TALLER ELECTRODINAMICA

Multipolos, Dielectricos

Jhorman Gustavo Maldonado Villamizar

Profesor: Luis Alberto Gualdron SanchezDepartamento De Fısica y Geologıa, Universidad De Pamplona

Expansion multipolar en armonicos esfericos

Anteriormente se demostro que el potencial electrico esta dado por

φ(~r) =

∫G(~r, ~r′)ρ(~r′)dv′ +

1

4π

∮ (G(~r, ~r′)

∂φ(~r′)

∂n′− φ(~r′)

∂G(~r, ~r′)

∂n′

)ds′ (1)

si se cumple la condicion de Dirichlet G(~r, ~r′)|s = 0 la ecuacion (1) se convierte en

φ(~r) =

∫G(~r, ~r′)ρ(~r′)dv′ − 1

4π

∮φ(~r′)

∂G(~r, ~r′)

∂n′ds′ (2)

para una distribucion localizada de cargas y realizando la integracion sobre todo el espacio, con G(~r, ~r′) = 1|~r−~r′| ,

la integral de superficie desaparece, entonces:

φ(~r) =

∫G(~r, ~r′)ρ(~r′)dv′ =

∫ρ(~r′)

G(~r, ~r′)dv′ (3)

En las funciones de Legendre eimφ forman una base ortogonal respecto al indice m en el intevalo (0, 2π), mientrasque los polinomios Pml (x) son ortogonales en el intervalo (−1, 1) respecto al indice l.Es posible definir una nueva base ortogonal en θ y φ respecto a los indices m y l, mas exactamente una basebiortogonal.Las nuevas funciones ortonormales sobre una superficie esferica y conocida como armonicos esfericos, se definencomo

Ylm(θ, φ) =

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (cos θ)eimφ (4)

el radial ha sido escogido en forma tal que {Ylm(θ, φ)} sea una base ortonormal, es decir que cumple∫ 2π

φ=0

∫ π

θ=0

Y ∗lm(θ, φ)Yl′m′(θ, φ) sin θdθdφ = δll′δmm′ (5)

utilizando los armonicos esfericos se puede reescribir

1

|~r − ~r′|= 4π

∞∑l=0

l∑m=−l

Ylm(θ, φ)Y ∗l′m′(θ′, φ′)

2l + 1

(rl<rl+1>

)(6)