tarea-2 grupo3 final commented

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ

ESCUELA DE POSGRADO

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA IMPLEMENTADO EN MATLAB

PARA RESOLVER PROBLEMAS DINAMICOS DE UN SISTEMA DE 1 GDL

TAREA N° 02

Curso:

Ingeniería Sismo Resistencia

GRUPO: N° 03

Integrantes:

López Montalbán, Saulo

Montesinos Escobar, Mijail

Ramírez Caparó, Eduardo

Retamozo Fernández, Saul

Saucedo Abanto, Cristhian

Docente:

Dr. Ing. Víctor Iván Fernández Dávila Gonzales.

Lima, Mayo del 2015

Comentarios:Buen trabajo. No obstante, faltan algunos comentarios,

¿Què ocurre con la estabilidad? ¿Precisiòn?¿Qué método recomienda?

NOTA: 18DIECIOCHO

Índice general

Resumen ............................................................................................................................... 5

1. Introducción .................................................................................................................. 5

2. Antecedentes ................................................................................................................. 5

3. Metodologías ................................................................................................................. 5

3.1. Método basado en la interpolación de la excitación:...................................................... 7

3.2. Método de la diferencia central. ..................................................................................... 8

3.3. Método de Newmark (aceleración lineal y promedio). .................................................. 9

4. Casos de estudio y resultados .................................................................................... 10

4.1. Caso 1: Carga externa igual a medio pulso sinusoidal y con condiciones iniciales. .... 10

4.2. Caso 2: Carga externa dada por un registro de aceleraciones que actúa en la base del sistema. ................................................................................................................................ 13

4.3. Resultados teóricos del Caso 1. .................................................................................... 14

4.4. Influencia del intervalo de integración ∆ en la solución de los métodos numéricos .. 16

5. Conclusiones ............................................................................................................... 19

Referencias ......................................................................................................................... 19

Anexos ................................................................................................................................. 20

A. Manual de usuario ‘Programa_Tarea_2’ ...................................................................... 20

Índice de figuras

Figura 1: Notación para una excitación interpolada linealmente ......................................... 7

Figura 2 Características dinámicas del sistema y carga aplicada ....................................... 10

Figura 3: Desplazamiento en el tiempo del (a) caso 1_1 y (b) caso 1_2 ............................ 12



Figura 6: Se muestra las respuestas de desplazamiento con el método (a)diferencia, (b)

integración, (c) Newmark-lineal y (d) Newmark - promedio .............................................. 14

Figura 7 Respuesta del sistema (a) desplazamientos casos 1_1, 1_3 y 1_5, (b)

desplazamientos casos 1_2, 1_4 y 1_6 , (c) velocidades casos 1_1, 1_3 y 1_5 y (d)

velocidades casos 1_2, 1_4 y 1_6 ........................................................................................ 16

Figura 8. Respuesta del sistema para diferentes intervalos de tiempo (a) método basado en

la interpolación de la excitación (b) método de la diferencia central (c) método de

Newmark con aceleración promedio y (d) método de Newmark con aceleración lineal. ... 17

Figura 9. Respuesta numérica (a) intervalo de 0.02 segundos (c) intervalo de 0.1 segundos

y (d) intervalo de 0.2 segundos ............................................................................................ 18

Índice de tablas

Tabla 1. Velocidades y Desplazamientos calculados por el método de Integración de la

excitación ............................................................................................................................. 11

Tabla 2. Velocidades y Desplazamientos calculados por el método de Diferencia Cental 11

Tabla 3. Velocidades y Desplazamientos calculados por el método de Newmark = 0.5 y

= 1/6- Lineal ..................................................................................................................... 11

Tabla 4. Velocidades y Desplazamientos calculados por el método de Newmark = 0.5 y

= ¼-promedio ................................................................................................................... 12

Tabla 5:Ecuacion de movimiento para diferentes condiciones .......................................... 15

Tabla 6:Velocidades y desplazamientos del sistema bajo diferentes condiciones ............. 16

Grupo 3 - Técnicas de integración numérica implementadas en MATLAB para resolver problemas dinámicos de un sistema de 1 GDL.

Resumen

Las estructuras civiles normalmente están sometidas a solicitaciones arbitrarias como son

los eventos sísmicos, la solución de este tipo de sistemas puede ser muy compleja debido a

la variabilidad de la carga impuesta. Ante este escenario, diferentes métodos de integración

numérica se han aplicado a la solución de problemas de 1 grado de libertad (1 GDL)

sometidos a este tipo de cargas. Dichos métodos permiten encontrar una solución

aproximada sin resolver las ecuaciones diferenciales cuya solución exacta puede tener un

alto costo computacional. En el presente documento se han implementado tres métodos

numéricos para resolver ecuaciones diferenciales aplicadas a la solución de sistemas de 1

GDL. Mediante una comparación con los resultados teóricos de una carga semi-sinusoidal,

se ha determinado que los métodos planteados pueden reproducir con una buena

aproximación la respuesta exacta.

