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5
Tabla de contenido Página
Ecuaciones diferenciales 3
Teoría preliminar 3
Clasificación de las ecuaciones diferenciales 4
Por tipo 4
Por orden 5
Por linealidad 6
Solución de una ecuación diferencial 7
Definición 7
Problema del valor inicial 10
Teorema 11
Separación de variables 12
Ecuaciones homogéneas 20
Solución de ecuaciones diferenciales homogéneas 23
Método de solución de una ecuación
diferencial homogénea 24
Resumen 30
Bibliografía recomendada 30
Párrafo nexo 30
Autoevaluación formativa 31
5
2
Copyright©1999 FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN
Facultad de Ingeniería de Sistemas.
Sistema de Educación Abierta y a Distancia.
Santa Fe de Bogotá, D.C.
Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por
escrito del Presidente de la Fundación.
La redacción de este fascículo estuvo a cargo de
JAIME PRECIADO LOPEZ
Sede Santa Fe de Bogotá, D.C.
Diseño instruccional y orientación a cargo de
MARIANA BAQUERO DE PARRA
Diseño gráfico y diagramación a cargo de
SANTIAGO BECERRA SAENZ
ORLANDO DIAZ CARDENAS
Impreso en: GRAFICAS SAN MARTIN
Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825
Santa Fe de Bogotá, D.C.
5
3
Ecuaciones diferenciales En éste fascículo y en los restantes del curso, dejaremos de lado las
aplicaciones de las funciones de dos o más variables y comenzaremos
el estudio de las ecuaciones diferenciales, un área de las matemáticas
de mucha aplicación a nivel industrial y científico.
Para comenzar, daremos algunas definiciones importantes que nos per-
mitirán el estudio de diferentes tipos y métodos de resolución y aplica-
ción de estas ecuaciones.
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Reconoce y distingue una ecuación diferencial.
Clasifica ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo, orden y
linealidad.
Reconoce la diferencia entre una solución particular y una solución ge-
neral de una ecuación diferencial.
Identifica ecuaciones diferenciales de variables separables y homogé-
neas.
Emplea correctamente el método de solución de variables separables.
Resuelve ecuaciones diferenciales homogéneas de forma correcta.
Teoría preliminar
Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene algunas de
las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una
o más variables independientes.
Son ejemplos de ecuaciones diferenciales:
5
4
)()(
tan
'
'''
'
'
xfxxf
xyy
y
v
x
u
ydx
dyx
dx
yd
xy
xy
5
5
025
0
2
2
2
Podemos observar que estos ejemplos satisfacen la definición de ecua-
ción diferencial, ya que son ecuaciones que contienen derivadas de di-
ferente orden y tipo (derivadas ordinarias y parciales); en ellos hemos
utilizado las distintas notaciones de derivada. De manera más informal y
reconociendo estos ejemplos podemos afirmar que una ecuación que
contenga derivadas corresponde a una ecuación diferencial.
Clasificación de las ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar según su tipo, orden y
linealidad.
Por tipo
Como pudimos ver en los ejemplos anteriores, una ecuación diferencial
puede contener derivadas ordinarias o derivadas parciales. Una ecua-
ción diferencial que contiene derivadas ordinarias se conoce como
ecuación diferencial ordinaria y una ecuación que contiene derivadas
parciales se conoce como ecuación diferencial parcial.
Son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:
5
5
yy
xdx
yd
yyy
senxydx
dy
'
'''''
cos 02
2
Son ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales:
t
z
y
z
x
z
ux
u
x
u
y
vy
x
ux
y
v
x
u
2
0
2
2
2
2
Por orden
La derivada de mayor orden que aparezca en una ecuación diferencial
determina el orden de la ecuación; así, por ejemplo:
xyy tan''' 2
es una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden.
03 2
3
x
dx
dy
es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y,
53
3
4
5
t
u
x
u
es una ecuación diferencial parcial de quinto orden.
5
6
La ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes y
útiles; sin embargo, su manejo requiere del conocimiento pro-
fundo de las ecuaciones diferenciales ordinarias, por esta ra-
zón limitamos nuestro estudio a estas últimas. Si después de
este curso deseas profundizar, puedes consultar textos espe-
cíficos de ecuaciones diferenciales parciales.
