tarefas de isometrias_26out2009

Reflexo, Rotao e Translao Proposta de conjunto de tarefas para o 2. ciclo

Autores: Professores das turmas piloto do 6. ano de escolaridade Ano lectivo 2009/10

Novembro/Dezembro de 2009

Reflexo, rotao e translao 2. ciclo

NPMATEB 2009/10

2

Escola BsicaPropsito Principal de Ensino:

Matemtica

6Ano

Desenvolver nos alunos o sentido de espacial, com nfase na visualizao e na compreenso das propriedades de figuras geomtricas no plano e no espao, a compreenso de grandezas geomtricas e respectivos processos de medida, bem como a utilizao destes conhecimentos e capacidades na resoluo de problemas em contextos diversos. Identificar no plano eixos de simetria de figuras. Construir frisos e identificar simetrias. Resolver problemas envolvendo a visualizao e compreenso de relaes espaciais. Compreender propriedades das figuras geomtricas no plano e no espao. Desenvolver a visualizao e o raciocnio geomtrico e ser capaz de os usar. Ser capaz de analisar padres geomtricos e desenvolver o conceito de simetria. Ser capaz de resolver problemas, raciocinar e comunicar matematicamente em situaes que envolvam contextos geomtricos.

Tema Geometria

Aspectos no contemplados no programa do 1 ciclo Objectivos Gerais:

TpicosReflexo, Rotao e Translao

Objectivos Especficos(A) Identificar, predizer e descrever a isometria em causa dada a figura geomtrica e o transformado. (B) Construir o transformado de uma figura a partir de uma isometria ou de uma composio de isometrias. (C) Compreender as noes de simetria axial e rotacional e identificar as simetrias numa figura. (D) Completar, desenhar e explorar padres geomtricos que envolvam simetrias. (E) Identificar as simetrias de frisos e rosceas. (F) Construir frisos e rosceas.

NotasNo estudo das isometrias recorrer explorao de obras de arte e artesanato. Usar imagens obtidas por composio de isometrias. Fazer notar que a recta que contm a bissectriz de um ngulo um eixo de simetria desse ngulo. Na identificao dos eixos de simetria de uma figura, dar particular relevo ao caso dos tringulos. Propor a construo de figuras com mais de um eixo de simetria. Na rotao, solicitar indicao do centro, do sentido e da amplitude do ngulo de rotao. Na construo de rosceas, considerar a diviso do crculo num nmero par e mpar de sectores, desenhar uma figura (motivo) num dos sectores, e, por decalque ou por dobragem, preencher os sectores seguintes segundo uma regra (rodar ou reflectir). Usar espelhos e dobragens de papel, representaes grficas e applets.

TarefasT1- Como peixe no papel (A) T2- Geoplano e companhia: Translaes, reflexes e rotaes (A) (B) T3- Composies e mais composies (B) (C) (D) (E) T4- Descobrir eixos de simetria nos polgonos (C) T5- O milagre dos dois espelhos (C) (D) T6-Lees e mosaicos (A) (B) (C) (D) (E) T7- Construir frisos e rosceas com papel e tesoura (C) (E) (F)

Capacidades Transversais

Experincias de Aprendizagem

Blocos 90

CM RM RM RP

Actividade exploratria Jogo Problema Prtica compreensiva de procedimentos Exploraes e conexes

Noo e propriedades da reflexo, da rotao e da translao. Simetrias axial e rotacional

90+45

CM RM RP CM RM

90

Conexes

90

CM RM CM RM CM RM

Actividades de investigao Prtica compreensiva de procedimentos Actividades de investigao Trabalho de projecto (Art. Curricular-EA ou AP)

90 90

90Total: 7,5 blocos


CM - Comunicao Matemtica

RM - Raciocnio Matemtico

RP - Resoluo de Problema

NPMATEB 2009/10

4


Planificao da Tarefa 1: Como Peixe no papelCom esta tarefa, que se enquadra no tema Geometria, pretende-se que os alunos descubram movimentos do plano que tornam uma determinada figura invariante, iniciando assim o estudo de trs tipos de isometria: reflexo, translao e rotao.

Tema matemtico: Geometria Nvel de ensino: 2. Ciclo Tpicos matemticos: Reflexo, rotao e translao Subtpicos matemticos: Noo e propriedades da reflexo, da rotao e da translao.

Capacidades transversais: Raciocnio matemticoFormulao e teste de conjecturas Comunicao matemtica Expresso Discusso

Conhecimentos prvios dos alunos:Visualizar e descrever posies, direces e movimentos; Identificar no plano figuras simtricas em relao a um eixo; Resolver problemas envolvendo a visualizao e a compreenso de relaes espaciais.

Aprendizagens visadas:Identificar, predizer e descrever a isometria em causa, dada a figura geomtrica e o transformado.

Recursos: Fichas de trabalho com a tarefa (uma por aluno), figuras do peixe A em acetato (umapor grupo), enunciado da tarefa em acetato, rguas, retroprojector ou quadro interactivo.

Durao prevista: 90 minutos

NPMATEB 2009/10

5


Notas para o professor:Organizados em pares os alunos procuram explorar as situaes apresentadas e fazem registos sobre as suas descobertas (30 minutos). Nos 40 minutos seguintes realiza-se a discusso em grande grupo e nos ltimos 20 minutos feita a sistematizao da tarefa e dos conceitos envolvidos. Com esta tarefa pretende-se que os alunos descubram como podem transformar uma figura noutra, congruente, deslocando o plano. importante que os alunos explorem as diferentes situaes apresentadas, e que compreendam que a cada transformao geomtrica corresponde um distinto movimento do plano. Pretende-se, assim, que os alunos distingam os trs tipos de isometria que so estudadas no 2 ciclo: reflexo, translao e rotao. O professor distribui os enunciados das tarefas e entrega a cada par de alunos uma cpia do peixe A em acetato. Os alunos tentam movimentar o peixe A de modo a conseguir faz-lo coincidir, ponto por ponto, com o peixe B. So propostas seis situaes diferentes e, em relao a cada situao, os alunos devero efectuar registos sobre o procedimento que adoptaram para conseguir obter o peixe B partindo do peixe A. Pretende-se que os alunos distingam trs tipos de movimentos diferentes: - Nas situaes 1 e 6 necessrio virar o acetato ao contrrio para conseguir obter o peixe B; a figura virada de tal forma que criada uma imagem de espelho da figura original. - Nas situaes 2 e 4 preciso deslocar o acetato num determinado sentido; a figura desliza para uma nova localizao sem mudar a sua orientao. - Nas situaes 3 e 5 temos que rodar o acetato; a figura rodada a partir de um ponto fixo e num determinado ngulo. O professor dever explicar que nas situaes 1 e 6 houve uma reflexo do plano em relao a um eixo. No primeiro caso, trata-se de um eixo vertical e, no noutro caso, de um eixo horizontal. Com a orientao do professor, os alunos devero representar os respectivos eixos utilizando uma rgua. O professor dever reforar que todos os pontos do eixo esto mesma distncia (so equidistantes) do peixe A e do peixe B e que, se dobrssemos a folha de papel pelo eixo, os peixes ficariam sobrepostos ponto por ponto. Nas situaes 2 e 4 houve um deslocamento do plano num determinado sentido. Dizemos que ocorreu uma translao do plano e que esta definida por um segmento de recta orientado (vector). Com o apoio do professor, os alunos devero desenhar o vector em ambas as situaes, fazendo corresponder a um ponto do peixe A, o ponto do peixe B que seu transformado.

