digilib.unila.ac.iddigilib.unila.ac.id/62122/2/skripsi tanpa bab pembahasan.pdf · abstract the...
TRANSCRIPT
PREMI TAHUNAN ASURANSI JIWA
PADA STATUS JOINT LIFE SECARA KONTINU
BERDASARKAN TABEL MORTALITA INDONESIA 2011
(Skripsi)
Oleh
STACIA LITHA SURYANI
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2020
ABSTRACT
THE ANNUAL PREMIUM OF LIFE INSURANCE ON THE CONTINOUS
JOINT LIFE STATUS BASED ON THE 2011 INDONESIA MORALITY TABLE
By
STACIA LITHA SURYANI
Life insurance is insurance that provides protection against risks to someone’s life.
Joint Life Insurance is insurance where the life and death rules are a combination of
two or more factors, for example husband-wife or parent-child and if the first death
occurs, then the premium payment process is stopped. Annual premium is the
premium paid annually. In this study, the formulation of annual premium is
calculated continuously with the equivalence principle based on the 2011 Indonesia
Mortality Table. From the result of calculation, it is found that the amount of annual
premiums for 2 (two) and 3 (three) people is not much different and the factors that
influence the amount of annual premium are the duration insurance period, age at
signing the policy, interest rates, life chances, force of mortality and the amount of
benefits to be provided.
Keyword:Joint Life Insurance, Equivalence Principle, Continous Annual Premium.
ABSTRAK
PREMI TAHUNAN ASURANSI JIWA
PADA STATUS JOINT LIFE SECARA KONTINU
BERDASARKAN TABEL MORTALITA INDONESIA 2011
Oleh
Stacia Litha Suryani
Asuransi jiwa merupakan asuransi yang memberikan perlindungan terhadap risiko
pada jiwa seseorang.Asuransi Jiwa Joint Life adalah asuransi dimana aturan hidup
mati merupakangabungan dari dua faktor atau lebih, misal suami-sitri atau orangtua-
anak danjika kematian pertama terjadi, maka proses pembayar premi dihentikan.
Premi tahunan adalah premi yang dibayarkan setiap tahunnya.Dalam penelitian ini
perumusan premi tahunan dihitung secara kontinu dengan prinsip ekuivalensi
berdasarkan Tabel Mortalita Indonesia 2011. Dari hasil perhitungan di peroleh
bahwa besarnya premi tahunan untuk 2 (dua) dan 3 (tiga) orang tidak jauh berbeda
dan faktor yang mempengaruhi besarnya premi tahunan yaitu lamanya jangka waktu
asuransi, usia saat penandatangan polis, tingkat suku bunga, peluang hidup, laju
tingkat kematian dan besarnya benefit yang akan diberikan.
Kata kunci:Asuransi JiwaJoint Life, Prinsip Ekuivalensi, Premi Tahunan Kontinu.
PREMI TAHUNAN ASURANSI JIWA
PADA STATUS JOINT LIFE SECARA KONTINU
BERDASARKAN TABEL MORTALITA INDONESIA 2011
Oleh
STACIA LITHA SURYANI
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar
SARJANA MATEMATIKA
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2020
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama lengkap Stacia Litha Suryani, anak pertama dari dua bersaudara
yang dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 23 Agustus 1998 oleh pasangan
Bapak Yulidarta dan Ibu Nurlina Amri.
Penulis menempuh pendidikan di Taman Kanak-Kanak (TK) Dewi Sartika
Kecamatan Sukabumi, Bandar Lampung pada Tahun 2003-2004, kemudian
bersekolah di SD Al-Azhar1 Kecamatan Kedaton, Bandar Lampung pada Tahun
2004-2010, kemudian sekolah di SMP Negeri 29Kecamatan Sukarame, Bandar
Lampung pada Tahun 2010-2013, dan pada Tahun 2013-2016 menempuh Sekolah
Menengah Kejurusan Negeri dengan Jurusan Kimia Analis di SMTI (Sekolah
Menengah Teknologi Industri) Kecamatan Enggal Bandar Lampung.
Pada Tahun 2016, penulis terdaftar sebagai mahasiswa S1 jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam melalui jalur SBMPTN. Pada
Tahun 2019 di Bulan Januari-Februari, selama 40 hari penulis melakukan Kerja
Praktik (KP) di Badan Pertanahan Nasional (BPN) Kota Bandar Lampung, sebagai
bentuk aplikasi bidang ilmu di dunia kerja dan juga di Bulan Juli-Agustus selama 40
hari melakukan Kerja Kerja Nyata (KKN) periode kedua di Desa Tawan Sukamulya,
Lumbok Seminung Lampung Barat, sebagai bentuk pengabdian kepada masyarakat.
KATA INSPIRASI
“Sesungguhnya Allah tidak akan mengubah keadaan suatu kaum
sebelum mereka mengubah keadaan diri mereka sendiri”
(Q.S Ar-Ra’d:11)
“Sesungguhnya bersama kesulitan itu ada kemudahan”
(Q.S Al-Insyirah:6)
“Jangan engkau bersedih, sesungguhnya Allah bersama kita”
(Q.S At-Taubah:40)
“Tidak ada hasil yang menghianati prosesnya, teruslah berproses dan
percayalah bahwa ada rencana-Nya yang terbaik untukmu”
(Anonim)
“Tidak ada yang tidak mungkin, semangat pasti bisa, dan ingat
tidaklah serius jika tidak solat malam dan tidak berusaha”
(Stacia Litha Suryani)
PERSEMBAHAN
Alhamdulillah kuucupkan syukur kepada Allah SWT yang maha pengasih lagi maha
penyayang atas rahmatnya yang selalu ada disetiap proses perjuangan penulisdalam
menyelesaikan skripsi ini. Dengan sepenuh hati penulis mempersembahkan skripsi
ini untuk kedua malaikat yakni kepada :
Kedua Orang Tua Tercinta Papaku Yulidarta dan Mamaku Nurlina Amri.
Mereka yang selalu mencurahkan seluruh tenaga, pikiran, dukungan, nasehat,
motivasi dan tiada henti mendoakan untuk keberhasilan dan kesuksesan penulis.
Kupersembahkan skripsi ini sebagai buktigelarku,Stacia Litha Suryani, S.Mat.
Pa, Ma terimakasih, sungguh bersyukur miliki kedua orangtua seperti malaikat,
kalian yang selalu ada dan sabar dalam menghadapiku.Akhirnya anakmu telah
berhasil menyelesaikan kuliah ini dan menjadi seorang sarjana.Pa, Ma panjang
umur dan sehat selalu, ku ingin selalu ada kalian dalam perjalanan
kesuksesanku.Bagiku gelar ini sebagai tanda awal bagiku untuk terus
membahagiakan kalian, sebagaimana yang kalian lakukan kepadaku dari waktuku
kecil hingga sekarang.
Kepada adikku tersayang (Armanda Surya Dwinatha) yang selalu memberi warna di
hari-hariku, dan dukungan serta semangat dalam menyelesaikan skripsi ini
Seluruh Dosen Matematika terutama dosen pembimbing dan pembahas yang telah
sabar dalam memberikan bimbingan, pelajaran, arahan, motivasi, waktu dan saran
terbaik untuk penulis dalam proses penyelesaikan skripsi ini
Seluruh Kawan-kawan Matematika 2016 terkhusus sahabat-sahabat yang selalu
ada dalam membantu penulis disetiap langkah dalam menyelesaikan skripsi ini.
Serta,
Almamater tercinta, Universitas Lampung.
SANWACANA
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Dengan menyebut nama Allah yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang,
Alhamdulillahirobbil;alamiin, puji dan syukur atas kehadirat-Nya. Penulis panjatkan
kepada Allah SWT berkat izin, rahmat, hidayah serta ridho-Nya, sehingga penulis
dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Premi Tahunan Asuransi Jiwa Pada
Status Joint Life Secara Kontinu Berdasarkan Tabel Mortalita Indonesia 2011”
dengan baik. Shalawat serta salam tak lupa penulis panjatkan kepada nabi besar kita,
Nabi Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita semua.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak terlepas dari bimbingan,
bantuan, dan kerjasama dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini
dengan setulus hati penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Drs. Rudi Ruswandi, M.Si., selaku dosen pembimbing pertama atas
kesabaran, kesediaan waktu, pemikiran dalam memberikan bimbingan,
evaluasi, arahan, motivasi dan saran terbaik untuk penulis dalam proses
penyusunan skripsi ini serta pengarahan selama masa perkuliahan.
2. Bapak Dr. Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc., selaku dosen pembimbing kedua atas
kesediaan waktu, pemikiran dalam memberikan bimbingan, arahan, nasehat
dan saran serta kritik untuk penulis dalam proses penyusunan skripsi.
3. BapakDrs. Nusyirwan, M.Si selaku dosen pembahas atas kesediannya waktu
untuk membahas, menguji dan memberikan saran serta kritik yang
membangun untuk penulis dalam proses penyusunan skripsi ini.
4. BapakDrs. Eri Setiawan M.Si.selaku pembimbing akademik yang telah
memberikan arahan di setiap semester dalam menentukan mata kuliah yang
terbaik untuk diambil penulis dan juga nasihat selama proses perkuliahan.
5. Prof. Ibu Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
6. Bapak Dr. Eng. Suripto Dwi Yuwono, S.Si., M.T selaku Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
7. Seluruh dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang
telah memberikan ilmu serta bantuan kepada penulis.
8. Papaku (Yulidarta), Mamaku (Nurlina Amri), Adiku (Armanda Surya
Dwinatha), para kakak adik sepupuku, dan keluarga besar Ratu Segro yang
selalu memberikan doa, dukungan, dan motivasi untuk meraih kesuksesan.
9. UKM-F Natural 2016-2018 sebagai tempatku untuk berkembang dan dapat
menjadi diriku sendiri dalam prosesku untuk menjadi seseorang yang lebih
baik, saya sangat berterimakasih teruntuk kak Yohanes, Kak Fahrul, Nadia,
Kak Putri, Kak Rizka, Kak Rere, Kak Adib, Kak Raka, Kak Sigit, Kak Yunus,
Kak Estu, Mba laili, Kak Freta, Farida, Widya dan masih banyak lagi.
10. HIMATIKA 2016-2017 yang menjadi tempatku mengenal orang-orang yang
luar biasa, saya sangat bersyukur dapat berlajar berorganisasi disana, saya
ucapkan terimakasih terutama di Bidang Keilmuan ada Yunda Wardhani,
Yunda Yola, Bang Kris, Bang Oman, Bang Rizaldy, Desfan, Agung, Zaza,
Panji, Irfan, Elly, Alda, yesi dan kawan-kawan lain di luar bidang ini.
11. Sahabat-sahabat terbaik Azkia, Nuurul, Levia, Meilisa, Dian, Elly, Ayu, Ami,
Intan, Laras, Dhara, Desiana, Anggun, Sandy, Desfan, Agung, Feby, Sam, Irfan,
Owen yang tetap setia dari masa-masa kuliah, proses-proses penyusunan laporan
KP, serta skripsi yang selalu sabar, memberikan bantuan, arahan, motivasi,
semangat, dan memberikan doa terbaik hingga terselesaikan kuliah S1 ini.
12. Seluruh kawan-kawan Angkatan 2016 Matematika yang tidak bisa saya sebutkan
satu persatu serta kakak-kakak dan adik-adik tingkat yang membuatku
merasakan indahnya dan serunya dunia perkuliahan ini dari tahun 2016-2020.
13. Serta semua pihak yang telah ikut membantu Penulis, yang tak bisa disebutkan
satu persatu yang telah menjadi bagian penting dari masa awal hingga akhir
perkuliahanku.
Semoga seluruh bantuan dan dukungan yang telah diberikan kepada penulis
mendapat balasan dari Allah SWT.Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi
ini masih jauh dari kesempurnaan, karena terbatasnya kemampuan, pengetahuan dan
pengalaman yang dimiliki. Oleh karena itu penulis mohon maaf dan merupakan
suatu kehormatan bagi penulis apabila terdapat kritik, saran dan masukan dari semua
pihak guna membangun khasanah ilmu yang lebih baik dari apa yang tertulis dalam
skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat untuk semua pihak, bagi penulis
khususnya dan bagi pembaca pada umumnya.