1. Introducción

En la naturaleza existen fenómenos que condicionan el comportamiento de las

edificaciones, como es el caso de los sismos que hacen que las edificaciones tengan un

desempeño determinado ante estos. En los últimos siglos se han desarrollado maneras de

representar el comportamiento de las estructuras en modelos simples. Estos modelos

pueden ser sistemas de uno (1GDL) o varios grados de libertad (MGDL) que son

necesarios para el análisis de la respuesta dinámica de las estructuras. Dichos modelos

incluyen las propiedades de la estructura y la naturaleza de la fuerza que las excita

descritas en una ecuación de movimiento. Esta fuerza excitadora puede ser representada

por una fuerza exterior o un movimiento sísmico. La solución analítica de la ecuación de

movimiento para un sistema de 1GDL no es posible si la excitación varía arbitrariamente

con el tiempo o si el sistema no es lineal. En estas circunstancias se emplean métodos

numéricos para la integración de ecuaciones diferenciales. Existe gran variedad de

bibliografía para desarrollar estos métodos como son [1] y [2] donde se observan algunos

métodos como el de diferencia central, basados en la interpolación, Newmark y Euler-

Gauss que brindan una buena aproximación al cálculo de la respuesta dinámica.

2. Antecedentes

Durante años se han buscado formas de representar el comportamiento de la estructuras

ante fenómenos naturales. En este contexto se ha construido la ecuación de movimiento

Grupo 3 - Técnicas de integración numérica implementadas en MATLAB para resolver problemas dinámicos de un sistema de 1 GDL

6

hacia finales del siglo XVIII e introducida por Isaac Newton. Esta ecuación diferencial

representa el comportamiento de la estructuras ante determinadas fuerzas de excitación. La

naturaleza de estas fuerzas de excitación juega un papel importante debido a su la

variabilidad y no linealidad de la estructura. En respuesta a estas condiciones, se han

creado distintos métodos numéricos que permitían evaluar este fenómeno. La naturaleza de

dichos métodos condiciona el realizar cálculos extensos que en su mayoría resultan

imposibles de realizar. Con la aparición de las primeras computadoras en el año 1938 –

1958, diferentes problemas que incluían cálculos aritméticos exorbitantes fueron

desarrollados de una manera más rápida y eficaz. En el caso de la solución de ecuaciones

de movimiento, los métodos numéricos pasaron a convertirse en herramientas

imprescindibles para comprender la naturaleza de las edificaciones ante fuerzas externas.

3. Metodologías

No siempre es posible encontrar la solución analítica de la ecuación de movimiento de un

sistema de 1GDL cuando la excitación o carga que genera el movimiento varía

arbitrariamente en el tiempo. Este tipo de problemas es posible solucionarlos mediante la

utilización de métodos numéricos paso a paso. Entre estos métodos tenemos el basado en

la interpolación de la excitación, diferencia central y el de Newmark.

En el presente trabajo se desarrolló estos tres métodos implementados en una rutina en el

programa MATLAB. Se creó una interface para el usuario que permite su fácil aplicación

al cálculo de la respuesta de un sistema de 1GDL. Un manual de uso de esta herramienta se

encuentra en los Anexos de este documento.

Con la finalidad de validar la herramienta implementada se desarrolló dos casos de estudio

donde se analiza la respuesta de un sistema de 1GDL ante dos tipos de carga, una

sinusoidal (Caso 1) y la otra una aceleración debido a un movimiento sísmico (Caso 2).

Para el Caso 1 se desarrollan 6 sub-casos donde se varía las condiciones iniciales del

movimiento del sistema y el periodo de duración de la carga. Adicionalmente el Caso 1

también fue solucionado de manera teórica que permitió realizar una comparación con la

solución numérica calculada con la herramienta implementada en MATLBAB.

Todos los resultados encontrados se muestran en tablas y graficas que permiten comparar y

medir la sensibilidad de cada uno de los métodos numéricos implementados ante los

diferentes paramentos y condiciones de la estructura y de las cargas.


7

A continuación se hace una breve descripción de cada uno de los métodos de análisis

desarrollados:

3.1. Método basado en la interpolación de la excitación:

Mediante la interpolación de la excitación (carga) en cada intervalo de tiempo es posible

desarrollar un procedimiento numérico muy eficiente, empleando intervalos de tiempo

muy cortos. En la Figura 1 se muestra que durante el intervalo de tiempo ti ≤ t ≤ ti+1, la

función de excitación está dada por:

Figura 1: Notación para una excitación interpolada linealmente

Donde:

Y la variable de tiempo varia de 0 a ∆ . por simplicidad algebraica se explica el método

para un sistema sin amortiguamiento.

