taller de regresion _final

5/16/2018 Taller de Regresion _final - slidepdf.com

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LABORATORIO DE PROCESOS AGROINDUSTRIALES

Programa de Ingeniería Industrial – V Semestre

CONTROL DE PRODUCCION

EJERCICIOS DE REGRESION LINEAL SIMPLE Y MULTIPLE

Preparado por:

ARVEY MANCHOLA VARGAS

Código: 4009018169

CARLOS ALBERTO FIAGA FIGUEROA

Código: 4009018123

FABIO ANDRES SALAZAR DURAN

Código: 4009017887

CLAUDIA MARCELA LOPEZ OSPINA

Código: 4009018211

Presentado a:

MIGUEL ANGEL GONZALEZ URIBE

Ingeniero Industrial

CORPORACION UNIVERSITARIA DEL HUILA “CORHUILA”

PROGRAMA DE INGENIERIA INDUSTRIAL

SEPTIMO SEMESTRE

NEIVA (HUILA), MARZO 2012



CONTROL DE PRODUCCIÓN

T A L L E R : E J E R C I C I O S D E R E G R E S I Ó N

2

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL HUILA CORHUILA

INGENIERÍA INDUSTRIAL

1. Sobre un conjunto de conductores se ha realizado una encuesta para analizar su

edad (Y) y el número de accidentes que han sufrido (X). A partir de la misma, se

obtuvieron los siguientes resultados:

X/Y (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]0 74 82 78 72 7

1 7 6 5 6 5

2 3 2 2 1 1

A partir de estos datos, se le pide que determine para esta distribución las curvas de

regresión de Y sobre X y de X sobre Y.

Solución del ejercicio:

Y

(20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] TOTAL

X 0 74 82 78 72 7 313

1 7 6 5 6 5 29

2 3 2 2 1 1 9

Ʃ 84 90 85 79 13 351

x= Número de Accidentes que han sufrido

y= Edad





3

RESUMEN DE DATOS

CANTIDADPERSONAS

EDADPROMEDIO

No.ACCIDENTES

74 25 0

7 25 1

3 25 2

82 35 0

6 35 1

2 35 2

78 45 0

5 45 1

2 45 272 55 0

6 55 1

1 55 2

7 65 0

5 65 1

1 65 2

Gráficas

y = 1,105x + 40,493

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0,5 1 1,5 2 2,5

C

a n t i d a

d d e P e r s o n a s

No. de Accidentes que han sufrido





4

2. Para la economía española, disponemos de los datos anuales redondeados sobreconsumo final de los hogares a precios corrientes (Y) y renta nacional disponible

neta (X), tomados de la Contabilidad Nacional de España base 1995 del INE, para el

período 1995-2002, ambos expresados en miles de millones de euros:

Año 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002Yt 258'6 273'6 289'7 308'9 331 '0 355'0 377'1 400'4

Xt 381 '7 402'2 426'5 454'3 486'5 520'2 553'3 590'0

Considerando que el consumo se puede expresar como función lineal de la renta

(Yt=a+bXt), determine:

a) Los parámetros a y b de la recta de regresión.

y = 0,0013x + 0,0801

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 10 20 30 40 50 60 70

N o

. d e

A c c i d e n t e s q u e

h a n s u

f r i d o

Cantidad de Personas





5

b) El coeficiente de determinación de dicha regresión.

c) La predicción del valor que tomará el consumo para una renta de 650.000millones de euros.


Año Xt Yt1995 381,7 258,6

1996 402,2 273,6

1997 426,5 289,71998 454,3 308,9

1999 486,5 331,0

2000 520,2 355,0

2001 553,3 377,1

2002 590,0 400,4

y = 0,6834x - 1,5973

-

50,0

100,0

150,0

200,0

250,0

300,0

350,0

400,0

450,0

- 100,0 200,0 300,0 400,0 500,0 600,0 700,0

C o n s u

m o

f i n a

l h o g a r e s a P r e c i o s C o r r i e n t e s

Renta nacional disponible neta





6

a) Los parámetros a y b de la recta de regresión son:

Y a bX

a 1,5973

b 0,6834

b) El coeficiente de determinación es igual a 0,9998, es decir, que la confiabilidad

que me brinda el pronóstico es de 99,98 %.

c) La predicción del valor del consumo para una renta de 650.000 millones de Euros

se calculara con la ecuación y 0,6834 1,5973, expresando en miles de

millones el valor correspondiente ( 650,1.

