taal en betekenis in het realistisch reken-wiskundeonderwijs · daarvan profiteren in de...

Taal en betekenis in het realistisch reken-wiskundeonderwijs elissen' iss sen' School Adviescentrum, Utrecht

1 Een vlotte prater: een vaardige rekenaar?

In onderzoek (Secada 1992) is gewezen op een opval- lend verband tussen taalvaardigheid en het oplossen van wiskundige problemen. Tevens blijkt echter dat er ook nag veel onverklaarde variantie tussen tad en wiskunde voorkwam en moesten de onderzoekers concluderen dat de relatie tussen taal en wiskunde erg complex is. De relatle tussen taal en rekenen-wiskunde krijgt de laatste tijd in publicaties en op conferenties steeds vaker aandacht en dat lijkt terecht. Maar wat valt over die r e latie precies te zeggen behalve dat die complex is? Is een kind dat goed rekent altijd ook een kind met een vlotte babbel? Volgens Secada is het verband tussen 'fluency' en wiskunde niet erg sterk. In de onderwijs- praktijk is dat ook nooit echt opgevallen, vlotte praters hoeven niet pers6 ook vlotte rekenaars te zijn. En iemand die de spelling perfect onder de knie heeft, zou die daarvan profiteren in de reken-wiskundeles? Ik weet niet of dit ooit is onderzocbt maar ik zou die vraag niet op voorhand met een volmondig 'ja' durven beantwoorden. Hoewel, spelling is een kwestie van het juist kunnen toepassen van regels en als je dat hebt geleerd, geeft dat toch blijk van een zekere denkdiscipline die je bij rekenen ook weer goed kunt gebruiken. Wie mooie ge- dichten kan schrijven, is ook goedinrekenen? Een dich- ter speelt met beelden en metaforen, tenvijl ook in de wiskunde ervaringen worden geordend door het con- strueren van betekenisvolle metaforen ('images'), zegt Sfard (1995).

Kan de reken-wiskundedidacticus profiteren van het werk van de taalwetenschapper op het gebied van ety- mologie of idioom? Wie weet, de speunocht naar de oorsprong van woorden kan inspireren tot een spew- tocht met de kinderen naar de ontstaanswijze van begrippen en procedures, bijvoorbeeld lengtematen of verschillende getalsystemen. Men zou kunnen spreken van de etyrnologie van wiskundige termen en werkwij- Zen. En wat het idioom betreft, is het interessant om met de kinderen het taaleigen van de wiskundige te onderzoeken en dat te vergelijken met het idioom van niet wiskundigen. Waarom warden relaties en begrippen

juist op deze bepaalde manier uitgedmkt, zou het ook anders kunnen? Het is interessant om in dit verband verschillende getalsystemen met elkaar te vergelijken. Ben je in de rekenles geholpen met kennis van de syntaxis en een goed gebruik van grammaticale regels? Dat is ook al niet erg zeker, want sinds Chomsky weten we dat kinderen a1 op drie A vierjarige leeftijd in staat zijn grammaticaal goed gevomde zinnen te maken, tenvijl ze een eenvoudige opgave als '2 + 1' niet kunnen uit- voeren. Ze zullen bijvoorbeeld niet vaak zeggen: 'Fiets- je ik gevallen ben met mijn', al zondigen ze natuurlijk nag veel tegen de geldende regels. De syntaxis is, vergeleken met de semantiek en de pragmatiek, relatief vroeg voltooid in de taalontwikkeling (Garton, 1992). Hoe is nu de relatie tussen tad, beschouwd als semantisch systeem, en de wiskunde? Misschien mag de vraag ook zo worden gesteld: is er een relatie tussen taal als representatiesysteem en het hanteren van wiskundige representaties?

Wooden en begrippen die worden gebmikt, representeren ervaringen die zich zowel in de buitenwereld als in- tern afspelen. Woorden, zo leren kinderen, zijn verwijzend en krijgen daardoor betekenis. Het woord 'boos' verwijst naar een bepaalde gemoedstoestand, 'pop' naar iets waarmee je kunt spelen, 'spelen' naar een leuke ac- tiviteit en 'Els' is een naam, bijvoorbeeld van een zus. Wooden kunnen iets representeren dat er is of (nog) niet is: 'Mijn jasje is nat' en 'Als het regent, word je nat'. Begrippen zijn verbonden met het denken: een poes is een dier en een hand oak. Er worden representaties (begrippen) gevormd, steeds gedifferentieerder en op steeds hoger, formeel niveau (Breeuwsma, 1993). Kortom, in de taal worden gedachten en betekenissen geleerd en gebmikt als representaties. De kinderen leren de taal dus als representatiesysteem, maar ook het mathematiseren wordt gekenmerkt door het gebmik van representaties.

De eerste wiskundige ewaringen worden opgedaan in het spel en uitgedmkt in taal. Een kind hoort aftelversjes en leert dat de getallen '6611'. 'twee', 'drie' een volgorde representeren. In een later stadium leert het oak de erbij behorende symbolen. Ook andere wiskundige ervaringen worden opgedaan in nauwe relatie met de taal. Wat is veel, veraf, groter, zwaarder, morgen, te zwaar? Er

m r nescholing en onderzoek van het reken-wiskundeondenvijs

worden foto's vergeleken met de werkelijkheid, huisjes getekend, verstoppertje gespeeld en steeds worden daarbij wiskundige ervaringen opgedaan die uitgedmkt worden in taal en begrippen. Deze begrippen representeren basale wiskundige ervaringen.

Taal en wiskunde e representatlesystemen en als zodanig van meet af aan met elkaar verweven. Een kind ontwikkelt het besef dat mensen lets in hun hoofd kunnen representeren. Als dat besef er nlet is, kan dat gevolgen hebben voor de verdere ontw~kkeling op het gebied van tad en rekenen. Blj jonge kinderen 1s dat besef nog slechts ten dele aanwezig. Het volgende proefje (ontleend aan Perner, 1990) kan dat verduidelijken. Per- ner liet aan hnderen van ongeveer dne jaar een doos zien en op de bodem van de doos was een tekemng zichtbaar. De vraag aan de kinderen was om de tekening op de bodem van de doos te laten zien. Er kwamen verschillende reacties. De kinderen tot drie B vlerjaar lieten de tekening zien, maar hielden de doos zo dat ze altijd zelf de tekening ook nog konden zien. Deze kinderen konden de tekening in hun hoofd (nog) niet representeren. Zien is weten bij deze lunderen. De oudere kinderen konden de tekening we1 in hun hoofd representeren en hielden de doos zo vast dat ze zelf de tekening niet meer konden zien, maar de volwassene wel. Deze kinderen beseffen dat je in je hoofd de werkelijkheid kunt voorstellen. Niet slechts zien is weten, ook representeren is weten.