Bandar Lampung, 14 April2020
Penulis,
Stacia Litha Suryani
xiv
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ......................................................................................... xvi
DAFTAR TABEL ............................................................................................. xvii
DAFTAR SIMBOL .......................................................................................... xviii
I. PENDAHULUAN ...................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang .......................................................................................1
1.2 Rumusan Masalah ..................................................................................3
1.3 Tujuan Penelitian ...................................................................................3
II. TINJAUAN PUSTAKA ............................................................................ 4
2.1 Asuransi .................................................................................................4
2.1.1 Asuransi Jiwa ................................................................................5
2.1.2 Asuransi Jiwa Joint Life ................................................................6
2.2 Peluang Saling Bebas .............................................................................7
2.3 Fungsi Kelangsungan Hidup dan Peluang Waktu Sisa Hidup ...............9
2.3.1 . Fungsi Kelangsungan Hidup dan Peluang Waktu Sisa Hidup
Untuk Perorangan........................................................................ 9
2.3.2 Fungsi Kelangsungan Hidup dan Peluang Waktu Sisa Hidup
Untuk Joint Life ........................................................................ 11
2.4 Laju Tingkat Kematian dan Fungsi Densitas ...................................... 15
2.4.1 Laju Tingkat Kematian dan Fungsi Densitas Untuk
Perorangan................................................................................. 16
2.4.2 Laju Tingkat Kematian dan Fungsi Densitas Untuk
Joint Life ................................................................................... 18
2.5 Tabel Kematian atau Tabel Mortalita (Life Table) ............................. 20
2.5.1 Tabel Kematian atau Tabel Mortalita Untuk Perorangan .......... 20
2.5.2 Tabel Kematian atau Tabel Mortalita Untuk Joint Life ............. 26
2.6 Bunga (Interest) .................................................................................. 30
2.6.1 Bunga Sederhana (Simple Interest) ........................................... 30
2.6.2 Bunga Majemuk (Compound Interest) ...................................... 33
2.7 Laju Tingkat Suku Bunga ................................................................... 38
2.8 Premi Tunggal Asuransi Jiwa ............................................................. 40
xv
2.8.1 Premi Tunggal Asuransi Jiwa Dwiguna ................................... 42
2.8.2 Premi Tunggal Asuransi Jiwa Dwiguna Joint Life .................... 45
2.9 Anuitas (Annuity) ................................................................................ 46
2.9.1 Anuitas Tentu (Certain Annuity) ............................................... 46
2.9.2 Anuitas Hidup (Life Annuity) ..................................................... 48
2.10 Fungsi Kerugian dan Prinsip Ekuivalensi .......................................... 54
2.11 Premi Tahunan Asuransi Jiwa ........................................................... 56
III. METODOLOGI PENELITIAN ............................................................. 58
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .............................................................. 58
3.2 Data Penelitian ..................................................................................... 58
3.3 Metode Penelitian ................................................................................ 58
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ................................................................. 63
4.1 Perumusan Premi Tahunan .................................................................. 64
4.1.1 Menentukan Perumusan Peluang Hidup..................................... 64
4.1.2 Menentukan Perumusan Laju Tingkat Kematian ....................... 65
4.1.3 Menentukan Perumusan Premi Tunggal Asuransi Jiwa
Berjangka .................................................................................... 65
4.1.4 Menentukan Perumusan Premi Tunggal Asuransi Jiwa
Endowmen Murni ....................................................................... 66
4.1.5 Menentukan Perumusan Premi Tunggal Asuransi Jiwa
Dwiguna...................................................................................... 67
4.1.6 Menentukan Perumusan Anuitas Hidup Berjangka.................... 68
4.1.7 Menentukan Perumusan Anuitas Hidup yang Ditunda .............. 69
4.1.8 Menentukan Nilai Premi Tahunan .............................................. 69
4.1.9 Menentukan Nilai Benefit yang Dibayarkan Penanggung .......... 71
4.1.10 Menentukan Perumusan Premi Tahunan .................................. 77
4.2 Contoh Kasus ....................................................................................... 81
4.2.1 Menghitung Peluang Hidup ........................................................ 81
4.2.2 Menghitung Laju Tingkat Kematian ........................................... 84
4.2.3 Menghitung Premi Tunggal Asuransi Jiwa Berjangka ............... 87
4.2.4 Menghitung Premi Tunggal Asuransi Jiwa Endowmen Murni .. 89
4.2.5 Menghitung Premi Tunggal Asuransi Jiwa Dwiguna ................. 92
4.2.6 Menghitung Anuitas Berjangka .................................................. 95
4.2.7 Menghitung Anuitas yang Ditunda............................................. 97
4.2.8 Menghitung Premi Tahunan ..................................................... 100
V. KESIMPULAN ......................................................................................... 105
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 106
LAMPIRAN ...................................................................................................... 107
xvi
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Peluang Hidup ................................................................................................ 83
2. Laju Tingkat Kematian ................................................................................... 86
3. Premi Tunggal Asuransi Jiwa Berjangka ....................................................... 88
4. Premi Tunggal Asuransi Jiwa Endowmen Murni........................................... 91
5. Premi Tunggal Asuransi Jiwa Dwiguna ......................................................... 94
6. Anuitas Berjangka .......................................................................................... 96
7. Anuitas yang Ditunda ..................................................................................... 99
8. Premi Tahunan ................................................................................................ 103
xvii
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1. Peluang Hidup Perorangan ............................................................................ 82
2. Peluang Hidup Joint Life ............................................................................... 82
3. Laju Tingkat Kematian Perorangan .............................................................. 84
4. Laju Tingkat Kematian Joint Life ................................................................. 85
5. Premi Tunggal Asuransi Jiwa Berjangka Perorangan ................................... 87
6. Premi Tunggal Asuransi Jiwa Berjangka Joint Life ...................................... 87
7. Premi Tunggal Asuransi Jiwa Endowmen Murni Perorangan ...................... 89
8. Premi Tunggal Asuransi Jiwa Endowmen Murni Joint Life ......................... 90
9. Premi Tunggal Asuransi Jiwa Dwiguna Perorangan .................................... 92
10. Premi Tunggal Asuransi Jiwa Dwiguna Joint Life ....................................... 93
11. Anuitas Berjangka Perorangan ...................................................................... 95
12. Anuitas Berjangka Joint Life ......................................................................... 95
13. Anuitas yang Ditunda Perorangan ................................................................ 97
14. Anuitas yang Ditunda Joint Life ................................................................... 98
15. Premi Tahunan Perorangan ........................................................................... 100
16. Premi Tahunan Joint Life .............................................................................. 101
xviii
DAFTAR SIMBOL
Simbol Pengertian
Usia seseorang saat menandatangani polis asuransi.
Peubah acak waktu meninggal seseorang yang berusia x tahun.
Peubah acak waktu sisa hidup seseorang yang berusia x tahun.
FT(x) Fungsi distribusi dari .
Peluang orang yang lahir (bayi) akan hidup mencapai usia
tahun.
t atau n Jangka waktu (lama) investasi atau periode.
ST(x)(t) Peluang orang berusia x tahun akan hidup mencapai usia x+t
tahun.
Peluang seseorang yang berusia x akan tetap hidup sampai dengan
satu tahun ke depan.
Peluang seseorang yang berusia x tahun akan tetap hidup hingga
berusia x+t tahun.
Peluang hidup untuk 2 (dua) orang yang berusia x dan y tahun
untuk keduanya tetap hidup hingga berusia x+t dan y+t tahun.
Peluang hidup untuk 3 (tiga) orang yang berusia x,y dan z tahun
untuk ketiganya tetap hidup hingga berusia x+t, y+t dan z+t
tahun.
Peluang seseorang berusia akan meninggal sebelum satu tahun
ke depan.
Peluang meninggal untuk seseorang yang berusia akan
meninggal sebelum usia x+t tahun
Peluang meninggal untuk 2 (dua) orang yang berusia x dan y
tahun, keduanya akan meninggal sebelum berusia x+t dan y+t
tahun.
Peluang meninggal untuk 3 (tiga) orang yang berusia x, y dan z
tahun, ketiganya akan meninggal sebelum berusia x+t, y+t dan
z+t tahun.
T(x) Fungsi densitas dari T(x)
µ(x) Peluang seseorang saat ini yang berusia x tahun akan meninggal
beberapa saat kemudian atau meninggal antara usia dan
dengan syarat hidup pada usia .
Laju tingkat kematian seseorang berusia x tahun hingga berusia
x+t tahun.
xix
Laju tingkat kematian joint life untuk 2 (dua) orang yang berusia x
dan y tahun hingga berusia x+t dan y+t tahun.
Laju tingkat kematian joint life untuk 3 (tiga) orang yang berusia
x, y dan z tahun hingga berusia x+t, y+t dan z+t tahun.
Banyaknya orang yang lahir (bayi) pada saat bersamaan
Banyaknya orang yang tetap hidup sampai berusia x tahun
Banyaknya orang yang berusia x tahun yang dikalikan dengan
banyaknya orang yang berusia y tahun.
Banyaknya orang yang berusia x tahun yang dikalikan dengan
banyaknya orang yang berusia y tahun dan dikalikan lagi dengan
banyaknya orang yang berusia z tahun.
Banyaknya orang yang berusia x tahun tetap hidup pada usia x+t
tahun.
orang yang berusia x tahun tetap hidup pada usia x+t
tahun dikalikan dengan banyaknya orang yang berusia y tahun
tetap hidup pada usia y+t tahun.
orang yang berusia x tahun tetap hidup pada usia x+t
tahun dikalikan dengan banyaknya orang yang berusia y tahun
tetap hidup pada usia y+t tahun dan dikalikan lagi dengan
banyaknya orang yang berusia z tahun tetap hidup pada usia z+t
tahun.
Banyaknya orang yang berusia x tahun tetap hidup pada usia
tahun, berdasarkan tabel mortalita.
Banyaknya orang yang berusia x tahun tetap hidup pada usia
tahun dikalikan dengan banyaknya orang yang berusia
y tahun tetap hidup pada usia tahun.
Banyaknya orang yang berusia x tahun tetap hidup pada usia
tahun dikalikan dengan banyaknya orang yang berusia
y tahun tetap hidup pada usia tahun dan dikalikan lagi
dengan banyaknya orang yang berusia z tahun tetap hidup pada
usia tahun.
Banyaknya orang yang berusia x tahun tetap hidup pada usia
tahun, berdasarkan tabel mortalita.
Banyaknya orang yang berusia x tahun tetap hidup pada usia
tahun dikalikan dengan banyaknya orang yang berusia y
tahun tetap hidup pada usia tahun, berdasarkan tabel
mortalita.
Banyaknya orang yang berusia x tahun tetap hidup pada usia
tahun dikalikan dengan banyaknya orang yang berusia y
tahun tetap hidup pada usia tahun dan dikalikan lagi
dengan banyaknya orang yang berusia z tahun tetap hidup pada
usia tahun, berdasarkan tabel mortalita.
L(x) Banyaknya orang yang lahir (bayi) yang hidup sampai dengan
usia x.
Ij Indikator untuk bayi yang bertahan hidup dari j.
xx
Jumlah orang atau banyaknya orang yang meninggal dari usia x
sebelum mencapai x+1 tahun.
nDx Banyaknya bayi yang meninggal antara usia x sampai dengan usia
x+n tahun.
Banyaknya orang atau jumlah orang yang berusia x tahun akan
meninggal sebelum mencapai usia x+n tahun.
Usia tertinggi pada seseorang disebut omega.
Banyaknya orang atau jumlah orang yang mencapai usia tertinggi.
Peluang yang menyatakan seseorang yang berusia x tahun akan
tetap hidup sampai berusia x+m tahun dan akan meninggal
sebelum usia x+m+n tahun atau meninggal antara usia x+m dan
x+m+n tahun.
I Besarnya jumlah bunga.
P Besar pokok atau dana awal.
i Tingkat suku bunga (Interest rate).
d Tingkat diskon (Diskon rate).
A(n) atau S Fungsi jumlah (Jumlah besar pokok ditambah dengan besar
bunga).
a(n) Fungsi akumulasi (Jumlah bunga).
Nilai sekarang (Present value) untuk pembayaran sebesar 1 satuan
yang akan dibayarkan 1 tahun kemudian.
Laju tingkat suku bunga (Force of interest).
Zt Fungsi peubah acak pembayaran benefit pada saat polis
dikeluarkan.
E (ZT) Besarnya premi tunggal yang dibayarkan pada saat polis
dikeluarkan.
bt Fungsi benefit atau santunan.
x Premi tunggal asuransi jiwa seumur hidup untuk seseorang yang
berusia x tahun.
xy Premi tunggal asuransi jiwa seumur hidup joint life untuk 2 (dua)
orang yang berusia x dan y tahun.
xyz Premi tunggal asuransi jiwa seumur hidup joint life untuk 3 (tiga)
orang yang berusia x, y dan z tahun.
Premi tunggal asuransi jiwa dwiguna untuk seseorang yang
berusia x tahun.
Premi tunggal asuransi dwiguna joint life untuk suami dan istri
yang berusia x dan y tahun.
Premi tunggal asuransi dwiguna joint life untuk suami, istri dan
anak laki-laki yang berusia x, y dan z tahun.
Premi tunggal asuransi jiwa berjangka n tahun untuk seseorang
yang berusia x tahun.
Premi tunggal asuransi jiwa berjangka n tahun joint life untuk 2
(dua) orang yang berusia x dan y tahun.
Premi tunggal asuransi jiwa berjangka n tahun joint life untuk 3
(tiga) orang yang berusia x, y dan z tahun.
xxi
Premi tunggal asuransi jiwa endowmen murni untuk seseorang
yang berusia x tahun.
Premi tunggal asuransi jiwa endowmen murni joint life untuk 2
(dua) orang yang berusia x dan y tahun.
Premi tunggal asuransi jiwa endowmen murni joint life untuk 3
(tiga) orang yang berusia x, y dan z tahun.
Anuitas tentu akhir selama n tahun.
Anuitas tentu awal selama n tahun.
Anuitas tentu kontinu selama n tahun.
a Anuitas hidup akhir untuk seumur hidup untuk seseorang yang
berusia x tahun.
Anuitas hidup awal untuk seumur hidup untuk seseorang yang
berusia x tahun.
Anuitas hidup kontinu untuk seumur hidup untuk seseorang yang
berusia x tahun.
Anuitas hidup akhir yang berjangka n tahun untuk seseorang yang
berusia x tahun.
Anuitas hidup awal yang berjangka n tahun untuk seseorang yang
berusia x tahun.
Anuitas hidup kontinu yang berjangka n tahun untuk seseorang
yang berusia x tahun.
Anuitas hidup kontinu berjangka n tahun joint life untuk 2 (dua)
orang yang berusia x dan y tahun.
Anuitas hidup kontinu berjangka n tahun joint life untuk 3 (tiga)
orang yang berusia x, y dan z tahun.
Anuitas hidup akhir yang di tunda n tahun untuk seseorang yang
berusia x tahun.
Anuitas hidup awal yang di tunda n tahun untuk seseorang yang
berusia x tahun.
Anuitas hidup kontinu yang di tunda n tahun untuk seseorang
yang berusia x tahun.
Anuitas hidup kontinu yang ditunda n tahun joint life untuk 2
(dua) orang yang berusia x dan y tahun.
Anuitas hidup yang ditunda n tahun joint life untuk 3 (tiga) orang
yang berusia x, y dan z tahun.
