TRABAJO COLABORATIVO NO. 2

Presentado Por:

JUAN CARLOS RIAÑO JIMENEZ

Presentado A:

 ROBILSON LEONEL VELASCO

Tutor de Probabilidad

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

II SEMESTRE

2010

INTRODUCCION

En el presente trabajo se desarrolla la profundización y transferencia de la Unidad 2 del Modulo de Probabilidad, del cual se estudiaron los temas referentes a Variables aleatorias y Distribuciones de Probabilidad, por medio del ejercicios con los se busca identificar, comprender e interiorizar los conceptos fundamentales Definición de Variable Aleatoria discreta, distribución de probabilidad y valor esperado para una variable aleatoria discreta, Definición de variable aleatoria continua, distribución de probabilidad y valor esperado para una variable aleatoria continua, Distribución binomial, Distribución binomial negativa y geométrica, Distribución hipergeométrica, Distribución uniforme discreta y uniforme continua, Distribución de Poisson y Distribución normal.

OBJETIVOS

- Desarrollar un taller de ejercicios propuestos por el grupo, que comprendan los contenidos de los capítulos 1, 2 y 3 de la Unidad 2 del modulo y que permitan profundizar en los temas allí tratados.

- Implementar y aplicar técnicas y herramientas en la generación de nuevos conocimientos y experiencias educativas que promuevan los aprendizajes autónomo, cooperativo y desde la conectividad.

Ejercicio 3.1 Tomado de Canavos, George C. Probabilidad y Estadística, Aplicaciones y métodos. Primera edición en español. Editorial McGraw-Hill.1988, página 84.

Sea X una variable aleatoria que representa el número de llamadas teléfonicas que recibe un conmutador en un intervalo de cinco minutos y cuya función de probabilidad está dada por

p ( x )=e−3 (3 )x / x !, x=0, 1, 2, … .

a) Determinar las probabilidades de que X sea igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.b) Graficar la función de probabilidad para estos valores de X. c) Determinar la función de distribución acumulativa para estos valores de X.d) Graficar la función de distribución acumulativa.

SOLUCIÓN:

a) X es una variable aleatoria, entonces por definición se denomina P(X=x) p(x) a la función de probabilidad de la variable aleatoria X. “P(X=x)=” es una forma breve de decir “la probabilidad de que la variable aleatoria X sez igual a la variable x es:”. La función p(x) dara como resultado la probabilidad para una x dada. Como x solo toma valores enteros positivos se dice que esta función es discreta. Se puede mostrar que satistace las propiedades que tiene una función de probabilidad discreta. Es evidente

que p(x)≥0 para toda x∈N puesto que e−3>0, (3 ) x>0 y x! >0 para toda x∈N . La

segunda propiedad de las funciones de probabilidad también se cumple debido a la serie de Clorin Maclaurin (1698-1746) (que no es más que una serie de Brook Taylor (1685-1731) desarrollada alrededor de cero) de la función exponencial con base e.

Como ∑x=0

∞ (3 )x

x !=e3, entonces se ve fácilmente que ∑

x=0

∞

p (x)=1. Así las probablidades

pedidas son:

P (X=0 )=p (0 )=e−3 (3 )0

0 !=e−3=0,049787068.

P (X=1 )=p (1 )= e−3 (3 )1

1 !=3e−3=0 ,149361205.

P (X=2 )=p (2 )= e−3 (3 )2

2 !=92e

−3

=0 ,224041808.

P (X=3 )=p (3 )= e−3 (3 )3

3!=276e−3

=92e−3

=0 ,224041808.

P (X=4 )=p (4 )= e−3 (3 )4

4 !=8124e−3

=278e−3

=0 ,168031356.

P (X=5 )=p (5 )= e−3 (3 )5

5!=243120

e−3

=8140e−3

=0,100818813.

P (X=6 )=p (6 )= e−3 (3 )6

6 != 729720

e−3

=8180e−3

=0 ,050409407.

P (X=7 )=p (7 )=e−3 (3 )7

7 !=2.1875.040

e−3

=243560

e−3

=0,021604031.

b)

c) La función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X es la probablidad de que X sea menor o igual a un valor específico de x y está dada por:

F (x) P (X ≤x )=∑x i≤ x

p(x i¿)¿.

Entonces: F (0 )=∑0

0

p ( x )=p (0 )=¿0,049787068¿.

F (1 )=∑0

1

p (x )=p (0 )+ p (1)=¿e−3+3e−3=4 e−3=0,199148273¿.

F (2 )=∑0

1

p (x )=p (0 )+ p (1 )+ p (2 )=¿e−3+3 e−3+ 92e−3

=172e−3

¿

⟹ F (2 )=0,423190081.

F (3 )=∑0

3

p ( x )=p (0 )+ p (1 )+ p (2 )+ p(3)=¿ 172e−3 +92e−3

=13e−3¿

⟹ F (3 )=0 ,647231889.