Por linealidad
Una ecuación diferencial es lineal si satisface las dos condiciones si-
guientes:
i) La potencia de todos los términos de la variable depen-
diente (generalmente llamada y ), es uno.
ii) Los coeficientes que aparezcan en la ecuación depen-
den solamente de la variable independiente (general-
mente llamada x )
En símbolos una ecuación diferencial lineal tiene la forma:
)()()()()( xhdx
ydxa
dx
ydxa
dx
dyxayxa
n
n
nn
n
n
1
1
110
donde )(xa i es función de x
Si una ecuación diferencial no es lineal, se dice no lineal. Son ejemplos
de ecuaciones diferenciales lineales:
02 yy''
(1)
xxydx
dy
dx
ydx 65
3
32
(2)
xesenxxy 35 ''
(3)
5
7
xxsendx
dy 225 cos (4)
Podemos clasificar estos ejemplos como: las ecuaciones (1) y
(3) son ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo
orden, la ecuación (2) es una ecuación diferencial ordinaria lineal
de tercer orden y (4) es una ecuación diferencial ordinaria lineal
de orden uno.
8.1
Las ecuaciones que siguen a continuación son ecuaciones diferen-
ciales no ordinarias, identifica el por qué.
1. senxyyy ''
2. 03
yxy tan''
3. xyy cos' 2
4. 0y
xy
'''
Solución de una ecuación diferencial
Como ya lo dijimos, nuestro objetivo es dar solución a algunas ecuacio-
nes diferenciales, pero ¿qué significa dar solución a una ecuación dife-
rencial?; esta pregunta nos la resuelve la siguiente definición.
Definición
Una función y cualquiera, definida en algún intervalo I, es la solución
de una ecuación diferencial en dicho intervalo, si al sustituir y y sus de-
rivadas en la ecuación la reduce a una identidad. Veamos algunos ejem-
plos.
5
8
Ejemplo
La función cy
y 4
4
es la solución general de la ecuación diferencial.
03 xdx
dy (1)
ya que si derivamos y obtenemos:
3x
dx
dyy '
y al sustituirla en (1), la convierte en la entidad
033 xx
En este ejemplo hemos empleado, para la solución de la
ecuación, una constante C arbitraria; esto significa que C po-
dría tomar cualquier valor, y por cada valor de C tendríamos
una solución, lo que significa, a su vez, que la solución de es-
ta ecuación diferencial no es una sola función, sino todo un
conjunto de funciones que se acostumbra llamar familia de
soluciones.
En el ejemplo que sigue a continuación, la constante arbitraria es A.
Ejemplo
La familia de funciones kt
Aey , con A constante arbitraria, son solu-
ciones de la ecuación diferencial
kydt
dy (1)
veamos, kt
Akedt
dyy '
al sustituir y y '
y en (1) se convierte en la
identidad
ktktAkeAke
5
9
Ejemplo
La función senxy es una solución de la ecuación diferencial lineal
de segundo orden
0 yy''
(1)
si encontramos la segunda derivada de la función solución tenemos:
senxy
xy
senxy
''
'cos
al sustituir y y ''
y en 91) obtenemos la identidad
osenxsenx
Una solución de una ecuación diferencial que no contiene
constantes arbitrarias se llama Solución Particular de la Ecua-
ción Diferencial.
8.2
a. Para los problemas del 1 al 6 establece el orden, el tipo y la lineali-
dad de cada ecuación:
1. 012 yyy'''
2. 0442
2
ydx
dy
dx
yd
3. yy ''
4. 02
'''yy
5. 022
2
dx
dy
dx
ydx
6. 099 yyyy''''''
5
10
b. Para los numerales del 7 al 11 verifica que la función y dada es
una solución de la ecuación diferencial. Considera 1C constante.
7. 8324 yyy ;'
8.
teyy
dt
dy 20
5
6
5
62420 ;
9. 2
2 102
xyxydxdyx ;
10. 13
xyyxyy ;''
11.
11
22
4
12 cxcyyyxyy ;
''
Problema del valor inicial
Llamamos problema de valor inicial al problema de hallar la solución de
una ecuación diferencial sujeta a una condición 00 yxy )( ; a esta
condición se le llama Condición Inicial.