NPMATEB 2009/10

6


Nas situaes 3 e 5 houve uma rotao do plano em torno de um ponto fixo e de determinado ngulo. No caso n 3 essa rotao fez-se em torno de um ponto, designado centro de rotao, pertencente ao peixe A e o ngulo de rotao de 180 graus. No caso n 5 a rotao deu-se em torno de um ponto que no pertence ao peixe A, mas que equidistante de ambos os peixes. O ngulo de rotao de 70 graus. importante que o professor esclarea que, quando a rotao se faz no sentido do ponteiro dos relgios, considera-se que o sentido da rotao negativo. Com a orientao do professor, os alunos devero representar o centro e o ngulo de rotao. No final da aula o professor dever fazer uma sistematizao sobre cada uma das transformaes geomtricas abordadas, explicando que todas so isometrias, isto , transformam figuras noutras figuras congruentes, mantendo as distncias entre pontos e as amplitudes dos ngulos.

NPMATEB 2009/10

7


Informao: Explorao dos alunos Isometrias Uma isometria (iso=igual; metria=medio) uma transformao geomtrica que mantm as distncias entre pontos e as amplitudes dos ngulos, transformando figuras noutras figuras congruentes. Reflexes, rotaes e translaes so exemplos de isometrias. Nas figuras seguintes podes encontrar exemplos dessas isometrias:

Translao

Reflexo

Rotao

Translao: Quando descrevemos uma translao, indicamos a sua direco com uma seta (vector) que une um ponto de uma figura ao mesmo ponto do seu transformado. Exemplo: A figura A o transformado da figura A pela translao. O vector representa a direco do movimento de translao. Reflexo: Quando descrevemos uma reflexo, indicamos o eixo de reflexo. Esse eixo a mediatriz de qualquer segmento que une um ponto do original ao transformado. A mediatriz (media=meio; triz=segmento) de um segmento de recta o conjunto de pontos que esto equidistantes de ambos os extremos desse segmento de recta. A mediatriz forma uma recta no plano. Exemplo: A figura B o transformado da figura B pela reflexo, em que p o eixo de reflexo. A recta p a mediatriz do segmento [XX] ou do segmento [YY].

Rotao: Quando descrevemos uma rotao, indicamos o centro e o sentido de rotao e a amplitude do seu ngulo. Exemplo: A figura C o transformado da figura C pela rotao, em torno do ponto O. A figura C foi rodada no sentido dos ponteiros do relgio, descrevendo um ngulo de 90 graus (neste caso, considera-se que o sentido da rotao negativo).

NPMATEB 2009/10

8


Explorao 1

Explorao 2

Palavras-chave: isometria, reflexo, translao, rotao, eixo de reflexo, vector, centro derotao, ngulo de rotao.

NPMATEB 2009/10

9


Tarefa 1: Como peixe no papel

Recorrendo ao acetato, descobre como podes transformar o peixe A no peixe B. 1 A B 2 A B

3 A

4 B A

B

5 A B

6 A

B

Foi sempre possvel obter o peixe B a partir do peixe A? Explica como procedeste em cada uma das situaes apresentadas.

NPMATEB 2009/10

10


Planificao da Tarefa 2: Geoplano e companhia - translaes, reflexes e rotaesEsta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos explorem os conceitos de translao, reflexo e rotao relativos s transformaes geomtricas. Pretende-se ainda que os alunos desenvolvam capacidades de visualizao e que reforcem a compreenso dos conceitos geomtricos fundamentais desenvolvendo o raciocnio matemtico.

Tema matemtico: Geometria Nvel de ensino: 2. Ciclo Tpicos matemticos: Reflexo, rotao e translao Subtpicos matemticos: Noo e propriedades da reflexo, da rotao e da translao.

Capacidades transversais: Resoluo de problemasConcepo, aplicao e justificao de estratgias Raciocnio matemtico Formulao e teste de conjecturas Comunicao matemtica Expresso Discusso

Conhecimentos prvios dos alunos:Visualizar e descrever figuras e identificar propriedades que as caracterizam; Resolver problemas envolvendo a visualizao e a compreenso de relaes espaciais.

Aprendizagens visadas:transformado;

Identificar, predizer e descrever a isometria em causa, dada a figura geomtrica e o seu Construir o transformado de uma figura a partir de uma isometria.

NPMATEB 2009/10

11


Recursos: Ficha de trabalho da tarefa para cada aluno; Mira ou espelho; papel vegetal,geoplano, papel ponteado, elsticos, lpis, borracha. Computador e projector/Acetato e canetas/Quadro interactivo (Facultativo)

Durao prevista: 90 minutos + 45 minutosNotas para o professor: Com esta tarefa pretende-se que os conceitos de translao, reflexo e rotao sejam explorados e aplicados de modo informal. Sugere-se a organizao dos alunos em trabalho de pares. O professor entrega a tarefa aos alunos que a devero resolver autonomamente. Sugere-se que o professor faa a explorao/sistematizao das questes apresentadas atravs da comunicao feita pelos grupos aquando a apresentao dos seus resultados. O professor dever projectar no quadro branco a ficha de trabalho para que os alunos utilizem essa projeco para comunicar turma as suas descobertas. Em alternativa cada grupo pode ter um acetato e canetas. O uso do geoplano est indicado para a questo 5, mas se o professor assim o entender tambm o poder usar como recurso auxiliar na visualizao dos transformados. Os alunos devero desenhar/explorar os transformados (imagens da figura inicial) antes de usarem o Mira, espelho ou papel vegetal que apenas devem servir para confirmao das suas conjecturas. Por exemplo, o Mira ser um recurso til e adequado para confirmar as reflexes. Os alunos podero, atravs do papel vegetal, copiar a figura deixando essa cpia em cima da figura original e depois rod-la, assim podem ser ultrapassadas dificuldades na visualizao das rotaes. Nas translaes tambm pode recorrer-se ao desenho da figura no papel vegetal que deslizar segundo um vector. A discusso e a formulao de questes acerca dos resultados obtidos devero conduzir a consideraes sobre quais as propriedades que se mantm numa translao, reflexo e rotao (por exemplo, a forma, os segmentos de recta, os ngulos, o comprimento dos segmentos, a amplitude dos ngulos, o paralelismo). O professor dever verificar se os alunos reconhecem que em cada uma das transformaes a figura resultante congruente com a figura inicial. Devero ser investigadas as propriedades para que os alunos descubram que a orientao do transformado no se mantm (podem dar o exemplo de quando o professor coloca incorrectamente um acetato no retroprojector).