Nu heeft zelfs de taal van de jongste kinderen al in zekere mate een verwijzend karakter, maar de represcnta- ties zijn meestal nog sterk situatiegebonden en worden door de situatie uitgelokt Dorst voelen is de impuls voor: 'Melk' en behoe* doen of a1 gedaan hebben voor: 'Bah'. De met het lexicon en de semantiek verbonden representaties, dat zijn de cognitieve representaties zoals Pemer die onderzocht (begrippen die venvij- zen naar een kennisbestand), ontwikkelen zich vooral vanaf het derde B vierde jaar. Rond die leeftijd vindt er, althans op bepaalde inhoudelijke domeinen, een over- gang plaats (een 'shift' zegt Keil, 1989) waarbij kinderen een begrip niet meer slechts opvatten op basis van karakter~stieke (deels ook toevallige) kenmerken. Ze snappen van een begrip nu de defini8rende kenmerken. Het woord 'oom' staat eerst voor een concrete figuur edof een vriendelijke en goedgeefse man, maw na de 'shft' representeert het begrip 'oom': de broer van mijn vader of moeder, die in principe dus nog heel jong en zelfs onaardig kan zijn. Er is een representatie op hoger semantisch nlveau gevonnd. Zo is ook een getal eerst zoiets dat evenveel is als bijvoorbeeld twee, vier of vijf vingers. Maar vervolgens leert het kind dat hetzelfde woord ook nog de representatie is van: wveelste, het nummer van een hus, bet re- sultaat van een meetactiviteit en nog later zelfs iets dat 'onder de nul' zit (een negatief getal). Begrippen wor-

den dus op steeds hoger niveau gebruikt, ze worden be- wuster zei Vygotskij (1977) en dat wil zeggen dat het opereren met de begrippen - bijvoorbeeld met getallen - reflectiever wordt

In weer een later stadium maken de kinderen kennis met allerlei symbolen als representaties van begrippen en operaties. De kinderen ervaren dat rekenen-wishnde wordt gekenmerkt door een geheel eigen idioom dat soms erg afwijkend is van hun dagelijkse taal en manier van denken. Essentieel voor een goed taalgebmik is natuurlijk het lexicon, een voldoende woordenschat. Met name allochtone kinderen ondervinden die taallast bij het leren rekenen als hun woordenschat beperkt is. Ove- rigens geldt hetzelfde voor autochtone kinderen. Maar zelfs volwassenen die een bepaalde vreemde taal niet (goed) machtig zijn, zullen er last van hebben als ze in die taal een (w~skundig) probleem moeten oplossen. Die ervaring is bij velen welbekend. In de volgende paragraaf gaan we hier nader op in.

2 Taal en woordenschat

Uit de dagelijkse praktijk en onderzoek (zie De Wit, 1996) is bekend dat zich in het reken-wiskundeonderwijs met name bij allochtone leerlingen veel problemen voordoen. Verschillende auteurs hebben aandacht aan deze problemen besteed en een verband gelegd tussen achterstanden op het gebied van het rekenen en het gebied van de (Nederlandse) taal (Verbeeck, 1996; Bie- mond, 1996; Van den Boer, 19%). De oorzaak van de problemen in de rekenles werden in het recente verleden nog vaak in de rekendidactiek zelf gezocht en gelegd. De realistische methoden zouden namelijk voor deze kinderen 'veel te verbaal' van karakter zijn. Men zocht de oplossing in 'non-verbale' methoden zodat de kinderen geen extra taallast zouden ondervinden. Men vergat daarbij dat de kinderen op die manier werd onthouden wat ze nu net het meest nodig hadden: stimulans op het gebied van de taal, ook tijdens de rekenles. Als men met 'non-verbale' methoden zou werken (bedoeld wordt natuurlijk dat men de kinderen liever schtiftelijk laat werken, dat wil zeggen cijferen) hebben de kinderen natuurlijk dezelfde taalproblemen, alleen zijn ze dan niet manifest.

Natuurlijk betekent d ~ t niet dat we de problemen die werden gesignaleerd niet serieus wuden moeten nemen, het tegendeel is waar. Gebrekkige kennis van de Nederlandse taal en een onvoldoende ontwikkelde woordenschat stelt de leerkracht ook in de rekenles voor last~ge problemen. In het volgende protocolfragment zien we hoe een leerkracht op zo'n probleem reageert (Lk. is de leerkracht, K. is het kind).

Lk.: 'Hoeveel is 3 plus 9? K.: (gebmikt het rekenrek) 'Ik doe alles naar een kant.' Lk.: 'Nee, doe alles maar weer terug en opnieuw.' K.: (schuift alle kralen weer temg en zegt dan opeens)

'Oh ja juf .... twee-tien.' Lk.: 'Wat zeg je me daar nou? K.: 'Ik zeg wee-tien, het is samen twee-tien.' Lk.: 'Zeg je dat zo?' K.: 'la .... eh .... twaalf, ja twaalf.' Lk.: 'Het was slimmer als je had gezegd: ik begin met de

gmte' (ze bedoelt de 9).

Het was wellicht ook slimmer geweest - en voor het kind leerzamer - als deze juf op de creatieve vondst van het kind ('twee-tien') serieus was ingegaan. Dan zou bij het kind reflectie zijn gestimuleerd op de eigen manier van rekenen en uit de waarderende woorden van de juf - waarvoor redenen genceg zijn - had het kind veel ple- zier en zelfvertrouwen kunnen putten.

Niet alleen de mondelinge communicatie is lastig maar ook de schriftelijke, zoals een analyse van rekenmetho- den (ook de realistische) ons kan leren. Verbeeck (1996) inventariseerde een aantal tekorten. Bijvoor- beeld cultureel bepaalde opdrachten ('spaarvarken'), cryptische opdrachten (te weinig informatie), onduide- Iijke opdrachten, opdrachten met te moeilijke woorden. Zulke opdrachten moet de leerkracht dus extra toelich- ten, dat geldt ook voor de Nederlandse kinderen. Inte- ressant is ook de kritiek van Verbeeck op de tekeningen, meestal tekeningen op werkbladen. Soms is er geen en- ke! verband NSseII tekst en tekening en hebben de auteurs dus niet kunnen tegenhouden dat de illustratoren regelmatig lolligheidjes bedenken. Als er we1 een verband is tussen tekst en tekening, dan is die niet steeds eenduidig. Verbeeck geeft op basis van haar kritische analyse een aantal suggesties voor verbetering. Ze pleit ervoor kinderen vragen te laten stellen over een o p dracbt en vooral na te gaan of ze een context juist interpreteren. Aardig is haar suggestie om de kinderen zelf contexten te laten bedenken.

Uit observaties tijdens rekenlessen bleek onder meer dat dlochtone cursisten over onvoldoende taalmiddelen be- schikken om denkrelaties (bijvoorbeeld: ds... dm) te verwoorden en daardoor blijven steken in zeer algemene en weinig precieze formuleringen (Duvigneau en Van den Hurk, 1995). Doorgaans verzuimden tie docen- ten aandacht te besteden aan het gebmik van de juiste begrippen ('rekentaalwoorden'). Het is voor kinderen vaak onduidelijk wat met bepaalde woorden wordt bedoeld. De Britse onderzoekers Durkin en Shire (1991) spreken in dit verband over lexicale ambigufteit. Zo kan het voor kinderen - die immers nog van niets weten - venvarrend zijn dat symbolen vaak door verschillende woorden worden aangegeven. Voor het symbool '=' bijvoorbeeld worden termen gebruikt als: geeft, resul- teert in, is gelijk, betekent, maakt. Zie ook het volgende gespreksfragment.

Lk.: 'Weet je ook wat volume betekent: K. 'la.' Lk.: 'Leg eens uit wat het is.' K.: 'Nou, dat is die knop op het TV toestel.'

