t5 circuitos de corriente alterna

Electrotecnia Autor Fernando Bedate Boluda

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TEMA 5

CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

VA Trigonometriacutea

VB Coordenadas vectoriales

VC Operaciones vectoriales

V1 Generacioacuten de la CA

V2 Caracteriacutesticas de la CA

V3 Receptores ideales de CA

V4 Asociacioacuten en serie I

V5 Asociacioacuten en serie II

V6 Asociacioacuten en paralelo

V7 Potencias

V8 Compensacioacuten del factor de potencia

Cuestiones


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VA TRIGONOMETRIacuteA

A1- TEOREMA DE PITAacuteGORAS En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa Representando los catetos por ldquoardquo y ldquobrdquo y la hipotenusa por ldquocrdquo

222 cba =+ Ejercicio 1 Sea un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm

respectivamente iquestcuaacutento mide su hipotenusa

A2- FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS En un triaacutengulo rectaacutengulo se definen las siguientes funciones Representando la hipotenusa por H el cateto contiguo por CC y el cateto opuesto por CO

H

COsen =α o bien αsenHCO sdot=

=H

COarcsenα

H

CC=αcos o bien αcossdot= HCC

=H

CCarccosα

CC

COtg =α

=CC

COarctgα


3

Ejercicio 2 Obteacuten la medida de los catetos

Ejercicio 3 Calcula el aacutengulo α

Ejercicio 4 Si ando 7 metros hacia delante y 6 hacia la izquierda calcula la

distancia y el aacutengulo respeto al punto de partida

A3- UNIDADES DE MEDIDA ANGULARES Los aacutengulos se pueden medir con varias unidades de medida grados radianes y vueltas A continuacioacuten se representa la equivalencia GRADOS RADIANES VUELTAS 0 0 0 30 π6 112 45 π4 18 60 π3 16 90 π2 14 180 π 12 270 3π2 34 360 2π 1 Ejercicio 5 Si un motor gira a 50π radseg iquestcuaacutentas vueltas da en un

segundo iquesty cuaacutentos grados gira cada segundo


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EJERCICIOS VA Trigonometriacutea Alumno Grupo

1- Aplica el teorema de Pitaacutegoras para obtener la medida del lado del triaacutengulo que falta a) a=8m b=5m c= b) a=2m b= c=25m c) a= b=6m c=10m d) a=15 b= c=81m e) a=02m b=03m c= 2- Si un barco se desplaza 220 km en direccioacuten este y luego 180 km en direccioacuten norte calcula la distancia y el aacutengulo con el punto de partida 3- Una hora despueacutes del amanecer el sol se ha levantado 20ordm sobre el horizonte Si en ese momento un aacuterbol hace una sombra de 20m iquestcuaacutel es la altura real del aacuterbol 4- Un palo de 2m de longitud estaacute apoyado sobre una pared vertical formando un aacutengulo de 60ordm respecto a la horizontal iquestA queacute altura de la pared se apoya iquestQueacute distancia separa el punto de apoyo del palo con el suelo y la base de la pared 5- Un tocadiscos gira a 33 rpm (revoluciones por minuto) Calcula la velocidad angular en vueltasseg radseg y ordmseg


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VB COORDENADAS VECTORIALES

Existen dos formas de representar un mismo vector mediante coordenadas cartesianas o mediante coordenadas polares Ambas formas de representacioacuten requieren de un sistema de referencia ortogonal es decir de un eje X horizontal que se cruza en el origen con un eje Y vertical

En coordenadas cartesianas un vector se representa mediante su coordenada horizontal vx y su coordenada vertical vy En coordenadas polares un vector se representa mediante su moacutedulo o magnitud V y su aacutengulo o argumento α Para pasar de un tipo de coordenadas a otro utilizaremos las relaciones trigonomeacutetricas aprendidas en el capiacutetulo anterior

22yx vvV +=

=

x

y

v

varctgα

αcossdot= Vvx αsenVvy sdot=

Ejercicio 1 Convierte los siguientes vectores

== 0307V

r =V

r(4 6)=

==minus 090

20Vr

=Vr

(-5 9)=

== radV 35π

r =V

r(0 2)=


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EJERCICIOS VB Coordenadas vectoriales Alumno Grupo

1- Dibuja el vector Convierte de coordenadas polares a cartesianas

== 06010V

r == 045

5Vr

== 03008V

r =minus= 0210

6Vr

2- Dibuja el vector Convierte de coordenadas cartesianas a polares

=Vr

(6 8) = =Vr

(-05 2) =

=Vr

(0 5) = =Vr

(4 0) =


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VC OPERACIONES VECTORIALES

Sean dos vectores

( )yx uuUU == α

r

( )yx vvVV == β

r

C1 SUMA Para sumar dos vectores se suman sus coordenadas cartesianas

( )yyxx vuvuVU ++=+ rr

C2 RESTA Para restar dos vectores se restan sus coordenadas cartesianas

( )yyxx vuvuVU minusminus=minus rr

C3 MULTIPLICACIOacuteN Para multiplicar dos vectores se multiplican sus moacutedulos y se suman sus argumentos

βα +sdot=sdot VUVUrr

C4 DIVISIOacuteN Para dividir dos vectores se dividen sus moacutedulos y se restan sus argumentos

βα minus=divide

V

UVUrr

Ejercicio Realiza las siguientes operaciones vectoriales (aacutengulos medidos en grados)

=+ 6030 64

4 30 - 6 60 = 4 30 6 60 = 4 30 divide 6 60 = Nota por defecto a cualquier escalar se le asigna aacutengulo 0

=605

1 =sdotsdot 45120 74003


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EJERCICIOS VC Operaciones vectoriales Alumno Grupo