Reemplazando en la fórmula obtendremos,

y 0,6834 1,5973

y 0,6834650,1 1,5973

y ,

Por lo tanto la respuesta estará dada por 442.600 millones de Euros (€) en el

consumo final de los hogares a precios corrientes.





7





8

3. Se supone que se puede establecer cierta relación lineal entre las exportaciones de

un país y la producción interna de dicho país. En el caso de España, tenemos los

datos anuales (expresados en miles de millones de pesetas) para tales variables

correspondientes al quinquenio 1992-96 en la siguiente tabla:

Años Producción Exportaciones

1992 52.654 10.420

1993 53.972 11.841

1994 57.383 14.443

1995 61.829 16.732

1996 65.381 18.760

A partir de tal información, y considerando como válida dicha relación lineal, se

pide:

-2

-1

0

1

2

- 100,0 200,0 300,0 400,0 500,0 600,0 700,0 R e s i d u o s

Variable X 1

Variable X 1 Gráfico de los residuales





9

a) Si la producción para el año 1997 fue de 52.106.100 millones de pesetas, ¿cuál

sería la predicción de las exportaciones para este año? ¿Qué grado de precisióntendría dicha predicción?

b) Si sabemos que las exportaciones para 1997 fueron de 69.045.704 millones de

pesetas, ¿cuál sería la producción interna aproximada para ese año? ¿Qué

grado de confianza daría usted a esta predicción?


Años Producción (x) Exportaciones (y)

1992 52.654 10.420

1993 53.972 11.841

1994 57.383 14.443

1995 61.289 16.732

1996 65.381 18.760

Gráfica

y = 0,6466x - 23154

-

5.000

10.000

15.000

20.000

25.000

- 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000

E x x p o r t a c i o n e s

Producción





10

a) Producción para el año 1.997= 52.106.100 millones de pesetas, representados

en miles de millones obtendría, 52106,1.

Reemplazamos en la ecuación:

y 0,6466 23154

y 0,646652106,1 23154

y ,!

Es decir, que el valor de las exportaciones sería de 10.539.000 millones de

pesetas aproximadamente. En cuanto a la precisión de la predicción,

consideramos que la precisión está relacionada con la menor cantidad de

residuos presentados en el modelo, por lo tanto si observamos la gráfica de los

residuales observamos que es poco preciso.

-1000

-500

0

500

1000

- 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000 R e s i d u o s

Variable X 1






11

b) Exportaciones para el año 1997 = 69.045.704 millones de Pesetas,

representadas en miles de millones obtendremos que, " 69045,704

y 0,6466 23154

69045,704 0,6466 23154

Despejamos x,

69045,704 23154

0,6466

#,

Es decir, que el valor de la Producción sería de 142.591.500 millones de

pesetas. En cuanto al grado de confianza, tendríamos en cuenta el valor que nos

brinda el modelo de pronóstico en el coeficiente de determinación (R2), de

0,9856. Generándome un grado de confiabilidad de un 98,56%, y una viabilidad

de 0,99, muy cercano a 1, por lo que concluimos que el grado de confianza que

nos brinda el pronóstico es bastante alto.





12





13

4. La empresa COLOBONA S. A .L. ha trabajado hasta ahora con la hipótesis de que

las ventas de un período dependen linealmente de los gastos de publicidadefectuados en el período anterior. En este momento, le solicitan a usted la

realización de un análisis que ponga de manifiesto si la hipótesis, hasta ahora

mantenida, se puede seguir sosteniendo en función de los datos que le suministran.

AÑOS GASTOS VENTAS

1987 21

1988 22 19

1989 25 20

1990 26 22

1991 27 23

1992 29 24

1993 30 26

En el informe final de su análisis, deberá responder a las siguientes preguntas:

a) ¿Se incrementarán las ventas del período siguiente al aumentar los gastos en

publicidad del período actual?

b) ¿Es adecuado suponer que el ajuste entre estas variables es efectivamente lineal

teniendo en cuenta los valores de las variables?

c) ¿Cuál será la predicción de las ventas para 1994? ¿Qué precisión tendrá ese

pronóstico?