E(L) = 0 Prinsip ekuivalensi.
L Fungsi kerugian (loss function).
[B. )] Nilai benefit yang dibayarkan oleh penanggung (outflow).
[P.E( )] Nilai premi tahunan (inflow).
Premi tahunan.
Premi tahunan untuk seseorang yang berusia x tahun dengan
jangka waktu asuransi selama n tahun.
Premi tahunan joint life untuk 2 (dua) orang yang berusia x dan y
tahun dengan jangka waktu asuransi selama n tahun.
xxii
Premi tahunan joint life untuk 3 (tiga) orang yang berusia x, y dan
z tahun dengan jangka waktu asuransi selama n tahun.
B Santunan (Benefit).
Q Benefit untuk asuransi jiwa endowmen murni.
J Benefit untuk asuransi jiwa berjangka.
R Benefit untuk keluarga yang ditinggalkan (keluarga tersebut
sebelumnya mengikuti asuransi joint life yang sama).
Rx Besarnya benefit yang diberikan kepada x setiap tahun hingga ia
meninggal dimulai dari tahun ke n, jika tertanggung x tetap hidup
sampai n tahun dan tertanggung yang lain telah meninggal
sebelum masa kontrak berakhir.
Rxy Besarnya benefit yang diberikan kepada x serta y setiap tahun
hingga salah satu dari mereka meninggal dimulai dari tahun ke n,
jika tertanggung x serta y tetap hidup sampai n tahun dan
tertanggung yang lain telah meninggal sebelum masa kontrak
berakhir.
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Setiap orang dalam hidupnya memiliki banyak risiko kejadian yang mungkin
terjadi pada dirinya yang menyebabkan kerugian, seperti kecelakaan, kerusakan,
kesehatan, kehilangan jiwa dan kejadian tak terduga lainnya. Menurut Sembiring
(1986), karena hidup penuh dengan ketidakpastian. Seorang kepala keluarga ingin
menjamin kesejahteraan keluarganya, tetapi kesejahteraan tersebut akan terganggu
jika ia sakit, cacat ataupun meninggal. Jaminan kesejahteraan tersebut dapat
diperoleh jika si kepala keluarga mengasuransikan dirinya, jaminan yang
diberikan berupa uang santunan, maka dapat disimpulkan bahwa asuransi adalah
suatu jaminan terhadap kejadian yang tidak pasti yang mungkin terjadi untuk
mengurangi risiko. Asuransi yang menjamin jiwa seseorang disebut asuransi jiwa.
Asuransi jiwa merupakan program asuransi yang memberikan proteksi terhadap
risiko pada jiwa seseorang yang menjadi tertanggung (Bhuana, dkk., 2015).
Asuransi jiwa dibedakan menjadi dua, yang pertama asuransi jiwa untuk
perorangan disebut asuransi jiwa tunggal, sedangkan untuk lebih dari satu orang
disebut asuransi jiwa gabungan (Futami, 1994). Salah satu jenis asuransi jiwa
gabungan adalah asuransi jiwa joint life. Joint life adalah suatu keadaan di mana
aturan mati hidupnya merupakan gabungan dari dua faktor atau lebih, misalnya
2
suami-istri, orang tua dan anak (Futami, 1994). Suatu lembaga yang menyediakan
berbagai perlindungan untuk nasabahnya disebut perusahaan asuransi.
Perusahaan asuransi jiwa merupakan perusahaan jasa sebagai penanggung risiko
yang dikaitkan dengan hidup dan meninggalnya seseorang yang ditanggung.
Menurut Bowers, dkk., (1997), perusahaan asuransi akan menerbitkan sebuah
kontrak yang akan berjanji untuk membayar sejumlah yang ditentukan, sama atau
kurang dari kerugian selama periode polis, maka dimulai dari penandatanganan
polis asuransi, artinya dimulailah mengalihkan risiko dari tertanggung (Nasabah)
kepada penanggung (Perusahaan). Kedua belah pihak dalam polis asuransi harus
mematuhi bahwa setiap nasabah wajib membayar premi, sedangkan perusahaan
harus memberikan hak kepada keluarga tertangguang bila terjadinya risiko, hak
tersebut disebut benefit. Besarnya premi dan benefit tersebut sesuai dengan polis
asuransi yang telah ditandatangani oleh kedua belah pihak.
Premi yang dibayarkan langsung pada saat waktu kontrak asuransi disetujui oleh
nasabah secara sekaligus disebut dengan premi tunggal (Futami, 1993), tetapi
dalam kenyataan sangatlah jarang digunakan karena terlalu mahal jika dibayarkan
sekaligus. Pembayaran premi dapat dilakukan setiap tahunnya untuk
mempermudah nasabah, pembayaran tersebut disebut premi tahunan. Menurut
Matvejevs, A dan Matvejevs, A (2001), kontrak asuransi keluarga telah banyak
yang mengaplikasikanya dari pada asuransi individu dan asuransi keluarga
merupakan salah satu dari asuransi jiwa gabungan yaitu joint life. Oleh karena itu
Matvejevs, A dan Matvejevs, A (2001) dalam jurnalnya menentukan premi
tahunan untuk 2 (dua) orang pada asuransi jiwa joint life secara diskrit dan dalam
3
jurnal Bhuana, dkk., (2015) juga melakukan penelitian untuk menentukan premi
tahunan untuk 3 (tiga) orang dengan jenis asuransi yang sama. Perhitungan premi
secara diskrit, artinya uang benefit yang diberikan untuk tertanggung dilakukan
pada akhir tahun tertanggung meninggal dunia, sedangkan untuk kematian yang
terjadi di awal tahun sangatlah lama untuk menerima benefit yang diberikan di
akhir tahun. Oleh sebab itu, penulis termotivasi untuk menentukan perumusan
premi tahunan dengan jenis asuransi yang sama untuk perorangan dan joint life
untuk 2 (dua) dan 3 (tiga) orang secara kontinu agar benefit tersebut dapat
langsung diberikan saat setelah tertanggung meninggal dunia akan tetapi dengan
jumlah benefit yang sama jika meninggal dalam periode polis yang ditentukan,
berbeda dengan kedua jurnal sebelumnya dengan besar benefit sejumlah dengan
premi yang telah dibayarkan.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, maka dapat dirumuskan permasalahan dalam
penelitian ini adalah bagaimana perumusan dan perhitungan premi tahunan dari
suatu produk asuransi jiwa dwiguna untuk perorangan dan joint life untuk 2 (dua)
dan 3 (tiga) orang secara kontinu.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan premi tahunan secara kontinu dari
asuransi jiwa joint life untuk 2(dua) dan 3(tiga) orang yang ditentukan dengan
prinsip ekuivalensi dan data berdasarkan Tabel Mortalita Indonesia (TMI) 2011
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dibahas definisi dan teori-teori dasar yang akan digunakan
untuk membantu dan mempermudah dalam menentukan perumusan premi
tahunan asuransi jiwa dengan prinsip ekuivalensi secara kontinu.
2.1 Asuransi
Menurut Sembiring (1986), asuransi berasal dari kata assurance atau insurance
yang berarti jaminan atau nama lainnya pertanggungan terhadap kejadian yang
tidak pasti. Setiap orang dalam hidupnya mempunyai risiko kejadian yang
mungkin terjadi, tetapi tidak seorangpun tau kapan terjadi dan risiko itu tidak
mungkin dihindari. Risiko tersebut dapat menyebabkan kerugian yang dialami,
seperti: kecelakaan, sakit, pensiun, kerusakan, kehilangan, putusnya pendidikan,
hilangnya jiwa, dan kejadian tak terduga lainya. Salah satu cara mengurangi
risiko itu dengan mengikuti asuransi.
Setiap anggota asuransi disebut pemegang polis asuransi (Sembiring, 1986).
Penandatanganan polis asuransi telah ditandatangani antara dua belah pihak,
artinya dimulailah mengalihkan risiko dari tertanggung (nasabah) kepada
penanggung (perusahaan), perlu diingat bahwa di dalam polis asuransi ada yang
harus dipatuhi dari kedua belah pihak yakni setiap nasabah wajib membayar
5
premi, sedangkan perusahaan harus memberikan hak kepada ahli waris atau
keluarga tertangguang (nasabah) bila terjadinya risiko, hak tersebut disebut
benefit. Besarnya premi dan benefit tersebut sesuai dengan polis asuransi yang
telah ditandatangani oleh kedua belah pihak.
2.1.1 Asuransi Jiwa
Asuransi jiwa (life insurance) adalah salah satu dari jenis produk asuransi yang
telah dipasarkan di masyarakat umum, asuransi ini untuk mengalihkan risiko
kehidupan dari tertanggung. Risiko tersebut adalah jiwa dari pihak tertanggung
untuk memberikan jaminan kepastian terhadap keluarga tertanggung yang
ditinggalkan bila terjadi sesuatu terhadap tertanggung.
Menurut Bhuana, dkk., (2015), asuransi jiwa (life insurance) merupakan program
asuransi yang memberikan proteksi (perlindungan) terhadap risiko pada jiwa
seseorang yang menjadi tertanggung. Manfaat proteksi jiwa ini adalah jaminan
kepastian terhadap tertanggung dan keluarga dalam menghadapi berbagai risiko
kehidupan. Asuransi jiwa terdiri dari beberapa jenis produk asuransi, yaitu :
asuransi jiwa seumur hidup (whole life insurance), asuransi jiwa berjangka (trem
insurance), asuransi jiwa endowmen murni (pure endowment), dan asuransi jiwa
dwiguna (endowment insurance).
Menurut Sembiring (1986), pada dasarnya asuransi jiwa dipengaruhi oleh 3 (tiga)
faktor, yaitu:
a. Peluang seseorang pada umur tertentu akan meninggal dalam jangka waktu
tertentu.
6
b. Bunga uang, yakni tingkat suku bunga yang diperoleh oleh dana yang
diinvestasikan.
c. Biaya memasarkan polis dan biaya administrasi lainya untuk mengurus polis
tersebut.
2.1.2 Asuransi Jiwa Joint Life
Menurut Futami (1994), asuransi jiwa untuk 1 (satu) orang disebut asuransi jiwa
tunggal atau perorangan (Single Life), sedangkan untuk lebih dari 1 (satu) orang
disebut asuransi jiwa gabungan (Multiple life), salah satunya adalah asuransi jiwa
joint life. Asuransi jiwa gabungan joint life adalah suatu keadaan di mana aturan
hidup matinya seseorang merupakan gabungan dari dua faktor atau lebih, misal
suami-istri atau orangtua-anak (Futami, 1994). Premi dalam asuransi jiwa joint
life ini dibayarkan hingga sampai terjadi kematian pertama dari salah seorang
yang tertanggung, maka pembayaran premi dihentikan serta diberi sejumlah uang
santunan dari penanggung kepada pasangan atau keluarga yang ditinggalkan.
Besarnya santunan asuransi (benefit) untuk nasabah tergantung dengan besarnya
nilai premi yang dibayarkan, sedangkan besar premi tersebut tergantung
berdasarkan atas 3 (tiga) hal, yakni: peluang meninggal, tingkat bunga, dan biaya
lainnya. Peluang meninggal tergantung atas umur, jenis kelamin, pekerjaan,
kebiasaan seseorang, dan berbagai hal. Premi yang dihitung tanpa memperhatikan
faktor biaya disebut premi bersih (Sembiring, 1986).
7
2.2 Peluang Saling Bebas
Konsep-konsep dasar peluang ialah adanya ruang sampel untuk semua nilai yang
mungkin terjadi pada sebuah kejadian dan adanya titik sampel untuk nilai kejadian
yang kemungkinan terjadi, jadi peluang ialah perbandingan banyaknya titik
sampel kejadian yang diinginkan dengan banyaknya ruang sampel kejadian.
Menurut Walpole (2017) teori peluang bagi ruang sampel terhingga memberikan
segugus bilangan nyata yang disebut peluang, dengan nilai dari 0 sampai 1 yang
memungkinkan untuk menghitung peluang terjadinya suatu kejadian. Pada setiap
titik sampel dalam ruang sampelnya, diberikan nilai peluang sedemikian sehingga
jumlah semua peluang untuk semua titik sampelnya sama dengan 1, jika sebuah
titik sampel tertentu sangat besar peluangnya untuk terjadi, maka nilai peluang
yang mendekati 1, sedangkan nilai peluang yang lebih dekat dengan 0 ialah untuk
yang kecil sekali peluangnya untuk terjadi. Peluang suatu kejadian berbeda-beda
sesuai kejadian yang diinginkan, salah satunya ialah kejadian saling bebas.
Menurut Sembiring (1986), dua kejadian dikatakan saling bebas bila terjadinya
salah satu tidak mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian lainnya dan
dijelaskan dalam Teorema 2 peluang, jika P1, P2, … Pn merupakan peluang
terjadinya n kejadian yang saling bebas, maka peluang terjadinya seluruh kejadian
tersebut sebagai berikut:
P1 . P2 . P3 . … . Pn,
misalkan kejadian A dan B terjadi bersamaan maka peluangnya sebagai berikut :
P (A.B) = P(A). P(B)
(2.1)
(2.2)
8
Selain itu perlu diketahui, menurut Walpole (2017), dalam Dalil 4.10 kaidah
pejumlahan bahwa peluang gabungan seluruh kejadian sembarang atau peluang
semua unsur dalam kejadian A dan B terjadi secara umum sebagai berikut :
( ) ( ) ( ) ( ),
persamaan (2.3) itu dapat berlaku juga dalam suatu kejadian yang saling bebas,
lain halnya suatu kejadian yang saling lepas (saling meniadakan) karena
( ) artinya dua kejadian tidak mungkin terjadi bersamaan, maka
peluang gabungan dari dua kejadian yang saling lepas sebagai berikut:
( ) ( ) ( ).
