TALLER DE MECÁNICA DEL MEDIO CONTÍNUO

FEDERICO ARIAS GARCIA

2164143

RICARDO JAVIER GÓMEZ SERRANO

2164184

OSCAR JAVIER BEGAMBRE CARRILLO

Ingeniero Civil, M.Sc., Ph.D.

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

FACULTAD DE INGENIERÍAS FISICOMECÁNICAS

ESPECIALIZACIÓN EN ESTRUCTURAS

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO

BUCARAMANGA

2016

INTRODUCCIÓN

La mecánica de medios continuos (MMC) es una herramienta que ayuda a describir el

movimiento de los cuerpos. Para tal fin, se han desarrollado modelos matemáticos

específicos para medir y operar las propiedades de un conjunto de partículas homogéneas e

isotrópicas , y en este caso, haciéndose énfasis especial en el Tensor de esfuerzos, que para

su análisis se ha utilizado, entre otras, el cálculo diferencial, el cálculo matricial y como un

modelo “innovador y elegante” la Convención de Einstein que con el uso de la notación

indicial y algunas reglas especiales hacen, con la práctica, más comprensivos y fáciles de

manipular los modelos matemáticos.

En el desarrollo de este taller se resolverán cuatro situaciones propuestas en el curso de

MMC correspondientes primero a el cálculo de la distribución de esfuerzos y resultantes en

diferentes planos teniendo el tensor de esfuerzos, segundo el cálculo del determinante de

una matriz de dimensión 3x3 , tercero el producto cruz de dos vectores o producto vectorial

y cuarto la determinación de la ecuaciones de transformación de un tensor de un sistema

coordenado a otro, utilizando en los tres últimos casos mencionados la Convención de

Einstein.

1.0 OBJETIVOS

1.1 Reforzar las conocimientos y habilidades en el manejo del Tensor de esfuerzos,

aumentando la comprensión y evaluación de los fenómenos físicos que representa.

1.2 Reconocer y evaluar las ventajas de usar la Convención de Einstein como una

herramienta para modelar, calcular y comprender las expresiones matemáticas.

2.0 MARCO TEÓRICO

A continuación se exponen algunos conceptos teóricos referentes al tensor de esfuerzos y

notación indicial, tomados del Anexo 1 de libro Modelación Numérica de Materiales

Compuestos y del artículo Notación Indicial de Ignacio Romero:

2.1 Tensión

2.1.1 Esfuerzos:

Se puede clasificar a las fuerzas en externas, si actúan sobre un cuerpo o internas si actúan

entre dos partes del mismo cuerpo. Mediante la elección de un adecuado cuerpo libre todas

las fuerzas pueden ser consideradas como externas.

Las fuerzas externas que actúan en cualquier instante de una cuerpo libre elegido se

clasifican en la mecánica del continuo como fuerzas másicas y fuerzas superficiales.

Fuerzas másicas: Son aquellas que actúan sobre los elementos de volumen o de masa. Por

ejemplo las fuerzas gravitatorias, las fuerzas inerciales o las de atracción magnética.

Fuerzas superficiales: Son fuerzas de contacto que actúan sobre el contorno del volumen

del material considerado por unidad de área.

Sea b(x,t) la descripción espacial del campo vectorial de las fuerzas másicas por unidad de

masa. Si se multiplica este vector por la masa por unidad de volumen ρ, se obtiene la fuerza

másica en el volumen

El vector suma de todas las fuerzas de cuerpo que actúan en un volumen V es:

Sea t(x,t) la descripción espacial del campo vectorial de las fuerzas superficiales por unidad

de área. La fuerza superficial sobre un elemento de superficie dS será: t ⋅ dS . El vector

suma de todas las fuerzas a través de una porción finita S de superficie es:

2.1.2 Tensión

Si se separan dos porciones del medio, cada una ejerciendo una tensión sobre la otra y se

toma una de ellas aislada se puede observar un dS en la cara que se separa. Se considera

como positiva la dirección de la normal a la superficie hacia afuera. El concepto de vector

tensión actuando en una superficie dS alrededor del punto Q, con normal n saliendo de ese

punto se considera como el límite de la relación:

donde tanto el numerador como el denominador tienden a cero pero el cociente tiene un

limite finito que es independiente de las superficies consideradas. Así para el “cubito”

elemental:

Indicar los vectores de tensión actuando en planos perpendiculares a los ejes coordinados es

muy útil porque cuando están dados los vectores que actúan en tres planos mutuamente

perpendiculares, el vector tensión de ese punto para cualquier plano inclinado

arbitrariamente con respecto a los ejes coordenados puede expresarse en función de esos

tres vectores especiales.

