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第4回「原子核殻模型の基礎と応用」
阿部 喬(東大CNS)京大基研
2012年1月11,12日
素核宇宙融合 レクチャーシリーズ
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本講義の目的
• 対象:非専門家向け
• 内容:殻模型 < 核構造 < 低エネルギー原子核物理
• 目標:殻模型計算とは何かを(なんとなく)知ってもらう
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参考文献(オンライン)
原子核物学理入門
• 高田健次郎:インターネットセミナー 「ミクロの世界ーその3ー(原子核の世界)」
http://www.kutl.kyushu‐u.ac.jp/seminar/MicroWorld3/MicroWorld3.html
殻模型の基礎
• 武藤一雄:講義資料(原子核物学理概論、原子核物理学I、原子核物理学)
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/• 大塚孝治:サマースクール資料(第一日目)
http://www.cns.s.u‐tokyo.ac.jp/summerschool/cns‐efes08/lecture_note/Otsuka_Day1.ppthttp://www.cns.s.u‐tokyo.ac.jp/summerschool/cns‐efes08/lecture_note/Otsuka_Day2.ppthttp://www.cns.s.u‐tokyo.ac.jp/summerschool/cns‐efes08/lecture_note/Otsuka_Day3.ppt
殻模型のレビュー論文
• …
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目次
• 核子の一粒子運動と原子核での殻構造
• 閉殻を仮定する(芯のある)殻模型計算の基礎
• 閉殻を仮定しない(芯のない)殻模型による
第一原理計算の概要
• モンテカルロ殻模型
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目次
• 核子の一粒子運動と原子核での殻構造
• 閉殻を仮定する(芯のある)殻模型計算の基礎
• 閉殻を仮定しない(芯のない)殻模型による
第一原理計算の概要
• モンテカルロ殻模型
1日目
2日目
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Single‐Particle Motion of the Nucleons & Nuclear Shell Stcuture
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原子核とは
• 原子核:自己束縛有限量子多体系
• 主な構成要素:核子(陽子 、中性子 )
• 核子:強い相互作用をするバリオン(ハドロンの一種)
• 核種の記法:陽子数(Z)と中性子数(N)で指定(A=Z+N:質量数)
• 表記法:
26Fe3056
mass #
proton #= atomic #
neutron #
Nuclear Symbol isotope: 陽子数が同じ核種isotone:中性子数が同じ核種
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自己束縛有限多体系
• 原子核:
高々300個程度の核子から構成される有限多体系
自己束縛系
– 原子核には中心となる核(芯)がない
– 原子のように中心に(電子に比べ非常に質量がある)原子核がある系とは違う
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非相対論的量子多体系
• 原子核の大きさ:1 ‐ 10 fm (1 fm = 10‐15 m)量子力学
• 対象とするエネルギースケール:– 原子核内の核子の運動エネルギー~ 100 MeV (1 MeV = 106 eV)– 核子の質量 ~ 1 GeV (= 1000 MeV = 109 eV)
非相対論
非相対論的Schroedinger方程式を解く
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原子核の数
• 元素:天然には92種(水素1からウラン92まで)
• 人工に作られたものを含めても約100程度
• 同位体(同位元素):今まで存在が確認されているもので約3000種
• 自然に(安定に)存在するものはそのうち300種• 人工的に作られた(不安定な)原子核は約2000種• 理論的には約6000種の原子核が存在するといわれ、いまだ約3000種近くが未発見。
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Table of Nuclides (Nuclear Chart)http://www.rarf.riken.go.jp/pub/newcontents/contents/sisetu/RIBF.html
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A = 5,8 の安定核は存在しない
• 4He原子核(α粒子)が非常に安定(束縛エネルギーが大きい)
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/NPI05/NPI05_chap03.ppt
A = 5 A = 8
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What is the nuclear structure?
