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REDES NEURONALES TALLER I

Hernan Sanabria Páez cod: 20062005011

27 de marzo de 2016

1. Punto 1: Clasificador Bayesiano

El clasificador bayesiano, óptimo parte del hecho de que para minimizar elerror se debe optar por la mayor de las probabilidades a posteriori, es decir sitenemos un conjunto de clases se dice que un elemento X pertenece la clase Cisi:

P (Ci|X) > P (cj |X) ∀j 6= i (1)

por lo tanto se puede representar el clasificador de bayes como una función fi(x)que depende de lo expresado en (1) aplicando el teoremas de bayes:

fi(X) =P (Ci|X)P (Ci)

P (X)(2)

Para nuestro caso al tratarse de una distribución normal de 2 dimensiones tene-mos:

P(x) =1√

2π ×Σe− 1

2 (X−µ)TΣ−1(X−µ) (3)

Donde:

X es el vector [x1 x2]T

Σ es la matriz de covarianza de cada clase.µ es el vector de valor medio de cada clase.

Por lo tanto si aplicamos ln, y sus propiedades, a ambos lados de la ecuación (2)tenemos:

gi(X) = ln(P (Ci|X)) + ln(P (Ci))− ln(P (X)) (4)

Reemplazando (3) en (4) tenemos:

gi(X) = −1

2(X − µ)TΣ−1

i (X − µ)− 1

2ln(|Σi|) + ln(P (Ci)) (5)

Nótese que se han omitido los valores de ln(P (X)) y 12 ln(2π) puesto que son

valores constantes para cada una de las clases, y se cancelaran mas adelantecuanto se igualen las funciones de cada clase para hallar sus fronteras de decisión.

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2 Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Ahora se realizara una simplificación de (5) ,aprovechando la propiedad delasmatrices (A+B)T = AT +BT , para facilitar los cálculos así:

gi(X) = −1

2[XTΣ−1

i X−XTΣ−1i µi−µTi Σ−1

i X+µTi Σ−1i µi]−

1

2ln(|Σi|)+ln(P (Ci))

(6)y finalmente agruparemos dicha ecuación como:

gi(X) = XTWiX +1

2XTωi +

1

2ωTi X + ωi0 (7)

Donde:

Wi =12Σ

−1i

ωi = µiΣ−1i

ωi0 = − 12µ

Ti Σ

−1i µi − 1

2 ln(|Σi|) + ln(P (Ci))

y como XTωi = ωTi X dicha ecuación se reduce a:

gi(X) = XTWiX + ωTi X + ωi0 (8)

1.1. Ecuación a Partir de C1 y C2

Para determinar la ecuación del clasificador empezaremos calculando los pa-rámetros Σ y µ para las 2 clases C1 y C2 con la ayuda del software matlab. Paracalcular los vectores de valores medios utilizaremos un script con el siguientecódigo:

clear all %limpiar variablesclc %limpiar consolaload(’set1.mat’); %cargar datosmu1 = mean(clase1) %calcular el valor medio de la clase1mu2 = mean(clase2) %calcular el valor medio de la clase2

al ejecutar dicho script obtenemos:

mu1 =

1.4363 1.4757

mu2 =

-0.8955 -0.9752

090

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Universidad Distrital Francisco José de Caldas 3

Por lo tanto tenemos que:

µ1 =

1,431,47

y µ2 =

−0,89−0,97

(9)

Ahora se procederá a calcular las matrices de covarianza y sus inversas para cadaclase agregando el siguientecodigo al anterior script:

%calculamos Xi-Xmedio para la covarianza extendiendo mu1 600veces

ce1 = clase1 - repmat(mu1 ,600 ,1);%calculamos la matriz de covarianza para la clase1cov1 =(1/600)*ce1 ’*ce1%calculamos Xi-Xmedio para la covarianza extendiendo mu1 400

vecesce2 = clase2 - repmat(mu2 ,400 ,1);%calculamos la matriz de covarianza para la clase2cov2 =(1/400)*ce2 ’*ce2invs1=inv(cov1) %inversa de la matriz de covarianza 1invs2=inv(cov2) %inversa de la matriz de covarianza 2det(cov1) %determinante de la matriz de covarianza 1det(cov2) %determinante de la matriz de covarianza 2

El cual nos entrega el siguiente resultado:

