t Testi, Karlatrmalar, Standard ve Ortalamay Deerlendirme

Anlamllk Testleri ve Gvenirlik Aralstatistiksel tmevarm: Bilinmeyen yn parametreleri hakknda deneysel veriye dayanarak deerlendirme yapmakDiyelim ki gerek yn ortalamasnn deerini bilmiyoruz. Eer nitrat numunesi lmlerinin ortalamasn 7.51 bulduysak, ynn gerek ortalamasnn 8.00 mg/l olma olasl nedir? Bu deerlendirme iin anlamllk testleri ve gvenlik aral kullanlan en yaygn iki metottur.

Anlamllk Testleri1. Hipotez testi eklinde olur: Hipotez testi iin bir sfr hipotezi, bir alternatif hipotez ve bir de testin sonucunun belirlenecei anlamllk dzeyi deeri (a) ya ihtiya vardr. Test edilecek hipotez: Ho : m = 8 mg/lHo sfr hipotezi veya geersizlik hipotezi diye adlandrlr. Ha :m8 (tek ynl) veyaHa: m8 (ift ynl)H: alternatif hipotez Anlamllk dzeyi: 0.05 (sfr hipotezinin yanllkla reddedilme riski)

1. Hipotez Testleri, rnekNitrat lm sonular iin ortalamann 8.0 mg/l olduunu a =0.05 dzeyinde test edin. zm:Ho=m=8 mg/lHa=m

Hipotez Testleri, rnekt

ift Ynl TestHo : m = 8 mg/lHa : m 8 mg/l (ift ynl test)a=0.05. Bu durumda t referans dalmnn hem negatif hem de pozitif kuyruk alanlar dikkate alnr. Simetriden dolay bu kuyruk alanlar birbirine eittir. 0.05/2 = 0.025. Serbestlik derecesi 26 iin kritik t deeri tablodan bulunur. tk=t(26,0.025)=2.056 (excelde =tters(0.05;26))t = 1.842t>tk (-1.842>-2.056). Sfr hipotezini reddetmek iin yeterli kant yok.

Tek Ynl ift Ynl Tek ve ift ynl hipotez testleri sonular farkl karmlar dourdu, ayn ortalama, ayn veri, ayn anlamllk dzeyi ve ayn sfr hipotezi kullanlmasna ramen. Tek fark alternatif hipotezdi, Ha. statistiksel olarak sfr hipotezini reddetmek iin iin y- ile m arasndaki sapma ift ynl testte tek ynl teste gre daha fazla olmaldr.

SORU: HANG TEST KULLANMALIYIZ?

Hangi Test?Genel olarak bir yant yoktur. Problemin ierii hangi testin kullanlmas gerektiini belirler. rnein eer pozitif sapma bir sorun ama negatif sapma sorun deilse tek ynl test kullanlr. rnein yksek deerler kanuna uygunluu ihlal etmek demek olduu bir durumda uygunluunu deerlendirmek ya da verimlilii artrlmas bir A maddesi eklediinizdeki durumu deerlendirmek iin tek ynl test dier taraftan rnein A maddesinin verimlilii deitirip deitirmediine bakmak isterseniz ift ynl testi kullanabilirsiniz.

2. Gvenirlik AralGenellikle parametre deerinin hangi deerler arasnda kalacan belirtmek daha bilgilendiricidir.

a = 0.05 ise, yukardaki ifade bize gerek deerin %95 ihtimalle gvenirlik aral iinde olduunu gsterir.

rnekNitrat lmleri iin %95lik gvenirlik araln hesaplayn.m=8 mg/la=0.05n=27v=26t(26,0.025)=-2.056 Excelde =tters(0.05;26) 6.96 < m < 8.05 8 mg/l bu araln iinde. 7.0 7.25 7.5 7.75 8.0 tk-2.056

Standartla KarlatrmaKalite kontrol yapmak zere bir niceliin standart ile karlatrlmas rnek: Bir laboratuara 1.2 mg/llik O bulunduran14 adet numune yollanyor ve Onun Winkler titrasyon yntemi ile llmesi isteniyor. Laboratuarn yapt lmler aada verilmitir. Laboratuarn lmlerde bir yanllk gsterdii sylenebilir mi?

rnek, devamO= {1.2,1.4,1.4, 1.3, 1.2, 1.35, 1.4, 2.0, 1.95, 1.1, 1.75, 1.05, 1.05, ve 1.4 mg/l}1. Hipotez yntemi: Ho:m=m0 (yanlln 0 olduu hipotezi)m0: bilinen yn ortalamasm: y ile tahmin edilen ortalamaNormal dalmdan alnm rassal bir rneklem 13 serbestlik derecesiyle bir t dalmna sahiptir.

