Universidad de Antioquia

Facultad de Ciencias Exactas y naturales

Instituto de Matemáticas

Calculo Vectorial

Taller 1

1. En los siguientes ejercicios elimine el parámetro para hallar la ecuación cartesiana de la curva y

luego trace la curva (indique la dirección en que se traza la curva al aumentar el parámetro).

𝑎) 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝜃, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑏) 𝑥 = 3 + 4𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 = 1 + 2𝑠𝑒𝑛𝜃, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

𝑐) 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑑) 𝑥 = 2𝑡 − 1, 𝑦 = 2 − 𝑡, −3 ≤ 𝑡 ≤ 3

2. Determine 𝑑𝑦/𝑑𝑥, 𝑑2𝑦/𝑑𝑥2 sin eliminar el parámetro

𝑎) 𝑥 = 3𝑡2, 𝑦 = 4𝑡3, 𝑡 ≠ 0 𝑏) 𝑥 =1

1+𝑡2, 𝑦 =1

𝑡(𝑡−1), 0 < 𝑡 < 1

𝑐) 𝑥 = cot 𝜃 − 2, 𝑦 = −2𝑐𝑠𝑐𝜃 + 5, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋

3. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑥 = 3𝑡, 𝑦 = 8𝑡2 en 𝑡 = −1/2 .

4. Determine la longitud de la curva paramétrica sobre el intervalo dado

𝒙 = 𝟑𝒆,𝟐𝒕, 𝒚 = −𝟒𝒆𝟐𝒕, 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝒍𝒏𝟓

5. En los siguientes problemas determine el límite que se pide o indique que no existe

𝒂) 𝐥𝐢𝐦𝒕→𝟑

(𝟑 − 𝒕)𝟐 𝒊 − 𝟕𝒕𝟑𝒋 𝒃) 𝐥𝐢𝐦𝒕→𝟎

𝒔𝒆𝒏𝒕𝒄𝒐𝒔𝒕

𝒕𝒊 −

𝟕𝒕𝟑

𝒆𝒕𝒋 +

𝒕

𝒕+𝟏𝒌

𝒄) 𝐥𝐢𝐦𝒕→𝟏

𝒕−𝟏

𝒕𝟐−𝟏𝒊 +

𝒕𝟐+𝟐𝒕−𝟑

𝒕−𝟏𝒋 𝒅) 𝐥𝐢𝐦

𝒕→𝟎+𝒍𝒏(𝒕𝟑)𝒊 + 𝒕𝟐 𝒍𝒏(𝒕)𝒋 + 𝒕𝒌

𝒆) 𝐥𝐢𝐦𝒕→𝟎

𝒆−𝟏/𝒕𝟐𝒊 +

𝒕

|𝒕|𝒋 + |𝒕|𝒌

6. Determine el dominio de las siguientes funciones vectoriales

𝑎) 𝑟(𝑡) =2

𝑡−4𝑖 + √3 − 𝑡𝑗 + ln |𝑡 − 4|𝑘

𝑏) 𝑟(𝑡) = ln(𝑡−1) 𝑖 + 𝑡𝑎𝑛−1𝑡𝑗 + 𝑡𝑘

𝑐) 𝑟(𝑡) =1

√1−𝑡2𝑖 +

1

√9−𝑡2𝑗

7. Determine la velocidad la aceleración y la rapidez en el instante 𝑡 = 𝑡1

𝑎) 𝑟(𝑡) = 𝑡6𝑖 + (6𝑡2 − 5)6 + 𝑡𝑘, 𝑡 = 1.

𝑏) 𝑟(𝑡) = 𝑖 + ∫ 𝑥2𝑑𝑥𝑗 + 𝑡2/3𝑘𝑡

1, 𝑡 = 2

Ejercicios recomendados del texto guía, Thomas, G. Calculo 1 variable (Del

tomo 1). Decimo segunda edición. Pág. 616. Ejercicios 11.1. Realizar los

siguientes: 21, 35, 36, 38