tarea econometria

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ECONOMETR ´ IA TAREA NO. 1 CLAUDIO GAETE OBREQUE INGENIER ´ IA CIVIL MATEM ´ ATICA 1

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Análisis de regresión con variables dummy. Econometría. Supuestos.Cálculos e interpretación de elasticidad para modelos log-log, nivel-nivel.

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Page 1: Tarea econometria

ECONOMETRIATAREA NO. 1

CLAUDIO GAETE OBREQUE

INGENIERIA CIVIL MATEMATICA

1

Page 2: Tarea econometria

1. La base de datos BASETAREA contiene informacion de diversos sectores productivos deChile, durante 1985, donde vab corresponde al valor agregado bruto, que mide el valoranadido generado por el conjunto de productores de un area economica (en millonesde pesos), empleo: poblacion que estando en edad de trabajar tiene empleo (en milesde personas) y capital: el dinero con el que cuenta el sector productivo en particular(en millones de pesos). Una funcion de produccion de un sector establece relacionestecnicas entre las 3 variables mencionadas. En la literatura econometrica surge confrecuencia el uso de modelos economicos para determinar dicha relacion:

vab = f(empleo, capital) (1)

y los modelos econometricos usuales son:

vab = β0 + β1empleo+ β2capital + ε (2)

log(vab) = β0 + β1empleo+ β2capital + ε (3)

vab = β0empleoβ1capitalβ2ε (4)

a) Ajuste e interprete los coeficientes (de ser posible) de cada modelo econometricoplanteado.

b) Para cada modelo calcule la elasticidad e interpretela (cuando no se pueda deforma directa calculela para un valor dado).

c) Analice cual es el mejor modelo que describe a estos datos (analisis de residuos,multicolinealidad, etc.).

Solucion:

a) A continuacion se presentan los coeficientes de cada modelo ajustado, junto consus interpretaciones.

Modelo 1

Page 3: Tarea econometria

Interpretacion:

β0 : Cuando no hay poblacion trabajando, ni capital, el valor agregado brutoes de 9.9930 millones de pesos. Sin embargo, esta interpretacion no tiene sen-tido para este problema.

β1 : Corresponde al efecto parcial, es decir, si mantenemos fijo el capital,un aumento en una unidad del empleo (en miles de personas), significara unaumento en promedio de 1.18833 millones de pesos en el valor agregado bruto.

β2 : Analogamente, este termino corresponde al efecto parcial o ceteris pa-ribus, ası, si mantenemos fijo el empleo, un aumento en una unidad del capital(en millones de pesos), significara un aumento promedio de 0.1542 millones depesos en el valor agregado bruto.

Modelo 2

Interpretacion:

β0 : Cuando no hay poblacion trabajando, ni capital, el logaritmo del valoragregado bruto es de 2.3123 millones de pesos. Sin embargo, esta interpreta-cion no tiene sentido para este problema.

β1 : Corresponde al efecto parcial, es decir, si mantenemos fijo el capital,un aumento en una unidad del empleo (en miles de personas), significara unaumento, en promedio, de 3.7565 % millones de pesos en el valor agregadobruto.

β2 : Corresponde al efecto parcial, si mantenemos fijo el empleo, un aumento

Page 4: Tarea econometria

en una unidad del capital (en millones de pesos), significara un aumento pro-medio de 0.60 % millones de pesos en el valor agregado bruto.

Modelo 3Para la resolucion de este modelo se le aplico la funcion logaritmo, obteniendolo siguiente:

vab = β0empleoβ1capitalβ2ε

log(vab) = log(β0) + β1 log(empleo) + β2 log(capital) + log(ε)

log(vab) = α + β1 log(empleo) + β2 log(capital) + ε

Interpretacion:

β0 : Debemos recordar que al realizar el modelo se obtuvo α := log(β0), porlo tanto β0 = 2,6156. Ademas, para el modelo no tiene sentido explicar β0.

β1 : Si mantenemos fijo el capital, un aumento en un aumento en 1 % del em-pleo (en miles de personas), significara un aumento, en promedio, de 0.5043 %millones de pesos en el valor agregado bruto.

β2 : Si mantenemos fijo el empleo, un aumento en 1 % del capital (en millonesde pesos), significara un aumento promedio de 0.3692 % millones de pesos enel valor agregado bruto.

Page 5: Tarea econometria

b) A continuacion se presentan las elasticidades para cada modelo. Ademas comoestamos frente a un regresion multiple se tienen elasticidades parciales.