Ejemplo
Resolvamos la ecuación diferencial xdx
dy2 (1), con la condición
52 )(y .
Es fácil observar que la familia de soluciones cxy 2 dan solución
a (1), pero ahora queremos que la solución satisfaga la condición
52 )(y , es decir que cuando 2x se tenga 5y . Si remeplaza-
mos estos valores en la familia de soluciones tenemos:
c 225
de donde c1
Es decir que la solución de la ecuación diferencial (1) con la condición
52 )(y es 12 xy .
5
11
Podemos concluir que la solución de un problema de valor inicial no es
una familia de curvas, sino una única curva, en la figura 8.1 se muestra
la familia de curvas para distintos valores de c = -1,0,1,2,3. la curva so-
lución es la que corresponde a c = 1.
Ahora que hemos solucionado un problema de valor inicial, es natural
preguntarnos si es posible encontrar siempre la solución a este tipo de
problemas; para contestar dicho interrogante podemos hacer uso del
teorema que sigue a continuación, él nos dará las herramientas suficien-
tes.
Teorema
Sea R una región rectangular en el plano xy definida por
dycbxa , que contiene al punto 00 yx , en su interior.
Si yxf , y
y
f
son continuas en R, entonces existe un intervalo I
con centro en 0x y una única función )(xy definida en I que satisface
el problema de valor inicial.
5
12
Este teorema es uno de los teoremas más populares para ecuaciones
diferenciales de primer orden porque los criterios de continuidad de
yxf , y
y
f
son fáciles de verificar. La figura 8.2 ilustra este teore-
ma.
Ejemplo
Sea la ecuación diferencial 23 3yx
dx
dy .
Sea 23 3yxyxf , y su derivada yy
f6
son funciones
continuas en todo el plano xy , por tanto el teorema garantiza que por
cualquier punto 00 yx , pasa una y solo una solución de la ecuación
diferencial.
Hasta el momento hemos dado la teoría preliminar que permite comen-
zar el trabajo con las ecuaciones diferenciales; vamos a trabajar algunos
métodos cuya aplicación lleva a la solución de ecuaciones diferenciales.
Separación de variables
Una ecuación diferencial lineal de primer orden que se puede expresar
de la forma
5
13
La técnica de separación
de variables fue aplicada
por primera vez en 1960
por Jean Bernoullí.
)()( yfxgdx
dy (1)
se llama ecuación separable; el nombre separable se da a la ecuación
por el hecho que su lado derecho se puede “separar” como una función
en la variable y y otra en la variable x .
La ecuación que sigue es equivalente a (1)
)(
)(
yh
xg
dx
dy (2)
si reformulamos (2) en términos de diferenciales tenemos:
dxxgdyyh )()( (3)
Observa que hemos separado todas las y a un lado de la ecuación y
todas las x al otro lado.
Ahora, si integramos ambos lados de (3), obtenemos:
dxxgdyyh )()( (4)
Si llevamos a cabo la integración podemos encontrar y implícitamente
en función de x , es decir, podemos encontrar la función y que satisfa-
ce la ecuación diferencial (1).
Veamos algunos ejemplos de aplicación de separación de variables.
Ejemplo
Resolvamos la ecuación diferencial xdx
dy2cos (1).
Debemos reconocer esta ecuación como una ecuación separable, por
tanto, si hacemos separación de variables obtenemos:
5
14
xdxdy 2cos
integrando ambos lados tenemos:
212
2
2
cxsen
cy
xdxdy
cos
1c y 2c corresponden a las constantes de integración, haciendo trans-
posición tenemos
122
2cc
xseny
Si hacemos 12 ccc tenemos
cxsen
y 2
2
Por tanto la familia de soluciones de la ecuación diferencial (1) es
cxsen
y 2
2, ¡compruébalo!
El trabajo de operar 1c y 2c hasta convertirlo en c , siempre
tendríamos que hacerlo como en el ejemplo anterior; por esta
razón siempre que apliquemos este método podemos colocar
una sola constante; en los ejercicios que restan, siempre lo
haremos utilizando solamente c .
Ejemplo
Resolvamos el problema de valor inicial 22 yy'
sujeto a la condi-
ción
2
1y .
