DIDÁCTICA DE LAS

MATEMÁTICAS

TAREA Nº 6: TICS Subtarea 3

MI UNIDAD DIDÁCTICA DOLORES CROUSEILLES RECHE.

DNI 50683305

DIDÁCTICA DE LAS

MATEMÁTICASTAREA Nº 4

UNIDAD DIDÁCTICA: POLINOMIOS Y FRACCIONES

ALGEBRAICAS. DOLORES CROUSEILLES RECHE.

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UNIDAD DIDÁCTICA: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.

1 JUSTIFICACIÓN.

Esta unidad didáctica corresponde al bloque 3: Álgebra del currículo de 4º de ESO del área de Matemáticas Opción B.

Se imparte a continuación de la unidad referida a potencias y radicales, y precede a la unidad que estudia las ecuaciones y las inecuaciones.

Se justifica por la necesidad de que los alumnos consoliden los conocimientos sobre monomios, polinomios y sus operaciones, que ya han sido estudiados desde 2º de ESO. Se introduce la división de polinomios, tanto la realizada por el algoritmo tradicional como la efectuada por la regla de Ruffini y, como consecuencia el teorema del resto. Se estudia la descomposición factorial de polinomios, su divisibilidad y finalmente se introducen las fracciones algebraicas. Con ello se concluye el estudio de los polinomios y fracciones algebraicas en la etapa.

El tiempo estipulado para este tema es de 12 clases de 55 minutos.

Clase 1.- Terminología básica para el estudio de polinomios. Indicación de actividades para el próximo día.

Clase 2.- Suma, reata y multiplicación. Corrección de actividades e Indicación de actividades para el próximo día.

Clase 3.- División de polinomios. División entera y división exacta. Corrección de actividades e Indicación de actividades para el próximo día.

Clase 4.- Técnica para la división de polinomios. Corrección de actividades e Indicación de actividades para el próximo día.

Clase 5.- División de un polinomio por (x-a). Valor de un polinomio para (x-a). Teorema del resto Corrección de actividades e Indicación de actividades para el próximo día.

Clase 6.- Utilización de la regla de Ruffini para dividir un polinomio por (x-a) y para obtener el valor de un polinomio cuando x vale a. Corrección de actividades e Indicación de actividades para el próximo día.

Clase 7.- Factorización de polinomios. Raíces. Corrección de actividades e Indicación de actividades para el próximo día.

Clase 8.- Aplicación reiterada de la regla de Ruffini para factorizar un polinomio localizando las raíces enteras entre los divisores del término independiente. Corrección de actividades e Indicación de actividades para el próximo día.

Clase 9.- Divisibilidad de polinomios. Polinomios irreducibles, descomposición factorial, máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Corrección de actividades e Indicación de actividades para el próximo día.

Clase 10.- Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios Corrección de actividades e Indicación de actividades para el próximo día.

Clase 11.- Repaso y dudas.

Clase 12.- Prueba objetiva fin de unidad.

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2 CONOCIMIENTOS PREVIOS.

� Saber operar con potencias de exponente natural. � Saber operar con soltura con números racionales. � Conocer conceptos de expresión algebraica, monomio y polinomio. � Conocer las identidades notables y efectuar su desarrollo aplicando directamente la fórmula. � Sacar factor común de expresiones algebraicas sencillas. � Manejar con cierta destreza la calculadora.

3 OBJETIVOS DIDÁCTICOS.

Los objetivos didácticos que deberán alcanzar los alumnos al finalizar la unidad son:

� Utilizar el lenguaje algebraico para interpretar diferentes situaciones susceptibles de ser presentadas mediante polinomios o fracciones algebraicas.

� Conocer y utilizar correctamente las propiedades y los procedimientos habituales de las operaciones con polinomios.

� Conocer y aplicar correctamente la regla de Ruffini para la división de un polinomio por un monomio de la forma (x- a).

