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MECANICA CLASICA —— Tarea 1: Introducción a la Notación Indicial - Matrices, Vectores yCálculo Vectorial

FACULTAD DE CIENCIASDEPARTAMENTO DE FISICA

TAREA # 1MECANICA CLASICA

INTRODUCCION A LA NOTACION INDICIAL - MATRICES, VECTORESY CALCULO VECTORIAL

Prof. Terenzio Soldovieri C.BBPin: 568EEB0F - Whatsapp: +584124271575

URL: www.cmc.org.ve/tswebe-mails: [email protected] (institucional); [email protected];

[email protected] guía: Soldovieri C., T. INTRODUCCION A LA MECANICA CLASICA. 1era ed

(preprint), 2017. Avances del texto disponibles (en redacción y revisión) en la webwww.cmc.org.ve/tsweb

Ultima actualización de esta tarea: 21/06/2017.

Indicaciones:

Resuelva cada uno de los siguientes planteamientos marcados con plasmandoen su hoja todos y cada uno de los cálculos realizados, es decir, NO REALICE CALCU-LOS “DIRECTOS”. El resto de los problemas queda como ejercitación y no deben seranexados en la tarea a entregar. La tarea debe ser entregada en hojas tipo exam-en o en hojas blancas tipo carta u oficio (nuevas o recicladas), a lápiz, sin carpeta ydebidamente engrapadas. No tiene que anexar la presente hoja ni reescribirla en sutarea, sólo debe colocar el número correspondiente al problema a resolver. La tarea yel examen son inseparables, es decir, de faltar uno de los dos, la calificación total serácero.

MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, 2017. República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 1 / 163

Terenzio Soldovieri

Corregido

Terenzio Soldovieri

Cerebro ejercitando


Puntuación: 10 puntos, los cuales serán sumados al evaluativo del capítulo 1 si esaprobado.

Entrega: el día fijado para el examen del capítulo 1. Sin prórroga.

1. La figura 1 muestra un segmento de recta ubicado en un sistema de coorde-nadas .Este sistema es rotado un ángulo cualquera alrededor de un eje

Figura (1): Problema 1.

arbitrario que pasa por su origen, obteniéndose así el sistema . Mostrarque,

partiendo de que la longitud del segmento es la misma en ambos sistemas,indicando que la transformación la mantiene invariante.

2. Considérese el producto,

donde y son dos vectores conocidos. Es claro que esta ecuación no definede manera única, puesto que alguna componente de a lo largo de podría nocontribuir al producto vectorial. Sin embargo, considérese adicionalmente que secumple simultáneamente el producto,

donde es un escalar conocido. Mostrar que es posible resolver para el sistemaformado por las dos ecuaciones anteriores de forma que ( ),



sin hacer uso de alguna identidad vectorial conocida. Ayuda: parta expresando elproducto en notación indicial.

3. Mostrar, mediante consideraciones trigonométricas, que los cosenos directores ,, de una semirrecta en el espacio, como la mostrada en la figura 2, sat-

isfacen la identidad trigonométrica,


4. A un sistema de coordenadas se le efectúa una rotación alrededorde su eje un ángulo de en sentido antihorario. La anterior rotación también sepuede efectuar mediante dos rotaciones sucesivas de ángulos y alrededor deleje en sentido antihorario. Comparando la matriz de transformación del primercaso con la del segundo, mostrar que se cumplen las relaciones trigonométricas:

5. Mostrar, mediante consideraciones trigonométricas, que el coseno del ánguloque forman entre sí dos semirrectas A y B en el espacio (ver figura 3) viene da-do por,

A B A B A B

donde A, A, A son los cosenos directores de la semirrecta A y B,

B, B los de la semirrecta B.Mostrar, además, que la expresión,




del problema 3 es su consecuencia directa, teniéndola como válida para la solu-ción del presente problema.