Sometida a las condiciones iniciales 0 0 . La respuesta durante el intervalo de tiempo 0 resultados0 ∆ es la suma de tres partes: (1) (1) la vibración

libre debida al desplazamiento inicial y la velocidad .en τ = 0, (2) la respuesta a la fuerza de paso pi con condiciones iniciales nulas y (3) la respuesta a la fuerza incremental ∆

∆ con condiciones iniciales nulas. Al adaptar las soluciones disponibles para estos tres

casos en, se obtiene:

Y las diferencias de

Inserte fuente!


8

Si se evalúan estas ecuaciones en ∆ , se obtiene el desplazamiento u i+1 y velocidad ui+1 en el instante i + 1. Estas ecuaciones pueden reescribirse después de sustituir la ecuación anterior como fórmulas de recurrencia:

Este procedimiento numérico es de gran utilidad cuando la excitación se define en

intervalos de tiempo espaciados de tal forma (como en la aceleración del suelo en un

sismo) que la interpolación lineal es en esencia perfecta. Si el paso de tiempo ∆t es

constante, los coeficientes A, B, …, D′ necesitan calcularse solo una vez.

3.2. Método de la diferencia central.

Se realiza una aproximación por diferencias finitas de las derivadas del desplazamiento

(velocidad y aceleración). Este método esta descrito en detalle en el Capítulo 5 del libro

Dinámica de Estructuras [chopra]. Se describe en detalle en la siguiente tabla:

1.0 Calculos iniciales

2.0 Calculo para el paso del tiempo i


9

3.0 Repetición para el próximo paso de tiempo

Reemplace i por i+1 y repita los pasos 2.1, 2.2 y 2.3 para el siguiente paso de tiempo.

3.3. Método de Newmark (aceleración lineal y promedio).

Este método fue desarrollado en 1959 por N. M. Newmark basados en métodos paso a

paso en el tiempo como muestran las siguientes formulas:

Este método se puede modificar para obtener los métodos de la aceleración promedio

constante y el método de la aceleración lineal que vienen a ser casos especiales del método

de Newmark.

(1) Método de la aceleración promedio constante

(2) Método de la aceleración lineal

1. Cálculos iniciales

2. Cálculos para cada paso de tiempo i=0, 1, 2,…


10

3. Repetición para el siguiente paso de tiempo, Reemplace i por i+1 y aplique los pasos 2.1

a 2.4 para el siguiente paso de tiempo

4. Casos de estudio y resultados

Para la validación de la herramienta implementada en MATLAB se desarrollaran dos casos

de estudio basados en los datos del ejercicio 5.1 del libro de Dinámica de Estructuras de

Chopra [1] . EL resumen de la información de entrada se presenta en la Figura 2 a

continuación

Masa (m) = 0.2533 kips-s2/pulg

Rigidez (k) = 10 kips/pulg

Periodo T = 1 seg

w = 6.2832 rad/seg

ξ = 0.05

w = 6.2753 rad/seg

P = 10 kips

t =tiempo de duración de la carga

armónica

Figura 2 Características dinámicas del sistema y carga aplicada

Los dos casos de estudio desarrollados en este trabajo son los que se mencionan a

continuación:

4.1. Caso 1: Carga externa igual a medio pulso sinusoidal y con condiciones

iniciales.

Para una mejor apreciación de la influencia de las variables, este caso se divide en

subcasos que se diferencian por los valores asignados a las condiciones iniciales (u0 y ů

0) y

las duraciones del medio pulso sinusoidal (tp): Los subcasos son los siguientes:

1) Caso 1_1: u0 = 0.0 in y ů0 =0.0 in/sec; tp= 0.6 sec (Sistema original).


11

2) Caso 1_2: u 0 = 0.5 in y ů0 =1.5 in/sec; tp= 0.6 sec.





En las Tabla 1, Tabla 2, Tabla 3 y Tabla 4 se muestran los resultados de los subcasos para

los métodos de Integración de la excitación, Diferencia Central, y Newmark tanto para

aceleración lineal como para promedio. Estos valores fueron calculados haciendo uso de la

herramienta implementada en MATLAB.