Menurut Walpole (2017), dua kejadian yang saling bebas dapat terjadi sekaligus
atau bersamaan dengan syarat P(A B) = P(A). P(B) artinya nilai peluang kejadian
yang terjadi bersamaan (P(A B)) sama dengan nilai peluang kejadian A (P(A))
yang dikalikan dengan peluang kejadian B (P(B)) itu di karenakan kejadian A dan
B adalah kejadian yang berbeda. Pebuktian sebagai berikut:
( ) ( )
( )
( ( ) ( ) ( ))
( ( ) ( ) ( ( ) ( )))
( ) ( ) ( ( ) ( ))
( ( ))( ( ))
( ) ( ) ( )
( )= ( ) ( ), terbukti.
Menurut Sembiring (1986), peluang seseorang akan hidup n tahun kemudian
dianggap merupakan kejadian yang saling bebas. Jadi untuk selanjutnya dalam
penelitian ini menggunakan prinsip dalam persamaan (2.2).
(2.3)
(2.4)
9
2.3 Fungsi Kelangsungan Hidup dan Peluang Waktu Sisa Hidup
Fungsi kelangsungan hidup (Suvival Function) menyatakan peluang hidup
seseorang hingga mencapai waktu tertentu. Menurut Bowers, dkk., (1997),
misalkan X merupakan variabel acak yang menyatakan usia terjadinya kematian
dari suatu kelahiran, jika ( ) merupakan fungsi distribusi dari X, maka:
( ) ( ), x
dan, S(x) = 1- (x) = ( ), x ,
S(x) inilah fungsi survival sebagai suatu peluang yang menyatakan bahwa
seseorang akan bertahan hidup mencapai usia x tahun.Sedangkan peluang waktu
sisa hidup dapat dinyatakan kedalam simbol notasi peluang, di bawah ini akan
diuraikan tentang fungsi kelangsungan hidup dan juga peluang waktu sisa hidup
baik untuk perorangan maupun joint life.
2.3.1 Fungsi Kelangsungan Hidup dan Peluang Waktu Sisa Hidup Untuk
Perorangan
Misalkan (x) adalah usia seseorang pada saat ini atau saat penandatanganan polis
dan (X) adalah usia meninggal seseorang. Jarak antara x dan X adalah sisa
hidupnya, untuk fungsi waktu sisa hidup dinotasikan (T(x)), maka (T(x)) = X-x
untuk x . Menurut Bowers, dkk., (1997), fungsi distribusi dari (T(x)) dapat
dinyatakan dengan FT(x)(t), dengan FT(x)(t)=P(T(x) t), t . Jadi FT(x)(t)
menyatakan peluang seseorang yang berusia x tahun akan meninggal sebelum
berusia x+t tahun dan peluang waktu sisa hidup seseorang yag berusia x tersebut
dapat dinyatakan kedalam notasi peluang sebagai berikut:
(2.5)
(2.6)
10
FT(x)(t) = P(T(x) t | X > x)
= P( X-x t | X > x)
= P( x < X x+t | X > x)
= ( ) – ( )
( ) ingat: S(x) = 1- (x)
= [ ( )] [ ( )]
[ ( )]
= ( ) ( )
( )
= ( ) – ( )
( )
= ( )
( )
( )
( )
= 1 ( )
( )
= 1
FT(x)(t) = .
Secara umum fungsi kelangsungan hidup dapat dinyatakan sebagai berikut:
ST(x)(t) = 1- FT(x)
= 1- (P (T(x) t ))
= (P (T(x) t )), t ,
ST(x)(t) menyatakan peluang orang berusia x tahun akan hidup mencapai usia x+t
tahun dan dapat dinyatakan kedalam notasi peluang sebagai berikut:
ST(x)(t) = 1– FT(x)(t)
= 1– [P( T(x) t | X > x )] atau = 1 P( x < X < x+t | X x)
= 1– [ ( | > )] = 1 * ( )
( )+
= ( t | X > x )] = 1 1 + ( )
( )
= P( T(x) t | X > x )] =
ST(x)(t) =
(2.8)
(2.7)
(2.9)
11
Jadi dapat disimpulkan notasi peluang untuk 1(satu) orang adalah sebagai berikut:
a. FT(x)(t) = P(T(x) t | X > x) = menyatakan peluang sesorang berusia x
tahun akan meninggal sebelum berusia x+t tahun.
b. ST(x)(t) = 1- FT(x)(t) = P( T(x) t | X > x )] = menyatakan peluang
seseorang berusia x tahun akan tetap hidup hingga berusia x+t tahun.
2.3.2 Fungsi Kelangsungan Hidup dan Peluang Waktu Sisa Hidup Untuk
Joint Life
Pada status joint life, menurut Bowers, dkk., (1997) bahwa T(x1, x2, …, xm) =
min ( ( ) ( ) ( ) ), misalkan peubah acak waktu sisa hidup
menyatakan waktu saat ini sampai salah satu orang (x) atau (y) meninggal dan
dinotasikan sebagai (T(xy)), maka waktu sisa hidup untuk status joint life untuk 2
(dua) dapat dinyatakan sebagai berikut:
T(xy) = min {T(x), T(y)} = { ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Fungsi distribusi dari T(xy) dapat dinyatakan dengan FT(xy), dengan FT(xy)=P(T(xy) t),
t FT(xy) menyatakan peluang 2(dua) orang yang berusia x dan y tahun akan
meninggal sebelum berusia x+t dan y+t tahun, atau kematian pertama terjadi.
Pada joint life untuk 2(dua) orang, T(xy) t merupakan gabungan dari T(x) t dan
T(y) t, maka fungsi kelangsungan hidup untuk 2(dua) orang pada status joint life
dapat dinyatakan sebagai berikut:
( )( ) = – ( )
= - [ P( ( ) ) ]
= ( ( ) ), t , (2.10)
12
( ) menyatakan peluang untuk 2(dua) orang berusia x dan y akan hidup hingga
mencapai usia x+t dan y+t tahun dan dapat dinyatakan dalam notasi peluang
hidup berdasarkan persamaan (2.2) bahwa peluang hidup orang pertama dan orang
kedua tidak saling mempengaruhi, maka perumusan peluang hidup joint life untuk
dua orang sebagai berikut:
.
Berdasarkan persamaan (2.10) dan (2.11), maka fungsi kelangsungan hidup
bersama untuk 2(dua) orang dapat dinyatakan sebagai berikut:
ST(xy)(t) = 1– FT(xy)(t)
=1 – P(T(xy) t)
= P(T(xy) t)
= P( min [T(x), T(y)] t )
= P({T(x) > t} dan {T(y) > t} | X > x, Y > y )
= P( T(x) > t | X > x ) . P(T(y) > t | Y > y)
= .
= ( )
( )
( )
( )
= ( )
( )
( )
( )
ST(xy)(t) = .
Sedangkan berdasarkan fungsi distribusi T(xy) untuk menyatakan peluang
meninggal dapat diuraikan sebagai berikut :
FT(xy)(t) = P(T(xy) t | X > x dan Y > y)
= P( min [T(x), T(y)] t )
= 1 – P(min [T(x), T(y)] > t)
= – P(T(x) > t dan T(y) > t)
(2.11)
(2.12)
13
FT(xy)(t) = – [P(T(x) > t) dan P(T(y) > t)]
= 1 – [ dan ]
= 1 – .
= 1–
FT(xy)(t) = .
Jadi, dapat disimpulkan notasi peluang untuk joint life 2 (dua) orang adalah
sebagai berikut:
a. FT(xy)(t) = P(T(xy) t) = P(min [T(x), T(y)] t) = menyatakan peluang
sesorang berusia x dan y tahun akan meninggal sebelum berusia x+t dan y+t
tahun.
b. ST(xy)(t) = 1– FT(xy)(t) = P(T(xy) t) = P(min [T(x), T(y)] t) = menyatakan
peluang seseorang berusia x dan y tahun akan tetap hidup hingga berusia x+t
dan y+t tahun.
Pada status joint life untuk 3(tiga) orang tidak jauh berbeda dengan joint life untuk
2(dua) orang, karena kejadian hidup matinya seseorang dengan yang lainnya
saling bebas. Saling bebas adalah kejadian yang menimpah 1(satu) orang, tidak
mempengaruhi orang lain, berdasarkan sifat saling bebas, maka peubah acak
waktu sisa hidup menyatakan waktu saat ini sampai salah satu dari (x), (y), dan (z)
meninggal dunia dinotasikan T(xyz), T(xyz) = min {(T(x), T(y), T(z)} dan fungsi
distribusinya adalah FT(xyz) = ( ( ) ), t 0. ( ( ) ) adalah gabungan
dari P(T(x) t), (T(y) t), dan P(T(z) t), maka fungsi kelangsungan hidup untuk
3(tiga) orang pada status joint life dapat dinyatakan sebagai berikut:
(2.13)
14
ST(xyz)(t) = 1 – FT(xyz)
= 1- [ P(T(xyz) t)]
= P(T(xyz) t), t ,
ST(xyz) menyatakan peluang untuk 3 (tiga) orang berusia x, y, dan z akan hidup
hingga mencapai usia x+t, y+t, dan z+t tahun dan dapat dinyatakan dalam notasi
peluang berdasarkan persamaan (2.14) diuraikan sebagai berikut:
FT(xyz)(t) = P( min [T(x), T(y), T(z)] t )
= 1 – P(min [T(x), T(y) ,T(z)] > t)
= – P(T(x) > t, T(y) > t, T(z) > t)
= – [P(T(x) > t) dan P(T(y) > t )dan P(T(z) > t)]
= 1 – [ dan ]
= 1 – .
= 1 –
FT(xyz)(t) = .
Sedangkan fungsi kelangsungan hidup bersama untuk 3 (tiga) orang dapat
dinyatakan dalam notasi peluang sebagai berikut:
ST(xyz)(t) = 1- FT(xyz)(t)
= 1 – P(T(xyz) t)
= P(T(xyz) t)
= P( min [T(x), T(y), T(z)] t )
= P({T(x) > t} dan {T(y) > t} dan {T(z) > t} | X > x, Y > y, Z > z )
= P( T(x) > t | X > x ) . P(T(y) > t | Y > y) . P(T(z) > t | Z > z )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
(2.14)
(2.15)
15
ST(xyz)(t) = ( )
( )
( )
( ) .
( )
( )
= . .
= .
Jadi, dapat disimpulkan notasi peluang untuk joint life 3 (tiga) orang adalah
sebagai berikut:
a. FT(xyz)(t) = P(T(xyz) t) = P(min [T(x), T(y), T(z)] t) = menyatakan
peluang sesorang berusia x, y, dan z tahun akan meninggal sebelum berusia
x+t, y+t, dan z+t tahun.
b. ST(xyz)(t) = 1- FT(xyz)(t) = P( T(xyz) t) = P(min [T(x), T(y), T(z)] t) =
menyatakan peluang peluang seseorang berusia x, y, dan z tahun akan tetap
hidup hingga berusia x+t, y+t, dan z+t tahun.
Bedasarkan persamaan (2.15) dan (2.16) dapat dirumuskan sebagai berikut:
1) Peluang hidup joint life orang-orang berusia , , … tetap hidup
hingga berusia x+t tahun.
= . … .
2) Peluang meninggal joint life orang-orang berusia , , … minimal
satu orang meninggal sebelum berusia x+t tahun.
( )
2.4 Laju Tingkat Kematian dan Fungsi Densitas
Laju tingkat kematian (µ) adalah peluang kematian seseorang yang akan dibahas
di bawah ini dan fungsi densitasnya juga untuk perorangan serta joint life untuk
2(dua) dan 3(tiga) orang.
(2.16)
(2.17)
(2.18)
16
2.4.1 Laju Tingkat Kematian dan Fungsi Densitas Untuk Perorangan
Laju tingkat kematian adalah peluang seseorang saat ini yang berusia x tahun akan
meninggal beberapa saat kemudian atau meninggal antara usia dan
dengan syarat hidup pada usia , dapat dinyatakan sebagai berikut:
( < | > ) = ( ) – ( )
( ),
dapat juga dinyatakan dalam bentuk limit sebagai berikut:
( )
( ) – ( )
( )
=
[ ( ) – ( )]
( )
=
[ ( )– ( )]
( )
= ( )
( )
( ) ( )
( ).
Jadi untuk setiap usia x, laju tingkat kematian dari seseorang yang berusia x tahun
dapat dinyatakan:
µ(x) =
( )
= ( )
( )
= ( )
( )
µ(x) ( )
( ),
dari fungsi peluang tersebut dapat dibentuk rumus survival, sebagai berikut:
µ(x). = ( )
( ) =
( )
( ) ingat : S(x) = 1- F(x)
– ( )
( )
= ( )
( )
(2.19)
(2.20)
(2.21)
17
µ(x)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
= ( )
( )
µ(x). = ( ).
Misalkan x = y, maka diperoleh: µ( ) = ( )
Jika diintegralkan, maka:
∫
µ( ) dy = ∫ ( )
= ( )
= ( ( ) – ( ))
= ln ( )
( )
= ln
∫
µ( ) dy = ln
exp ( ∫
µ( ) dy) = exp (ln )
= exp ( ∫
µ( ) dy).
Jika nilai laju tigkat kematiannya konstan (µ(x) = µ) untuk semua x 0, artinya
besarnya nilai dari laju tingkat kematian adalah sama untuk semua usia nasabah
(tertanggung) yang masih hidup, maka diperoleh:
S(x) = = ( ∫ ( )
),
selain itu,
( ) = 1 – S(x) = 1 – ( ∫ ( )
)
( ) = ( ) = µ( ) . S(x)
( ) = µ( ) . S(x)
= µ( ) . ( ∫ ( ) )
= µ( ) . .
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
18
Berdasarkan pembuktian pada persamaan (2.7) bahwa adalah fungsi distribusi
dari T(x) dan µ (x+t) dapat dinotasikan sebagai ( )
( ) atau
(t), maka fungsi
densitas dari T(x) sebagai berikut:
T(x)(t) =
=
( )
=
(
( )
( ))
= ( )
( ) =
( )
( ) .
