td 3 cinematique
DESCRIPTION
Documents avec quelques exercices de cinematique du solide.TRANSCRIPT
T.D. CinématiqueI - Mouvements.
Exercice n°1 : Loi de mouvement
Le mouvement en rotation d’un bras de robot est effectué
selon la loi d’accélération θ........
représentée ci-contre.
Elle correspond à une limitation par le couple moteur,
donc d’après le principe fondamental de la dynamique, à une
limitation de l’accélération angulaire θ........
(t).
Cette accélération est donc toujours égale à sa valeur
extrémale ± θ........
0 ou alors elle est nulle.
A l’instant t = 0 s, la vitesse angulaire θ....(t) est nulle et la position angulaire θ(t) est considérée nulle également.
Chaque phase de l’accélération a une durée T0 .
1 - Déterminer, pour chaque phase, l’expression de la vitesse angulaire θ....(t) et représenter l’ensemble sur un graphe.
2 - Quelles sont les positions atteintes θ(t) aux instants T0 , 2T0 , 3T0 , 4 T0 et 5T0 ?
3 - Déterminer pour chaque phase l’expression de la position angulaire θ(t) et représenter l’ensemble sur un graphe.
4 - A quel mouvement concret du bras de robot, la loi obtenue correspond-elle ?
Exercice n°2 : (d’après concours Centrale - Supelec 2002)
Un appareil d’imagerie médicale doit exécuter un mouvement de rotation θ(t) autour du patient.
La plage de mouvement total possible par la cinématique de l’appareil est limitée à ∆θtotal = 225°
La motorisation permet une accélération angulaire comprise entre θ........
min = -13°/s2 et θ........
Max = 13°/s2
L’examen proprement dit a une durée T = 3 s et se fait à vitesse constante θ....
Max la plus grande possible pour couvrir la plus
grande plage angulaire possible, appelée ∆θexamen .
1 - Représenter graphiquement l’allure de la loi de vitesse.
2 - Déterminer la durée de la phase d’accélération T0 , la plage ∆θexamen et la vitesse θ....
Max du mouvement pendant l’examen.
Faire les applications numériques.
Exercice n°3 : (d’après concours Mines - Ponts 1999)
Un robot est constitué schématiquement d’un bâti de référence 0, d’une barre 1 de longueur OA = L et d’une barre 2 de
longueur AB = L.
La barre 1 peut avoir un mouvement de rotation d’axe (O, z→
) par rapport au
bâti 0, paramétré par l’angle θ10 .
La barre 2 peut avoir un mouvement de rotation d’axe (A, z→
) par rapport à la
barre 1, paramétré par l’angle θ21. A chaque pièce i est attachée une base ( xi→
, yi→
, z→
)
A l’instant t = 0, on a θ10 = 90° et θ21 = -180°.
La mouvement du robot est assurée par :
- un moteur qui pilote la valeur de l’angle θ10
- un mécanisme à poulies et courroie, non représenté, qui assure la
relation θ....
21 = - 2 θ....
10 à tout instant .
1 - Quelle est la trajectoire du point B, symbolisant la pince du robot ?
2 - Calculer la vitesse du point B, par rapport au bâti 0, par 2 méthodes différentes.
θ........
0
0
t
θ........
(t)
T0 2T0 3T0 4T0 5T0
- θ........
0
x0→
y0→
z→O
x1→→→→
A
x2→→→→
B
y1→→→→
y2→→→→
θθθθ10
θθθθ2121212112
Exercice n°4 : (d’après concours Mines - Ponts 1999)
Un mécanisme plan est constitué schématiquement d’un bâti de
référence 0, d’une barre 1 de longueur OA = L1 , d’une barre 2 de
longueur AB = L2 , d’une barre 3 de longueur BC = L1 .
La barre 1 peut avoir un mouvement de rotation d’axe (O, z→
) par rapport
au bâti 0, paramétré par l’angle θ10 .
La barre 2 peut avoir un mouvement de rotation d’axe (A, z→
) par rapport
à la barre 1, paramétré par l’angle θ21 .
La barre 3 peut avoir un mouvement de rotation d’axe (B, z→
) par rapport
à la barre 2, mais aussi un mouvement de rotation d’axe (C, z→
) par rapport au
bâti 0, paramétré par l’angle θ30 .
