Tabla de contenidosAcerca de este eBookAcerca del autorMapa de contenidosIntroducción del eBookCapítulo 1. Función polinomial

Función polinomial 1.1 Ejercicios previos

1.1.1 Ejercicios previos de factorización 1.1.2 Ejercicios previos de división sintética

1.2 Definición de la función polinomial 1.2.1 Grado del polinomio en la función 1.2.2 Coeficiente principal y término constante

1.3 Dominio de la función polinomial 1.4 Raíces de la función polinomial (ceros de la función)

1.4.1 Número de raíces de la función polinomial 1.4.2 Teorema del residuo 1.4.3 Teorema del factor 1.4.4 Teorema fundamental del álgebra 1.4.5 Teorema de Descartes 1.4.6 Teorema de posibles raíces racionales 1.4.7 Multiplicidad de raíces 1.4.8 Teorema de cotas superior e inferior 1.4.9 Aproximacion de raíces irracionales usando el teorema del residuo 1.4.10 Encontrar la función polinomial a partir de las raíces de la función

1.5 Gráfica de la función polinomial 1.5.1 Intersección en el eje “y” 1.5.2 Intersección en el eje “x” 1.5.3 Análisis de gráficas 1.5.4 Graficas de funciones usando recursos tecnológicos 1.6 Aplicaciones en contexto

Actividades del capítulo 1Conclusión del capítulo 1Recursos del capítulo 1Capítulo 2. Función racional

Función racional 2.1 Definición de la función racional 2.2 Dominio de la función racional 2.3 Asíntotas verticales de la función racional 2.4 Coordenadas de huecos de la función racional 2.5 Asíntotas horizontales de la función racional 2.6 Rango de la función racional 2.7 Gráfica de la función racional

2.7.1 Intersecciones con los ejes en el plano cartesiano 2.7.2 Intersección en el eje “x” 2.7.3 Gráfica de la función racional con todos los elementos 2.7.4 Análisis de gráficas especiales 2.7.5 Encontrar la función racional a partir de condiciones dadas 2.7.6 Gráficas de funciones racionales usando recursos tecnológicos

2.8 Aplicaciones en contexto

Actividades del capítulo 2Conclusión del capítulo 2Recursos del capítulo 2Capítulo 3. Función valor absoluto

Función valor absoluto 3.1 Propiedades del valor absoluto 3.2 Encontrar el valor absoluto de un número real 3.3 Distancia entre dos números usando del valor absoluto 3.4 Dominio y rango de la función valor absoluto 3.5 Gráfica de la función valor absoluto

3.5.1 Intersección en el eje “y” 3.5.2 Intersección en el eje “x” 3.5.3 Análisis de gráficas especiales 3.5.3.1 Traslación vertical 3.5.3.2 Traslación horizontal 3.5.3.3 Estiramiento vertical 3.5.3.4 Estiramiento horizontal 3.5.3.5 Reflexión respecto al eje “x”

3.6 Gráficas de funciones usando recursos tecnológicosActividades del capítulo 3Conclusión del capítulo 3Recursos del capítulo 3Capítulo 4. Desigualdades

Desigualdades 4.1 Ley de Tricotomía

4.1.1 Orden de campo de los números reales 4.1.2 Tricotomía de los números reales 4.1.3 Notación y simbología de las desigualdades

4.2 Desigualdad lineal 4.2.1 Propiedades de la desigualdad 4.2.2 Desigualdad lineal 4.2.3 Operaciones de desigualdades lineales 4.2.4 Desigualdad lineal aplicando propiedades 4.2.4.1 Unión e intersección con desigualdades lineales

4.3 Desigualdad cuadrática 4.3.1 Desigualdad cuadrática básica 4.3.2 Desigualdad cuadrática con intervalo, solución y gráfica 4.3.3 Desigualdad cuadrática a partir de la gráfica