1- Suma los siguientes vectores (aacutengulo en grados) a) 2 0 + 3 90 = b) 10-90 + 10 90 = c) 1 45 + 1 115 = d) 5 45 + 5 -45 = e) 3 30 + 2 30 = 2- Resta los siguientes vectores a) 2 0 - 3 90 = b) 10-90 - 10 90 = c) 1 45 - 1 115 = d) 5 45 - 5 -45 = e) 3 30 - 2 30 = 3- Multiplica los siguientes vectores a) 2 0 middot 3 90 = b) 10-90 middot 10 90 = c) 1 45 middot 1 115 = d) 5 45 middot 5 -45 = e) 3 30 middot 2 30 = 4- Divide los siguientes vectores a) 2 0 divide3 90 = b) 10-90 divide 10 90 = c) 1 45 divide 1 115 = d) 5 45 divide 5 -45 = e) 3 30 divide 2 30 = 5- Realiza la siguiente operacioacuten

a) =sdotsdotsdot 38123021

400

b) =++90030 2

1

53

1

4

1


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V1 GENERACIOacuteN DE CA

La corriente alterna senoidal se caracteriza por tomar valores de tensioacuten e intensidad que variacutean proporcionalmente al seno de un aacutengulo que gira entre 0ordm y 360ordm La generacioacuten de la corriente alterna se produce en los alternadores cuyos dos componentes principales son el inductor que produce un campo magneacutetico y el inducido que genera la corriente alterna

Al girar el electroimaacuten inductor el flujo magneacutetico que recorre el nuacutecleo de hierro va cambiando de intensidad alcanzando valores negativos al girar 180ordm y otra vez valores positivos al girar 360ordm Representado mediante una funcioacuten senoidal

( ) ( )twsent sdotsdot= maxφφ

donde w representa la pulsacioacuten o velocidad de giro del electroimaacuten Y seguacuten la ley de induccioacuten de Faraday en el bobinado inducido se genera una fuerza electromotriz que depende de la variacioacuten del flujo La fem tomaraacute tambieacuten valores positivos y negativos siguiendo una funcioacuten senoidal perioacutedica

( ) ( ) ( ) ( )ϕφsenfemtwsenfem

t

ttfem sdot=sdotsdot=

∆∆minus= maxmax

donde φ representa la fase o el aacutengulo girado y femmax el valor maacuteximo de la fem Las caracteriacutesticas que definen a las funciones senoidales perioacutedicas es que repiten su valores cada ciclo igual que el electroimaacuten vuelve a su posicioacuten inicial cada giro completo


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Los valores que toman estas funciones se alternan entre positivos y negativos cambiando de sentido dos veces cada ciclo Primero empieza siendo nula cuando la fase es cero (sen 0ordm=0) alcanza su valor maacuteximo en 90ordm (sen 90ordm=1) para volver a pasar por cero en 180ordm (sen 180ordm=0) pasa a tomar valores negativos llegando al miacutenimo en 270ordm (sen 270ordm=-1) para volver a cero al acabar la vuelta completa (sen 360ordm=0) Ejercicio 1 Representa la funcioacuten fem(t)=25sen (45t) (fase en grados) o

fem(t)=25sen (π4t) (en radianes)

Al aplicar una fuerza electromotriz senoidal a una resistencia aparece sobre eacutel una corriente alterna senoidal Aplicando la ley de Ohm obtenemos la funcioacuten temporal de la intensidad que es otra funcioacuten senoidal perioacutedica de igual pulsacioacuten pero de diferente amplitud

( ) ( ) ( )twsenItwsenR

V

R

twsenV

R

tVtI sdotsdot=sdotsdot=

sdotsdot== max

maxmax)()(

Ejercicio 2 Representa la funcioacuten de la intensidad del circuito con el

generador del ejercicio anterior y una resistencia de 5Ω


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EJERCICIOS V1 Generacioacuten de CA Alumno Grupo

1- Dibuja la graacutefica de la siguiente fem ( ) ( )tsentfem sdotsdot= 305 (aacutengulo medido en grados) Dibuja ahora la corriente eleacutectrica si la conectamos a una resistencia de 3Ω

t φ=ωmiddott fem I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

2- Dibuja la graacutefica de ( ) ( )tsentfem sdotsdot= 16314325 (aacutengulo medido en radianes)

t φ=ωmiddott fem 0

0001 0002 0003 0004 0005 0010 0015 0020 0025 0030

3- Indica para la intensidad de corriente del ejercicio 1 los aacutengulos de fase que dan a) el valor maacuteximo de corriente b) el valor miacutenimo de corriente c) el valor cero


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V2 CARACTERIacuteSTICAS DE LA CA

Las funciones senoidales temporales vienen determinadas por dos magnitudes el valor maacuteximo y por su pulsacioacuten (w) Sin embargo en vez de la pulsacioacuten es frecuente utilizar otras dos magnitudes relacionadas El periodo (T) mide el tiempo (en segundos) que tarda la funcioacuten en realizar un ciclo completo Se relaciona con la pulsacioacuten mediante

wT

πsdot= 2 estando la pulsacioacuten medida en radseg

La frecuencia (f) mide el nuacutemero de ciclos que una funcioacuten realiza por segundo medida en Herzios (Hz)

Tf

1=

De donde se deduce que fw sdotsdot= π2

Ejercicio 1 iquestCuanto tiempo tarda en realizar un ciclo completo si la

frecuencia de la red es de 50Hz iquesty en cambiar la corriente de sentido iquestCuaacutel

es la pulsacioacuten de la red

Ejercicio 2 iquestA queacute frecuencia oscila una corriente alterna si el tiempo que

pasa desde que obtiene un valor maacuteximo al siguiente es de 006 seg iquesty la

pulsacioacuten

Al circular corriente por una resistencia eacutesta se calentaraacute por efecto Joule Para obtener cuaacutento se calienta definimos el valor eficaz de la corriente o de la tensioacuten como el valor equivalente en corriente continua que provocariacutea el mismo efecto sobre una resistencia Este valor corresponde con el valor cuadraacutetico medio de la funcioacuten temporal que en el caso de una funcioacuten temporal senoidal se obtiene mediante

