tables of linear congruential generators of different sizes and good lattice structure

8/12/2019 Tables of Linear Congruential Generators of Different Sizes and Good Lattice Structure

1/12


2/12

2 P I E R R E L ' E C U Y E R

d i s t a n c e . T h e s e t T

t

i s m o r e u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d o v e r t h e c u b e i f d

t

i s s m a l l e r . I n

t h e l i t e r a t u r e , e x a m i n i n g t h e d

t

' s a s s o c i a t e d w i t h a g i v e n g e n e r a t o r i s o f t e n c a l l e d

t h e s p e c t r a l t e s t 3 , 5 ] .

A g e n e r a l l o w e r b o u n d o n d

t

i s g i v e n b y

d

t

( m ) =

? 1

t

m

? 1 = t

;( 4 )

w h e r e

t

i s H e r m i t e ' s c o n s t a n t , k n o w n f o r t

8 ( s e e 5 ] ) . F o r t > 8 , l o w e r a n d

u p p e r b o u n d s o n

t

a r e a v a i l a b l e . A n u p p e r b o u n d

t

c a n b e d e d u c e d f r o m R o g e r s '

b o u n d o n t h e d e n s i t y o f s p h e r e p a c k i n g s ( s e e 1 , p . 8 8 ] ) . I t c a n b e w r i t t e n a s

t

= 2 e

R ( t ) = t

;( 5 )

w h e r e R ( t ) c a n b e f o u n d i n 1 ] f o r t 2 4 . F o r t 2 5 , R ( t ) c a n b e a p p r o x i m a t e d

w i t h O ( 1 = t ) e r r o r , a n d a p p r o x i m a t e l y f o u r d e c i m a l d i g i t s o f p r e c i s i o n f o r t = 2 5 , b y

R ( t ) =

1

2

t l g

t

4 e

+

3

2

l g ( t ) ? l g ( e =

p

) +

5 : 2 5

t + 2 : 5

;( 6 )

w h e r e l g i s t h e l o g i n b a s e 2 . A l o w e r b o u n d c a n b e o b t a i n e d b y l o o k i n g a t t h e

v a l u e o f d

t

a s s o c i a t e d w i t h t h e l a m i n a t e d l a t t i c e i n d i m e n s i o n t . T h i s g i v e s

t

t

= 2

? 1 = ( 2 t )

t

, w h e r e

t

i s g i v e n i n 1 , p . 8 8 ] f o r t 4 8 . F o r t 8 , i t t u r n s o u t t h a t

t

=

t

u p t o a t l e a s t 5 2 b i t s o f p r e c i s i o n . T a b l e 1 g i v e s t h e r a t i o

t

=

t

, o f t h e l o w e r

b o u n d o v e r t h e u p p e r b o u n d , f o r 1 t 4 8 . T h i s r a t i o t e n d s t o d e c r e a s e w i t h

i n c r e a s i n g t , b u t n o t m o n o t o n o u s l y .

T a b l e 1 . R a t i o b e t w e e n l o w e r a n d u p p e r b o u n d s o n

t

t

t

=

t

t

t

=

t

1 1 . 0 0 0 0 2 5 0 . 9 6 1 6

2 1 . 0 0 0 0 2 6 0 . 9 4 0 7

3 0 . 9 8 5 5 2 7 0 . 9 2 3 2

4 0 . 9 8 7 8 2 8 0 . 9 1 1 3

5 0 . 9 7 5 9 2 9 0 . 8 9 9 9

6 0 . 9 8 0 7 3 0 0 . 8 9 3 2

7 0 . 9 8 4 3 3 1 0 . 8 8 8 2

8 0 . 9 9 8 5 3 2 0 . 8 8 7 1

9 0 . 9 6 6 5 3 3 0 . 8 7 6 5

1 0 0 . 9 5 1 2 3 4 0 . 8 6 9 9

1 1 0 . 9 4 0 5 3 5 0 . 8 6 4 9

1 2 0 . 9 4 0 1 3 6 0 . 8 6 3 2

1 3 0 . 9 3 7 3 3 7 0 . 8 6 1 4

1 4 0 . 9 4 2 4 3 8 0 . 8 6 2 7

1 5 0 . 9 4 8 7 3 9 0 . 8 6 4 9

1 6 0 . 9 6 1 2 4 0 0 . 8 6 9 9

1 7 0 . 9 5 1 2 4 1 0 . 8 6 7 0

1 8 0 . 9 4 8 7 4 2 0 . 8 6 7 1

1 9 0 . 9 4 8 1 4 3 0 . 8 6 8 1

2 0 0 . 9 5 3 4 4 4 0 . 8 7 1 6

2 1 0 . 9 5 7 2 4 5 0 . 8 7 4 9

2 2 0 . 9 6 6 0 4 6 0 . 8 8 0 5

2 3 0 . 9 7 5 8 4 7 0 . 8 8 6 9

2 4 0 . 9 9 0 0 4 8 0 . 8 9 5 5


3/12

G O O D L A T T I C E S T R U C T U R E 3

I n t h i s p a p e r , f o l l o w i n g a s u g g e s t i o n i n 1 1 ] , w e c h o s e t o r e p l a c e

t

b y

t

i n t h e

l o w e r b o u n d ( 4 ) , f o r t > 8 . T h i s y i e l d s t h e l o w e r b o u n d

d

t

d

t

( m ) =

? 1

t

m

? 1 = t

f o r t 8 ;

? 1

t

m

? 1 = t

f o r t > 8 :

( 7 )

T h e v a l u e o f d

t

c a n b e n o r m a l i z e d t o

S

t

=

d

t

( m )

d

t

;

w h i c h t a k e s i t s v a l u e s i n t h e i n t e r v a l 0 ; 1 ] , t h e l a r g e r t h e b e t t e r . F o l l o w i n g 4 , 3 ] ,

f o r a n y T 2 , w e d e n e t h e g u r e o f m e r i t :

M

T

= m i n

2 t T

S

t

:( 8 )

T h e i d e a i s t o n d f u l l - p e r i o d M L C G s w i t h t h e b e s t v a l u e o f M

T

, f o r g i v e n m a n d

T .

O t h e r a u t h o r s h a v e a l r e a d y p e r f o r m e d s e a r c h e s o f t h a t s o r t . F i s h m a n a n d M o o r e

4 ] f o u n d a l l t h e 4 1 4 m u l t i p l i e r s a w h i c h a r e p r i m i t i v e e l e m e n t s m o d u l o m a n d f o r

w h i c h M

6

0 : 8 , f o r m = 2

3 1

? 1 . T h e y g i v e t h e v a l u e s o f S

1

; : : : ; S

6

f o r t h e v e

b e s t . F i s h m a n 2 ] o b t a i n e d s i m i l a r r e s u l t s f o r M L C G s w i t h m = 2

3 2

a n d m = 2

4 8

.

V a l u e s o f S

t

, t 8 , f o r v a r i o u s L C G s p r o p o s e d i n t h e l i t e r a t u r e o r a v a i l a b l e i n

s o f t w a r e l i b r a r i e s , c a n b e f o u n d i n 3 , 6 , 7 ] . S e a r c h e s f o r g o o d m u l t i p l e r e c u r s i v e

g e n e r a t o r s , b a s e d o n s i m i l a r c r i t e r i a , h a v e a l s o b e e n p e r f o r m e d f o r a f e w s e l e c t e d

p r i m e m o d u l i m n e a r 2

3 1

, 2

4 7

, a n d 2

6 3

( s e e 8 ] ) .

O u r a i m i n t h i s p a p e r i s t o p r o v i d e a t a b l e o f M L C G s w i t h l a r g e v a l u e s o f M

T

,

f o r d i e r e n t s i z e s o f m a n d T . F o r = 8 ; 9 ; : : : ; 6 4 , a n d a f e w l a r g e r v a l u e s o f , w e

c o n s i d e r t h e l a r g e s t p r i m e m


4/12


5/12


T a b l e 2 . L C G s w i t h G o o d F i g u r e s o f M e r i t

m a ; a

M

8

( m ; a ) M

1 6

( m ; a ) M

3 2

( m ; a )

