Těžiště

Fyzikální význam těžiště:

a) hmotný bod se soustředěnou hmotností útvaru

b) bod, ve kterém lze hmotný útvar vystavený tíze

podepřít proti posunutí aniž by docházelo k rotaci

Těžiště je chápáno jako statický střed soustavy

rovnoběžných sil v prostoru či rovině, které tvoří vlastní

tíhy elementů hmotného útvaru.

Těžnice – osa procházející těžištěm

• Geometrické útvary (čáry, obrazce) nahradíme fiktivními rovnoběžnými silami

působícími v těžištích jednotlivých částí

u čáry je to délka úseček d, u obrazce plocha A.

-Těžiště je statickým středem soustavy těchto rovnoběžných sil.

321

332211

AAA

zAzAzA

A

Sz TTT

cel

xT

−+

⋅−⋅+⋅==

analogicky xT

Acel= A1+A2 - A3

xT

zT

1

23

zT

1

zT

2=

z

T3

F1

= A1

F1=

A1

F2

= A2

F3

= A3

otvor

Acel

T

x

z

Sx = A1 . zT1 + A2 .zT2 - A3 .zT3

Sx = Acel . zT

Těžiště rovinného homogenního složeného obrazceSložený rovinný obrazec ( lomená čára nebo složený plošný obrazec) vzniká spojením několika (obecně n, i=1, …, n) jednoduchých rovinných obrazců (prvků) v téže rovině,u kterých umíme určit polohu těžiště a základní geometrické charakteristiky (úsečka, kruh…).

Těžiště rovinného homogenního složeného obrazce

∑∑ ⋅

=i

Tii

TP

xPx

Postup:

a) Složený obrazec umístit do pravoúhlé souřadnicové soustavy xz

(výhodný je počátek v levém horním rohu obrazce)

b) Rozdělit složený obrazec na dílčí jednoduché obrazce

c) Pro každý obrazec i určit souřadnice xTi a zTi jeho těžiště Ti

d) Pro každý obrazec spočítat tíhovou fiktivní sílu Pi.

Hodnota Pi odpovídá délce dílčí čáry li nebo velikosti dílčí plochy Ai

e) Zavést fiktivní síly Pi do těžiště Ti nejprve rovnoběžně s osou z, poté s osou x

f) Určit výslednici tíhových sil: R=∑ li, R=∑ Ai

g) Určit statický střed soustavy těchto rovnoběžných sil (Varignonova věta).

Souřadnice statického středu této soustavy = souřadnice těžiště složeného obrazce.

Tiiz

TiiTz

xPS

xPxRS

∑

∑⋅−=

⋅−=⋅−= )(

Např.: x-ovou souřadnici těžiště xT určíme z rovnosti statického momentu tíhové síly k ose z - Sz

⇒A

Sx z

T =neboli

Těžiště složených obrazců s otvory a výřezy

Zvláštní případ složených obrazců – s otvory (s oslabením) nebo

s výřezy (otvory sousedící s obrysem obrazce)

Výpočet:

Jednotlivé obrazce považovat za samostatné

prvky bez otvorů,

otvory považovat za další prvky se zápornouplochou

(tíhové síly opačně orientované).

Centrální kvadratické momenty základních obrazců (viz tabulky)

h.bA =

36

b.hI

3

z =

0Dxz =

b

h

b

h

r

12

h.bI

3

x =12

b.hI

3

z = 0Dxz =

22 .72

1hbDxz =

36

h.bI

3

x =2

h.bA =

x

z

x

z

x

z

64

d.

4

r.II

44

zx

π=

π==2r.A π=

2aA = 12

aII

4

zx == 0Dxz =x

z

a

a

x12

h.bI

3

x =12

b.hI

3

z = 0Dxz =

Centrální kvadratické momenty válcováných I profilů

V tabulkách jsou uvedeny: hmotnost průřezu na jednotku délky, potřebné geometrické rozměry a průřezové

charakteristiky průřezů.

Hodnoty jsou vztaženy k osám y-z

(v rovině y-z…více v předmětu Pružnost a plasticita)

Nepočítají se - viz tabulky.