La distance entre les points O et C du bâti est OC = L2 .
A l’instant t = 0, les angles θ10 et θ30 sont nuls.
1 - Quelle est la figure géométrique formée par les points O, A, B et C à l’instant t = 0. ?
2 - Quelle est la figure géométrique formée par les points O, A, B et C lorsque l’angle θ10 devient non nul ?
3 - Quelle relation existe à tout instant entre θ10 et θ30 ?
4 - Quelle relation existe à tout instant entre θ10 et θ21 ?
5 - En déduire la nature du mouvement de la barre 2 par rapport au bâti 0.
Exercice n°5 : (d’après concours Mines - Ponts 1999)
Un mécanisme plan, représenté ci-contre, est
constitué schématiquement d’un bâti de référence 0 et de six
barres numérotées de 1 à 6.
Les barres 1, 2, 4 et 6 ont une longueur L1
La barre 3 une longueur L2 égale à la longueur OC
caractéristique du bâti 0.
La barre 5 a une longueur 2L2 .
Toutes les barres sont articulées entre elles en leurs
extrémités et également en le milieu A de la barre rigide DE
numérotée 5. Tous les axes de ces mouvements de rotation
sont de vecteur directeur z→
.
1 - Si un mécanisme, non représenté, assure, comme
dans l’exercice n°3, la relation Ω→21 = -Ω→10 , quelle est la trajectoire du point B de la barre 3 par rapport au bâti 0 ?
2 - En déduire la nature du mouvement de la barre 3 par rapport au bâti 0.
Exercice n°6 : (d’après concours Centrale - Supelec 2003)
Le papier entrant à la vitesse v→
dans une ligne d’imprimerie provient
d’un rouleau de papier tournant autour d’un axe (O,y→
) à la vitesse ω.
- Est-ce que le rouleau de papier peut tourner à une vitesse ω constante
si le papier doit avancer à une vitesse v→
constante dans la ligne d’imprimerie ?
Justifier.
x0→
y0→
z→O
x1→→→→
A
x3→→→→
B
y1→→→→
y3→→→→
θθθθ10
θθθθ30303030
1
2
0
3
C
θθθθ21
x0→
y0→
z→O
A
B
D
5
4
0
1
C
6
3
2
E
F
Rouleaude papier
v→
ω
z→
x→
II - Calculs de vitesses.
Exercice n°7 : Centrifugeuse de laboratoire
Une centrifugeuse est constituée :
- d’un bâti S0 lié au repère R(O, x→
, y→
, z→
) considéré fixe
- d’un bras S1 mobile en rotation autour de l’axe (O, x→
) et
lié au repère R1(O, x→
, y1→
, z1→
) tel que α = ( y→
,y1→
)
avec α = ω.t et ω constant
- d’une éprouvette S2 mobile en rotation autour de l’axe
(A, z1→
) par rapport à S1 et liée au repère R2(A, x2→
, y2→
, z1→
)
L’éprouvette s’incline d’un angle β sous l’effet centrifuge.
On pose OA→
= a y1→
et AG→
= b x2→
(a et b constants)
G est le centre d’inertie de l’éprouvette S2.
1 - Déterminer les vecteurs vitesses de rotation Ω→(S1/R) = Ω→(R1/R) et Ω→(S2/R) = Ω→(R2/R)
2 - Déterminer le vecteur vitesse v→
(G∈S2/R)
3 - Déterminer le vecteur accélération a→
(G∈S2/R)
4 - Sachant que AG→
a la direction de g→
- a→
(G∈S2/R) , avec g→
= g x→
, déterminer la valeur de β lorsque celle ci ne varie plus
Exercice n°8 : Robot ménager
Un robot ménager est constitué de :
- un bâti fixe lié au repère R0(O, x0→
, y0→
, z0→
)
- un bras lié au repère R1(O, x1→
, y1→
, z0→
) mobile autour de l’axe
(O, z0→
) par rapport au bâti et repéré par l’angle α
- un fouet lié au repère R2(A, x2→
, y2→
, z0→
) mobile autour de l’axe
(A, z0→
) par rapport au bras et repéré par l’angle β.