Tabla 1. Velocidades y Desplazamientos calculados por el método de Integración de la excitación Caso 1_1 Caso 1_2 Caso 1_3 Caso 1_4 Caso 1_5 Caso1_ 6

t 0 0.00 0.00 0.50 1.50 0.00 0.00 0.50 1.50 0.00 0.00 0.50 1.50

0.1 0.03 0.94 0.57 0.28 0.06 1.87 0.61 1.21 0.01 0.32 0.55 -0.33 0.2 0.23 3.07 0.61 0.63 0.34 2.90 0.73 0.46 0.08 1.14 0.46 -1.30 0.3 0.63 4.86 0.72 1.65 0.54 0.96 0.63 -2.25 0.24 2.09 0.33 -1.12 0.4 1.13 4.73 0.92 1.99 0.53 -1.22 0.31 -3.97 0.49 2.77 0.27 0.02 0.5 1.49 1.94 1.06 0.64 0.32 -2.81 -0.11 -4.10 0.78 2.87 0.35 1.57 0.6 1.45 -3.01 0.98 -2.46 0.00 -3.27 -0.46 -2.72 1.04 2.31 0.58 2.86 0.7 0.90 -7.46 0.58 -5.39 -0.29 -2.48 -0.62 -0.41 1.22 1.26 0.90 3.33 0.8 0.06 -8.88 -0.02 -6.13 -0.46 -0.83 -0.54 1.91 1.29 0.02 1.21 2.76 0.9 -0.76 -6.92 -0.57 -4.57 -0.45 1.03 -0.27 3.38 1.23 -1.04 1.42 1.32 1 -1.24 -2.52 -0.88 -1.40 -0.27 2.40 0.09 3.51 1.09 -1.65 1.46 -0.53

Tabla 2. Velocidades y Desplazamientos calculados por el método de Diferencia Cental Caso 1_1 Caso 1_2 Caso 1_3 Caso 1_4 Caso 1_5 Caso1_ 6

t 0 0.00 0.00 0.50 1.50 0.00 0.00 0.50 1.50 0.00 0.00 0.50 1.50

0.1 0.00 0.96 0.55 0.36 0.00 1.91 0.55 1.32 0.01 0.32 0.55 -0.26 0.2 0.19 3.15 0.57 0.81 0.38 2.98 0.76 0.64 0.08 1.14 0.45 -1.16 0.3 0.63 4.96 0.71 1.88 0.60 0.92 0.68 -2.15 0.24 2.09 0.31 -0.94 0.4 1.18 4.76 0.95 2.17 0.57 -1.36 0.33 -3.95 0.49 2.77 0.26 0.21 0.5 1.58 1.79 1.14 0.65 0.32 -2.98 -0.11 -4.13 0.78 2.87 0.36 1.71 0.6 1.54 -3.33 1.08 -2.69 -0.03 -3.37 -0.49 -2.72 1.04 2.31 0.60 2.90 0.7 0.91 -7.83 0.61 -5.74 -0.35 -2.44 -0.66 -0.35 1.22 1.26 0.94 3.23 0.8 -0.02 -9.05 -0.07 -6.42 -0.52 -0.63 -0.56 2.01 1.29 0.02 1.25 2.54 0.9 -0.90 -6.74 -0.68 -4.59 -0.48 1.30 -0.26 3.45 1.23 -1.04 1.44 1.03 1 -1.37 -1.99 -0.99 -1.12 -0.26 2.62 0.13 3.49 1.09 -1.65 1.46 -0.78

Tabla 3. Velocidades y Desplazamientos calculados por el método de Newmark = 0.5 y = 1/6- Lineal Caso 1_1 Caso 1_2 Caso 1_3 Caso 1_4 Caso 1_5 Caso1_ 6

t 0 0.00 0.00 0.50 1.50 0.00 0.00 0.50 1.50 0.00 0.00 0.50 1.50

0.1 0.03 0.90 0.58 0.31 0.06 1.80 0.61 1.21 0.01 0.31 0.56 -0.28 0.2 0.22 2.98 0.61 0.63 0.33 2.85 0.73 0.50 0.08 1.11 0.47 -1.24 0.3 0.62 4.77 0.72 1.61 0.53 1.01 0.64 -2.15 0.24 2.05 0.34 -1.12 0.4 1.11 4.74 0.91 1.95 0.53 -1.08 0.33 -3.87 0.48 2.74 0.28 -0.05 0.5 1.48 2.11 1.06 0.67 0.33 -2.67 -0.08 -4.10 0.77 2.88 0.35 1.45 0.6 1.46 -2.69 0.99 -2.33 0.03 -3.20 -0.44 -2.84 1.04 2.38 0.56 2.74 0.7 0.95 -7.15 0.60 -5.22 -0.27 -2.55 -0.62 -0.63 1.23 1.37 0.87 3.29 0.8 0.13 -8.78 0.01 -6.07 -0.45 -1.02 -0.57 1.68 1.30 0.13 1.19 2.83 0.9 -0.70 -7.15 -0.54 -4.69 -0.46 0.79 -0.31 3.25 1.26 -0.97 1.41 1.50 1 -1.22 -3.05 -0.87 -1.69 -0.31 2.21 0.04 3.57 1.12 -1.66 1.47 -0.31