NPMATEB 2009/10

12


Tambm podem ser discutidos contra-exemplos de isometrias (transformaes que distorcem ou alteram uma figura), tais como as imagens obtidas nos espelhos curvos dos parques de diverses ou as ampliaes e redues tiradas na fotocopiadora). Na quarta questo prev-se que os alunos apresentem diferentes descries para o mesmo problema. O professor dever encorajar os alunos a argumentarem as suas respostas, a escutar e a verificar as solues alternativas dos seus colegas para que compreendam que poder existir mais do que uma resposta correcta para cada problema. Na quinta questo, a utilizao do geoplano e os registos em papel ponteado fornecem ainda outra experincia de aprendizagem para a explorao das transformaes e para o desenvolvimento das capacidades de visualizao e destrezas psico-motoras.

Explorao dos alunos Explorao 1 Explorao 2

Palavras-chave: Congruente, Isometria, Reflexo, Rotao, Transformao, Translao.

NPMATEB 2009/10

13


Tarefa 2: Geoplano e companhia: Translaes, reflexes e rotaes1 1. Quais das figuras seguintes representam transformados por translao da figura A? Desenha o vector que define cada translao.

2. Relativamente s reflexes, desenha o transformado de cada uma das seguintes figuras. Utiliza as rectas a tracejado como eixo de reflexo (podes utilizar o Mira ou o espelho).

3. Desenha a lpis o polgono [CAT] obtido por rotao do polgono [CAT] em torno do ponto O. Valida o teu desenho, recorrendo utilizao de papel vegetal (copia a figura, roda-a 180 graus e verifica se a figura que obtiveste igual que tinhas desenhado anteriormente).

1

Adaptado de Normas para o Currculo e Avaliao em Matemtica Escolar, Adenda Geometria dos 2 e 3 Ciclos (NCTM, 2001)

NPMATEB 2009/10

14


4. Prtica compreensiva de procedimentos Indica* a isometria que: 1. Transforma a figura A na figura B. 2. Transforma a figura A na figura C. 3. Transforma a figura B na figura D. 4. Transforma a figura B na figura E. 5. Transforma a figura E na figura F. 6. Transforma a figura C na figura E. 7. Transforma a figura A na figura F.

* Para te ajudar na visualizao das transformaes podes usar a figura A decalcada no papel.

5. Transformaes no geoplano a) Coloca um elstico no geoplano para funcionar como eixo de reflexo. Constri uma figura do lado esquerdo do eixo e pede ao teu colega para construir o transformado. Regista os resultados no papel ponteado. O teu colega deve repetir o teu procedimento construindo outra figura e a tua vez de construres o transformado. Que propriedades se mantm nessa transformao? E as que no se mantm? b) No canto inferior esquerdo do geoplano, constri um tringulo escaleno pequeno. Pede ao teu colega para construir o transformado, dessa figura, por translao. Desenhem, no papel ponteado a figura e a imagem descrevendo a transformao ocorrida (indicando o vector e as propriedades que se mantm e que no se mantm nessa transformao) c) Na parte central do geoplano pede ao teu colega para construir um tringulo rectngulo escaleno e tu vais construir o transformado por rotao de 90 o em torno do vrtice do ngulo recto, no sentido contrrio aos ponteiros do relgio. Faam os respectivos registos no papel ponteado. Que propriedades se mantm e se alteram nesta transformao?

NPMATEB 2009/10

15


Planificao da tarefa 3: Composies e mais composiesEsta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos construam o transformado de uma figura a partir de uma composio de isometrias. Pretende-se ainda que os alunos relacionem a figura inicial com a figura obtida aps duas reflexes de eixos paralelos e aps duas reflexes de eixos concorrentes.

Tema matemtico: Geometria Nvel de ensino: 2. Ciclo Tpicos matemticos: Reflexo, rotao e translao Subtpicos matemticos: Noo e propriedades da reflexo, da rotao e da translao

Capacidades transversais: Raciocnio matemticoFormulao e teste de conjecturas Comunicao matemtica Interpretao Expresso Discusso

Conhecimentos prvios dos alunos:Resolver problemas envolvendo a visualizao e a compreenso de relaes espaciais; Visualizar e descrever posies, direces e movimentos; Identificar, numa grelha quadriculada, pontos equidistantes de um dado ponto; Descrever a posio de figuras desenhadas numa grelha quadriculada recorrendo identificao de pontos atravs das suas coordenadas e desenhar figuras dadas as coordenadas.

Aprendizagens visadas:Construir o transformado de uma figura, a partir de uma isometria ou de uma composio de isometrias;

NPMATEB 2009/10

16


Completar, desenhar e explorar padres geomtricos que envolvam simetrias; Identificar as simetrias de frisos e rosceas

Recursos: Fichas de trabalho com o enunciado da tarefa (uma por aluno), cpias em papelvegetal das figuras das setas em fundo quadriculado, acetato com enunciado da tarefa, canetas de acetato, retroprojector ou quadro interactivo.

Durao prevista: 90 minutos Notas para o professor:Organizados em pares os alunos resolvem as situaes apresentadas em A e em B, obedecendo s instrues, e fazem registos sobre as suas descobertas (20 minutos). Nos 30 minutos seguintes realiza-se a discusso em grande grupo. Seguidamente, os alunos passam para a prtica compreensiva de procedimentos (20 minutos) e nos ltimos 20 minutos da aula feita a sistematizao da tarefa e dos conceitos envolvidos. Com esta tarefa pretende-se que os alunos explorem composies de duas isometrias. Na parte inicial d-se nfase composio de duas reflexes de eixos paralelos e de duas reflexes de eixos concorrentes (no perpendiculares). Na prtica compreensiva de procedimentos aborda-se a composio de duas reflexes de eixos perpendiculares e de uma reflexo seguida de translao (reflexo deslizante). A composio de duas reflexes de eixos paralelos explorada usando papel vegetal e lpis. A figura, reproduzida em papel vegetal, permite que os alunos dobrem pelo eixo a e decalquem facilmente a seta original. Por fim, dobram o papel pelo eixo b e decalcam a segunda seta. Seguidamente, os alunos passam composio de duas reflexes de eixos concorrentes, usando um processo anlogo ao anterior. Na fase de discusso o professor dever colocar as seguintes perguntas acerca da situao A (composio de duas reflexes de eixos paralelos): - Que transformao geomtrica ocorreu quando se obteve a segunda seta, por dobragem e decalque atravs do eixo a? - E que transformao houve quando se passou da segunda para a terceira seta, por dobragem e decalque atravs do eixos b? - Comparando a primeira com a ltima seta, o que se verifica? - Qual a distncia entre as duas rectas?