In het dagelijkse leven hebben we niet zoveel last van ambiguiteit vanwege de vele situationele 'cues'. In de rekenles echter worden de kinderen vaak onvoorbereid geconfronteerd met woorden als: tafel, maal, hoek, grootheid, macht, verzameling, klein getal, operatie, match, delen en nog veel meer. Durkin en Shire geven enkele waardevolle suggesties om het probleem van de lexicale ambiguyteit aan te pakken. Ten eerste, wees er altijd op bedacht dat woorden ambigue kunnen zijn. Ten tweede, werk secuur met contexten en leg het kind de context-specifieke betekenis uit van begrippen. Ten derde is het l e e m om expliciet conflicten uit te lokken waar ambigue termen aanleiding toe geven. Confronteer de kinderen daarom rechtstreeks met de ambigu'iteit. Dat was in volgende voorbeelden goed mogelijk geweest.

Lk.: 'Nu wil ik een gemakkelijke manier weten om het getal 17 te splitsen.'

K.: '1 en 7.' Lk.: 'Dat is geen 1, dat is een 10.'

Het kind komt er zo niet achter dat het wood splitsen meerdere betekenissen heeft

Lk.: 'Zou je gepast kunnen betalenl' (een pot verf kost f 13,45 en er is een aantal munten en papiergeld weer- gegeven).

K.: 'Ja ...g epast.' Lk.: 'Hoe kun je gepast betalen?' K.: 'Met een pasje betalen.'

Het zou gepast zijn geweest als de leerkracht op de verschillende betekenissen van 'gepast' expliciet was ingegaan. Duvigneau en Van den Hwk vonden in hun onderzcek ook dat de rekenopgaven vaak studievaardigheden ver- onderstelden waar de cursisten niet mee vertrouwd waren. De leerkrachten waren zich hiewan niet voldoende bewust. Vragen stellen (doowragen, stellen van open vragen) en parafraseren van de antwoorden (Biemond, 1996) zijn adequate strategieh om problemen als gevolg van ambigufteit aan te pakken en om het taalgebmik van de kinderen te verbeteren.

3 Instelling, taal en het oplossen van levensechte problemen

In verschillende studies wordt gerapporteerd dat met name op OVB-scholen, dat zijn dus scholen met vaak een hoog percentage allochtone kinderen, veel problemen in het rekenonderwijs voorkomen. Deze proble-

vwrnascholing en onde~mk van hat reken-wiskund8ondenviJs

men worden voor een belangnjk deel verWaard uit de taalachterstand waarmee de kinderen te kampen hebben (Van den Berg e.a., 1993; Joosten e.a., 1994). Zoals we in de vorige paragraaf zagen, konden verschillende onderzoekers preciseren dat het daarbij in het bijzonder gaat om een onvoldoende ontwikkelde woordenschat, te weinig kennis van rekenbegnppen, te algemene formuleringen, het onnauwkeurlg wtdmkken van denhelaties en een te zwak ontwikkelde reflectieve instelling. Maar ook te weinig zelfvertrouwen, te weinig durf en een met een mechamstische (wellicht ook cultuurbepaalde) denktraditie verbonden instelling ten opzichte van rekenen - rekenen 1s niet denken maar zeker weten, schatten is verkeerd want dat is onnauwkeurig - beynvloeden het leren rekenen negatsef.

In een experiment in de volwasseneneducatie vie1 het mij op dat de cursisten vaak een typische instelling ten opzichte van rekenen en leren vertonen (Nelissen 1996). Uit gesprekken met cursisten bleek dat zij rekenen opvatten als zeker weten, dat rekenen een kwestie is van schriftelijk cijferen en niet van hoofdrekenen (dat is immers oncontroleerhaar). Hoofdrekenen vinden ze geen echt rekenen net zo min als rekenen in een context, tenuijl reflecteren wordt gezien als een uiting van onze- kerheid want dan laat je zien dat je nog moet nadenken. Van den Boer (1996) wijst in dit verband erop dat me- moriseren (en dus niet reflecteren of het weken naar de betekenis van een werkwijze) een leerstrategie is die bij allochtone leerlingen sterk 1s ontwikkeld. Voor het feit dat kinderen (vaak onoverkomelijke) problemen ondervinden bij het oplossen van contextpro- blemen, wordt in recente onderzoeksverslagen interes- sante verklaringen gegeven. Het gaat in dit geval om het oplossen van zogenoemde 'word problems' (Greer, 1997) en dat zijn problemen dre geheel aan de realiteit zijn ontleend, levensechte problemen dus. Een voorbeeld: een atleet loopt een mijl in vier minuten en zeven seconden. Hoe lang zal hlj over drie mijlen doen? In de vier onderzoeken die door Greer worden aange- haald vaneert bet percentage van de proefpersonen (tien tot veertien jaar) dat enigszins rekening wenst te houden met de (elsen van de) realiteit van 0 tot 6 procent. Het enige juiste antwoord is natuurlijk dat je niet precies kunt weten hoe lang een atleet over drie mijl doet,'want je weet niet of hij altijd even hard loopt, of hij de ge- woonte heeft mstig te beginnen enzovoort. Verschaffel c.s. (1997) vonden hovendien dat eerste- en derdejaarsjaarsstudenten op de lerarenopleiding basis- ondenvijs voor 80 procent deze problemen zelf fout op- losten. Bovendien waren die studenten van mening dat zulke problemen niet in het reken-wiskundeondenvijs thuishoren: het is geen echt rekenen. Geen wonder dat de kinderen er weinig van terecht brengen als de leraren zelf al geen raad weten met deze 'word problems'. Maar er is nog meer over te zeggen. Zo verklaren Wyndhamn

en Saljf (1997) de moeilijkheden die de kinderen ondervinden, uit het feit dat zij zich richten op desyntaxis van de opgave in plaats van op de betekenis. Dat wil zeggen dat zij als het ware zoeken naar de (voor hen) nog 'verborgen' algoritmen, de vertrouwde rekenregels. Ze speuren dus naar de verborgen rekenkundige operaties en ze denken dat dat van hen wordt verwacht. Het komt niet in hun hoofd op dat ze een levensecht of praktisch probleem moeten oplossen. Met andere woaden, de kinderen gaan uit van een andere 'rationaliteit' zeggen Wynhamn en Salji. We zien hier dat moeilijkheden die kinderen ondervinden met problemen die in taal worden gepresenteerd niet veroorzaakt worden door taalprohle- men (zoals taalzwakte, gebrekkige woordenschat, dyslexle).

Er worden in de onderzoeksliteratuur trouwens ook nog andere verklanngen gegeven voor de geconstateerde problemen. Zo wordt er bijvoorbeeld op gewezen dat kinderen denken dat een probleem dat in de rekenles wordt gepresenteerd, altijd oplosbaar is (Reusser en Stebler, 1997). Die instelllng van de kinderen wordt wellicht nog versterkt door het feit dat lunderen sterk de neiging hebben betekenis te geven aan een probleem en een mogelijke oplossing (Hatano, 1997). De kinderen moeten leren en ervaren (in bijvoorbeeld discussies over wat een probleem is, hoe je over een probleem kunt praten) welke 'sociomaths norms' gelden als basis voor de aanpak van een probleem; andere normen dus (Gra- vemeijer, 1997).

