1. ECUACIONES 1.- Definiciones generales. 2.- Ecuaciones de primer grado. 2.1.- Resolucin. 2.2.- Aplicaciones a problemas. 3.- Ecuaciones de segundo grado. 3.1.- Resolucin. 3.2.- Ecuaciones incompletas. 3.3.- Aplicaciones a problemas. 4.- Otras ecuaciones. 4.1.- Ecuaciones factorizadas. 4.2.- Ecuaciones con radicales. 4.3.- Ecuaciones racionales.

2. 1. Definiciones generales. Elementos de una ecuacin En las ecuaciones distinguimos varios elementos:

Incgnita: La letra (o variable) que figura en la ecuacin. 3. Miembro: Es cada una de las dos expresiones algebraicas separadas por el signo =. 4. Trmino: Cada uno de los sumandos que componen los miembros de la ecuacin. 5. Grado: Es el mayor de los exponentes de las incgnitas, una vez realizadas todas las operaciones (reducir trminos semejantes)

Solucin de una ecuacin La solucin de una ecuacin es el valor de la incgnita que hace que la igualdad sea cierta. 6. EJEMPLO . Distingue los elementos de esta ecuacin: 14x + (19x +18) = x 2+7x +1 Incgnita: x Primer miembro: x + (19x+18) Segundo miembro: x 2+7x+1 Trminos: 14x, 19x, 18, x2, 7x, 1 Grado: 2 7. 2. Ecuaciones de primer grado. Una ecuacin de primer grado con una incgnita es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma ax+b=0, con a # 0. 8. EJEMPLO. 9. 2.2.- Aplicacin a problemas. Si al doble de un nmero le sumamos la cuarta parte de dicho nmero, el resultado es 189. Cul es el nmero? Resolucin: 1 Asignamos la incgnita: En nuestro caso, x ser el nmero que me piden. 2 Planteamos la ecuacin que me dice el enunciado. Doble del nmero : 2x Cuarta parte de un nmero : x/4 Suma del doble mas la cuarta parte : 2x+x/4 3 Resolvemos la ecuacin: 2x+x/4 = 189 (8x+x)/4 = 189 9x = 189. 4 9x = 756 x = 89 10. 3. Ecuaciones de segundo grado. Lasecuaciones de segundo gradoson de la forma: ax 2+ bx + c =0 Para resolverlas empleamos la frmula: 11. 3. Ecuaciones de segundo grado. Qu forma tiene una ecuacin de segundo grado? Si representamos una ecuacin de segundo grado (dando valores), se obtiene una parbola. Ejemplo:Representad x2+2x-1 = 0 12. 3.2.-Ecuaciones de 2 grado incompletas. Cuando b, c los dos son 0 estamos ante una ecuacin de segundo grado incompleta. En estos casos no es necesario aplicar la frmula ya que resulta ms sencillo proceder de la siguiente manera Si b=0: ax 2+ c =0 ax 2 =-c x 2 =-c/a Ejemplo: x 2 /2 +2 = 0 x 2= 4 Solucionesx=2 ; x=-2 13. 3.2.-Ecuaciones de 2 grado incompletas. Si c = 0:ax 2+ bx =0. Sacando x factor comn :x (ax+b)=0x=0 x=-b/a 2x 2- 6x=0x(2x - 6)=0 Soluciones: x=0 x=3 Ejemplo: 14. Otras ecuaciones de 2 grado. En ocasiones, las ecuaciones de 2 grado no vienen expresadas directamente para aplicar la frmula de resolucin. 15. 3.3.- Aplicacin a problemas 1 Problemas de nmeros. El producto de dos nmeros naturales consecutivos es 210. Qu nmeros son? Resolucin

Si llamamos "x" al primero de los nmeros, su consecutivo ser "x+1". 16. Su producto es x.(x+1). El producto es igual a 210x.(x+1) = 210 17. Resolvemos la ecuacin, x 2 + x - 210 = 0.

18. 3.3.- Aplicacin a problemas 2 Problemas de aplicacin del Teorema de Pitgoras. Recordemos el teorema de Pitgoras: Por qu es til el Teorema de Pitgoras para resolver problemas de ecuaciones de segundo grado?? 19. 3.3.- Aplicacin a problemas "En un tringulo rectngulo, la hipotenusa mide 3 cm ms que el cateto mayor, y ste mide 3 cm ms que el menor Cunto miden los tres lados?" Vemos que la forma de relacionar los tres lados de un tringulo rectngulo es a travs del Teorema de Pitgoras: Llamamos "x" al cateto menor. De esta forma, "x+3" ser el cateto mayor y "x+3+3=x+6" la hipotenusa. 20. 3.3.- Aplicacin a problemas Aplicamos el teorema de Pitgoras: (x+6) 2 =(x+3) 2 +x 2 x 2 +36+12x=x 2 +9+6x+x 2x 2 -6x-27=0Se resuelve y se obtiene x1=-3 x2= 9 De las dos soluciones, se toma slo lapositiva.Por lo tanto, lasolucines:cateto menor 9 cm, el mayor 12 cm y la hipotenusa 15 cm. 21. 3.3.- Aplicacin a problemas 3 Problemas de aplicacin a clculo de volmenes. Recordemos que: 22. 3.3.- Aplicacin a problemas "El rea total de un cilindro de 22m de altura es 1110 m 2 . Hallar el radio." Como hemos visto antes, el rea total del cilindro es 2 veces el rea de la base mas el rea lateral. 23. 3.3.- Aplicacin a problemas 4 Problemas financieros. "Un inversor deposita 10000 euros a un cierto porcentaje. Al cabo de un ao aade 20000 euros y mantiene todo el capital al mismo porcentaje. Al finalizar el 2 ao le devuelven 32025 euros A qu porcentaje impuso su capital?" Est claro que la incgnita aqu es el ndice de crecimiento anual (es decir, el tanto por ciento). 24. 3.3.- Aplicacin a problemas Comienzo Final 1 erAO 10000 2 AO10000x+20000(10000x+20000).x 10000.x 25. 3.3.- Aplicacin a problemas Por lo tanto,(10000x+20000)x=3202510000x 2 +20000x-32025 = 0 Se resuelve la ecuacin y de las dos soluciones que tiene, slo una es una raz positiva. x=1'05. Si el ndice de crecimiento anual es 1'05, entonces el porcentaje de aumento anual es del5%. 26. 4.- OTROS TIPOS DE ECUACIONES 4.1.- ECUACIONES FACTORIZADAS.

Este tipo de ecuaciones, vienen expresadas comoproducto de factores igualados a cero. 27. Slo es necesario igualar cada uno de los factores a 0 para resolverlas.

28. 4.1.- ECUACIONES FACTORIZADAS. 29. 4.2.- Ecuaciones con radicales. Para resolver ecuaciones con radicales, vamos a ver un ejemplo: Primer paso: Se aisla el radical en un miembro, pasando al otro lado los dems. 30. 4.2.- Ecuaciones con radicales. Segundo paso:Se elevan al cuadrado los dos miembros. 31. 4.2.- Ecuaciones con radicales. Tercer paso:Ya sin radicales, se resuelve de manera ordinaria 32. 4.3.- Ecuaciones con la x en el denominador Veamos cmo se resuelven con un ejemplo: Primer paso: Se multiplican todos los miembros por el m.c.m. de los denominadores (en este caso, el producto de x.(x-2). 33. 4.3.- Ecuaciones con la x en el denominador Segundo paso:Una vez suprimidos los denominadores, se resuelven de manera ordinaria.