NPMATEB 2009/10

17


- Que relao existe entre a distncia entre as duas rectas e a distncia entre a primeira e ltima seta? Em relao situao B (composio de duas reflexes de eixos concorrentes), o professor poder colocar as seguintes questes: - Que transformao geomtrica ocorreu quando se obteve a segunda seta por dobragem e decalque atravs do eixo c? - E que transformao houve quando se passou da segunda para a ltima seta, por dobragem e decalque atravs do eixos d? - Comparando a primeira com a ltima seta, o que se verifica? - Qual a amplitude do ngulo formado pelas duas rectas? - Que relao existe entre a amplitude desse ngulo e a amplitude do ngulo formado entre a posio inicial e final da seta? Aps a discusso, o professor dever fazer uma sistematizao sobre cada uma das composies estudadas, levando os alunos a compreender que: - ao efectuar uma reflexo em relao a uma recta, e depois uma reflexo em relao a uma outra recta, paralela primeira, obtm-se um efeito correspondente ao de uma translao, definida por um vector de direco perpendicular aos eixos de reflexo e deslocamento igual ao dobro da distncia entre os dois eixos. - ao efectuar uma reflexo em relao a uma recta, e depois uma reflexo em relao a uma outra recta, que tenha um ponto comum com a primeira, obtm-se um efeito equivalente ao de uma rotao em torno desse ponto; a amplitude do ngulo de rotao igual ao dobro da amplitude do ngulo formado pelas duas rectas. No final da aula os alunos realizam duas tarefas, onde devero utilizar os conhecimentos adquiridos. A primeira situao semelhante anterior, porm com os eixos de reflexo perpendiculares. Os alunos devero traar os respectivos eixos e a figura intermdia (transformado aps a primeira reflexo). A segunda situao consiste numa primeira abordagem reflexo deslizante. Esta isometria no estudada no 2 ciclo, mas pode ser tratada aqui de forma superficial. Pretende-se que os alunos concluam que, para obter o transformado do primeiro p, preciso que ocorra uma reflexo de eixo horizontal, seguida de uma translao com direco paralela ao eixo de reflexo. A figura final obtm-se por sucessivas reflexes e translaes do mesmo tipo.

NPMATEB 2009/10

18


Informao Composio de duas reflexesSe os eixos forem paralelos: Se efectuarmos primeiro uma reflexo em relao a uma recta e depois uma reflexo em relao a uma outra recta, paralela primeira, o efeito obtido corresponde ao de uma translao, numa direco perpendicular s duas rectas e deslocamento igual ao dobro da distncia entre essas duas rectas.

Qualquer reflexo troca a direita com a esquerda: de facto, a imagem no espelho de um gato, que tem a cauda para a direita, um gato, com a cauda para a esquerda. Uma translao, pelo contrrio, equivale a duas reflexes. Logo, a cauda do gato mantm-se no seu devido lugar.

Se os eixos forem concorrentes: Colocando um objecto entre dois espelhos incidentes (por exemplo, como na figura abaixo, em que se apresenta um gato com a cauda para a direita), observam-se algumas imagens do gato, alternando com a cauda esquerda e direita. Neste caso, as imagens no se encontram dispostas ao longo de uma linha, mas sim em torno de um centro. Na verdade, ao efectuarmos uma reflexo em relao a uma recta e, seguidamente, outra reflexo em relao a uma outra recta que tenha um ponto em comum com a primeira, o efeito obtido equivale ao de uma rotao em torno desse ponto, cujo ngulo o dobro do ngulo entre as duas rectas.

Explorao dos alunos

NPMATEB 2009/10

19


Explorao 1

Explorao 2

Palavras-chave: reflexo, translao, rotao, eixo de reflexo, centro de rotao, ngulo derotao, rectas paralelas, rectas concorrentes, rectas perpendiculares, amplitude de um ngulo, friso.

NPMATEB 2009/10

20


Tarefa 3: Composies e mais composies2 A- Composio de duas reflexes de eixos paralelos1) Dobra o papel pelo eixo a. 2) Decalca a seta da figura, usando um lpis afiado e fazendo presso coma ponta do lpis. 3) Dobra a folha pelo eixo b e torna a decalcar (desta vez, decalcas a segunda seta). 4) Desdobra o papel e compara a primeira e a ltima setas. Descreve o que observas.

b

a

Baseando-te neste exemplo, que resultado prevs na aplicao de duas reflexes seguidas com eixos paralelos?Adaptado de: Conjuntos de tarefas do Programa de Acompanhamento e Formao Contnua em Matemtica, ESE do Instituto Politcnico do Porto2

NPMATEB 2009/10

21


B- Composio de duas reflexes de eixos concorrentes1) Com um procedimento semelhante ao anterior, decalca a seta, usando o eixo c e depois o eixo d. 2) Desdobra o papel e compara a primeira seta e a ltima.

d

c

Utiliza o transferidor e mede o menor ngulo entre as duas rectas. Conjectura qual ser a relao entre o ngulo formado entre as duas rectas e a posio inicial e final da seta.

NPMATEB 2009/10

22


Prtica Compreensiva de Procedimentos 1. Indica o nmero mnimo de reflexes necessrio para que a figura A seja otransformado da figura A. So necessrias _____________________ . Representa-as.

2. Considerando a pegada o motivo, indica as transformaes geomtricasnecessrias para se obter o que se segue:

A

NPMATEB 2009/10

A23


Tempo de Estudo em Casa1. Desenha todas as reflexes possveis da figura de acordo com os eixos de reflexo representados.

NPMATEB 2009/10

24


NPMATEB 2009/10

25


Planificao da tarefa 4: Descobrir eixos de simetria nos polgonosEsta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos identifiquem os eixos de simetria de figuras geomtricas, com particular relevo para os polgonos regulares e para os tringulos. Pretende-se ainda que os alunos considerem o nmero de eixos de simetria na classificao de tringulos e que compreendam que a bissectriz pertence ao eixo de simetria de um ngulo.

Tema matemtico: Geometria Nvel de ensino: 2. Ciclo Tpicos matemticos: Reflexo, rotao e translao Subtpicos matemticos: Simetrias axial e rotacional

Capacidades transversais: Raciocnio matemticoJustificao Formulao e teste de conjecturas Comunicao matemtica Interpretao Expresso Discusso

Conhecimentos prvios dos alunos:Reconhecer propriedades de figuras no plano e fazer classificaes; Identificar no plano figuras simtricas em relao a um eixo; Desenhar no plano figuras simtricas relativas a um eixo horizontal ou vertical; Compreender a noo de ngulo;

Identificar no plano eixos de simetria de figuras.

Aprendizagens visadas:Compreender as noes de simetria axial e rotacional e identificar as simetrias numa figura.

NPMATEB 2009/10

26


Recursos: Fichas de trabalho com o enunciado da tarefa, espelhos, acetatos com as figuras,canetas de acetato, retroprojector ou quadro interactivo.