rnek 14 lmn ortalamas: y= 1.4 mg/l H0 = m-m0 = 0s = 0.31sy-=0.083 mg/lBilinen deer 1.2 ile ortalama 1.4 arasndaki fark byk (0.2 mg/l) ancak lmler arasndaki deikenlik de byk. Arada istisnai bir farkn olup olmadn anlamak iin hipotez testi uygularsak:H0 = m-m0 = 0 Ha = m-m0 0 t = (1.4-1.2)/0.083 = 2.4

df=14-1=13 a = 0.05 a/2 = 0.025tk(13,0.025) = 2.16

Hesaplanan t 2.5, tablodan bulduumuz tknin dnda kalyor. Bu durumda 1.4 lk bir O ortalamas bulmamz %95 gvenilirlik snrnda istisnai bir durumdur. Yani 1.4 gibi byk bir ortalamann bulunmas ans eseri deil lmlerdeki sistematik bir hatann varlna iaret edebilir. Sfr hipotezi bu durumda reddedilir. -3 -2 -1 0 1 2 3-2.16a =%2.5-2.42.162.4y-mo/sy

rnek2. Gvenirlik AralStandartla llen ortalamann farknn %95lik gvenilirlik araln hesaplarsak:t = 2.160 t(0.05;13)sy--> -0.18 < m-y-< 0.18Standard deer 1.2 ile 14 lmn ortalamasnn fark 1.4-1.2 = 0.2 bu araln dnda kalr. Yine ayn ekilde bunu u ekilde yorumlayabiliriz. Fark o derece byk ki bunun ans eseri olmas olas deil. NOT: Olas deil bu durumda %5 olaslkla bu fark rassal lm deikenliinden kaynaklanabilir demek. -2.52.162.5

SONUlmler gerekte bilinen O konsantrasyonundan daha byk. 1) Eer O konsantrasyonu gerekten 1.2 ise, lm ynteminde sorun var. 2) Eer metot sorunlu deilse standarda bir hata var. SORU: Neden O lmleri farkl km olabilir? Art ynnde bir fark olmasn nasl yorumlarsnz?

Farklarn Ortalamasn DeerlendirmekAy iki farkl ekilde lmek farkl sonular verir mi?Eletirilmi Deneyler analitik yntemleri karlatrmada kullanlr. Eletirilmi test sonular eletirilmi t testi ile deerlendirilir. NOT: ki ortalamann farkn deerlendirirken bamsz t testi, eletirilmi farklarn ortalamasn karlatrrken eletirilmi t test kullanlr. Yaplan deneyin tasarmna gre uygun olan seilir. Fark hesaplandktan sonra yargya varlabilir. fark pozitiffark negatiffark o derece kk ki kesin bir ey sylenemez.

rnekO miktar 1.2 mg/llik standart bir zelti iki ayr laboratuar gnderiliyor. Lab A Winkler metoduyla, laboratuar B ise elektrod metoduyla 14 ayr numuneyi lyor. ki yntem arasnda bir fark olduunu syleyebilir miyiz?

Winkler metoduyla yaplan lmler, elektrod metodundan daha kk gzkyor.

d = eletirien y1 ve y2 deikenleri arasndaki farkn gerek ortalamasd = 0 (y1 ve y2 nin geldii ynlar eitse dyi d ile tahmin edebiliriz.)Gvenilirlik Aral

=0.05 a/2=0.025 %95lik gvenilirlik aral: T0.025,13=2.16d-2.16(0.132)

Ne zaman eletirilmi t kullanlr?Eletirilmi deneyler sonucu etkileyen tm faktrlerin kontrol edilmesi g olduunda kullanlr. Diyelim ki bir artma tesisinden toplanan rnekler zerinde karlatrma yaplsn. Giri su kalitesi zamana gre deiecektir. Giri suyundaki deiimi sonulara etkileyen bir etken olmaktan karmak zere giri ve k suyunun kalitesi llp aradaki fark hesaplanr. Eletirilmi ayn gn testler arasndaki fark gnlk deiimden etkilenmez.

rnekBir elektrik santralinin soutma suyunun alc ortamdaki baz su organizmalarnn saysn etkilediinden phe ediliyor. Copoedun santral dearjnn ncesinde ve sonrasnda 17 gn boyunca llyor. Aadaki grafik oluturuluyor. Sezondan kaynaklanan farklar kaldrmak iin giri ve k lmleri eletiriliyor.