4.4 Desigualdad racional 4.4.1 Mayor que 4.4.2 Mayor igual 4.4.3 Menor que 4.4.4 Menor igual

4.5 Desigualdad valor absoluto 4.5.1 Desigualdad valor absoluto básica 4.5.2 Desigualdad valor absoluto con intervalo, solución y gráfica

Actividades del capítulo 4Conclusión del capítulo 4Recursos del capítulo 4Capítulo 5. La recta

La recta 5.1 Nociones preliminares

5.1.1 Componentes de un triángulo rectángulo 5.1.2 Teorema de Pitágoras 5.1.3 Razones trigonométricas 5.1.4 La función Tangente y su relación con el ángulo de inclinación 5.1.5 Características esenciales de los triángulos semejantes

5.2 Distancia entre dos puntos 5.3 Punto medio de un segmento 5.4 Pendiente de una recta 5.5 Ángulo de inclinación de una recta 5.6 Líneas paralelas 5.7 Líneas perpendiculares 5.8 Distancia de un punto a una recta 5.9 Distancia entre dos líneas paralelas 5.10 Rectas y puntos notables de un triángulo 5.11 Aplicaciones en contexto

Actividades del capítulo 5Conclusión del capítulo 5Recursos del capítulo 5Ligas de interésGlosario generalReferenciasAviso Legal ©

Acerca de este eBook

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Y FUNCIONES POLINOMIAL, RACIONAL

Y VALOR ABSOLUTO

VOLUMEN 1

JOSÉ LUIS GONZÁLEZ RODRÍGUEZ

D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2013.

El Tecnológico de Monterrey presenta su primera colección de eBooks de texto paraprogramas de nivel preparatoria, profesional y posgrado. En cada título, nuestrosautores integran conocimientos y habilidades, utilizando diversas tecnologías de apoyoal aprendizaje. El objetivo principal de este sello editorial es el de divulgar elconocimiento y experiencia didáctica de los profesores del Tecnológico de Monterrey através del uso innovador de la tecnología. Asimismo, apunta a contribuir a la creaciónde un modelo de publicación que integre en el formato eBook, de manera creativa, lasmúltiples posibilidades que ofrecen las tecnologías digitales. Con su nueva EditorialDigital, el Tecnológico de Monterrey confirma su vocación emprendedora y sucompromiso con la innovación educativa y tecnológica en beneficio del aprendizaje delos estudiantes.

www.ebookstec.com

ebookstec@itesm.mx

Acerca del autor

JOSÉ LUIS GONZÁLEZ RODRÍGUEZ

Es profesor del Tecnológico de Monterrey, Campus Querétaro.

Es Ingeniero Bioquímico por el Tecnológico de Monterrey, Campus Guaymas, cuentacon la Maestría en Finanzas y la Maestría en Administración de Empresas por elTecnológico de Monterrey, Campus Querétaro.

Es profesor certificado en control estadístico de calidad. Ha participado en cursos,diplomados y proyectos relacionados con estadística, evaluación de proyectos deinversión, trabajo en equipos de alto desempeño, control de calidad, desarrollo deposición competitiva, desarrollo de habilidades gerenciales, liderazgo, trabajocolaborativo, aprendizaje basado en problemas y desarrollo de competencias docentesentre otros.

Desde 1986 participa como profesor de planta del departamento de matemáticas depreparatoria en las áreas de: Álgebra, Trigonometría, Geometría Analítica y CálculoDiferencial e Integral.

Ha sido distinguido con el premio Borrego Dorado como el mejor profesor de laPreparatoria en dos ocasiones.

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Mapa de contenidos

E

Introducción del eBook

l aprendizaje de las matemáticas es un reto por su nivel de abstracción pero es relevante porlas aplicaciones que tiene en su entorno. La geometría analítica y las funciones, permiten

modelar fenómenos y situaciones de la vida real por lo que es importante analizar los elementosmatemáticos que las caracterizan y poder aplicar el conocimiento adquirido en la solución deproblemas en contexto.

Para reforzar el análisis de los elementos matemáticos se apoyará en herramientas quefacilitan la comprensión del conocimiento y se potencializan con el uso de tecnología donde sepodrá verificar el comportamiento de tu interés.

