taller 1 de algebra lineal de nieles jose

República Bolivariana de Venezuela Universidad Pedagógica Experimental Libertador

Instituto Pedagógico de Barquisimeto Dr. “Luis Beltrán Prieto Figueroa”

TTAALLLLEERR NN°° 11.. ÁÁLLGGEEBBRRAA LLIINNEEAALL

Estudiante: MENDOZA GRISEILA NIELES JOSÉ URDANETA JOSMARY

Profesor: SANCHÉZ JUAN CARLOS

Materia: ALGEBRA LINEAL

Especialidad: MATEMÁTICA

Sección: 5MA01N

Barquisimeto, Junio de 2.011

Taller de Álgebra Lineal. José Nieles

1

PARTE. Demostración de Teoremas Propuestos.

TEOREMA 1.11

Sean ( , , ,.) ( , , ,.)V K y W K+ + dos (2) espacios vectoriales, y sea

:T V W→ una Transformación Lineal, T es Inyectiva si y solo si T envía un subconjunto linealmente independiente de V a un subconjunto linealmente independiente de W. Demostración. Parte A

( )⇒ Hipótesis: V y W son espacios vectoriales, T es T.L. T es Inyectiva Tesis: T envía un subconjunto linealmente independiente de V

a un subconjunto linealmente independiente de W. Veamos:

Sea: 1

( ) 0n

i i wi

T vα=

=∑ , Por e una Transformación Lineal, tenemos que:

1

( ) 0n

i i wi

T vα=

=∑ .

Por definición de Núcleo, se tiene que 1

( )n

i ii

v N tα=

∈∑ , y como T es

Inyectiva (Hipótesis), el Núcleo se reduce al vector nulo de V, o sea: 1

0n

i i vi

vα=

=∑

Aplicando la definición de Linealmente Independiente a los vectores de la hipótesis, tenemos que: 0; 1,2,...,i i rα = ∀ = En Consecuencia

1 2{ ( ), ( ),..., ( )}rT v T v T v es un subconjunto Linealmente Independiente de W, de allí que T envía un subconjunto linealmente independiente de V a un subconjunto linealmente independiente de W.


2

Por otra parte Parte B

( )⇐ Hipótesis: V y W son espacios vectoriales, T es T.L.,

T envía un subconjunto linealmente independiente de V a un subconjunto linealmente independiente de W.

Tesis: T es Inyectiva Veamos:

Si T envía un subconjunto linealmente independiente de V a un subconjunto linealmente independiente de W, se cumple que:

1{ }x V⊂ linealmente independiente ⇒ 1{ ( )}T x W⊂ linealmente independiente

donde: 1 10 ( ) 0x T x≠ ∧ ≠ ( de lo contrario ambos subconjuntos serian Linealmente Dependiente ) de igual manera:

2{ }x V⊂ linealmente independiente ⇒ 2{ ( )}T x W⊂ linealmente independiente

donde: 2 20 ( ) 0x T x≠ ∧ ≠ ( de lo contrario ambos subconjuntos serian Linealmente Dependiente )

Tal Procedimiento se cumple de manera individual con todos los elementos de V, con lo cual 0v es el único vector que es enviado al 0w . En Consecuencia

( ) {0 }vN t = , de allí T es Inyectiva

De la Parte A y Parte B el Teorema 1.11 queda demostrado, es decir ( , , ,.) ( , , ,.)V K y W K+ + dos (2) espacios vectoriales, y sea :T V W→ una Transformación Lineal, T es Inyectiva si y solo si T envía un subconjunto linealmente independiente de V a un subconjunto linealmente independiente de W.


3

TEOREMA 1.17

Sean ( , , ,.) ( , , ,.)V K y W K+ + dos (2) espacios vectoriales con V de dimensión finita n. Dada una base {v1, v2, ..., vn} de V y vectores cualesquiera w1, w2, ..., wn ∈ W, Existe una única Transformación Lineal

:T V W→ tal que T(vi) = wi para i=1, 2, ..., n Hipótesis: ( , , ,.) ( , , ,.)V K y W K+ + son espacios vectoriales

{ v } = {v 1, v2, ..., vn} es una base de V { w 1, w2, ..., wn } ⊂ W

Tesis: Existe una única Transformación Li neal :T V W→ tal que T(vi) = w i para i=1, 2, ..., n

Demostración.

Sea cualquier vector .x V∈ entonces existen y son únicos los escalares

1 2, , ..., ,nα α α tales que:

1

n

i ii

x vα=

=∑ , ya que todo vector del espacio puede expresarse de modo único

como combinación lineal de los vectores de la base. Según propiedad vista en Introducción al Álgebra Lineal: Si un vector es

combinación lineal de una familia linealmente independiente, entonces dicha combinación lineal es única. Definimos

:T V W→ mediante T(x) = 1 1

( )n n

i i i ii i

T V Wα α= =

=∑ ∑

Se necesita probar las siguientes afirmaciones, esto es: 1. T es una Transformación Lineal. 2. Si 1,2,..., ( )i ii n T v w= ⇒ = .