2maxI

I ef = 2

maxVVef =


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Ejercicio 3 Sea una corriente definida por ( ) ( )tsentI sdotsdotsdot= π5010 A Obteacuten el

valor eficaz de la corriente y la frecuencia

El valor eficaz es en la praacutectica el uacutenico valor que se utiliza en corriente alterna de esa forma no evitamos tener que trabajar con funciones temporales senoidales De hecho la lectura de los instrumentos de medida asiacute como en los cataacutelogos de los fabricantes o en la placa de caracteriacutesticas de los receptores siempre se hablan de los valores eficaces En Europa la tensioacuten de red domeacutestica es 230V de valor eficaz y 50 Hz de frecuencia Ejercicio 4 Calcula la tensioacuten maacutexima miacutenima y media de una red de

230V50Hz

Ejercicio 5 Obteacuten la funcioacuten temporal de la tensioacuten de una red 230V50Hz


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EJERCICIOS V2 Caracteriacutesticas de la CA Alumno Grupo

1- En EEUU la frecuencia de la red eleacutectrica es de 60Hz Obteacuten la pulsacioacuten y el periodo 2- Si la pulsacioacuten de una CA es de 200middotπ radseg Obteacuten la frecuencia el periodo y determina a cuaacutentas vueltas por segundo gira la espira del generador 3- iquestCuaacutentas veces ha obtenido la fem el valor cero si se han producido 200 ciclos iquestCuaacutentas veces por segundo obtiene la fem el valor cero si su frecuencia es de 50Hz 4- Obteacuten la pulsacioacuten frecuencia y periodo de la siguiente fem

( ) ( )tsentfem sdotsdotsdot= π100325 (aacutengulo medido en radianes) 5- Obteacuten la funcioacuten temporal que representa la fem instantaacutenea si su valor maacuteximo alcanza 350 voltios y su frecuencia es de 25 Hz 6- iquestCuaacutel es el valor de la tensioacuten eficaz de una CA cuyo valor maacuteximo es de 525 V y cuyo valor miacutenimo es de -525 V 7- Antiguamente se utilizaba en Espantildea una tensioacuten de red de 127V de valor eficaz Calcula el valor maacuteximo y miacutenimo de la tensioacuten 8- La tensioacuten eficaz de una liacutenea aeacuterea de Media Tensioacuten es de 20KV Si el aislamiento de la liacutenea ha de ser superior al valor de la tensioacuten en todo momento iquestqueacute aislamiento elegiriacuteas y porqueacute a) 155 KV b) 205 KV c) 255 KV d) 285 KV


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V3 RECEPTORES IDEALES

Llamamos receptor ideal a un elemento cuya propiedad caracteriacutestica se presenta de forma pura En corriente alterna trabajaremos con 3 tipos de receptores ideales resistencia bobina y condensador Resistencia Ya vimos queacute intensidad de corriente aparece al acoplar una resistencia pura a un alternador Si )()( max twsenVtV sdotsdot= entonces )()( max twsenItI sdotsdot= donde

RIV sdot= maxmax

Bobina La relacioacuten entre la tensioacuten e intensidad en una bobina viene dada por

t

ILV

∆∆sdotminus= asiacute si la intensidad toma la forma temporal )()( max twsenItI sdotsdot= la

tensioacuten tomaraacute la forma )2()( maxπ+sdotsdot= twsenVtV Donde wLIV sdotsdot= maxmax

Condensador La relacioacuten entre la tensioacuten e intensidad en un condensador viene dada por

QCV sdot= y comot

QI

∆∆= si la intensidad toma la forma temporal )()( max twsenItI sdotsdot=

la tensioacuten tomaraacute la forma )2()( maxπminussdotsdot= twsenVtV Donde

wC

IV

sdot= max

max

Ejercicio 1 Representa la funcioacuten de la tensioacuten e intensidad de un circuito con

una resistencia de 5Ω una bobina de 20 mH o un condensador de 004 mF y un

generador con fem=50sen (100πt) V

Comprobamos que en una resistencia la tensioacuten y la intensidad son dos funciones senoidales que estaacuten en fase es decir que se cruzan con cero alcanzan su valor maacuteximo y miacutenimo en los mismos aacutengulos de fase Cuando esto no ocurre decimos que estaacuten desfasados En cambio en las bobinas la tensioacuten se adelanta π2 rad (90ordm) y en los condensadores se retrasa -π2 rad (-90ordm) A este aacutengulo lo llamamos desfase


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Con el fin de simplificar los caacutelculos de los circuitos de corriente alterna y puesto que las corrientes y las tensiones oscilan a la misma frecuencia vamos a representar las funciones temporales senoidales mediante vectores donde el moacutedulo del vector es igual al valor eficaz y el aacutengulo del vector es igual al desfase

Ejercicio 2 Dibuja los vectores correspondientes a la tensioacuten y corrientes del

ejercicio 1

Observamos que tanto las resistencias las bobinas como los condensadores hacen un efecto similar a una resistencia en corriente continua Definimos la impedancia como la magnitud vectorial equivalente a la resistencia en CC y la medimos en Ohmios Definimos por tanto la ley de Ohm vectorial como ZIV sdot= donde V es el vector tensioacuten I es el vector intensidad y Z es la impedancia La impedancia de cada receptor queda definida seguacuten la siguiente tabla Receptor Impedancia Desfase Resistencia (Ω) Resistencia (R) R 0ordm Bobina(H) Reactancia Inductiva (XL) Lw 90ordm

Condensador(F) Reactancia Capacitiva (XC) 1Cw -90ordm

Ejercicio 3 Calcula el valor eficaz de la corriente que circularaacute por una

resistencia de 25Ω una bobina de 45 mH de inductancia o un condensador de

150microF conectada a la red de 230V50Hz


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EJERCICIOS V3 Receptores ideales