Σ1 =

0,9032 −0,0169

−0,0169 0,9782

y Σ2 =

2,2598 0,4484

0,4484 1,9683

(10)

Σ−11 =

1,1076 0,0191

0,0191 1,0226

y Σ−12 =

0,4635 −0,1056

−0,1056 0,5321

(11)

|Σ1| = 0,8832 y |Σ2| = 4,2468 (12)

Ahora que se tienen todos los parámetros se puede utilizar la ecuación (8) paracada una de las clases:

g1(X) = XTW1X + ωT1 X + ω10 (13)

g2(X) = XTW2X + ωT2 X + ω20 (14)

por lo tanto se empezará calculando el valor de XTW1X y XTW2X:

W1 =1

2Σ−1

1 (15)

XTW1X =1

2

[x1 x2

]·

1,1076 0,0191

0,0191 1,0226

·x1x2

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XTW1X = 0,5538x21 + 0,0191x1x2 + 0,5113x22 (16)

W2 =1

2Σ−1

1 (17)

XTW2X =1

2

[x1 x2

]·

0,4635 −0,1056

−0,1056 0,5321

·x1x2

XTW2X = 0,2317x21 − 0,1056x1x2 + 0,2661x22 (18)

Ahora se calculara el valor de ωT1 X y ωT2 X:

ωT1 = µT1Σ−11 (19)

ωT1 X =[1,4363 1,4757

]·

1,1076 0,0191

0,0191 1,0226

·x1x2

ωT1 X = 1,6191x1 + 1,5366x2 (20)

ωT2 = µT2Σ−12 (21)

ωT2 X =[−0,8955 −0,9752

]·

0,4635 −0,1056

−0,1056 0,5321

·x1x2

ωT2 X = −0,3121x1 − 0,4244x2 (22)

y finalmente se calculará el valor de ω01 y ω02:

ω10 = −1

2µTi Σ

−11 µ1 −

1

2ln(|Σ1|) + ln(P (C1)) (23)

ω01 = −1

2

[1,4363 1,4757

] 1,1076 0,0191

0,0191 1,0226

1,43631,4757

−1

2ln(0,8832)+ln

(600

1000

)

ω01 = −2,7452 (24)

ω20 = −1

2µT2Σ

−12 µ2 −

1

2ln(|Σ2|) + ln(P (C2)) (25)

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ω02 = −1

2

[−0,8955 −0,9752

] 0,4635 −0,1056

−0,1056 0,5321

1,43631,4757

−1

2ln(0,8832)+ln

(600

1000

)ω01 = −2,5865 (26)

Por lo tanto:

g1(X) = 0,5538x21+0,0191x1x2+0,5113x22+1,6191x1+1,5366x2−2,7452 (27)

g2(X) = 0,2317x21−0,1056x1x2+0,2661x22−0,3121x1−0,4244x2−2,5865 (28)

dichas funciones representan paraboloides que encierran la mayoría de los puntosde las dispersiones como se observa en la siguiente figura:

−6 −4 −2 0 2 4 6−5

0

5

0

10

20

30

40

50

x2

x1

g1(x1,x2)

Figura 1. paraboloide que encierra la mayoria de los puntos de la clase 1 en el planode z =0.

Si g1(X)=0 y g2(X)=0 obtenemos el siguiente resultado:

Etiqueta X1

EtiquetaX2

Funciones discriminantes para el clasificador bayesiano

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

Figura 2. Cortes de las superficies de decicion con el plano Z = 0

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Ahora si se iguala g1(X) y g2(X) y se reagrupan términos obtendremos lafrontera de decisión:

0 = 0,3321x21 + 0,1247x1x2 + 0,2452x22 + 1,9312x1 + 1,9610x2 − 0,1587 (29)

cuya gráfica es la siguiente:

Etiqueta X1

EtiquetaX2

Region de decisión clasificador bayesiano

−6 −4 −2 0 2 4

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

Figura 3. Frontera de decision

Si tomamos la ecuación (29) como una función que depende de x1 y x2 o sea:

g(x1, x2) = 0,3321x21+0,1247x1x2+0,2452x22+1,9312x1+1,9610x2−0,1587 (30)

si se realiza su gráfica tenemos:

−5

0

5 −5

0

5

0

10

20

30

40

50

g(x1,x2)

x1 x2

Figura 4. Superficie de decisión tomando g(x1, x2) = 0,3321x21 + 0,1247x1x2 +0,2452x22 + 1,9312x1 + 1,9610x2 − 0,1587, donde los puntos rojos corresponden a laclase 1 y los puntos verdes a la clase 2.