3. La condición que ( )i iT v w= , T es única. Veamos: � Parte 1. T es una Transformación Lineal. Si x e y son dos (2) vectores cualesquiera de V, y Kα ∈ , entonces

1 1

n n

i i i ii i

x v y vα β= =

= ∧ =∑ ∑ ............. (I)

y se verifica que la Definición 1.1 de Transformaciones Lineales se cumple:


4

i) 1 1

( ) ( )n n

i i i ii i

T x y T v vα β= =

+ = +∑ ∑ ( de ( I) )

1

( ) ( ( ) )n

i i ii

T x y T vα β=

+⇒ + = ∑ ( Ley Interna en V)

1

( ) ( )n

i i ii

T x y wα β=

+ = +⇒ ∑ ( Definición de Transformación Lineal )

1 1

( )n n

i i i ii i

T x y w wα β= =

+ +⇒ =∑ ∑ (Ley Interna en W )

( ) ( ) ( )T x y T x T y⇒ + = + ( de (I) )

ii) 1

( ) ( )n

i ii

T x T vα α α=

= ∑ ( de ( I) )

1

( ) ( ( ) )n

i ii

T x T vα αα=

⇒ = ∑ ( Ley Externa en V)

1

( ) ( )n

i ii

T x wα αα=

⇒ =∑ ( definición de T.L. )

1

( )n

i ii

T x wα α α=

⇒ = ∑ ( Ley Externa en W )

( ) ( )T x T xα α=⇒ ( de (I) ) de i) y ii) se cumple la definición 1.1 de Transformaciones Lineales � Parte 2. 1,2,..., ( )i ii n T v w= ⇒ = . En efecto:

1 2 10 0 ... 0 1 ... 0i i i nv v v v v v−= + + + + + + Luego:

1 2 1( ) 0 0 ... 0 1 ... 0 1i i i n i iT v w w w w w w w−= + + + + + + = =


5

� Parte 3. Bajo la condición que ( )i iT v w= , T es única.

Si :R V W→ , es una Transformación Líneal tal que R(vi) = wi ∀ i=1, 2, ..., n

Entonces

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n

i i i i i i i i i ii i i i i

R x R v R v w T v T v T xα α α α α= = = = =

= = = = = =∑ ∑ ∑ ∑ ∑

cualquiera que sea x V∈ . Luego R = T

De las partes 1, 2 y 3 el teorema queda demostrado el Teorema

Fundamental de las Transformaciones Lineales y por lo tanto si

( , , ,.) ( , , ,.)V K y W K+ + dos (2) espacios vectoriales con V de dimensión finita n.

Dada una base {v1, v2, ..., vn} de V y vectores cualesquiera w1, w2, ..., wn ∈

W, Existe una única Transformación Lineal :T V W→ tal que T(vi) = wi para

i=1, 2, ..., n


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III PARTE. MATRIZ CAMBIO DE COORDENADA

Sea 1 1: ( ) ( )T P Pℜ → ℜ una Transformación Lineal definida por T(P(x))=

P’(x) , y sean {1, }; ' {1 ,1 }x x xβ β= = + − bases ordenadas de 1( )P ℜ . Parte A. Hallar Las matrices P y Q. Solución. � 1 21 (1) ( )x xα α⇒ + = +

1 21 1yα α⇒ = = Ahora hacemos: � 1 21 (1) ( )x xλ λ⇒ − = −

1 21 1yλ λ⇒ = = −

de allí que 1 1

1 1P

= −

Para Conseguir a Q buscamos la matriz inversa de P, esto es:

1 1 1 0

1 10 1

−

2 2 1f f f→ −

1 1 1 0

0 2 1 1

− −

2 2

12

f f− ↔

1 1 1 0

0 1 1/ 2 1/ 2

−

1 1 2f f f→ −

1 0 1/ 2 1/ 2

0 1 1/ 2 1/ 2

−

de allí que 1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2Q

= −

En Consecuencia:

1 1

1 1P

= −

y 1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2Q

= −


7

Parte B. Hallar '[ ] [ ]A T y B Tβ β= =

Solución. � Tenemos que [ ] [ ]A T Tβ

β β= = por Observación 1.34-4

Veamos: � 1 2(1) (1)' 0 (1) ( )T xα α= = = +

1 20 0. (1) ( )x xα α⇒ + = +

de allí que: 1 20 0yα α= = � 1 2( ) ( )' 1 (1) ( )T x x xλ λ= = = +

1 21 0. (1) ( )x xλ λ⇒ + = +

de allí que: 1 21 0yλ λ= =

En Consecuencia 0 1

[ ]0 0

A T β = =

Ahora buscamos a B

� Tenemos que '' '[ ] [ ]B T Tβ

β β= = por Observación 1.34-4

Veamos: � 1 2(1 ) (1 )' 1 (1 ) (1 )T x x x xα α+ = + = = + + −

1 2 1 21 0. ( )(1) ( )( )x xα α α α⇒ + = + + −

1 2 1 21 0yα α α α⇒ + = − = ; al resolver las ecuaciones nos queda:

que: 1 2

1 12 2

yα α= =

� 1 2(1 ) (1 )' 1 (1 ) (1 )T x x x xλ λ− = − = − = + + −

1 2 1 21 0. ( )(1) ( )( )x xλ λ λ λ⇒ − + = + + −

1 2 1 21 0yλ λ λ λ⇒ + = − − = ; al resolver las ecuaciones nos queda:

que: 1 2

1 12 2

yλ λ= − = −

En Consecuencia '

1/ 2 1/ 2[ ]

1/ 2 1/ 2B T β

− = = −


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Parte C. Verifique si se cumple que B = QAP Solución. Sabemos que:

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2B

− = − ;

0 1

0 0A

=

; 1 1

1 1P

= −

y 1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2Q

= − ....................(I)

Veamos: B QAP=

1/ 2 1/ 2 0 1 1 1

1/ 2 1/ 2 0 0 1 1B

⇒ = − −

( de (I) )

0 1/ 2 1 1.

0 1/ 2 1 1B W A

⇒ = = − −

( Multiplicando Q y A donde W=Q.A)

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2B

− ⇒ = −

( Multiplicando las matrices W y P )

En Consecuencia se cumple que B = QAP

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