On pose OA = r1 . On considère le point M du fouet tel que AM→
= r2 x2→
- h z0→
1 - Calculer la vitesse du point M du fouet par rapport à R0.
2 - Calculer l’accélération par rapport à R0.
Le bras est entraîné en rotation autour de (O, z0→
) par un moteur non
représenté tournant à vitesse constante ω. Le pignon d’axe (A, z0→
) lié au fouet, et
le pignon d’axe (O, z0→
), de rayon r0, lié au bâti, engrènent en I, et obligent alors
le fouet à tourner autour de son axe.
3 - Exprimer V→
(I∈R2/R0) en fonction de V→
(A∈R2/R0). Compte tenu de
l’engrènement, on a V→
(I∈R2/R0) = 0→
, en déduire β.... en fonction de ω. Donner
alors la vitesse et l’accélération du point M.
4 - Quel est le torseur cinématique du mouvement du fouet par rapport
au repère R0 ? Quel est l’axe central de ce torseur ?
Quel est donc le mouvement instantané du fouet ?
5 - Donner l’allure de la trajectoire de M pour r2 = r1 - r0
pour r2 < r1 - r0 et pour r2 > r1 - r0.
( On pourra calculer la vitesse de M lorsque M est le plus près de
l’axe (O, z0→
), et éventuellement en d’autres positions particulières. )
y→
y1→
z→
z1→
α
x→
x→
x2→
y1→
y2→
AO
G
βS1
S2
S0
z0→
Oα
x0→
x2→
x2→
x1→
y0→
βA
M
x1→
I S2
S0
S1
z0→
Oα
x0→
x2→
x2→
x1→
y0→
βA
M
S1
S0
S2
Exercice n°9 : Hélicoptère.
La vitesse des hélicoptères est bien inférieure à celle des avions car elle est limitée par la vitesse en bout de pale qui ne doit
pas atteindre la vitesse du son, soit environ 340 m/s. Le but de cet exercice est de déterminer la vitesse d’avance maximale théorique
d’un hélicoptère en fonction de ce critère.
On suppose le vent de vitesse nulle.
Soit R0 (O, x0→
, y0→
, z0→
) le repère fixe par rapport au sol 0.
L’hélicoptère 1 se déplace en translation rectiligne uniforme de
direction x0→
par rapport au sol 0. Soit OA→
= h z0→
+ λ x0→
où h est une constante
et λ un paramètre variable.
Soit R1(A,x0→
,y0→
,z0→
) un repère fixe par rapport à l’hélicoptère 1.
Soit R2 (A,x2→
,y2→
,z0→
) un repère attaché au rotor principal 2 de
l’hélicoptère tel que AM→
= R x2→
avec M un point situé à l’extrémité d’une pale.
La grandeur R est appelée ‘rayon du rotor’ dans la suite. Le rotor principal 2 est
en rotation d’axe (A,z0→
) de paramètre θ par rapport à l’hélicoptère 1. La vitesse
de rotation du rotor θ.... = ω est supposée constante.
1 - Donner l’expression du vecteur position du point M par rapport au
référentiel R0 en fonction des paramètres λ, h et R.
2 - Donner les expressions des vecteurs vitesses angulaires Ω→(2/1), Ω→(1/0) et Ω→(2/0) .
3 - Déterminer l’expression du vecteur vitesse v→
(M∈2/0) du point M du rotor par rapport au sol en fonction de λ...., R et θ
.....
4 - Déterminer l’expression de la vitesse maximale VMax , norme maximale de v→
(M∈2/0) au cours du mouvement en
précisant pour quelle position ce maximum est atteint.
5 - Sachant que la vitesse de rotation du rotor est ω = 384 tr/min, que le rayon du rotor est R = 4,5 m , donner la vitesse
maximale théorique VH Max de l’hélicoptère, exprimée en km/h.
6 - Pour la valeur de VH Max obtenue ci-dessus, quelle est la vitesse v→
(M∈2/0) un demi tour de rotor après la position définie
à la question 4. Faire l’application numérique. Conclure quant à la possibilité de se rapprocher de la vitesse maximale théorique VH Max
calculée à la question 5.