Centrální kvadratické momenty válcováných U profilů

Pokud budete v předmětu

Stavební statika počítat průřezové

charakteristiky složených

válcovaných průřezů, budou

základní tabulkové hodnoty

zadané.

Centrální kvadratické momenty složených průřezů

Využití kvadratických momentů k rovnoběžně posunutým osám

Postup výpočtu:

a) zvolit pomocnou souřadnicovou soustavu x ,z(výhodné zvolit počátek v levém horním rohu nebo na ose symetrie)

b) rozdělit složený obrazec na n základních prvků i=1, …, n

c) pro každý prvek určit Ai a souřadnice jeho těžiště [xTi ; zTi] v pomocné

souřadnicové soustavě

d) určit souřadnice těžiště [xT ; zT] celého obrazce, kterým proložit centrální

osy setrvačnosti průřezu xt , zt rovnoběžné s osami x, z.

e) pro každý prvek určit ramena těžiště Ti: , TTii zzc −=TTii xxd −=

f) s využitím Steinerovy věty vypočítat centrální kvadratické momenty celého obrazce:

( )∑=

+=n

i

iixx AcIIi

1

2. ( )∑

=

+=n

i

iizz AdIIi

1

2. ( )∑

=

+=n

i

iiizxxz AdcDDii

1

..

(Otvory mají plochy i momenty setrvačnosti se znaménkem mínus, deviační momenty s opačným znaménkem než plné prvky)

3

xT

zT

1

2

zT

1

zT

2=

z

T3

Otvor D = 8cm

T

x

z

Příklad 1: Složený průřez s otvorem – řešení ve cvičení a výsledky na stránkách

30

10

30

10

88

321

332211

AAA

zAzAzA

A

Sz TTT

cel

xT

−+

⋅−⋅+⋅==

analogicky xT

Acel= A1+A2 - A3

Sx = A1 . zT1 + A2 .zT2 - A3 .zT3

Sx = Acel . zT

Určete polohu těžiště k osám x a z, centrální kvadratické momenty setrvačnosti,

polární moment setrvačnosti, deviační moment, poloměry setrvačnosti, hlavní

momenty setrvačnosti, úhel k pootočeným osám. Rozměry jsou v cm. Výsledky v

samostatném souboru.

3

xT

zT

1

2

zT

1

zT

2=

z

T3

Otvor D = 8cm

T

x

z

Příklad 1: Složený průřez s otvorem

30

10

30

Určete polohu těžiště k osám x a z, centrální kvadratické momenty setrvačnosti,

polární moment setrvačnosti, deviační moment, poloměry setrvačnosti, hlavní

momenty setrvačnosti úhel k pootočeným osám. Rozměry jsou v cm. Výsledky v

samostatném souboru.

10

88

( ) ( ) 22

2,1 .4.2

1.

2

1xzzxzx DIIIII +−±+=

|α 1 |< |α 2|

xz

x

D

II −=

2,1

2,1tgα

( )( )

( )

TTii

TTii

zxP

iiizxxz

iiizz

iiixx

xxd

zzc

III

dcADD

dAII

cAII

ii

−=

−=

+=

⋅⋅+=

⋅+=

⋅+=

∑

∑

∑2

,

2

,

A

Ii x

x =A

Ii z

z =

Ix, Iz, Dxz - Steinerova věta:

b1 = 12 mm

b2 = 200 mm

h2 = 20 mm

h1

= 2

40

mm

z

x

(1)

(2)

A1 = b1 · h1 = 12 · 240 = 2 880 mm2

A2 = b2 · h2 = 200 · 20 = 4 000 mm2

A = A1 + A2 = 6 880 mm2

Příklad 2: Výpočet průřezových charakteristik svařovaného T průřezu

1. Poloha těžiště

T1

zT1

T2

zT2

xt

Sx1 = zT1 · A1 = 140 · 2 880 = 403 200 mm3

Sx2 = zT2 · A2 = 10 · 4 000 = 40 000 mm3

Sx = Sx1 + Sx2 = 443 200 mm3

zT

T

Sx = A · zT => zT = Sy’ / A = 64,42 mm

c1 = zT1 – zT = 140 – 64,42 = 75,58 mm

c2 = zT2 – zT = 10 – 64,42 = –54,42 mm

c2

c1

b1 = 12 mm

b2 = 200 mm

h1

= 2

40

mm

z = z1 = z2

(1)