Alumno Grupo

1- Dibuja la funcioacuten temporal (a la izquierda) y los vectores (a la derecha) de la tensioacuten e intensidad de



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Dibuja la curva (izquierda) y los vectores (derecha) de la tensioacuten y la intensidad

4- Calcula la impedancia de una bobina de 20 mH y de un condensador de 10 mF si estaacute conectado a una red monofaacutesica de 400V50Hz 5- Calcula el vector intensidad (moacutedulo y aacutengulo) de los siguientes circuitos

6- Calcula el vector intensidad (moacutedulo y aacutengulo) de los siguientes circuitos (f = 50 Hz)


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V4 CIRCUITOS SERIE I

En corriente alterna los receptores (resistencias bobinas o condensadores) se pueden acoplar en serie o en paralelo En ambos casos las foacutermulas son las mismas que las utilizadas en corriente continua salvo que utilizaremos notacioacuten vectorial Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT

Vamos a analizar tres tipos de circuitos serie RL (resistencia+bobina) y RC (resistencia+condensador) y RLC (resistencia+bobina +condensador) Circuitos RL Sumaremos vectorialmente las impedancias y nos queda

000022

900)( ϕangangangang =+=+=+= ZLwRLwRZZZ

RLwarctgLRT

22LT XRZ +=

Entonces al aplicar la ley de Ohm vectorial

000 )(0 ϕϕ angangang

sdot=sdot=sdot= ZIZIZIV

Es decir que la tensioacuten se adelanta φordm a la intensidad estando φ entre 0ordm y 90ordm Este valor coincide con el aacutengulo de la impedancia Ejercicio 1 Calcula las tensiones en un circuito serie con una resistencia de

50Ω y una bobina de 05 H si circula una corriente de 3A Dibuja el triaacutengulo

de impedancias la tensioacuten y la intensidad


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Circuitos RC Sumaremos vectorialmente las impedancias y nos queda

0

0

00122

900)1(1

ϕangminusangminusangang

=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=


000 )(0 ϕϕ angangang sdot=sdot=sdot= ZIZIZIV

Es decir que la tensioacuten se atrasa φordm a la intensidad estando φ entre 0ordm y -90ordm Este valor coincide con el aacutengulo de la impedancia Ejercicio 2 Calcula las tensiones en un circuito serie con una resistencia de

50Ω y un condenador de 50 microF si circula una corriente de 3A Dibuja el

triaacutengulo de impedancias la tensioacuten y la intensidad

Circuitos RLC Sumaremos vectorialmente las impedancias y nos queda

00

000 122

90900)1(1

ϕangminusangminusangminusangang

=minus+=++=++= ZCwLwRCwLwRZZZZR

CwLwarctg

CLRT

( )22CLT XXRZ minus+=




En este caso el signo del desfase dependeraacute del valor de la reactancia inductiva y capacitiva (XL y XC) Si la reactancia inductiva es mayor que la capacitiva el desfase seraacute positivo y el circuito se dice que es inductivo Y viceversa si la reactancia capacitiva es mayor que la inductiva el desfase seraacute negativo y el circuito es capacitivo Ejercicio 3 Calcula las tensiones en un circuito serie con una resistencia de

50Ω una bobina de 05 H y un condenador de 50 microF si circula una corriente de

3A Dibuja el triaacutengulo de impedancias la tensioacuten y la intensidad Calcula el

desfase y determina se el circuito es inductivo o capacitivo


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EJERCICIOS V4 Circuitos serie I

Alumno Grupo

1- Calcula la impedancia de las siguientes asociaciones de receptores (f = 50 Hz)

Dibuja el triaacutengulo de impedancias de cada asociacioacuten (R X y Z)

2- Calcula el vector tensioacuten (moacutedulo y aacutengulo) en el siguiente circuito (f = 50 Hz)

3- Calcula la intensidad en el siguiente circuito (f = 50 Hz) iquestEs capacitivo o inductivo


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V5 CIRCUITOS SERIE II

Las tensiones y las impedancias estaacuten relacionadas vectorialmente por RIVR sdot= LL XIV sdot= CC XIV sdot= ZIVT sdot=

Asiacute cuando se asocian receptores de corriente alterna en serie al medir la tensioacuten de cada receptor y del total de ambas la suma de cada una no coincide con la total Esto es debido al caraacutecter vectorial de las magnitudes La suma vectorial siacute que coincide con la total

22LRT VVV += o tambieacuten 22

CRT VVV +=

En caso de que tengamos bobinas y condensadores las tensiones de la bobina y del condensador se oponen para luego sumarla vectorialmente a la de la resistencia

( )22CLRT VVVV minus+=

En este tipo de circuitos vemos que el efecto de la bobina y del condensador son opuestos Asiacute cuando tengamos circuitos con bobinados (motores electroimanes releacuteshellip) utilizaremos condensadores para contrarrestar el efecto que estos producen sobre la corriente y la tensioacuten Por uacuteltimo hay que destacar que tanto la medida de los instrumentos como los resultados obtenidos de las operaciones dan como resultado el valor eficaz de la corriente y la tensioacuten El valor real oscila entre su valor maacuteximo y su valor miacutenimo a la frecuencia de la red Ejercicio 1 Sea un circuito con una resistencia de 50Ω y una reactancia

inductiva de 34Ω Calcula la impedancia total y dibuja el triaacutengulo de

impedancias Medimos ahora las tensiones y tenemos 150V en la resistencia y

102V en la bobina Calcula la tensioacuten total Dibuja el triaacutengulo de tensiones


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EJERCICIOS V5 Circuitos serie II

Alumno Grupo

1- Calcula la tensioacuten medida por el conjunto de la bobina y la resistencia

2- En un circuito RLC serie la tensioacuten medida en la resistencia es de 120V en la bobina es de 85V y en el condensador es de 45V iquestQueacute tensioacuten habraacute en el conjunto resistencia bobina iquestY en el conjunto resistencia-bobina-condensador 3- Calcula y dibuja el vector I VR VC VL y VTotal

