TALESOVA TEOREMADokaz direktne Talesove teoreme i primjeri

Mile Koljanqi�

20. jóë 2017.

Talesova teorema MKoljanqi�, prof mat - info

Strana 2 2 od 13 20. jóë 2017.

Ñàäðæàj

1 Didaktiqko - metodiqki dio pripreme 51.1 Zaglavlje pripreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Oqekivani ish̀od . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Tip qasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Oblik rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Nastavne metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Nastavna sredstva i pomagala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Struktura qasa 72.1 Uvodni dio qasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Glavni dio qasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Zavrxni dio qasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Zapa�anja o realizaciji qasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3

Talesova teorema MKoljanqi�, prof mat - info

Strana 4 4 od 13 20. jóë 2017.

Ãëàâà 1

Didaktiqko - metodiqki diopripreme

1.1 Zaglavlje pripreme

� Razred, VII I1,

� Datum, 25. april 2017. godine,

� Tema: Talesova teorema,

� Nastvna jedinica: Direktna Talesova teorema, dokaz i primjeri.

1.2 Oqekivani ish̀od

Uqenici treba da:

� Znaju kako glasi Talesova teorema,

� Razumiju koji su to ”...odgovaraju�i odsjeqci proporcionalni.”,

� Primijene nauqeno na primjeru podele du�i na jednake dijelove,

� Doka�u Talesovu teoremu (za najvixu ocjenu).

1.3 Tip qasa

Qas obrade novog gradiva.Qas obrade novog gradiva namijenjen je sticanju novih znanja. Uqenici se upoznaju sa novimmatematiqkim pojmovima, pravilima, dokazima i postupcima za njihovu primjenu. U primjeninauqenog voditi dovoljno raquna o postupnosti i sistematiqnosti. Qas obrade, po pravilu,ima sve tri faze: uvod, glavni dio i zakljuqak. Trajanje pojedinih faza zavisi od sadr�ajakoji se obra�uje, a odre�uje se orijentaciono u toku pripremanja i planiranja nastavnog qasa.

1.4 Oblik rada

Frontalni oblik rada. Individualni oblik rada.Pod frontalnim oblikom podrazumijeva se rad sa uqenicima jednog odeljenja, uz primjenuistih metoda rada, u savladavanju istih nastavnih sadr�aja, ostvarivanju istih obrazovno -

5

Talesova teorema MKoljanqi�, prof mat - info

vaspitnih zadataka i pod istim uslovima rada. Rad organizuje i njime neposredno rukovodinastavnik. On se obra�a svim uqenicima odeljenja, a zahtijeva da odgovore na postavljenapitanja daju samo pojedinci.Pod individualnim oblikom rada podrazumijeva se pojedinaqan rad, pri qemu svaki uqenikradi samostalno na posebnom zadatku, ili svi uqenici rade samostalno na istom zadatku - xto�emo mi koristiti na ovom qasu u dijelu primjene Talesove teoreme.

1.5 Nastavne metode

Monoloxka metoda. Dijaloxka metoda. Metoda ilustracije. Metoda rada sa tekstom.Monoloxka metoda ili usmeno izlaganje sastoji se u tome xto nastavnik izla�e svoje sadr�ajea ostali uqenici sluxaju i na taj naqin stiqu znanja. Monolog mo�e biti u vidu predavanja,pripovijedanja, opisivanja , objaxnjavanja i dokazivanja.Dijaloxka metoda ili metoda razgovora sastoji se u tome da nastavnik postavlja pitanja auqenici odgovaraju. Ova metoda se mo�e primijeniti na svakom tipu nastavnog qasa. Naqasovima obrade novog gardiva primjenjuje se u sluqajevima kad se pretpostavlja da uqeniciposjeduju izvjesna znanja na osnovu kojih se mogu izvoditi novi pojmovi i qinjenice.Ilustrovati znaqi objaxnjenje dopuniti crte�ima, dijagramima, graficima, tabelama i modelima.Mi �emo na ovom qasu koristiti Ilustrovanje crte�ima, u postupku dokazivanja Talesoveteoreme.Metoda rada sa tekstom je postupak kojim uqenici na qasovima stiqu znanja korixtenjempisanih ili xtampanih tekstova. U natavi matematike se, na �alost, ove metode rijetkokoriste (programirani materijal, egzemplarni materijal i dr). Ubenike i zbirke u rjexavanjuzadataka koristiti po principu: prepixi, uradi, provjeri u rjexenju. Nakon ispredavanelekcije uqenici �e iz ubeniku jox jednom proqitati teorijski dio. Ako uqenike ne osposobljavateza samostalan rad za posljedicu �ete imati njihovo nesnala�enje pri uqenju matematike izubenika.