Este eBook contiene explicaciones, ejemplos y ejercicios que te permitirán aprender lasmatemáticas con diferentes niveles de dificultad y te permitirán interactuar con instrumentosdonde podrás aplicar tu conocimiento. Se espera que al usar este eBook se disfruten lasmatemáticas y se logre la confianza necesaria para aplicar el conocimiento adquirido en soluciónde problemas en contexto.

E

Capítulo 1. Función polinomial

Función polinomial

n esta sección se define la función polinomial y se determinan sus elementos específicos. Unaspecto importante es analizar el comportamiento gráfico de la función, por lo que se debenidentificar las características principales de una función polinomial: número de interseccionescon el eje “x”, intersección con el eje “y”, cambio en el signo del coeficiente principal y elconcepto de multiplicidad de los ceros de la función.

Para reforzar el análisis de la función polinomial se apoyarán en las herramientas quefacilitan la comprensión del comportamiento gráfico como el teorema del residuo, el teorema delfactor, el teorema fundamental del álgebra; así como establecer la relación entre el grado delpolinomio y el número de raíces; finalmente determinar los ceros racionales de un polinomio,definir el teorema de los ceros complejos nos darán elementos para analizar y entenderfenómenos modelados a través de este tipo de función.

1.1 Ejercicios previosLos ejercicios previos son importantes para tu aprendizaje, ya que la habilidad matemática se

va adquiriendo con la práctica.

Estos ejercicios te ayudarán a recordar conceptos básicos que has trabajado con anterioridady te permitirán trabajar esta sección del libro con confianza y fluidez.

La práctica te llevará a lograr tus metas.

1.1.1 Ejercicios previos de factorizaciónEstas son las formulas más representativas que usarás en este curso:

1.1.2 Ejercicios previos de división sintéticaLa división sintética es útil para encontrar los valores de la función polinomial.

La división se hace en donde el binomio (x - a) debe tener características muyespeciales:

• El exponente de la variable “x“ debe ser uno

• El coeficiente de la variable “x“ debe ser uno

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Números y geometría en la Naturaleza

Video división sintética

1.2 Definición de la función polinomialUna función polinomial está definida por:

Características de la función:

• Donde son números reales y

• n es un número entero no negativo

• Sólo usan operaciones de suma y resta

• La gráfica de la función es una curva continua

• La función lineal y la función cuadrática son conside-

radas funciones polinomiales

1.2.1 Grado del polinomio en la funciónA partir de la función:

El grado del polinomio es el exponente de la variable que tiene el valor numérico mayor. Deacuerdo a la función polinomial, se debe ordenar los exponentes de mayor a menor, por lo tanto:

El grado del polinomio es el exponente n

Ejemplos:

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Vídeo

Función polinomial

1.2.2 Coeficiente principal y término constanteA partir de la función:

El coeficiente principal de la función es representado por y acompaña a la variable conel exponente mayor que determina el grado del polinomio.

El término constante es representado por y acompaña a la variable de exponente cero,por lo tanto la variable no se escribe.

Ejemplos:

1.3 Dominio de la función polinomialA partir de la función:

El dominio de la función es el conjunto de valores que pueden sustituirse por la variable “x”(valores que puedes usar).

Por lo general en la función polinomial el dominio es representado por el conjunto de losnúmeros reales, ya que una de las características es que es una función continua.

En un contexto cotidiano alguna función polinomial puede tener un dominio restringidodependiendo el fenómeno que interprete.

Ejemplos:

1.4 Raíces de la función polinomial (ceros de la función)

Las raíces de la función son los valores que toma la variable “x” para que la función tenga unvalor de cero “y” = 0

A la raíz de la función también se le conoce como cero de la función. Ejemplo:

Esta sección tiene diferentes herramientas que ayudarán a encontrar los ceros de la función ypermitirán analizar y entender el comportamiento de la función polinomial.