4- Calcula la tensioacuten de cada elemento (resistencia bobina y condensador)

Comprueba que la suma de las tensiones es igual a la tensioacuten total


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V6 CIRCUITOS PARALELO

Como ya sabemos en las instalaciones eleacutectricas los receptores se suelen acoplar en paralelo con el fin de aplicar la misma tensioacuten a todos los receptores Asiacute para calcular las tensiones e intensidades de este tipo de circuitos bien podemos utilizar a foacutermula de acoplamiento de impedancias que al ser de caraacutecter vectorial se vuelve muy complicada o bien bastaraacute con sumar vectorialmente las intensidades de cada uno de los receptores Paralelo

321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT

Ejercicio 1 Sea una instalacioacuten a 230V50Hz compuesta por una resistencia

de 200Ω una bobina de 400 mH y un condensador de 25 microF Calcula la

corriente consumida por cada receptor y la corriente total consumida


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EJERCICIOS V6 Circuitos en paralelo

Alumno Grupo

1- Calcula el vector intensidad (moacutedulo y aacutengulo)

2- Calcula la intensidad IR IL IC y ITotal (125V50Hz) iquestCuaacutel seraacute la lectura del amperiacutemetro

3- Calcula la intensidad total consumida por todos los receptores

4- Una instalacioacuten alimentada mediante 125V50Hz estaacute compuesta por los siguientes receptores en paralelo a) un motor de impedancia interna 100∟30ordm Ω inductivos b) un motor de resistencia interna 60Ω y de auto-inductancia de 300 mH (en serie) c) una bateriacutea de condensadores de 10 microF Calcula la corriente consumida por cada receptor y la corriente total consumida


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V7 POTENCIAS

En un circuito de corriente continua la potencia eleacutectrica se obteniacutea multiplicando la tensioacuten y la intensidad ( IVP sdot= ) En corriente alterna dado que la intensidad y la tensioacuten variacutean con el tiempo en cada instante la potencia tambieacuten iraacute variando por lo que no tiene sentido obtener este valor para cada instante Al valor promedio de la potencia lo llamamos potencia activa o real Se mide en vatios y su valor se obtiene mediante

ϕcossdotsdot= IVP donde φ es el desfase entre la tensioacuten y la corriente Puesto que el desfase en las bobinas y condensadores es de 90ordm y -90ordm la potencia activa consumida es nula En cambio en las resistencias donde el desfase en siempre 0ordm la potencia activa coincide con el producto de sus valores eficaces Al cosφ lo llamamos factor de potencia cuyo valor estaacute entre 0 y 1 Nos mide la parte del producto VI que se convierte en potencia real

ϕcos=FP La potencia activa se mide mediante el vatiacutemetro aparato que tiene en cuenta automaacuteticamente el factor de potencia Internamente el vatiacutemetro multiplica la tensioacuten instantaacutenea por la intensidad instantaacutenea y hace despueacutes el promedio La bobina y el condensador no consumen energiacutea por tanto su potencia activa es nula Sin embargo si medimos la tensioacuten y la intensidad mediante un voltiacutemetro y un amperiacutemetro siacute que parece que esteacuten consumiendo potencia A esta potencia la llamamos potencia aparente (S) y se mide en voltiamperios (VA)

IVS sdot= La potencia aparente se mide con un voltiacutemetro y un amperiacutemetro Eacutesta se compone de potencia activa o real y de otra potencia que sirve para crear los campos de las bobinas y condensadores A esta potencia la llamamos potencia reactiva (Q) y se mide en voltiamperios reactivos (VAr)

ϕsenIVQ sdotsdot= La potencia reactiva es muy perjudicial puesto que es corriente que se transporta por los conductores y las liacuteneas de distribucioacuten que luego no sirve para convertirse en potencia uacutetil Es necesaria para el funcionamiento de las maacutequinas eleacutectricas que llevan bobinados en su interior pero hay que limitarla al maacuteximo


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El factor de potencia nos dice la parte de la potencia aparente que se aprovecha en forma de potencia activa y la que se desaprovecha en forma de potencia reactiva La potencia reactiva puede ser inductiva si el aacutengulo es mayor que cero o capacitiva si el desfase es menor que cero Por uacuteltimo las potencias en corriente alterna las podemos representar vectorialmente mediante el triaacutengulo de potencias cuya forma coincide con el triaacutengulo

de impedancias y el de tensiones 22 QPS += ϕcossdot= SP ϕϕ tgPsenSQ sdot=sdot=

Ejercicio1 Un motor eleacutectrico de corriente alterna consume una corriente de

10A a 230V Si su factor de potencia es de 08 calcula la potencia aparente

activa y reactiva consumida por el motor

Ejercicio 2 Calcula la potencia activa y el factor de potencia consumidos por

una impedancia de Z=600∟25ordm Ω inductivos al conectarlo a una red de

230V50Hz

Ejercicio3 Un motor eleacutectrico pone en su placa de caracteriacutesticas que

consume 4KW230V50HzFP=08 Calcula la corriente consumida Obteacuten la

potencia reactiva y aparente consumida Dibuja el triaacutengulo de potencias


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EJERCICIOS V7 Potencias

Alumno Grupo

1- Un receptor consume 42A al aplicarle una tensioacuten de 125V50Hz Si el desfase que hay entre la tensioacuten y la corriente es de 36ordm calcula la potencia activa reactiva y aparente que consume el receptor 2- Un receptor consume 5A al aplicarle 125V Si su factor de potencia es de 09 calcula la potencia activa y aparente consumida 3- Un motor monofaacutesico pone en su placa de caracteriacutesticas 23KW400Vcosφ=09 Calcula la intensidad consumida por el motor 4- La lectura de los siguientes aparatos de medida son Voltiacutemetro 208V Amperiacutemetro 696 mA Vatiacutemetro 121W Obteacuten la potencia aparente activa reactiva y el factor de potencia del motor