12

Tabla 4. Velocidades y Desplazamientos calculados por el método de Newmark = 0.5 y = ¼-promedioCaso 1_1 Caso 1_2 Caso 1_3 Caso 1_4 Caso 1_5 Caso1_ 6

t 0 0.00 0.00 0.50 1.50 0.00 0.00 0.50 1.50 0.00 0.00 0.50 1.50

0.1 0.04 0.87 0.59 0.28 0.09 1.75 0.63 1.15 0.02 0.30 0.56 -0.29 0.2 0.23 2.91 0.63 0.54 0.31 2.79 0.71 0.43 0.08 1.08 0.48 -1.28 0.3 0.61 4.68 0.73 1.48 0.51 1.05 0.63 -2.16 0.24 2.01 0.36 -1.20 0.4 1.08 4.73 0.90 1.84 0.51 -0.96 0.32 -3.85 0.47 2.71 0.29 -0.18 0.5 1.43 2.24 1.02 0.67 0.34 -2.52 -0.07 -4.09 0.75 2.89 0.35 1.31 0.6 1.42 -2.40 0.95 -2.19 0.05 -3.11 -0.42 -2.90 1.02 2.44 0.54 2.65 0.7 0.96 -6.82 0.59 -4.99 -0.23 -2.59 -0.60 -0.76 1.22 1.47 0.84 3.29 0.8 0.19 -8.61 0.04 -5.90 -0.42 -1.18 -0.57 1.53 1.30 0.24 1.15 2.96 0.9 -0.60 -7.29 -0.49 -4.69 -0.45 0.55 -0.33 3.16 1.27 -0.89 1.39 1.71 1 -1.14 -3.50 -0.82 -1.92 -0.32 2.00 0.01 3.59 1.14 -1.65 1.47 -0.06

En las tablas anteriores se observa que se cumplen las condiciones iniciales propuestas

para cada subcaso para un tiempo igual a cero. En las figuras a continuación se presentan

las respuestas en desplazamiento para cada uno de los casos calculadas con los cuatro

métodos de integración numérica comparados con los resultados teóricos que se

desarrollaran el ítem 3.3.

Figura 3: Desplazamiento en el tiempo del (a) caso 1_1 y (b) caso 1_2

En los casos 1_1 y 1_2 los cuatro métodos se aproximan bastante bien al cálculo teórico,

solo presentando una ligera diferencia respecto al valor teórico de 10% a 20% entre el

tiempo de 0.8s a 1s, siendo el método de diferencia central y Newmark-promedio lo que

arrojan mayor error.


-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Des

plaz

amie

nto

(plg

)

Tiempo (s)

Caso 1-1

TeoricoIntegracionDiferenciaNewmark-linealNewmark-promedio

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Des

plaz

amie

nto

(plg

)

Tiempo (s)

Caso 1-2TeoricoIntegracionDiferenciaNewmark-linealNewmark-promedio

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Des

plaz

amie

nto

(plg

)

Tiempo (s)

Caso 1-3

Teorico

Integracion

Diferencia

Newmark-lineal

Newmark-promedio

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Des

plaz

amie

nto

(plg

)

Tiempo (s)

Caso 1-4

Teorico

Integracion

Diferencia

Newmark-lineal

Newmark-promedio


13

En los casos 1_3 y 1_4 los cuatro métodos no presentan una buena aproximación respecto

a la respuesta teórica, presentando diferencias promedio entre 20 a 40% respecto del valor

teórico y un error de hasta 900% para el tiempo de 0.6s. En el caso1_4 los métodos tienen

una buena aproximación entre ellos pero difieren de la respuesta teórica.


Para el caso 1_5 todos los métodos predice los desplazamientos con una buena aproximación

con respecto a la respuesta teórica. En el caso 1_6 tambien todos los métodos presentan una

buena aproximación, y una ligera diferencia entre los 0.6 a 0.8s donde se presenta una

diferencia máxima de 7% respecto al valor teórico.

4.2. Caso 2: Carga externa dada por un registro de aceleraciones que actúa en la

base del sistema.

En este caso el sistema original está sometido a un movimiento sísmico del suelo representado

por un registro de aceleraciones (archivo RegSis.csv) en vez del pulso sinusoidal del problema

original. Los resultados de este caso se muestran a continuación:

(a)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Des

plaz

amie

nto

(plg

)

Tiempo (s)

Caso 1-5

Teorico

Integracion

Diferencia

Newmark-lineal

Newmark-promedio

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Des

plaz

amie

nto

(plg

)

Tiempo (s)

Caso 1-6

Teorico

Integracion

Diferencia

Newmark-lineal

Newmark-promedio

-1.0E-02

-5.0E-03

0.0E+00

5.0E-03

1.0E-02

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Des

plaz

amie

nto

(m)

Tiempo (s)

Caso 2

Diferencia

-1.0E-02

-5.0E-03

0.0E+00

5.0E-03

1.0E-02

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Des

plaz

amie

nto

(m)

Tiempo (s)

Caso 2

Integracion


14

(b)

(c)

(d) Figura 6: Se muestra las respuestas de desplazamiento con el método (a)diferencia, (b) integración, (c)

Newmark-lineal y (d) Newmark - promedio

En la Figura 6 se observa que los métodos de diferencia central los de Newmark predicen el

máximo valor de desplazamiento de 0.007m a los 15.665 segundos y el de interpolación

(integración) predice el máximo desplazamiento a los 16.4 segundos con un valor de 0.01m.