Hagamos separación de variables en la ecuación dada
5
15
dxy
dy
22
ydx
dy22
por tanto
dxy
dy
22
Integrando tenemos
cxy
2
22ln (1)
Si reemplazamos la condición dada
2
1y cuando 4x tenemos
c
4
2
2122ln
c
c
4
40
Si reemplazamos en (1) tenemos
42
22
x
yln
Esta es una solución implícita de la ecuación diferencial dada, es fácil
de despejar y y hacerla explícita, ¡inténtalo!
Ejemplo
Resolvamos la ecuación diferencial
xy
x
dx
dy
1 (1) Si 0x sujeto a
la condición inicial 41 )(y
5
16
Podemos escribir (1) como dxx
xydy
1
Integrando tenemos
cxxy
dxx
xydy
ln2
1
2
de donde
)(ln cxxy 22 (2)
como 0x , no necesitamos valor absoluto, y si reemplazamos la
condición inicial 4y cuando 1x tenemos:
c
c
1216
11242ln
de donde c7
Remplazando c en (2) tenemos
))(ln( 722 xxy (3)
donde (3) es la solución del problema de valor inicial dado.
Ejemplo
Un cultivo de microorganismos crece con una rapidez proporcional a su
tamaño, de tal forma que al comienzo hay 1.000 especímenes y a las 2
horas 2.500; calculemos la cantidad de microorganismos al cabo de 6
horas.
Para resolver este problema consideremos la población de microorga-
nismos como una función del tiempo )(ty , el cambio, es decir, el
crecimiento de la población y con respecto al tiempo corresponde a
5
17
dt
dy; el enunciado del ejercicio nos dice que la cantidad de microorga-
nismos crece proporcional al tamaño, es decir, que
kydt
dy (1)
que además en el tiempo cero (al inicio) hay 1.000 especímenes, esto
es:
00010 .)( y
y a las 2 horas hay 2.500, es decir:
50022 .)( y
por tanto, lo que debemos hacer es resolver la ecuación diferencial
kydt
dy (1)
sujeta a las condiciones
00010 .)( y (2)
50022 .)( y (3)
Podemos resolver (1) haciendo separación de variables
kdty
dy
integrando
ckty
kdty
dy
ln
Como y siempre es positiva podemos prescindir del valor absoluto y
escribir
ckty ln (4)
5
18
podemos aplicar la función exponencial a ambos lados de (4) para
despejar y ckt
ey
de donde, aplicando propiedades de la función exponencial
ckteey
si Aec podemos
ktAey (5)
si reemplazamos la condición inicial (2) en (5), tenemos
A
Aek
0001
0001 0
.
..
Luego (5) se convierte en
ktey 0001. (6)
Si reemplazamos la condición inicial (3) en (6) tenemos
200015002 ...
ke
de donde
2
52 ).ln(k . Por tanto la ecuación (6) se convierte en
t
ey 2
52
0001.ln
. (7)
La ecuación (7) es la solución explícita de (1), sujeta a las condiciones
(2) y (3); ahora si queremos resolver la pregunta del enunciado, la canti-
dad de microorganismos al cabo de 6 horas, basta con remplazar t por
6 en (7) y con ayuda de una calculadora obtenemos:
ismosmicroorgan 625156
000166
2
52
.)(
.)(.
.ln
y
ey
5
19
Observa que la ecuación (7) se puede escribir como
t
ety 2
52
0001.ln
.)(
Esta ecuación representa la población de microorganismos en cualquier
instante del tiempo.
8.3
a. En los ejercicios 1 al 14 encuentra la solución de la ecuación dife-
rencial dada.
1. 13 2 xdx
dy 2.
y
x
dx
dy
2
3. 3
y
x
dx
dy 4.
3y
dt
dy
5. )( ttudt
du322 6. yxy 4'
7.
x
yx
dy
dx
1
22
8.
yxe
dx
dy 23
9.
x
y
dx
dy 1 10.
ysenx
y
dy
dx221
11.
