tarea 1 formas canonicas
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Sección de Estudios de Posgrado e Investigación
ESIME-ZACATENCO
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Análisis de Sistemas Lineales
Tarea Número 1
Elaboro: Profesor: Dr. David Romero Romero
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ………………………………………..3
F. CANONICA OBSERVADOR ………………………………………..4
F. CANONICA CONTROLADOR ………………………………………..6
F. CANONICA OBSERVABILIDAD ………………………………………..8
F. CANONICA CONTROLABILIDAD ………………………………………..9
F. CANONICA JORDAN ………………………………………..10
F. CANONICA DIAGONAL ………………………………………..16
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
INTRODUCCION
MODELOS DE ESTADO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Los modelos de ecuaciones diferenciales ordinarias de un circuito o sistema reflejan relaciones diferenciales entre la entrada de un sistema y la salida del mismo. Por ejemplo si indica una entrada escalar y una salida escalar, y si , entonces un modelo de ecuación diferencial ordinaria de nth orden tiene la forma
De aquí en adelante, las condiciones iniciales serán consideradas de valor cero. La ecuación 4.1 describe un modelo tipo entrada-salida a menudo llamado una descripción externa del sistema. La clave del asunto es poder elegir variables de estado y construir modelos de estado significativos para sistemas representados por modelos externos. La forma de la ecuación 4.1 sugiere hacer que la elección sea una combinación lineal de las variables
derivadas de las entradas y salidas. Así como es la derivada de mayor orden que aparece, hay una necesidad de variables de estado. Se pueden tomar diferentes decisiones elecciones respecto a las variables de estado por lo tanto se producirán diferentes modelos de estado. En consecuencia, un modelo de estado para un sistema dado o circuito no es único. De todas las elecciones posibles para formar un modelo de estado hay algunas que caben dentro de la clasificación de formas canónicas, entre las mas conocidas están:
Forma canónica observador Forma canónica controlador Forma canónica observabilidad Forma canónica controlabilidad
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
FORMA CANÓNICA OBSERVADOR
Mediante el siguiente ejemplo se mostrará la aplicación de la forma canónica observador para
la descripción externa del sistema siguiente:
Considérese para el presente que todas las condiciones iníciales son cero.
Como una notación conveniente, se define
como el operador derivada. El
operador análogo inverso , representa al operador integral. Entonces con esta notación, la
ecuación 4.5 se convierte en
Combinando términos en potencias de D en el lado derecho y luego multiplicando a la
izquierda por da
[ ] [ ] [ ]
Definiendo la variable de estado y entonces diferenciando la ecuación 4.7 por la
multiplicación D en la izquierda se obtiene
[ ] [ ] [ ]
Después de sustituir por , definimos implícitamente por medio de la ecuación
[ ]
Por lo tanto,
[ ] [ ]
Lo que implica que
[ ] [ ]
Definiendo de forma similar a obtenemos
[ ]
Y en consecuencia
[ ]
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
Recordando que y combinando las ecuaciones 4.9, 4.12, y 4.13 en una descripción de
matriz genera la forma canónica observador de un modelo de estado para la ecuación 4.5:
[
] [
] [
] [
]
[ ] [
]
El diagrama de simulación análogo asociado con la ecuación 4.14 aparece en la figura 4.1
b3 b2 b1
-a1-a2-a3
x1 x2x3
+++
+
++
++
ẋ1 ẋ2 ẋ3
∫ ∫ ∫
u
y
Figura 4.1 Diagrama de bloques forma canónica observador de la ecuación 4.5
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
FORMA CANÓNICA CONTROLADOR
Mediante el siguiente ejemplo se mostrará la aplicación de la forma canónica controlador o
estándar de un modelo de estado representación de la ecuación 4.5. El primer paso es
desarrollar el modelo canónico de estado para el sistema auxiliar
Donde los coeficientes a1, a2, y a3 coinciden con aquellos en la ecuación 4.5 y la respuesta
resultado de la entrada u. Entonces asumimos que todas las condiciones iníciales son cero, la
respuesta de la descripción del sistema dada por la ecuación 4.5 es la superposición de las
respuestas del sistema auxiliar dadas por la ecuación 4.16, a las entradas b3 , b2D , y b1D2 .