2

8

? 5 = 2 5 1 3 3 , 2 1 3 0 . 7 0 6 1 7

0 . 6 6 0 8 3 0 . 6 4 6 4 5

5 5 , 1 7 8 0 . 6 6 9 7 3 0 . 6 6 9 7 3

0 . 6 4 6 4 5

2

9

? 3 = 5 0 9 3 5 , 1 6 0 0 . 6 8 2 0 2

0 . 6 8 2 0 2

0 . 6 3 2 3 3

1 1 0 , 2 3 6 0 . 6 8 2 0 2

0 . 6 8 2 0 2

0 . 6 3 2 3 3

2 7 3 , 3 9 9 0 . 6 8 2 0 2

0 . 6 8 2 0 2

0 . 6 3 2 3 3

3 4 9 , 4 7 4 0 . 6 8 2 0 2

0 . 6 8 2 0 2

0 . 6 3 2 3 3

2

1 0

? 3 = 1 0 2 1 6 5 , 3 7 7 0 . 6 9 0 6 9

0 . 6 6 3 1 7 0 . 6 1 8 7 2

3 3 1 , 4 0 1 0 . 6 7 3 8 8 0 . 6 7 3 8 8

0 . 6 1 8 7 2

2

1 1

? 9 = 2 0 3 9 9 9 5 , 1 4 9 8 0 . 7 2 1 7 0

0 . 6 5 5 3 1 0 . 6 0 5 4 9

3 2 8 , 6 0 3 0 . 6 9 5 5 1 0 . 6 9 1 8 9

0 . 6 0 5 4 9

3 9 3 , 7 9 9 0 . 6 5 2 8 3 0 . 6 5 2 8 3 0 . 6 5 2 8 3

2

1 2

? 3 = 4 0 9 3 2 0 9 , 3 8 5 8 0 . 6 7 2 9 6

0 . 6 0 6 4 9 0 . 6 0 6 4 9

2 3 5 , 3 8 8 4 0 . 6 7 2 9 6

0 . 6 0 6 4 9 0 . 6 0 6 4 9

2 1 9 , 5 4 2 0 . 6 6 1 5 0 0 . 6 6 1 5 0

0 . 6 6 1 5 0

3 5 5 1 , 3 8 7 4 0 . 6 6 1 5 0 0 . 6 6 1 5 0

0 . 6 6 1 5 0

2

1 3

? 1 = 8 1 9 1 8 8 4 , 7 4 5 9 0 . 6 7 3 1 7

0 . 6 1 5 0 8 0 . 6 1 5 0 8

1 7 1 6 , 5 5 8 0 0 . 6 4 8 5 4 0 . 6 4 8 5 4

0 . 6 4 8 5 4

2 6 8 5 , 6 0 8 3 0 . 6 4 8 5 4 0 . 6 4 8 5 4

0 . 6 4 8 5 4

2

1 4

? 3 = 1 6 3 8 1 5 7 2 , 1 3 3 7 4 0 . 7 1 9 6 8

0 . 5 9 6 3 8 0 . 5 9 6 3 8

3 0 0 7 , 1 5 8 0 9 0 . 7 1 9 6 8

0 . 5 9 6 3 8 0 . 5 9 6 3 8

6 6 5 , 3 4 2 4 0 . 7 1 1 1 6 0 . 6 6 7 9 2

0 . 6 5 5 0 8

1 2 9 5 7 , 1 5 7 1 6 0 . 7 1 1 1 6 0 . 6 6 7 9 2

0 . 6 5 5 0 8

2

1 5

? 1 9 = 3 2 7 4 9 2 1 9 , 3 0 8 0 5 0 . 7 1 8 0 2

0 . 5 6 9 5 5 0 . 5 6 9 5 5

1 9 4 4 , 3 2 5 3 0 0 . 7 1 8 0 2

0 . 5 6 9 5 5 0 . 5 6 9 5 5

9 5 1 5 , 1 0 0 8 8 0 . 6 9 3 7 2 0 . 6 7 3 5 6

0 . 6 7 3 5 6

2 2 6 6 1 , 2 3 2 3 4 0 . 6 9 3 7 2 0 . 6 7 3 5 6

0 . 6 7 3 5 6

2

1 6

? 1 5 = 6 5 5 2 1 1 7 3 6 4 , 3 2 2 3 6 0 . 7 0 7 1 3

0 . 4 4 5 6 6 0 . 4 4 5 6 6

3 3 2 8 5 , 4 8 1 5 7 0 . 7 0 7 1 3

0 . 4 4 5 6 6 0 . 4 4 5 6 6

2 4 6 9 , 4 7 1 0 4 0 . 6 4 6 5 0 0 . 6 3 9 0 0

0 . 6 3 9 0 0

2

1 7

? 1 = 1 3 1 0 7 1 4 3 1 6 5 , 6 6 2 8 4 0 . 7 0 9 4 1

0 . 5 8 4 0 9 0 . 5 8 4 0 9

2 9 2 2 3 , 1 1 9 8 5 8 0 . 6 7 1 6 9 0 . 6 7 1 6 9

0 . 6 5 6 1 7

2 9 8 0 3 , 7 6 7 0 4 0 . 6 6 8 3 8 0 . 6 6 2 3 0 0 . 6 6 2 3 0

2

1 8

? 5 = 2 6 2 1 3 9 9 2 7 1 7 , 1 6 6 9 7 2 0 . 7 2 5 3 9

0 . 6 1 6 0 1 0 . 6 1 6 0 1

2 1 8 7 6 , 1 1 8 0 6 8 0 . 6 7 8 3 2 0 . 6 7 8 3 2

0 . 6 7 0 1 9

2

1 9

? 1 = 5 2 4 2 8 7 2 8 3 7 4 1 , 3 5 8 8 9 9 0 . 7 2 1 3 0

0 . 5 9 1 8 8 0 . 5 9 1 8 8

3 7 6 9 8 , 1 2 7 5 7 4 0 . 6 6 7 8 0 0 . 6 6 7 8 0

0 . 6 5 2 5 5

1 5 5 4 1 1 , 1 5 7 7 8 1 0 . 6 9 5 7 3 0 . 6 6 6 4 6 0 . 6 6 6 4 6

2

2 0

? 3 = 1 0 4 8 5 7 3 3 8 0 9 8 5 , 4 4 4 3 6 2 0 . 7 1 7 0 9

0 . 6 0 3 8 7 0 . 6 0 3 8 7

6 0 4 2 1 1 , 6 6 7 5 8 8 0 . 7 1 7 0 9

0 . 6 0 3 8 7 0 . 6 0 3 8 7

1 0 0 7 6 8 , 4 6 3 9 6 4 0 . 6 6 0 5 5 0 . 6 6 0 5 5

0 . 6 0 0 6 2

9 4 7 8 0 5 , 5 8 4 6 0 9 0 . 6 6 0 5 5 0 . 6 6 0 5 5

0 . 6 0 0 6 2

2 2 2 0 2 , 2 4 6 2 9 8 0 . 6 6 7 3 8 0 . 6 5 8 8 8 0 . 6 5 8 8 8

1 0 2 6 3 7 1 , 8 0 2 2 7 5 0 . 6 6 7 3 8 0 . 6 5 8 8 8 0 . 6 5 8 8 8

2

2 1

? 9 = 2 0 9 7 1 4 3 3 6 0 8 8 9 , 1 3 7 2 1 8 0 0 . 7 2 5 3 7

0 . 5 9 1 0 8 0 . 5 9 1 0 8

1 0 4 3 1 8 7 , 1 3 5 2 8 5 1 0 . 6 8 6 0 8 0 . 6 8 6 0 8

0 . 6 2 3 8 1

1 9 3 9 8 0 7 , 1 9 6 9 9 1 7 0 . 6 8 4 9 2 0 . 6 8 4 9 2 0 . 6 7 6 6 4

2

2 2

? 3 = 4 1 9 4 3 0 1 9 1 4 3 3 4 , 1 4 0 6 1 5 1 0 . 7 2 2 2 6

0 . 5 3 5 4 7 0 . 5 3 5 4 7

2 7 8 8 1 5 0 , 3 2 7 9 9 6 7 0 . 7 2 2 2 6

0 . 5 3 5 4 7 0 . 5 3 5 4 7

1 7 3 1 2 8 7 , 2 0 4 0 4 0 6 0 . 6 7 8 1 9 0 . 6 7 8 1 9

0 . 6 7 6 1 1

2 4 6 3 0 1 4 , 2 1 5 3 8 9 5 0 . 6 7 8 1 9 0 . 6 7 8 1 9

0 . 6 7 6 1 1


6/12


L C G s w i t h G o o d F i g u r e s o f M e r i t ( c o n t i n u e d )

m a ; a

M

8

( m ; a ) M

1 6

( m ; a ) M

3 2

( m ; a )