7 - Déterminer la vitesse maximale de l’hélicoptère VH Max et la vitesse de rotation de son rotor ω , si on impose toujours
que le bout de la pale ‘avançante’ atteigne la vitesse du son VMax et que de plus, pour assurer une portance correcte, le bout de la pale
‘reculante’ atteigne la moitié de cette vitesse ( selon - x0→
).
III - Roulement sans glissement ou avec glissement.
Exercice n°10 : Cylindre roulant.
Un cylindre S, de rayon r, d’axe (G,z0→
), roule sans glisser sur un plan
horizontal, auquel on attache un repère R0 (O, x0→
, y0→
, z0→
) selon la figure ci-contre.
La ligne de contact cylindre plan est (I,z0→
).
Appelons x la distance allant de l’origine O, du repère R0, au point de contact I.
Soit P le point du cylindre tel que G soit le milieu de IP.
- Déterminer, en fonction de x et r, la vitesse et l’accélération du point P du cylindre par rapport au repère R0.
Pour y parvenir, on peut, attacher un repère R(G, x→
, y→
, z→
) au solide S, appeler θ = (x0→
, x→
) = (y0→
, y→
) l’angle entre les deux
repères, considérer que le point P est tel que GP→
= r y→
et chercher sa vitesse et son accélération à l’instant où θ = 2 k π. Pour relier
le paramètre θ, ainsi introduit, au paramètre demandé x, il faut écrire la condition de roulement sans glissement en I du solide S par
rapport au repère R0.
I
y→
x→
O
y0→
x0→
Gθ
x
z0→ S
Exercice n°11 : Glissière à billes.
On crée une liaison permettant une translation
( liaison glissière ) entre les solides 0 et 3 en mettant une rangée
de billes 1 et une rangée de billes 2 entre les solides 0 et 3.
Le centre de chaque bille 1 est sur l’axe (O1, x→
). Le
centre de chaque bille 2 est sur l’axe (O2, x→
) .
Le mouvement du solide 3 par rapport au bâti 0 étant
une translation de direction x→
, pour tout point P, on a :
v→
(P∈3/0) = V x→
où V est donné. On suppose qu’il y a roulement sans glissement en A, A’, B, B’, C, C’ et D.
1 - Sans calculs, donner la forme du torseur cinématique du mouvement d’une bille 1 par rapport au bâti 0, et le torseur
cinématique du mouvement d’une bille 1 par rapport au solide 3.
2 - Déterminer Ω→1/0 et v→
(O1∈1/0). On notera R le rayon des billes 1 et r le rayon des billes 2.
3 - Déterminer Ω→2/0 et v→
(O2∈2/0).
4 - Calculer l’angle α pour que v→
(O1∈1/0) = v→
(O2∈2/0).
Exercice n°12 : Variateur à plateaux (F. U.)
Un variateur de vitesse est un mécanisme monté dans une transmission de puissance entre le moteur et le récepteur, et chargé
de transformer la vitesse de rotation de l’arbre moteur en une autre vitesse de rotation adaptée au récepteur et réglable.
Le variateur de vitesse représenté ci-dessous est constitué de deux plateaux (1) et (2) en mouvements de rotation
d’axes (A, x→
) et (B, x→
) avec le bâti. Le galet (3), en mouvement de rotation d’axe (C, u→
) par rapport au bâti, roule sans glisser
sur les deux plateaux en D et E. L’angle θ formé entre y→
et u→
est tel que θ = 45°
L’axe ( C, u→
) du galet (3) peut, par un mécanisme de réglage manuel non représenté, être déplacé verticalement.
On note Ω →
1 = ω1 x→
la vitesse de rotation du plateau d’entrée (1), et Ω →
2 = ω2 x→
la vitesse de rotation du plateau de sortie (2).
1 - En écrivant le non glissement en D et
en E, trouver la loi entrée-sortie du mécanisme pour un
réglage donné, c’est à dire la relation entre ω1 et ω2.
(certaines caractéristiques géométriques du variateur
interviendront bien sûr dans la loi entrée-sortie).
On pourra auparavant calculer v→
(D∈1/0) en
fonction de ω1; v→
(E∈2/0) en fonction de ω2; et
v→
(D∈3/0) en fonction de v→
(E∈3/0).
2 - Montrer qu’en déplaçant le galet (3) et son
axe ( C, u→
) verticalement, on fait varier ω2 si ω1
reste constant.