29

5- Sea una impedancia Z= 40∟60 Ω y una corriente de I= 5 A Calcula la diferencia de potencial que aparece en sus extremos Calcula la potencia activa y aparente que consume 6- Una laacutempara incandescente tiene una impedancia de 500Ω puramente resistivos Calcula la potencia activa reactiva y el factor de potencia cuando la aplicamos una tensioacuten de 110V 7- A un receptor compuesto por una resistencia de 120Ω y una reactancia de 85Ω inductivos en serie se le aplica una tensioacuten de 380V50Hz de corriente alterna Calcula la potencia activa y el factor de potencia del receptor 8- Un generador monofaacutesico genera una potencia aparente de 400 KVA Si el desfase entre la tensioacuten e intensidad es de 25ordm iquestCuaacutenta potencia activa y reactiva estaacute generando 9- Un horno de induccioacuten consume una potencia de 6KWFP=076 Calcula la potencia aparente y la reactiva 10- Calcula el factor de potencia si un receptor consume 15KW y 18 KVA


30

V8 FACTOR DE POTENCIA

La potencia reactiva estaacute causada por las bobinas y los condensadores que utilizan la energiacutea eleacutectrica para crear campos magneacuteticos y eleacutectricos que despueacutes de cada ciclo devuelven a la red sin haberla utilizado Es decir que tenemos una energiacutea eleacutectrica que va desde el generador al receptor para al final del ciclo ser devuelta del receptor al generador sin haber sido utilizada Y ademaacutes los contadores de energiacutea eleacutectrica utilizados para generar la factura de la luz no contemplan este traacutensito de energiacutea sino soacutelo la energiacutea real consumida (Kwh) Sin embargo a las compantildeiacuteas suministradores de electricidad esta energiacutea inuacutetil transportada provoca - peacuterdidas de efecto Joule en transporte - necesidad de aumentar el calibre de los conductores transformadores aparamenta - en la generacioacuten pues se genera energiacutea que luego es devuelta a los generadores trabajando como motores y desacoplando los campos magneacuteticos Las compantildeiacuteas eleacutectricas en las instalaciones de hasta 15KW soacutelo facturan soacutelo la energiacutea activa (soacutelo hay un contador de energiacutea activa) pero a partir de esta potencia o bien cobran una cuota fija a los consumidores que tengan factores de potencia bajos (menores de 09) o bien instalan un contador de energiacutea reactiva y cobran su consumo Por tanto al consumidor le interesa tener un factor de potencia cercano a la unidad Y como la praacutectica totalidad de los receptores que consumen energiacutea reactiva son inductivos (motores con bobinados y laacutemparas de descarga) eacutesta energiacutea reactiva se compensa acoplando en paralelo un condensador La capacidad del condensador necesario para compensar una instalacioacuten es

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ

donde φ y φrsquo son los aacutengulos del factor de potencia inicial y mejorado Ejercicio1 Coloca un condensador para mejorar el factor de potencia a 095

Calcula la intensidad antes y despueacutes de acoplar el condensador

Dibuja el triaacutengulo de potencias antes y despueacutes de colocar el condensador


31

EJERCICIOS V8 Factor de potencia

Alumno Grupo

1- Un local comercial con 125V50Hz tiene una potencia instalada de 8 KW y el factor de potencia de su instalacioacuten es de 07 Calcula la capacidad de los condensadores necesarios para aumentar el FP a 09 2- Una instalacioacuten a 230V50Hz consume 12A con factor de potencia 08 Calcula la intensidad consumida al acoplarle un condensador que mejore el factor de potencia a 1 Nota La potencia activa no cambia es la misma con o sin condensador 3- Sea un motor de 3KW230V50HzFP=07 calcula la corriente consumida iquestQueacute condensador le acoplariacuteas para mejorar el factor de potencia a 095 4- A un conjunto de 50 laacutemparas fluorescentes de 58WFP=07230V50Hz le acoplamos un condensador de 125microF Determina cuaacutenta potencia reactiva consumiacutean sin el condensador y con el condensador Nota Calcula primero la potencia reactiva consumida soacutelo por el condensador


32

CUESTIONES TEMA 5 CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Haz una redaccioacuten de al menos 100 palabras con cada uno de los siguientes temas 1- Generacioacuten y caracteriacutesticas de la corriente alterna senoidal periodo frecuencia pulsacioacuten valor eficazhellip Representacioacuten vectorial 2- Ley de Ohm en CA Elementos pasivos resistencias bobinas y condensadores Impedancias y desfases 3- Potencia reactiva Definicioacuten elementos que la consumen efectos perjudiciales Triaacutengulo de potencias y de impedancias 4- Factor de potencia Definicioacuten caacutelculo y compensacioacuten Facturacioacuten por las compantildeiacuteas suministradoras


33

FORMULARIO TEMA 5 CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

Vectores 222 cba =+

Cartesianas a polares 22yx vvV +=

=

x

y

v

varctgα

Polares a cartesianas αcossdot= Vvx αsenVvy sdot=




βα minus

=divideV

UVUrr

Corriente alterna ( ) ( )twsenfemtfem sdotsdot= max ( )twsenItI sdotsdot= max)(

wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =

Receptor Impedancia (Z) Desfase (φ) Resistencia (Ω) Resistencia (R) R 0ordm Bobina(H) Reactancia Inductiva (XL) Lw 90ordm


Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

ZIV sdot= 22LRT VVV += 22

CRT VVV += ( )22CLRT VVVV minus+=

ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=

sdot=sdot=sdotsdot=sdot=sdotsdot=

FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


2

VA TRIGONOMETRIacuteA

A1- TEOREMA DE PITAacuteGORAS En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa Representando los catetos por ldquoardquo y ldquobrdquo y la hipotenusa por ldquocrdquo