4 Dagelijkse taal en denken vergeleken met de regels van het denken in de reken-wiskundeles

Er is - als we de relatie tussen dagelijks taalgebruik en het taalgebmik en denken in de reken-wiskundeles be- kijken - een probleem dat aandacht verdient, namelijk dat bepaalde denkpatronen die kenmerkend zijn voor het dagelijks leven en de dagelijkse taal problemen op- leveren in de wiskunde en met dat probleem hebben natuurlijk niet alleen OVB-leerlingen te maken. Ik geef enkele voorbeelden. Negatieve concepten of uitspraken zijn over bet algemeen lastiger dan positieve. Een koffieautomaat voorzien van de instructie: 'Indien geen beker dan niet drukken', is vragen om problemen, zoals ik kon observeren. Conjunctieve (groen en rond) begrippen zijn gemakkelijker dan disjunctieve (groen of rond). Zepp (1989) beschijft een experiment waarin aan proefpersonen kaarten werden getoond. De instructie luidde: 'Kaart A is groen of kaart B is zwan'. Dan wordt aan de proefpersonen een rode kaart A getoond en gevraagd om te reageren. De reactie van velen luidt dat

dit niet kan. Echter lettend op het ofmoet het juiste ant- wood zijn: 'Dus B is zwart'. Als in een rekenopgave staat dat je het getal vier of vijf mag kiezen, dan mogen beide gekozen worden. In dagelijkse taal betekent de zin: 'Jan of Piet komt', dat slechts een van beiden komt. Indien de een komt, blijft de ander weg. Dat is een fundamenteel verschil tussen dagelijkse tad en het denken in de wiskunde. Daarom is logisch- wiskundig leren denken moeilijk. De kinderen zijn immers al jaren lang gewend geraakt aan de betekenis van begrippen in de dagelijkse omgangstaal en het denken in die begrippen. In de dagelijkse taal zijn er niet veel regels om ordening aan te brengen en als zeal bekend zijn, gaat men in Ne- derland uiterst vrijzinnig met die regels om. Freuden- thal(1984) geeft een mooi voorbeeld van het verschil in dat opzicbt tussen natuurlijke taal en wiskundetaal:

- bejaarde dames en kinderen; - bejaarde dames en heren.

Hardop gelezen merk je vermoedelijk verschil in betekenis door de pauzes, maar op schrift zou er moeten staan:

- (bejaarde dames) en kinderen; - bejaarde (dames en heren).

Net als (5 + 3) x 7 en 5 + (3 x 7). Het volgende proefje (ontleend aan de psychologen Gi- rotti en Light, 1992) maakt duidelijk hoe groot de afstand is tussen het denken in het dagelijks leven en de wiskunde. De lezer ziet hieronder vier kaartjes liggen. Op elke kaart staat op de ene kant een letter en op de andere kant een cijfer. Op de kaartjes hieronder zien we een A en een D, respectievelijk een klinker en een medeklinker. Op de andere kaartjes een vier en een zeven, respectievelijk een even en een oneven getal (fig.1).

figuur 1

Er geldt nu een regel en die luidt: 'Indien een klinker dan even'. De waag is nu welke kaartjes (of kaartje) moet worden omgedraaid om te kunnen conholeren of men zich aan de regel heeft gehouden. Uit het onderzoek van Girotti en Light bleek dat erg weink mensen (slechts 10 procent) het juiste antwoord gaven. Uit eigen observaties bleek het volgende. De meeste mensen meenden dat de A in elk geval moest worden omgedraaid want daar kon de zeven (oneven) achter zitten. Niet zo veel mensen wilden de D omdraaien, dat is immers een medeklinker. De vier gaf de meeste problemen omdat veel mensen dachten dat er altijd een klinker en een even getal op e n kaartje moet voorkomen. De denkfout die werd gemaakt is dat men de stelling om- keerde: 'Indien klinker dan even' werd: 'Indien even dan klinker'. In bet dagelijks leven wodt zulk een om-

kering namelijk niet als problematisch ervaren. Stel een leerkracht geeft een groep die te nunoerig wordt het volgende standje: 'Als jullie niet rnstig zijn, dan gaan we straks niet spelen'. Stel nu dat de leerkracht de in- middels rustig werkende groep plotseling meedeelt dat het spelen niet doorgaat, dan zou de groep waarschijnlijk verontwaardigd protesteren. Pedagogisch heefi deze leerkracht we1 wat uit te leggen maar strikt geno- men is er niets aan de hand: er is niet gezegd dat niet spelen betekent dat er niet rustig is gewerkt. De situatie lokt uiteraard de omkering van de stelling wM uit. Ove- rigens moet natuurlijk ook het kaartje met de zeven woden omgedraaid, maar dat doen veel mensen we1 goed.

Girotti en Light sloten hun onderzoek af met een herba- ling van het experiment maar nu in een zinvolle context. Een open en een gesloten enveloppe en een enveloppe met een postzegel van vijftig en een van veertig lire (fig.2).

De regel luidde: 'Indien gesloten dan vijftig'. Welke van de vier enveloppen moetje omdraaien om te controleren of men zich aan de regel heeft gehouden? Slechts 10 procent maakte fouten bij het beantwoorden van deze vraag. De meeste mensen zullen de opdracht zo hebben opgevat dat ze moesten controleren of er genoeg port0 was betaald. En zo wed de omkeringsfout voorkomen.

Er zijn nog andere IinguYstische variabelen (Zepp, 1989) die het wiskundig-logisch denken bemoeilijken. Dat zijn hijvoorbeeld ontkenningen (negatie) in de pre- missen. Zoals: 'a is niet x' of 'niet iedere'. Voorts kunnen hetekenissen van begrippen in de dagelijkse taal en de wiskunde verschillen. 'Sommige' betekent in de dagelijkse tad 'niet alle'. Maar als ik zeg: 'Sommige getallen onder de tien zijn even', dan bedoel ik alle even getallen. Zulke betekenisverschillen kunnen negatieve invloed uitoefenen op het oplossen van reken-wiskundige problemen. Wanneer kinderen voor het oplossen van een probleem een tekst moeten lezen en begrijpen, doen zich met andere woorden vaak IinguYstische complica-

v w r MschoNng en onderzoek van het reken-wiskundmnde)1~1Js

ties voor, vwral wat betreft de vocabulaire en de syntaxis (De Corte en Verschaffel, 1990). Woorden als 'to- taal'. 'meer', 'samen' zijn bijvoorbeeld signalen ('ook we1 'verbal cues' genoemd) om direct te gaan optellen. lingu'istische kenmerken van een probleem blijken dus van invloed op het vormen van probleernrepresentaties. Opgemerkt moet worden dat alle kinderen daar last van hebben, maar waarschijnlijk is het zo dat OVB-leerlingen er meer bevattelijk voor zijn omdat zij minder vertrouwd zijn (dan de leerlingen uit sociaal-economisch meer bevoordeelde groepen) met de schooltaal die immers formeler van aard is dan de dagelijkse spreektaal.