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Al ser la gráfica de la Figura 4, que corresponde a la función g(x2, x2), unparaboloide podemos deducir la siguiente regla de clasificación:

x ∈ C1 si g(x1, x2) > 0 de lo contrario x ∈ C2 (31)

1.2. Comparación clasificador Bayesiano vs Perceptron con bolsillo

Para realizar la comparación primero se ha entrenado un perceptron conbolsillo obteniendo una buena solución para separar las 2 clases, obteniendo lasiguiente gráfica:

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6−6

−4

−2

0

2

4

6

Etiqueta X1

EtiquetaX2

Perceptrón con bolsillo

Figura 5. Perceptrón con bolsillo cuyo vector de pesos tras su entrenamiento es: W =[1,3458 3,0498 − 0,9292].

El error de generalización se ha estimado mediante un script que recorrelos mil puntos y determina cuales se encuentran bien clasificados obteniendo elsiguiente resultado:

clasificador/clasificacion Bien clasificados Mal calsificados % ErrorPerceptron 907 93 9.3

Bayes 904 95 9.5

Tabla 1. Error de generalización para los 2 clasificadores.

Para comparar los 2 clasificadores se ha realizado un script en matlab el cualtoma 100000 puntos al azar y cuenta cuanto puntos quedaron mal clasificados,dicho script se ejecuto 10 veces obteniendo los siguientes resultados:

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Perceptrón con bolsillo Clasificador de bayes9147 94619336 95109364 94809254 94169334 95579207 94559275 94569265 95029376 95059261 9377

Tabla 2. Cantidad de errores tras tomar 100000 puntos al azar 10 veces.

Al hacer el promedio se obtiene lo siguinte:

%errorPromedio Bayes 9509.2 9,5

Promedio perceptrón 9267.2 9,2

2. Punto 2: Transformación no lineal y clasificación conLMS

Para este ejercicio se ha comenzado entrenando una neurona con el algoritmoLMS. mediante el siguiente script:

clear all;clc;load(’set2.mat’);pex =[[ clase1;clase2] ones (2000 ,1)]; %puntos extendidosyi=[-1*ones (492 ,1) ; ones (1508 ,1)]; %clasificadorhold on;axis([-2 2 -2 2]);x = linspace (-5,5,100);w = [rand rand rand]; %vector de pesosys = -((w(1)/w(2))*x) -(w(3)/w(2));plot(x,ys,’k’);r = [];for j =1 : 1 :2000

r(end + 1)= dot(w’,pex(j,:)); %error en cada puntoend

etotal =(1/2)*sum((r’-yi).^2)contador = 0;miu =0.8; %Tasa de aprendizaje

while etotal > 790 %Error minimo requeridoj = randi (2000);g=dot(w,pex(j,:));

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e=yi(j)-g;w=w+miu*e*pex(j,:);ys = -((w(1)/w(2))*x) -(w(3)/w(2));plot(x,ys,’g’);r = [];for j =1 : 1 :2000

r(end + 1)= dot(w’,pex(j,:)); %error en cada puntoendetotal =0.5*sum((r’-yi).^2); %Error totalcontador=contador +1;

endetotal % error totalcontador %cantidad de iteraciones que tardo en encontrar la

solucion%impresion de los puntosfor k=1:1:2000

if yi(k) == -1plot(pex(k,1),pex(k,2),’r.’);

elseplot(pex(k,1),pex(k,2),’b.’);

endendys = -((w(1)/w(2))*x) -(w(3)/w(2)); %linea solucionplot(x,ys,’r--’);

Sin embargo al ser puntos no separables lineal mente la el algoritmo encuentrauna recta bastante lejana de la dispersión como se observa a continuación:

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Etiqueta X 1

EtiquetaX2

Clasificacion con LMS

Figura 6. Gráfica Resultante de aplicar el algoritmo LMS al conjunto de puntos delejercicio, se observa que el algoritmo arroja que la recta con menor error esta fuera dela nube de puntos, las rectas verdes son pasos intermedios hasta encontrar la solución.

