationer.

23/11 -12 23/11 -12

11/12 -1223/11 -12

6/12 -12 Använder fingrarna

t i k m e g e o reviderat 2013 och i t a r m e t r i s a n ... · stockholm i februari 2013 karin...

Documents