6. La figura 4 muestra un sistema de coordenadas que fue rotado un ánguloalrededor de su origen en sentido antihorario, para obtener así el sistema de

coordenadas . Muestre que las coordenadas no primadas del puntoen función de sus correspondientes primadas vienen dadas por,

usando simple geometría y trigonometría, sin hallar primeramente las coordenadasprimadas en función de las no primadas.




7. La figura 5a muestra un sistema de coordenadas respecto del cual seubica el punto y que fue rotado un ángulo alrededor de su origen en sentidoantihorario, obteniéndose así el sistema de coordenadas (a este tipo derotación se le llama Rotación Pasiva). La situación equivalente es mostrada en lafigura 5b, en la cual se ha mantenido fijo el sistema y se ha rotado el punto

alrededor del origen un ángulo , pero en sentido opuesto a la rotación real-izada en la figura 5a y de tal manera que su distancia a permanezca constante,obteniéndose así el punto (a este tipo de rotación se le llama Rotación Activa).Muestre, a partir de la figura 5b y usando simple geometría y trigonometría, que lascordenadas de en función de las coordenadas de vienen dadaspor,


8. Si es un vector arbitrario y un vector unitario en alguna dirección fija mostrar,usando notación indicial, que se cumple la expresión,

¿Cuál es el significado geométrico de los dos términos del miembro derecho deesta expresión?.

9. Se rota un sistema de coordenadas un ángulo de en sentidoantihorario, alrededor de un eje que forma ángulos iguales con sus tres ejes co-ordenados y que pasa por su origen. Luego, el sistema resultante esrotado un ángulo de en sentido antihorario alrededor del eje , obteniéndoseasí un sistema . Determinar:



a) La matriz de transformación que permite pasar de a . Resp.: .

b) La matriz de transformación que permite pasar de a . Resp.: .

10. Un sistema de coordenadas se rota un ángulo de en sentidoantihorario alrededor del eje , obteniéndose así el sistema . Luego,el sistema resultante se rota un ángulo de en sentido antihorarioalrededor de un eje contenido en su plano , que forma ángulos iguales consus ejes y , obteniéndose así el sistema .

a) Encontrar la matriz de transformación que permite pasar de a . Resp.:

.

b) Dado el vector de posición , mostrar que .

11. Se rota un sistema de coordenadas un ángulo de en sentido an-tihorario alrededor de un eje que pasa por su origen y que forma ángulos igualescon sus tres ejes coordenados, obteniéndose de esta forma el sistema .Luego, el sistema resultante es rotado en sentido antihorario alrede-dor de su eje , obteniéndose el sistema . Determinar:

a) La matriz de transformación que permite pasar de a . Resp.: .

b) La matriz de transformación que permite pasar de a . Resp.: .

12. Se rota un ángulo (en sentido antihorario) un sistema alrededor de uneje que forma ángulos iguales con sus tres ejes coordenados.

a) Muestre que la matriz de transformación que permite pasar del sistemaal nuevo sistema viene dada por,



b) Usando esta matriz, verifique la matriz de transformación que permite pasar delsistema al sistema en el problema 11.

13. Rotación de un sistema de coordenadas Cartesianas, un ángulo alrededor de uneje que pasa por su origen y el punto . La figura 6 muestra la rotación en un ángulo

(en sentido antihorario) de un sistema de coordenadas alrededor deun eje que pasa por su origen y el punto de coordenadas , cuyadirección viene dada por el vector unitario de componentes ,

respecto a dicho sistema, obteniéndose así el sistema .


a) Considérese el cambio del eje al eje , como se muestra en la figura 7. El vec-tor unitario puede ser descompuesto en dos componentes: una paralelaal eje y otra perpendicular al mismo,

Mostrar que,




b) De forma análoga, el vector unitario puede ser descompuesto como,

Si en el plano de rotación que contiene a los vectores y se crea una basede dos dimensiones, de vectores base y , mostrar que es posible escribir,

c) Mostrar que,

que es la expresión que relaciona los viejos vectores unitarios con losnuevos vectores unitarios .

d) Los elementos de la matriz de transformación vienen dados por las proyec-ciones (componentes) de los vectores unitarios sobre las direcciones de losviejos ejes , y (dadas por los vectores unitarios , y respectivamente),es decir, por la expresión,

Mostrar que,

e) Mostrar que la matriz de transformación que permite pasar del viejo sistemaal nuevo sistema viene dada por,



donde , y son las componentes del vector unitario en el sistema .

f ) Por último, mostrar que la anterior matriz se reduce a la obtenida en el problema12 cuando se considera un eje de rotación que forma ángulos iguales con losejes coordenados del sistema original .