� Conocer y comprender el teorema del resto junto con sus aplicaciones inmediatas. � Saber obtener la descomposición factorial de un polinomio a partir de sus raíces enteras. � Conocer y calcular el M.C.D y m.c.m. de dos o más polinomios a partir de sus descomposiciones factoriales. � Conocer los conceptos de fracción algebraica y fracciones equivalentes. � Utilizar la descomposición factorial de un polinomio para simplificar una fracción algebraica.

4 DIFERENCIA CON LA OPCIÓN “B”.

La opción B se diferencia de la opción “A” principalmente por el mayor peso que da a los aspectos formales, lo que supone más importancia a las capacidades relacionadas con el empleo de lenguajes simbólicos y representaciones formales, así como la tendencia a una precisión más alta en la utilización de conceptos, términos y cantidades. Esto se manifiesta en la posibilidad que tiene el alumno de manejar ciertos algoritmos de cálculo que hacen posible la aplicación de conceptos, términos y cantidades. En cuanto a los contenidos, la capacidad de utilizar expresiones simbólicas se amplía con la adquisición de destrezas algebraicas de resolución, aplicables en la resolución de ecuaciones de segundo grado y en la tasa de variación, trigonometría, etc. Dado el carácter orientador de la Educación Secundaria Obligatoria, se presenta la necesidad de facilitar que en el último curso de la etapa los alumnos y alumnas puedan saber cómo son las matemáticas que se encontrarán en estudios posteriores.

5 COMPETENCIAS BÁSICAS.

� Matemática: Dominar el uso del lenguaje algebraico como medio para modelizar situaciones matemáticas.� Comunicación lingüística: Entender el lenguaje algebraico como un lenguaje más, con sus propias

características.� Conocimiento e interacción con el mundo físico: Saber utilizar el lenguaje algebraico para modelizar

elementos del mundo físico.� Tratamiento de la información y competencia digital: Utilizar la calculadora para facilitar los cálculos

donde interviene el lenguaje algebraico. Utilización de programas informáticos de cálculo simbólico.� Cultural y artística: Reconocer la importancia de otras culturas en el desarrollo del lenguaje algebraico.� Aprender a aprender: Saber autoevaluar los conocimientos adquiridos en esta unidad.� Autonomía e iniciativa personal: Utilizar los conocimientos adquiridos para resolver problemas de la vida

cotidiana.

6 CONTENIDOS DE APRENDIZAJE.

CONCEPUALES:

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Polinomios

-Terminología básica para el estudio de polinomios.

� Operaciones con monomios y polinomios

- Suma, resta y multiplicación.

- División de polinomios. División entera y división exacta.

- Técnica para la división de polinomios.

- División de un polinomio por x – a. Valor de un polinomio para x – a. teorema del resto.

- Utilización de la regla de Ruffini para dividir un polinomio por x – a y para obtener el valor de un polinomio cuando x vale a.

� Factorización de polinomios

- Factorización de polinomios. Raíces.

- Aplicación reiterada de la regla de Ruffini para factorizar un polinomio localizando las raíces enteras entre los divisores del término independiente.

� Divisibilidad de polinomios

- Divisibilidad de polinomios. Polinomios irreducibles, descomposición factorial, máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

- Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios.

Fracciones algebraicas

- Fracciones algebraicas. Simplificación. Fracciones equivalentes.

- Obtención de fracciones algebraicas equivalentes a otras dadas con igual denominador, por reducción a común denominador.

- Operaciones (suma, resta, multiplicación y división) de fracciones algebraicas.

PROCEDIMENTALES:

� Determinación del polinomio suma, y diferencia o producto de dos polinomios o monomios. Aplicación delas identidades notables.

� Cálculo de los polinomios cociente y resto de una división entera de polinomios. Aplicación de la regla de Ruffini.

� Búsqueda de las raíces enteras de un polinomio.