14

d) Si para el año 1994 se piensa incrementar los gastos de publicidad en un 10%,

¿qué incremento relativo cabría esperar para las ventas de 1995 con respecto alas de 1994, según el modelo ajustado?

Solución del Ejercicio:

El cuadro de datos que nos brinda el ejercicio refleja los gastos en Publicidad en

sus respectivos años, sin embargo, dicha inversión no se verá reflejada sino en el

año inmediatamente después, es decir, los gastos de publicidad para el año

1.987 fueron de 21, por lo tanto , para el año 1.988 las ventas serán de 19. De

esta forma hemos optado por reajustar la información en el cuadro

correspondiente, obteniendo los datos que se observan a continuación:

Años Gastos (x) Ventas (y)

1987 21 19

1988 22 20

1989 25 22

1990 26 23

1991 27 24

1992 29 26

1993 30 26,57

1994 33 29,11





15

Años

Gastos

Gastos (x)Años

Ventas

Ventas (y)

1987 21 1988 19

1988 22 1989 20

1989 25 1990 22

1990 26 1991 23

1991 27 1992 24

1992 29 1993 26

1993 30 1994 26,57

1994 33 1995 29,11

Gráfica

y = 0,8478x + 1,1377

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30 35

V E N T A S

GASTOS





16

a) Para determinar si las ventas se incrementarán en el período siguiente al

aumentar los gastos en publicidad del período actual, tomamos como referenciael año 1993, por lo que tendremos que calcular primero cual es el volumen de

ventas en ese período con respecto a los gastos en publicidad, cuyo valor es de

30.

Aplicamos la ecuación obtenida en la gráfica:

y 0,8478 1,1377

y 0,847830 1,1377

y ,

Para el periodo de 1.993 los gastos de publicidad poseen un valor de 30, por lo

que dicha inversión se verá reflejado en el año inmediatamente siguiente, por lo

tanto las ventas para el período de 1.994 serán de 26,57.

Ahora incrementaremos en un 10% los gastos de Publicidad para el año 1.994 y

determinar si efectivamente las ventas también aumentan.

Gastos 1.993 = 30 *10% = 33

Gastos 1.994 = 33

y 0,8478 1,1377

y 0,847833 1,1377

y #,





17

Podemos observar que si incrementamos los gastos de publicidad para el período

actual (1.994), las ventas del período siguiente (1.995) efectivamenteaumentaran.

b) El ajuste entre estas variables es totalmente lineal, si observamos la línea de

tendencia que nos muestra la gráfica podemos apreciar que los valores de las

variables así lo indican.

c) La predicción de las ventas para 1.994 es de 26,57. El modelo que nos presenta

el ejercicio será bastante preciso ya que los residuos son casi nulos, los valores

oscilan o son muy cercanos a 0. Observar gráfico de los residuales.

d) Para el año 1.994 se incremento en un 10% los gastos de Publicidad, por lo que

en el año 1.995 de observaron unas ventas de 29,11. Es decir, 2,54 más alta con

respecto a las ventas de 1.994 que fueron de 26,57.

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 5 10 15 20 25 30 35 R e s i d u o s

Variable X 1






18





19

Distribuciones tridimensionales:

5. No es algo desconocido el hecho de que las entradas de turistas extranjeros en

España no han hecho sino crecer de forma continuada durante las últimas décadas,

coadyuvando a este hecho las peculiares características climatológicas, económicas

y culturales de nuestro país. A partir de esta idea de principio, se ha querido ahondar

en el tema, analizando si la riqueza del turista y la distancia de su país al nuestro son

factores vinculantes a la hora de tomar la decisión de visitarnos. Para ello, hemos

recogido en la siguiente tabla las entradas de turistas procedentes de 5 países

diversos para un determinado ejercicio económico, junto con su PIB per capita (en

miles de euros) y la distancia en kilómetros desde cada uno de los países

considerados al nuestro:

País N°turistas entrados PIB per cápita (103 €) Distancia (Kms.)