1.4.1 Número de raíces de la función polinomial

El número de raíces de la función polinomial es obtenido a partir del grado del polinomio.

Ejemplos:

1.4.2 Teorema del residuoEstablece que si un polinomio f(x) se divide entre el binomio (x - a), donde a es cualquier

número real o complejo, entonces el residuo es f(a).

La división del polinomio se puede resolver por división tradicional o por mediode la división sintética.

Ejemplo:

Al resolver la división se obtiene el residuo de -8.

Esta operación equivale a evaluar f(2) = -8 y por lo tanto tener las coordenadas de (2, -8).

1.4.3 Teorema del factorEstablece que si el residuo de dividir un polinomio f(x) entre el binomio (x - a) es cero,

entonces el binomio (x - a) es un factor de la función.

Este teorema es útil pues ayuda a factorizar las funciones polinomiales.

Ejemplo:

Al resolver la división se obtiene el residuo 0 de (x - 3) entonceses un factor de la función.

Esta operación equivale a resolver f(3) = 0 y por lo tanto tener las coordenadas de (3, 0).

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Video

1.4.4 Teorema fundamental del álgebraEstablece que una función polinomial en una variable que no sea constante y tenga

coeficientes complejos tendrá la misma cantidad de ceros como lo marca el grado del polinomio.

1. Debes ordenar la función exponencial con base en losexponentes de las variables (de mayor a menor exponente).

2. Recuerda que el número de raíces es igual al grado delpolinomio.

3. Evaluar si existen raíces con valor cero:

Si hay término constante en la función NO existen raíces convalor cero.

Si no hay término constante en la función, SÍ existen raícescon valor cero y por lo tanto en la función se puede factorizar lavariable.

La cantidad de raíces con valor cero será el exponente mayorde la variable que se debe factorizar.

Es importante mencionar que el número de ceros equivale al número de factores lineales quetiene la función polinomial.

1.4.5 Teorema de Descartes Establece que se puede encontrar la cantidad posible de raíces de acuerdo a los signos. Para

ello se analiza los cambios de signos de términos consecutivos que tiene la función polinomial.

Procedimiento:

4. Evaluar si existen raíces con valor positivo:

El número de variaciones de signos de la función f(x) será lacantidad de raíces positivas. Como son posibilidades, al númeroanterior se le va restando de 2 en 2 hasta llegar al menor númeropositivo o cero.

5. Evaluar si existen raíces con valor negativo:

El número de variaciones de signos de la función f(- x) será lacantidad de raíces positivas. Como son posibilidades, al númeroanterior se le va restando de 2 en 2 hasta llegar al menor númeropositivo o cero.

6. Elaborar una tabla resumen de posibilidades y se evalúa siexisten raíces imaginarias:

Las raíces imaginarias se obtienen al sumar todas las raícesanteriores y determinar cuántas raíces falta para completar el total.Es importante mencionar que este tipo de raíces siempre sepresentan en número par.

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Video de Descartes

1.4.6 Teorema de posibles raíces racionales

A partir de la función:

1. Se obtienen todos los números factores del coeficiente principal

2. Se obtienen todos los números factores del término constante

3. Se realizan todas las combinaciones de los factores del término constante entre todos losfactores del coeficiente principal.

4. Todas las combinaciones de posibles raíces racionales anteriores pueden ser raíces

positivas o negativas, por lo tanto todos deben llevar ambos signos

1.4.7 Multiplicidad de raícesSe dice que una raíz tiene multiplicidad cuando el valor de la variable “x” se repite como

solución dentro de la ecuación.

A partir de la función:

El número de veces que se repite la raíz es igual al valor de la multiplicidad de la raíz:

Cuando el valor de la multiplicidad es un número par, la gráfica rebota en el eje x en el valorde la raíz; si el valor de la multiplicidad es un número non, la gráfica cruza el eje ”x” en el valor dela raíz.