2

2 3

? 1 5 = 8 3 8 8 5 9 3 6 5 3 2 7 6 , 5 1 6 9 2 3 5 0 . 7 3 4 0 7

0 . 6 5 7 5 8 0 . 6 1 5 8 1

3 2 1 9 3 5 8 , 7 7 3 5 3 1 7 0 . 7 3 4 0 7

0 . 6 5 7 5 8 0 . 6 1 5 8 1

1 7 0 6 3 2 5 , 6 5 1 3 8 9 8 0 . 6 7 4 6 2 0 . 6 7 4 6 2

0 . 6 5 7 7 8

6 6 8 2 2 6 8 , 1 8 7 4 6 9 5 0 . 6 7 4 6 2 0 . 6 7 4 6 2

0 . 6 5 7 7 8

4 2 2 5 2 7 , 5 5 1 5 0 7 3 0 . 6 7 5 3 0 0 . 6 6 9 1 6 0 . 6 6 9 1 6

7 9 6 6 0 6 6 , 2 8 7 3 5 2 0 0 . 6 7 5 3 0 0 . 6 6 9 1 6 0 . 6 6 9 1 6

2

2 4

? 3 = 1 6 7 7 7 2 1 3 6 4 2 3 1 3 5 , 9 7 2 6 9 1 7 0 . 7 4 4 7 7

0 . 5 4 3 3 7 0 . 5 4 3 3 7

7 0 5 0 2 9 6 , 1 0 3 5 4 0 7 8 0 . 7 4 4 7 7

0 . 5 4 3 3 7 0 . 5 4 3 3 7

4 4 0 8 7 4 1 , 6 1 8 0 1 8 8 0 . 6 6 8 4 9 0 . 6 6 8 4 9

0 . 6 6 5 4 3

1 2 3 6 8 4 7 2 , 1 0 5 9 7 0 2 5 0 . 6 6 8 4 9 0 . 6 6 8 4 9

0 . 6 6 5 4 3

9 3 1 7 2 4 , 5 6 3 7 6 4 3 0 . 6 8 1 4 9 0 . 6 6 7 3 5 0 . 6 6 7 3 5

1 5 8 4 5 4 8 9 , 1 1 1 3 9 5 7 0 0 . 6 8 1 4 9 0 . 6 6 7 3 5 0 . 6 6 7 3 5

2

2 5

? 3 9 = 3 3 5 5 4 3 9 3 2 5 9 0 7 3 1 2 , 3 2 5 4 4 8 3 2 0 . 7 4 9 8 2

0 . 5 8 1 7 0 0 . 5 8 1 7 0

1 2 8 3 6 1 9 1 , 5 4 2 0 5 8 5 0 . 6 9 4 8 8 0 . 6 8 4 4 7

0 . 5 7 2 4 7

2 8 1 3 3 8 0 8 , 2 0 7 1 8 2 0 2 0 . 6 9 4 8 8 0 . 6 8 4 4 7

0 . 5 7 2 4 7

2 5 6 1 2 5 7 2 , 1 8 6 0 6 2 5 0 . 6 7 7 6 6 0 . 6 7 1 0 5 0 . 6 6 9 5 3

3 1 6 9 3 7 6 8 , 7 9 4 1 8 2 1 0 . 6 7 7 6 6 0 . 6 7 1 0 5 0 . 6 6 9 5 3

2

2 6

? 5 = 6 7 1 0 8 8 5 9 2 6 5 9 0 8 4 1 , 1 1 5 2 6 6 1 8 0 . 7 6 6 1 0

0 . 5 5 9 9 5 0 . 5 5 9 9 5

1 9 5 5 2 1 1 6 , 2 4 4 0 9 5 9 4 0 . 6 9 0 9 9 0 . 6 9 0 9 9

0 . 6 4 9 6 6

6 6 1 1 7 7 2 1 , 6 7 6 3 1 0 3 0 . 6 8 0 6 1 0 . 6 7 4 0 8 0 . 6 7 0 6 2

2

2 7

? 3 9 = 1 3 4 2 1 7 6 8 9 4 5 5 7 6 5 1 2 , 7 0 3 9 1 2 6 0 0 . 7 5 8 7 4

0 . 5 8 7 1 7 0 . 5 8 7 1 7

6 3 8 2 6 4 2 9 , 8 8 6 4 1 1 7 7 0 . 7 5 8 7 4

0 . 5 8 7 1 7 0 . 5 8 7 1 7

3 1 6 2 6 9 6 , 7 1 5 4 3 2 0 7 0 . 7 0 2 3 3 0 . 6 7 2 6 4

0 . 6 6 7 1 4

2

2 8

? 5 7 = 2 6 8 4 3 5 3 9 9 2 4 6 0 4 9 7 8 9 , 1 5 0 8 7 3 8 3 9 0 . 7 4 2 1 5

0 . 5 2 8 2 0 0 . 5 2 8 2 0

1 4 0 8 5 3 2 2 3 , 1 0 2 4 4 5 9 4 1 0 . 7 0 4 6 2 0 . 6 7 3 5 3

0 . 5 6 0 2 3

2 9 9 0 8 9 1 1 , 1 6 6 4 4 1 8 4 1 0 . 6 7 6 0 4 0 . 6 7 3 5 3

0 . 5 8 1 8 3

1 0 4 1 2 2 8 9 6 , 1 1 1 5 0 1 5 0 1 0 . 6 6 3 2 6 0 . 6 5 8 0 8 0 . 6 5 8 0 8

2

2 9

? 3 = 5 3 6 8 7 0 9 0 9 5 2 0 3 3 2 8 0 6 , 2 1 9 1 1 8 1 8 9 0 . 7 5 2 3 8

0 . 5 9 5 3 8 0 . 5 9 5 3 8

5 3 0 8 7 7 1 7 8 , 4 7 5 9 0 5 2 9 0 0 . 6 7 3 5 2 0 . 6 7 0 8 8

0 . 6 6 4 1 8

2

3 0

? 3 5 = 1 0 7 3 7 4 1 7 8 9 7 7 1 6 4 5 3 4 5 , 5 9 9 2 9 0 9 6 2 0 . 7 4 8 8 1

0 . 6 0 5 4 0 0 . 5 9 8 9 5

2 9 5 3 9 7 1 6 9 , 1 0 1 7 5 8 6 9 8 7 0 . 6 8 3 2 3 0 . 6 7 4 2 0

0 . 5 2 1 0 2

9 2 1 7 4 6 0 6 5 , 6 7 9 1 8 6 5 6 5 0 . 6 5 8 3 0 0 . 6 5 8 3 0 0 . 6 5 8 3 0

2

3 1

? 1 = 2 1 4 7 4 8 3 6 4 7 1 5 8 3 4 5 8 0 8 9 , 1 1 3 2 4 8 9 7 6 0 0 . 7 2 7 7 1

0 . 6 1 9 9 6 0 . 6 1 9 9 6

7 8 4 5 8 8 7 1 6 , 1 6 3 4 9 0 6 1 8 0 . 6 5 8 8 5 0 . 6 5 3 8 8

0 . 6 5 3 8 8

2

3 2

? 5 = 4 2 9 4 9 6 7 2 9 1 1 5 8 8 6 3 5 6 9 5 , 3 8 7 0 7 0 9 3 0 8 0 . 7 4 5 3 0

0 . 6 4 1 9 9 0 . 6 4 0 3 4

1 2 2 3 1 0 6 8 4 7 , 4 2 2 3 8 7 9 6 5 6 0 . 6 9 2 9 9 0 . 6 7 5 5 1

0 . 6 4 0 3 4

2 7 9 4 7 0 2 7 3 , 1 8 1 5 9 7 6 6 8 0 0 . 6 5 8 6 2 0 . 6 5 8 6 2 0 . 6 5 8 6 2

2

3 3

? 9 = 8 5 8 9 9 3 4 5 8 3 7 4 2 5 1 9 4 3 1 5 , 8 4 3 6 7 6 7 8 0 4 0 . 7 3 6 6 6

0 . 4 5 1 5 5 0 . 4 5 1 5 5

2 2 7 8 4 4 2 6 1 9 , 1 7 2 9 5 1 6 0 9 5 0 . 6 6 2 4 4 0 . 6 5 9 5 8

0 . 6 3 5 4 9

7 3 1 2 6 3 8 6 2 4 , 2 0 5 2 7 7 2 1 4 0 . 6 5 2 2 1 0 . 6 5 2 2 1 0 . 6 5 2 2 1

2

3 4

? 4 1 = 1 7 1 7 9 8 6 9 1 4 3 5 2 9 5 5 1 7 7 5 9 , 2 4 4 7 1 5 7 0 8 3 0 . 7 3 6 0 7

0 . 4 2 7 8 4 0 . 4 2 7 8 4

4 7 3 1 8 6 3 7 8 , 6 6 2 5 2 9 5 5 0 0 0 . 6 6 6 5 2 0 . 6 6 6 5 2

0 . 6 5 0 7 4

2

3 5

? 3 1 = 3 4 3 5 9 7 3 8 3 3 7 3 1 2 4 1 9 9 1 6 5 , 2 7 1 8 1 9 8 7 1 5 7 0 . 7 4 7 4 0

0 . 5 5 1 1 7 0 . 5 5 1 1 7

2 2 2 7 7 5 7 4 8 3 4 , 1 6 3 5 3 2 5 1 6 3 0 0 . 6 8 2 4 1 0 . 6 5 4 7 1

0 . 6 1 2 7 2

8 0 9 4 8 7 1 9 6 8 , 3 1 0 2 3 0 7 3 0 7 7 0 . 6 4 4 7 1 0 . 6 4 4 7 1 0 . 6 4 4 7 1

2

3 6

? 5 = 6 8 7 1 9 4 7 6 7 3 1 4 9 8 6 5 1 4 3 8 1 0 , 4 4 5 2 5 2 5 3 4 8 2 0 . 7 2 0 1 1