14. Un sistema de coordenadas se obtiene rotando un sistema de coor-denadas un ángulo de en sentido antihorario alrededor de un ejeque pasa por su origen y por el punto de coordenadas .

a) Usar el resultado 13d del problema 13 para encontrar la matriz de transformación

que permite pasar de a . Resp.: .

b) Un vector tiene componentes en , ¿cuáles son sus componentes en?. Resp.: .

15. Probar que las siguientes transformaciones son ortogonales,

a)

b)

c)

16. Posición, Velocidad y Aceleración en coordenadas cilíndricas, a partir de larotación de un sistema de coordenadas . Dado el sistema de coordena-das y vectores unitarios , rotarlo alrededor del eje un ángulo

en sentido antihorario (que genera la coordenada cilíndrica ) para así obtenerel sistema de coordenadas y vectores unitarios .

a) Mostrar que la matriz de transformación que permite pasar del sistema alviene dada por,

(1)

que es la matriz de transformación que permite pasar de las coordenadas carte-sianas a las cilíndricas.



b) Se sabe que los vectores unitarios , y se transforman mediante .Usando esta transformación y la matriz (1) mostrar que,

(2)

donde, con la ayuda de las figuras 8a y b, se puede identificar,

(3)

que son los vectores unitarios base de las coordenadas cilíndricas. Se ha usadouna en la coordenada cilíndrica radial para distinguirla del módulo del vectorde posición .Con (3) se indentifica que en las transformaciones, de aquí en

Figura (8): Problema 16. (a) Coordenadas cilíndricas. (b) descomposición de los vectores unitarios ,y en función de los vectores unitarios cartesianos , y .

adelante, la componente en se refiere a la componente en la dirección de, la en la dirección de y la en la dirección de .

c) Se sabe que la relación entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas es,

(4)



y que en coordenadas cartesianas el vector de posición es,

(5)

por lo tanto, este vector se puede escribir como,

(6)

que no es el vector de posición escrito en coordenadas cilíndricas, pues aúnaparecen los vectores unitarios cartesianos , y . Este vector expresado enfunción de sus componentes cilíndricas tiene que tener la forma,

(7)

Como se sabe, las componentes de un vector cualquiera se transforman me-diante,

(8)

Usando esta transformación y la matriz (1) mostrar que,

(9)

donde, en concordancia con (3),

(10)

son las componentes del vector de posición en coordenadas cilíndricas. Por lotanto, a partir de (7) y (9), finalmente es posible escribir,

(11)

que es la posición en coordenadas cilíndricas.

d) A partir de (6), mostrar que la velocidad se puede escribir como,

(12)

que no es la velocidad escrita en coordenadas cilíndricas, pues aún aparecenlos vectores unitarios cartesianos , y .



e) La velocidad expresada en función de sus componentes en coordenadas cilín-dricas es,

(13)

Usando la transformación (8) y la matriz (1) mostrar que,

(14)


(15)

son las componentes de la velocidad en coordenadas cilíndricas. Por lo tanto,a partir de (13) y (14), finalmente es posible escribir,

(16)

que es la velocidad en coordenadas cilíndricas.

f ) A partir de (6) o a partir de (12), mostrar que la aceleración se puede escribircomo,

(17)

que no es la aceleración escrita en coordenadas cilíndricas, pues aún aparecenlos vectores unitarios cartesianos , y . ¿Por qué no se usó (16) para obtenerla aceleración?.

g) La aceleración expresada en función de sus componentes en coordenadascilíndricas es,

(18)


(19)




(20)

son las componentes de la aceleración en coordenadas cilíndricas. Por lo tanto,a partir de (18) y (19), finalmente es posible escribir,

(21)

que es la aceleración en coordenadas cilíndricas.