A 1800000 3'1 1500

B 2500000 4'2 1200

C 700000 2'7 3100

D 1200000 3'0 2500

E 1900000 4'0 1800

A partir de tal información, se le pide que:

a) Determine la relación lineal que explicaría las entradas de turistas en función del

PIB per cápita y de la distancia.

b) ¿Es dicho modelo suficientemente explicativo?





20

c) ¿Cuál de las dos variables explicativas está más correlacionada con la entrada de

turistas?


PaísPIB per cápita (103

€)

(X1)

Distancia Kms.

(X2)

Nº Turistas entrados

(Y)

A 3,1 1500 1800000

B 4,2 1200 2500000

C 2,7 3100 700000D 3,0 2500 1200000

E 4,0 1800 1900000

a) En la gráfica siguiente podemos observar que existe una relación del PIB per

cápita que incide en la cantidad de turistas en España, y precisamente es que a

mayor PIB per cápita, mayor será la cantidad de turistas que ingresan a España.

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

N o

. T u r i s t a s

PIB per cápita (103 €)





21

Por el contrario a la relación existente entre la distancia en Kilómetros (Km), el cual

refleja que a mayor distancia, menor será la cantidad de turistas que ingresan aEspaña.

b) El modelo nos ofrece una viabilidad de 0.99, muy cercana a la ideal que es 1, y

un porcentaje de confiabilidad del 99.28%. Teniendo en cuenta está información

podemos afirmar que en determinado caso si hubiesen otros factores que

afectarán la entrada de turistas a España, esto podría incidir considerablemente

en los resultados del modelo anteriormente expuesto.

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

N o

. T u r i s t a

s

Distancia Km.





22





23

c) Para determinar la correlación de las dos variables explicativas, decidimos

implementar modelos de pronóstico independientes para cada una (PIB percápita y distancia Kms.), para lograr obtener los datos correspondientes y

basados en el porcentaje de confiabilidad, asumimos que el mayor grado de

incidencia en la entrada de turistas lo tiene la distancia en Km, presentando un

94.22 % de confiabilidad, mientras que el PIB per cápita, nos arroja un 80,02 %,

muy por debajo del dato anterior.

Gráfica de residuales (Modelo con las dos Variables Explicativas)

-100000

-50000

0

50000

100000

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 R e

s i d u o s

Variable X 1


-100000

-50000

0

50000

100000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 R e s i d u o s

Variable X 2






24





25





26

Gráfica de residuales (Modelo relación PIB per cápita)

Gráfica de residuales (Modelo relación Distancia Km)

-400000

-200000

0

200000

400000

600000

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 R e s i d u o s

Variable X 1


-300000

-200000

-100000

0

100000

200000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

R e s i d u o s

Variable X 1






27

6. Porfirio Labrador es un joven agricultor de la provincia de Sevilla, que adquirió

conocimientos de estadística en su formación universitaria en esta escuela. Tiene

una finca de su propiedad, dedicada fundamentalmente a la producción de trigo duro

especial para la fabricación de pastas, dadas las importantes subvenciones que

recibe de la Comunidad Europea. Dada la influencia que supone que ejerce la

cantidad de lluvia caída sobre la producción, utiliza un pluviómetro para medir ésta,

mes a mes. En el cuadro adjunto aparece recogida la producción de trigo duro en

Quintales métricos por hectárea (X1) y la cantidad de lluvia caída en su finca, medida

en litros por metro cuadrado (X2), durante las cinco últimas campañas:

CAMPAÑA X1 X289/90 80 120

90/91 95 145

91/92 83 108

92/93 75 90

93/94 72 85

Este agricultor, que es pesimista como la mayoría de los de su sector, piensa que la

pertinaz sequía va a continuar para la próxima campaña 94/95, y que la cantidad de

lluvia para esa campaña va a ser la misma que la recogida en la campaña anterior.

Desde este supuesto, ¿qué predicción haría para la producción de la campaña

venidera? ¿Qué fiabilidad otorgaría a tal predicción? Si pensara que la cantidad de

lluvia recogida aumentase en un 1%, ¿cuál sería dicha predicción?