Las componentes de los tres vectores en el punto se disponen generalmente en un arreglo o

matriz T según:

2.1.3 Tetraedro de Cauchy Tensión en un plano arbitrario

Se considera ahora el caso de un volumen material constituido por un tetraedro elemental

situado alrededor de la partícula Q, con el origen de coordenadas sobre la misma.

Las caras del tetraedro quedan definidas mediante un plano normal n que interseca con los

planos coordinados definiendo una superficie genérica de área S a una distancia h del punto

Q. Los planos coordenados definen las otras caras del tetraedro de áreas S1, S2 y S3. Por

consideraciones geométricas pueden establecerse las relaciones:

Operando con las tensiones promedio de los tres planos coordenados puede hallarse la

tensión del punto Q actuando en un plano arbitrario, conociendo sólo la tensión en tres

planos perpendiculares entre sí a través del punto.

Utilizando el tensor de tensiones se expresa la ecuación vectorial:

2.1.4 Simetría de tensiones

Cuando no existen cuplas distribuidas, de cuerpo o de superficie, para que se cumpla el

equilibrio, la matriz de tensiones debe ser simétrica, esto es:

2.2 Notación indicial

En Mecánica de Medios Continuos los objetos matemáticos más empleados son los

escalares, vectores y tensores en R3. Para trabajar con vectores se define una base de

vectores ortonormales B1 = {e1, e2, e3} de forma que todo vector v ϵ R

3 se puede expresar

como la siguiente combinación lineal:

Utilizando sumatorios se puede escribir la ecuación previa de una forma más compacta:

Sin embargo es tedioso tener que escribir constantemente el símbolo de sumatorio e indicar

sus límites, pues siempre son los mismos. Por ello se adopta la siguiente convención: en

vez de (1) o (2) se escribe:

En esta expresión, y en toda aquella en la que dos objetos que se multiplican tengan un

mismo

índice repetido, se entendería que vpep significa v1e1 +v2e2 +v3e3. En vez del subíndice

p se podría haber empleado cualquier otro, y así

por lo que el índice repetido se denomina mudo. Se dice que la expresión v=vpep emplea

notación indicial o también el convenio de Einstein.

Dos vectores a y b son iguales si apep = bpep. Esta igualdad se puede reescribir como

(ap−bp)ep=0. Como los vectores de la base son linealmente independientes la última

expresión requiere que cada componente se anule, es decir, ap−bp=0, o de otra manera

De este simple ejemplo se deduce que cuando en una igualdad aparezca un mismo índice en

varios lugares, pero no multiplicándose, quiere decir que la igualdad es válida cuando el

índice toma el valor 1,2 o 3. Un índice de este tipo se denomina libre y puede

intercambiarse por otra letra cualquiera, siempre que no se emplee en otra parte de la

igualdad. Por ejemplo, la identidad anterior quiere expresar

Nótese que en la identidad anterior no hay ningún ´índice mudo, pues aunque p aparezca

en ambos lados de la igualdad las componentes correspondientes no están multiplicando.

Cuando se trabaja con tensores de segundo orden tambi´en se emplea una base tensorial

de nueve tensores:

y todo tensor T se puede escribir como

En este caso se observa aun más claramente que resulta muy tedioso escribir y trabajar con

las nueve componentes de un tensor. Se podría escribir la expresión previa como

pero igual que con los vectores, se adopta la convención de que esta última expresión se

puede escribir simplemente como

Como en el caso de los vectores, los ´índices repetidos cuyos objetos correspondientes se

multiplican expresan un sumatorio, con dicho ´índice tomando valores 1,2 y 3.

También como en el caso de los vectores, aquellos ´índices libres que aparecen repetidos en

varios lugares de una igualdad, pero cuyas componentes correspondientes no se multiplican

indican que la igualdad es válida cuando los ´índices toman valores 1,2 y 3. Así por

ejemplo Tij+Rij=7 quiere decir que la suma de cualquier componente del tensor T de

segundo orden más la misma componente del tensor de segundo orden R es igual a 7.

Las consideraciones aquí presentadas son válidas también para tensores de mayor orden.