En particular .
Manteniendo esta consideración en mente, el siguiente paso es construir el modelo canónico
de estado para la ecuación 4.16. En términos del operador diferencial D, la ecuación 4.16 tiene
la representación equivalente.
[ ]
Como tal definimos la variable de estado , lo que implica que
[ ]
Ahora definimos lo que implica que
[ ]
De forma similar, definimos a partir de la ecuación 4.18, se obtiene
De esta discusión al principio del ejemplo y la elección precedente de variables de
estado,
Por lo tanto, las ecuaciones 4.19 y 4.20, junto con las equivalencias y ,
dan el modelo de estado canónico controlador dado por la ecuación 4.15
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
[
] [
] [
] [ ]
[ ] [
]
Note que las variables de estado x1, x2, y x3, en la ecuación 4.15 corresponden a
diferentes entidades de aquellas en la ecuación 4.14
++
b1 b2 b3
-a3-a2-a1
x1x2x3
+
+
+
+
+y
ẋ1 ẋ2 ẋ3
∫ ∫ ∫ u
Figura 4.2 Diagrama de bloques forma canónica controlador de la ecuación 4.5
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
FORMA CANÓNICA OBSERVABILIDAD
A continuación se bosquejara los puntos más importantes. Repitiendo los puntos finos
de las dos previas deducciones.
Para bosquejar la deducción de la ecuación 4.21, rescriba la ecuación 4.5 como la
integral de la ecuación
[ ] [ ] [ ]
Identificando como la variable de estado (es decir, definir ), implícitamente
definir por
Identificando con la parte apropiada de Dy, se define implícitamente como
[ ]
en tal caso
[ ]
Dejando las ecuaciones de 4.22 a 4.24 dan el modelo canónico de estado dado
por la ecuación 4.21.
La representación canónica de estado observabilidad tiene la forma
[
] [
] [
] [
]
[ ] [
]
Las cantidades y son llamados a parámetros de Markov del sistema y están
dados por y El diagrama de
simulación análogo correspondiente a la ecuación 4.21 aparece en la figura 4.3.
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
+
β3 β2 β1
-a3
-a2
-a1
x1x2x3
+ ++
++
+
yẋ1 ẋ2 ẋ3 ∫ ∫ ∫
+
u
Figura 4.3 Representación en diagrama de bloques forma canónica de observavilidad
FORMA CANÓNICA DE CONTROLABILIDAD
Por dualidad, la forma canónica de controlabilidad de la ecuación 4.5 tiene la
representación de modelo de estado
[
] [
] [
] [ ]
[ ] [
]
β1 β2 β3
-a1-a2-a3
x1 x2 x3
+
+
++
+
+ +
y
ẋ1 ẋ2 ẋ3 ∫ ∫ ∫ u
++
Figura 4.3 Representación en diagrama de bloques forma canónica de controlabilidad
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
FORMA CANÓNICA DE JORDAN
Controlabilidad y observabilidad son invariantes bajo cualquier transformación
equivalente. Si una ecuación de estado es transformada en la forma de Jordan,
entonces las condiciones de controlabilidad y observabilidad se vuelven muy simples y
a menudo pueden ser revisadas por inspección. Considere la ecuación de estado
(6.47)
FIGURA 6.8 REDES
Donde J esta en la forma de Jordan. Para simplificar la discusión, asumiremos que J
tiene solo dos distintos eigenvalores y y pueden ser escritos como
Donde J1 consiste en todos los bloques de Jordan asociados con y J2 consiste en
todos los bloques de Jordan asociados con . Otra vez para simplificar la discusión
asumimos que J1 tiene tres bloques de Jordan y J2 tiene dos bloques de Jordan o
La fila de B correspondiente a la última fila de Jij es denotada por blij. La columna de C
correspondiente a la primera columna de Jij es denotada por cfij
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
Teorema 6.8
1. La ecuación de estado en (6.47) es controlable si y solo si los tres vectores de la
fila son linealmente independientes y los dos vectores de la fila
son linealmente independientes.