1.4.8 Teorema de cotas superior e inferiorA partir de la función:

1.-Usando la división sintética dividir la función f(x) entre el binomio (x - a), en donde a > 0 y a se obtiene de la lista de las posibles raíces racionales y si en el tercer renglón de la divisióntodos los signos son iguales entonces a es una cota superior.

Esto indica que a la derecha del valor de a NO habrá raíces en la función.

2.-Usando la división sintética dividir la función f(x) entre el binomio (x - a) en donde a < 0 y ase obtiene de la lista de las posibles raíces racionales y si en el tercer renglón de la divisióntodos los signos son alternados (+ - + -) entonces a es una cota inferior.

Esto indica que a la izquierda del valor de a NO habrá raíces en la función.

1.4.9 Aproximacion de raíces irracionales usando el teorema del

residuoA partir de la función:

Si durante la tabulación dos números consecutivos para la variable “x” tienen un valor designo diferente en la variable “y”, entonces la función debe cruzar el eje “x” y por lo tanto entrelos dos valores de la variable “x” existe una raíz.

Ejemplos:

Entre 2 y 3 existe una raíz.

Entre 4 y 5 existe una raíz.

1.4.10 Encontrar la función polinomial a partir de las raíces de lafunción

Se puede encontrar los componentes de la función polinomial si se conocen las raíces de lafunción y alguna otra característica como el signo del coeficiente principal o las coordenadas deun punto que deba cumplir el desplazamiento gráfico de la función.

Si se conocen las raíces de la función, normales o raíces imaginarias:

• Se debe igualar a cero cada una de las raíces

• Al igualar a cero se tendrá un factor por cada raíz

• Se juntan los factores y se iguala a f(x)

• Se multiplican los factores y se encuentra la función polinomial:

Ejemplo:

Función:

1.5 Gráfica de la función polinomialPara graficar es importante conocer las coordenadas de los puntos que componen la función.

Las coordenadas se pueden obtener encontrando los valores de la función a través de lasustitución de la variable en la función; a este proceso se le conoce como tabulación.

La tabulación de la función también se puede obtener a partir del teorema del residuo.

El signo del coeficiente principal es determinante en el comportamiento gráfico de la función.

Las intersecciones con los ejes del plano cartesiano son parámetros claves.

Las gráficas son importantes pues a través del análisis de su comportamiento es posibleinterpretar situaciones cotidianas y fenómenos naturales de gran utilidad.

Te recomiendo usar una calculadora graficadora o un software graficador como Derive,Winplot, Turboplot, Graphing package, Graphmatica, etc.

1.5.1 Intersección en el eje “y”La intersección en el eje “y” se obtiene cuando la variable “x” tiene un valor de cero.

A partir de la función:

La intersección en el eje “y” es el término constante de la función

1.5.2 Intersección en el eje “x”La intersección en el eje “x” se obtiene cuando la variable “y” tiene un valor de cero.

A partir de la función:

Se encuentran las raíces y los valores de las raíces serán las intersecciones.

El número de intersecciones depende del número de raíces de la función.

1.5.3 Análisis de gráficas

1.5.3.1 Transformación gráfica de funciones polinomiales:A partir de una función básica, la gráfica de la función se puede mover y transformar

dependiendo las variable que se modifique.

La gráfica se puede mover:

1. Verticalmente

• hacia arriba

• hacia abajo

2. Horizontalmente

• hacia la derecha

• hacia la izquierda

3. Contracción o alargamiento horizontal

4. Contracción o alargamiento vertical (amplitud)

5. Se puede reflejar su comportamiento respecto al eje “x”

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Función polinomial, gráfica

1.5.3.2 Gráfica de funciones polinomial con exponente “n” par:A partir de una función básica, la gráfica de la función se puede mover y transformar

dependiendo las variable que se modifique.

La gráfica se puede mover:

1. Verticalmente

• hacia arriba

• hacia abajo

2. Horizontalmente

• hacia la derecha

• hacia la izquierda

3. Contracción o alargamiento horizontal

4. Contracción o alargamiento vertical (amplitud)

5. Se puede reflejar su comportamiento respecto al eje “x”

1.5.3.3 Gráfica de funciones polinomial con exponente “n” non

A partir de una función básica, la gráfica de la función se puede mover y transformardependiendo las variable que se modifique.