0 . 5 6 0 4 5 0 . 5 6 0 4 5

4 5 4 5 3 9 8 6 9 9 5 , 4 0 1 6 2 4 3 5 1 4 7 0 . 6 6 0 3 8 0 . 6 5 9 0 5

0 . 6 5 6 6 5

2

3 7

? 2 5 = 1 3 7 4 3 8 9 5 3 4 4 7 7 6 8 8 6 7 5 8 2 4 4 , 3 1 4 5 0 0 9 2 8 1 7 0 . 7 3 2 8 4

0 . 5 9 2 2 2 0 . 5 5 8 6 5

2 9 9 6 7 3 5 8 7 0 , 1 0 5 6 3 8 4 3 8 1 3 0 0 . 7 0 8 4 9 0 . 6 5 3 4 1

0 . 6 3 3 2 8

8 5 8 7 6 5 3 4 6 7 5 , 1 1 6 8 9 5 8 8 8 7 8 6 0 . 6 6 0 7 3 0 . 6 5 0 8 5 0 . 6 5 0 8 5


7/12



m a ; a

M

8

( m ; a ) M

1 6

( m ; a ) M

3 2

( m ; a )

2

3 8

? 4 5 1 7 8 3 8 5 4 2 5 6 6 , 2 3 4 5 8 4 9 0 4 8 6 3 0 . 7 2 3 1 1

0 . 5 9 2 8 9 0 . 5 7 1 3 1

1 0 1 2 6 2 3 5 2 5 8 3 , 2 5 8 8 2 4 5 3 6 1 6 7 0 . 6 5 2 2 3 0 . 6 5 0 3 5

0 . 6 0 6 2 9

2 4 2 7 1 8 1 7 4 8 4 , 1 4 1 0 8 6 5 3 8 8 4 6 0 . 6 4 0 2 2 0 . 6 4 0 2 2 0 . 6 3 6 4 4

2

3 9

? 7 6 1 9 9 2 6 9 3 0 5 2 , 2 0 7 3 8 2 9 3 7 9 6 6 0 . 7 2 6 0 6

0 . 5 0 2 8 3 0 . 5 0 2 8 3

4 8 6 5 8 3 3 4 8 5 1 3 , 2 4 7 0 5 8 7 9 3 8 5 8 0 . 6 5 5 2 2 0 . 6 4 2 3 3

0 . 6 2 2 6 7

5 4 1 2 4 0 7 3 7 6 9 6 , 6 8 3 1 7 0 4 2 8 0 2 0 . 6 4 1 1 8 0 . 6 4 1 1 8 0 . 6 4 1 1 8

2

4 0

? 8 7 1 0 3 8 9 1 4 8 0 4 2 2 2 , 9 5 6 5 6 9 4 1 6 6 3 2 0 . 7 3 6 5 6

0 . 5 6 2 0 6 0 . 5 6 2 0 6

8 8 7 1 8 5 5 4 6 1 1 , 8 6 4 3 4 1 1 4 9 0 5 3 0 . 6 8 0 8 3 0 . 6 7 6 2 9

0 . 6 0 5 0 6

9 3 7 3 3 3 3 5 2 8 7 3 , 9 4 5 4 6 7 2 1 8 8 1 6 0 . 6 9 5 6 7 0 . 6 4 6 9 3 0 . 6 4 2 8 6

2

4 1

? 2 1 1 4 0 2 4 5 1 1 1 7 1 4 , 1 8 8 8 1 1 6 5 0 0 8 8 7 0 . 7 2 8 9 1

0 . 5 7 5 6 8 0 . 5 7 5 6 8

4 1 6 4 8 0 0 2 4 1 0 9 , 1 4 2 0 8 1 4 6 9 8 3 1 7 0 . 6 5 0 9 3 0 . 6 4 6 9 2

0 . 6 1 0 3 5

1 3 1 9 7 4 3 3 5 4 0 6 4 , 7 1 7 9 4 3 1 7 3 0 6 3 0 . 6 5 4 2 2 0 . 6 3 7 4 8 0 . 6 3 7 4 8

2

4 2

? 1 1 2 2 1 4 8 1 3 5 4 0 7 7 6 , 4 3 6 5 9 4 6 4 3 2 5 6 6 0 . 7 4 4 1 8

0 . 6 2 1 7 8 0 . 6 2 1 7 8

2 9 2 8 6 0 3 6 7 7 8 6 6 , 3 0 1 5 6 3 0 9 1 5 3 0 8 0 . 6 6 4 2 7 0 . 6 6 4 2 7

0 . 6 2 1 4 5

9 2 6 4 4 1 0 1 5 5 3 , 6 2 6 0 3 1 8 5 6 7 5 8 0 . 6 6 8 1 2 0 . 6 5 1 7 2 0 . 6 4 1 1 0

2

4 3

? 5 7 4 9 2 8 0 5 2 3 2 5 3 4 8 , 4 5 4 1 7 6 3 7 0 6 3 9 2 0 . 7 3 2 5 8

0 . 5 8 0 5 4 0 . 5 8 0 5 4

4 2 0 4 9 2 6 1 6 4 9 7 4 , 3 4 3 4 1 0 5 4 1 9 2 7 5 0 . 6 7 0 1 5 0 . 6 5 1 9 5

0 . 6 2 8 6 2

3 6 6 3 4 5 5 5 5 7 4 4 0 , 2 3 9 9 7 6 7 9 9 9 9 2 8 0 . 6 5 0 6 2 0 . 6 3 5 5 2 0 . 6 3 5 5 2

2

4 4

? 1 7 6 3 0 7 6 1 7 2 4 5 9 9 9 , 1 2 6 8 0 2 1 7 5 3 4 9 4 6 0 . 7 2 0 9 5

0 . 4 0 1 6 1 0 . 4 0 1 6 1

1 1 3 9 4 9 5 4 3 2 3 3 4 8 , 6 3 6 3 2 8 1 8 1 1 7 4 7 0 . 6 4 7 2 6 0 . 6 4 7 2 6

0 . 6 1 7 5 5

9 4 9 3 0 5 8 0 6 5 2 4 , 1 2 4 4 2 8 3 6 2 3 0 6 3 5 0 . 6 4 0 3 4 0 . 6 3 5 7 7 0 . 6 3 5 7 7

2

4 5

? 5 5 2 5 9 3 3 9 1 6 2 3 3 9 0 8 , 3 6 0 8 9 0 3 7 4 2 6 4 0 0 . 7 4 0 2 0

0 . 4 8 3 7 1 0 . 4 8 3 7 1

1 8 5 8 6 0 4 2 0 6 9 1 6 8 , 1 1 8 5 0 3 8 6 3 0 2 0 2 6 0 . 6 6 8 1 2 0 . 6 5 2 8 8

0 . 5 7 7 7 5

2 0 8 2 7 1 5 7 8 5 5 1 8 5 , 5 8 7 0 3 5 7 2 0 4 9 8 9 0 . 6 5 1 7 4 0 . 6 3 7 7 1 0 . 6 3 7 7 1

2

4 6

? 2 1 6 3 9 7 5 9 9 3 2 0 0 0 5 5 , 6 3 4 4 8 1 3 8 1 1 8 2 0 3 0 . 7 4 1 5 8

0 . 5 9 4 5 5 0 . 5 9 4 5 5

1 5 7 2 1 0 6 2 0 4 2 4 7 8 , 5 6 6 0 2 2 7 3 6 6 2 7 6 8 0 . 6 5 2 9 2 0 . 6 5 2 9 2

0 . 5 6 9 1 9

3 1 8 9 5 8 5 2 1 1 8 0 7 8 , 3 0 0 0 1 5 5 6 8 7 3 1 0 3 0 . 6 5 8 5 3 0 . 6 4 3 9 1 0 . 6 3 4 8 2

2

4 7

? 1 1 5 7 2 6 2 4 9 2 4 0 0 5 4 2 9 , 9 0 0 8 6 4 6 4 7 6 1 5 0 5 0 . 7 3 9 3 9

0 . 6 1 2 0 2 0 . 5 8 4 2 8

4 7 9 1 2 9 5 2 7 1 9 0 2 0 , 6 5 4 8 2 7 1 0 9 4 9 5 8 7 0 . 6 6 0 4 6 0 . 6 6 0 4 6

0 . 5 7 0 7 5

1 0 6 0 9 0 0 5 9 8 3 5 2 2 1 , 1 1 5 0 6 7 3 2 5 7 5 5 9 7 5 0 . 6 3 2 1 0 0 . 6 3 2 1 0 0 . 6 3 2 1 0

2

4 8

? 5 9 4 9 2 3 5 2 5 8 6 2 8 9 5 8 , 2 5 3 0 8 7 3 4 1 9 1 6 1 0 7 0 . 7 4 5 8 6

0 . 4 2 5 9 6 0 . 4 2 5 9 6

5 1 6 9 9 6 0 8 6 3 2 6 9 4 , 8 4 1 9 1 5 0 9 4 9 5 4 5 0 . 6 6 3 0 2 0 . 6 4 9 8 5