2. La ecuación de estado en (6.47) es observable si y solo si los tres vectores de la
columna son linealmente independientes y los dos vectores de
la columna son linealmente independientes.
Nosotros discutiremos primero las implicaciones de este teorema. Si la ecuación de
estado esta en la forma de Jordan, entonces la controlabilidad de estas variables de
estado asociadas con un eigenvalor pueden ser revisadas independientemente de
aquellas asociadas con diferentes eigenvalores. La controlabilidad de las variables
de estado asociadas con los mismos eigenvalores depende solo de las filas de B
correspondientes a la última fila de todos los bloques de Jordan asociados con el
eigenvalor. Todas las demás filas de B no juegan un rol en la determinación de la
controlabilidad. Las mismas observaciones se aplican a la parte de observabilidad
excepto que las columnas de C correspondientes a la primera columna de todos los
bloques de Jordan determinan la observabilidad. Podemos usar un ejemplo para
ilustrar el uso del teorema 6.8.
Ejemplo 6.10 Considere la ecuación de estado en la forma Jordan
[
]
[
]
[
]
La matriz J tiene dos eigenvalores distintos y . Existen tres bloques de Jordan,
con orden 2, 1, y 1, asociado con . Las filas de B correspondientes a la ultima fila
de los tres bloques de Jordan son [1 0 0], [0 1 0], y [1 1 1]. Las tres filas son
linealmente independientes. Hay solo un bloque de Jordan con orden 3, asociado
con . La fila de B correspondiente a la ultima fila del bloque de Jordan es [1 1 1],
la cual es distinta de cero y es por lo tanto linealmente independiente. Debido a eso
nosotros concluimos que la ecuación de estado en (6.48) es controlable.
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
Las condiciones para (6.48) sea observable son que las tres columnas [1 1 1]´, [2
1 2]´, y [0 2 3]´ sean linealmente independientes (lo son) y la columna uno [0 0 0]´
sea linealmente independiente (no lo es). Por lo tanto la ecuación es no observable.
Antes de probar el teorema 6.8, dibujamos un diagrama de bloques para
mostrar como surgen las condiciones en el teorema. La inversa de (sI-J) es de la
forma mostrada en (3.49), cuyas entradas consisten únicamente de 1/(s- )k.
Usando (3.49), nosotros podemos dibujar un diagrama de bloques para (6.48) como
se muestra en la figura 6.9. Cada cadena de bloques corresponde a un bloque de
Jordan en la ecuación. Debido a que (6.48) tiene 4 bloques de Jordan, la figura tiene
cuatro cadenas. La salida de cada bloque puede ser asignada como una variable de
estado como se muestra en la figura 6.10. Permítanos considerar la última cadena
en la figura 6.9. Si , la variable de estado xl21 no esta conectada a la
entrada y no es controlable no importa que valores y se tomen. Por otra
parte, si es distinto de cero, entonces todas las variables de estado en la
cadena son controlables. Si hay dos o más cadenas asociadas con los mismo
eigenvalores, entonces nosotros requeriremos la independencia lineal del primer
aumento de vectores de esas cadenas. Las cadenas asociadas con diferentes
eigenvalores pueden ser analizadas por separado. Toda la discusión se aplica a la
parte de observabilidad excepto que el vector columna cfij juega el rol de vector fila
blij.
Demostración del teorema 6.8 Nosotros probamos el teorema usando la
condición de que la matriz [A-sIB] o [sI-A B] tiene todas las filas llenas a cada
eigenvalor de A. A fin de no ser abrumado por la notación, asumimos [sI- J B] para
ser de la forma
[
]
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
xl11
xl13
1
1
s
1
1
s
1
1
s
2
1
s
1
1
s
2
1
s2
1
s
b111
bf12
cl21
b221
cl11
cf12
b121
c221
b1l11 cf11
bf13 cf13
bl21 cf21
+
++
c221
u
u
u
u
u
y
y
y
y
y y
y
u
x111
xl12
xl21 x221 x121
u
FIGURA 6.9 DIAGRAMA DE BLOQUE DE (6.48).