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Ahora se ha aplicado la transformación:

φ(X) : (x1, x2) 7→ (x12, x22,√2 · x1 · x2) (32)

La cual envía la nube de puntos a un espacio de 3 dimensiones como seobserva en la siguiente figura:

00.05

0.10.15

0.20.25 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

x1x2

f(x1,x2)

Figura 7. Gráfica Resultante de aplicar la transformación φ(X) : (x1, x2) 7→(x12, x22,

√2 · x1 · x2) al conjunto de puntos propuesto.

ahora se ha aplicado el algoritmo LMS para separar los puntos con la trans-formación expuesta en (32) mediante el siguiente script:

clear all;clc;load(’set2.mat’); %datos a clasificarscatter3(clase1 (:,1).^2, clase1 (:,2).^2,sqrt (2).*clase1 (:,1).*

clase1 (:,2),’g.’)hold onscatter3(clase2 (:,1).^2, clase2 (:,2).^2,sqrt (2).*clase2 (:,1).*

clase2 (:,2),’m.’)totaldatos =[ clase1;clase2 ];puntosex= [totaldatos (:,1).^2 totaldatos (:,2).^2 2.*

totaldatos (:,1).*totaldatos (:,2) ones (2000 ,1)]; %datosextendidos

yi = [ones (492 ,1);-1*ones (1508 ,1)];w=[rand rand rand rand]; %pesos inicialesr = [];for j =1 : 1 :2000

r(end + 1)= dot(w’,puntosex(j,:)); %error en cad puntoendetotal =0.5*sum((r’-yi).^2); %error totalmiu =1; % tasa de aprendizajeiteraciones = 0;

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while etotal > 440 %error minimo requeridoj = randi (2000);g=dot(w’,puntosex(j,:));e=yi(j)-g;w=w+miu*e*puntosex(j,:);r = [];for k =1 : 1 :2000

r(end + 1)= dot(w’,puntosex(k,:));endetotal =0.5*sum((r’-yi).^2);iteraciones=iteraciones +1;enditeraciones %cantidad deiteraciones para hallar la solucionetotal %error minimo obteido

xd=linspace ( -0.01 ,0.3);yd=linspace ( -0.3 ,0.3);[x,y]= meshgrid(xd,yd);z=-(w(1)/w(3))*x -(w(2)/w(3))*y-w(4)/w(3);surf(x,y,z)xlabel(’Etiqueta \textit{X}1’,’Interpreter ’,’latex’);ylabel(’Etiqueta \textit{X}2’,’Interpreter ’,’latex’);title({’Clasificacion con LMS’},’FontWeight ’,’bold’);

A partir de dicho script se ha obtenido una clasificación a través de un planocomo se observa a continuación:

−0.10

0.10.2

0.3

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4−10

−5

0

5

10

15

Etiqueta X 1

Clasificacion con LMS

Etiqueta X 2

Figura 8. Gráfica Resultante de aplicar el algoritmo LMS a la transformación φ(X) :(x1, x2) 7→ (x12, x22,

√2 · x1 · x2).

La anterior gráfica se realizó con una taza de aprendizaje µ = 1,4 y un errormínimo requerido de 435.

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Para poner a prueba la velocidad del algoritmo con la transformación reali-zada se ha variado la tasa de aprendizaje entre 0 y 2 obteniedo:

tasa de aprendizaje número de iteraciones0.3 11050.5 675.50.8 442.161 329.331.2 2891.5 6161.8 2111.16

Tabla 4. Cantidad de iteraciones en promedio tras variar las tazas deaprendizaje con valores entre 0 y 2, se tomaron 10 datos para cada tasa de

aprendizaje.

La siguiente gráfica muestra como varia la velocidad de convergencia respectoa la tasa de aprendizaje:

Figura 9. Velocidad de convergencia al aplicar el algoritmo LMS a la transformaciónφ(X) : (x1, x2) 7→ (x12, x22,

√2 · x1 · x2) variando la tasa de aprendizaje.

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A continuación se presenta el comportamiento el error para una tasa deaprendizaje de 0,3:

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

X= 1296Y= 434.9988

Iteraciones

Magnituderror

Error de generalizacion

Figura 10. Error de generalización para una tasa de aprendisaje de 0.3.

