PROGRAMACION LINEAL

1. Una compañía posee 2 minas; La mina A produce 1 tonelada de mineral de hierro de alta

calidad, 3 toneladas de mineral de calidad media y 5 toneladas de mineral de baja calidad

todos los días, la mina B produce 2 toneladas de las 3 calidades de mineral cada día. La

compañía necesita 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad

media y 200 toneladas de mineral de calidad baja: ¿Cuántos días debe trabajarse cada

mina si el costo diario de operación es de $200 en cada mina?

SOLUCION

El resumen del problema, es el siguiente

CALIDAD MINA A MINA B REQUISITOS

CALIDAD ALTA 1 tonelada 2 toneladas 80 toneladas

CALIDAD MEDIA 3 toneladas 2 toneladas 160 toneladas

CALIDAD BAJA 5 toneladas 2 toneladas 200 toneladas

DEFINICION DE LAS VARIABLES

Número de días de trabajo en la mina A

Número de días de trabajo en la mina B

FUNCION OBJETIVO

RESTRICCIONES

LA REPRESENTACION GRAFICA ES LA SIGUIENTE

Por tanto la región factible es el polígono cuyos vértices son:

( ) ( )

( )

( )

Como debemos hallar el vértice que maximiza el problema entonces

Para

( ) tenemos que

20.000

( )tenemos que

( )

( )

Por lo tanto el mínimo se encuentra en ( ) y por lo tanto la compañía debe

trabajar la mina A durante 40 días y la mina B durante 20 días con un costo total de

$12.000

RESOLVEMOS USANDO EL METODO SIMPLEX EMPLEANDO EL PROGRAMA QSB

Ingresamos los datos

ITERACION NUMERO 1

ITERACION NUMERO 2

ITERACION NUMERO 3

ITERACION NUMERO 4

Esta es la tabla simplex final.

2. Hallamos el problema DUAL empleando QSB

RESOLVEMOS POR METODO SIMPLEX ESTE PROBLEMA

ITERACION 1

ITERACION 2

ITERACION 3

Esta es la tabla simplex final

3. WINQSB, COMANDOS, MODULOS Y SU UTILIDAD EN LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

QSB (Quantitative System Business) Es un programa muy utilizado para resolver problemas de toma de decisiones, WinQSB es una herramienta poderosa para el manejo de métodos cuantitativos, el cual está conformado por 19 módulos, que permite resolver problemas de tipo administrativos, de producción, de recurso humano, dirección de proyectos, etc. El WinQSB ofrece las siguientes aplicaciones

Cuya utilidad es :

Análisis de muestreo de aceptación (Acceptance Sampling Analysis) Acceptance sampling analysis (ASA): Este programa desarrolla y analiza los planes de muestreos de tolerancias para atributos y características de calidad variable. Planeación agregada (Aggregate Planning) Aggregate planning (AP): Soluciona los problemas de planeamiento agregado a las demandas de satisfacción del consumidor con mínimos o aceptables costos relacionados. Análisis de decisiones (Decision Analysis) Decision analisys (DA): El programa resuelve 4 típicos problemas de decisión: Análisis Beyesiano, análisis de tablas de rentabilidad, análisis de árbol de decisión y la teoría del juego de cero suma.

Programación dinámica (Dynamic Programming) Dynamic Programming (DP): Resuelve 3 tipos populares de problemas dinámicos: Diligencia, mochila y problemas de planeación de producción e inventarios. Diseño y localización de plantas (Facility Location and Layout) Facility location and layout (FLL): Este módulo resuelve los problemas de facilidades de localización, disposición funcional y balanceo de línea de producción. Pronósticos (Forecasting) Forecasting (FC): Este módulo resuelve proyecciones de series de tiempo usando 11 diferentes métodos y además utilizando regresiones lineales de múltiples variables. Programación por objetivos (Goal Programming) Linear Goal Programming (GP) e Integer Linear Goal Programming (IGP): Este programa resuelve los problemas de GP usando el método simplex modificado o el método gráfico y los problemas de IGP usando el procedimiento branch-and-bound. Teoría y sistemas de inventarios (Inventory Theory and System) Inventory theory and systems (ITS) : Resuelve problemas de control de inventarios: problemas de cantidades económicas a pedir (EOQ), problemas de descuento de cantidad de la orden, problemas de periodos probabilísticos simples y problemas de tamaño dinámico de lotes; y evalúa y simula 4 sistemas de control de inventarios: (s, Q), (s, S), (R, S) y (R, s, S).