Er wordt in de lingui'stiek een interessant onderscheid gemaakt in twee basale taalvaardigheden namelijk 'ba- sic interpersonal communicative skills' (BICS) en 'cog- nitive academic language proficiency' (CALP) (Curn- mins, 1986). Men kan zich voorstellen dat OVB-leerlingen meer vemouwd zijn met BICS dan met CALP, terwijl juist CALP, een academisch-cognitief taalgebruik, op school wordt gevraagd. Cummins introduceert nu nog twee dimensies die het taalgebmik kenmerken, namelijk context-gebonden en niet contextgebonden (ontleend aan Zepp, pag.110; fig.3). Nu kan het zijn, meent hij, dat kinderen slecht presteren op het gebied van wiskunde (maar ook andere vakken) omdat in die gevallen niet contextgebonden taal wordt vereist. We mogen ervan nitgaan dat dew analyse van Cummins gebaseerd is op het traditioneel-formele en niet het realistische (en dus contextrijke) wiskundeonderwijs. De oorzaak van de problemen wordt dan echter ten onrechte (alleen), kritiseert Cummins, in de cognitie gezocht. Indien hij gelijk heeft, is daarmee het belang van contexten - maar ook van een goede doordenking van contexten - nog eens onderstreept.

I m g n i t ~ undemanding 1

wntexl-embedded I cOnte*mdud cognifiveiy demanding

Er kunnen zich hier echter complicaties voordoen. Zo- als al werd opgemerkt, blijken (althans veel volwassen) allochtonecursisten juist een hekel te hebben aan het rekenen in contexten omdat de structuur van de contexten als zodanig weer extra problemen oplevert (Nelissen, 1996). Daarbij komt dat contexten soms weer gedragin- gen oproepen die niet zijn bedoeld.

5 Tweetaligheid en het leren rekenen

Bepaalde talen lijken invloed te hebben op het leren van bijvoorbeeld kleuren en vormen (Zepp, 1989). Interes- santer is wellicht, zoals uit onderzoek bleek, dat de wij- ze waarop in enkele Aziatische talen getallen worden gerepresenteerd het onderwijs in het rekenen vergemak- kelijkt (Miura, 1994). In de onderzoeksliteratuur is nu een hypothese bekend die in algemene zin uitspraken doet over de invloed van de taal op de cognitieve ontwikkeling en het wiskundig denken, de zogenoemde Whorf-hypothese (Gardner, 1987; Zepp, 1989). De hypothese van Whorf (gem wiskundige, geen taalkundi- ge, maar een technisch ingenieur geoccupeerd met brandpreventie) luidt dat ons denken en onze kennisver- wewing wordt bepaald door de taal, dat wil zeggen het linguistisch systeem in ons hoofd. De taal zou alle in- drukken ordenen en daardoor zonden zich mentale structuren ontwikkelen als een functie van de geleerde taal. Uit stndie van het leven en denken van de Hopi-in- dianen concludeerde Whorf dat de Hopi-taal leidt tot Hopi-wiskunde. Engels-wiskunde is voor deze mensen nauwelijks nog te leren, omdat het denken door de Hopi-taal specifieke (andere) structuren opgelegd heeft gekregen. Zo observeerde Whorf dat voor bijvoorbeeld ruimte en tijd de Hopi-taal geen uitdrukkingen kent. De Hopi kan we1 tien mensen maar niet tien dagen zeggen. Dagen komen voor de Hopi na elkaar voor, tien is nu or- dinaal en dus zegt men 'na de tiende dag'.

De hypothese van Whorfis aanleiding geweest tot veel discussie en onderzoek. In een experiment (Zepp, 1989) leerden anderstalige kinderen in het Engels logische relaties. Vewolgens bleek (uit testen) dat dew relaties in de eigen moedertaal uitstekend functioneerden. Willig (1987) concludeert uit een meta-analyse van verschillende ondemken dat Spaans sprekende studenten die tweetalig ondenvijs hadden genoten daardoor beter presteerden op het gebied van de wiskunde, getest zo- we1 in het Spaans als in het Engels. Sinds de jaren zestig zijn studies gepubliceerd (Zepp, 1989) waaruit telkens de vwrdelen van tweetaligheid voor de cognitieve ontwikkeling bleek. Tweetaligheid stimuleerde onder meet de flexibiliteit in denken en het divergent denken en dat zijn karakteristieken van he1 mathematiseren. De verklaring zou zijn dat tweetaligen erin getraind zijn vanuit meerdere opties de werkelijkheid te interpreteren. Bilingui'sten vergelijken de w e e talen en dat gebeurt natuurlijk op een hoger en meet formeel niveau. Toch worden rekenproblemen van allochtone kinderen juist voor een belangrijk deel verklaard nit de tweetaligheid en de achterstand in de Nederlandse taal. Hoe kan dat?

jaargang 16 nummer23

. ~" .,,,, ,,. ,... ...., ., ,,,. .. .~ ".." ,..,.. ,... '.. ~. .,. ., "., '. Hier spelen drie kwesties een rol. Ten eeste hebben 3 e bet over kinderen uit de meest kwetshare bevolkings- groepen (sociaal, economisch en cultureel). Ten tweede betreft het kinderen die niet in strikte zin tweetalig zijn opgevoed. Meestal zijn de kinderen in de moedertaal opgevoed en pas daarna leerden ze Nederlands. Ten derde moet de eerste taal volwaardig ontwikkeld zijn, willen kinderen vewolgens met succes een tweede taal leren (Cummins, 1983). Is dat niet zo dan zullen de kinderen geen van de twee talen volwaardig leren met alle nadelige gevolgen vandien. Dit laatste is het geval op OVB-scholen. Dawe (1983) vond in onderzoek even- eens bevestiging voor de hypothese van Cummins. Dawe onderzocht de samenhang tussen wiskundige in- zichten enerzijds en linguistische competentie in de eei- ste en de tweede taal anderzijds. De wiskundige test werd gegeven in het Engels, de tweede tad. De samenhang tussen de test en de vaardigheden in de eerste taal is groter dan de samenhang met de tweede taal, tenvijl detest in de tweede taal werd afgenomen. De conclusie die Dawe uit het onderzoek trekt, luidt dat structuren verworven in de eerste taal denkprocessen in de tweede taal gunstig beinvloeden.

De achterstand van OVB-leerlingen op het gebied van rekenen-wiskunde wordt, zo zagen we, veelal,verklaard uit een taalachterstand. In eerste instantie wordt dan de tweede taal (het Nederlands) bedoeld, maar vaakis ook sprake van een onvoldoende ontwikkelde eigen taal. Hoe het ook zij, leerlingen uit OVB-scholen - i o is de hypothese - vertonen een achterstand in taalgebmik (hun taal wordt we1 getypeerd als 'restricted,code') en dat beinvloedt het rekenen negatief. Deze hypothese vraagt om enige nuancering. Het is om te beginnen moeilijk aan te tonen dat alleen de taal die tegenvallende prestaties veroorzaakt. Uit onderzoek blijkt dat de achterstand van hllochtone leerlingen (uitgedrukt in examencijfers) op het vak wiskunde groter is dan op bet vak Nederlands (De. Wit, 1996). De Wit noemt daarom de taalachterstand geen 'sluitende verklaring' voor de achterblijvende wiskurideprestaties. De vraag is ook of deze taal we1 van mindete kwaliteit is. In de jaren zeventig is er al voor gepleit de term taal- differentiatie te gebruiken in plaats van taalachterstand. In situaties die vreemd zijn, gebruiken deze kinderen liever de hun vertrouwde 'restricted code', die overigens even complex is als de 'elaborated code' van kinderen uit hogere milieus. Nergens blijkt uit dat deOVB- leerlingen de 'elaborated code' niet zouden kunnen leren. Bovendien meent Zepp dat de verschillen tussen die 'codes' helemaal niet zo groot zijn als men let op de structuur van de conversatie. Die is op school zelfs vaak beperkter, maar ongetwijfeld is er verschil tussende taal van de OVB-leerlingen en de tad van de wiskunde, meent Zepp. Uiteindelijk is de taal van de wiskunde g e decontextualiseerd (dat wil zeggen de wiskunde zelf is de context), tenvijl de taal van de kinderen in zeer hoge