Siendo este el método que en promedio predice valores más altos en la respuesta.

4.3. Resultados teóricos del Caso 1.

La carga que se aplica al sistema y las características del mismo se muestran en la Figura 2.

Debido a la forma de la misma se resolverá el sistema para el intervalo de duración de la

carga armónica como un sistema sometido a una vibración armónica con amortiguamiento

viscoso. Para el intervalo fuera de la duración de la carga armónica se resolverá el sistema

como un sistema en vibración libre amortiguada con condiciones iniciales dadas por el

desplazamiento y velocidad al final de la aplicación de la carga armónica.

Para el intervalo tbt se resolverá el sistema utilizando la ecuación 3.2.5 de [1] :

cos sin sin cos

1 /1 / 2 /

2 /1 / 2 /

-1.0E-02

-5.0E-03

0.0E+00

5.0E-03

1.0E-02

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Des

plaz

amie

nto

(m)

Tiempo (s)

Caso 2

Newmark-lineal

-1.0E-02

-5.0E-03

0.0E+00

5.0E-03

1.0E-02

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Des

plaz

amie

nto

(m)

Tiempo (s)

Caso 2

Newmark-promedio


15

A y B se calculan a partir de las condiciones iniciales del sistema.

Para el intervalo trt se resolverá el sistema utilizando la ecuación 2.2.4 de [1]:

0 cos0 0

sin

Donde 0 y 0 estan dadas por el desplazamiento y velocidad al final de la aplicación

de la carga armónica. En la Tabla 5 se muestran las ecuaciones usadas para resolver el

sistema para las diferentes condiciones dadas, para obtener las velocidades y aceleraciones

derivar con respecto al tiempo las mimas.

Tabla 5:Ecuacion de movimiento para diferentes condiciones caso 1_1

0 0 0 0 0.6

0.83 cos 6.28 2.5 sin 6.28 3.05 sin 5.24 0.83 cos 5.24 ; tbt 1.48 cos 6.28 0.42 sin 6.28 ; trt

caso 1_2

0 0.5 0 1.5 0.6

1.33 cos 6.28 2.24 sin 6.28 3.05 sin 5.24 0.83 cos 5.24 ; tbt

1.02 cos 6.28 0.35 sin 6.28 ; trt caso 1_3

0 0 0 0 0.2


0.44 cos 6.28 0.61 sin 6.28 ; trt caso 1_4

0 0.5 0 1.5 0.2


0.82 cos 6.28 0.24 sin 6.28 ; trt

caso 1_5 0 0 0 0 1.8


0.20 cos 6.28 0.34 sin 6.28 ; trt caso 1_6

0 0.5 0 1.5 1.8


0.14 cos 6.28 0.02 sin 6.28 ; trt

Utilizando las ecuaciones dadas en la y con los parámetros de la estructura que se muestran

en la figura 1 se obtuvieron los resulados de desplazamiento y velocidad para cada instante

del tiempo (ver Tabla 6). En la Figura 7 se muestra las graficas de desplazamiento y

velocidad en funcion del tiempo.


16

Tabla 6:Velocidades y desplazamientos del sistema bajo diferentes condiciones Caso 1_1 Caso 1_2 Caso 1_3 Caso 1_4 Caso 1_5 Caso1_ 6 t

0.0 0.00 0.00 0.50 1.50 0.00 0.00 0.50 1.50 0.00 0.00 0.50 1.50 0.1 0.03 0.96 0.58 0.30 0.09 2.37 0.63 1.71 0.01 0.33 0.55 -0.33 0.2 0.23 3.14 0.61 0.70 0.44 3.67 0.82 1.23 0.08 1.15 0.46 -1.29 0.3 0.65 4.97 0.74 1.76 0.69 1.21 0.78 -2.00 0.24 2.10 0.33 -1.11 0.4 1.16 4.84 0.94 2.10 0.67 -1.55 0.45 -4.29 0.49 2.77 0.27 0.03 0.5 1.52 1.98 1.10 0.69 0.40 -3.56 -0.02 -4.86 0.78 2.87 0.35 1.58 0.6 1.48 -3.08 1.02 -2.54 0.01 -4.14 -0.46 -3.59 1.04 2.32 0.58 2.87 0.7 0.92 -0.11 0.60 -5.56 -0.37 -3.15 -0.70 -1.07 1.23 1.26 0.90 3.34 0.8 0.06 -0.01 -0.02 -6.34 -0.59 -1.05 -0.67 1.69 1.29 0.02 1.21 2.76 0.9 -0.78 0.09 -0.59 -4.73 -0.57 1.31 -0.39 3.66 1.24 -1.04 1.42 1.31 1.0 -1.27 0.15 -0.91 -1.46 -0.35 3.04 0.02 4.15 1.10 -1.65 1.46 -0.54