(2)

I1z = 1/12 · h1 · b13 = 1/12 · 240 · 123 = 34 560 mm4

Iz = I1z + I2z = 13,368 · 106 mm4

Příklad 2: Výpočet průřezových charakteristik T průřezu

2. Centrální momenty setrvačnosti

T1

T2

T

xt

c2

c1

I2z = 1/12 · h2 · b23 = 1/12 · 20 · 2003 = 13,333 · 106 mm4

I1x1 = 1/12 · b1 · h13 = 1/12 · 12 · 2403 = 13,824 · 106 mm4

I1xt = I1x1 + A1 · c12 = 13,824 · 106 + 2880 · 75,582 =

= 30,276 · 106 mm4

x2

I2x2 = 1/12 · b2 · h23 = 1/12 · 200 · 203 = 133 333 mm4

I2xt = I2x2 + A2 · c22 = 133 333 + 4000 · (–54,42)2 =

= 11,979 · 106 mm4

x2

Ixt = I1xt + I2xt = 42,255 · 106 mm4

Steinerova věta: Ix = Ixt + A · c2 Iz = Izt + A · d2

h2

AU = 2800mm2

Ix,U = 13,5 . 106mm4

Iz,U = 1,13 . 106mm4

Příklad 3: Složený válcovaný průřez - hlavní průřezové charakteristiky:

z tabulek profilů:

Apásku = 1500mm2

( )( )

( )

TTii

TTii

zxP

iiizxxz

iiizz

iiixx

xxd

zzc

III

dcADD

dAII

cAII

ii

−=

−=

+=

⋅⋅+=

⋅+=

⋅+=

∑

∑

∑2

,

2

,

A

Ii x

x =A

Ii z

z =

poloha těžiště obrazce, centrální momenty setrvačnosti, polární moment setrvačnosti,

deviační moment, poloměry setrvačnosti

1) Určení polohy těžiště vzhledem k ose z

mmA

xAx

celk

ii

T 82,20.

==∑

Statický moment k ose z:

⇒==∑ Tcelkiiz xAxAS ..

2) Vzdálenosti dílčích těžišť od celkového těžiště

d1

d2

= 5- xT

= 29,3 - xT

= -15,82 mm

= 8,48mm

TTii

TTii

xxd

zzc

−=

−=

3) Centrální momenty setrvačnosti k těžištním osám

d1

d2

= -15,82 mm

= 8,48mm

Ix = I1x + I2x

Iz = I1z1 + A1d12 + I2z2 + A2d2

2

= 16,3125.106mm4

= 1,7193.106mm4

Steinerova věta:

Ix = Ixt + A · c2 Iz = Izt + A · d2

4) Deviační moment a polární moment setrvačnosti

Ix = Ix1 + Ix2 = 16,3125.106mm4

= 1,7193.106mm4

Ip = Ix + Iz =18,0353.106mm4

Dxzt =0

Iz = I1z1 + A1d12 + I2z2 + A2d2

2

Příklad 4: Těžiště lomené čáry

Stanovte polohu těžiště lomené čáry, která je dána spojnicí bodů:

A(-5;-6), B(0;0), C(0;3), D(6;6).

z

x1

2

3

Postup:

1. délky jednotlivých úseček (di)

2. celková délka ( d = ∑ di )

3. souřadnice dílčích těžišť

4. statický moment k ose x: Sx = ∑di.zT,i

5. statický moment k ose z: Sz = ∑di.xT,i

6. souřadnice těžiště lomené čáry:

Sx = d . zT → zT = Sx / d

Sz = d . xT → xT = Sz / d

Výsledky:

1. d1 = 7,81m, d2 = 3m, d3 = 6,71m

2. d = ∑ di = 17,52m

3. T1[-2,5;-3], T2[0;1.5], T3[3;4,5]

4. Sx = ∑di.zT,i = 11,27m2

5. Sz = ∑di.xT,i = 0,605m2

6. souřadnice těžiště lomené čáry:

zT = Sx / d = 0,64 m

xT = Sz / d = 0,03 m

T [0,03; 0,64]