222 cba =+ Ejercicio 1 Sea un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm

respectivamente iquestcuaacutento mide su hipotenusa

A2- FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS En un triaacutengulo rectaacutengulo se definen las siguientes funciones Representando la hipotenusa por H el cateto contiguo por CC y el cateto opuesto por CO

H

COsen =α o bien αsenHCO sdot=

=H

COarcsenα

H

CC=αcos o bien αcossdot= HCC

=H

CCarccosα

CC

COtg =α

=CC

COarctgα


3








4




5




22yx vvV +=

=

x

y

v

varctgα



== 0307V

r =V

r(4 6)=

==minus 090

20Vr

=Vr

(-5 9)=

== radV 35π

r =V

r(0 2)=


6



== 06010V

r == 045

5Vr

== 03008V

r =minus= 0210

6Vr


=Vr

(6 8) = =Vr

(-05 2) =

=Vr

(0 5) = =Vr

(4 0) =


7


Sean dos vectores

( )yx uuUU == α

r

( )yx vvVV == β

r








βα minus=divide

V

UVUrr


=+ 6030 64


=605

1 =sdotsdot 45120 74003


8




400

b) =++90030 2

1

53

1

4

1


9







t


∆∆minus= maxmax



10





V

R

twsenV

R


sdotsdot== max

maxmax)()(




11



t φ=ωmiddott fem I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12



0001 0002 0003 0004 0005 0010 0015 0020 0025 0030



12



wT



Tf

1=







pulsacioacuten


2maxI

I ef = 2

maxVVef =


13




230V50Hz



14





15



RIV sdot= maxmax


t

ILV




QCV sdot= y comot

QI



wC

IV

sdot= max

max






16



ejercicio 1







17


Alumno Grupo




18






19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


3








4




5




22yx vvV +=

=

x

y

v

varctgα



== 0307V

r =V

r(4 6)=

==minus 090

20Vr

=Vr

(-5 9)=

== radV 35π

r =V

r(0 2)=


6



== 06010V

r == 045

5Vr

== 03008V

r =minus= 0210

6Vr


=Vr

(6 8) = =Vr

(-05 2) =

=Vr

(0 5) = =Vr

(4 0) =


7


Sean dos vectores

( )yx uuUU == α

r

( )yx vvVV == β

r








βα minus=divide

V

UVUrr


=+ 6030 64


=605

1 =sdotsdot 45120 74003


8




400

b) =++90030 2

1

53

1

4

1


9







t


∆∆minus= maxmax



10





V

R

twsenV

R


sdotsdot== max

maxmax)()(




11



t φ=ωmiddott fem I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12



0001 0002 0003 0004 0005 0010 0015 0020 0025 0030



12



wT



Tf

1=







pulsacioacuten


2maxI

I ef = 2

maxVVef =


13




230V50Hz



14





15



RIV sdot= maxmax


t

ILV




QCV sdot= y comot

QI



wC

IV

sdot= max

max






16



ejercicio 1







17


Alumno Grupo




18






19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


4




5




22yx vvV +=

=

x

y

v

varctgα



== 0307V

r =V

r(4 6)=

==minus 090

20Vr

=Vr

(-5 9)=

== radV 35π

r =V

r(0 2)=


6



== 06010V

r == 045

5Vr

== 03008V

r =minus= 0210

6Vr


=Vr

(6 8) = =Vr

(-05 2) =

=Vr

(0 5) = =Vr

(4 0) =


7


Sean dos vectores

( )yx uuUU == α

r

( )yx vvVV == β

r








βα minus=divide

V

UVUrr


=+ 6030 64


=605

1 =sdotsdot 45120 74003


8




400

b) =++90030 2

1

53

1

4

1


9







t


∆∆minus= maxmax



10





V

R

twsenV

R


sdotsdot== max

maxmax)()(




11



t φ=ωmiddott fem I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12



0001 0002 0003 0004 0005 0010 0015 0020 0025 0030



12



wT



Tf

1=







pulsacioacuten


2maxI

I ef = 2

maxVVef =


13




230V50Hz



14





15



RIV sdot= maxmax


t

ILV




QCV sdot= y comot

QI



wC

IV

sdot= max

max






16



ejercicio 1







17


Alumno Grupo




18






19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


5




22yx vvV +=

=

x

y

v

varctgα



== 0307V

r =V

r(4 6)=

==minus 090

20Vr

=Vr

(-5 9)=

== radV 35π

r =V

r(0 2)=


6



== 06010V

r == 045

5Vr

== 03008V

r =minus= 0210

6Vr


=Vr

(6 8) = =Vr

(-05 2) =

=Vr

(0 5) = =Vr

(4 0) =


7


Sean dos vectores

( )yx uuUU == α

r

( )yx vvVV == β

r








βα minus=divide

V

UVUrr


=+ 6030 64


=605

1 =sdotsdot 45120 74003


8




400

b) =++90030 2

1

53

1

4

1


9







t


∆∆minus= maxmax



10





V

R

twsenV

R


sdotsdot== max

maxmax)()(




11



t φ=ωmiddott fem I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12



0001 0002 0003 0004 0005 0010 0015 0020 0025 0030



12



wT



Tf

1=







pulsacioacuten


2maxI

I ef = 2

maxVVef =


13




230V50Hz



14





15



RIV sdot= maxmax


t

ILV




QCV sdot= y comot

QI



wC

IV

sdot= max

max






16



ejercicio 1







17


Alumno Grupo




18






19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


6



== 06010V

r == 045

5Vr

== 03008V

r =minus= 0210

6Vr


=Vr

(6 8) = =Vr

(-05 2) =

=Vr

(0 5) = =Vr

(4 0) =


7


Sean dos vectores

( )yx uuUU == α

r

( )yx vvVV == β

r








βα minus=divide

V

UVUrr


=+ 6030 64


=605

1 =sdotsdot 45120 74003


8




400

b) =++90030 2

1

53

1

4

1


9







t


∆∆minus= maxmax



10





V

R

twsenV

R


sdotsdot== max

maxmax)()(




11



t φ=ωmiddott fem I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12



0001 0002 0003 0004 0005 0010 0015 0020 0025 0030



12



wT



Tf

1=







pulsacioacuten


2maxI

I ef = 2

maxVVef =


13




230V50Hz



14





15



RIV sdot= maxmax


t

ILV




QCV sdot= y comot

QI



wC

IV

sdot= max

max






16



ejercicio 1







17


Alumno Grupo




18






19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


7


Sean dos vectores

( )yx uuUU == α

r

( )yx vvVV == β

r








βα minus=divide

V

UVUrr


=+ 6030 64


=605

1 =sdotsdot 45120 74003


8




400

b) =++90030 2

1

53

1

4

1


9







t


∆∆minus= maxmax



10





V

R

twsenV

R


sdotsdot== max

maxmax)()(




11



t φ=ωmiddott fem I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12



0001 0002 0003 0004 0005 0010 0015 0020 0025 0030



12



wT



Tf

1=







pulsacioacuten


2maxI

I ef = 2

maxVVef =


13




230V50Hz



14





15



RIV sdot= maxmax


t

ILV




QCV sdot= y comot