0 . 5 8 4 3 5

5 9 2 7 9 4 2 0 9 0 1 0 0 7 , 1 6 3 7 2 4 8 0 8 3 0 6 7 8 2 0 . 6 5 8 3 9 0 . 6 3 5 9 5 0 . 6 3 5 9 5

2

4 9

? 8 1 2 6 5 6 0 9 8 8 5 9 0 4 2 2 4 , 4 6 3 1 3 4 2 5 0 9 8 9 7 8 2 0 . 7 3 5 0 6

0 . 5 3 0 6 6 0 . 5 3 0 6 6

4 8 0 5 6 7 6 1 5 6 1 2 9 7 6 , 5 4 5 1 1 6 4 0 9 1 4 8 7 3 7 0 . 6 5 5 9 4 0 . 6 4 2 4 6

0 . 5 7 2 6 9

3 0 5 8 9 8 8 5 7 6 4 3 6 8 1 , 1 9 0 9 6 5 9 2 6 3 0 4 7 6 8 0 . 6 6 3 3 3 0 . 6 3 7 8 8 0 . 6 3 5 7 7

2

5 0

? 2 7 1 0 8 7 1 4 1 3 2 0 1 8 5 0 1 0 , 1 0 5 1 1 2 2 0 0 9 5 4 2 7 9 5 0 . 7 2 8 5 2

0 . 5 2 2 0 8 0 . 5 2 2 0 8

1 5 7 2 5 2 7 2 4 9 0 1 2 4 3 , 4 2 2 7 0 5 9 9 2 1 3 6 6 5 1 0 . 6 3 9 1 2 0 . 6 3 9 1 2

0 . 6 2 0 4 4

7 9 1 0 3 8 3 6 3 3 0 7 3 1 1 , 6 0 5 9 8 5 2 9 9 4 3 2 3 5 2 0 . 6 4 4 6 6 0 . 6 2 8 3 7 0 . 6 2 8 3 7

2

5 1

? 1 2 9 3 4 9 0 4 4 1 9 1 5 4 7 2 5 7 , 2 1 2 8 8 8 4 9 7 0 5 1 2 4 1 4 0 . 7 3 0 5 4

0 . 5 3 6 8 3 0 . 5 3 6 8 3

2 7 7 6 7 8 5 7 5 4 7 8 2 1 9 , 5 9 8 2 6 9 6 7 8 7 7 6 8 2 2 0 . 6 5 5 0 1 0 . 6 4 2 8 3

0 . 6 1 8 2 0

4 8 6 8 4 8 1 8 6 9 2 1 7 7 2 , 1 9 8 0 1 1 3 7 0 9 6 9 0 2 5 7 0 . 6 7 1 8 1 0 . 6 3 4 9 7 0 . 6 3 4 9 7

2

5 2

? 4 7 4 3 5 9 2 8 7 9 2 4 4 4 2 9 5 6 , 3 7 0 7 0 7 9 8 4 7 4 6 5 1 5 3 0 . 7 2 0 9 5

0 . 4 8 1 1 7 0 . 4 8 1 1 7

3 6 2 2 6 8 9 0 8 9 0 1 8 6 6 1 , 2 9 0 4 1 4 4 2 6 5 8 1 7 2 9 0 . 6 8 8 2 7 0 . 6 4 4 8 2

0 . 6 0 8 4 1

7 1 1 6 6 7 6 4 2 8 8 0 1 8 5 , 3 3 1 9 3 4 7 7 9 7 1 1 4 5 7 8 0 . 6 3 7 6 6 0 . 6 3 0 6 7 0 . 6 3 0 6 7

2

5 3

? 1 1 1 2 0 8 2 8 3 9 2 7 4 6 2 6 5 5 8 , 3 1 4 1 6 2 7 1 1 6 3 1 8 0 4 3 0 . 7 4 8 4 2

0 . 4 9 4 7 1 0 . 4 9 4 7 1

4 1 7 9 0 8 1 7 1 3 6 8 9 0 2 7 , 1 1 6 9 8 3 1 4 8 0 6 0 8 7 0 4 0 . 6 4 9 6 7 0 . 6 4 1 0 2

0 . 5 9 3 3 3

5 6 6 7 0 7 2 5 3 4 3 5 5 5 3 7 , 7 9 8 2 9 8 6 7 0 7 6 9 0 6 4 9 0 . 6 7 4 3 0 0 . 6 3 5 0 3 0 . 6 3 5 0 3


8/12



m a ; a

M

8

( m ; a ) M

1 6

( m ; a ) M

3 2

( m ; a )

2

5 4

? 3 3 9 1 3 1 1 4 8 2 6 7 9 3 3 0 7 1 , 1 7 6 3 9 0 5 4 8 9 5 5 0 9 7 5 6 0 . 7 1 9 5 6

0 . 5 9 1 3 6 0 . 5 9 1 3 6

3 8 1 9 2 1 7 1 3 7 9 1 8 4 2 7 , 6 8 2 2 5 4 6 3 9 5 5 0 5 1 4 8 0 . 6 7 4 5 6 0 . 6 5 6 4 6

0 . 6 0 3 5 8

1 1 6 7 6 6 0 3 7 1 7 5 4 3 4 8 5 , 1 3 1 9 7 3 9 3 2 5 2 1 4 6 0 3 9 0 . 6 6 1 8 9 0 . 6 3 6 6 3 0 . 6 3 2 5 0

2

5 5

? 5 5 3 3 2 6 6 5 4 4 6 7 6 6 7 0 4 8 9 , 1 1 7 1 9 4 7 6 5 3 0 6 9 3 4 4 2 0 . 7 3 0 4 6

0 . 6 1 0 6 6 0 . 5 5 5 9 8

1 9 7 0 8 8 8 1 9 4 9 1 7 4 6 8 6 , 3 2 1 8 2 6 8 4 8 8 5 5 7 1 6 3 0 0 . 6 5 4 2 1 0 . 6 5 0 9 1

0 . 6 1 0 3 5

3 2 0 7 5 9 7 2 4 2 1 2 0 9 7 0 1 , 1 5 9 9 5 5 6 1 0 2 3 3 9 6 9 3 3 0 . 6 2 9 4 8 0 . 6 2 9 4 8 0 . 6 2 9 4 8

2

5 6

? 5 4 5 9 5 5 5 1 6 8 7 8 2 5 9 9 3 , 6 1 2 8 5 1 4 2 9 4 0 4 8 5 8 4 0 . 7 2 0 2 6

0 . 5 7 7 2 4 0 . 5 7 7 2 4

2 6 0 9 3 6 4 4 4 0 9 2 6 8 2 7 8 , 6 9 2 9 4 2 7 1 6 7 2 2 8 8 4 9 2 0 . 6 7 8 4 0 0 . 6 6 3 1 8

0 . 5 8 2 0 7

4 5 9 5 5 5 1 6 8 7 8 2 8 6 1 1 , 2 3 8 9 9 1 6 8 0 9 9 9 4 4 6 7 0 . 6 4 7 7 8 0 . 6 4 2 4 3 0 . 6 2 7 8 4

2

5 7

? 1 3 7 5 9 5 3 7 0 8 2 9 4 7 5 2 9 9 0 , 6 6 3 5 2 6 3 7 8 6 6 8 9 1 7 1 4 0 . 7 2 7 3 2

0 . 5 7 4 7 3 0 . 5 6 0 2 6

9 5 4 2 4 0 0 6 1 6 1 7 5 8 0 6 5 , 2 2 7 4 8 1 2 3 6 8 6 1 5 0 8 7 0 . 6 4 8 5 6 0 . 6 4 8 5 6

0 . 5 9 4 6 4

1 3 3 6 8 6 4 7 2 0 7 3 6 6 0 3 9 7 , 1 1 3 0 7 9 7 5 1 5 4 7 2 2 1 1 3 0 0 . 6 4 5 8 8 0 . 6 2 9 5 7 0 . 6 2 9 5 7

2

5 8

? 2 7 1 0 1 5 6 5 6 9 5 0 8 6 1 2 2 1 8 7 , 5 6 5 0 2 9 4 3 1 7 1 8 0 6 2 7 6 0 . 7 7 4 5 3

0 . 5 5 8 8 5 0 . 5 5 8 8 5

1 6 3 8 4 7 9 3 6 8 7 6 9 8 0 5 3 6 , 2 5 6 4 6 2 4 9 2 8 1 1 8 2 9 4 2 7 0 . 6 8 0 4 7 0 . 6 6 5 3 1

0 . 5 4 3 1 4

2 0 6 6 3 8 3 1 0 9 7 4 4 5 7 5 5 5 , 2 8 1 4 6 5 2 8 6 3 5 2 1 0 6 4 7 0 . 6 4 6 3 2 0 . 6 3 4 0 6 0 . 6 3 4 0 6