2
54
32
x
y
dx
dy 12. )( PP
dt
dP 1
13. ydyxxdy cotsec
14. 01132
dyeedxee
xxyy
b. En los ejercicios 15 al 20 resuelve el problema de valor inicial dado:
15. 021
3 2
)(,'
yy
xye
y
5
20
16. 4101
)(,. yxxy
x
dx
dy
17. 10 )(, xt
dt
dxxe
t
18. 10012 2 )(, ydyxyxdx
19. 1012
12
)(,
)(u
u
t
dt
du
20. 221
32
)(, y
t
tty
dt
dy
c. Se inicia un cultivo bacteriano con 4.000 gérmenes y la población
se triplica cada media hora.
Deduce la ecuación para calcular la cantidad de bacterias luego
de t horas
Calcula la cantidad de bacterias al cabo de 20 min.
¿Cuándo llegará la población a 20.000 gérmenes?
d. Se inicia un cultivo bacteriano con 500 células y al cabo de 3 horas
hay 8.000 bacterias.
Deduce una ecuación para calcular la cantidad de bacterias
cuando han pasado t horas suponiendo que dicha población cre-
ce proporcional a su tamaño.
Calcula la cantidad de bacterias al cabo de 4 horas.
¿Cuándo llegará la población a 30.000 especímenes?
Ecuaciones homogéneas
Una función ),( yxf es una función homogénea de grado n si para
algún número real n, ),(),( yxfttytxfn .
A continuación daremos algunos ejemplos de funciones homogéneas.
Ejemplo
Veamos si la función xyxyxf 22 ),( es homogénea.
5
21
El grado de un término de
una función se halla su-
mando las potencias de
las variables en dicho tér-
mino.
),(
)(
))(()(),(
yxft
xyxt
xytxt
tytxtxtytxf
2
22
222
2
2
2
2
por tanto ),( yxf es homogénea de grado 2.
Ejemplo
533 xyyxyxf ),( , veamos que ),( yxf no es homogénea.
5
5
5
3434
3333
33
xytyxt
ytxttyxt
tytxtytxtytxf ))(()()(),(
La constante 5 impide factorizar t , por tanto ),( yxf no es una fun-
ción homogénea.
En la mayoría de las ocasiones podemos verificar si una función es ho-
mogénea con sólo examinar el grado de cada término de la función; ob-
serva y comprueba las conclusiones de los ejemplos siguientes.
Ejemplo 1
La función yxyxf ),( . El término x de nuestra función es de
grado 1 y el término y también, por tanto ),( yxf es homogénea de
grado 1. ¡Compruébalo!
Ejemplo 2
Sea 322
yxyyxyxf ),( . La función tiene 3 términos y cada uno
de ellos es de grado 3, por tanto la función es homogénea de grado 3.
5
22
Ejemplo 3
Sea 73 25 yxxyxf ),( . La función ),( yxf tiene 3 términos
que son respectivamente de grado 5, 3 y 0, por tanto ),( yxf no es
una función homogénea.
Para los ejemplos anteriores podemos hacer la siguiente observación:
La función de grado 1 resulta ser homogénea de grado 1 y la podemos
escribir como:
x
yfx
x
yxyxyxf ,),(
'' 11
y
11 ,),(
''
y
xfy
y
xyyxyxf
La función del ejemplo 2 es homogénea de grado 3 y se puede escribir
como
x
yfx
x
y
x
y
x
yx
x
y
x
y
x
yxyxyyxyxf
,
),(
1 3
32
3
3
3
2
23322
y
11
1
3
2
3
2
23322
,
),(
y
xfy
x
y
x
yy
y
x
y
xyyxyyxyxf
5
23
En el ejemplo 3 no es posible realizar una factorización de este estilo, ya
que la función no es homogénea.
De manera general, podemos escribir: si ),( yxf es una función ho-
mogénea de grado n, es posible escribirla.
x
yfxyxf
n,),( 1 y
1,),(
x
yfyyxf
n
Ejemplo
La función 22
xyxyyxf ),( es homogénea de grado 2 y la
podemos escribir como:
x
yfx
x
y
x
yxyxf ,),( 11 2
2
2
y
11 2
2
2,),(
x
yfy
y
x
y
xyyxf
Vamos ahora a describir la forma de solucionar las ecuaciones diferen-
ciales homogéneas.