17. Posición, Velocidad y Aceleración en coordenadas esféricas, a partir de larotación de un sistema de coordenadas . Dado el sistema de coordena-das y vectores unitarios , rotarlo alrededor de su eje un ángulo

en sentido antihorario para así obtener el sistema de coordenadas yvectores unitarios , lo que genera la coordenada esférica (azimut). Ahora,al sistema rotarlo alrededor de su eje un ángulo en sentido antihorario paraasí obtener el sistema de coordenadas y vectores unitarios ,generándose así la coordenada esférica (colatitud).

a) Mostrar que la matriz de transformación que permite pasar del sistema alviene dada por,

(1)

que es la matriz de transformación que permite pasar de las coordenadas carte-sianas a las esféricas.

b) Se sabe que los vectores unitarios , y se transforman mediante .Usando esta transformación y la matriz (1) mostrar que,

(2)

donde, con la ayuda de la figura 9 y una descomposición vectorial del estilo dela mostrada en la figura 8b del problema 16, se puede identificar,

(3)




que son los vectores unitarios base de las coordenadas cilíndricas.Con (3) seindentifica que en las transformaciones, de aquí en adelante, la componenteen se refiere a la componente en la dirección de , la en la dirección dey la en la dirección de .

c) Se sabe que la relación entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas es,

(4)

y que en coordenadas cartesianas el vector de posición es,

(5)

por lo tanto, este vector se puede escribir como,

(6)

que no es el vector de posición escrito en coordenadas esféricas, pues aúnaparecen los vectores unitarios cartesianos , y . Este vector expresado enfunción de sus componentes esféricas tiene que tener la forma,

(7)

Como se sabe, las componentes de un vector cualquiera se transforman me-diante,

(8)



Usando esta transformación y la matriz (1) mostrar que,

(9)


(10)

son las componentes del vector de posición en coordenadas esféricas. Por lotanto, a partir de (7) y (9), finalmente es posible escribir,

(11)

que es la posición en coordenadas esféricas.

d) A partir de (6), mostrar que la velocidad se puede escribir como,

(12)

que no es la velocidad escrita en coordenadas esféricas, pues aún aparecenlos vectores unitarios cartesianos , y .

e) La velocidad expresada en función de sus componentes en coordenadas es-féricas es,

(13)


(14)


(15)



son las componentes de la velocidad en coordenadas esféricas. Por lo tanto, apartir de (13) y (14), finalmente es posible escribir,

(16)

que es la velocidad en coordenadas esféricas.

f ) A partir de (6) o a partir de (12), mostrar que la aceleración se puede escribircomo,

(17)

que no es la aceleración escrita en coordenadas esféricas, pues aún aparecenlos vectores unitarios cartesianos , y . ¿Por qué no se usó (16) para obtener(17)?.

g) La aceleración expresada en función de sus componentes en coordenadas es-féricas es,

(18)


(19)


(20)

son las componentes de la aceleración en coordenadas esféricas. Por lo tanto,



a partir de (18) y (19), finalmente es posible escribir,

(21)

que es la aceleración en coordenadas esféricas.

18. Dada la matriz,

evaluar:

a) . Resp.: .

b) . Resp.: .

c) . Resp.: .

d) . Resp.: .

e) . Resp.: , , , , , ,, , .

19. Determinar, justificando cada elección, ¿cuáles de las siguientes expresionestienen idéntico significado a la expresión ? y ¿cuáles no?:

a) .

b) .

c) .

d) .