2

5 9

? 5 5 3 4 6 7 6 4 8 5 1 5 1 1 0 6 4 6 4 1 , 2 8 7 5 1 4 7 1 9 5 1 9 2 3 5 4 3 1 0 . 7 1 8 1 9

0 . 5 4 3 2 5 0 . 5 4 3 2 5

1 2 4 7 9 5 8 8 4 5 8 0 6 4 8 5 7 6 , 5 2 6 4 5 7 4 6 1 9 0 7 4 6 4 6 0 1 0 . 6 4 9 2 8 0 . 6 4 7 6 0

0 . 6 2 2 7 9

5 7 3 2 2 3 4 0 9 9 5 2 5 5 3 9 2 5 , 8 1 2 2 2 3 0 4 4 5 3 4 8 1 8 1 0 0 . 6 4 2 5 8 0 . 6 3 1 1 1 0 . 6 3 1 1 1

2

6 0

? 9 3 5 6 1 8 6 0 7 7 3 1 0 2 4 1 3 5 6 3 , 7 9 3 0 0 7 2 5 7 4 0 2 5 9 8 5 2 0 . 7 2 5 4 1

0 . 5 0 7 8 6 0 . 5 0 7 8 6

4 3 9 1 3 8 2 3 8 5 2 6 0 0 7 9 3 2 , 9 9 8 9 2 2 5 4 9 7 3 4 7 6 1 5 6 8 0 . 6 6 0 9 8 0 . 6 5 2 5 8

0 . 6 0 3 5 0

7 3 4 0 2 2 6 3 9 6 7 5 9 2 5 5 2 2 , 6 7 2 7 3 6 2 7 9 5 6 6 8 5 4 6 3 0 . 6 6 0 2 4 0 . 6 2 3 7 5 0 . 6 2 3 7 5

2

6 1

? 1 1 3 5 1 7 5 0 4 8 4 0 4 9 9 5 2 0 0 3 , 2 0 7 8 1 7 3 0 4 9 7 5 2 5 6 0 1 3 8 0 . 7 1 0 2 8

0 . 5 4 9 9 9 0 . 5 4 2 7 6

1 0 7 0 9 2 2 0 6 3 1 5 9 9 3 4 1 6 7 , 2 1 2 6 9 4 6 4 2 9 4 7 9 2 5 5 8 1 0 . 6 3 7 6 9 0 . 6 3 7 6 9

0 . 5 6 1 0 8

1 2 6 7 2 0 5 0 1 0 8 1 2 4 5 1 2 7 0 , 1 2 8 3 8 3 9 2 1 9 6 7 6 4 0 4 7 5 5 0 . 6 3 6 4 8 0 . 6 2 0 9 2 0 . 6 2 0 9 2

2

6 2

? 5 7 2 7 7 4 2 4 3 6 1 9 9 0 3 5 6 4 5 9 3 , 1 9 8 3 3 7 3 7 1 8 1 0 4 2 8 5 9 2 1 0 . 7 2 9 8 2

0 . 6 1 0 7 3 0 . 5 9 5 6 0

4 3 1 3 3 4 7 1 3 1 9 5 1 8 6 1 1 8 , 1 1 5 9 7 3 9 4 7 9 7 2 7 5 0 9 5 7 8 0 . 6 4 9 6 6 0 . 6 4 1 8 0

0 . 5 9 5 6 0

2 1 9 2 6 4 1 8 7 9 6 6 0 2 1 4 9 3 4 , 2 6 7 4 5 4 6 5 3 2 9 8 6 4 1 4 7 5 0 0 . 6 2 4 3 1 0 . 6 2 3 7 4 0 . 6 2 3 7 4

2

6 3

? 2 5 4 6 4 5 9 0 6 5 8 7 8 2 3 2 9 1 3 6 8 , 6 0 0 9 1 8 1 0 4 2 0 7 2 8 1 5 7 0 . 7 3 8 5 5

0 . 5 0 7 4 1 0 . 5 0 7 4 1

2 5 5 1 0 9 1 3 3 4 5 3 5 1 8 5 3 9 8 , 9 0 0 6 5 4 1 6 6 9 0 6 0 5 1 2 5 4 7 0 . 6 5 1 6 9 0 . 6 4 4 1 8

0 . 5 8 2 6 1

4 3 7 3 3 0 5 5 6 7 8 5 9 9 0 4 1 8 6 , 6 4 5 8 9 2 8 1 7 9 4 5 1 3 6 3 9 8 3 0 . 6 2 5 8 2 0 . 6 2 5 8 2 0 . 6 2 4 9 7

2

6 4

? 5 9 1 3 8 9 1 1 7 6 6 6 5 7 0 6 0 6 4 8 4 2 , 9 0 4 4 8 3 6 4 1 9 7 1 3 9 7 2 2 6 8 0 . 7 4 1 0 5

0 . 3 6 2 9 7 0 . 3 6 2 9 7

2 2 2 7 0 5 7 0 1 0 9 1 0 3 6 6 6 8 7 , 1 7 4 1 2 2 2 4 8 8 6 4 6 8 0 1 8 7 9 7 0 . 6 8 3 7 7 0 . 6 4 5 7 9

0 . 5 2 4 0 5

1 8 2 6 3 4 4 0 3 1 2 4 5 8 7 8 9 4 7 1 , 8 1 1 4 6 5 9 8 0 8 7 4 0 2 6 8 9 4 0 . 6 3 2 7 6 0 . 6 2 9 7 0 0 . 6 2 9 7 0

2

1 2 7

? 1 8 2 4 6 1 0 9 6 5 4 7 3 3 4 8 1 2 3 0 7 2 5 6 2 1 1 6 6 8 4 9 0 6 0 5 0 9 6 ,

3 3 5 4 1 8 4 4 1 5 5 6 6 9 2 0 1 5 7 3 0 4 5 2 7 7 3 5 4 9 8 5 9 6 1 1 3 3 0 . 7 4 7 0 2

0 . 5 0 0 2 7 0 . 5 0 0 2 7

1 1 3 7 8 3 3 0 6 1 3 4 4 9 5 4 8 4 2 5 7 5 3 7 8 8 1 3 2 5 0 9 4 8 1 5 8 1 8 ,

5 4 9 7 5 4 8 7 0 9 5 4 1 9 5 5 6 9 8 3 3 5 2 0 3 4 1 4 2 2 9 2 6 7 1 9 0 . 6 3 4 6 2 0 . 6 2 5 9 0

0 . 5 6 1 0 5

2 9 5 9 0 7 6 1 9 3 7 6 8 4 2 6 5 5 6 6 9 2 4 6 7 1 4 7 8 1 3 2 8 2 6 2 6 9 ,

1 1 2 4 8 8 8 5 0 8 9 5 9 7 0 2 2 0 7 8 6 0 6 2 9 4 2 7 9 7 9 6 8 6 6 5 2 1 0 0 . 6 8 7 6 6 0 . 6 2 0 5 9 0 . 6 1 2 1 4

2

1 2 8

? 1 5 9 2 4 3 2 6 7 3 7 4 5 6 4 2 8 4 6 8 7 0 4 2 6 6 7 4 0 3 9 2 3 3 5 0 5 3 9 1 3 2 ,

2 7 0 2 0 8 7 9 8 1 7 4 8 3 2 0 4 9 2 2 7 0 1 1 7 2 2 2 9 9 7 2 7 4 6 8 7 1 2 0 . 7 4 2 6 2

0 . 5 6 8 6 5 0 . 5 0 1 0 0

5 5 4 0 1 8 1 9 5 7 7 3 1 8 1 6 8 0 1 0 0 6 1 2 7 0 3 6 9 4 5 1 2 9 4 9 7 6 ,

1 6 9 3 2 7 2 1 1 7 0 0 6 2 9 7 4 0 3 9 1 1 6 4 7 2 3 9 7 2 8 5 2 0 4 6 1 3 0 0 . 6 4 4 6 6 0 . 6 4 4 6 6

0 . 5 1 7 2 6

1 1 9 6 8 2 8 1 1 2 0 2 1 9 4 7 7 7 3 0 5 5 3 8 8 3 2 4 7 8 2 4 1 0 4 0 4 3 0 ,

1 9 7 8 0 1 4 3 0 6 7 6 6 5 5 4 7 7 1 2 3 6 1 2 8 2 9 3 7 1 4 7 7 0 8 8 2 5 9 0 . 6 4 2 8 9 0 . 6 2 3 9 6 0 . 6 2 3 9 6

3 . P o w e r - o f - T w o M o d u l i

W e n o w r e p o r t a c o m p u t e r s e a r c h f o r t h e c a s e w h e r e m = 2

e

f o r s o m e p o s i t i v e

i n t e g e r e . I n t h i s c a s e , t h e m a x i m a l p e r i o d o f t h e M L C G ( 1 ) i s 2

e ? 2

= m = 4 ,


9/12


T a b l e 3 . L C G s w i t h G o o d F i g u r e s o f M e r i t a n d a ( m ? 1 ) 0 i s o d d , a n d a m o d 8 = 5 ( s e e , e . g . , 3 , 5 ] ) . R e d e n e ( m ) = f a 2 Z

m

:

a m o d 8 = 5

g. I n t h e c a s e w h e r e c i s o d d , T

t

, d

t

( a ; m ) , d

t

( m ) , e t c . , a r e d e n e d a s

b e f o r e . F o r t h e M L C G c a s e ( c = 0 ) , r e d e n e :

T

t

= f u

n

= ( u

n

; : : : ; u

n + t ? 1

) j n 0 ; x

0

2 Z

m

a n d x

0

m o d 4 = 1 g

= f ( u

n

; : : : ; u

n + t ? 1

) j n 0 ; x

0

= 1 g :

T h i s s e t h a s c a r d i n a l i t y m = 4 a n d i s t h e i n t e r s e c t i o n o f a s h i f t e d l a t t i c e L

t

w i t h

0 ; 1 )

t

( 5 ] ) . I n t h i s c a s e , t h e l o w e r b o u n d o n d

t

b e c o m e s : d

t

( m ) =

? 1

t

( m = 4 )

? 1 = t

.