1.6 Nastavna sredstva i pomagala

Nastavna sredstva za politehniqko obrazovanje uqenika: Lenjir, xestar, kreda u boji.Prirodni i vjextaqki materijali koji slu�e kao posrednik izme�u ljudskog saznanja i objektivnestvarnosti, nazivamo sredstvima, odnosno didaktiqkim materijalom. Uloga svakog nastavnogsredstva je da pokrene i olakxa one misaone operacije koje formiraju odgovaraju�i pojam,otkrivaju odgovaraju�u relaciju, rjexavaju postavljeni problem.

Strana 6 6 od 13 20. jóë 2017.

Ãëàâà 2

Struktura qasa

2.1 Uvodni dio qasa

Ako dva para du�i imaju jednake razmjere . . .

AB : CD =|AB||CD| = k

MN : PQ =|MN||PQ| = k

. . . onda su to proporcionalne du�i.

AB : CD = MN : PQ

Slika 2.1: Tales

Tales iz Mileta (640 - 547 g.p.n.e.), (Slika 2.1) je, sla�u seistoriqari, prvi grqki filozof, nauqnik i matematiqar. Talesje geometriju uqio od Egip�ana a njegov uqenik je bio Pitagora.Na�alost, nije oquvano nixta od njegovih pisanih dela. Ipak, mnogigrqki filozofi su ostavili traga o Talesu i njegovom radu. Ononajva�nije xto mu matematiqari pripisuju, jest qinjenica da je prvidao logiqke temelje dokazivanju teorema. Drugim tijeqima, Tales jeprvi naglasio da nije dovoljno samo opa�ati pojave, ve� ih treba idokazivati.Zanimljivo je da postoje mnoge priqe kako je Tales bio u �ivotuvrlo vjext za sve poslove, a s druge strane i nepopravljivi sanjar.Aristotel, na primjer, spominje priqu kako je Tales bio vjext uzakljuqivanju da li �e masline u Grqkoj slede�e godine dobro roditi,i nije ostajao samo na rijeqima, ve� je nakon toga kupovao i sve preseu okolini i tako se obogatio kada su seljaci nakon berbe trebaliprexati masline za ulje.Platon spominje priqu kako je Tales jedne no�i pjexaqio posmatraju�i nebo. Gledaju�i unebo i ne paze�i kamo staje, pao je u jarak. Zgodna slu�avka mu je pomogla da iza�e i reklamu: ”Kako oqekujex da �ex razumjeti xta se doga�a gore na nebu kada ne vidix ni xto ti je podnogama?!” Ovo je vjerovatno prva zapisana xala u istoriji na raqun rastresenih profesora.

7

Talesova teorema MKoljanqi�, prof mat - info

2.2 Glavni dio qasa

Teorema 2.2.1. Talesova teorema: Ako dvije proizvoljne prave presijecamo paralelnim pravamaonda su odsjeqci na jednoj pravoj proporcionalni odgovaraju�im odsjeqcima na drugoj pravoj. Doka�i!

Ñëèêà 2.2: Talesova teorema

Dokaz: Konstruiximo dvije proizvoljne prave p i q, p ∩ q = {O}, kao na slici (Slika 2.2). Napravoj p proizvoljnim otvorom xestara nanesimo tri odsjeqka jednakih du�ina m:

|OA| = |AB| = |BC| = m

Kroz taqku A nacrtamo proizvoljnu pravu a a zatim kroz taqke B i C konstruixemo njojparalelne prave b i c:

a||b ∧ a||c

a ∩ q = {P} ∧ b ∩ q = {Q} ∧ c ∩ q = {R}

Posmatrajmo proizvoljne du� OB i OC prave p i njima odgovaraju�e du�i OQ i OR prave q.Tvrdimo:

OB : OC = OQ : OR (2.1)

Doka�imo da su odgovaraju�i odsjeqci na pravoj q jednaki :

|OP| = |PQ| = |QR| = n (2.2)

Qetvorougao ABEP je paralelogram jer su mu naspramne stranice paralelne (r||p ∧ s||p). Iztoga slijedi da je:

|PE| = |AB| = m

Konaqno, na osnovu stava USU imamo:

4OAP ∼= 4PEQ (2.3)

Strana 8 8 od 13 20. jóë 2017.