20. Si y son dos matrices cuadradas de orden entonces:

a) Mostrar que,

Ayuda: parta del desarrollo del usando, por ejemplo, la regla de Sarrus.



b) Mostrar que,

a partir de la expresión dada en 20a. Ayuda: téngase presente la relación Epsilon-Delta con todos sus índices libres,

y la relación Epsilon-Delta con un índice mudo,

c) Mostrar que,

a partir de la expresión dada en 20b.

21. Mostrar que,

atendiendo los siguientes pasos,

a) Propóngase la identidad,

b) Ahora multiplíquese la anterior expresión por .

c) Por último, elíjase un caso particular de la expresión obtenida en el paso 21bpara así encontrar el valor de . Este valor debe ser,

quedando así mostrado lo pedido. Ayuda: en este paso, téngase presente quepara una matriz cuadrada de orden ,

22. Partiendo de,

mostrar que,

donde es una matriz cuadrada de orden y son sus elementos.

23. Mostrar que es un vector, donde es una función escalar.



24. Supóngase que las filas , y de la matriz cuadrada de orden son interpre-tadas como las componentes, en una base dada, de los vectores ,

y respectivamente. Mostrar, usando notación indi-cial, que el puede ser escrito como,

lo cual quiere decir que es el volumen del paralelepípedo definido por losmencionados vectores.

25. Si , , , y , muestre las siguientesexpresiones vectoriales usando notación indicial:

a) .

b) (Identidad de Jacobi).

c) .

d) .

e) .

f ) .

g) .

h) .

i) , si .

j) .

k) .

l) .

m) .

n) .

ñ) .

o) .

p) .



26. Escribir en forma desarrollada las siguientes expresiones indiciales:

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

27. Si , son dos matrices inversibles y es un escalar no nulo, mostrar que:

a) .

b) El producto es inversible.

c) .

d) .

e) .

28. Determinar el valor de para que la matriz de transformación,

sea ortogonal. Resp.: . El caso corresponde a una rotación dealrededor del eje y en sentido antihorario, mientras que el caso no cor-responde a una rotación.

29. Si , , son vectores y un escalar, mostrar que:

a) .

b) .

c) .

d) .

30. Mostrar que:

a) pseudovector pseudovector pseudovector.

b) pseudovector vector vector.



c) vector vector pseudovector.

d) pseudovector pseudovector escalar.

e) pseudovector vector pseudoescalar.

f ) vector vector escalar.

31. Si se tienen las funciones vectoriales , y la función escalar, donde es una variable escalar, mostrar que:

a) .

b) .

c) , donde es un escalar constante.

32. Demuéstrese la relación Epsilon-Delta,

realizando cada uno de los siguientes pasos:

a) Siguiendo la regla de los índices, los únicos términos que tienen índices libresposibles de construir usando las son,

, y

pudiéndose escribir,

donde , y son constantes indeterminadas. Inmediatamente, es posibledarse cuenta que ¿por qué?.

b) Al multiplicar ambos miembros de la expresión obtenida en 32a por , se lograuna relación entre y . ¿Cuál es esta relación?. Resp.: .

c) Por otro lado, al multiplicar nuevamente la expresión obtenida en 32a pero aho-ra por y después tomando un caso especial, por ejemplo, , es posi-ble encontrar una nueva relación entre y . ¿Cuál es esta relación?. Resp.:

.

d) Ahora, al resolver el sistema de ecuaciones formado por la ecuación obtenidaen 32b y la obtenida en 32c, es posible encontrar el valor de y de .¿cuálesson estos valores?. Resp.: , .



e) Por último, al sustituir los valores de y obtenidos en 32d en la expresión prop-uesta en 32a,después de hacer , resulta finalmente la relación Epsilon-Delta. Verifcarlo.

33. El producto de dos símbolos de Levi-Civita puede ser expresado como una fun-ción de los símbolos Delta de Kronecker mediante,

Mostrar que:

a) Al hacer y se obtiene .

b) Al hacer , y se obtiene .