Durao prevista: 90 minutos Notas para o professor:Organizados em grupos de trs, os alunos respondem s questes colocadas no enunciado da tarefa (40 minutos). Nos 30 minutos seguintes realiza-se a discusso em grande grupo e, nos ltimos 20 minutos da aula, feita a sistematizao da tarefa e dos conceitos envolvidos. Com esta tarefa pretende-se que os alunos identifiquem eixos de simetria de figuras no plano, com especial destaque para os polgonos regulares, os tringulos e o crculo. No caso dos tringulos, deseja-se que os alunos passem a considerar o nmero de eixos de simetria na sua classificao. Pretende-se ainda que os alunos reconheam que a recta que contm a bissectriz de um ngulo um eixo de simetria desse ngulo. Na primeira parte da aula os alunos devero trabalhar em grupo, discutindo ideias e processos e registando as suas observaes e concluses (40 minutos). Os grupos devero possuir espelhos e manuse-los de modo a identificar eixos de simetria nas figuras apresentadas. Seguidamente, haver a fase de discusso em grande grupo, onde o professor poder colocar as seguintes questes: - De quantas maneiras diferentes conseguiram posicionar o espelho, de forma que a estrela ficasse invariante, isto , a imagem reflectida coincidisse, ponto por ponto, com a imagem inicial? - E em relao ao tringulo equiltero, ao quadrado, ao pentgono regular e ao hexgono regular? - Que relao existe entre o nmero de lados do polgono regular e o nmero de eixos de simetria? - Por onde passam os eixos de simetria de cada um dos polgonos regulares? - Quando um eixo de simetria passa por um vrtice do polgono, o que acontece ao ngulo interno definido nesse vrtice? - Que concluses podemos tirar relativamente aos eixos de simetria dos tringulos issceles? E dos escalenos? - Quantos eixos de simetria possvel identificar num crculo?

NPMATEB 2009/10

27


Aps a discusso, o professor faz uma sistematizao sobre toda a tarefa, podendo focar os seguintes pontos: - A simetria pode ser observada em algumas figuras geomtricas. - Existem diferentes tipos de simetria, dependendo do tipo de isometria associada; nesta tarefa, damos especial destaque simetria de reflexo. - A simetria de reflexo reconhece-se se conseguirmos, por exemplo, colocar um espelho sobre a figura de modo que a juno da parte reflectida com a no reflectida seja exactamente igual figura completa. o que acontece com a estrela (1 pergunta da tarefa): possvel encontrar quatro simetrias de reflexo pois existem quatro modos diferentes de colocar o espelho. - A recta sobre a qual se coloca o espelho e que divide a figura ao meio, de modo que uma metade da figura seja a reflexo da outra metade, designa-se por eixo de simetria ou eixo de reflexo. Na estrela, por exemplo, possvel identificar quatro eixos de simetria distintos. - No caso dos polgonos regulares (segundo grupo de questes), o nmero de eixos de simetria igual ao nmero de lados do polgono regular. - No tringulo equiltero os eixos de simetria passam pelos vrtices e pelos pontos mdios dos lados opostos. - No quadrado os eixos de simetria so perpendiculares dois a dois e correspondem s rectas que passam por pares de vrtices opostos e pelos pontos mdios de pares de lados opostos. - No pentgono regular os eixos de simetria passam pelos vrtices e pelos pontos mdios dos lados opostos. - No hexgono regular os eixos de simetria passam por pares de vrtices opostos e pelos pontos mdios de pares de lados opostos. - Conclui-se que, se um polgono regular tiver um nmero mpar de lados, cada um dos seus eixos de simetria passa por um vrtice e pelo ponto mdio do lado oposto a esse vrtice; se o nmero de lados for par, metade dos eixos de simetria passam por pares de vrtices opostos e a outra metade passa pelos pontos mdios de pares de lados opostos. - A bissectriz de um ngulo est contida no eixo de simetria desse ngulo. Consiste numa semirecta com origem no vrtice do ngulo, dividindo-o em dois ngulos congruentes. - Relativamente aos tringulos, podemos concluir que o tringulo equiltero tem trs eixos de simetria, o tringulo issceles tem um eixo de simetria e o tringulo escaleno no tem eixos de simetria. - O crculo tem um nmero infinito de eixos de simetria; cada eixo de simetria que possvel representar, contm um dimetro do crculo.

NPMATEB 2009/10

28


Informao:

NPMATEB 2009/10

29

Eixos de simetria dos polgonos regularesReflexo, rotao e translao 2. ciclo

Pentgono regular 5 eixos de simetria

Tringulo equiltero 3 eixos de simetria

Quadrado 4 eixos de simetria

Hexgono regular 6 eixos de simetria

O nmero de eixos de simetria de um polgono regular igual ao nmero de lados desse polgono. Assim, o nmero de eixos de um polgono regular de n lados igual a n. Os eixos de simetria dividem cada um dos lados do polgono em dois segmentos de recta congruentes e/ou bissectam os ngulos, ou seja, dividem cada ngulo do polgono em dois ngulos congruentes. Eixos de simetria dos tringulos

O tringulo equiltero tem 3 eixos de simetria, o tringulo issceles tem 2 eixos de simetria e o tringulo escaleno no tem eixos de simetria. Eixos de simetria de um crculo

O nmero de eixos de simetria de um Qualquer recta que contm um

crculo infinito. dimetro do crculo um eixo de simetria.

Bissectriz de um ngulo A bissectriz de um ngulo pertence ao eixo de simetria desse ngulo. Consiste numa semi-recta que divide um ngulo em dois ngulos congruentes. Exemplo: A semi-recta BD a bissectriz do ngulo ABC. Todos os pontos da bissectriz esto mesma distncia dos dois lados do ngulo.NPMATEB 2009/10

30


Explorao dos alunos Explorao 1 Explorao 2 Palavras-chave: simetria, eixo de simetria, figuras no plano, polgonos regulares, classificaode tringulos, bissectriz, crculo, ngulos.

NPMATEB 2009/10

31


Tarefa 4: Descobrir eixos de simetria nos polgonos

1. Ser que consegues, utilizando um espelho, obter a figura completa, partindo apenas de uma parte da figura? Experimenta com esta estrela. Se for possvel, desenha o(s) eixo(s) de simetria.

2. A seguir usa a folha onde esto desenhados alguns polgonos regulares j teus conhecidos. 2.1. Descobre todos os eixos de simetria de cada um dos polgonos regulares. (Experimenta e faz os registos na tabela seguinte). N. de lados do polgono regular N. de eixos de simetria 2.2. Observando a tabela que preencheste, a que concluses podes chegar? 2.3. Em cada um dos polgonos regulares, explica como so os eixos de simetria em relao aos vrtices e aos lados. (Por onde passam os eixos?) 2.4. Observa os eixos de simetria que traaste em cada polgono. O que acontece aos ngulos que so atravessados por eixos de simetria que passam pelos vrtices?