� Aplicación de los teoremas del resto y del factor.

� Calculo del M.C.D y m.c.m. de dos o más polinomios.

� Obtención de la factorización de polinomios.

� Operativa con fracciones algebraicas.

ACTITUDINALES:

� Valoración positiva de la utilidad del lenguaje simbólico como instrumento para la descripción de situaciones cotidianas.

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� Disposición favorable para el rigor y la simplicidad a la hora de aplicar métodos de resolución algebraicos.

� Gusto por la claridad y la precisión en la presentación del material.

� Valoración de la potencia y abstracción del simbolismo matemático que supone el álgebra.

� Valoración de la capacidad de los métodos algebraicos para representar situaciones complejas y resolver problemas.

� Valoración de la importancia de los polinomios en situaciones problemáticas de la vida cotidiana.

� Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido (expresando lo que se hace y por qué se hace) y de los resultados en cálculos y problemas algebraicos.

� Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido (expresando lo que se hace y por qué se hace) y de los resultados en cálculos y problemas aritméticos.

� Confianza en las capacidades propias para realizar operaciones con polinomios.

� Disposición favorable a la revisión y mejora del resultado de cualquier problema algebraico.

7 METODOLOGÍA.

Sobre lo estilos de gestión de la clase emplearemos la gestión pedagógica.

Trabajaremos principalmente el trabajo individual con los alumnos utilizando los pequeños grupos para la resolución de actividades que lo requieran y el gran grupo cuando lo consideremos oportuno.

Al inicio de la unidad se realizará una prueba para comprobar el nivel de conocimientos previos. Al final de la misma se dedicará una sesión para la realización de una prueba objetiva sobre la unidad con objeto de comprobar si se han alcanzados los objetivos.

El desarrollo de la unidad se llevará a cabo en el aula, dejando abierta la posibilidad, si las circunstancias lo permiten, de impartir una sesión en el aula de informática, para que los alumnos conozcan y se introduzcan en el manejo del sistema matemático Derive.

Todas las sesiones, excepto la primera dedicada a evaluar los conocimientos previos del alumno y la última dedicada a realizar la prueba objetiva sobre la unidad, se iniciarán con la corrección de las actividades que se hayan realizado en casa o en clase la sesión anterior. Con esto, se aclaran las dudas y se sigue el avance o estacionamiento del alunado. En función de lo que se observe se tomarán las medidas pertinentes. A continuación, en un segundo tercio de la sesión, se introducirán nuevos conceptos con la explicación correspondiente. Por último, en el tercer tercio de la clase se plantearán nuevas actividades con el fin de aclarar posibles dudas y cimentar lo explicado. De esta forma las clases tendrán una estructura fija que el alumno conocerá desde el principio.

Debe reforzarse desde el primer momento la diferencia conceptual entre polinomio, ecuación o función para no encontrarse con problemas en el futuro.

8 TEMAS TRANSVERSALES.

La finalidad de la educación es preparar a los jóvenes para ser ciudadanos responsables, para ejercer sus derechos y deberes en una sociedad democrática. Los objetivos básicos de todos los cursos trascienden el ámbito de lo estrictamente instructivo e incluyen aspectos relativos a la capacidad de análisis y resolución de problemas, la adquisición y el ejercicio de un espíritu crítico y creativo, la práctica de hábitos de cooperación ciudadana, de solidaridad y de trabajo en equipo.

Es fundamental por tanto, trabajar las actitudes para que los valores citados sean uno de los ejes a través del cual se organice el trabajo en clase. Así, en el área de matemáticas los temas transversales pueden considerarse elementos motivadores:

La educación moral y cívica se aborda al estimular las actitudes de rigor, sentido crítico, orden y precisión necesarias en el estudio de las matemáticas.

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También influyen en la formación humana el esfuerzo y constancia en la búsqueda de soluciones. Se contribuye al desarrollo de la autoestima, en la medida en que el alumno llegue a considerarse capaz de enfrentarse de modo autónomo a diversos problemas.