mate gecontextualiseerd is. Er wordt gesproken over za- ken d ~ e de bxhoorder weet of in principe kan weten, er wordt niet vaak vanuit verschillende gezichtspunten g e sproken zoals dat in de wiskunde gebmikelijk is. In de dagelijkse gesprekken kunnen mensen ook steeds af- gaan op de vele situationele 'cues' en op basis daarvan weten ze waarover wordt gesproken. Er werd al gezegd dat dit een uitgangspunt van het realistisch reken-wiskundeondenvijs onderstreept, namelijk uitgaan van rij- ke contexten.

Ten slotte vraagt nog een belangrijke kwestie de aandacht, namelijk of de achterstand in taal en de achterstand in (onder meer) rekenen-wiskunde niet door &n en dezelfde dieper liggende problematiek wordt veroorzaakt. Men kan dan denken aan h k vanuit de 'peer- group' (de ergen groep en het niet mogen opvallen), identificatie met leerlingen met andere belangen en wensen dan leren rekenen, niet gemotivee.rd zijn voor rekenen (niet willen leren, maar geld willen verdienen) en vele sociale problemen waardoor kinderen afhaken.

6 Context, betekenis en wiskunde

Het is voor kinderen soms moeilijk te begrijpen wat volwassenen met al hun vragen bedoelen. Pimm (1991) geeft het volgende sprekende voorbeeld van een ge- sprekje tussen vader en zoon (4;6).

Vader: 'Wat is drie en &en meer? Hoeveel is drie en 66n meet?'

Zoon: 'Drie en wat? Wat e n ? Vader: 'Hoeveel is drie en Mn meer?' h n : 'En mew wat?' Vader: 'Nou gewoon Mn meer, weet je.' Zoon: 'Weet ik niet.'

Zie oak het volgende protocolfragment.

Lk:. 'Gemiddeld leggen drie kippen per dag zeven eieren. Wat betekent dat: gemiddeld?'

K.: 'Dat is dat ding waar kippen hun eieren op leggen.'

Waardoor zouden kinderen in bun ontwikkeling het meest worden gestuurd, door de taal of door het denken? Anders gesteld luidt de vraag of er in de ontwikkeling van kinderen eerst sprake is van denken en ontstaat op bass daarvan de taal? Of is het juist omgekeerd en is er eerst de taal en volgt daarop het denken? Piagetianen menen dat het denken voorop loopt en dat de taalontwikkeling daarop steunt. Vygotskianen bestrijden dat idee. Zij zeggen dat kinderen weliswaar logische begrippen gebruiken, maar die vaak van volwassenen imi- teren. De kinderen zeggen hijvoorbeeld: 'Een steen zinkt omdat ik hem in het water gooide'. Vygotskij meent dus dater eerst de taal is en dat die zich in de omgang met volwassenen ontw~kkelt. De taalkun-

Hmcha voor naxholing en onde~cek van hef reken-wiskundeondewiis

dige Halllday (1978) neemt weer een ander standpunt in. Hij meent dat noch het denken, noch de taal voorop lopen. Waar het klnd het eerst mee in aanraking komt en wat het lund het eerst snapt dat zijn betekenissen, zegt Halliday (maar ook Vygotsky erkent bet belang van betekenissen). Begrippen en cognitieve operaties - denk bijvoorbeeld aan het tellen, aan eerlijk delen, iets op volgorde leggen - zijn niet verbonden met een individu, maar met de gemeenschap waarin een land opgroeit. Halliday spreekt in dit verband van 'soc~al semiotic' en daarmee is bedoeld dat een kind de betekenis van woorden en begrippen in eerste instantie leert in interactie met zljn sociale omgeving. In die omgeving speelt zich immers het leven af, er wordt gegeten, men gaat op stap, er wordt gefeest, gepraat, enzovoort. Dat zijn eigenlijk ook de processen dle Cobb c.s. (1993) op het oog hebben, zij het in een latere fase. Ze pleiten ervoor de kinderen te laten praten over de regels volgens welke je te werk gaat tijdens bet rekenen. Hoe kun je iets uitdmk- ken, wat doe je met fouten?

Het eerste dat een kind dus leert zijn betekenlssen. Het leert die door zijn sociale omgeving. Op basis van die betekenissen ontstaat, wat Walkerdine (1982) noemt, context 'in the mind', zeg maar een mentale context. Nelson (1996) spreekt in dit verband over 'modellen' die het kind vormt van situaties die het kind vaker mee- maakt en die voor het lund betekenis krijgen (denk aan aankleden, boodschappen doen, de trap oplopen, tellen enzovoort). Een mentale context (zie Walkerdine) kan opgevat worden als het geheel van onderling samenhan- gende betekenissen die het denken sturen en de communicatie inhoud geven. Het denken is altijd aan sitnaties gebonden ('situated cognition'). Dat betekent niet z e zeer dat mensen in verschillende contexten denken, maar dat ze anders in verschillende 'practices' hande- len. Daarin doen zich steeds andere 'relations of slgnifi- cation' voor zegt Walkerdine (1997). Walkerdine plelt ervoor om de relatie tussen 'signs' (taaltekens zeg maar) niet puur IinguYstisch op te vatten, dat vindt ze te beperkt. Het denken en de taal, zeker van jonge kinderen, wordt veel beter begrepen op basis van een psycho-se- miotische analyse. Een l~nguist~sche benadering (syntaxis, relatie tussen tekens) IS te formeel, het gaat veel meer om de contextnele en sociale processen: om ge- woonten, tradities, gedrag en gebaren. Taaluitingen kunnen we niet voldoende begrijpen als we 'binnen de taal' blijven (vergelijk 'langue' als formeel systeem en 'parole' als communicatief instrument).