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Electric Structure of the Chemical Elements
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Periodic Table (of the Chemical Elements)http://www.monominami.jp/gensi.html
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ElemenTouchhttp://www.ss.scphys.kyoto‐u.ac.jp/elementouch/
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Wide periodic table
http://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_table
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Ionization Energy (of the Chemical Elements)http://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_table
210
18 3654 86
Noble gases: stable @ Ne = 2, 10, 18, 36, 54, 8618
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• Shell structure of the electrons
Shell Structure of the Chemical Elements
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電子軌道
• 電子のとり得る軌道:主量子数n、方位量子数l、磁気量子数mで分類– 主量子数n:軌道の大きさとエネルギーを決定。1,2,3..と整数値をとり、これは電子殻 K
殻、L殻、M殻…に対応。
– 方位量子数l:軌道の形を決定。0,1,2,...,n‐1の整数値をとり、これはs軌道、p軌道、d軌道、f軌道…に対応。
– 磁気量子数m:各軌道を決定。‐l,‐l+1,...,0,...,l‐1,lの整数値をとる。
主量子数(電子殻) 方位量子数 磁気量子数 軌道名 収容できる電子数
1(K殻) 0 0 1s 2
2(L殻) 0 0 2s 2
1 0, +/‐ 1 2p 6
3(M殻) 0 0 3s 2
1 0, +/‐ 1 3p 6
2 0, +/‐ 1, +/‐ 2 3d 10
4(N殻) 0 0 4s 2
1 0, +/‐ 1 4p 6
2 0, +/‐ 1, +/‐ 2 4d 10
3 0, +/‐ 1, +/‐ 2, +/‐ 3 4f 14 20
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Electron Configuration Diagramhttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%BE%8B
Noble gases: stable (shell closure)
Closed‐shell configuration 21
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Electric Structure of the Chemical ElementsAtomic Nuclides
22
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• Shell structure of the electrons
• Shell structure of the nucleons?
Nuclear Shell Structure
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Periodic Table (of the Chemical Elements)http://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_table
Noble gases: stable @ Ne = 2, 10, 18, 36, 54, 86 24
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Electron Configuration Diagramhttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%BE%8B
Noble gases: stable (shell closure)
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Magic Number (魔法数)
• #(particle) @ the closed shell configurationNoble gas (of the chemical elements):
– 2, 10, 18, 36, 54, 86
Magic Number (of the nuclei): – 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126
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Experimental Evidences
1. Binding energy2. Separation energy3. 1st excited 2+ state of the even‐even nuclei4. Electric quadrupole moment
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1. Binding Energy
• Liquid drop model: Bethe‐Weizaecker mass formula
– Volume: CV = 15.6 MeV – Surface: CS = 17.2 MeV– Coulomb: CC = 0.70 MeV– Asymmetry: Csym = 23.3 MeV – Pairing: δ(A)
http://www.kutl.kyushu‐u.ac.jp/seminar/MicroWorld3/3Part2/3P24/liquid_drop_model.htm
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cont’d
• Binding energy
http://en.wikipedia.org/wiki/Semi‐empirical_mass_formula
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Shell effecthttp://www.kutl.kyushu‐u.ac.jp/seminar/MicroWorld3/3Part2/3P25/magic_numbers.htm
30
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Odd‐even mass differencesBohr ‐Mottelson
8
820
2850 82
2028 50
82 126
31
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2. Separation energyNeutron separation energy
Proton separation energy
82 2028 50 82 126
82 20 28 50 82
N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126
Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82
Bohr ‐Mottelson
Sudden decrease @ the magic #
Shell structure32
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3. Excitation Energy
• 1st excited 2+ state of the even‐even nuclei
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/NPI05/NPI05_chap06.ppt
Z = 14
Z = 16 N = 20 Z = 50
N = 60
N = 62
Relatively high excitation energies: shell closure
33
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4. Electric quadrupole moment 電気四重極モーメントは球対称からのずれ(四重極変形)の尺度
閉殻をなす核子の集まりは球対称
Z = 奇数,N = 偶数の原子核 横軸には Zをとる
Z = 偶数,N = 奇数の原子核 横軸には Nをとる
魔法数の近傍では 0,魔法数の間で大きな値をとる
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/NPI05/NPI05_chap06.ppt
Bohr ‐Mottelson
1 barn = 102 fm2 34
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Nuclei have the magic #.