+is
1
s
1x x
x
i
=
Figura 6.10 Estructura interna de 1/(s- )
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
La forma Jordan con matriz J tiene dos eigenvalores distintos y . Hay dos
bloques de Jordan asociados con y uno asociado con . Si (6.49) se
vuelve
[
]
El rango de la matriz no cambiara por medio de operaciones elementales entre
columnas. Agregamos el producto de una segunda columna de (6.50) por al
ultimo bloque de la columna. Repitiendo el proceso para la tercera y la quinta
columna, podemos obtener
[
]
Debido a que y son distintos es distinto de cero. Agregamos el
producto a la séptima columna y a la última columna y entonces se
usa la sexta columna para eliminar las entradas del lado derecho para obtener
[
]
Esta claro que la matriz en (6.51) tiene un rango de filas llenas si y solo si y
son linealmente independientes. Procediendo similarmente para cada eigenvalor,
podemos establecer teorema 6.8. Q. E. D.
Considere una ecuación de estado n-dimensional de la forma Jordan con p entradas
y q salidas. Si hay m, con m>p, bloques de Jordan asociados con el mismo
eigenvalor, entonces m numero de 1 x p vectores fila nunca pueden ser linealmente
independientes y la ecuación de estado nunca puede ser controlable. Así una
condición necesaria para que la ecuación de estado sea controlable es . Para
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
el caso de una entrada o una salida, entonces tenemos los siguientes corolarios
(evidencia).
Corolario 6.8
Una ecuación de estado forma-Jordan de una entrada es controlable si y solo si hay
un bloque de Jordan asociado con cada eigenvalor distinto y cada entrada de B
correspondiente a la ultima fila de cada bloque de Jordan es diferente de cero.
Corolario 6.8
Una ecuación de estado forma-Jordan de una salida es observable si y solo si hay un
bloque de Jordan asociado con cada eigenvalor distinto y cada entrada de C
correspondiente a la primera columna de cada bloque de Jordan es diferente de
cero.
Ejemplo 6.11 Considere la ecuación de estado
[
] [
]
[ ]
Ahí están dos bloques de Jordan uno con orden 3 y asociado con un eigenvalor 0, el
otro de orden 1 y asociado con un eigenvalor -2. La entrada de B correspondiente a
la última fila del primer bloque de Jordan es cero: por lo tanto la ecuación de estado
es no controlable. Las dos entradas de C correspondientes a la primera columna de
ambos bloques de Jordan son diferentes de cero: por lo tanto la ecuación de estado
es observable.
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
FORMA CANÓNICA DE DIAGONALIZACIÓN
Una vez más considere el sistema homogéneo
Suponga que la matriz A del sistema tiene un conjunto completo de eigenvectores
linealmente independientes e1, e2, e3 con sus correspondientes eigenvalores
. Los eigenvalores pueden o no ser distintos. Se mostrará como estos n
eigenvectores pueden ser usados para definir sistemas separados de primer
orden. Este procedimiento es a veces de beneficios computacionales directos, pero
quizás mas importante como ayuda conceptual.
Dejemos un valor arbitrario de estado x(k) para ser específicos. Desde que ahí n
eigenvectores, este estado puede ser expresado como una combinación lineal de
los eigenvectores en la forma
Donde , son escalares. Usando el hecho de que
multiplicación de (5-7) por la matriz A da
Por lo tanto, expresando como una combinación lineal de eigenvectores
en la forma
Vemos que los coeficientes escalares satisfacen las ecuaciones escalares de
primer orden
.
. (5-9)
.
El vector de estado, por lo tanto, pude ser considerado a cada instante de tiempo
para comprender una combinación lineal de eigenvectores. Con el cambio del
tiempo, el peso de los coeficientes cambia (cada uno independientemente de los
otros) por ello los pesos relativos quizás cambien. En consecuencia. El sistema
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
puede ser visto como sistemas separados de primer orden, cada uno gobernando
el coeficiente de cada eigenvector.