Modelo 1:

Para calcular las elasticidades parciales se necesita un valor de empleo y delcapital, para luego obtener la esperanza del valor agregado bruto, dado queel empleo tiene cierto valor y que el capital se mantiene constante y analo-gamente para el otro caso. Por lo tanto, se utilizaran los valores promedio deempleo = 11,31303 y capital = 32,80576. Ası:

Elasticidad de empleo-vab=0.472Interpretacion: Si el capital se mantiene constante, un aumento en un au-mento en 1 % en la media del empleo (en miles de personas), significara unaumento, en promedio, de 0.472 % millones de pesos en el valor agregado bruto.

Elasticidad de capital-vab=0.178Interpretacion: Si mantenemos fijo el empleo, un aumento en 1 % en la mediadel capital (en millones de pesos), significara un aumento promedio de 0.178 %millones de pesos en el valor agregado bruto.

Modelo 2:

Para calcular las elasticidades parciales se consideraron los mismos valoresque para el modelo 1.

Elasticidad de empleo-vab=0.425Interpretacion: Si el capital se mantiene constante, en un aumento en 1 % enla media del empleo (en miles de personas), significara un aumento, en pro-medio, de 0.425 % millones de pesos en el valor agregado bruto.

Elasticidad de capital-vab=0.197Interpretacion: Si mantenemos fijo el empleo, un aumento en 1 % en la mediadel capital (en millones de pesos), significara un aumento promedio de 0.197 %millones de pesos en el valor agregado bruto.

Modelo 3:

Elasticidad de empleo-vab=0.504Interpretacion: En este caso, la interpretacion coincide con la de β1, es decir, simantenemos fijo el capital, un aumento en un aumento en 1 % del empleo (enmiles de personas), significara un aumento, en promedio, de 0.5043 % millonesde pesos en el valor agregado bruto.

Elasticidad de capital-vab=0.369Interpretacion: En este caso, la interpretacion coincide con la de β2, es decir,

Page 6: Tarea econometria

si mantenemos fijo el empleo, un aumento en 1 % del capital (en millones depesos), significara un aumento promedio de 0.3692 % millones de pesos en elvalor agregado bruto.

Page 7: Tarea econometria

c) Para analizar cual es el mejor modelo se realizaron una serie de pruebas las cualesse presentan a continuacion para cada modelo, y al final se presentara una conclu-sion respecto a lo consultado.

Modelo 1:Primero analizamos la multicolinealidad, para esto se presenta una grafica delos datos, el ideal serıa que no se observara una relacion lineal entre ambas,ya que si esto fuese ası, estarıan explicando lo mismo.

Figura 1

Del grafico se observa que pareciera existir una relacion entre ambas variables.Ademas la correlacion entre las dos variables es de 0.7266, lo cual es bastantealto.

Por otro lado, veamos los supuestos de los errores a traves de los residuos:

Normalidad:

Para la normalidad se realizaron test de Shapiro-Wilks y de Lilliefors, dondeambos test fueron rechazados, es decir, no se cumple el supuesto de normalidadde los residuos. Ademas se presenta el histograma de estos.

Page 8: Tarea econometria

Figura 2

Homocedasticidad:

Para la homocedasticidad se aplico el test de Breusch-Pagan, a partir de la cualno hay evidencia para rechazar H0, por lo tanto se considera que los residuosson homocedasticos. Ademas se presenta un grafico de los valores ajustadosv/s los residuos.

Figura 3

Page 9: Tarea econometria

Independencia:

Para analizar la no correlacion de los residuos se realizo el test de Durbin-Watson, de la cual no hay evidencia para rechazar la hipotesis nula, por lo quese aceptan la independencia de los residuos. Ademas se presenta el grafico delACF de los residuos.

Figura 4

Finalmente se presenta el AIC del modelo, junto con la ANOVA.

AIC= 270.3563

Figura 5

Modelo 2:

Como el modelo 2 tiene las mismas variables explicativas que el modelo 1, lopresentado anteriormente para analizar la multicolinealidad es igual para estecaso.Veamos los supuestos de los errores a traves de los residuos:

Page 10: Tarea econometria

Normalidad:

Para la normalidad se realizaron test de Shapiro-Wilks y de Lilliefors, dondeambos test fueron rechazados, es decir, no se cumple el supuesto de normalidadde los residuos. Ademas se presenta el histograma de estos.

Figura 6

Homocedasticidad:

Para la homocedasticidad se aplico el test de Breusch-Pagan, a partir del cualno hay evidencia para rechazar H0, por lo tanto se considera que los residuosson homocedasticos. Ademas se presenta un grafico de los valores ajustadosv/s los residuos.