28


(Y) (X)

CAMPAÑA X1 X2

89/90 80 120

90/91 95 145

91/92 83 108

92/93 75 90

93/94 72 85

94/95

Gráfica

y = 0,34x + 42,76

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100 120 140 160

P r o

d u c c i ó n

d e T r i g o

d u r o

Cantidad de lluvia





29

Calculamos la producción de la campaña venidera (94/95) utilizando la ecuación dada

por el gráfico, " 0,34 42,76, utilizando el valor de la misma cantidad de lluvia de la

campaña anterior (93/94), por lo tanto 85.

Reemplazamos en la fórmula,

" 0,34 42,76

" 0,3485 42,76

" ,

La predicción de producción de trigo duro para la campaña venidera si se conserva la

misma cantidad de lluvia de la campaña anterior es de 71,76.

(Y) (X)

CAMPAÑA X1 X2

89/90 80 120

90/91 95 145

91/92 83 108

92/93 75 9093/94 72 85

94/95 71,66 85





30

La fiabilidad otorgada a la predicción va directamente relacionada con el valor arrojado

por el modelo de pronóstico elaborado, en donde el coeficiente de determinación (R2

)es de 0.9007, es decir, la fiabilidad es de un 90,07%.

Calculamos ahora el valor de la producción de trigo duro, si las lluvias aumentaran en

un 1%:

Cantidad de lluvia campaña 93/94 = 85*1% = 85,85 , 85,85.

" 0,34 42,76

" 0,3485,85 42,76

" , #

(Y) (X)

CAMPAÑA X1 X2

89/90 80 120

90/91 95 145

91/92 83 108

92/93 75 90

93/94 72 85

94/95 71,95 85,85

Por lo tanto, la predicción de la producción para la campaña 94/95, si las lluvias

aumentan un 1% es de 71,94.





31





32

7. Una determinada cooperativa agrícola dedicada a la producción y comercialización

de fresas se plantea hacer un estudio para explicar el volumen de sus ventas (X1),

expresadas en millones de pesetas. Para ello, a partir de los datos semestrales

obtenidos desde la creación de la cooperativa, se plantea un modelo lineal usando

como variables explicativas el gasto en publicidad (X2), expresado en millones de

pesetas, y el número de supermercados que comercializan sus productos (X3).

Seguidamente recogemos la información de la que dispone la empresa:

Semestre X2 X3 X12°de 1994 1'5 15 13

1°de 1995 1'7 17 41

2°de 1995 2 19 16

1°de 1996 2'3 20 47

2°de 1996 2'5 23 19

1°de 1997 3 25 55

2°de 1997 3'5 26 22

1°de 1998 4 29 63

2°de 1998 4'3 31 25

1°de 1999 4'5 34 65

-6

-4

-2

0

2

4

0 20 40 60 80 100 120 140 160

R e s i d u o s

Variable X 1






33

Desde tales cifras, responda a las siguientes cuestiones:

a) Determine el modelo de regresión planteado e intérprete sus coeficientes,

indicando a su vez cuál es la capacidad explicativa del mismo.

b) A partir de los resultados obtenidos en el apartado anterior, ¿sugeriría usted que

pueden existir otras variables no tenidas en cuenta aquí y de importancia

relevante para la explicación de las ventas?

Observando los datos, nos damos cuenta que las ventas correspondientes al primer

semestre son siempre mucho mayores que las del segundo semestre del mismo año.

Para recoger este aspecto, se decidió introducir una nueva variable explicativa X4, cuyo

valor sería uno si el dato corresponde al primer semestre, y cero en caso contrario.

Utilizando esta variable adicional:

c) Determine el nuevo modelo de regresión planteado e intérprete sus coeficientes,

indicando la capacidad explicativa del mismo.

d) Bajo este modelo, ¿en cuánto se incrementarían las ventas en el segundo

semestre de 1999 (con respecto al segundo semestre de 1998) si los gastos en

publicidad se incrementasen en 500000 pesetas y se espera que dos nuevos

supermercados comercialicen los productos de la cooperativa?