Veri dntrmeye gerek var m? Baka bir deyile, say arttka varyans artyor mu?Saylar bydke farklar da byyor. Oysa t testini kullanabilmek iin sabit varyans olmas lazm. Bu durumda ln dnm kullanlabilir. Giri Organizma Says

Grafik1

-2160

-7443

-4455

-4839

-112

1139

-5890

151

-9617

-10607

-8269

-2510

1784

751

232

-384

182

Giren Nfus Younluu

Fark (Giri-k)

Sayfa1

Winkler1.21.41.41.31.21.31.421.91.11.811.11.4

Elektrod1.61.41.92.31.71.32.21.41.31.71.91.81.81.8

W-E-0.40-0.5-1-0.50-0.80.60.6-0.6-0.1-0.8-0.7-0.4

Sayfa1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

W-E

test no

W-E (mg/l)

copepod

numuneyinyoutdln yinln youtln yin-lny out

14490947069-216010.71210.759-0.047

24285850301-744310.66610.826-0.160

33597640431-445510.49110.607-0.117

42004824887-48399.90610.122-0.216

52827328385-11210.25010.254-0.004

62726126122113910.21310.1710.043

76614972039-589011.10011.185-0.085

8701907003915111.15911.1570.002

95361163228-961710.89011.055-0.165

104997860585-1060710.81911.012-0.192

113918647455-826910.57610.768-0.191

124107443584-251010.62310.682-0.059

138424664017849.0398.8010.238

14899582447519.1049.0170.087

15843682042329.0409.0120.028

1691959579-3849.1269.167-0.041

17872985471829.0749.0530.021

copepod

yin

yout

Sayfa3

yin

yout

Giren Nfus Younluu

Fark (Giri-k)

z = ln(y)Giri Organizma Saysln(Giri Organizma Says)

Grafik1

-2160

-7443

-4455

-4839

-112

1139

-5890

151

-9617

-10607

-8269

-2510

1784

751

232

-384

182

Giren Nfus Younluu

Fark (Giri-k)

Sayfa1

Winkler1.21.41.41.31.21.31.421.91.11.811.11.4

Elektrod1.61.41.92.31.71.32.21.41.31.71.91.81.81.8

W-E-0.40-0.5-1-0.50-0.80.60.6-0.6-0.1-0.8-0.7-0.4

Sayfa1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

W-E

test no

W-E (mg/l)

copepod

numuneyinyoutdln yinln youtln yin-lny out

14490947069-216010.71210.759-0.047

24285850301-744310.66610.826-0.160

33597640431-445510.49110.607-0.117

42004824887-48399.90610.122-0.216

52827328385-11210.25010.254-0.004

62726126122113910.21310.1710.043

76614972039-589011.10011.185-0.085

8701907003915111.15911.1570.002

95361163228-961710.89011.055-0.165

104997860585-1060710.81911.012-0.192

113918647455-826910.57610.768-0.191

124107443584-251010.62310.682-0.059

138424664017849.0398.8010.238

14899582447519.1049.0170.087

15843682042329.0409.0120.028

1691959579-3849.1269.167-0.041

17872985471829.0749.0530.021

copepod

yin

yout

Sayfa3

yin

yout

Giren Nfus Younluu

Fark (Giri-k)

%95 lik gvenirlik aral 0 kapsyor. Bu demek ki, yksek bir gvenilirlikle k sularnn kalitesinin giri suyunun kalitesinden farkl olduunu syleyecek bir kantmz yok.

ki Ortalamann Farknn Deerlendirilmesi, Bamsz t TestiEer testleri eletirmek mmkn deilse, iki ayr setin ortalamas bamsz t testi ile karlatrlr. rnek:Atk sulardaki cva snrlar olduka dktr. Ne zaman ar metal deriimi yksekse, sorun sanayiyi o maddeyi dearj etmeyi durdurmas istenerek zlmeye allr. Ancak civa, suyun kaynandan veya atk sulardan da geliyor olabilir. Tablo 14.1 ehir su kaynan kullanan bir yerleim blgesi ile kuyu suyu kullanan bir yerleim yerinden alnan atksulardaki Hg lmlerini veriyor. ki blgeden alnan sular arasnda Hg ierii asndan bir fark var m?

Eer varyanslar yaklak eit byklkte ise bileik varyans aadaki formlle hesaplanr.

%95 gvenirlik aral 0 gvenilirlik aralnn iinde. ki blgede cva deriimlerinin farkl olduuna dair ikna edici bir kant yok. Su kaynann k suyundaki cva deriimini etkiler endiesi olmadan ileri bir rnekleme yaplabilir.