Solución de ecuaciones diferenciales homogéneas
Si una ecuación diferencial tiene la forma 0 dyyxNdxyxM ),(),( y
satisface la propiedad ),(),( yxMttytxMn y ),(),( yxNttytxN
n
se dice que la ecuación diferencial es homogénea o de coeficientes
homogéneos.
Ejemplo
5
24
011 xduudxuNxdxuMxnn
),(),(
La ecuación diferencial
02333 dyyxxdxyx )()(
es una ecuación diferencial homogénea de grado 3. veamos
),(
)(
)()(),())(,(
yxMt
yxt
tytxtytxMyxyxM
3
333
3333
),(
)(
)()()(),())(,(
yxNt
yxxt
tytxtxtytxNyxxyxN
3
233
2323
La importancia de las ecuaciones homogéneas radica en su posibilidad
de reducirlas con una sustitución apropiada a ecuaciones de variables
separables. A continuación desarrollamos el procedimiento de manera
general.
Método de solución de una ecuación diferencial
homogénea
Una ecuación de la forma 0 dyyxNdxyxM ),(),( (1), donde
M y N tienen el mismo grado de homogeneidad, puede reducirse a
una ecuación de variables separables usando cualquiera de las substi-
tuciones uxy o bien vyx en donde u y v son nuevas variables
dependientes. En particular, si elegimos uxy , entonces
xduudxdy , por tanto la ecuación diferencial (1) se transforma en
0 xduudxuxxNdxuxxM ),(),(
ahora bien, por la homogeneidad de M y N es posible escribir
5
25
o bien
0111 duuxNdxuuNuM ),(),(),(
de donde resulta
011
1
),(),(
),(
uuNuM
duuN
x
dx
la cual es una ecuación de variables separables y por tanto la podemos
resolver como lo hicimos con los ejemplos anteriores; veamos algunas
aplicaciones.
Ejemplo
Resolvamos las ecuación
0 xdydxyx )(
La ecuación dada corresponde a una ecuación diferencial homogénea
de grado 1, ¡compruébalo!.
De acuerdo con la teoría que acabamos de desarrollar, procedemos a
resolverla haciendo la sustitución uxy de donde xduudxdy .
Si reemplazamos en la ecuación obtenemos:
0 xdydxyx )(
duxxdx
duxxdx
xduudxxuxdxxdx
xduudxxdxuxx
2
2
0
0
0
)(
)()(
0x , de lo contrario uxy sería cero y nuestras funciones serían
cero,
dudxx
1
5
26
integrando
cux ln
ahora si uxy entonces
x
yu
por tanto la solución corresponde a:
cxyxx
cx
yx
ln
ln
Ejemplo
Resolvamos la ecuación 332
xydx
dyxy
Podemos escribir la ecuación como
0332 dxxydyxy )(
esta es una ecuación diferencial homogénea de grado 3. ¡Comprueba-
lo!
Para resolverla, sustituimos uxy y xduudxdy en (1)
0332 dxxuxxduudxuxx ))(()()(
aplicando la propiedad distributiva obtenemos:
03334233 dxxdxxuduxudxxu (2)
de donde
0342 dxxduxu
que equivale a
dxxduxu342
como 0x
dxx
duu12
5
27
integrando obtenemos
cxy
ln3
3
(3)
de donde
cxy 333 ln
como uxy entonces
x
yu obtenemos:
333
3
33
33
cxxxy
cxx
y
ln
ln
Esta función que hemos obtenido es la solución a la ecuación diferen-
cial dada; puedes comprobarlo reemplazándola en dicha ecuación.
Ejemplo
Resolvamos la ecuación 01 dyyxxydx )ln(ln sujeta a la
condición ey )(1 .