La gráfica se puede mover:

1. Verticalmente

• hacia arriba

• hacia abajo

2. Horizontalmente

• hacia la derecha

• hacia la izquierda

3. Contracción o alargamiento horizontal

4. Contracción o alargamiento vertical (amplitud)

5. Se puede reflejar su comportamiento respecto al eje “x”

1.5.3.4 Cambio de signo del coeficiente principal de la funciónpolinomial

A partir de una función básica:

La gráfica de la función se puede reflejar respecto al eje “x”.

No importando si el exponente es par o el exponente es non, la reflexión se da en amboscasos al cambiar el signo de todos los sumandos de la función.

1.5.3.5 Comportamiento de la función cuando tiende al infinitoEl comportamiento de la función polinomial cuando la variable “x” tiende a evaluar un valor

muy grande que tienda a infinito, dependerá del grado de la función y el signo del coeficienteprincipal.

1.5.3.6 Obtención de la función polinomial a partir de la gráfica:La función polinomial:

Se puede obtener a partir de la gráfica:

• Se identifican las raíces de la función (cruces en el eje “x”)

• Se debe igualar a cero cada una de las raíces

• Al igualar a cero tendremos un factor por cada raíz

• Se juntan los factores y se iguala a f(x)

• Se multiplican los factores y se encuentra la función polinomial

1.5.4 Graficas de funciones usando recursos tecnológicosGrafica las funciones polinomiales por medio de tabulación normal, auxiliándote en:

• El teorema del residuo

• El signo del coeficiente principal

• Las intersecciones con el eje “X”

• La intersección con el eje “Y”

Grafica las funciones polinomiales por medio de recursos tecnológicos auxiliándote en:

• Calculadora graficadora

• Software graficador de tú elección como: Derive, Winplot, Turboplot, Graphing package,Graphmatica, etcétera.

1.6 Aplicaciones en contexto

La función polinomial tiene aplicaciones en diversos campos de la vida diaria.

Aquí tienes algunos ejemplos de dichas aplicaciones al usar los elementos y características dela función polinomial.

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Matemáticas aplicadas

Matemática en la medicina

Actividades del capítulo 1Actividad

Ejercicio integrador

Conclusión del capítulo 1La función polinomial es una de las funciones más relevantes; con esta función es factible

modelar la mayoría de las actividades que desarrollan las personas y muchos fenómenos que seobservan en la naturaleza. La función polinomial tiene diferentes grados de complejidad y estopermite abarcar situaciones sencillas o complejas, en consecuencia, su estudio de lascaracterísticas de la función permiten evaluar el comportamiento de un suceso o fenómeno, o lapredicción y esperanza de un resultado a partir del comportamiento de la función.

Por lo tanto, es importante el estudio de las herramientas de la función polinomial quepermiten entender los elementos y características de la función para elaborar un análisis dedescripción de la función tomando en cuenta el uso de las herramientas aprendidas en estasección.

El relacionar las herramientas matemáticas de la función polinomial con el entorno permitirá modelar situaciones de la vida que lleve a tener mejores procesos mejores, decisiones asertivasy predecir posibles problemas al tener conocimiento del comportamiento de la función.

Recursos del capítulo 1» Arte y Ciencia Exposiciones en el Congreso Internacional de Matemáticos:

http://arqtipo.com/?p=116

» Centro de Divulgación de las Matemáticas: http://divulgamat.ehu.es/

» Massachusetts Institute of Technology Department of Mathematics: http://math.mit.edu/

» Matemáticas y Biología unidas avanzan en el estudio de las proteínas:http://www.madrimasd.org/informacionidi/noticias/noticia.asp?id=39539

» Mathworld Wolfram: http://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html

» Sector Matemática: http://www.sectormatematica.cl/