La educación para la salud, sobre todo psíquica, se realiza fomentando el orden y el rigor en las actividades.

La educación del consumidor se fomenta al desarrollar actitudes como la sensibilidad, el interés y el rigor en el uso de los lenguajes gráfico y estadístico.

El sentido crítico, necesario para consumir de forma adecuada y responsable, se desarrolla al interpretar y analizar los elementos matemáticos (gráficos, informaciones probabilísticas,...) presentes en las noticias, publicidad y medios de comunicación.

A la educación para la paz contribuye el desarrollo del espíritu de convivencia y de colaboración a través de actividades de trabajo en equipo.

También se fomenta la flexibilidad para modificar el propio punto de vista en la solución de problemas, además de reconocer la realidad como diversa y susceptible de ser interpretada desde puntos de vista contrapuestos y complementarios.

La educación vial se facilita al educar el sentido espacial, fundamentalmente a través de los contenidos de geometría.

La educación para la igualdad de oportunidades para ambos sexos se lleva a cabo en todo el material y comentarios de clase. Así se fomenta el reconocimiento de la capacidad de cada uno de los compañeros para desempeñar tareas comunes en actividades matemáticas.

9 MATERIALES.

� Para que los alumnos comprendan mejor la interpretación geométrica de las identidades notables, se pueden

utilizar materiales manipulables o se pueden elaborar transparencias.

� Para facilitar la asimilación por parte del alumno de la factorización de polinomios, se pueden consultar

páginas web como:http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm . Aula

de informática.

� Pizarra y útiles de pizarra.

� Libros de texto, cuaderno de clase.

� Libros de consulta de la biblioteca del instituto. Especialmente recomendables son: Ideas y actividades para

enseñar álgebra. Pasatiempo y juegos en la clase de Matemáticas. Y cuentos matemáticos.

� Calculadora científica.

� Ordenadores del aula de informática.

� Uso del Proyecto Descartes. Aula de informática.

� Asistente matemático Derive. Aula de informática.

No conviene utilizar aquellos materiales que son demasiado simples para estas edades ni herramientas que únicamente devuelven resultados finales sin analizar los procesos seguidos en su obtención, al menos hasta que los alumnos adquieran una cierta fluidez en el cálculo con expresiones algebraicas.

10 CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y CALIFICACIÓN.

� Realiza sumas, restas y multiplicaciones de polinomios. � Divide polinomios, pudiendo utilizar la regla de Ruffini si es oportuno. � Resuelve problemas utilizando el teorema del resto. � Factoriza un polinomio con varias raíces enteras. � Simplifica fracciones algebraicas. � Opera con fracciones algebraicas. � Expresa algebraicamente un enunciado que dé lugar a un polinomio o a una fracción algebraica. � Aplica la descomposición factorial de dos o más polinomios al calculo de su M.C.D y m.c.m. � Se calificará atendiendo al siguiente criterio: 70% nota de la prueba objetiva de sin de unidad, 20%

cuaderno de clase y 10% asistencia y actitud en clase.

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11 ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Y ALUMNOS CON NECESIDADES EDUCATIVAS ESPECIALES.

La atención a la diversidad se justifica a través de las actividades de refuerzo y ampliación. Se utilizan según las necesidades de los alumnos. Habrá veces en que toda la clase necesitará algún apoyo para reforzar conceptos no asimilados en su totalidad. Por el contrario nos encontraremos con casos en que la mayor parte de la clase profundice con las actividades de ampliación. Lo más habitual será detectar qué necesidades tiene cada alumno para incidir con las actividades más idóneas en sus carencias o inquietudes intelectuales.

En caso de que en el grupo haya algún alumno con necesidades educativas especiales, se realizarán adaptaciones curriculares significativas según lo establecido en la programación del departamento.