3

4

5

6

7

8

... ...

n

3. J viste na questo anterior quantos eixos de simetria possui um tringulo equiltero. Experimenta agora para outros tipos de tringulos e escreve as tuas concluses acerca do nmero de eixos de simetria de cada um deles. (Usa a folha onde esto desenhados vrios tringulos)

4. E um crculo, quantos eixos de simetria tem?

NPMATEB 2009/10

32


ALGUNS POLGONOS REGULARES

ALGUNS TRINGULOS NO EQUILTEROS

NPMATEB 2009/10

33


Planificao da Tarefa 5: O milagre dos dois espelhosEsta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos identifiquem simetrias axiais e rotacionais numa roscea, com especial destaque para a composio de polgonos regulares atravs da rotao de tringulos.

Tema matemtico: Geometria Nvel de ensino: 2. Ciclo Tpicos matemticos: Reflexo e Rotao Subtpicos matemticos: Simetrias axial e rotacional


Conhecimentos prvios dos alunos:Medio da amplitude de ngulos. Noo de mltiplo, divisor e divisvel.

Aprendizagens visadas:Compreender as noes de simetria rotacional e axial. Identificar as simetrias de rosceas. Construir rosceas usando espelhos. Visualizar e indicar na rotao o centro, o sentido e a amplitude do ngulo de rotao.

Recursos: Espelhos, ficha de trabalho, grelhas com tringulos, tesoura e lpis de cor.Transferidor e calculadora (facultativo)

NPMATEB 2009/10

34


Durao prevista: 90 minutos Notas para o professor:Sugere-se que o professor organize os alunos em trabalho de pares e que antes de se iniciar a tarefa esta seja explicada turma. Os alunos devero ter 30 minutos para resolverem a 1 e a 2 questo colocadas no enunciado da tarefa. Nos 30 minutos seguintes realizar-se- a discusso em grande grupo e, nos ltimos 30 minutos da aula, ser feita a sistematizao da tarefa e dos conceitos envolvidos. Na explorao da 2 questo pretende-se que os alunos identifiquem o dodecgono, o octgono, o hexgono, o pentgono, o quadrado e o tringulo. Na formulao de conjecturas pretende-se que os alunos encontrem uma relao entre os polgonos obtidos e as amplitudes dos ngulos de vrtice A do tringulo inicial, falando na diviso do ngulo giro (3600) em partes congruentes (neste caso em 12, 8, 6, 5, 4 e 3). O professor dever perguntar: -Atravs do polgono construdo pela rotao do tringulo posso saber qual a amplitude do ngulo do vrtice A? Analisando caso a caso, pretende-se que: -No dodecgono os alunos cheguem concluso que o ngulo do vrtice A do tringulo inicial tem a amplitude de 300 porque 3600 a dividir por 12 30. -No octgono os alunos cheguem concluso que o ngulo do vrtice A do tringulo inicial tem a amplitude de 450 porque 3600 a dividir por 8 45. -No hexgono os alunos cheguem concluso que o ngulo do vrtice A do tringulo inicial tem a amplitude de 600 porque 3600 a dividir por 6 60. -No pentgono os alunos cheguem concluso que o ngulo do vrtice A do tringulo inicial tem a amplitude de 720 porque 3600 a dividir por 5 72. -No quadrado os alunos cheguem concluso que o ngulo do vrtice A do tringulo inicial tem a amplitude de 900 porque 3600 a dividir por 4 90. -No tringulo os alunos cheguem concluso que o ngulo do vrtice A do tringulo inicial tem a amplitude de 1200 porque 3600 a dividir por 3 120. O professor poder perguntar: -Ser que os nmeros 30, 45, 72, 90 e 120 tm algo em comum? Pretende-se que os alunos relembrem, que estes nmeros so divisores de 360 e que todos eles (incluindo o 360) so mltiplos de 3. Podero ainda ser criadas tabelas com os mltiplos de 3, 4, 5, 6, 8 e 12.

NPMATEB 2009/10

35


Na sntese dever registar-se que as rosceas so uma composio de simetrias e que neste caso so obtidas por rotao dum mdulo que o tringulo. Como a amplitude do ngulo do vrtice que se une com o vrtice dos dois espelhos diferente em cada caso, ento a composio obtida difere de acordo com essa amplitude. As imagens que ajudam a introduzir a medida de ngulo devem ser interpretadas como rosceas geradas por rotaes de ngulo 30, 45, 60, 72, 90 e 120 respectivamente. O uso do transferidor para auxiliar os alunos mais incrdulos ou para validar as respostas fica ao critrio de cada professor, assim como o uso da calculadora. Embora esta tarefa esteja essencialmente direccionada para a simetria rotacional tambm dever ser explorado o n de simetrias axiais de cada polgono usando-se as exploraes realizadas na tarefa 5, Descobrir eixos de simetria nos polgonos.

Explorao dos alunos Explorao 1 Explorao 2 Palavras-chave: classificao de polgonos, mltiplos, divisores, ngulos, vrtice, roscea,ngulo de rotao, centro de rotao, eixo de reflexo, simetria rotacional, simetria axial

NPMATEB 2009/10

36


Tarefa 5: O milagre dos dois espelhos3 1. A Alberta utilizou a grelha que a professora lhe forneceu e desenhou o seguinte motivo: C

A

B

Quando observou o motivo juntando os dois espelhos aos lados AB e AC do motivo obteve a seguinte imagem:

Tentem repetir a experincia da Alberta.

3

Adaptado de: Programa de Acompanhamento e Formao em Matemtica, ESE do Instituto Politcnico do Porto

NPMATEB 2009/10

37


2. Recortem as grelhas que se encontram na folha seguinte e juntem os dois espelhos aos lados AB e AC dos novos motivos. Repitam a experincia. Em casa podem pintar as grelhas usando vrias cores. Sejam criativos! 2.1. Que concluses podem tirar?

2.2. Que polgonos conseguem observar?

2.3. Formulem uma conjectura sobre a relao que existe entre os polgonos obtidos e os ngulos de vrtice A do tringulo inicial.

2.4. Indiquem o n de eixos de simetria de cada polgono obtido pelo jogo de espelhos.

NPMATEB 2009/10

38


C Grelhas para recortar e pintarC

A C B A C

B

A

B

A

B

C C

A

B A B 39

NPMATEB 2009/10


Planificao da tarefa 6: Lees e MosaicosEsta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que identifiquem e explorem simetrias existentes nos frisos e em rosceas.

Tema matemtico: Geometria Nvel de ensino: 2. Ciclo Tpicos matemticos: Reflexo, rotao e translao. Simetria axial. Subtpicos matemticos: Simetria de translao. Simetria de reflexo.


Conhecimentos prvios dos alunos:Resolver problemas envolvendo a visualizao e a compreenso de relaes espaciais. Visualizar e descrever posies, direces e movimentos.

Construir frisos e identificar simetrias.

Aprendizagens visadas:Identificar simetrias de frisos.