Se puede observar que aunque el error tiene oscilaciones, su tendencia es adecrecer exponencialmente hacia un valor , que para el caso tratado es de 430.

3. Punto 3: Método propuesto para solucionar elproblema de la función XOR

La función XOR se caracteriza por ser un problema no separable lineal-mentecomo se observa en la figura 11:

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Etiqueta X 1

EtiquetaX2

Funcion XOR

Figura 11. Función XOR, Obsérvese que no existe ninguna linea que pueda separar laclase1(puntos rojos), de la clase2(puntos magenta).

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Para la solución del problema de clasificación en este documento se proponeun método de clasificación basado en una ecuación general de segundo ordenmas exactamente el conjunto de ecuaciones de segundo orden cuyas gráficas es-tán representadas mediante Hipérbolas.

La ecuación general de segundo orden se representa como:

Ax2 +By2 + Cxy +Dx+ Ey + F = 0 (33)

La cual puede ser expresada de forma matricial como:

XT ·Aq ·X = 0 (34)

donde:X =

[x y 1

]Ty

Aq =

F D

2E2

D2 A C

2

E2

C2 B

Se denominará M0 a la submatriz de resultante de eliminar la primera fila y

la primera columna de Aq.

M0 =

A C2

C2 B

(35)

Dado lo anterior se sabe que (33) es la ecuación de una hipérbola si:

det(Aq) 6= 0 y det(M0) < 0 (36)

Donde det(•) representa el determinante de la correspondiente matriz.

3.1. El Hiperton.

Para la solución del problema de clasificación de la funcion XOR se proponeutilizar un método que usa el algoritmo del perceptrón junto con la ecuación deuna hipérbola para clasificar los puntos, al cual se denominará hipertrón.

En este método se toma un vector de pesos W igual al del perceptron, enel cual se pondrán tres de los coeficientes de la ecuación (33) de la siguientemanera:

W = [A B C D E] (37)

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Los coeficientes DyE se asignaran como 0 (aunque no se tendrán en cuentaen el resultado final sus valores obtenidos en W) y se comprobaran las condi-ciones descritas en (36) si no se cumplen se actualizara el vector de pesos igualque en el perceptrón y también se actualizarán las matrices AQ y M0 con losnuevos coeficientes deW y los coeficientes restantes se asignaran aleatoria-mente.

Después de que se cumplan las restricciones de (36) se procederá a clasificarun punto aleatoria-mente, si dicho punto no se encuentra bien clasificado se vol-verán a actualizar los pesos, y los demás parámetros.

La regla de clasificación que se utilizará será:

Ic =

x ∈ C1 si g(x1, x2) > 0

x ∈ C2 si g(x1, x2) 6 0(38)

Donde C1 y C2 son las 2 clases y g(x1, x2) se define como:

g(x1, x2) = A · (x1)2 +B · (x2)2 + C · x1 · x2 +D · x1 + E · x2 + F (39)

A continuación se presenta un script que implementa el algoritmo anterior-mente descrito:

clear allclcA=rand; B=rand; C=rand; D=0; E=0;F= -1.3;pex = [-1 -1 1 1 1; -1 1 1 1 1; 1 -1 1 1 1; 1 1 1 1 1];yi = [1 -1 -1 1];w = [A B C D E];p = [-1 -1; -1 1; 1 -1; 1 1];M=[F w(4)/2 w(5)/2; w(4)/2 w(1) w(3)/2; w(5)/2 w(3)/2 w(2)];M0=[w(1) w(3)/2; w(3)/2 w(2)];n=1;while n<100

j = randi (4);if det(M)~=0 && det(M0) <0

v=w(1)*p(j,1)^2 +w(2)*p(j,2)^2 + w(3)*p(j,1)*p(j,2) +D*p(j,1) + E*p(j,2)+F;

if v < 0 && yi(j)==-1

w = w + pex(j,:)*yi(j);M=[F w(4)/2 w(5)/2; w(4)/2 w(1) w(3)/2; w(5)/2

w(3)/2 w(2) ];;M0=[w(1) w(3)/2; w(3)/2 w(2)];

end%% % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

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%segmento de codigo opcional , que para cuando encuentra lasolucion

%% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %%V1=w(1)*p(1,1)^2 +w(2)*p(1,2)^2 + w(3)*p(1,1)*p(1,2) + D*p