MKoljanqi�, prof mat - info Talesova teorema

Analogno se doka�e i:

4OAP ∼= 4QGR (2.4)

Na kraju iz (2.3) i (2.4) slijedi (2.2).

Posmatrajmo sada razmjeru du�i na pravoj p:

OB : OC =|OB||OC| =

2m3m

=23

(2.5)

i razmjeru odgovaraju�ih du�i na pravoj q:

OQ : OR =|OQ||OR| =

2n3n

=23

(2.6)

Poxto su razmjere (2.5) i (2.6)jednake to su odgovaraju�e du�i proporcionalne (2.7):

OB : OC = OQ : OR (2.7)

qime smo dokazali tvrdnju (2.1). Dokaz zavrxen.

Primjer 1. Du� |AB| = 10 cm, primjenom Talesove teoreme, podijeli na tri jednaka dijela!

Ñëèêà 2.3: Primjena Talesove teoreme

Rjexenje: Nauqili smo du� i dijelove du�i, primjenom osne simetrije, poloviti tj. dijelitina 2, 4, 8 itd. jednakih dijelova. Primjenom Talesove teoreme mogu�e je konstruktivnopodijeliti du� na proizvoljan broj jednakih dijelova.Neka su prave p i q dvije proizvoljne prave. Na pravoj p konstruiximo du� |AB| = 10 cm, ana pravoj q proizvoljnim otvorom xestara tri jednake du�i: |AP| = |PQ| = |QR|. Sada kroz

20. jóë 2017. 9 od 13 Strana 9

Talesova teorema MKoljanqi�, prof mat - info

krajnje taqke P i R konstruixemo pravu c a kroz taqke P i Q njoj paralelne prave a i b. Naosnovu Talesove teoreme odgovaraju�i odsjeqci su proporcionalni:

AM = MN = NB

Primjer 2. Du� |AB| = 10 cm, primjenom Talesove teoreme, podijeli u razmjeri 3 : 2. (Zasamostalan rad.)Primjer 3. Za du�i qije su du�ine date u proporciji (2.9) geometrijskim putem konstrixiqetvrtu geometrijsku proporcionalu a analitiqkim putem odredi njezinu du�inu.

a : b = c : x (2.8)

3 : 1.5 = 4 : x (2.9)

1. Geometrijsko rjexenjeKonstruisati du�i kao na slici (Slika 2.4):

Ñëèêà 2.4: Konstrukcija qetvrte geometrijske proporcionale

AB : BC = AD : DEa : b = c : x

3 : 1.5 = 4 : x

Mjerenjem du�i DE ustanovimo da je x = 2 cm.

2. Analitiqko rjexenje

a : b = c : x3 : 1.5 = 4 : x

3 · x = 4 · 1.5

x =4 · 1.5

3x = 2 cm

Strana 10 10 od 13 20. jóë 2017.

MKoljanqi�, prof mat - info Talesova teorema

2.3 Zavrxni dio qasa

Pitanjima provjeriti xta su uqenici nauqili na qasu.

� Za koje du�i ka�emo da su proporcionalne du�i,

� Kako glasi Talesova teorema,

� Kako datu du� dijelimo na tri jednaka dijela, opixi postupak,

� Kako datu du� dijelimo u razmjeri 3:2, opixi postupak.

Zadaci za samostalan rad kod ku�e se nalaze u ubeniku na strani 154.Obavezna zada�a su prva qetiri zadatka.Za dodatnu nastavu pokuxati dokazati teoreme iz ubenika na strani 153 prikazane na slikamaSl.7.13, Sl.7.14 i Sl.7.15.

2.4 Zapa�anja o realizaciji qasa

Nakon odr�anog qasa pribilje�iti zapazanja odnosno xta treba na narednom predavanju ovelekcije promijeniti i kako, kao i xta je bilo izuzetno dobro.

20. jóë 2017. 11 od 13 Strana 11

Talesova teorema MKoljanqi�, prof mat - info

Strana 12 12 od 13 20. jóë 2017.

Áèáëèîãðàôèjà

[1] Mile Koljanqi�, Testiranje u matematici kao motivacioni faktor, Banja Luka 2009.

[2] Duxan Adna�evi� i Dragoslav Mili�, ubenik i zbirka zadataka, Matematika za osmirazred, Zavod za ubenika i nastavna sredstva Istoqno Sarajevo, 2007

[3] LATEX, Program za pisanje matematiqkih tekstova.

13