Por ejemplo:

En el siguiente cuadro se resumen las operaciones más comunes en ´algebra y cálculo

tensorial y sus expresiones en notación indicial. En toda la tabla _ es una función escalar, a,

b, c son vectores y R,S, T son tensores de orden dos.

3.0 METODOLOGÍA

Para el desarrollo del primer punto del trabajo utilizaremos los conceptos de tensor de

esfuerzos con ayuda del cálculo matricial y diferencial.

Para los tres ejercicios siguientes que están relacionados con la notación indicial

utilizaremos la ayuda de hojas de cálculo, (Excel) ya que la convención de Einstein se

presta, precisamente, para hacer los cálculos de manera sistemática, por tanto, se incluye

anexo a este documento el archivo magnético.

4.0 DESARROLLO DEL TALLER

4.1 Ejercicio 1.

Sabiendo que la distribución de tensiones en un cuerpo está dada por:

, - [

], donde son constantes.

1. Calcular la distribución de tensiones en las seis caras del bloque.

2. Calcular la resultante que actúa en las caras y=0 y x=0.

Solución:

1. Para solucionar se calcula el Vector de Esfuerzos * +, en el plano correspondiente a

cada cara del bloque, mediante la fórmula de Cauchy.

* + , -* +, donde * +, es el vector unitario normal al plano estudiado.

Para x=0,

* + , -* + [

] [

]

* + [

]

Para y=0,

* + , -* + [

] [

]

* + [

]

Para z=0,

* + , -* + [

] [

]

* + [

]

Para x=a,

* + , -* + [

] [

]

* + [

]

Para y=b,

* + , -* + [

] [

]

* + [

]

Para z=c,

* + , -* + [

] [

]

* + [

]

2. Para la resultante en x=0 y y=0, se emplea integración para el , entonces para

x=0, la resultante es,

∫( ) ∫ ∫

∫ ∫

Para y=0, la resultante es,

∫ ∫

4.2 Ejercicio 2.

Calcule el determinante de una matriz 3x3 expandiendo la ecuación A y aplicando la

definición del símbolo de permutación.

,

Definición del símbolo de permutación,

{ {

Expandiendo la ecuación se obtiene:

ε i j k a i 1 a j 2 a k 3 i j k subindice Permutación

ε 1 1 1 a 1 1 a 1 2 a 1 3 1 1 1 111 0

ε 1 1 2 a 1 1 a 1 2 a 2 3 1 1 2 112 0

ε 1 1 3 a 1 1 a 1 2 a 3 3 1 1 3 113 0

ε 1 2 1 a 1 1 a 2 2 a 1 3 1 2 1 121 0

ε 1 2 2 a 1 1 a 2 2 a 2 3 1 2 2 122 0

ε 1 2 3 a 1 1 a 2 2 a 3 3 1 2 3 123 1 a 1 1 a 2 2 a 3 3

ε 1 3 1 a 1 1 a 3 2 a 1 3 1 3 1 131 0

ε 1 3 2 a 1 1 a 3 2 a 2 3 1 3 2 132 -1 a 1 1 a 3 2 a 2 3

ε 1 3 3 a 1 1 a 3 2 a 3 3 1 3 3 133 0

ε 2 1 1 a 2 1 a 1 2 a 1 3 2 1 1 211 0

ε 2 1 2 a 2 1 a 1 2 a 2 3 2 1 2 212 0

ε 2 1 3 a 2 1 a 1 2 a 3 3 2 1 3 213 -1 a 2 1 a 1 2 a 3 3

ε 2 2 1 a 2 1 a 2 2 a 1 3 2 2 1 221 0

ε 2 2 2 a 2 1 a 2 2 a 2 3 2 2 2 222 0

ε 2 2 3 a 2 1 a 2 2 a 3 3 2 2 3 223 0

ε 2 3 1 a 2 1 a 3 2 a 1 3 2 3 1 231 1 a 2 1 a 3 2 a 1 3

ε 2 3 2 a 2 1 a 3 2 a 2 3 2 3 2 232 0

ε 2 3 3 a 2 1 a 3 2 a 3 3 2 3 3 233 0

ε 3 1 1 a 3 1 a 1 2 a 1 3 3 1 1 311 0

ε 3 1 2 a 3 1 a 1 2 a 2 3 3 1 2 312 1 a 3 1 a 1 2 a 2 3

ε 3 1 3 a 3 1 a 1 2 a 3 3 3 1 3 313 0

ε 3 2 1 a 3 1 a 2 2 a 1 3 3 2 1 321 -1 a 3 1 a 2 2 a 1 3

ε 3 2 2 a 3 1 a 2 2 a 2 3 3 2 2 322 0

ε 3 2 3 a 3 1 a 2 2 a 3 3 3 2 3 323 0

ε 3 3 1 a 3 1 a 3 2 a 1 3 3 3 1 331 0

ε 3 3 2 a 3 1 a 3 2 a 2 3 3 3 2 332 0

ε 3 3 3 a 3 1 a 3 2 a 3 3 3 3 3 333 0

Términos

Gráficamente lo podemos representar según los colores de la convención, así:

Determinante

a11 a21 a31 a11 a21

det A a12 a22 a32 a12 a22

a13 a23 a33 a13 a23

o

4.3 Ejercicio 3

Demostrar que la siguiente ecuación es la representación del producto cruz o vectorial de

los vectores a y b.

Definición del símbolo de permutación,

{ {

Expandiendo la ecuación se obtiene:

Gráficamente lo podemos representar según los colores de la convención, así:

Producto cruz

( ) ( ) ( )

4.4 Ejercicio 4

Determinar las componentes de la Ecuación de Transformación de un Tensor a otro sistema

de coordenadas, en función de los ángulos de rotación de un sistema coordenado al otro:

ε i j k a i b j e k i j k subindice Permutación

ε 1 1 1 a 1 b 1 e 1 1 1 1 111 0

ε 1 1 2 a 1 b 1 e 2 1 1 2 112 0

ε 1 1 3 a 1 b 1 e 3 1 1 3 113 0

ε 1 2 1 a 1 b 2 e 1 1 2 1 121 0

ε 1 2 2 a 1 b 2 e 2 1 2 2 122 0

ε 1 2 3 a 1 b 2 e 3 1 2 3 123 1 a 1 b 2 e 3

ε 1 3 1 a 1 b 3 e 1 1 3 1 131 0

ε 1 3 2 a 1 b 3 e 2 1 3 2 132 -1 a 1 b 3 e 2

ε 1 3 3 a 1 b 3 e 3 1 3 3 133 0

ε 2 1 1 a 2 b 1 e 1 2 1 1 211 0

ε 2 1 2 a 2 b 1 e 2 2 1 2 212 0

ε 2 1 3 a 2 b 1 e 3 2 1 3 213 -1 a 2 b 1 e 3

ε 2 2 1 a 2 b 2 e 1 2 2 1 221 0

ε 2 2 2 a 2 b 2 e 2 2 2 2 222 0

ε 2 2 3 a 2 b 2 e 3 2 2 3 223 0

ε 2 3 1 a 2 b 3 e 1 2 3 1 231 1 a 2 b 3 e 1

ε 2 3 2 a 2 b 3 e 2 2 3 2 232 0

ε 2 3 3 a 2 b 3 e 3 2 3 3 233 0

ε 3 1 1 a 3 b 1 e 1 3 1 1 311 0

ε 3 1 2 a 3 b 1 e 2 3 1 2 312 1 a 3 b 1 e 2

ε 3 1 3 a 3 b 1 e 3 3 1 3 313 0

ε 3 2 1 a 3 b 2 e 1 3 2 1 321 -1 a 3 b 2 e 1

ε 3 2 2 a 3 b 2 e 2 3 2 2 322 0

ε 3 2 3 a 3 b 2 e 3 3 2 3 323 0

ε 3 3 1 a 3 b 3 e 1 3 3 1 331 0

ε 3 3 2 a 3 b 3 e 2 3 3 2 332 0

ε 3 3 3 a 3 b 3 e 3 3 3 3 333 0

Términos

i j k

a2 a3 a1 a3 a1 a2

axb a1 a2 a3 = i - j + k

b2 b3 b1 b3 b1 b2

b1 b2 b3

La Ecuación de Transformación está dada por:

Expandiendo la ecuación y teniendo en cuenta que Qmi = Cos(em, ei´) (cosenos directores)

σ i j = Q m i Q n j σm n i j m n

σ x´ x´ Q x x´ Q x x´ σ x x x´ x´ x x σx´x´ σxx Qxx´ Qxx´ σx´x´ σxx Cos(x´- x)Cos(x´- x)

Q x x´ Q y x´ σ x y x´ x´ x y σyy Qyx´ Qyx´ σyy Cos(x´- y)Cos(x´- y)

Q x x´ Q z x´ σ x z x´ x´ x z σzz Qzx´ Qzx´ σzz Cos(x´- z)Cos(x´- z)