QI



wC

IV

sdot= max

max






16



ejercicio 1







17


Alumno Grupo




18






19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


8




400

b) =++90030 2

1

53

1

4

1


9







t


∆∆minus= maxmax



10





V

R

twsenV

R


sdotsdot== max

maxmax)()(




11



t φ=ωmiddott fem I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12



0001 0002 0003 0004 0005 0010 0015 0020 0025 0030



12



wT



Tf

1=







pulsacioacuten


2maxI

I ef = 2

maxVVef =


13




230V50Hz



14





15



RIV sdot= maxmax


t

ILV




QCV sdot= y comot

QI



wC

IV

sdot= max

max






16



ejercicio 1







17


Alumno Grupo




18






19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


9







t


∆∆minus= maxmax



10





V

R

twsenV

R


sdotsdot== max

maxmax)()(




11



t φ=ωmiddott fem I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12



0001 0002 0003 0004 0005 0010 0015 0020 0025 0030



12



wT



Tf

1=







pulsacioacuten


2maxI

I ef = 2

maxVVef =


13




230V50Hz



14





15



RIV sdot= maxmax


t

ILV




QCV sdot= y comot

QI



wC

IV

sdot= max

max






16



ejercicio 1







17


Alumno Grupo




18






19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


10





V

R

twsenV

R


sdotsdot== max

maxmax)()(




11



t φ=ωmiddott fem I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12



0001 0002 0003 0004 0005 0010 0015 0020 0025 0030



12



wT



Tf

1=







pulsacioacuten


2maxI

I ef = 2

maxVVef =


13




230V50Hz



14





15



RIV sdot= maxmax


t

ILV




QCV sdot= y comot

QI



wC

IV

sdot= max

max






16



ejercicio 1







17


Alumno Grupo




18






19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


11



t φ=ωmiddott fem I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12



0001 0002 0003 0004 0005 0010 0015 0020 0025 0030



12



wT



Tf

1=







pulsacioacuten


2maxI

I ef = 2

maxVVef =


13




230V50Hz



14





15



RIV sdot= maxmax


t

ILV




QCV sdot= y comot

QI



wC

IV

sdot= max

max






16



ejercicio 1







17


Alumno Grupo




18






19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


12



wT



Tf

1=







pulsacioacuten


2maxI

I ef = 2

maxVVef =


13




230V50Hz



14





15



RIV sdot= maxmax


t

ILV




QCV sdot= y comot

QI



wC

IV

sdot= max

max






16



ejercicio 1







17


Alumno Grupo




18






19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


13




230V50Hz



14





15



RIV sdot= maxmax


t

ILV




QCV sdot= y comot

QI



wC

IV

sdot= max

max






16



ejercicio 1







17


Alumno Grupo




18






19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


14





15



RIV sdot= maxmax


t

ILV




QCV sdot= y comot

QI



wC

IV

sdot= max

max






16



ejercicio 1







17


Alumno Grupo




18






19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


15



RIV sdot= maxmax


t

ILV




QCV sdot= y comot

QI



wC

IV

sdot= max

max






16



ejercicio 1







17


Alumno Grupo




18






19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


16



ejercicio 1







17


Alumno Grupo




18






19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


17


Alumno Grupo




18






19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


18






19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


19



321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT

1111

321

+++=

ZZZ

ZT


000022


RLwarctgLRT

22LT XRZ +=








20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


20


0

0

00122

900)1(1


=+=+=+= ZCwRCwRZZZR

CwarctgCRT

22CT XRZ +=







00

000 122

90900)1(1



CwLwarctg

CLRT










21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


21


Alumno Grupo






22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


22





CRT VVV +=








23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


23


Alumno Grupo






24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


24



321 ==== VVVVT

321 +++= IIII T

111

1

321

+++=

ZZZ

ZT





25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


25


Alumno Grupo






26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


26

V7 POTENCIAS







27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


27








230V50Hz





28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


28


Alumno Grupo



29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

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321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


29



30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


30



2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ





31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


31


Alumno Grupo



32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

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321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


32



33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

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Z

VI max

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Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

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321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ


33


Vectores 222 cba =+


=

x

y

v

varctgα





βα minus

=divideV

UVUrr


wT

πsdot= 2

Tf

1= fw sdotsdot= π2

2maxI

I ef = 2

maxVVef =

Z

VI max

max =



Serie Paralelo

321 +++= VVVVT 321 ==== VVVVT

321 ==== IIII T 321 +++= IIII T

321 +++= ZZZZT



ϕ

ϕϕϕϕϕ

cos

coscos

22

=+=sdot=


FP

QPIVS

tgPsenSsenIVQ

SIVP

2

)(

Vw

tgtgPC

sdotminussdot= ϕϕ

t5 circuitos de corriente alterna

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