35
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How can we describe the magic number of the nuclei?
36
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The Nobel Prize in Physics 1963http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1963/
Maria Goeppert Mayer J. Hans D. Jensen
“for their discovery concerning nuclear shell structure” (1949)37
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38
核子の1粒子ポテンシャル
原子核の殻構造が示唆すること
原子核には,核子が占める1粒子軌道がある
1粒子軌道は1粒子 Hamiltonian の固有状態として得られる
1粒子 Hamiltonian は運動エネルギーとポテンシャルからなる
核子は,エネルギーが低い1粒子軌道から順に占有していくと考えられる
どのようなポテンシャルを用いたら,魔法数が説明できるか?
簡単なポテンシャルから考えてみる
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Single‐particle potential
• Shell structure (single‐particle orbits)• ‐> single‐particle potential
Mean field
Independent Particle Model
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簡単な中心力ポテンシャル 1粒子状態の固有値方程式
1粒子ポテンシャルとして,次の3種類の中心力ポテンシャルを考える
調和振動子ポテンシャル :解析的に解が得られる
井戸型ポテンシャル :有限の深さをもつ
Woods‐Saxon ポテンシャル :原子核の電荷密度分布と同じ形
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Single‐particle PotentialsBohr ‐Mottelson
Woods‐Saxon(WS) Potential
Harmonic Oscillator (HO) Potential
HO is simpler, and can be treated analytically.WS is realistic, and
has the same form as the charge‐density distribution.
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Quantum #’s of the single‐particle state
1粒子状態の量子数
演算子 : 1粒子 Hamiltonian と可換で,互いに可換
量子数 :
は動径波動関数のノード数(0 点の個数)
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43
Energy eigenvalue of the single‐particle Hamiltonian
1粒子 Hamiltonian のエネルギー固有値
右図の左から順に,1粒子エネルギーの縮退が解けていく
右端は,Woods‐Saxon ポテンシャルの場合の1粒子軌道
量子数
占有できる核子の数
エネルギーが低い状態から全て占有したときの核子の数
1粒子エネルギーの大きなギャップがあるところが魔法数に対応する
小さいほうから3つの魔法数(2, 8, 20)は再現できるが,それより大きい魔法数は現れない
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スピン‐軌道相互作用
Meyer,Jensen はスピン‐軌道相互作用を提案
1粒子状態の固有値方程式
1粒子状態の量子数
は の z成分
は保存しない
スピン‐軌道相互作用の効果(右図)
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• spin‐orbit term:
• (l+1/2) levels are energetically lower than (l ‐ 1/2) levels.• Spin‐orbit splitting increases w/ growing l
Spin‐orbit force
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中心力ポテンシャル
スピン‐軌道ポテンシャル
原子核の表面付近にピークをもつ
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魔法数の再現
スピン‐軌道相互作用により
の縮退が解ける
軌道のエネルギーが大きく下がり魔法数が再現できる
Z = 82 の魔法数の上
まで閉殻になると Z = 114
寿命の長い超重元素Z = 114 は新しい魔法数?
WS WS + ls
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Neutron single‐particle energyBohr ‐Mottelson
8
2
2028
5082
126
48
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Summary
• Nucleon: Single‐particle motion
• Independent Particle ModelHO (central) potential + LS splitting‐> Mayer‐Jensen’s magic #
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Schematic picture of the single‐particle potential
2
8
20Shell gap
Magic numberShell gap
Shell gap Closed shell(Closed core)0s1/2
0p3/20p1/2
0d5/2
0d3/21s1/2
0f7/2
s‐shell
p‐shell
sd‐shell
Single‐particle orbitNLJ
‐50 MeV
Spin‐orbit splitting
WS (HO) central potential + spin‐orbit interaction
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END
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