L C G s w i t h p o w e r - o f - t w o m o d u l i h a v e a m a j o r d r a w b a c k : T h e ( r + 1 ) t h m o s t

s i g n i c a n t b i t h a s p e r i o d l e n g t h a t m o s t 2

? r

t i m e s t h a t o f t h e m o s t s i g n i c a n t

b i t . T h e l o w o r d e r b i t s t h u s h a v e r a t h e r s h o r t p e r i o d l e n g t h s a n d f o r t h i s r e a s o n ,

m a n y a u t h o r s r e c o m m e n d a v o i d i n g t h e s e g e n e r a t o r s f o r s i m u l a t i o n . H o w e v e r , i f e

i s v e r y l a r g e a n d o n l y t h e m o s t s i g n i c a n t b i t s a r e u s e d ( e . g . , i f e = 1 2 8 a n d t h e

5 3 m o s t s i g n i c a n t b i t s o f e a c h x

n

a r e u s e d t o c o n s t r u c t a o a t i n g - p o i n t n u m b e r

b e t w e e n 0 a n d 1 ) , t h e n t h i s d r a w b a c k b e c o m e s m u c h l e s s i m p o r t a n t . A l s o , i n t h e

c a s e w h e r e t h e e n t i r e s e t o f p o i n t s T

t

i s u s e d f o r q u a s i - M o n t e C a r l o i n t e g r a t i o n , t h i s

p e r i o d i c i t y i s s u e i s n o l o n g e r r e l e v a n t . T h e m a j o r r e a s o n f o r c o n s i d e r i n g p o w e r - o f -

t w o m o d u l i i s t h a t i t m a k e s ( 1 ) a n d ( 9 ) e a s y t o i m p l e m e n t o n a c o m p u t e r a n d y i e l d s

f a s t g e n e r a t o r s .


10/12


11/12

G O O D L A T T I C E S T R U C T U R E 1 1

T a b l e 5 . L C G s w i t h G o o d F i g u r e s o f M e r i t , f o r m = 2

e

a n d c = 0

m a ; a

M

8

( m ; a ) M

1 6

( m ; a ) M

3 2

( m ; a )

2

3 0

1 7 7 9 1 1 5 2 5 , 1 7 3 7 2 9 0 9 0 . 7 4 8 7 8

0 . 5 3 8 5 0 0 . 5 3 8 5 0

1 5 6 0 5 1 8 6 9 , 5 2 2 7 4 3 5 7 0 . 6 9 5 0 1 0 . 6 7 9 4 0

0 . 6 4 4 1 3

1 4 3 1 3 3 8 6 1 , 2 3 3 8 9 6 7 4 9 0 . 6 9 3 0 5 0 . 6 6 7 9 1 0 . 6 6 7 9 1

2

3 1

5 9 4 1 5 6 8 9 3 , 4 5 2 2 7 1 8 6 1 0 . 7 5 9 1 3

0 . 5 0 2 4 4 0 . 5 0 2 4 4

5 5 8 1 7 7 1 4 1 , 4 1 3 9 6 5 5 3 3 0 . 6 8 9 7 8 0 . 6 8 7 4 9

0 . 5 9 4 5 0

6 0 2 1 6 9 6 5 3 , 4 4 8 8 9 9 3 5 7 0 . 6 7 2 9 5 0 . 6 7 1 1 6 0 . 6 7 1 1 6

2

3 2

7 4 1 1 0 3 5 9 7 , 8 8 7 9 8 7 6 8 5 0 . 7 5 6 5 2

0 . 5 3 7 0 7 0 . 5 3 7 0 7

1 5 9 7 3 3 4 6 7 7 , 8 5 1 7 2 3 9 6 5 0 . 7 0 0 6 8 0 . 6 7 6 8 6

0 . 6 4 6 9 4

7 4 7 7 9 6 4 0 5 , 2 0 4 2 0 9 8 2 1 0 . 6 6 8 9 3 0 . 6 6 0 0 1 0 . 6 6 0 0 1

2

3 3

2 1 8 5 2 5 3 3 3 3 , 1 7 3 1 7 0 5 5 7 0 . 7 5 8 9 6

0 . 4 9 7 0 7 0 . 4 9 7 0 7

2 1 7 4 2 4 1 3 2 5 , 1 4 0 6 9 6 5 1 5 7 0 . 6 8 3 1 2 0 . 6 8 2 8 9

0 . 6 2 2 5 0

2 1 6 7 9 8 5 0 4 5 , 1 7 2 0 3 1 1 7 4 1 0 . 6 7 7 8 7 0 . 6 7 7 8 7 0 . 6 6 5 4 8

2

3 4

1 1 4 8 1 2 7 1 0 4 5 , 3 6 9 4 3 8 1 5 1 7 0 . 7 5 4 6 6

0 . 5 6 8 0 6 0 . 5 6 8 0 6

4 3 2 4 9 1 1 1 2 5 , 1 6 2 0 0 2 7 1 9 7 0 . 6 7 4 2 9 0 . 6 7 1 0 5

0 . 5 8 0 6 2

4 3 2 7 2 7 8 1 9 7 , 3 5 8 6 1 3 6 5 4 1 0 . 6 5 6 3 0 0 . 6 5 3 3 6 0 . 6 5 3 3 6

2

3 5

8 6 7 0 4 4 2 0 4 5 , 2 2 0 0 1 8 8 1 8 1 0 . 7 5 8 1 8

0 . 5 1 2 6 4 0 . 5 1 2 6 4

8 6 2 2 6 1 9 2 0 5 , 6 0 7 3 1 0 8 6 2 1 0 . 6 8 0 5 5 0 . 6 7 2 5 5

0 . 6 0 4 6 7

2 2 2 6 0 2 5 3 8 0 5 , 7 1 1 3 0 2 4 8 6 9 0 . 6 6 6 1 9 0 . 6 6 6 0 4 0 . 6 6 6 0 4

2

3 6

4 0 9 2 8 5 6 2 6 9 , 1 4 2 2 4 9 9 7 6 3 7 0 . 7 5 6 6 2

0 . 5 0 1 6 9 0 . 5 0 1 6 9

1 7 2 2 9 8 7 3 3 2 5 , 8 5 6 5 8 0 9 0 1 0 . 6 8 4 4 2 0 . 6 7 0 5 7

0 . 6 5 5 7 0

1 7 2 4 6 9 0 6 5 3 3 , 1 2 5 1 2 0 5 0 9 8 9 0 . 6 9 7 6 1 0 . 6 6 5 7 9 0 . 6 6 5 7 9

2

4 8

4 9 4 0 2 6 0 1 3 3 8 9 1 7 , 5 5 6 7 1 9 5 8 0 0 4 9 3 0 . 7 5 8 0 1

0 . 5 8 0 6 2 0 . 5 8 0 6 2

7 0 1 8 9 8 4 7 2 4 2 8 5 3 , 6 9 0 3 6 0 5 3 8 2 5 9 0 1 0 . 6 7 6 1 8 0 . 6 6 8 5 7

0 . 6 1 5 8 6

2 1 7 4 9 2 7 6 8 3 8 5 7 3 , 6 6 4 7 3 8 1 1 0 1 1 8 7 7 0 . 6 5 7 0 2 0 . 6 4 6 9 2 0 . 6 4 6 9 2

2

6 0

2 7 6 1 3 7 4 8 4 7 3 6 3 4 6 3 7 3 , 9 6 3 9 7 2 2 9 7 3 2 1 1 3 3 5 7 0 . 7 5 2 7 7