3 - En pratique, le galet (3) n’est pas en
contact avec le plateau (1) en un point unique D, le
contact se fait suivant une ligne verticale. Montrer que
la vitesse de glissement du galet par rapport au plateau
peut être non nulle en tout point de cette ligne autre
que D (F par exemple) dans certaines conditions.
Exercice n°13 : Butée à billes
D
120°
90°2α
A’A
B’B C C’
O1O2
0
2
3
1
z→
y→
x→
D
2
B
C
3 A
1
x→
u→
y→
θ
E
F
Une butée à billes est un organe mécanique à éléments roulants permettant, lorsqu’il est associé à d’autres types de
roulements, de réaliser des liaisons pivot pouvant supporter des efforts axiaux importants.
La butée à billes considérée est constituée :
- d’une bague S0 solidaire d’un repère R0 (O,x0→
,y0→
,z0→
) fixe, supposé galiléen,
- d’une bague S2 dont le mouvement par rapport à S0 (ou R0) est représenté par V (S2/S0) = ω y0→
, 0→
O
- de 19 billes homogènes, de rayon r et de masse m.
On considère la bille S de centre C. La trajectoire dans R0 du centre C de cette bille est un cercle de centre O et de rayon a.
La bille S est en contact en I avec la bague S0 et en J avec la bague S2.
On définit le repère R (O, x→
,y0→
, z→
) par OC→
= a x→
avec θ = (x0→
, x→
)
Une étude de dynamique vous permettra de montrer dans quelques mois qu’une charge axiale minimale doit être appliquée
sur cette butée à billes, pour que l’on ait roulement et pivotement sans glissement en I et en J, le non respect de cette condition
provoquant une usure prématurée de la butée. Mais préalablement, il convient d’analyser la cinématique de cette butée.
1 - Exprimer la condition de non glissement en I et celle en J. En déduire le torseur cinématique, en C, du mouvement de la
bille S par rapport au repère fixe R0. Montrer que le vecteur vitesse de rotation a une composante de pivotement indéterminée.
2 - Exprimer le torseur cinématique en O du mouvement du repère R par rapport au repère fixe R0 pour trouver une relation
entre l’angle θ et la vitesse de rotation ω.
IV - Mouvement plan sur plan - Cinématique graphique.
Exercice n°14 : Roues directrices de véhicules.
Une voiture possède 2 roues non directrices en C et D sur l’essieu arrière, et 2
roues directrices en A et B sur l’essieu avant. La voiture tourne à gauche (voir figure ci
contre).
1 - Donner le centre instantané de rotation du châssis de la voiture dans son
mouvement par rapport à la route. On suppose qu’aucune roue ne glisse (dérape) sur la
route.
2 - Tracer la roue située en A (définir son orientation).
3 - Quelle est la particularité de la norme de la vitesse de chacun des points A, B,
C, D appartenant au châssis par rapport à la route.
4 - Conclusions.
y0→
O x→
a
I
J
r
C
S2
S0
S
D
C
B
A
Exercice n°15 : Système bielle manivelle ( moteur thermique)
Le vilebrequin 1 (manivelle) tourne autour de l’axe (O, z→
).
La bielle 2 est liée au vilebrequin 1 par une liaison permettant une
rotation d’axe (A, z→
) et au piston par une liaison permettant une rotation
d’axe (B, z→
).
Le piston se déplace en translation selon la direction y→
.
On pose (O x→
, OA→
) = θ
1 - Exprimer la relation entre Ω→1/0 et V→
(A∈1/0).
2 - En prenant 4 cm pour la représentation de || V→
(A∈1/0) ||,
construire le vecteur vitesse V→
(B∈3/0) .
3 - Construire le C.I.R. I20 du mouvement de 2/0.
4 - En déduire une autre méthode pour construire V→
(B∈3/0)
5 - Que se passe-t-il lorsque A est sur (O, x→
); sur (O, y→
) ?
Exercice n°16 : Fermeture de porte par vérin.
Une porte P dont l’axe du mouvement par rapport à un bâti 0 passe par A est animée par un vérin dont le corps Cv est articulé
en B et la tige Tv en C. Représentée dans la position fermée, on s’intéresse à son mouvement en début d’ouverture.