NOTDiyelim ki 0.15 mg/l ve 0.17 mg/l cva bulunmu olsun. 0.02 mg/l lik fark istatistiksel olarak anlamldr. Ancak bu derece byk bir cva kirlenmesinin olmas aradaki fark ana kayg yapmaz. statistiksel olarak anlaml olan evre kalitesi asndan ok nemli olmayabilir. Cva rneinde farkl gnlerde lmlerin yaplm olmas gnlk farklarn da rastsal deiimlerin zerine gelecei muhakkaktr. Eletirilmi testlerde bu etki olabildiince ortadan kaldrlm olur.

rnekler

Oranlarn Farkn DeerlendirmeOranlar, biyoloji, epidomoloji ve halk sal ile ilgili almalarda kullanlr. rnek: Biyoassay Testi:Organizma iki tip duruma maruz braklr. 1) k suyunu ieren bir ortam2) Temiz su ieren bir ortam. Eit sayda rastsal olarak seilmi organizmalar iki akvaryuma yerletirilir. Deneyden alnan cevabn ikili(binary) bir lt vardr: Belli bir zelliin varl ya da yokluu

Oranlarn Farkn Deerlendirme80 organizmann temiz ve atksuya maruz kaldn varsayalm. (n1 = n2 =80)ki gruptaki organizmalarn hayatta kalma oranlar, iki ortamn zehirlilik asndan yksek bir kesinlikle farkl olduunu gsterir mi?Binary (kili, Kesikli sonu)lDiriBNOMYAL ILEM

Binomiyal Olaslk DalmN deney iinde x olaynn gzlenme olasln verir. Deneyler genellikle deneme olarak adlandrlr. Eer x gzlemlendiyse deneme baarldr denir. p: olayn olma olasl1-p : olayn olmama olasll. evre sorunlarnda genellikle olayn olmama olaslnn byk olmasn isteriz. Kk p.

Binomiyal Olaslk DalmBinomial olaslk dalm fonksiyonu x iin n ve p cinsinden

p: olayn olma olasl1-p : olayn olmama olasll. N deneme iin beklenen olma says = mx = npN deneme iin deike: sx2 = np(1-p)

Varsaymlar:p sabit ve sonular denemeden denemeye bamszr kadar ya da daha az sayda olayn olma olasl

Biyoassay testlerinde her test organizmas bir deneme saylr ve ilgilenilen olay organizmann belirlenen test sresinde lp lmediidir.

N organizmann test koullarna tabi tutulduu durumda, organizmalarn ldn gzlemleme olasl binom dalmndan hesaplanr. Excelde BNOMDA(say_b;deneme;olaslk_b;kmlatif)Say_b denemelerdeki baar saysdr.Deneme bamsz deneme saysdr.Olaslk_b her denemedeki baar olasldr.Kmlatif fonksiyonun biimini belirleyen mantksal deerdir. Kmlatif DORU ise, BNOMDA, en ok say_b baar olasl olan kmlatif dalm fonksiyonunu verir

20 organizmalk bir gruptaki x lmn Kmlatif Binom Olasl Eer p=0.05 ise, 20 test organizmas iinden 20x0.05 = 1 lm bekleriz. Tablodan bir ya da daha az lm gzleme olasl %74dr. Tam olarak 1 lm gzleme olasl ise Pr (x=1) = Pr(x

Binom dalm yerine eer np>5 ve n(1-p)>5 ise normal dalm kullanlabilir. Yukardaki grafikte grld gibi p = 0. 5 iin dalm tamamen simetrik, p = 0. 2 iin ise simetriye yakn (np = 4 ve n(1-p) = 3.2 olmasna ramen)

x20li bir grupta tam olarak x lm grme olasl

Normal Dalm Kullanarak ki Orann Farkn ncelemekAma iki binom prosesi iin p deerlerinin ayn m yoksa farkl m olduuna bakmak. Hesaplanan oran p ile gsterelim: p = x/n, x: hayatta kalan organizma says Bunu cevaplayabilmek iin p1-p2 farknn 0dan farkl olup olmadna baklr. ki oran arasndaki farkn ortalamas 0 ve varyans:

Standartlatrlm Fark (z)Yna ait p deeri (p1 = p2 =p) iin yaklak deer hesaplanr.

zmFarkn byk ya da kk olmasyla ilgiliysek o zaman za/2 yerine za kullanlr. Normal yaklam kullanlabilir mi?5za=0.05 = 1.64 (Excelde =NORMSTERS(0.05))Alt gvenirlik snr 0dan daha byk, farkn sadece ans eseri olmadn dnmek iin sebebimiz var.

NOTrnek soruda 0.008 lik gibi kk bir fark bulundu. Ancak kullanlan organizma says 80 gibi byk bir rakam olduundan istatistiksel olarak nemli bir fark. Normalde biyoassay testleri 20 organizma ile yapldndan yksek bir gvenle sonu verebilmek iin aradaki farkn daha byk olmas gerekir. Ayrca dk sayda organizma kullanlmas, normal dalm yaklamn da tehlikeye sokar.