Page 11: Tarea econometria

Figura 7

Independencia:

Para analizar la no correlacion de los residuos se realizo el test de Durbin-Watson, de la cual no hay evidencia para rechazar la hipotesis nula, por lo quese aceptan la independencia de los residuos. Ademas se presenta el grafico delACF de los residuos.

Figura 8

Finalmente se presenta el AIC del modelo, junto con la ANOVA.

AIC= 75.21056

Page 12: Tarea econometria

Figura 9

Modelo 3:

Primero analizamos la multicolinealidad, para esto se presenta una grafica delos datos, el ideal serıa que no se observara una relacion lineal entre ambas,ya que si esto fuese ası, estarıan explicando lo mismo.

Figura 10

Del grafico se observa que pese a que pareciera existir una relacion entre ambasvariables, hay mas variabilidad en estos, por lo que se esperarıa no estuvieranmuy correlacionados. Ademas la correlacion entre las dos variables logarıtmi-cas es de 0.6849, lo cual no es tan alto.

Por otro lado, veamos los supuestos de los errores a traves de los residuos:

Normalidad:

Para la normalidad se realizaron test de Shapiro-Wilks y de Lilliefors, donde enambos test no hubo evidencia significativa para rechazar la hipotesis nula, esdecir, se cumple el supuesto de normalidad de los residuos. Ademas se presentael histograma de estos.

Page 13: Tarea econometria

Figura 11

Homocedasticidad:

Para la homocedasticidad se aplico el test de Breusch-Pagan, a partir de la cualno hay evidencia para rechazar H0, por lo tanto se considera que los residuosson homocedasticos. Ademas se presenta un grafico de los valores ajustadosv/s los residuos.

Figura 12

Page 14: Tarea econometria

Independencia:

Para analizar la no correlacion de los residuos se realizo el test de Durbin-Watson, de la cual no hay evidencia para rechazar la hipotesis nula, por lo quese aceptan la independencia de los residuos. Ademas se presenta el grafico delACF de los residuos.

Figura 13

Finalmente se presenta el AIC del modelo, junto con la ANOVA.

AIC= 23.32567

Figura 14

Conclusion:El unico modelo que cumple con los supuestos es el tercer modelo, ademassi aplicamos el criterio de AIC, donde a menos AIC, mejor es el modelo,concluimos lo mismo, es decir, que el mejor modelo es el tercero.Por otro lado se debe destacar que este modelo resulto ser el unico donde loscoeficientes de las dos variables explicativas resultaron ser estadısticamentesignificativos.

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2. Para estudiar la tasa de crecimiento de la poblacion de Concepcion durante el periodode 1980-2002, se estimaron dos modelos y se obtuvo:

Modelo1 : log(Pob)t = 4,73 + 0,024tt = (781.25) (54.71)

(5)

Modelo2 : log(Pob)t = 4, 77 + 0,015t− 0,075Dt + 0,011Dttt = (2477.92) (34.01) (−17.03) (25.54)

(6)

donde Pob=Poblacion en millones; t= variable de tendencia; Dt=1, para observa-ciones que comenzaron en 1988 y 0 antes de 1988. OBS: los valores escritos en letraspequenas representan el valor del estadıstico t.a) En el Modelo 1, ¿Cual es la tasa de crecimiento de Concepcion?.b) Respecto al modelo 2, ¿las tasas de crecimiento son estadısticamente distintas an-

tes y despues de 1978?. ¿Como se sabe?. Si son diferentes, ¿cual es la tasa decrecimiento en cada periodo?

Solucion:

a) La tasa de crecimiento de concepcion corresponde a 100β1 =2.4, es decir, un au-mento de un ano implica un aumento en promedio de 2.4 % de la poblacion enmillones de personas.

b) Para poder responder esta pregunta, analizaremos la significancia de los coeficien-tes γ1 y γ2, ya que se nos da como dato el valor del estadıstico t para la significanciaindividual.Sabemos que el estadıstico t se distribuye tn−k−1, donde n=22, k=4, por lo tantoel t de tabla t19 = 1,73.Por lo tanto para γ1 tenemos que tobs = −17,03 < ttabla por lo tanto, no evidenciapara rechazar la hipotesis nula, por lo que γ1 = 0.Para γ2 tenemos que tobs = 25,54 > ttabla por lo tanto, se rechazar la hipotesisnula, por lo que γ1 6= 0.De lo anterior, tenemos que en nuestro modelo es significativa la presencia de lavariable dicotomica D multiplicada por t. Es decir, las tasas son estadısticamentedistintas antes y despues de 1988.Por otro lado, nos falta ver la tasa de crecimiento para cada periodo. Para elperiodo antes de 1988 se tiene que la variable dicotomica D es 0, por lo tantola tasa de crecimiento corresponde a 1.15 %. En cambio para el segundo periodo,D = 1, por lo tanto la tasa de crecimiento sera (0,015 + 0,011) · 100 %=2.6 %.