( )
( )
= µ (x+t) .
T(x)(t) =
(t). .
2.4.2 Laju Tingkat Kematian dan Fungsi Densitas Untuk Joint Life
Pada status joint life untuk 2 (dua) orang yang berusia x dan y tahun, fungsi
densitas T(xy) dinyatakan sebagai berikut:
T(xy)(t) =
FT(xy)(t)
=
( ( )( ))
=
( )( )
= −
=
( )
= − (*
+ *
+)
= − (( ( )
( ) ( )
( )) + ((
( )
( ) ( )
( )))
= − (( ( )
( ) ( )
( ) ) (
( )
( ) ( )
( )))
(( 𝜇( ) + ( 𝜇 ( ). ))
= 𝜇( ) 𝜇 ( )
T(xy)(t) = (𝜇( ) 𝜇 ( )).
(2.26)
(2.27)
19
Laju tingkat kematian dari T(xy) dinotasikan sebagai ( )
(t) atau
(t), dan
dapat diturunkan dengan cara yang sama seperti penyelesaian untuk tunggal,
karena asumsi status joint life 2 (orang) juga saling bebas, yaitu sebagai berikut:
( )
(t) =
(t)
= ( ) ( )
( )( )
= ( )( )
( )( )
= ( ( ) ( ))
(t)=(( ) ( )).
Pada status joint life untuk 3 (tiga) orang yang berusia x, y, dan z tahun, fungsi
densitasnya T(xyz) dinyatakan sebagai berikut:
T(xyz)(t)=
T(xyz)(t)
=
( ( )( ))
=
( )( )
= −
=
( )
= ((*
+ ) ( *
+))
= ([ *
+] ) [ ( *
+)]
= ([ (( + ) + ( + )) ] [ ] (− (z + ) . )
= (( + ) + ( + )) ( 𝜇(z + ))
T(xyz)(t) = (𝜇( + ) + 𝜇( + ) + 𝜇(z + ))).
Laju tingkat kematian dari T(xyz) dinotasikan sebagai ( )
(t) atau
(t), dan
dapat diturunkan dengan cara yang sama seperti penyelesaian untuk tunggal,
karena asumsi status joint life 3 (orang) juga saling bebas, yakni sebagai berikut:
(2.28)
(2.29)
20
( )
( )=
( )
= ( )( )
( )( )
= ( )( )
( )( )
= (𝜇( ) 𝜇( ) 𝜇( ))
µ ( ) = (𝜇( + ) + 𝜇( + t ) 𝜇( )).
2.5 Tabel Kematian atau Tabel Mortalita (Life Table)
Perusahaan asuransi jiwa mendasarkan semua perhitungan premi pada sebuah
tabel mortalita. Tabel mortalita atau tabel kematian berisi peluang seseorang
meninggal menurut umurnya dari kelompok orang yang diasuransikan (pemegang
polis asuransi). Tabel tersebut sedekat mungkin menggambarkan peluang
seseorang meninggal sesungguhnya dari kelompok orang yang diasuransikan
(Sembiring, 1986).
2.5.1 Tabel Kematian atau Tabel Mortalita Untuk Perorangan
Pada tabel mortalita terdiri atas kolom-kolom yang secara berurutan dari kiri
menyatakan usia (x), , , , , dan . Keterangan simbol-simbol di dalam
table mortalita, yaitu:
( ) = Banyaknya orang/ jumlah orang yang lahir pada saat bersamaan.
( ) = Banyaknya orang/ jumlah orang yang tetap hidup sampai berusia x.
( ) = Banyaknya orang/ jumlah orang yang meninggal dari usia x sebelum
mencapai x+1.
( ) = Usia tertinggi pada seseorang disebut omega
(2.30)
21
Jika adalah jumlah orang yang meninggal dari (jumlah orang yang berusia x
tahun) sebelum mencapai usia x + 1 tahun, maka = – (Sembiring, 1986).
Sedangkan peluang hidup seseorang yang berusia x tetap hidup sampai x+1 ialah
(banyaknya orang yang berusia x+1 tahun) dibagi banyaknya (jumlah
orang yang berusia x), maka peluang hidup x dalam 1 (satu) tahun dapat
dirumuskan sebagai berikut:
=
.
Menurut Sembiring (1986), bagian terpenting suatu tabel mortalitas ialah lajur
(kolom) Bilangan (peluang meninggal seseorang yang berusia x sebelum
berusia x+1 tahun) ini ditaksir dari data yang dikumpulkan oleh perusahaan
asuransi jiwa. Perumusan peluang kematian itu dapat dirumuskan sebagai berikut:
= 1-
= 1-
= –
=
.
Jadi untuk menyatakan peluang seseorang berusia x tahun akan hidup sampai
berusia x+n tahun dapat dirumuskan sebagai berikut:
=
,
sedangkan peluang kematian yang menyatakan peluang seseorang berusia x tahun
akan meninggal sebelum berusia x+n tahun dirumuskan sebagai berikut:
=
.
Jika suatu peluang kematian yang ditunda atau peluang yang menyatakan
seseorang yang berusia x tahun akan tetap hidup sampai berusia x+m tahun dan
(2.32)
(2.33)
(2.34)
(2.31)
22
akan meninggal sebelum usia x+m+n ntahun atau meninggal antara usia x+m dan
x+m+n tahun, maka dapat dirumuskan sebagai berikut:
= –
=
.
Jika ( )
( ), maka untuk setiap bayi yang baru lahir, S(x)nya adalah sebagai
berikut:
S(x) =
= ( )
( )
S(x) = ( )
( ) = 1 = ,
enyatakan peluang hidupnya bayi yang baru lahir adalah 1, sedangkan
menyatakan banyaknya bayi yang baru dilahirkan di saat yang sama, diasumsikan
mempunyai survival sama dengan S(x).
Misalkan 100.000 banyaknya bayi baru lahir dengan simbol ( = 100.000), serta
untuk menyatakan bayi ke 1, ke 2, … ke diberi sebuah indeks (j), maka
j=1,2,3,…100.000, sedangkan L(x) menyatakan banyaknya bayi yang tetap hidup
sampai usia x, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:
L(x) = ∑ ,
dengan:
= indikator untuk bayi j yang bertahan hidup
{
P( = 1) = S(x) =
P( = 0) = 1 – S(x).
(2.35)
(2.36)
(2.37)
(2.38)
23
Nilai harapan ( ) dapat dinyatakan sebagai berikut:
( ) = ∑ ( )
= 1. S(x) + 0 (1 – S(x))
= S(x) + 0
= S(x),
bebas stokastik identik, maka nilai harapan dari L(x) dapat
dinyatakan sebagai berikut:
E (L(x)) = ∑ = ∑ ( )
= S(x) + S(x) + … + S(x) ; S(x) sebanyak
E (L(x)) = . S(x).
Definisi lain dari E (L(x)) adalah , maka hubungan antara life table dengan
survival function adalah = .S(x), dan dengan cara yang sama untuk
menyatakan banyaknya bayi yang meninggal antara usia x tahun sampai dengan
usia x+t tahun dinotasikan , dapat diuraikan sebagai berikut:
∑
dengan :
= indikator untuk bayi j yang bertahan hidup
{
P( = 1) = S(x) – S(x+n)
P( = 0) = 1 – [S(x) – S(x+n)]
= 1 – S(x) + S(x+n).
Nilai harapan ( ) dapat dinyatakan sebagai berikut:
E ( ) = ∑ ( )
(2.40)
(2.41)
(2.42)
(2.39)
24
E ( ) = 1. [S(x) –S(x+n)] + 0 (1 – S(x) + S(x+n))
= S(x) –S(x+n) + 0
= S(x) – S(x+n).
Jadi, nilai harapan dari dapat dinyatakan sebagai berikut:
E ( ) = ∑
= ∑ ( )
= S(x) – S(x+n)+ S(x) – S(x+n)+ … + S(x) – S(x+n)
= . [S(x) – S(x+n)]
= . S(x) . S(x+n)]
E ( ) = – .
Definisi lain dari E ( ) adalah , maka = – . Oleh karena itu,
berdasarkan uraian sebelumnya, dapat disimpulkan sebagai berikut:
a) = . S(x)
( )
Jadi, terbukti benar
.
b) = 1 – = 1–
=
–
=
Jadi , terbukti benar =
.
Menurut Futami (1993), pada tabel mortalita hanya menggambarkan keadaan
untuk x bilangan integer pada kenyataanya selama perjalanan waktu jumlahnya
selalu berkurang, sehingga dalam interval waktu [0, ] dilakukan fungsi
diferensiasi , dan x tidak harus bilangan bulat. Selang waktu , jumlah yang
meninggal pada usia adalah = , maka untuk satu tahunnya
(2.43)
(2.44)
25
adalah
, kemudian dibagi dengan di awal tahun, didapatkan tingkat
mortalita selama satu tahun untuk setiap selang waktu adalah
: =
. Jika
0 disebut laju tingkat kematian, dan dinotasikan dengan 𝜇 ,
𝜇
=
=
,
maka 𝜇 =
,
dan
= ∫ *
+
= ∫ 𝜇
.
Sesuai dengan 𝜇 yang telah diuraian, seperti yang terdapat pada persamaan
(2.45), bahwa dalam hubunganya dengan 𝜇 , angka-angka yang terdapat pada
tabel mortalita mempunyai interpetasi sendiri (Futami, 1993). Dari pendekatan
polinomial interval [ ] dengan (-1, ( ) 0, ( ) 1, ( )), maka:
(t) = ( ) ( ) ( )
+
( ) ( ) ( )
.
Misal terdapat suatu fungsi ( ) = , dengan ( ) , ( )
( ) . Berdasarkan persamaan 𝜇
, dan mengganti
dengan
* ( )
+
, maka menjadi sebagai berikut:
𝜇
*– (
)+
=
=
.
(Futami, 1993)
(2.45)
(2.46)
(2.47)
(2.48)
26
Jadi untuk perorangan, misal seseorang yang berusia x tahun laju tingkat
kematiannya hingga t tahun dapat dirumuskan sebagai berikut:
𝜇 ( )
=
.
2.5.2 Tabel Kematian atau Tabel Mortalita Untuk Joint Life
Sama dengan halnya tabel mortalita perorangan, tabel mortalita joint life
merupakan tabel tingkat kematian yang mempunyai peranan dalam menentukan
premi (Futami, 1994). Tabel mortalita hidup gabungan (joint life) berisi
; ; dan sebagainya. Misalkan untuk 2
(dua) orang yang berusia x dan y tahun, maka fungsi jumlah orang yang berusia
dikalikan fungsi jumlah orang yang berusia tahun dapat dinotasikan dengan
dan dirumuskan sebagai berikut:
.
Peluang joint life untuk 2 (dua) orang yang berusia x dan y tahun, bahwa peluang
keduanya akan tetap hidup dalam satu tahun kedepan, dinotasikan dengan
dapat dirumuskan sebagai berikut:
.
Sedangkan peluang joint life untuk 2 (dua) orang yang berusia x dan y tahun,
bahwa peluang minimal satu orang meninggal dalam satu tahun kedepan,
dinotasikan dengan dirumuskan sebagai berikut:
(2.50)
(2.51)
(2.49)
27
(
)
.
Berbeda untuk peluang keduanya meninggal dalam satu tahun kedepan,
dinotasikan dengan , tetapi dirumuskan sebagai berikut:
(
)
Jika, peluang joint life untuk 2 (dua) orang yang berusia dan tahun, bahwa
peluang keduanya akan tetap bertahan hidup dalam n tahun dinotasikan ,
maka perumusan menjadi sebagai berikut:
.
Sedangkan joint life untuk peluang 2 (dua) orang yang berusia x dan y tahun,
bahwa peluang minimal satu orang akan meninggal dalam waktu tahun
dinotasikan dengan dirumuskan sebagai berikut:
.
.
(2.54)
(2.52)
(2.55)
(2.53)
28
Berbeda untuk peluang keduanya meninggal dalam n tahun kedepan, dinotasikan
dengan , tetapi dirumuskan sebagai berikut:
(
)
Pada joint life untuk 3 (tiga) orang dapat menggunakan cara yang sama seperti
untuk 2 (dua) orang. Jika 3(tiga) orang tersebut berusia x, y dan z tahun, maka
fungsi jumlahnya dapat dinotasikan dengan dan dirumuskan sebagai berikut:
.
Peluang joint life untuk 3(tiga) orang tersebut akan tetap hidup dalam 1(satu)
tahun ke depan, dinotasikan dengan dirumuskan sebagai berikut :
.
.
Sedangkan peluang joint life untuk 3 (tiga) orang tersebut, bahwa peluang
minimal satu orang akan meninggal dalam 1 (satu) tahun kedepan, dinotasikan
dengan dapat dirumuskan sebagai berikut:
Berbeda untuk peluang ketiganya meninggal dalam 1 tahun kedepan, dinotasikan
dengan , tetapi dirumuskan sebagai berikut:
(2.56)
(2.58)
(2.57)
(2.59)
29
.
(
)
Jika peluang joint life 3 (tiga) orang yang berusia x, y, dan z tahun, bahwa peluang
ketiganya akan tetap bertahan hidup sampai n tahun dinotasikan , maka
perumusan menjadi sebagai berikut:
Sedangkan peluang joint life 3 (tiga) orang yang berusia x, y, dan z tahun, bahwa
peluang minimal satu orang akan meninggal dalam waktu tahun dinotasikan
dengan dan dirumuskan sebagai berikut:
.