Q y x´ Q x x´ σ y x x´ x´ y x σxy Qxx´ Qyx´ σxy Cos(x´- x)Cos(x´- y)

Q y x´ Q y x´ σ y y x´ x´ y y σyx Qyx´ Qxx´ σyx Cos(x´- y)Cos(x´- x)

Q y x´ Q z x´ σ y z x´ x´ y z σyz Qyx´ Qzx´ σyz Cos(x´- y)Cos(x´- z)

Q z x´ Q x x´ σ z x x´ x´ z x σzy Qzx´ Qyx´ σzy Cos(x´- z)Cos(x´- y)

Q z x´ Q y x´ σ z y x´ x´ z y σxz Qxx´ Qzx´ σxz Cos(x´- x)Cos(x´- z)

Q z x´ Q z x´ σ z z x´ x´ z z σzx Qzx´ Qxx´ σzx Cos(x´- z)Cos(x´- x)

σ x´ y´ Q x x´ Q x y´ σ x x x´ y´ x x σx´y´ σxx Qxx´ Qxy´ σx´y´ σxx Cos(x´- x)Cos(y´- x)

Q x x´ Q y y´ σ x y x´ y´ x y σyy Qyx´ Qyy´ σyy Cos(x´- y)Cos(y´- y)

Q x x´ Q z y´ σ x z x´ y´ x z σzz Qzx´ Qzy´ σzz Cos(x´- z)Cos(y´- z)

Q y x´ Q x y´ σ y x x´ y´ y x σxy Qxx´ Qyy´ σxy Cos(x´- x)Cos(y´- y)

Q y x´ Q y y´ σ y y x´ y´ y y σyx Qyx´ Qxy´ σyx Cos(x´- y)Cos(y´- x)

Q y x´ Q z y´ σ y z x´ y´ y z σyz Qyx´ Qzy´ σyz Cos(x´- y)Cos(y´- z)

Q z x´ Q x y´ σ z x x´ y´ z x σzy Qzx´ Qyy´ σzy Cos(x´- z)Cos(y´- y)

Q z x´ Q y y´ σ z y x´ y´ z y σxz Qxx´ Qzy´ σxz Cos(x´- x)Cos(y´- z)

Q z x´ Q z y´ σ z z x´ y´ z z σzx Qzx´ Qxy´ σzx Cos(x´- z)Cos(y´- x)

σ x´ z´ Q x x´ Q x z´ σ x x x´ z´ x x σx´z´ σxx Qxx´ Qxz´ σx´z´ σxx Cos(x´- x)Cos(z´- x)

Q x x´ Q y z´ σ x y x´ z´ x y σyy Qyx´ Qyz´ σyy Cos(x´- y)Cos(z´- y)

Q x x´ Q z z´ σ x z x´ z´ x z σzz Qzx´ Qzz´ σzz Cos(x´- z)Cos(z´- z)

Q y x´ Q x z´ σ y x x´ z´ y x σxy Qxx´ Qyz´ σxy Cos(x´- x)Cos(z´- y)

Q y x´ Q y z´ σ y y x´ z´ y y σyx Qyx´ Qxz´ σyx Cos(x´- y)Cos(z´- x)

Q y x´ Q z z´ σ y z x´ z´ y z σyz Qyx´ Qzz´ σyz Cos(x´- y)Cos(z´- z)

Q z x´ Q x z´ σ z x x´ z´ z x σzy Qzx´ Qyz´ σzy Cos(x´- z)Cos(z´- y)

Q z x´ Q y z´ σ z y x´ z´ z y σxz Qxx´ Qzz´ σxz Cos(x´- x)Cos(z´- z)

Q z x´ Q z z´ σ z z x´ z´ z z σzx Qzx´ Qxz´ σzx Cos(x´- z)Cos(z´- x)

σ y´ x´ Q x y´ Q x x´ σ x x y´ x´ x x σy´x´ σxx Qxy´ Qxx´ σy´x´ σxx Cos(y´- x)Cos(x´- x)

Q x y´ Q y x´ σ x y y´ x´ x y σyy Qyy´ Qyx´ σyy Cos(y´- y)Cos(x´- y)

Q x y´ Q z x´ σ x z y´ x´ x z σzz Qzy´ Qzx´ σzz Cos(y´- z)Cos(x´- z)

Q y y´ Q x x´ σ y x y´ x´ y x σxy Qxy´ Qyx´ σxy Cos(y´- x)Cos(x´- y)