In het voetspoor van Walkerdine zien Cobb, Grave- meijer C.S. (1997) het proces van mathematiseren verlo- pen als 'chains of signification' (Walkerdine zelf verwijst weer naar Lacan die spreekt over 'semiotic chain'). Daarmee is, kort gezegd, het volgende bedoeld. Kinderen zoeken betekenissen en willen die in tekens (representatis) uitdrukken. Die tekens hebben de func-

jaargang 16 nummer 213

tie van 'signifier', bijvoorbeeld: met vijf vingers bedoeld een kind dat het vijf jaar oud is. Met 'chains of signification' wordt het verloop van een mathematise- ringsproces aangegeven waarbij de 'signifier' op telkens hoger niveau functioneert. Bijvoorbeeld: om te beginnen zijn er drie kinderen. Die hebben alle drie een naam. De lunderen vormen de 'signified' en de namen zijn de 'sigmfier'. Vervolgens worden de namen voor- gesteld door drie vingers. De namen worden nu 'signified' en de vingers worden de nieuwe 'signifer'. In een volgend stadium wordt het getal drie uitgesproken: dit is de nieuwe 'signifier'. En zo ontstaan keningen van 'signification'. Er blijft in princ~pe steeds een verbin- dlng met dat wat oorspronkelijk werd gerepresenteerd, namelijk de drie concrete kinderen. Er blijft een relatie met de oorspronkelijke betekenis. Eenzelfde idee vindt men in Freudenthals visie dat er op steeds hoger niveau een nieuwe 'common sense' ontstaat.

Of een kind in staat 1s een probleem op te lossen, meent Wakerdine, zal er sterk van afhangen welke betekenissen dat probleem - en de context waarin het wordt ge- bracht - bij het kind oproept. Zij meent dat een kind veel eerder spontaan afgaat op betekenissen dan dat bet zou letten op de 'logica' van een probleem. Neem het probleem dat Piaget aan de kinderen voorlegde.

'Zijn er meer zwarte koeien of meer koeien? Een plaatje toont allemaal koeien, de meeste njn zwart. 'Meer zwarte', antwoordden de kinderen.

. . ...

Donaldson veranderde de vraag in: . . ... . .. . :.

'Zijn u meer ?wane kocizn of mecr slapende koeien?' Een plaatie loon1 allemaal slapende koeien en de meeste ziin 2w.k 'Meer koeien die siapen9, zeiden de kinderen nu. -

Donaldson verklaarde dit door erop te wijzen dat de kinderen nu logisch de hele verzameling overzien. Walker- dine bestrijdt die verklaring. De kinderen gaan af op de betekenis van allemaal koeien die liggen. Wiskundepre blemen, zei Freudenthal(l984). ontstaan in sltuaties die allereerst in de moedeaaal zijn gefonnuleerd. Die sltuaties ujn betekenisvol, je moet er echter de essentialia uithalen, een vertaling in wiskundige termen zoeken en niteindelijk de uitkomst weer temgvertalen naar de si- tnatie waar je mee bezig was. Freudenthal heeft hier kernachtig uitgedrukt wat Walkerdine bedoelt met: 'From context to text'. Met andere woorden: van taal en betekenis naar formalise~g, oftewel van 'discourse' naar logica. Geschoolde volwassenen begrijpen soms niet goed dat voor kinderen termen, begrippen en mate- rialen nog volstrekt arbritair zijn. Voor hen, zegt Pimm (1991) is 'the conventional meaning so firmly "m" the symbol'. Voor kinderen gelden dan nog andere betekenissen, zoals ook constructivisten benadrukken.

Het loont vaak de moeite alert te zijn op waar kinderen zelf mee komen. IOnderen bedenken soms prachtige,

voor hen betekenisvolle, metaforen om greep te krijgen op hun wiskundige realiteit.

Een vwrbeeld. Een vader praat met zijn zoon (elf jaar) over negatieve getallen. Dat is moeilijk, hij kan zich tach niet goed voorstellen hoe je nu min drie fietsen kunt hebben, Na enkele dagen komt de zoon op het probleem t w g .

Z.: 'Ik denk dat ik het weet van die getallen.' V.: 'Hoe zit het dan denk je?' Z.: 'Er is het Grote Niks.' V.: 'Ja, en wat is dat?' 2.: 'Daarin zitten die getallen.' V.: 'Hoe dan? Z. 'Dat weet ik ook niet precies, maar ik heb we1 een

plek gevonden waar je ze kunt vinden, die plek heet het GmteNiks.' . ' . . . .. .. .

... . . . , : , j : . . .

7 Wiskunde in de taal :, . , . ,: .~:,..:. .:. .. . . . . : . : , < I , . :

In het voorgaande w e d aandacht besteed aan problemen die kinderen in het reken-wiskundeondenuijs kunnen hebben. Er werd gewezen op de gevolgen van een onvoldoende ontwikkelde woordenschat, ambigue g e bmik van termen, onvoldoende kennis van begrippen in het rekenen, cryptische opdrachten, de tegenstelling tussen dagelijks taalgebmik (enhet daarmee verbonden denken) en denkpatronen in het reken-wiskundeonderwijs, de tegenstelling tussen alledaags en 'academisch' en formeel taalgeb~ik, taalachterstand en rekenproblemen bij allochtone kinderen, enwvoort. De nadruk lag in dit artikel tot nu toe dus op de wrgelijke kant van de relatie tussen taal en wiskunde. Er zijn echter ook minder zorgelijke kanten.

Om te beginnen blijken kinderen in onderlinge interactie (en onder begelelding van bekwame leraren) zelf betekenissen ('signs') te kunnen constmeren (Cobb, Gra- vemeijer c.s., 1997). Deze komen tot stand na (soms diepgaande) discussies en geven vervolgens aanleiding tot, en zijn de basis voor, faalgeb~ik dat typerend is voor het mathematiseren en de begripsvomung. De processen die hier plaatsvinden - men realisere zich we1 dat het gaat om cognitieve processen op boog niveau - werd door Walkerdine (1982) getypeerd als 'from context to text'. Volgens Brown (1997) gaat het in wezen steeds om het interpreteren van wat, in de hermeneutiek, in mime zin 'tekst' wordt genoemd. De kritische hermeneutlek ziet 'interpretatie' van tekst als het scheppen van iets nleuws. Wiskunde en mathematiseren, en dus ook alle interache in de klas, is voortdurend onderwerp van hermeneutisch begrijpen. Steeds moet er ~nterpretatie van tekens plaatsvinden zegt Brown, die z~ch net als Wal-

kerdine beroept op het werk van de Saussure. Overigens neemt Brown een nogal radicale positie in met zijn stelling dat wiskunde leren in wezen een hermeneutisch proces is, een pr&es van interpreteren dus.

De tweede minder zorgelijke kant is dat de natuwlijke taal veel aanhopingspunten bevat voor het reken-wiskundeonderwijs, net zo goed als dat er in het dagelijks leven veel wiskunde is te vinden. We spreken nu over wiskunde in de taal waarbij in het ondenvijs kan worden aangesloten zoals Freudenthal en ook Halliday (1978) hebben benadmkt. Halliday spreekt in dit verband over 'register'. Met bet begrip 'register' bedoelt Halliday een geheel van begrippen en betekenissen gerelateerd aan een specifieke functie van de taal, inclusief de stmctu- fen die de begrippen uitdrukken. We kennen een wiskundig, een historiscb, een geografisch, een literair, een kunsthistorisch register, enzovoort. Bij het wiskundig registerkunnen we denken aan hegrippen als twee, vier- kant, meten, vol, leeg, enzovoort. N a m a t e een register (of meerdere registers) beter is (zijn) ontwikkeld, is er sprake van een grotere emdltle. De kinderen nemen (met dat register) uiteraard hun taal mee in de rekenles en - zeggen Halliday en Freudenthal- die eigen taal kan ten volle worden benut om ten eerste in de vorm van contexten de leerstof nnvol te maken, ten tweede om een startpunt voor het ondenvijs te creEren voor de be- gripsvorming. Zoals Walkerdine het zien, moeten we dan we1 de taal van de kinderen vanuit het standpunt van de kinderen interpreteren. Halliday geeft enkele praktische suggesties om de afstand tussen spreektaal en vak- taal (de taal van de wiskunde) in het ondemjs te over- bmggen, zoals:

- op verschillende manieren hetzelfde uitd~kken; - met opzet aarzelen en de kinderen uitlokken om

de gedachtengang af te maken; - voorspellen wat iemand gaat zeggen; - de kinderen zelf laten formuleren.