Berbeda untuk peluang ketiganya meninggal dalam n tahun kedepan, dinotasikan
dengan , tetapi dirumuskan sebagai berikut:
Berdasarkan (2.49) laju tingkat kematian untuk perorangan dalam bentuk
perumusan berdasarkan tabel kematian, maka untuk kasus joint life untuk 2 (dua)
dan 3 (tiga) orang, laju tingkat kematianya sebagai berikut:
𝜇 ( )
=
𝜇 ( )
=
(2.61)
(2.62)
(2.65)
(2.64)
(2.60)
(2.63)
30
2.6 Bunga (Interest)
Bunga merupakan sebagian dari keuntungan perusahaan, sebab di dalam
pembayaran premi asuransi bunga ikut dihitung atau merupakan pembayaran yang
dilakukan oleh peminjam sebagai balas jasa atas pemakaian uang yang
dipinjamkan. Secara umum perhitungan bunga dibagi menjadi 2 (dua) yaitu
bunga sederhana dan bunga majemuk.
2.6.1 Bunga Sederhana (Simple Interest)
Bunga sederhana adalah perhitungan bunga yang hanya berdasarkan pada
perbandingan pokok dan jangka investasinya (Futami, 1993). Besarnya
pendapatan bunga tergantung pada besarnya pokok, jangka waktu investasi dan
tingkat suku bunga, yang dirumuskan sebagai berikut:
I = P . n . i,
dengan:
P = Besar Pokok
i = Tingkat Suku Bunga
n = Jangka Waktu (tahun)
I = Besar Bunga
Besarnya bunga setelah beberapa waktu kemudian (total bunga) berserta pokok
menjadi sebesar:
S = P + I
= P + (P. n i)
= P.(1+ n i ).
(2.66)
(2.67)
31
Dalam matematika keuangan jumlah dari besarnya bunga ditambah dengan
besarnya pokok disebut fungsi jumlah yang disimbolkan A(n) , maka untuk bunga
sederhana adanya fungsi akumulasi yang bergantung pada t (periode), dengan t ≥
0 yang disimbolkan a(t). Perumusan bunga sederhana dapat dituliskan sebagai
berikut:
t = 0 a(0) = 1
t = 1 a(1) = 1 + 1 . i
t = 2 a(2) = 1 + 2 . i
t = 3 a(3) = 1 + 3 . i
dan seterusnya.
t = a(t) = 1 + t .i.
Jadi fungsi akumulasi untuk bunga sederhana adalah a(t) = 1 + t.i.
Secara matematis menurut Kellison (1991), dapat dibuktikan sebagai berikut:
Jika dimisalkan a(t) adalah ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
= ( ) ( )
maka ( ) ( ) ( )
(2.68)
(2.69)
32
Dari definisi turunan didapatkan:
( )=
( ) ( )
= ( ( ) ( ) ) ( )
= ( )
= ( ) ( )
= ( )
= ( )
Jadi ( )=
( ).
Selanjutnya, mengganti t dengan r dan mengintegralkan dengan batas 0 sampai t.
( ) =
( )
∫ ( )
= ∫
( )
( )
=
( )
( ) ( )= ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Jika t =1 berdasarkan persamaan (2.68), maka ( ) i, dan sesuai persamaan
(2.71) dengan mengganti t =1 didapatkan sebagai berikut:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ,
sehingga ( )= i,
terbukti bahwa a(t) = 1 + t.i.
(2.70)
(2.71)
(2.72)
33
Jadi untuk besar pokok berserta bunga, dengan bunga sederhana berdasarkan n
tahun dapat dirumuskan sebagai berikut:
A(n) = S = P (1+ n . i )
= P .a(n),
dengan:
S = A(n) = Fungsi Jumlah (pokok+bunga)
P = Modal Pokok (dana awal)
n = Periode (lama investasi dalam tahun)
a(n) = Fungsi Akumulasi
2.6.2 Bunga Majemuk (Compound Interest)
Bunga majemuk adalah perhitungan bunga di mana besar pokok jangka investasi
selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya ditambah dengan besar bunga yang
diperoleh (Futami, 1993). Dalam bunga majemuk juga adanya fungsi akumulasi
yang bergantung pada t (periode waktu), dengan t ≥ 0 yang disimbolkan a(t) .
Perumusan bunga majemuk dapat dituliskan sebagai berikut:
t = 0 a(0) = 1
t = 1 a(1) = 1 + 1 . i = ( 1 + i )
t = 2 a(2) = (1 + 1 . i ) + i ( 1 + i )
= 1 + i + i + i2
= 1 + 2i + i2
= (1 + i) (1 + i)
= (1 + i)2
(2.73)
34
t = 3 a(3) = (1 + i)2 + i ( 1 + i )
2
= (1 + i) (1 + i) + i [(1 + i) (1 + i)]
= 1 + 2i + i2
+ i (1 + 2i + i2)
= 1 + 2i + i2
+ i + 2i2 + i
3
= (1 + i) (1 + i) (1 + i)
= (1 + i)3
dan seterusnya,
t= a(t) = (1 + i)t.
Jadi fungsi akumulasi untuk bunga majemuk adalah a(t) = (1 + i)t.
Secara matematis menurut Kellison (1991), dapat dibuktikan sebagai berikut:
Jika dimisalkan a(t) adalah ( )
( ) ( )t+s
( ) ( )
( ) ( )
maka ( ) ( ) ( )
Dari definisi turunan didapatkan:
( )=
( ) ( )
= ( ( ) ( )) ( )
( ) =
( )( ( ) )
= ( ) ( )
= ( ) ( ) ( )
= ( ) ( ( )
)
(2.74)
(2.75)
35
( ) = ( ) ( )
Jadi ( )= ( ) ( )
dan
( )
( ) = ( )
( )
( ) =
( ) ( ),buktinya:
Misalkan y = log ( )
= ( ) sifat log = c
= b
( ) = ( )
( ) = ( )
y.1 = ( )
y = ( )
dy =
( ) (t) dt
=
( )
( )
Jadi terbukti
( )
( ) =
( ) ( ) Didapatkan persamaan sebagai berikut:
( ) ( ).
Selanjutnya, mengganti t dengan r dan mengintegralkan dengan batas 0 sampai t.
( ) ( )
∫
( )
= ∫
( )
( ) =
( )
( ) ( )= ( )
( )
( ) = ( )
( )= ( )
(2.77)
(2.76)
(2.78)
36
Berdasarkan persamaan (2.74) dan sifat logaritma untuk t = 0 sebagai berikut:
log a(0) = log (1 + i)0
log a(0) = log 1 = 0,
sedangkan untuk t =1 berdasarkan persamaan (2.74) juga,
( ) ( )
( ) i.
Jika dalam persamaan (2.78) mengganti t =1 didapatkan sebagai berikut:
( ) = ( )
( ) = ( )
( ) = ( )
( ) = ( )
( ) = ( ),
maka ( ) = ( ) = ( ).
Berdasarkan persamaan (2.81) dan sifat logaritma, didapatkan perumusan sebagai
berikut:
( )= t. ( ) = ( )
terbukti bahwa a(t) = ( ) .
Jadi untuk besar pokok berserta bunga dengan bunga majemuk dalam n tahun
dapat dirumuskan sebagai berikut:
A(n) = S = P (1 + i)n
= P . a(n).
Menurut sembiring (1986), dengan diperolehnya jumlah pokok dengan bunganya
pada tahun ke n dapat disimbolkan A(n) atau P(n) = P (1 + i)n
ini menyatakan
(2.83)
(2.79)
(2.80)
(2.81)
(2.82)
37
jumlah akhir, sedangkan untuk menyatakan jumlah awal atau besar pokok (P)
adalah sebagai berikut:
P = P(n) (1+i)-n.
Dalam bunga majemuk didefinisikan suatu fungsi v (faktor diskonto) , yaitu:
v =
Perumusan faktor diskonto akan sering digunakan pada perumusan selanjutnya.
Berdasarkan persamaan (2.85), faktor diskonto dapat diuraikan sebagai berikut:
v = ( )-1 =
( )
vn
= (
( ))
= (( ) ) = ( ) .
Jadi, untuk besar pokok dengan bunga majemuk dirumuskan sebagai berikut:
P = P(n) vn.
Menurut Futami (1993), v adalah nilai sekarang atau present value untuk
pembayaran sebesar 1 yang dilakukan satu tahun kemudian. Jika pembayarannya
dilakukan 1 tahun lebih cepat, maka besarnya bunga yang hilang (tingkat diskon)
sebesar d = 1 – v. Perumusan tingkat diskon dapat diuraikan sebagai berikut :
d =1 –
=
–
=
d = i .
= i . v,
dengan :
i = interest rate adalah tingkat bunga
d = diskon rate adalah tingkat diskon
(2.84)
(2.87)
(2.85)
(2.86)
38
2.7 Laju Tingkat Suku Bunga
Tingkat suku bunga dapat dibedakan menjadi 2(dua), yakni: tingkat suku bunga
efektif dan tingkat suku bunga nominal. Tingkat suka bunga efektif ialah tingkat
bunga yang dalam satu tahun dibungakan satu kali disimbolkan dengan i,
sedangkan tingkat suku bunga nominal ialah tingkat bunga yang dalam satu tahun
dibungakan lebih dari satu kali, misalkan m kali disimbolkan dengan ( ).
Misalkan contoh i pertahun 5%, akan dibungakan setiap triwulan, maka dalam 1
tahun jumlah bunga yang didapatkan sebesar: (1 + i)n = (
)
, secara umum
jika sebanyak m kali dengan bunga sebesar i, maka satu tahun kemudian besarnya
bunga sebagai berikut:
(
)
.
Menurut Futami (1993), tingkat bunga nominal dinyatakan dalam tabel ( ) dan i
disebut tingkat bunga rill atau efektif dan hubungan antara tingkat bunga efektif
dengan tingkat bunga nominal dapat dirumuskan sebagai berikut:
( 1 + i ) = ( ( )
)
i = ( ( )
)
– 1
( )
= ( ( )
)
( )
= ( ( )
)
. ( )
( )
( ) = . ( )
( ) = [ ( )
]
(2.88)
39
Jadi, perumusan untuk tingkat suku bunga efektif dinyatakan sebagai berikut:
i = ( ( )
)
– 1.
Sedangkan perumusan tingkat suku bunga nominal dinyatakan sebagai berikut:
( ) = [ ( )
].
Selain tingkat suku bunga ada yang disebut tingkat diskon. Tingkat diskon dapat
dibedakan menjadi 2(dua), yakni: diskon efektif dan diskon nominal dengan m
adalah banyaknya pembayaran yang dilakukan dalam 1(satu) tahun ke depan,
dapat dinyatakan sebagai berikut :
(i). Diskon Efektif
= 1 - ( ( )
)
(ii). Diskon Nominal
( ) = [ ( )]
= [ ]
Laju tingkat suku bunga disimbolkan , yaitu tingkat suku bunga atas h periode
dan dengan ( ) yakni fungsi akumulasi bunga majemuk ( ( ) ( ) ),
maka dapat dinyatakan sebagai berikut:
( ) ( )
( )
=
( )
( ) ( )
=
( ) (
( ))
=
( ) (
( ) )
=
( ) (
( ) )
=
( ) (
( ) )
(2.90)
(2.91)
(2.92)
(2.89)
40
=
( ) ( ( ) ( ) )
=
( ) ( ( ) ( ) )
= ( ( ) ).
Jadi, ( ( )) adalah laju tingkat suku bunga untuk bunga majemuk,
dan berdasarkan persamaaan (2.93), untuk n =1 dapat dirumuskan sebagai berikut:
( )
( )
= .
2.8 Premi Tunggal Asuransi Jiwa
Premi asuransi adalah sejumlah uang yang wajib dibayarkan oleh tertanggung
kepada perusahaan asuransi. Ada 2 (dua) macam premi, yaitu :
(i). Premi bersih, yaitu premi yang dihitung tanpa memperhatikan faktor biaya
(Sembiring, 1986).
(ii). Premi kotor, yaitu premi yang dipandang sebagai suatu jumlah yang dihitung
dengan memperhatikan perhitungan premi bersih. Berdasarkan semua faktor
yang mempengaruhi premi kotor (misalnya laju kematian, bunga, laju
pengunduran diri, dan lain-lain) atau premi bersih hasil perhitungan yang
ditambahkan dengan sejumlah uang yang dinamai beban atau biaya lainnya
(Futami, 1993).
Prinsip dasar asuransi jiwa dalam suatu perusahaan ialah sekelompok nasabah
(orang) membayar sejumlah uang (premi), dengan kesepakatan apabila dalam tiap
tahun ada salah satu anggota dari sekelompok orang tersebut meninggal, maka
pihak keluarga (ahli waris) dari anggota yang meninggal tersebut akan diberikan
(2.93)
(2.94)
41
santunan sebesar 1. Premi asuransi jiwa dibedakan menjadi premi tunggal dan
premi tahunan, sedangkan berdasarkan cara pembayaran benefitnya, dibedakan
menjadi 2(dua) yaitu :
(i). Kontinu, yaitu premi yang benefitnya diberikan sesaat setelah meninggal
(langsung).
(ii). Diskrit, premi yang benefitnya diberikan akhir tahun setelah tertanggung
meninggal.
Berdasarkan uraian di atas, asuransi jiwa terdiri dari fungsi benefit (bt) dan vt,
fungsi vt adalah nilai sekarang dari pembayaran bt dan t adalah panjang interval
dari polis disetujui sampai dengan meninggal dunia. Keduanya membentuk suatu
peubah acak yang dilambangkan dengan Zt yang didefinisikan sebagai berikut:
Zt = bt . vt
Karena T(x) adalah peubah acak dari sisa waktu hidup nasabah atau waktu dari
dikeluarkannya polis sampai waktu meninggalnya nasabah, maka Zt adalah fungsi
peubah acak pembayaran benefit pada saaat polis asuransi dikeluarkan (Bowers,
dkk., 1997).