Q y y´ Q y x´ σ y y y´ x´ y y σyx Qyy´ Qxx´ σyx Cos(y´- y)Cos(x´- x)

Q y y´ Q z x´ σ y z y´ x´ y z σyz Qyy´ Qzx´ σyz Cos(y´- y)Cos(x´- z)

Q z y´ Q x x´ σ z x y´ x´ z x σzy Qzy´ Qyx´ σzy Cos(y´- z)Cos(x´- y)

Q z y´ Q y x´ σ z y y´ x´ z y σxz Qxy´ Qzx´ σxz Cos(y´- x)Cos(x´- z)

Q z y´ Q z x´ σ z z y´ x´ z z σzx Qzy´ Qxx´ σzx Cos(y´- z)Cos(x´- x)

Ahora teniendo en cuenta la simetría de tensiones:

σ y´ y´ Q x y´ Q x y´ σ x x y´ y´ x x σy´y´ σxx Qxy´ Qxy´ σy´y´ σxx Cos(y´- x)Cos(y´- x)

Q x y´ Q y y´ σ x y y´ y´ x y σyy Qyy´ Qyy´ σyy Cos(y´- y)Cos(y´- y)

Q x y´ Q z y´ σ x z y´ y´ x z σzz Qzy´ Qzy´ σzz Cos(y´- z)Cos(y´- z)

Q y y´ Q x y´ σ y x y´ y´ y x σxy Qxy´ Qyy´ σxy Cos(y´- x)Cos(y´- y)

Q y y´ Q y y´ σ y y y´ y´ y y σyx Qyy´ Qxy´ σyx Cos(y´- y)Cos(y´- x)

Q y y´ Q z y´ σ y z y´ y´ y z σyz Qyy´ Qzy´ σyz Cos(y´- y)Cos(y´- z)

Q z y´ Q x y´ σ z x y´ y´ z x σzy Qzy´ Qyy´ σzy Cos(y´- z)Cos(y´- y)

Q z y´ Q y y´ σ z y y´ y´ z y σxz Qxy´ Qzy´ σxz Cos(y´- x)Cos(y´- z)

Q z y´ Q z y´ σ z z y´ y´ z z σzx Qzy´ Qxy´ σzx Cos(y´- z)Cos(y´- x)

σ y´ z´ Q x y´ Q x z´ σ x x y´ z´ x x σy´z´ σxx Qxy´ Qxz´ σy´z´ σxx Cos(y´- x)Cos(z´- x)

Q x y´ Q y z´ σ x y y´ z´ x y σyy Qyy´ Qyz´ σyy Cos(y´- y)Cos(z´- y)

Q x y´ Q z z´ σ x z y´ z´ x z σzz Qzy´ Qzz´ σzz Cos(y´- z)Cos(z´- z)

Q y y´ Q x z´ σ y x y´ z´ y x σxy Qxy´ Qyz´ σxy Cos(y´- x)Cos(z´- y)

Q y y´ Q y z´ σ y y y´ z´ y y σyx Qyy´ Qxz´ σyx Cos(y´- y)Cos(z´- x)

Q y y´ Q z z´ σ y z y´ z´ y z σyz Qyy´ Qzz´ σyz Cos(y´- y)Cos(z´- z)

Q z y´ Q x z´ σ z x y´ z´ z x σzy Qzy´ Qyz´ σzy Cos(y´- z)Cos(z´- y)

Q z y´ Q y z´ σ z y y´ z´ z y σxz Qxy´ Qzz´ σxz Cos(y´- x)Cos(z´- z)

Q z y´ Q z z´ σ z z y´ z´ z z σzx Qzy´ Qxz´ σzx Cos(y´- z)Cos(z´- x)

σ z´ x´ Q x z´ Q x x´ σ x x z´ x´ x x σz´x´ σxx Qxz´ Qxx´ σz´x´ σxx Cos(z´- x)Cos(x´- x)

Q x z´ Q y x´ σ x y z´ x´ x y σyy Qyz´ Qyx´ σyy Cos(z´- y)Cos(x´- y)

Q x z´ Q z x´ σ x z z´ x´ x z σzz Qzz´ Qzx´ σzz Cos(z´- z)Cos(x´- z)

Q y z´ Q x x´ σ y x z´ x´ y x σxy Qxz´ Qyx´ σxy Cos(z´- x)Cos(x´- y)