34





35

Análisis de los residuales

Observación Pronóstico para Y Residuos

1 20,29436094 -7,294360938

2 25,51311685 15,48688315

3 29,4507941 -13,4507941

4 29,49801475 17,50198525

5 38,60722726 -19,60722726

6 39,98274721 15,01725279

7 37,46781055 -15,46781055

8 42,73378711 20,26621289

9 46,67146436 -21,67146436

10 55,78067688 9,219323123

a) Observando el coeficiente de correlación múltiple podemos evidenciar que este

se encuentra con un valor de 0.52, y debemos saber que este me indica la

viabilidad del modelo que estoy utilizando, siendo el valor ideal 1, o en su defecto

-50

0

50

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 R e s i d u o s

Variable X 1

Variable X 1 Gráfico de los

residuales

-50

0

50

0 10 20 30 40 R e s i d u o s

Variable X 2

Variable X 2 Gráfico de los

residuales





36

un valor que se acerque al mismo. Por lo tanto, concluimos que el valor reflejado

se encuentra en un rango muy por debajo del nivel ideal, por lo que sería pocoviable.

Por otra parte, el coeficiente de de determinación (R2) me determina el nivel de

confiabilidad de dicho modelo, encontrándose éste en 0.2808, es decir un

28,08%. Muy por debajo del porcentaje ideal (100%). Por lo que concluimos que

es poco confiable.

b) A nuestro juicio podría existir la variable de “demanda del sector”, considerando

que es uno de los factores que incide considerablemente en las ventas de un

producto.

(Xa) (Xb) (Xc) (Y)

Semestre X2 X3 X4 X1

2°de 1994 1,5 15 0 13

1°de 1995 1,7 17 1 41

2°de 1995 2,0 19 0 16

1°de 1996 2,3 20 1 47

2°de 1996 2,5 23 0 19

1°de 1997 3,0 25 1 55

2°de 1997 3,5 26 0 22

1°de 1998 4,0 29 1 63

2°de 1998 4,3 31 0 25

1°de 1999 4,5 34 1 65





37





38

-6

-4

-2

0

2

4

6

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 R e s i d u o s

Variable X 1


-6

-4

-2

0

2

4

6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 R e s i d u o s

Variable X 2


-6

-4

-2

0

2

4

6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 R e s i d u o s

Variable X 3






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Análisis de los residuales

Observación Pronóstico para Y Residuos

1 10,14169515 2,858304848

2 44,95959979 -3,95959979

3 14,47411363 1,525886374

4 48,53266798 -1,532667981

5 18,8065321 0,193467901

6 54,05610918 0,943890816

7 22,95516355 -0,955163552

8 59,10798174 3,892018264

9 28,62249557 -3,622495571

10 64,34364131 0,656358692

c) En el nuevo modelo de regresión se puede evidenciar que el coeficiente de

correlación múltiple es 0.99, muy cercano al valor ideal (1), y el coeficiente de

determinación (R2) es 0.9836, es decir, 98.36% de confiabilidad. Por lo tanto

podemos deducir que el nuevo modelo es bastante viable y tiene una gran

fiabilidad.

d) Calculamos ahora en cuanto incrementarán las ventas en el segundo semestre

de 1.999, sabiendo que los gastos de publicidad aumentaron 500.000 pesetas,

que expresados en miles son 0.5, y sumados con el valor del año anterior (4.5)

nos daría como resultado, 5.0, es decir $ 5,0.

Mientras que para los supermercados que comercializan el producto

aumentamos 2 unidades, es decir, que nuestro valor para % 36.





40

Aplicamos la ecuación mostrada por el modelo de regresión,

" 1,43 $ 0,9 % 32,72 & 5,56

Reemplazamos los valores en la fórmula,

" 1,43 5,0 0,9 36 32,72 0 5,56

" 7,15 32,4 0 5,56

" , ##

Por lo tanto, las ventas del segundo semestre de 1.999 se incrementarán con

respecto al segundo semestre de 1.998, de 25 a 34 millones de pesetas.

(Xa) (Xb) (Xc) (Y)Semestre X2 X3 X4 X1

2°de 1994 1,5 15 0 13

1°de 1995 1,7 17 1 41

2°de 1995 2,0 19 0 16

1°de 1996 2,3 20 1 47

2°de 1996 2,5 23 0 19

1°de 1997 3,0 25 1 55

2°de 1997 3,5 26 0 22

1°de 1998 4,0 29 1 632°de 1998 4,3 31 0 25

1°de 1999 4,5 34 1 65

2°de 1999 5,0 36 0 33,99

taller de regresion _final

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