12 ACTIVIDADES DE REFUERZO.

Están destinadas a aquellos alumnos que necesitan corregir y consolidar los contenidos de la unidad.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con:

� La resolución de operaciones combinadas de polinomios que contengan como máximo un paréntesis. � Divisiones sencillas de dos polinomios. � División por Ruffini.

13 ACTIVIDADES.

1.- Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y

coeficiente.

a) 3x3

b) 5x −3

c) 3x + 1

d) ��������

f) 2 ��

2.- Efectúa las siguientes operaciones con monomios:

a) 2x3 − 5x3 =

b) 3x4 − 2x4 + 7x4 =

c) (2x3 ) · (5x3) =

d) (2x3 y2) · (5x3 y z2 ) =

e) (12x3) · (4x) =

f) (18x3 y2 z5) · (6x3 y z2 ) =

7

g) (2x3 y2)3 =

h) (2 x3 y2 z5)5 =

i) 3x3 − 5x3 − 2x3 =

j) (12 x3 y5 z4) : (3x2 y2 z3) =

k)������� ������� �¹²�

��²² =

3.- Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál

es su grado y término independiente.

a) x4 − 3x5 + 2x2 + 5

b) 2 �� + 7X2 + 2

c) 1 − x4

d) ��²

- x -7

e) x3 + x5 + x2

f) x − 2 x − 3 + 8

g) x³ - x - ��

4.- Escribe:

a) Un polinomio ordenado sin término independiente.

b) Un polinomio no ordenado y completo.

c) Un polinomio completo sin término independiente.

d) Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

5.- Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = 1/2 x2 + 4

8

T(x) =3/2 x2 +5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

a) P(x) + Q (x) =

b) P(x) − U (x) =

c) P(x) + R (x) =

d) 2P(x) − R (x) =

e) S(x) + R (x) + U(x) =

f) S(x) − R (x) + U(x) =

6 Multiplicar:

a) (x4 −2 x2 +2) · (x2 −2x +3) =

b) (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) =

7 Calcula:

a)���²���� ��� ² =

b) (x + 2)3 =

c) (3x - 2)3 =

d) (2x + 5)3 =

e) (3x - 2) · (3x - 2) =

8.- Dividir:

(x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20 ) : (x2 + 3x −2)

9.- Divide por Ruffini:

(x3 + 2x +70) : (x+4)

10.- Halla el resto de las siguientes divisiones:

a) (x5 − 2x2 − 3) : (x −1 )

9

b) (2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x +10) : (x + 2)

11.- Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

a) (x3 − 5x −1) : (x − 3)

b) (x6 − 1) : (x + 1)

c) (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1 )

d) (x10 − 1024) : (x + 2)

12.- Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

a) (x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3)

b) (x6 − 1) tiene por factor (x + 1)

c) (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1 )

d) (x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)

13.- Factorizar:

a) �� �

� ���� �� ������� �² =

b) xy − 2x − 3y +6 =

c) 25x2 – 1 =

d) 36x6 − 49 =

e) x2 − 2x +1 =

f) x2 − 6x +9 =

g) x2 − 20 x +100 =

h) x2 + 10x +25 =

i) x2 + 14x +49 =

j) x3 − 4x2 + 4x =

k) 3x7 − 27x =

l) x2 − 11x + 30

10

m) 3x2 + 10x +3

n) 2x2 − x −1

14.- Descomponer en factores y hallar las raíces de:

a) P(x) = 2x3 − 7x2 + 8x − 3

b) P(x) = 2x3 − 7x2 + 8x − 3

c) x3 − x2 − 4

d) x3 + 3x2 −4 x − 12

15.- Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 − kx +2 por (x − 2) dé de resto 4.

16.- Determinar el valor de m para que 3x2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

17.- Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.

18.- Calcular el valor de a para que el polinomio x3 − ax +8 tenga la raíz x= − 2, y calcular las otras

raíces.