Q y z´ Q y x´ σ y y z´ x´ y y σyx Qyz´ Qxx´ σyx Cos(z´- y)Cos(x´- x)

Q y z´ Q z x´ σ y z z´ x´ y z σyz Qyz´ Qzx´ σyz Cos(z´- y)Cos(x´- z)

Q z z´ Q x x´ σ z x z´ x´ z x σzy Qzz´ Qyx´ σzy Cos(z´- z)Cos(x´- y)

Q z z´ Q y x´ σ z y z´ x´ z y σxz Qxz´ Qzx´ σxz Cos(z´- x)Cos(x´- z)

Q z z´ Q z x´ σ z z z´ x´ z z σzx Qzz´ Qxx´ σzx Cos(z´- z)Cos(x´- x)

σ z´ y´ Q x z´ Q x y´ σ x x z´ y´ x x σz´y´ σxx Qxz´ Qxy´ σz´y´ σxx Cos(z´- x)Cos(y´- x)

Q x z´ Q y y´ σ x y z´ y´ x y σyy Qyz´ Qyy´ σyy Cos(z´- y)Cos(y´- y)

Q x z´ Q z y´ σ x z z´ y´ x z σzz Qzz´ Qzy´ σzz Cos(z´- z)Cos(y´- z)

Q y z´ Q x y´ σ y x z´ y´ y x σxy Qxz´ Qyy´ σxy Cos(z´- x)Cos(y´- y)

Q y z´ Q y y´ σ y y z´ y´ y y σyx Qyz´ Qxy´ σyx Cos(z´- y)Cos(y´- x)

Q y z´ Q z y´ σ y z z´ y´ y z σyz Qyz´ Qzy´ σyz Cos(z´- y)Cos(y´- z)

Q z z´ Q x y´ σ z x z´ y´ z x σzy Qzz´ Qyy´ σzy Cos(z´- z)Cos(y´- y)

Q z z´ Q y y´ σ z y z´ y´ z y σxz Qxz´ Qzy´ σxz Cos(z´- x)Cos(y´- z)

Q z z´ Q z y´ σ z z z´ y´ z z σzx Qzz´ Qxy´ σzx Cos(z´- z)Cos(y´- x)

σ z´ z´ Q x z´ Q x z´ σ x x z´ z´ x x σz´z´ σxx Qxz´ Qxz´ σz´z´ σxx Cos(z´- x)Cos(z´- x)

Q x z´ Q y z´ σ x y z´ z´ x y σyy Qyz´ Qyz´ σyy Cos(z´- y)Cos(z´- y)

Q x z´ Q z z´ σ x z z´ z´ x z σzz Qzz´ Qzz´ σzz Cos(z´- z)Cos(z´- z)

Q y z´ Q x z´ σ y x z´ z´ y x σxy Qxz´ Qyz´ σxy Cos(z´- x)Cos(z´- y)

Q y z´ Q y z´ σ y y z´ z´ y y σyx Qyz´ Qxz´ σyx Cos(z´- y)Cos(z´- x)

Q y z´ Q z z´ σ y z z´ z´ y z σyz Qyz´ Qzz´ σyz Cos(z´- y)Cos(z´- z)

Q z z´ Q x z´ σ z x z´ z´ z x σzy Qzz´ Qyz´ σzy Cos(z´- z)Cos(z´- y)

Q z z´ Q y z´ σ z y z´ z´ z y σxz Qxz´ Qzz´ σxz Cos(z´- x)Cos(z´- z)

Q z z´ Q z z´ σ z z z´ z´ z z σzx Qzz´ Qxz´ σzx Cos(z´- z)Cos(z´- x)

σx´x´ σxx Cos²(x´- x)

σyy Cos²(x´- y)

σzz Cos²(x´- z)

2 σxy Cos(x´- x) Cos(x´- y)

2 σyz Cos(x´- y) Cos(x´- z)

2 σxz Cos(x´- x) Cos(x´- z)

σx´y´ σxx Cos(x´- x) Cos(y´- x)

σyy Cos(x´- y) Cos(y´- y)

σzz Cos(x´- z) Cos(y´- z)

σxy ( Cos(x´- x) Cos(y´- y) ) + ( Cos(y´- x) Cos(x´- y) )

σyz ( Cos(x´- y) Cos(y´- z) ) + ( Cos(y´- y) Cos(x´- z) )

σxz ( Cos(x´- x) Cos(y´- z) ) + ( Cos(y´- x) Cos(x´- z) )