Door kinderen met elkaar van een tekenprobleem te 1 dachten van de kinderen vwr elkaar en vooral ook voor de leraar toegankelijk. Maar ook laijgt elk individueel kind meer greep op zijn elgen taal en denken, het wordt namelijk gedwongen - bijvoorbeeld als het zich niet hel- der uitdrukt - scherper te formuleren en dat vereist denkwerk. Het zijn de 'mental images' die heel veel voorkomen zegt Pimm (1987). die op deze manier in woorden zichtbaar worden. Het gaat om 'negotiation of meaning and sharing points of view', zoals ook Cobb (1993) en BNner (1996) steeds onderstrepen.

rift voor naschcflng en onderzoek van het reken-wiskundeondenuijs

Taal is dus niet voortdurend iets problematisch. 'Pupils mathematical talk', zoals Pimm zegt - merk op dat hij met opzet van 'talk' spreekt en niet van 'discussion' of 'speech'- maakt reflectie op het eigen denken mogelijk (De Munck, 1996). In de dialoog worden de kinderen gestimuleerd om elkaars ideegn en aanpakken van com- mentaar te voorzien. Daardoor leren de kinderen antici- peren op de kritiek van andered en daar al van te voren rekenlng mee te houden, door zich die kritiek eigen te maken. Tad en dialoog lelden tot reflectie op het eigen wiskundig denken. Kortom, reflectie is geinternaliseer- de dialoog. Maar er is nog iets. In dlalogisch, of interactief, reken-wiskundeondenvijs leren de kinderen zich ook beter uitdrukken. Ze leren luisteren naar wat ande- ren zeggen, ze horen hoe dle formuleren, wanneer een scherpere formulering wenseiljk is, enzovoort. De taal, dle typerend is voor het redeneren op meer formeel nlveau, wordt aldus gestimuleerd. Dat is vooral de taal die kenmerkend is voor bijvoorbeeld het redeneren en be- wijzen.

Interactief reken-wiskundwndenvijs stimuleert de tad- ontwikkeling, dat is hier de stelling. Bedoeld wordt dan met name het taalgebruik dat correspondeert met hogere mentale processen zoals argumenteren, reflecteren, voorstellen, probleemoplossen, schematiseren, blikwis- selmg, enzovoort. Niet alleen op school bedient men zich van deze tad, ook in het dagelijks leven en in de be- roepsuitoefenlng kan men ervan profiteren. Taalkundi- gen lijken over deze stelling soms wat sceptisch, al keert het tij. Zo pleitte Hajer (1996) recentelijk voor interactief onderwijs waardoor niet alleen de vakinhouden b e ter geleerd warden, maar w k de taalvenvervlng wordt gestimuleerd. Zlj constateerde in haar onderzoek - voor- a1 in het natuurkundevak - de neiging de leerlingen slechts in geringe mate tot spreken aan te zetten, waardoor deze nlet tot productieve beheersing van de nieuwe vakconcepten komen, maar oak niet tot de ermee cor- responderende cognitieve activiteiten en begrippen, kan men eraan toevoegen.

Het is in dtt verband interessant aandacht te besteden aan een experiment van de Engelse psychologen Adey en Shayer (1994) waarin zij juist op het gebied van de 'Science' de cognitieve ontwikkeling van lunderen (elf en twaalf jam) trachtten te stimuleren. Zlj gebmikten daarvoor een speciaal ontwikkeld programma CASE genaamd en dat staat voor 'Cognltlve Accelaratlon through Science Education'. Onder 'science' wordt ver- staan vakken op het gebied van de nahlurkunde, schei- kunde en mechanica. Het programma is volgens specifieke kenmerken sa- mengesteld. Centraal stond de vraag hoe het denken kan worden gestimuleerd. Om die d e n werden de kinderen bijvoorbeeld regelmatig voor een interessant cognitief conflict geplaatst, wed mogelijkheid voor discussie en vragen om hulp gegeven en werd reflectie op het pro-

bleemoplossen gestimuleerd. De problemen waren ult- dagend en niet gemakkelijk. Om een idee te geven moesten de kinderen onderstaand probleem oplossen:

'Twee identiekc kken zijn gevuld met knikkm, in de ene heker zilten kle~ne knikkm in de andere a. In welke beker kan nu her meeste water worden gegiten?'

De resultaten van het experiment waren opmerkelijk. Op het gebied van de 'Science' boekte de Science-groep hogere winst dan de controlegroep. Maar veel interes- santer is dat de eerste groep bovendien grote winst boekte op het gebied van de Engelse tad. Hier is sprake van, wat men noemt, 'far-transfer'. De kinderen toon- den meer begrip, creativiteit en verbeelding bij het schrijven van verhalen volgens de voorgeschreven regels. Ze kregen bijvoorbeeld een tape te horen met stemmen. De vraag was te beoordelen wat de visie van BCn van de stemmen zou zijn op een bepaald probleem. Een andere opdracht was een kwestie vanuit een histo- rische en een techniscbe optiek te beschrijven.

De onderzoekers verklaren het succes van hun project uit het interactieve onderwijs ('approaching mathema- tics as a language'). Doordat de kinderen hun redeneer- patronen in de science-context verbeterden, werd ook hogere ordeprocessen gestimuleerd die nodig zijn voor de transfer die werd gerealiseerd.

9 Besluit

aspecten die de relatie tussen taal en rekenen-wiskunde kenmerken belicht. Er lijkt tussen beide vakken soms sprake te zijn van een in- gewikkelde haat-liefde verhouding. Met name de in- stroom van vele allochtone kinderen was (en is) voor ondenoekers aanleiding die verhouding nader te analy- seren. We zagen dat die analyses met name de proble- matische kant van de verhouding belichtten maar dat le- verde we1 praktische suggesties op voor verzoening tussen beide partners. Soms 1s de kwestie betrekkelijk eenvoudig en moet de leerkracht gewoon alerter zljn op het eigen taalgebruik, aandachtiger luisteren naar de taal van de kinderen, zich realiseren dat begrippen on- bekend zijn of meerdere betekenissen kunnen hebben en beter oog krijgen voor wat klnderen bedoelen. Maar we zagen ook dat de verschillen tussen taal en rekenen-wiskunde een diepere oorsprong kunnen hebben. De spreektaal staat een ambiguyteit toe die in de wiskunde problemen oplevert. In de wiskunde worden andere en strengere eisen gesteld aan de redeneertaal en aan die taal van de wiskunde zijn de kinderen niet gewend. Het artikel wordt echter met enkele optimistische geluiden besloten.

taal en betekenis in het realistisch reken-wiskundeonderwijs · daarvan profiteren in de...

Documents