Premi tunggal adalah premi yang dibayarkan langsung pada saat disetujui kontrak
asuransi (telah ditandatangani) dan selanjutnya tidak ada lagi pembayaran. Dalam
asuransi jiwa ada beberapa jenis, yaitu: asuransi jiwa seumur hidup, asuransi jiwa
berjangka, asuransi jiwa endowmen murni, asuransi jiwa dwiguna, dan ada juga
asuransi berjangka menaik. Jenis asuransi yang akan digunakan dalam penelitian
ini ialah asuransi jiwa dwiguna.
(2.95)
42
2.8.1 Premi Tunggal Asuransi Jiwa Dwiguna
Asuransi jiwa dwiguna atau endowmen (endowment insurance) adalah perpaduan
antara asuransi berjangka dengan endowmen murni. Si tertanggung misalkan
seseorang yang berusia x tahun meninggal selama jangka waktu asuransi,
misalnya jangka waktu selama n tahun maka ahli waris akan langsung dibayarkan
benefitnya sesaat setelah x meninggal. Sedangkan bila ia dapat berusia mencapai
x+n tahun atau tetap hidup pada akhir jangka waktu, maka ia akan menerima
benefitnya juga (Sembiring, 1993). Jadi premi tunggal asuransi jiwa dwiguna
memberikan 2 manfaat sekaligus pada si tertanggung. Simbol premi tunggal
asuransi jiwa dwiguna secara kontinu adalah . Perumusan menentukan besar
premi tunggal pada asuransi jiwa dwiguna diuraikan di bawah ini.
1. Premi Tunggal Asuransi Jiwa Berjangka (Term Insurance).
Asuransi jiwa berjangka adalah bentuk asuransi yang paling sederhana, benefit
(santunan) asuransi ini hanya akan dibayarkan perusahaan kepada pewaris jika si
tertanggung meninggal selama jangka waktu tertentu dalam polis, jika tetap hidup
sampai n tahun maka ia tidak mendapat apapun (Sembiring, 1993). Simbol premi
tunggal asuransi jiwa berjangka secara kontinu adalah . Misal seseorang
berusia x tahun, maka perumusan besar premi tunggal asuransi berjangka
berdasarkan (2.26) dan (2.49), sebagai berikut:
bT = ,
vT = {
ZT = {
43
E (ZT) = = E ( )
= ∫ ( )( )
= ∫
𝜇( )
= ∫
𝜇 ( )
Jadi ∫
𝜇 ( ) ,
berdasarkan persamaan (2.33), perumusan menjadi sebagai berikut:
= ∫
(
) .
2. Premi Tunggal Asuransi Jiwa Endowmen Murni (Pure Endowment).
Asuransi jiwa endowmen murni adalah suatu pembayaran yang benefitnya hanya
diberikan pada akhir suatu jangka waktu tertentu bagi seseorang yang tetap hidup.
Bila orang tersebut meninggal sebelum akhir jangka waktu tersebut (n tahun),
maka tidak ada pembayaran sama sekali (Sembiring, 1986). Simbol premi
tunggal asuransi jiwa endowmen murni secara kontinu adalah . Misal
seseorang berusia x tahun, maka perumusan besar premi tunggal asuransi
endowmen murni berdasarkan persamaan (2.26) sebagai berikut:
bT = ,
vT = {
ZT = {
E (ZT) =
= E ( )
= ∫ ( )( )
= ∫ ( )( )
(2.97)
(2.96)
44
= .
Jadi
. ,
berdasarkan persamaan (2.33), perumusan menjadi sebagai berikut:
.
.
Berdasarkan uraian perumusan premi tunggal asuransi jiwa berjangka dan
endowmen murni di atas, dapat dirumuskan premi tunggal asuransi jiwa dwiguna
ialah perpaduan dari dua jenis tersebut dengan simbol premi tunggal asuransi jiwa
dwiguna secara kontinu adalah berdasarkan (2.98) dan (2.99), perumusan
sebagai berikut:
bT = ,
vT = {
Z1=
Z2 =
ZT = Z1 + Z2 =
E (ZT) = E ( ) + E ( ) =
=
+
= ∫
𝜇 ( ) +
.
= ∫
(
) +
.
Jadi ∫
(
) +
.
.
(2.99)
(2.100)
(2.98)
45
2.8.2 Premi Tunggal Asuransi Jiwa Dwiguna Joint Life
Premi tunggal asuransi jiwa dwiguna joint life untuk 2(dua) orang yang berusia x
dan y tahun berdasarkan persamaan (2.27) dan (2.100) diperoleh sebagai berikut:
=
+
∫ ( )( )
+ ∫ ( )( )
= ∫
(𝜇( ) 𝜇( )) +
.
= ∫
𝜇 ( ) +
.
Jadi ∫
𝜇 ( ) +
. ,
berdasarkan persamaan (2.52) dan (2.62), perumusan menjadi sebagai berikut :
∫
𝜇 ( ) +
.
∫
(
) .
.
Premi tunggal asuransi jiwa dwiguna joint life untuk 3(tiga) orang yang berusia x,
y dan z tahun berdasarkan persamaan (2.29) dan (2.100) sebagai berikut:
+
∫ ( )( )
+ ∫ ( )( )
= ∫
(𝜇( ) 𝜇( ) 𝜇( )) +
.
= ∫
𝜇 ( ) +
.
Jadi ∫
𝜇 ( ) +
.
berdasarkan persamaan (2.61), (2.65) dan (2.103) sebagai berikut:
∫
𝜇 ( ) +
.
= ∫
(
) + .
(2.104)
(2.102)
(2.101)
(2.103)
46
0 1 2 3 . . . n
2.9 Anuitas (Annuity)
Anuitas adalah suatu rangkaian pembayaran dengan jumlah dan periode tertentu.
Berdasarkan cara pembayaran anuitas secara umum dibedakan menjadi 2 (dua)
yaitu anuitas akhir (immediate annuity) dan anuitas awal (due annuity). Anuitas
akhir adalah pembayaran yang dilakukan di akhir tahun, sedangkan anuitas awal
adalah pembayaran yang dilakukan di awal tahun. Selain itu ada juga anuitas
dengan pembayaran kontinu yang dilakukan berkali-kali, dan berdasarkan
lamanya proses pembayaran anuitas dibedakan menjadi 2(dua), yaitu anuitas tentu
dan anuitas hidup yang akan dibahas di bawah ini.
2.9.1 Anuitas Tentu (Certain Annuity)
Anuitas tentu atau anuitas pasti adalah serangkaian pembayaran berkala yang
dilakukan selama jangka waktu tertentu yang telah ditetapkan (Sembiring, 1986).
Anuitas ini dibayarkan selama n periode tertentu, untuk anuitas tentu akhir
disimbolkan ( ), anuitas tentu awal disimbolkan ( ), dan anuitas tentu kontinu
disimbolkan ( )
(i). Anuitas Tentu Akhir
Deret : v + v2
+ v3 + … + v
n = ( )
v
47
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Jadi, ( )
.
(ii). Anuitas Tentu Awal
Deret : 1 + v + v2
+ v3 + … + v
n = ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Jadi, ( )
.
(iii). Anuitas Tentu (Pembayaran Kontinu), adalah suatu anuitas tentu yang
pembayaranya dilakukan k kali dalam satu tahun dengan k atau disebut
pembayaran setiap saat, dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai berikut:
= ( )
=
=
, atau dengan cara :
= ∫
dt
=
]
0 1 2 3 . . . n-1
v 1
(2.105)
(2.106)
48
=
( )
=
( ) ( )
=
( )
=
2.9.2 Anuitas Hidup (Life Annuity)
Anuitas hidup adalah serangkaian pembayaran berkala yang dilakukan selama
seseorang tertentu masih hidup, maka pembayaran ini dikaitkan dengan hidup
matinya seseorang (Sembiring, 1986). Dalam pembayaran premi asuransi, jika
tertanggung meninggal dunia, maka proses pembayaran premi dihentikan dan ahli
waris tertanggung mendapatkan sebuah benefit. Oleh karena itu dalam penelitian
ini akan menggunakan anuitas hidup, rangkaian pembayaran yang akan dilakukan
adalah proses pembayaran premi hingga n tahun dan pembayaran benefit yang
ditunda hingga n tahun dengan catatan, jika tertanggung meninggal dunia, maka
proses pembayaran dihentikan.
(i). Anuitas hidup akhir
Menurut Futami (1993), untuk anuitas hidup akhir berjangka n tahun ialah
pembayaran yang dilakukan pada jangka waktu tertentu. Jadi, anuitas akhir dalam
asuransi berjangka ini artinya pembayaran dilakukan di setiap akhir tahun dalam
jangka waktu tertentu, jika meninggal dunia maka pembayaran dihentikan. Proses
pembayaran dilakukan di akhir tahun maka deret pembayaran untuk seseorang
yang berusia x disimbolkan a
digambarkan di garis bilangan berikut:
(2.107)
49
dengan:
x = usia saat polis
n = jangka waktu.
Berdasarkan garis bilangan anuitas hidup akhir yang berjangka n tahun, maka
perumusan sebagai berikut:
=
= + . . .
= ∑ .
Menurut Sembiring (1986), untuk anuitas hidup akhir yang di tunda n tahun ialah
rangkaian pembayaran yang ditunda selama beberapa tahun, misal selama n tahun.
Jadi, anuitas hidup akhir yang ditunda n tahun adalah anuitas yang pembayaranya
ditunda n tahun, dan mulai pembayaran pada akhir tahun x+n+1 setiap tahun
selama seumur hidup, jika ia meninggal maka pembayaran dihentikan. Proses
pembayaran dilakukan di akhir tahun maka deret pembayaran untuk seseorang
yang berusia x disimbolkan digambarkan di garis bilangan berikut:
a
dengan:
x = usia saat polis
n = waktu pendundaan
z = – x
= usia tertinggi.
1
x x+1
x+2
x+3
. . . x+n
x+n-1
1 1 1 1
(2.108)
x+n x+n+1
x+n+2
x+n+3
. . . z+1 z
1 1 1 1
50
Berdasarkan garis bilangan anuitas hidup akhir yang ditunda n tahun, maka
perumusan sebagai berikut:
= -
(
)-(
)
( ( ) ( )
)
= + . . .
= ∑
(ii). Anuitas hidup awal
Anuitas hidup awal berjangka n tahun, artinya pembayaran lakukan di setiap awal
tahun dalam jangka waktu tertentu, jika tertanggung meninggal dunia maka
pembayaran dihentikan. Proses pembayaran dilakukan di awal tahun maka deret
pembayaran anuitas untuk seseorang yang berusia x dengan simbol
digambarkan di garis bilangan berikut :
dengan:
x = usia saat polis
n = jangka waktu.
Berdasarkan garis bilangan di atas anuitas hidup awal yang berjangka n tahun,
maka perumusan sebagai berikut:
= 1 +
= + . . .
= ∑ .
x x+1
+1
x+2
x+3
. . . x+n
x+n-1
(2.110)
(2.109)
1 1 1 1 1
51
Sedangkan untuk anuitas hidup awal yang ditunda n tahun, artinya anuitas hidup
yang pembayaranya ditunda n tahun, dan mulai pembayaran pada awal tahun x+n
setiap tahun selama seumur hidup, jika ia meninggal maka pembayaran
dihentikan, dan karena pembayaran dilakukan di awal tahun maka deret
pembayaran anuitas untuk seseorang yang berusia x dengan simbol
digambarkan di garis bilangan berikut:
dengan:
x = usia saat polis
n = waktu pendundaan
z = – x
= usia tertinggi.
Berdasarkan garis bilangan di atas anuitas hidup awal yang ditunda n tahun, maka
perumusan sebagai berikut:
= -
= (
)
( ( )
)
( ( )
)
= + . . .
= ∑
x+n x+n+1
x+n+2
x+n+3
. . . z z-1
(2.111)
1 1 1 1 1
52
(iii). Anuitas hidup kontinu
Menurut Futami (1993), sama halnya dengan anuitas tentu, bahwa pada anuitas
hidup juga terdapat cara pembayaran yang dilakukan secara kontinu. Anuitas
hidup kontinu (Continous Life Annuity) adalah anuitas hidup sebesar satu satuan
per akhir tahun yang pembayaranya dilakukan secara kontinu atau setiap saat.
Menurut Bowers, dkk., (1997), pembayaran anuitas kontinu dengan nilai sekarang
(present value) dinotasikan dengan peubah acak Y = untuk setiap T 0 di mana
T menyatakan waktu sisa hidup x .
Dari persamaan (2.109) dengan sebesar 1 satuan, maka :
Y = ∫
dt
= ∫
dt
=
Y=
= .
Jadi, nilai sekarang APV (Actuarial Present Value) dari anuitas kontinu yaitu :
= E [Y] = ∫
𝜇 ( ) ,
dengan menggunakan pengintergralan parsial tentu, misal :
∫ [ ]
∫
,
u =
u =
=
( )
(2.112)
(2.113)
53
𝜇 ( )
= ( ) . 𝜇 ( )
=∫ ( ) 𝜇 ( )
= -
( ) ( ) . 𝜇 ( )
= - ( )
= - .
Jadi, hasil dari pengintergeralan sebagai berikut:
= ∫
𝜇 ( ) = ( ) ( ) ]
. ∫ (
) . .
Jika {( )
.
Jika {( )
.
= [ (
) ( ( ))]. – (∫
. ) = ∫
. .
Jadi, berdasarkan uraian di atas menurut Bowers, dkk., (1997), didapatkan anuitas
hidup berjangka n tahun sebagai berikut :
= ∫
. ,
dan untuk anuitas hidup yang ditunda yakni : = ∫
. .
Jika perumusan anuitas hidup berjangka n tahun dan anuitas hidup yang ditunda n
tahun untuk perorangan berdasarkan tabel mortalita dan persamaan (2.33), (2.116)
dan (2.117), maka perumusan menjadi sebagai berikut:
= ∫
.
∫
.
= ∫
.
∫
.