34. Desarrollando las sumatorias planteadas, mostrar que:

a) .

b) si .

c) , donde los son los vectores unitarios base de las coordenadascartesianas y es una función escalar que tiene derivadas cruzadasiguales.

d) , donde son funciones escalares que tienen derivadascruzadas iguales.

35. Si , son el vector de posición y su módulo; , (a menos que seespecifique otra cosa) son dos funciones escalares y es un escalar constante, usarnotación indicial para mostrar que:

a) , donde es una función escalar y un es-calar constante.

b) , donde es una función escalar.

c) .

d) , donde es una función escalar.

e) .

f ) .

g) .

h) .



i) , donde es una función escalar.

j) .

k) .

l) .

m) .

n) , .

ñ) , donde es una función escalar.

o) , caso especial del anterior.

p) , si y son dos vectores constantes.

q) .

r) .

s) .

t) , lo cual significa que las dos familias de vectores y sonortogonales y forman bases recíprocas.

36. Si , son dos matrices cuadradas de orden y un escalar, mostrar que:

a) .

b) .

c) .

37. Dados,

mostrar que,

38. Dada la expresión,



en la que y son escalares constantes, y ; mostrar que al sustituirlaen,

resulta,

donde . Aquí y son consideradas variables independientes entre sí, por

lo que . Téngase presente también que y .

39. Una partícula se mueve de forma tal que su vector posición mantiene unamagnitud constante. Mostrar, usando notación indicial, que la velocidad de la partícu-la es perpendicular a . Interprete geométricamente.

40. Si y son dos funciones vectoriales y una función escalar, todas funciones delas variables escalares , y , entonces mostrar que:

a) .

b) .

c) .

d) .

41. Si , son dos matrices y un escalar, mostrar que:

a) .

b) .

c) .

d) .

42. Muestre que si es una matriz antisimétrica, entonces es simétrica.

43. Sabiendo que es el vector de posición, la velocidad, la aceleración y ,dos escalares constantes:

a) Resolver la integral . Resp.: , donde esun escalar constante.

b) Resolver la integral . Resp.: , donde es un vector con-stante.



44. Si es una matriz cuadrada de orden entonces:

a) Mostrar que,

a partir de,

Nótese que no es la misma del problema 20. Ayuda: téngase presente la relaciónEpsilon-Delta con todos sus índices libres,

y la relación Epsilon-Delta con un índice mudo,

b) Mostrar que,

a partir de la expresión dada en 44a. Nótese que no es la misma del problema20.

45. Para una matriz cuadrada de orden se cumple que,

Para cada una de las anteriores expresiones, mostrar que:

a) .

b) ......

....

c) .

d) , si y (matriz cuadrada de orden ) sólo difieren en elintercambio de dos filas o de dos columnas.

e) , si tiene dos filas o dos columnas idénticas.

f ) .

g) .



46. Se rota un sistema de coordenadas un ángulo de en sentido an-tihorario, alrededor de un eje que forma ángulos iguales con sus tres ejes coorde-nados y que pasa por su origen. Luego, el sistema resultante es rotadoun ángulo de en sentido antihorario alrededor de un eje , que forma ángu-los iguales con sus tres ejes coordenados y que pasa por su origen, obteniéndoseasí un sistema . Determinar:

a) La matriz de transformación que permite pasar de a . Resp.:

b) La matriz de transformación que permite pasar de a . Resp.:

47. Se rota un sistema de coordenadas un ángulo de en sentidoantihorario alrededor de un eje contenido en su plano , que forma ángu-los iguales con sus ejes y , obteniéndose así el sistema . Luego, elsistema resultante es rotado un ángulo de en sentido antihorarioalrededor de un eje , que forma ángulos iguales con sus tres ejes coordenados yque pasa por su origen, obteniéndose así un sistema . Determinar:

a) La matriz de transformación que permite pasar de a . Resp.:

b) La matriz de transformación que permite pasar de a . Resp.:


tarea # 1 - cmc.org.ve · tarea, sólo debe colocar el número correspondiente al problema a...

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