1 - Tracer une vitesse de rentrée de tige v→
(C∈Tv/Cv) de norme 0,1 m/s représentée par un vecteur de norme 20 mm.
2 - Construire le vecteur v→
(C∈P/0).
3 - En déduire le vecteur v→
(D∈P/0). Quelle est sa norme, en m/s.
4 - Sachant que la porte a une largeur de 2 m quelle est sa vitesse de rotation ?
5 - Quelle approximation faut il faire pour déterminer le temps d’ouverture à 90° de cette porte ?
O x→
y→
B
A
0
0
Bielle 2
Piston 3
Vilebrequin 1
A
B
CP
Cv
0
Tv
D
0
Exercice n°17 : Engin de levage
Cet appareil monté sur le plateau (0) d’un camion, permet de soulever de la ferraille à l’aide d’un plateau magnétique (10). Le
déplacement de (10) s’obtient par rotation de l’appareil autour de (O, z→
), et par action sur les vérins (2,3) et (7,8).
Dans la configuration du dessin :
1 - Déterminer la vitesse, en I, de levée de la pièce 10 pour une rentrée de tige du vérin (7,8) de 10 mm/s.
2 - Déterminer la vitesse, en I, de levée de la pièce 10 pour une sortie de tige du vérin (2,3) de 10 mm/s.
3 - Déterminer la vitesse, en I, de levée de la pièce 10 pour une rentrée de tige du vérin (7,8) et une sortie de tige du
vérin (2,3) de 10 mm/s simultanées.
4 - Pour chaque cas, est-ce que cette levée est bien verticale ?
V- Liaisons et Chaînes de solides
Exercice n°18 : Angles d’Euler
Un cône C de sommet S, d’angle au sommet 2.α de rayon à la base R, de hauteur H roule sans glisser sur un plan (O,x0→
, y0→
).
1 - Exprimer le roulement sans glissement en S. On peut donc assimiler le point S à O.
On paramètre le mouvement du cône par les 3 angles d’Euler.
- La génératrice du cône en contact avec le plan est (S, v→
), l’axe du cône est (S, z→
).
- L’angle ψ permet de passer de la base (x0→
, y0→
, z0→
) à la base ( n→
, v→
, z0→
).
- L’angle θ permet de passer de la base ( n→
, v→
, z0→
) à la base ( n→
, w→
, z→
).
- L’angle ϕ permet de passer de la base ( n→
, w→
, z→
) à la base ( x→
, y→
, z→
) attachée au cône C.
2 - Faire des dessins des différentes bases et du cône. Relier α à θ.
3 - Exprimer le vecteur Ω→(C/R0)
4 - Exprimer la condition de roulement sans glissement en un point I, autre que S, de la génératrice de contact.
Exercice n°19 : Système bielle manivelle.
Dans un exercice précédent, on avait déterminé graphiquement la vitesse de
translation du piston en fonction de la vitesse de rotation de la manivelle θ....
z→
pour une
position donnée du mécanisme. On souhaite maintenant déterminer la vitesse de
translation du piston de façon générale, c’est à dire que l’on souhaite trouver une
relation du type v→
(B∈3/0) = x.... x→
= f(θ) x→
.
On note (OA) = R , (AB) = L , OB→
= x x→
, θ = ( x→
, u→
) et α = ( t→
, x→
)
1 - Donner le graphe des liaisons de ce mécanisme.
2 - En écrivant la fermeture de chaîne géométrique, trouver deux relations liant
x, θ et α ( et les paramètres géométriques constants du mécanisme L et R ).
3 - En écrivant la fermeture de chaîne cinématique, trouver deux relations liant
x, θ, α et leurs dérivées par rapport au temps ( et L, R ).
4 - Montrer que les systèmes d’équations trouvés aux questions 2 et 3 sont
équivalents.
5 - Déterminer la loi entrée/sortie : x = f(θ) ( paramétrée par R et L )
Exercice n°20 : Pompe.
Le dessin ci après représente la vue en coupe à l’échelle 1 d’une pompe.