(2.114)
(2.115)
(2.117)
(2.116)
(2.118)
(2.119)
54
Berdasarkan (2.17), (2.54), (2.61), (2.118) dan (2.119), maka anuitas hidup
berjangka n tahun dan anuitas hidup yang ditunda n tahun untuk joint life untuk
2(dua) dan 3(tiga) orang perumusan secara kontinu menjadi sebagai berikut:
(i). Untuk 2 orang yang berusia x dan y, yakni :
= ∫
.
∫
.
∫
.
= ∫
.
∫
.
∫
.
(ii). Untuk 3 orang yang berusia x, y dan z, yakni :
= ∫
.
∫
.
∫
.
= ∫
.
∫
.
∫
.
2.10 Fungsi Kerugian dan Prinsip Ekuivalensi
Loss function (fungsi kerugian) dengan maksud bahwa output (nilai benefit yang
dibayarkan penanggung) dikurang input (nilai premi tahunan yang dibayarkan
Nasabah). Jika hasilnya sama dengan nol (0), maka disimpulkan tidak terjadi
(2.122)
(2.123)
(2.120)
(2.121)
55
kerugian di antara kedua pihak (pihak tertanggung ataupun pihak
penanggung),berarti menggunakan prinsip ekuivalensi atau prinsip keseimbangan,
tetapi jika hasilnya positif, maka telah terjadi kerugian dari pihak perusahaan dan
jika hasilnya negatif, maka pihak nasabah yang mengalami kerugian.
Menurut Sembiring (1986), adanya pedoman bahwa “Nilai premi yang akan
datang = Nilai santunan yang akan datang”, persamaan dasar ini adalah suatu
pedoman yang sehat dan adil, tidak merugikan atau menguntungkan si
tertanggung maupun si perusahaan asuransi. Perhitungan premi oleh setiap
perusahaan asuransi wajib menggunakan pedoman dasar ini dan pemerintah
berkewajiban mengawasi perusahaan asuransi agar menerapkan gagasan ini, tetapi
tidak berarti bahwa perusahaan asuransi akan rugi, setiap perusahaan tentu
menginginkan keuntungan, keuntungan dapat diperoleh dari investasi dana yang
tersedia, biaya administrasi, dan dari selisih antara table mortalita yang digunakan
dengan keadaan yang sesunggungnya. Sedangkan tertanggung juga mendapat
keuntungan yaitu memiliki rasa aman selama ia telah mendaftar ke sebuah
asuransi yang ia butuhkan, prinsip ekuivalensi mempunyai syarat bahwa E(L) = 0.
Penjabaran mengenai fungsi kerugian dengan prinsip ekuivalensi, sebagai berikut:
E(L) = 0
E(L) = B ( ) - . E( )
. E( ) = B. ( ),
keterangan:
B. ( ) = Output (Nilai benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung).
. E( ) = Input (Nilai premi tahunan).
(2.124)
56
B = Besarnya benefit (Besarnya uang pertanggungan yang dibayarkan oleh
perusahaan).
= Besarnya premi tahunan (Besarnya uang premi setiap tahunnya yang
dibayarkan oleh nasabah).
Dari Perumusan di atas dapat disimpulkan bahwa nilai benefit yang dikalikan
premi tunggal harus senilai dengan premi tahunan yang dikalikan anuitas. Adanya
prinsip ekivalensi ini dapat ditentukannya besar premi tahunan dan juga dapat
ditentukan premi tahunan untuk berbagai jenis asuransi jiwa.
2.11 Premi Tahunan Asuransi Jiwa
Dalam asuransi jiwa, cara pembayaran premi yang dilakukan setiap tahun disebut
premi tahunan. Jadi premi tahunan adalah pembayaran premi asuransi yang
dilakukan setiap tahun dimulai tahun pertama setelah penandatanganan polis.
Berdasarkan cara pembayaran benefitnya premi tahunan secara kontinu adalah
premi tahunan yang benefitnya diberikan langsung sesaat tertanggung meninggal.
Dalam perhitungan premi tahunan, salah satu cara mencari besar premi tahunan
dapat dengan prinsip ekuivalensi, untuk pemahaman lebih dalam mengenai
perhitungan premi tahunan dengan prinsip ekuivalensi, akan diberikan sebuah
contoh kasus untuk menentukan premi tahunan dalam sebuah asuransi jiwa.
Misal menentukan perumusan premi tahunan asuransi jiwa seumur hidup secara
kontinu dengan pembayaran premi yang dilakukan setiap tahunnya, dimulai saat
penandatangan polis sampai selama seumur hidupnya, jika tertanggung meninggal
maka proses pembayaran premi tersebut dihentikan, dan ahli warisnya akan
57
mendapatkan benefit sebesar 1 satuan yang akan diberikan langsung sesaat
tertanggung meninggal. Berdasarkan (2.124) dirumuskan sebagai berikut :
E (L) = E [B.Vk+1
– ( ). ]
E (L) = B. E (Vk+1
) – . E( )
0 = 1. x – .
0 = – .
. = x
=
Jadi, adalah besarnya premi tahunan yang dibayarkan disetiap tahun untuk
asuransi jiwa seumur hidup secara kontinu.
(2.125)
58
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada semester ganjil tahun ajaran
2019/2020.
3.2 Data Penelitian
Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan data yang diambil dari Tabel
Mortalita Indonesia (TMI) 2011 untuk laki-laki dan perempuan.
3.3 Metode Penelitian
Dalam penelitian ini berdasarkan rincian kontrak asuransi sebagai berikut :
1. Kasus untuk perorangan yang berusia x tahun
(i). Jika peserta berusia x tahun, tetap hidup sampai kontrak asuransi beakhir,
maka peserta tersebut mendapatkan benefit sebesar Q.
(ii). Jika peserta berusia x tahun tersebut, meninggal sebelum kontrak asuransi
berakhir, maka ahli waris akan langsung mendapat benefit sebesar J.
59
2. Kasus untuk joint life 2 (dua) orang berusia x dan y tahun.
(i). Jika peserta joint life keduanya tetap hidup sampai kontrak berakhir , maka
peserta tersebut mendapatkan benefit sebesar Q.
(ii).Jika peserta joint life salah satu darinya meninggal, misal x meninggal sebelum
kontak berakhir, maka pembayaran premi dihentikan dan jika y tetap hidup
hingga kontrak berakhir (usia y+n), maka y pada tahun ke-n akan
mendapatkan benefit sebesar Ry setiap akhir tahun selama seumur hidupnya.
Begitu pula sebaliknya, jika y meninggal sebelum kontrak berakhir maka
pembayaran premi dihentikan, dan x tetap hidup hingga kontrak berakhir
(usia x+n), maka x pada tahun ke-n akan mendapatkan benefit sebesar Rx
setiap akhir tahun selama seumur hidupnya.
(iii).Jika peserta joint life keduanya meninggal pada tahun yang sama sebelum
kontrak berakhir, maka ahli waris akan mendapatkan benefit sebesar J.
(iv).Jika keduanya meninggal di tahun yang berbeda sebelum kontrak asuransi
berakhir, maka tidak mendapat benefit.
3. Kasus untuk joint life 3 (tiga) orang berusia x, y, dan z tahun :
(i). Jika peserta joint life ketiganya tetap hidup sampai kontrak berakhir , maka
peserta tersebut mendapatkan benefit sebesar Q.
(ii). Jika peserta joint life salah satu darinya meninggal sebelum kontrak berakhir,
misal x meninggal, maka pembayaran premi dihentikan dan jika y serta z tetap
hidup hingga kontrak berakhir (usia y+n & z+n) maka y dan z padatahun ke-n
akan mendapatkan benefit sebesar Ryz setiap akhir tahun seumur hidupnya.
Begitu pula sebaliknya, akan mendapat benefit sebesar Rxz jika y meninggal
60
sebelum kontrak berakhir dan akan mendapatkan benefit sebesar Rxy jika z
meninggal.
(iii).Jika 2(dua) orang peserta joint life dari 3(tiga) orang tersebut meninggal
sebelum kontrak berakhir dan 1(satu) peserta lainya masih tetap hidup hingga
kontrak berakhir, misal x dan y meninggal maka z mulai tahun ke-n , maka
akan mendapatkan uang benefit sebesar Rz setiap akhir tahun selama seumur
hidupnya. Begitu juga sebaliknya, akan benefit sebesar Ry jika x dan z
meninggal dan benefit sebesar Rz jika xdan y meninggal sebelum masa
kontrak berakhir.
(iv).Jika peserta joint life ketiganya meninggal sebelum kontrak berakhir, maka
ahli waris akan mendapatkan benefit sebesar J.
(v). Jika ketiganya meninggal di tahun yang berbeda sebelum kontrak asuransi
berakhir, maka tidak mendapat benefit.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan untuk menentukan perumusan premi
tahunan ( ) sebagai berikut :
1. Menentukan perumusan peluang hidup untuk perorangan , dan
joint life .
2. Menentukan perumusan laju tingkat kematian untuk perorangan 𝜇 ( ), 𝜇 ( ),
𝜇 ( ) dan joint life 𝜇 ( ) 𝜇 ( )
3. Menentukan perumusan premi tunggal asuransi jiwa berjangka untuk
perorangan
dan joint life
.
4. Menentukan perumusan premi tunggal asuransi endowmen murni untuk
perorangan
,
dan joint life
.
61
5. Menentukan perumusan premi tunggal asuransi jiwa dwiguna untuk
perorangan
dan joint life
.
6. Menentukan perumusan anuitas hidup berjangka n tahun untuk perorangan
dan joint life
7. Menentukan perumusan anuitas hidup yang ditunda n tahun untuk perorangan
dan joint life .
8. Menentukan perumusan nilai premi tahunan [ . E( )] perorangan dan joint
life untuk 2(dua) dan 3(tiga) orang.
9. Menentukan perumusan nilai benefit yang dibayarkan penanggung [B. ( )]
perorangan dan joint life untuk 2(dua) dan 3(tiga) orang.
10. Menentukan perumusan premi tahunan ( ) berdasarkan prinsip ekuivalensi
untuk perorangan dan joint life untuk 2(dua) dan 3(tiga) orang.
Selanjutnya langkah-langkah untuk menghitung besarnya premi tahunan ( )
perorangan dan joint life untuk 2(dua) dan 3(tiga) orang untuk contoh kasus
tertentu sebagai berikut:
1. Menghitung peluang hidup untuk perorangan , dan joint
life .
2. Menghitung laju tingkat kematian untuk perorangan 𝜇 ( ), 𝜇 ( ), 𝜇 ( ) dan
joint life 𝜇 ( ) 𝜇 ( )
3. Menghitung premi tunggal asuransi jiwa berjangka untuk perorangan
dan joint life
.
62
4. Menghitung premi tunggal asuransi jiwa endowmen murni untuk perorangan
,
dan joint life
.
5. Menghitung premi tunggal asuransi jiwa dwiguna untuk perorangan
dan joint life
.
6. Menghitung anuitas hidup berjangka n tahun untuk perorangan
dan joint life
7. Menghitung anuitas hidup yang ditunda n tahun untuk perorangan
dan joint life .
8. Menghitung premi tahunan ( ) untuk perorangan dan joint life untuk 2(dua)
dan 3(tiga) orang, selanjutnya membandingkannya.
105
V. KESIMPULAN
Berdasarkan analisis dan pembahasan pada bab sebelumnya dapat disimpulkan
bahwa premi tahunan joint life yang ditentukan dengan prinsip ekuivalensi secara
kontinu yang telah dihitung dan dijelaskan pada penelitian ini, maka dapat
diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Perumusan premi tahunan joint life untuk 2 (dua) orang sebagai berikut:
= ( (
)) ( ) ( ) ( (
)
.
2. Perumusan premi tahunan joint life untuk 3 (tiga) orang sebagai berikut:
=
[( (
)) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ( )]
.
3. Dari hasil perhitungan yang dilakukan bahwa premi tahunan joint life untuk
tiga orang hanya sedikit lebih besar dibandingkan untuk dua orang, ini bisa
dijadikan bahan pertimbangan untuk memilih jenis asuransi yang diinginkan.
4. Faktor-faktor yang mempengaruhi besarnya premi tahunan yaitu lamanya
jangka waktu asuransi (periode), usia saat penandatangan polis, tingkat suku
bunga, peluang hidup, laju tingkat kematian, besarnya benefit yang akan
diberikan, dan juga dipengaruhi oleh peluang meninggal.
1
DAFTAR PUSTAKA
Bhuana, T.Y., Widana, I.N., & Harini, L.P.I., 2015. Menentukan Premi Tahunan
Untuk Tiga Orang Pada Asuransi Jiwa Hidup Gabungan (Joint Life). Jurnal
Matematika. 4(4): 195-200.
Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J.C., Jones, D.A., & Nesbitt, C.J., 1997.
Actuarial Mathematics. Edisi ke-2. The Society of Actuaries, Schaumburg.
Futami, T., 1993. Matematika Asuransi Jiwa Bagian I. Herliyanto G,
penerjemah. Incorporated Foundation Oriental Life Insurance Cultural
Development Center, Tokyo.
Futami, T., 1994. Matematika Asuransi Jiwa Bagian II. Herliyanto G,
penerjemah. Incorporated Foundation Oriental Life Insurance Cultural
Development Center, Tokyo.
Kellison, S. G., 1991. The Theory Of Interest. Edisi ke-2. Richard D. Irwin, Inc.,
USA.
Matvejevs, A. & Matvejevs, A., 2001. Insurance Models for Joint Life and Last
Survivor Benefit. Jurnal Informatica. 12(4): 547-558.
Sembiring, R.,1986. Buku Materi Pokok Asuransi I Modul 1-5. Karunika
Universitas Terbuka, Jakarta.
Walpole, R.E., 2017. Pengantar Statistika. Edisi ke-3. Gramedia Pustaka
Utama, Jakarta.