Programación de jornadas de trabajo (Job Scheduling) Job scheduling (JOB): Este programa resuelve los problemas de taller de tareas y programación del flujo de trabajo usando generación heurística y aleatoria. Programación lineal y entera (Linear and integer programming) Linear Programming (LP) e Integer Linear Programming (ILP): Este programa resuelve los problemas de LP usando el metodo simplex o el método gráfico y los problemas de ILP usando el procedimiento branch-andbound. Procesos de Markov Markov process (MKP): Este programa resuelve y analiza el proceso de Markov. Planeación de Requerimiento de Materiales Material requirements planning (MRP): El programa efectúa la planeación de requerimiento de materiales y determina que, cuanto y cuánto cuestan los materiales y componentes que son requeridos para satisfacer un plan de producción de productos finales para un horizonte de planeación. Modelación de redes (Network Modeling) Network Modeling (NET): Este módulo resuelve los problemas de red incluyendo flujo de red (transbordo), transporte, asignación, caminos cortos, máximo flujo, cruces mínimos y problemas de viajes de vendedores. Programación no lineal (Nonlinear Programming) Nonlinear Programming (NLP): Este programa resuelve los problemas no lineales no forzados usando el método de búsqueda y los problemas no lineales forzados usando el método de la función de castigo.

4. Resolución de un juego por medio del método simplex

SOLUCION DE UN JUEGO MATRICIAL

Sea el juego dispuesto de la siguiente manera

[

]

Donde cada elemento de la matriz representa el pago que recibe cada

jugador si considera la estrategia , por conveniencia para que todos los

valores de la matriz de pagos sean positivos agregamos 2 a cada elemento

resultando la matriz

[

]

RESOLVEMOS EL JUEGO POR METODO SIMPLEX

1. Este juego se puede ver como el problema de programación lineal

siguiente

Sujeto a

1. Ingresamos los datos del problema al paquete Linear and integer

programming de WIN QSB

2. Resolvemos por método simplex

Iteración 1

Iteración 2

Iteración 3

Iteración 4

Esta es la tabla simplex final

La tabla simplex final del problema dual es

Denotamos a P como la solución del problema maximal primal, y Q como la

solución del problema minimal dual, entonces

( )

( )

Y el valor del juego es

Por tanto, para el juego de la matriz original hallamos las estrategias

óptimas

( ) ( )

( ) ( )

Y el valor del juego es

E ple os el p quete “ Dec s o lys s” de W QSB

1. Insertamos los valores de las estrategias

2. La simulación del juego se puede ver como

5. Método Simplex Revisado

Solución

Maximizar

Sujeto a

y

En donde C es un vector renglón y son vectores

columna tales que

X =

nX

X

X

2

1

b =

mb

b

b

2

1

0 =

0

0

0

y A es la Matriz

A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

Para obtener la forma de igualdades del problema se introduce al vector

columna de las variables de holgura

XS =

mn

n

n

X

X

X

2

1

De manera que las restricciones se convierten en

[A , I] SX

X = b y

SX

X 0

en donde I es la matriz idéntica m x n y b el vector 0 ahora tiene (n + m) elementos.

OBTENCIÓN DE UNA SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE.

Recuérdese que el objetivo general del método símplex es obtener una

sucesión de soluciones básicas factibles mejoradas hasta alcanzar la solución optima.

La solución básica que resulta es la solución de m ecuaciones

[A , I] SX

X = b,

en las que n variables no básicas del conjunto de (n + m) elementos de SX

X

se igualan a cero. Cuando se eliminan esta variables igualadas a cero queda un

conjunto de m ecuaciones con m incógnitas (las variables básicas). Este sistema de

ecuaciones se puede denotar por , donde el vector de variables básicas

XB =

Bm

B

B

X

X

X

2

1

Se obtiene al eliminar las variables no básicas de SX

X y la matriz básica

MNMM

N

N

BBB

BBB

BBB

21

22221

11211

se obtiene al eliminar las columnas correspondientes a los coeficientes de las

variables no básicas de

Para resolver , ambos lados se multiplicaran por B-1:

Como , la solución deseada para las variables básicas es XB = B-1 b. Sea CB el

vector obtenido al eliminar los coeficientes de las variables no básicas de y al

reordenar los elementos para que coincidan con los de XB , entonces el valor de la

función objetivo para esta solución básica es.

Z = CB XB = CB B-1 b

METODO SIMPLEX

PROGRAMACION LINEAL

PRESENTADO A

MILTON LESMES

PRESENTADO POR

ANA LIZBETH GOMEZ GOMEZ

Seminario Línea de Aplicación

Proyecto Curricular de MATEMATICAS

UNIVERSIDAD DISTRITAL

FRANCISCO JOSE DE CALDAS

BOGOTA D.C., Mayo de 2011