(a) (b)

(c) (d) Figura 7 Respuesta del sistema (a) desplazamientos casos 1_1, 1_3 y 1_5, (b) desplazamientos casos 1_2, 1_4 y 1_6 , (c) velocidades casos 1_1, 1_3 y 1_5 y (d) velocidades casos 1_2, 1_4 y 1_6

4.4. Influencia del intervalo de integración ∆ en la solución de los métodos

numéricos

Para evaluar la precisión de los cuatro métodos implementados se desarrolló el caso 1_1

para tres intervalos de tiempo: 0.02 segundos, 0.1 segundos y 0.2 segundos y así

determinar la influencia de este parámetro en la solución que brinda cada método. El

primer intervalo de tiempo se recomienda para el cálculo de estructuras [1], el segundo es

el dado por el problema y tercero se escogió de tal forma que no se tuvieran problemas de

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Des

plaz

amie

nto

(pul

g)

Tiempo (seg)

Tp=0.6

Tp=0.2

Tp=1.8

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Des

plaz

amie

nto

(pul

g)

Tiempo (seg)

Tp=0.6

Tp=0.2

Tp=1.8

-6.0

-3.0

0.0

3.0

6.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Vel

ocid

ad (

pulg

/seg

)

Tiempo (seg)

TP=0.6

Tp=0.2

Tp=1.8-9.0

-6.0

-3.0

0.0

3.0

6.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Vel

ocid

ad (

pulg

/seg

)

Tiempo (seg)

Tp=0.6

Tp=0.2

Tp=1.8


17

solución [1]. En la Figura 8 se muestran resultados puntuales de desplazamiento para los

diferentes valores del intervalo de tiempo según cada método numérico.

Se observa que para el método basado en la interpolación de la excitación para el intervalo

de 0.02, 0.1 y 0.2 segundos se tienen diferencias de 1, 2 y 10% del valor teórico

respectivamente. Para el método de la diferencia central para el intervalo de 0.02, 0.1 y 0.2

segundos se tienen diferencias de 4, 9 y 38% del valor teórico respectivamente. Para el

método de Newmark con aceleración promedio para el intervalo de 0.02, 0.1 y 0.2

segundos se tienen diferencias de 0.5, 10 y 40% del valor teórico respectivamente. Para el

método de Newmark con aceleración lineal para el intervalo de 0.02, 0.1 y 0.2 segundos se

tienen diferencias de alrededor de 0.5, 8 y 30% del valor teórico respectivamente. Estos

métodos muestran sin embargo errores que van desde el 100 al 1000% en ciertos puntos.

El método que mejor se ajusta a los resultados teóricos para intervalo de tiempo de 0.2

segundos es el de la interpolación de la excitación, mientras que para intervalos de tiempo

más pequeños el método de Newmark se ajusta mejor siendo el de la aceleración lineal el

que muestra mejores resultados (ver Figura 9).

(a) (b)

(c) (d)Figura 8. Respuesta del sistema para diferentes intervalos de tiempo (a) método basado en la interpolación de la excitación (b) método de la diferencia central (c) método de Newmark con aceleración promedio y (d) método de Newmark con aceleración lineal.

-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Des

plaz

amie

ntos

(pu

lg)

Tiempo (seg)

Teórico delta 0.2 delta 0.1 delta 0.02

-2.0-1.5-1.0-0.5

0.00.51.01.52.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Des

plaz

amie

ntos

(pu

lg)

Tiempo (seg)


-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Des

plaz

amie

ntos

(pu

lg)

Tiempo (seg)


-2.0-1.5-1.0-0.50.0

0.51.01.52.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Des

plaz

amie

ntos

(pu

lg)

Tiempo (seg)



18

(a)

(b)

(c) Figura 9. Respuesta numérica (a) intervalo de 0.02 segundos (c) intervalo de 0.1 segundos y (d) intervalo de 0.2 segundos

-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Des

plaz

amie

ntos

(pu

lg)

Tiempo (seg)

Teórico Integración

Diferencia Newmark lineal

Newmark promedio

-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0Des

plaz

amie

ntos

(pu

lg)

Tiempo (seg)



Newmark promedio

-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Des

plaz

amie

ntos

(pu

lg)

Tiempo (seg)



Newmark promedio


19

5. Conclusiones

Del caso 1 se puede concluir que a manera global los métodos presentan una buena

aproximación, siendo el método de Newmark promedio el que produce un ligera

imprecisión con respecto a los resultados teóricos. También se puede observar que cuando

se analiza la influencia del ∆t en el cálculo de la respuesta el método de la interpolación de

la excitación es el que mejor se aproxima para valores de ∆t altos. Adicionalmente el

método de Newmark con aceleración lineal presenta una mejor aproximación cuando se

analiza un ∆t más bajo.