Esta ecuación corresponde a una ecuación diferencial homogénea de
grado 1, veámoslo:
),(
)ln(ln
ln
ln
)ln(ln),(
)(ln),(
),(),(),(
yxtN
yxtx
y
xtx
ty
txtx
tytxtxtytxN
lxyxxyxN
yxtMtytytxMyyxM
1
1
1
1
1
5
28
Vamos a resolver ahora la ecuación dada haciendo la sustitución
uxy y xduudxdy , entonces
01 dyyxxydx )ln(ln (1)
se convierte en
01 ))()ln((ln xduudxuxxxuxdx
aplicando las propiedades de logaritmo natural podemos escribir
01 ))(lnln(ln xduudxxuxxuxdx
de donde
01 ))(ln( xduudxuxuxdx
aplicando la propiedad distributiva tenemos
022 duxuduxxudxudxxuuxdx lnln
de donde
01
0
2
22
duuxudxxu
duxuduxudxxu
)(lnln
lnln
equivalente a
duuu
udx
x
duuxudxxu
ln
ln
)(lnln
11
12
para integrar, podemos escribir el lado derecho como
duuuu
dxx
ln
111
integrando los dos lados de la ecuación tenemos
cuux lnlnlnln (2)
Como uxy , entonces
x
yu , si sustituimos en (2) obtenemos
cx
y
x
yx
lnlnlnln (3)
5
29
La duuu
ln
1 se desa-
rrolla sustituyendo uw ln
.
remplazando la condición inicial ey )(1 , es decir, ey cuando
1x en (3) obtenemos
c1
así la solución de nuestra ecuación diferencial es:
1
x
y
x
yx lnlnlnln
Observa que podemos aplicar las propiedades de logaritmo natural y re-
ducir más la expresión.
8.4
a. En los problemas del 1 al 5 determina si la función dada es homo-
génea. Si lo es, indica el grado de homogeneidad.
1.
x
yxyxyxf
32 2 ),(
2.
yx
yxyxyxf
8
223
),( 3.
yx
xsenyxf
),(
4. 3
3
y
xyxh
ln
ln),( 5.
21)(),( yxyxf
b. En los problemas del 6 al 15 resuelve la ecuación diferencial dada:
6. 02 dyxyxdx )( 7. dyyxydx )( 2
8. 022 dyxdxyxy )( 9. 022 dyxdxyxy )(
10. 0 dyxyxydx )( 11.
xy
yx
dx
dy
12.
yx
yx
dx
dy
3
3 13. dyyxydxx )(
332 32
14. 02 344 ydyxdxyx )( 15. y
x
yexdy
dxy
2
4
c. En los problemas del 16 al 19 resuelve la ecuación diferencial da-
da, sujeta a la condición inicial que se indica:
5
30
16. 21332 )(, yxydx
dyxy
17. 112 22 )(,)( yxydydxyx
18. 2132 22 )(, yyxydx
dyx
19. 10222 )(, ydyyxydyxxydx
En este fascículo hemos comenzado el estudio de las ecuaciones dife-
renciales, clasificamos las ecuaciones diferenciales según su orden, tipo
y linealidad, además hemos desarrollado y aplicado métodos de solu-
ción para ecuaciones de variables separables y homogéneas.
Rainville, Earl D. y otros. Ecuaciones Diferenciales. Mexico: Ed. Prentice
Hall, octava edición, 1997, capítulos 1 y 2.
Zill, Dennis G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.
México: Ed. Internacional – Thomson Editores, sexta edición, 2000, capí-
tulos 1 y 2.
En el fascículo siguiente vamos a continuar el estudio de las ecuaciones
diferenciales; trataremos dos tipos de ecuaciones: las exactas y las li-
neales, veremos sus características, su modo de identificación y la ma-
nera de resolver cada una de ellas dando ejemplos y ejercicios para ca-
da caso.
5
31
Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa
Ecuaciones diferenciales - Fascículo No. 8
Nombre_____________________________________________________________________
Apellidos ________________________________________ Fecha ____________________
Ciudad __________________________________________ Semestre _________________
1. Verifica que la función y dada es una solución de la ecuación diferencial.
012
1 xxxyyy ,ln;
'
2. Encuentra la solución de la ecuación diferencial dada.
21
221
2 11 yxdx
dy
x
y
3. En un cultivo bacteriano se contaron 400 microorganismos después de 2 horas y
25.600 luego de 6 horas; suponiendo que el cultivo crece proporcional a su tamaño
2. ¿Cuál fue la población inicial del cultivo?
3. Deduce una ecuación para calcular la población luego de t horas.
4. ¿Cuándo llegará la población a 100.000 individuos?
4. Resuelve la ecuación diferencial dada, sujeta a la condición inicial que se indica.
1123
21
)(,)( yyxyxdx
dyxyx