Recursos: Ficha de trabalho em papel, acetato com friso de lees, mira, espelhos. Durao prevista: 90 minutos Notas para o professor: 40

NPMATEB 2009/10


O professor dever organizar a turma em grupos de 3-4 elementos. Para a realizao da tarefa em grupo devero ser destinados 40 minutos. Aps o trabalho em grupo, o professor dever iniciar a explorao da tarefa em plenrio (comunicao e discusso) e a sistematizao dos conceitos envolvidos. Pretende-se que os alunos identifiquem trs tipos de simetria num friso: reflexo, translao e rotao. No incio da aula, o professor distribui os enunciados das tarefas e entrega a cada grupo um acetato com cpia do friso de lees, um mira e um espelho. Dando cumprimento primeira parte da primeira questo, os alunos devero sobrepor o acetato em cima da fila de lees que est na ficha e proceder de acordo com as indicaes. Espera-se que os alunos identifiquem a simetria de translao existente no friso. Na segunda parte da primeira questo pretende-se que os alunos identifiquem, no friso, reflexes que depois se repetem por translao. Aqui, os alunos tambm podero usar o acetato virado ao contrrio. Na terceira parte da primeira questo pretende-se que os alunos identifiquem no friso a reflexo combinada com uma translao na direco do eixo de reflexo (a ttulo de curiosidade, o professor pode dizer que neste caso chama-se reflexo deslizante). Na quarta parte da primeira questo pretende-se que os alunos visualizem a rotao do leo. A figura composta por lees que rodam a partir de um ponto fixo e num determinado ngulo (neste caso a rotao de meia volta). Relativamente questo O que um friso ser importante que se explore a existncia de um motivo que se repete (translao). Ser importante que se observe que a disposio das cpias do motivo se organizam numa faixa (os padres de simetria seguem uma direco). Ao analisar as simetrias dos mosaicos, pretende-se que sejam visualizadas as simetrias de rotao e axial. O professor poder solicitar que a comunicao das descobertas seja feita em trs momentos, um para cada mosaico. No primeiro azulejo, os alunos devero identificar devero ser identificados 4 eixos de simetria de reflexo. No segundo azulejo os alunos podero identificar como o motivo que roda. Neste como o motivo que roda. Neste azulejo

azulejo podero ser identificados 2 eixos de simetria de reflexo. O terceiro azulejo apenas apresenta simetria rotacional, aqui os alunos podem marcar o centro e a amplitude do ngulo de rotao que neste caso de 90o. Nesta aula poder ser entregue, aos alunos a informao que se encontra na pgina seguinte.

NPMATEB 2009/10

41


No final da aula poder ser entregue aos alunos uma ficha de avaliao formativa individual.

Informao ANALISANDO UMA FIGURA AFINAL O QUE UMA SIMETRIA? UMA PROPRIEDADE DE ALGUMAS FIGURAS, VEJAMOS: Simetria uma caracterstica que pode ser observada em algumas formas geomtricas. Simetria uma propriedade da figura geomtrica (esta tem ou no tem simetria). Nas simetrias h a preservao da forma e configurao atravs do ponto, da linha ou plano. Uma figura com simetria globalmente invariante (alguns pontos da figura podem mudar de posio, mas a figura como um todo fica invariante)

Ns vamos estudar trs tipos de simetrias de uma figura plana: simetria de reflexo (a), simetria de rotao (b), simetria de translao (c).

a) SIMETRIA DE REFLEXO

Fig. 1 tem um eixo de simetria

Fig.2- Tem dois eixo de simetria

Fig.3- Tem quatro eixos de simetria

Fig.4- Zero eixos de simetria

A este tipo de simetria (fig. 1, 2 e 3) tambm se chama Simetria Axial que aquela onde pontos, objectos ou partes de objectos so a imagem espelhada um do outro em relao recta dada, chamada eixo de simetria (eixo de reflexo ou linha de simetria). O eixo de simetria a recta, mediatriz do segmento que divide a figura ao meio de modo a que uma metade da figura seja a reflexo da outra metade. Caso contrrio a recta no eixo de simetria (fig.4). Em suma, uma figura no plano tem simetria axial se podemos dividi-la em partes de alguma maneira, de tal modo que as partes resultantes desta diviso, coincidam perfeitamente, quando sobrepostas.

NPMATEB 2009/10

42


Segue o link:http://www.innovationslearning.co.uk/subjects/maths/activities/year3/symmetry/shape_game.asp

b) SIMETRIA DE ROTAO

Estas figuras finitas tm simetria de rotao (ou rotacional), pois se ns fizermos uma rotao do plano com centro num determinado ponto a figura transformada exactamente a mesma que a original.

Vejamos qual o ngulo de rotao desta figura de Centro C. O Ponto C, neste caso, o ponto em torno do qual a figura roda. Se o plano rodar Um Quarto de Volta dizemos que o ngulo da simetria rotacional tem uma amplitude de 90o . Se o plano rodar Meia Volta dizemos que o ngulo da simetria rotacional uma amplitude de 180 o Se o plano rodar Trs Quartos de Volta dizemos que o ngulo da simetria rotacional tem uma amplitude de 270 o tem

Se o plano rodar Uma Volta Inteira dizemos que o ngulo da simetria rotacional tem uma amplitude de 360 o

Segue o link http://www.mathsisfun.com/flash.php?path=%2Fgeometry/images/rotation.swf&w=894&h=762&col= %23FFFFFF&title=Geometry+Rotation

C) SIMETRIA DE TRANSLAONPMATEB 2009/10

43


Aqui no encontramos simetria de reflexo nem de rotao, mas dizemos que existem simetria de translao. Pois se fizermos uma translao do plano segundo um vector, a figura, no seu conjunto transformada nela prpria (nenhum ponto da figura fica invariante para essa transformao). Esta figura infinita.

Segue os links http://www.atractor.pt/simetria/matematica/docs/frisos3.htm http://www.atractor.pt/simetria/matematica/materiais/exercicios.htm

Tarefa 6: Lees e Mosaicos

NPMATEB 2009/10

44


1.1. Sobre a mesa esto um carto e um acetato, ambos com a seguinte fila de imagens.

Sobrepondo as duas filas a do carto e a do acetato expliquem o que devem fazer para que as imagens estejam outra vez sobrepostas (excepto as imagens das pontas)? Identifiquem a simetria observada neste friso. 1.2. Recorrendo ao Mira como devem proceder para que consigam ver estas imagens prolongarem-se na horizontal? Identifiquem a(s) simetria(s) que observam neste friso.

1.3. E neste caso, o que est a acontecer aos lees? Indiquem a(s) simetria(s) observadas nesta faixa (Podem recorrer ao Mira e ao papel vegetal).

1.4. Com auxlio do leo, que est em acetato, expliquem o que est a acontecer nesta faixa e indiquem a(s) simetria(s) que observam.