Cambio de Variable
El análisis ya mencionado puede ser transformado directamente en una técnica de
manipulación conveniente a través de la introducción formal del cambio de
variable. Dejemos que M sea la matriz modal de A. Que es, M la matriz de
cuyas columnas son los eigenvectores de A. para un dado , definimos un
por
Esto es, por supuesto, la representación del vector de la ecuación anterior (5-7) con
las componentes del vector igual a la anterior . La sustitución de este
cambio de variable en la ecuación del sistema da
O, su equivalente
Esto define un nuevo sistema que esta relacionado con el sistema original por el
cambio de variable
La matriz del nuevo sistema es la matriz del sistema correspondiente
al sistema que rige como se expreso antes en (5-9). En consecuencia, quizá
se puede escribir , donde es la matriz diagonal con los eigenvalores
de A en la diagonal. La matriz modal M define un nuevo sistema de coordenadas en
donde A es representado por la matriz diagonal . Cuando se escriben en detalle
(5_11) se convierte en
[
]
[
]
[
]
Que muestra explícitamente la forma diagonal obtenida por el cambio de
variable.
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
Sistemas continuos en el tiempo
Esto puede ser aplicado a un sistema continuo en el tiempo. Suponga que el estima
esta gobernado por
Donde A es una matriz de con eigenvectores linealmente independientes. Con M
como la matriz modal tal como se ha mencionado, el cambio de variable
Transformando el sistema a
Cuando se escribe en detalle esto es
[
]
[
]
[
]
El vector de estado a cualquier tiempo es una combinación lineal de los
eigenvectores. En el caso de tiempo continuo, los coeficientes de cada
eigenvector satisfacen una simple ecuación diferencial de primer orden. Por lo tanto
otra vez el sistema puede ser considerado para estar separado en sistemas de primer
orden.
Interpretación del diagrama
La interpretación del diagrama del proceso de diagonalización es sencilla y útil. Cuando
es expresado en las nuevas coordenadas (con componentes ) el diagrama del sistema
se rompe en sistemas separados. El resultado se ilustra en la figura 5.3 para sistemas
de tiempo discretos, pero exactamente el mismo diagrama es aplicado en tiempos
continuos con retrasos remplazados con integradores. Los son los coeficientes de
los varios eigenvectores tal como se combinan para generar el vector de estado. Los
eigenvectores por si solos no se muestran explícitamente en este diagrama, aunque
ellos deben ser usados para obtenerlo.
Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas
Finalmente, deber ser remarcado que el rol del proceso de diagonalización es al
menos tan conceptual como computacional. Aunque los cálculos de la matriz de
transición de estado pueden ser facilitados si los eigenvectores son conocidos, el
problema de computar los eigenvalores y eigenvectores para un sistema grande es en
si mismo una tarea formidable. A menudo esta forma de análisis detallado no esta
justificado en el ámbito de la motivación al estudiante. En realidad, cuando se
restringe a los métodos numéricos es usualmente muy sencillo de evaluar algunas
soluciones particulares directamente por recursión. Una colección completa de
eigenvectores en forma numérica no siempre es muy iluminador.
Por otra parte, desde un punto de visto conceptual, el proceso de
diagonalización es invaluable, puesto que revela y fundamenta la simplicidad de los
sistemas lineales. Armados con este concepto, sabemos, cuando nos enfrentamos con
lo que parece ser un sistemas complejo interconectado, que hay un forma de verlo, a
través de uno lentes distorsionado con cambios de variables, asi eso aparece como una
colección de sistemas de primer orden. Incluso si nosotros nunca hallamos la
transformación de diagonalización, el conocimiento de que uno existe influye
profundamente en nuestra percepción de un sistema y enriquece nuestra metodología
de análisis.
λ1
+ z1
λ2
+ z2
λn
+ zn
Figura 5.3 Diagrama diagonal