0 . 4 8 9 1 6 0 . 4 8 9 1 6

1 5 0 8 7 8 9 9 1 4 2 6 2 1 8 6 2 1 , 2 4 3 7 6 5 3 5 0 2 4 9 5 8 6 3 8 9 0 . 6 5 5 2 7 0 . 6 5 5 1 0

0 . 5 9 4 9 8

2 7 1 4 1 3 3 2 2 6 5 4 0 8 7 6 2 1 , 1 1 1 0 0 8 6 0 5 0 3 9 1 0 7 3 4 1 0 . 6 4 8 5 1 0 . 6 4 8 5 1 0 . 6 4 4 3 5

2

6 3

3 5 1 2 4 0 1 9 6 5 0 2 3 5 0 3 5 1 7 , 1 4 4 7 8 7 8 7 3 6 9 3 0 3 7 4 0 6 9 0 . 7 4 9 2 6

0 . 5 0 0 9 2 0 . 5 0 0 9 2

2 4 4 4 8 0 5 3 5 3 1 8 7 6 7 2 4 6 9 , 2 0 7 9 2 4 3 8 1 1 2 5 7 7 6 2 2 3 7 0 . 7 0 9 3 7 0 . 6 6 0 9 1

0 . 6 1 4 0 3

1 9 8 7 5 9 1 0 5 8 8 2 9 3 1 0 7 3 3 , 1 7 0 2 1 2 6 2 1 6 6 0 6 8 9 5 0 4 5 0 . 6 4 4 9 0 0 . 6 4 0 6 0 0 . 6 3 9 9 4

2

6 4

1 1 8 1 7 8 3 4 9 7 2 7 6 6 5 2 9 8 1 , 4 2 9 2 4 8 4 0 9 9 9 0 3 6 3 7 6 6 1 0 . 7 6 0 3 9

0 . 4 2 6 7 2 0 . 4 2 6 7 2

7 6 6 4 3 4 5 8 2 1 8 1 5 9 2 0 7 4 9 , 1 8 6 5 8 1 1 2 3 5 1 2 2 1 4 7 6 8 5 0 . 6 7 7 7 8 0 . 6 6 1 1 5

0 . 5 4 8 8 4

2 6 8 5 8 2 1 6 5 7 7 3 6 3 3 8 7 1 7 , 1 8 0 3 4 4 2 7 0 9 4 9 3 3 7 0 1 6 5 0 . 6 5 9 6 1 0 . 6 3 9 3 2 0 . 6 3 9 3 2

2

1 2 8

2 5 0 9 6 2 8 1 5 1 8 9 1 2 1 0 5 3 4 2 1 9 1 8 5 1 9 1 7 8 3 8 7 1 8 6 2 9 ,

5 5 6 4 0 5 9 3 2 6 2 0 4 4 3 0 2 4 8 0 7 6 6 4 6 0 3 5 2 3 1 7 6 7 7 8 6 9 0 . 7 6 5 9 8

0 . 5 5 1 2 2 0 . 5 5 1 2 2

2 3 7 6 6 6 3 4 9 7 5 7 4 3 2 7 0 0 9 7 9 7 2 2 7 1 9 8 9 9 2 7 6 5 4 0 8 5 ,

6 7 8 3 6 3 6 5 5 3 7 8 1 1 7 0 7 6 0 9 2 7 4 1 6 8 3 2 3 8 8 7 5 6 1 7 4 1 0 . 6 5 7 0 8 0 . 6 5 7 0 8

0 . 5 5 6 6 2

9 2 5 6 3 7 0 4 5 6 2 8 0 4 1 8 6 0 7 1 6 5 5 5 8 7 8 9 8 3 7 3 6 0 6 1 0 9 ,

4 2 1 9 5 4 6 9 8 2 6 2 3 8 3 2 2 4 6 6 8 2 1 1 3 9 5 5 5 2 8 5 8 3 5 1 2 5 0 . 6 3 4 6 2 0 . 6 3 4 6 2 0 . 6 3 4 0 5

R e f e r e n c e s

1 ] J . H . C o n w a y a n d N . J . A . S l o a n e , S p h e r e p a c k i n g s , l a t t i c e s a n d g r o u p s , G r u n d l e h r e n d e r

M a t h e m a t i s c h e n W i s s e n s c h a f t e n 2 9 0 , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 8 8 .

2 ] G . S . F i s h m a n , M u l t i p l i c a t i v e c o n g r u e n t i a l r a n d o m n u m b e r g e n e r a t o r s w i t h m o d u l u s 2

: A n

e x h a u s t i v e a n a l y s i s f o r = 3 2 a n d a p a r t i a l a n a l y s i s f o r = 4 8 , M a t h e m a t i c s o f C o m p u t a -

t i o n 5 4 ( 1 9 9 0 ) , n o . 1 8 9 , 3 3 1 { 3 4 4 .

3 ] , M o n t e C a r l o : C o n c e p t s , a l g o r i t h m s , a n d a p p l i c a t i o n s , S p r i n g e r S e r i e s i n O p e r a t i o n s

R e s e a r c h , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 9 6 .

4 ] G . S . F i s h m a n a n d L . S . M o o r e I I I , A n e x h a u s t i v e a n a l y s i s o f m u l t i p l i c a t i v e c o n g r u e n t i a l

r a n d o m n u m b e r g e n e r a t o r s w i t h m o d u l u s 2

3 1

? 1 , S I A M J o u r n a l o n S c i e n t i c a n d S t a t i s t i c a l

C o m p u t i n g 7 ( 1 9 8 6 ) , n o . 1 , 2 4 { 4 5 .

5 ] D . E . K n u t h , T h e a r t o f c o m p u t e r p r o g r a m m i n g , v o l u m e 2 : S e m i n u m e r i c a l a l g o r i t h m s , s e c o n d

e d . , A d d i s o n - W e s l e y , R e a d i n g , M a s s . , 1 9 8 1 .


12/12

1 2 P I E R R E L ' E C U Y E R

6 ] P . L ' E c u y e r , E c i e n t a n d p o r t a b l e c o m b i n e d r a n d o m n u m b e r g e n e r a t o r s , C o m m u n i c a t i o n s

o f t h e A C M 3 1 ( 1 9 8 8 ) , n o . 6 , 7 4 2 { 7 4 9 a n d 7 7 4 . S e e a l s o t h e c o r r e s p o n d e n c e i n t h e s a m e

j o u r n a l , 3 2 ( 1 9 8 9 ) , n o . 8 , 1 0 1 9 { 1 0 2 4 .

7 ] , R a n d o m n u m b e r g e n e r a t i o n , H a n d b o o k o n S i m u l a t i o n ( J e r r y B a n k s , e d . ) , W i l e y ,

1 9 9 7 , T o a p p e a r .

8 ] P . L ' E c u y e r , F . B l o u i n , a n d R . C o u t u r e , A s e a r c h f o r g o o d m u l t i p l e r e c u r s i v e r a n d o m n u m b e r

g e n e r a t o r s , A C M T r a n s a c t i o n s o n M o d e l i n g a n d C o m p u t e r S i m u l a t i o n 3 ( 1 9 9 3 ) , n o . 2 , 8 7 { 9 8 .

9 ] P . L ' E c u y e r a n d R . C o u t u r e , A n i m p l e m e n t a t i o n o f t h e l a t t i c e a n d s p e c t r a l t e s t s f o r m u l t i p l e

r e c u r s i v e l i n e a r r a n d o m n u m b e r g e n e r a t o r s , I N F O R M S J o u r n a l o n C o m p u t i n g 9 ( 1 9 9 7 ) ,

n o . 2 , 2 0 6 { 2 1 7 .

1 0 ] H . N i e d e r r e i t e r , R a n d o m n u m b e r g e n e r a t i o n a n d q u a s i - M o n t e C a r l o m e t h o d s , S I A M C B M S -

N S F R e g i o n a l C o n f e r e n c e S e r i e s i n A p p l i e d M a t h e m a t i c s , v o l . 6 3 , S I A M , P h i l a d e l p h i a , 1 9 9 2 .

1 1 ] M . S a k a m o t o a n d S . M o r i t o , C o m b i n a t i o n o f m u l t i p l i c a t i v e c o n g r u e n t i a l r a n d o m n u m b e r

g e n e r a t o r s w i t h s a f e p r i m e m o d u l u s , P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 9 5 W i n t e r S i m u l a t i o n C o n f e r e n c e ,

I E E E P r e s s , 1 9 9 5 , p p . 3 0 9 { 3 1 5 .

D

e p a r t e m e n t d ' I n f o r m a t i q u e e t d e R e c h e r c h e O p

e r a t i o n n e l l e , U n i v e r s i t

e d e M o n t r

e -

a l , C . P . 6 1 2 8 , S u c c . C e n t r e - V i l l e , M o n t r

e a l , H 3 C 3 J 7 , C a n a d a

E - m a i l a d d r e s s : l e c u y e r @ i r o . u m o n t r e a l . c a

tables of linear congruential generators of different sizes and good lattice structure

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