Page 16: Tarea econometria

Anexos

Los siguientes codigos se utilizaron para resolver los ejercicios planteados.

Listing 1. Rutero

1 library(lmtest)2 library(nortest)3 library(car)4 library(zoo)5

6 ########################################7 #################### Ejercicio 1 ######8 ########################################9

10 data = read.table(file.choose(),header=TRUE)11 names(data)12 attach(data)13 View(data)14

15 #vab: valor agregado bruto16 #empleo: poblacion que estando en edad de trabajar tiene empleo17 #capital: el dinero con el que cuenta el sector productivo en particular18

19 ################# Modelo 1 ####################20

21 model1<−lm(vab˜empleo+capital)22 summary(model1)23

24 #elasticidad25 memp<−mean(empleo)26 mcap<−mean(capital)27

28 elas1empleo<−model1$coefficients[2]∗(memp/(model1$coefficients[1]...29 +model1$coefficients[2]∗memp+model1$coefficients[3]∗mcap))30 elas1capital<−model1$coefficients[3]∗(mcap/(model1$coefficients[1]...31 +model1$coefficients[2]∗memp+model1$coefficients[3]∗mcap))32

33 #analisis34 aic1<−AIC(model1)35 anova(model1)36

37 #homo38 bptest(model1) #Se acepta H039

40 residuos1<−model1$residuals41 cor(data[2:4])42 plot(empleo,capital)43

Page 17: Tarea econometria

44 hist(residuos1) #histograma de los residuos45 shapiro.test(residuos1) #No se rechaza H046 lillie.test(residuos1) #No se rechaza H047

48 ##Homocedasticidad49 ajustados1<−model1$fitted.values50 plot(ajustados1,residuos1,main="Homocedasticidad")51 abline(h=0,col="red")52 ncvTest(model1)53 #como el valor p es menor al alpha se rechaza H054 #es decir hay homocedasticidad55

56 ##Independencia57 acf(residuos1)58 dwtest(model1)59

60 #No se rechaza H0, pues el valor p es mayor que alpha.61

62 ###################### Modelo 2 #####################63

64 model2<−lm(log(vab)˜empleo+capital)65 summary(model2)66

67 #elasticidad68 elas2empleo<−model2$coefficients[2]∗memp69 elas2capital<−model2$coefficients[3]∗mcap70

71 #analisis72 aic2<−AIC(model2)73 anova(model2)74

75 #homo76 bptest(model2) #Se acepta H077

78 residuos2<−model2$residuals79 cor(data[3:4])80 plot(empleo,capital)81

82 hist(residuos2) #histograma de los residuos83 shapiro.test(residuos2) #No se rechaza H084 lillie.test(residuos2) #No se rechaza H085

86 ##Homocedasticidad87 ajustados2<−model2$fitted.values88 plot(ajustados2,residuos2,main="Homocedasticidad")89 abline(h=0,col="red")90 ncvTest(model2)91 #como el valor p es mayor al alpha no se rechaza H092 #es decir no hay homocedasticidad93

Page 18: Tarea econometria

94 ##Independencia95 acf(residuos2)96 dwtest(model2)97 #No se rechaza H0, pues el valor p es mayor que alpha.98

99 ####################### Modelo 3 ###################100

101 model3<−lm(log(vab)˜log(empleo)+log(capital))102 summary(model3)103

104 #elasticidad105 beta0<−exp(model3$coefficients[1])106 elas3empleo<−model3$coefficients[2]107 elas3capital<−model3$coefficients[3]108

109 #analisis110 aic3<−AIC(model3)111 anova(model3)112

113

114 #homo115 bptest(model3) #Se acepta H0116

117 residuos3<−model3$residuals118 cor(data[3:4])119 plot(log(empleo),log(capital))120

121 hist(residuos3) #histograma de los residuos122 shapiro.test(residuos3) #No se rechaza H0123 lillie.test(residuos3) #No se rechaza H0124

125 ##Homocedasticidad126 ajustados3<−model2$fitted.values127 plot(ajustados3,residuos3,main="Homocedasticidad")128 abline(h=0,col="red")129 ncvTest(model3)130 #como el valor p es mayor al alpha no se rechaza H0131 #es decir no hay homocedasticidad132

133 ##Independencia134 acf(residuos3)135 dwtest(model3)136 #No se rechaza H0, pues el valor p es mayor que alpha.