F (4 )=F (3 )+ p (4 )=13e−3+ 278e

−3

=1318e

−3

=0,815263245 .

F (5 )=F (4 )+ p (5 )=1318e

−3

+ 8140e

−3

=73640e−3=92

5e−3=0,916082058.

F (6 )=F (5 )+ p (6 )=925e

−3

+ 8140e

−3

=155380

e−3=0,966491465.

F (7 )=F (6 )+ p (7 )=115380

e−3

+ 243560

e−3

=155380

e−3=0,988095496.

Se deduce de las anteriores operaciones que p(x)=F(x)-F(x-1).

d)

Se puede observar en la gráfica de distribución acumulativa que limx⟶∞

F ( x )=1.

Ejercicio 3.3. Tomado de Canavos, George C. Probabilidad y Estadística, Aplicaciones y métodos. Primera edición en español. Editorial McGraw-Hill.1988, página 84.

Sea X una variable aleatoria continua.

a) Determinar el valor de k, de tal manera que la función

f ( x )={ k x2−1≤ x≤10 paracualquier otro valor

sea la función de densidad dela probabilidad de X.SOLUCIÓN

Para que f(X) sea una función de probabilidad se debe cumplir que

∫−∞

∞

f ( x )dx=1

Entonces ∫−1

1

k x2dx=1

kx3

3 |−1

1

=1

k ¿

k (13−−13 )=1

k (23 )=1k=32

b) Determinar la función de distribución acumulativa de X y graficar F(x).SOLUCIÓN

F ( x )=∫−∞

x

f ( t )dt=∫−1

x32t 2dt ¿ 3

2t 3

3 |−1x

=12

¿ si -1≤x≤1.

c) Calcular P(X≥1/2) y P(−1 /2≤ X ≤1/2) .P(X=1/2)=0

P(X>12 )=1−F ( 12 )=1−12 (( 12 )

3

+1)=1−12 ( 18 +1)=1−12 ( 98 )=1− 916

= 716

P(−12 <X< 12 )=F ( 12 )−F (−12 )=12 (( 12 )

3

+1)−12 ((−12 )3

+1)= 916

−12 (1−18 )

P(−12 <X< 12 )= 9

16−12 ( 78 )= 9

16− 716

= 216

=18

.

Ejercicio 4.1. Tomado de Canavos, George C. Probabilidad y Estadística, Aplicaciones y métodos. Primera edición en español. Editorial McGraw-Hill.1988, página 122.

Sea X una variable aleatoria con distribución binomial y parámetros n y p. Mediante la función de probabilidad binomial verificar que p(n-x;n,1-p)=p(x;n,p)

p ( x ;n , p )= n!(n−x )! x !

px (1−p )n−x si xЄN

p (n−x ;n ,1−p )=p ( x ;n , p )

p (n−x ;n ,1−p )= n !

(n−(n−x ) )! (n−x )!(1−p )n−x (1−(1−p ) )n−(n−x )

p (n−x ;n ,1−p )= n!(n−n+x ) ! (n−x ) !

(1−p )n−x (1−1+ p )n−n+ x

p (n−x ;n ,1−p )= n !x ! (n−x ) !

(1−p )n−x (p )x

p (n−x ;n ,1−p )= n !(n−x )! x !

(1−p )n−x (p )x=p ( x ;n , p )

Ejercicio 3-71. Tomado de Montgomery,D. (2003) Probabilidad y Estadística aplicadas a la Ingeniería. Estados Unidos: John Wiley & Sons, Inc

Suponga que la variable aleatoria X tiene una distribución geométrica con p=0.5. Determine las siguientes probabilidades:

a) P(X=1)

g ( x ; p )=g (1 ;0.5 )=qx−1∗p= (1−0.5 )1−1∗0.5=0.50∗0.5=1∗0.5=0.5

b) P(X=4)

g (4 ; 0.5 )=qx−1∗p=(1−0.5 )4−1∗0.5=0.53∗0.5=0.54=0.625

c) P(X=8)

g (8 ;0.5 )=qx−1∗p=(1−0.5 )8−1∗0.5=0.57∗0.5=0.58=0 .00390625

d) P(X>2)

P (X>2 )=1−P (X ≤2 )=1−[P (X=1 )+P (X=2 ) ]=1−{[ (1−0.5 )1−1∗0.5 ]+ [ (1−0.5 )2−1∗0.5 ] }=1− {[0.50∗0.5 ]+[0.51∗0.5 ] }=1− {[1∗0.5 ]+[0.52 ]}=1− {[1∗0.5 ]+[0.52 ] }1−{0.5+0.25 }=1−0.75=0.25

P (X>2 )=0.25

g (8 ;0.5 )=qx−1∗p=(1−0.5 )8−1∗0.5=0.57∗0.5=0.58=0 .00390625