NPMATEB 2009/10

45


1.5. Aps as vossas exploraes, digam por palavras vossas o que um friso.

2. Observem agora estes mosaicos Romanos 4. So belos, no so? Pois sabe-se que osromanos gostavam de usar figuras simtricas nas suas decoraes e essa tendncia permanece at aos dias de hoje. As figuras seguintes representam desenhos de mosaicos romanos que, devido romanizao, podem encontrar-se em vrios lugares da Europa. Para cada figura apresentada, verifiquem se tem simetria e, em caso afirmativo, caracterizem-na.

4

Adaptao de Field, Robert (1988). Geometric patterns forms roman mosaics. Norfolk: Tarquin Publications.

NPMATEB 2009/10

46


Tempo de Estudo em Casa Malhando1. A partir da malha apresentada, escolhe uma unidade padro, pinta-a e constri frisos com as seguintes simetrias: 1.1. Translao 1.2. Rotao 1.3. Reflexo

2. Cria uma unidade de padro, pinta-a e constri um friso numa tira de cartolina, com 10 cm de altura e 30 cm de comprimento para colocares na parede da sala de aula. As simetrias ficam tua escolha!

NPMATEB 2009/10

47


Mini-Ficha Formativa Rosceas com esquadros5

1.1. Contornando um esquadro issceles constri a seguinte roscea:

Descreve o que observas nessa figura construda por ti.

2.1. Contornando um esquadro escaleno constri as seguintes rosceas:

2.2. Identifica a simetria observada nas figuras anteriores. 2.3. Explica como possvel indicar o ngulo de rotao, sem fazer quaisquer medies.

2.4. Para cada figura, indica o ngulo de rotao, sem fazer quaisquer medies.

5

Adaptao de Boyer, Carl B. (1996). Histria da Matemtica (2 ed). S. Paulo: Editora Edgard Blucher, ltda.

NPMATEB 2009/10

48


Planificao da tarefa 7: Construir frisos e rosceas com papel e tesouraEsta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos construam frisos e rosceas dobrando e recortando papel e identificando o tipo de simetrias existente em cada construo.

Tema matemtico: Geometria Nvel de ensino: 2. Ciclo Tpicos matemticos: Reflexo, rotao e translao Subtpicos matemticos: Simetrias axial e rotacional


Conhecimentos prvios dos alunos:Identificar no plano figuras simtricas em relao a um eixo; Desenhar no plano figuras simtricas relativas a um eixo horizontal ou vertical; Compreender a noo de ngulo; Identificar no plano eixos de simetria de figuras; Construir frisos e identificar simetrias.

Aprendizagens visadas:Compreender as noes de simetria axial e rotacional e identificar as simetrias numa figura; Identificar as simetrias de frisos e rosceas; Construir frisos e rosceas.

NPMATEB 2009/10

49


Recursos: Fichas de trabalho com o enunciado da tarefa (uma por aluno), papis de vriostipos (lisos, coloridos, prateados), tesouras.

Durao prevista: 90 minutos Notas para o professor:A tarefa realizada individualmente (45 minutos). Nos 30 minutos seguintes procede-se discusso em grande grupo, onde cada um dos alunos mostra as suas produes, criando oportunidade para se discutir o tipo de simetrias existente em cada trabalho. Nos ltimos 15 minutos da aula, feita a sistematizao da tarefa e dos conceitos envolvidos. Com esta tarefa pretende-se que os alunos construam frisos e rosceas usando papel e tesoura e identificando o tipo de simetrias existentes. Na primeira parte da aula os alunos trabalham individualmente de acordo com as instrues da tarefa. Devero registar as suas observaes e concluses para, posteriormente, na fase discusso, explicarem o tipo de simetrias que possvel observar no seu friso e na sua roscea. Na fase de sistematizao da tarefa importante que o professor refira que: - Quando se recorta uma figura num papel dobrado em fole, cada vinco de dobragem corresponde a um eixo de simetria; - Na construo do friso possvel identificar simetrias de reflexo (ou axiais), quando metade da figura reflectida e se obtm a figura completa, e tambm possvel identificar simetrias de translao, ao executar duas reflexes sucessivas. - Na construo da roscea verifica-se que, fazendo uma rotao em torno de um ponto, equivale a fazer sucessivamente duas reflexes relativamente a duas rectas que se cruzam nesse ponto. Assim, numa roscea possvel identificar simetrias de reflexo e simetrias de rotao (ou rotacionais). Na terceira parte da tarefa pretende-se que os alunos identifiquem os eixos de simetria, fazendoos corresponder aos vincos de dobragem e ao motivo inicial (aquele que dever ser desenhado e recortado para dar origem ao friso ou roscea). Seguidamente, os alunos podero experimentar reproduzir os exemplos apresentados e verificar as suas respostas.

Explorao dos alunos

NPMATEB 2009/10

50


Explorao 1 Explorao 2 Palavras-chave: eixo de simetria, simetria de reflexo (ou axial), simetria de translao, simetriade rotao (ou rotacional), friso, roscea.

NPMATEB 2009/10

51


Tarefa 7: Construir frisos e rosceas com papel e tesoura6 1. Faz um desenho que possua um eixo de simetria vertical. (Observa o exemplo)

Vais apenas necessitar de metade da tua figura. Recorta essa metade.

Corta uma tira de papel com uma altura um pouco maior que a do desenho que acabaste de fazer. Dobra a folha de papel em fole, de modo que a distncia entre dobras corresponda ao teu meio desenho.

Desenha o contorno da tua meia figura num dos lados de fora da tira de papel dobrada. Recorta a tua figura com cuidado.

Desdobra a tira e observa. Que tipo de simetrias encontras?

6

Adaptado de: O Ritmo das Formas (Atractor, 2001)

NPMATEB 2009/10

52


2. Executa dobragens e cortes numa folha de papel de acordo com o esquema seguinte:

Quando terminares, desdobra o teu trabalho com cuidado e observa-o. Que tipo de simetrias encontras? 3. Descobre que dobragens e recortes tens que fazer para conseguires produzir trabalhos semelhantes aos seguintes:

Tempo de

Estudo em Casa53

NPMATEB 2009/10


1. Dobra um quadrado de papel duas vezes e corta-o como est indicado na figura seguinte:

Prev as caractersticas da figura que vais obter e desenha-a. Desdobra o papel e verifica. Experimenta fazer variaes no corte, prevendo sempre o que vai acontecer.

2. Faz a mesma explorao mas com um corte duplo como ilustrado na figura:

Prev o que vai acontecer, desenhando a figura esperada.

3. Experimenta agora a situao inversa, isto , faz o desenho de uma figura que achas que possvel obter fazendo um ou dois cortes no quadrado dobrado em quatro. Depois, dobra e corta para confirmar a tua previso. As duas figuras seguintes podem servir de exemplo:

4. Que propriedades tm todas as figuras obtidas por este processo?

NPMATEB 2009/10

54

tarefas de isometrias_26out2009

Documents