19.- Simplificar:

a) �²����²��� =

b) �²������ =

c) �²������������� =

d) �²������������ =

20.- Operar:

a)�

������� ���������� =

b) � ����������

��� =

c) � ������� �� !�

��� ���" =

d) #������#���� �$�������������#� =

e)������ ������: �� �� �

���� =

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f) �

��� %%&�%'

=

13.1 PROBLEMAS CON POLINOMIOS.

1.- La torre de una iglesia es un prisma de base cuadrada y de altura 15m. mayor que la arista de la base.

a) Expresa, en lenguaje algebraico, cuanto miden su superficie lateral y su volumen.

b) Calcula los valores numéricos de la superficie y del volumen para una arista de la base de 5,6 y 7m respectivamente.

2.- La página de un libro mide el doble de aqlto que de ancho, y los márgenes laterales miden 2 cm y los márgenes superior e inferior 3 cm.

a) Expresa la superficie de la página en lenguaje algebraico.

b) Haz lo mismo con la superficie útil del papel (lo que queda dentro de los márgenes.

3.- Mandamos construir un depósito de agua con forma cilíndrica, siendo el área de la base la quinta parte del cubo de la altura.

a) expresa el volumen del depósito

b) ¿Cuántos metros cúbicos de agua aben si la altura mide 1 m.?

4.- El diámetro de la base de un silo cilíndrico mide ¾ de la longitud de la altura.

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a) Expresa la capacidad del silo en función del diámetro de su base.

b) Queremos pintar el silo y empleamos 1 kg de pintura por cada metro cuadrado. Calcula cuantos Kgde pintura necesito si el diámetro de la base mide 2 m.

5.- Si el resto de la división de un polinomio P8x) entre (x-2) es 12, y entre (x+2) es 4 ¿Cuál será el resto de la división de P(x) entre (x2 – 4)?.

6.- ¿Cuál es el resto de la división de x51 + 51 entre (x+1)?.

7.- Demuestra que el triángulo ABC es rectángulo para cualquier valor de x.

8.- Calcular el perímetro y el área de la figura, expresando el resultado mediante polinomios.

9.- Encuentra los valores de A, B y C para que se cumpla la igualdad:

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(Ax – 7) . (5x + B) = Cx2 – 6x – 14

10.- Halla un polinomio de segundo grado que se divisible por (x – 1) y que, al dividirlo entre (x+1) y entre (x – 2), se obtenga como resto 10 y 5, respectivamente.

13.2 EN LA VIDA COTIDIANA.

1.- Dentro de los proyectos de conservación de zonas verdes de un municipio, se ha decidido instalar un parque en el solar que ocupa una antigua fábrica.

El parque tendrá tres áreas delimitadas: la zona de juegos, la zona de lectura, que rodea a la zona de juego, y el resto, que se dedicará a la zona de paseo.

Aún no han hecho mediciones, pero los técnicos han determinado que la zona dedicada l los juegos sea cuadrada y su lado medirá 40 metros.

a) ¿Qué expresión nos da el área de la zona para pasear? ¿Y el área de la zona de lectura?.

b) Si deciden que la zona de paseo tenga un ancho de 40 metros, ¿Cuáles serán las áreas de cada zona?.

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2.- Al recoger el correo, Ana ha recibido la factura de su consumo de luz en los dos últimos meses.

Ana le pide ayuda a su hermano y ambos se disponen a analizar la factura con detalle.

Con esta información, escriben un polinomio: 1,16 . (�)*+�$ ,�-� � ./0 � ��12 siendo x el importe de la potencia al mes, y el importe de de energía consumida y z el importe mensual del alquiler.

Ahora comprenden por qué la factura ha sido de 49,84 €.

a) Comprueba el importe.

b) Deciden bajar la potencia a 3,5 kW y el consumo aumenta a 315 kWh. ¿Cuánto tendrán que pagar en la factura de los dos próximos meses?