(1,1) + E*p(1,2)+F;%V2=w(1)*p(2,1)^2 +w(2)*p(2,2)^2 + w(3)*p(2,1)*p(2,2) + D*p

(2,1) + E*p(2,2)+F;%V3=w(1)*p(3,1)^2 +w(2)*p(3,2)^2 + w(3)*p(3,1)*p(3,2) + D*p

(3,1) + E*p(3,2)+F;%V4=w(1)*p(4,1)^2 +w(2)*p(4,2)^2 + w(3)*p(4,1)*p(4,2) + D*p

(4,1) + E*p(4,2)+F;%%if V1 <0 && V4 <0% if V2 >0 && V3 >0% disp(’pasos para la solucion:’);% n% break;% end% end%% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %5

elsew = w + pex(j,:)*yi(j);M=[F w(4)/2 w(5)/2; w(4)/2 w(1) w(3)/2; w(5)/2 w(3)/2 w(2)];M0=[w(1) w(3)/2; w(3)/2 w(2)];

endn=n+1;

endaxis([-2 2 -2 2]);syms g(x,y);A=w(1);B=w(2);C= w(3);g(x,y)=w(1)*x^2 +w(2)*y^2 + w(3)*x*y + D*x + E*y+F;hold onplot(p(1,1),p(1,2),’r.’);plot(p(2,1),p(2,2),’b.’);plot(p(3,1),p(3,2),’b.’);plot(p(4,1),p(4,2),’r.’);ezplot(g,[-7,7,-9,7])xlabel(’Etiqueta \textit{X}1’,’Interpreter ’,’latex’);ylabel(’Etiqueta \textit{X}2’,’Interpreter ’,’latex’);title({’Clasificacion con hiper -tron’},’FontWeight ’,’bold’);

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Si ejecutamos dicho script imprimiendo todos los pasos se puede ver el si-guiente resultado:

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

Etiqueta X 1

EtiquetaX2

Clasificacion con hiper−tron

Figura 12. Pasos intermedios hasta encontrar una solución.

A continuación se presentan una clasificaciones exitosa con el hipertrón y sucorrespondiente función g(x1, x2):

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Etiqueta X 1

EtiquetaX2


−5

0

5−6 −4 −2 0 2 4 6

−200

−150

−100

−50

0

50

100


Etiqueta X 2Etiqueta X 1

Figura 13. clasificaciones exitosa con el hipertrón y su correspondiente función o su-perficie de decisión g(x1, x2).

Se puede observar que los puntos azules están por encima del paraboloidehiperbólico que representa su función de decisión.

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El modelo propuesto es posible de realizar para patrones d-dimensionales,acudiendo a la forma matricial de las ecuaciones de segundo grado para hiper-superficies, y tendría que establecerse las restricciones que se establecieron eseste modelo, un ejemplo para el caso particular de 3 dimensiones se podrían uti-lizar hiperboloides de 2 hojas para clasificar los patrones, y su hiper-superficiede decisión estaría en R4 siendo hipeparaboloides hiperblolicos en 4 dimensio-nes, a continuacion se muestra un hiperboloide de 2 hojas para el caso de 3dimensiones:

Figura 14. Ejemplo de clasificación para el caso de 3 dimensione.

4. Conclusiones

El clasificador bayesiano representa una clasificación óptimo para un proble-ma no separable lineal mente, pero en este caso se logro una mejor clasifica-ción con el perceptron con bolsillo, aunque eso se debe a que el clasificadorbayesiano toma en cuenta la probabilidad de escoger un punto y que estepertenezca a una clase, en este caso la probabilidad era 60/40 pero aun asíse cometían mas errores con el bayesiano que con el perceptron con bolsillo.

Para el caso de dos clases no separables linealmente como el del segundopunto, es muy útil encontrar una transformacion no lineal que facilite laseparación de los puntos como la que se propuso, se pudo observar que elalgoritmo LMS aplicado a dicho problema no tenia ningún efecto separandolos puntos, también se evidencio un costo computacional mayor al pasar deun espacio de 2 dimensiones a un espacio de 3.

he podido encontrar un método,(ignoro si ya existía) para solucionar el pro-blema de la XOR el cual converge la mayoría de las veces en pocos pasos.

taller1

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