σx´z´ σxx Cos(x´- x) Cos(z´- x)

σyy Cos(x´- y) Cos(z´- y)

σzz Cos(x´- z) Cos(z´- z)

σxy ( Cos(x´- x) Cos(z´- y) ) + ( Cos(z´- x) Cos(x´- y) )

σyz ( Cos(x´- y) Cos(z´- z) ) + ( Cos(z´- y) Cos(x´- z) )

σxz ( Cos(x´- x) Cos(z´- z) ) + ( Cos(z´- x) Cos(x´- z) )

σy´x´ σxx Cos(y´- x) Cos(x´- x)

σyy Cos(y´- y) Cos(x´- y)

σzz Cos(y´- z) Cos(x´- z)

σxy ( Cos(y´- x) Cos(x´- y) ) + ( Cos(x´- x) Cos(y´- y) )

σyz ( Cos(y´- y) Cos(x´- z) ) + ( Cos(x´- y) Cos(y´- z) )

σxz ( Cos(y´- x) Cos(x´- z) ) + ( Cos(x´- x) Cos(y´- z) )

σy´y´ σxx Cos²(y´- x)

σyy Cos²(y´- y)

σzz Cos²(y´- z)

2 σxy Cos(y´- x) Cos(y´- y)

2 σyz Cos(y´- y) Cos(y´- z)

2 σxz Cos(y´- x) Cos(y´- z)

Entonces,

( )

( ) ( )

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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

σy´z´ σxx Cos(y´- x) Cos(z´- x)

σyy Cos(y´- y) Cos(z´- y)

σzz Cos(y´- z) Cos(z´- z)

σxy ( Cos(y´- x) Cos(z´- y) ) + ( Cos(z´- x) Cos(y´- y) )

σyz ( Cos(y´- y) Cos(z´- z) ) + ( Cos(z´- y) Cos(y´- z) )

σxz ( Cos(y´- x) Cos(z´- z) ) + ( Cos(z´- x) Cos(y´- z) )

σz´x´ σxx Cos(z´- x) Cos(x´- x)

σyy Cos(z´- y) Cos(x´- y)

σzz Cos(z´- z) Cos(x´- z)

σxy ( Cos(z´- x) Cos(x´- y) ) + ( Cos(x´- x) Cos(z´- y) )

σyz ( Cos(z´- y) Cos(x´- z) ) + ( Cos(x´- y) Cos(z´- z) )

σxz ( Cos(z´- x) Cos(x´- z) ) + ( Cos(x´- x) Cos(z´- z) )

σz´y´ σxx Cos(z´- x) Cos(y´- x)

σyy Cos(z´- y) Cos(y´- y)

σzz Cos(z´- z) Cos(y´- z)

σxy ( Cos(z´- x) Cos(y´- y) ) + ( Cos(y´- x) Cos(z´- y) )

σyz ( Cos(z´- y) Cos(y´- z) ) + ( Cos(y´- y) Cos(z´- z) )

σxz ( Cos(z´- x) Cos(y´- z) ) + ( Cos(y´- x) Cos(z´- z) )

σz´z´ σxx Cos²(z´- x)

σyy Cos²(z´- y)

σzz Cos²(z´- z)

2 σxy Cos(z´- x) Cos(z´- y)

2 σyz Cos(z´- y) Cos(z´- z)

2 σxz Cos(z´- x) Cos(z´- z)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

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CONCLUSIONES

En el desarrollo del trabajo se resolvieron las cuatro situaciones planteadas para el taller de

MMC, alcanzándose los objetivos propuestos.

En el ejercicio 1 se pudo calcular los esfuerzos en diferentes planos del cuerpo (cubo)

teniendo como dato inicial la distribución de tensiones para dicho cuerpo. De igual manera

se pueden calcular la resultante en las caras del cubo, con los esfuerzos determinados por

las áreas correspondientes.

En los ejercicios del 2 al 4 se pudo comprobar como la convención de Einstein es una

herramienta poderosa para la representación, cálculo y manipulación de situaciones

matemáticas y/o físicas que de esa manera se pueden sistematizar más fácilmente.

BIBLIOGRAFÍA

Pérez, C. (2005). Conceptos Básicos de Mecánica de Medios Continuos.Recuperado de

http://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099.1/3260/50939-8.pdf.

Romero,I. (2004). Notación Indicial. Recuperado de http://w3.mecanica.upm.es/mmc-

ig/Apuntes/indices.pdf