En el caso 2 los métodos de Newmark y diferencia central presentan resultados parecidos

entre ellos inclusive precien el mismo tiempo donde se presenta el desplazamiento pico, y

el método de interpolación predice un valor pico más alto que los otros tres.

Referencias

1] A. K. Chopra, Dynamics of Structures Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice

Hall: Upper Saddle River, NJ., 1995.

2] R. W. Clough y J. Penzien, Dynamics of Structures 2° Edición, Berkley: MacGraw-Hill, 1993.


20

Anexos

A. Manual de usuario ‘Programa_Tarea_2’

Lee detenidamente estas instrucciones antes de utilizar el programa

Versión: v1.0

Implementado por:

Saulo López Montalbán. Saul Retamozo Fernández, Cristhian Saucedo Abanto,

Eduardo Ramírez Caparó, Mijail Montesinos Escobar

Lima, 09 de Mayo del 2015


21

Instrucciones

Este programa ha sido desarrollado usando GUIDE de Matlab el cual ofrece un entorno

amigable para el usuario a la hora de ingresar y obtener resultados. Los siguientes archivos

pertenecen al programa desarrollado.

Programa_Tarea_2.fig

Programa_Tarea_2.m

recurrencialineal.m

diff_cent.m

newmark.m

Semi_sinusoidal_load.m

Sinusoidal_load.m

Además se encuentra el archivo RegSis.csv el cual es el archivo del registro sísmico con

una dt=0.005 segundos.

Para poder ejecutar el programa se agrupan todos los archivos anteriores en una carpeta y

se agregan a la ruta de Matlab con la opción add to path. Luego en la línea de comandos

se ejecuta el comando guide y aparece una ventana. Se selecciona la pestaña Open

Existing GUI y se busca el archivo Programa_Tarea_2.fig, luego click en Open.

Aparecerá una ventana a la cual solo se debe ejecutar la ventana con la opción Run Figure

y el programa está listo para ser usado.

Una vez abierto el archivo y ejecutado, la siguiente ventana se mostrará automáticamente.


22

Interface gráfica para la solución de sistemas dinámicos de 1gdl

Cada sección de la interface tiene una función particular, en las siguientes secciones se

describe detalladamente cada una de estas.

1 Tipo de carga

2 Propiedades del sistema de 1 gdl

3 Método de análisis

4 Resultados gráficos

5 Ingreso de resultados teóricos

6 Carga de excitación

7 Resultados numéricos

1. Tipo de carga

En esta sección se ingresa la información sobre la carga que excitará al sistema de 1gdl. El

programa permite ingresar dos tipos de carga. Una carga determinada por el usuario (1),

esta opción requiere ingresar el diferencial de tiempo entre cada dato y el archivo con la

información de las amplitudes (botón Select Load). El otro tipo es una carga definida por

el mismo programa (2), se puede escoger una señal tipo sinusoidal o semi-sinusoidal.

Además se debe definir el diferencial de tiempo entre cada dato, el periodo de la señal, su

amplitud y el tiempo que se realizará el análisis. Para visualizar esta carga haga click en el

botón Plot una vez definidos los parámetros. Podrá visualizar la carga en la ventana 6

(Carga de excitación).


23

2. Propiedades del sistema de 1 gdl

En esta sección se definen las propiedades del sistema de un grado de libertad que se

analiza así como sus condiciones iniciales.

3. Método de análisis

Se deberá seleccionar el método de análisis deseado (1). En el caso del método de

Newmark también se deben definir los parámetros α y β (2). Finalmente se puede activar el

botón analizar para resolver el sistema dinámico (3).

4. Resultados gráficos

En esta sección se muestran los resultados de forma gráfica, tanto de los desplazamientos

como la velocidad del sistema para cada instante de tiempo.


24

5. Ingreso de resultados teóricos

El ingreso de datos teóricos se puede usar para comparar los resultados con los métodos de

integración numérica. Haga click en el botón Select y luego escoja el archivo con sus datos

correspondientes a la solución teórica del problema.

6. Carga de excitación

En esta sección se muestra la carga que excita al sistema como se mencionó en la sección

1.

Buen gráfico


25

7. Resultados numéricos

En esta sección se pueden visualizar los resultados de forma numérica. Tanto los datos

obtenidos con los métodos de integración (1) como los teóricos (2). El botón Exportar (3)

sirve para crear un archivo de texto con la respuesta final, mientras que el botón Plot (4)

grafica los resultados teóricos junto con los datos aproximados en la sección 4.

tarea-2 grupo3 final commented

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