Cette pompe est constituée de différents éléments :
- Un corps 0 auquel on attache un repère de référence R(O, x→
, y→
, z→
). Sur le dessin il est représenté par plusieurs
domaines hachurés (de la même manière) ainsi que par des domaines non hachurés séparant les domaines hachurés et signifiant que le
plan de coupe passe par des parties creuses. Comme partie creuse, on retrouve une conduite d’admission du fluide à pomper CA et une
conduite de refoulement du fluide pompé CR. Solidaire totalement de ce corps, on aperçoit un couvercle 0’ représenté également par
des domaines hachurés (d’un autre type de hachures) et des domaines non hachurés. Ce couvercle 0’ est maintenu sur le corps 0 par
deux écrous 0’’ .
O
x→
B
A
0
0
Bielle 2
Piston 3
Vilebrequin 1
w→
t→
u→
v→
θ
α
y→
- Un ensemble d’éléments oscillants constitué, d’un cylindre 3 d’axe (B, z→
) en liaison pivot de même axe avec le corps 0, et
d’une chemise de piston 3’ ( pièce tubulaire d’axe (B,x2→
) encastrée serrée dans le cylindre 3 ).
- Une manivelle 1 en liaison pivot d’axe (O, z→
) avec le corps 0.
- Un piston 2 pièce
globalement de révolution
d’axe AB en liaison pivot
d’axe (A, z→
) avec la
manivelle 1 et en liaison pivot
glissant d’axe AB avec la
chemise de piston 3’. On
attache à ce piston un repère
R2 (A, x2→
, y2→
, z→
). On notera
que l’angle β = ( x→
, x2→
) est
négatif sur la figure. Bien que
situé dans le plan de coupe,
on ne coupe pas ( donc on ne
hachure pas ) le piston, car
c’est une pièce pleine, donc il
n’y a pas de détails à
l’intérieur qu’une coupe
permettrait de voir.
On remarquera sur le dessin, le petit trou TA dans la pièce 3 et celui dans la pièce 0 permettant la communication entre la
conduite d’admission et la chambre du piston. On remarquera que les trous équivalents TR pratiqués au niveau de la conduite de
refoulement de sont pas en communication.
Le schéma cinématique de cette pompe est
également représenté ci contre. On retrouve sur
cette représentation les mêmes solides numérotés,
les mêmes points caractéristiques ainsi que les
mêmes systèmes d’axes que sur le dessin.
On pose (OA) = R , (AB) = x et (OB) = L
1 - Sachant que la manivelle 1 est entraînée à
1500 tr/mn, calculer le débit moyen Qm de la pompe.
2 - Donner le graphe des liaisons pour ce mécanisme.
3 - En écrivant la fermeture de chaîne géométrique, trouver deux relations liant les paramètres x, α et β.
4 - En écrivant la fermeture de chaîne cinématique, trouver deux relations liant x, α, β et leurs dérivées par rapport au temps.
5 - Montrer que les systèmes d’équations trouvés aux questions 3 et 4 sont équivalents.
6 - Déterminer la loi x.... = f(α,α
....).
7 - En déduire l’expression puis le tracé du débit instantané Qi(α(t)) de la pompe en fonction de α.
O
y→
x→B
A
0
2
x2→
x1→
31
α
β0
y→
x1→
x→
1 2
TR
CR
x2→
0’’
0
3
3’
0’
TA
CA
z→
β
2 R
R
Exercice n°21 : Motorisation d’un axe de robot. (d’après concours Mines - Ponts 1999)
Le schéma ci-contre représente l’axe ρ (rho) complet d’un robot de
tri de déchets déjà étudié partiellement dans le TD1, avec des numérotations
de pièces et des noms de points différents. Au point J se trouve la trompe qui
saisit les objets à trier.
Avec le repérage de la figure ci-contre :
- Dans l’exercice n°3, on a montré que si ω54 = -2 ω43 et si
à un instant, le point I de 5 est sur l’axe (A,x'3→
), alors la trajectoire
de I, point de 5 par rapport à 3 est un segment de l’axe (A,x'3→
).
- Dans l’exercice n°4, on a montré que ADEF étant
un parallélogramme, alors le solide 7 est un mouvement de
translation (circulaire) par rapport à 3.
- Dans l’exercice n°5, on a montré que
FGHI étant un parallélogramme, alors, compte
tenu des résultats précédents, le solide 6 est
en mouvement de translation rectiligne, de
direction x'3→
, par rapport au solide 3.
Remarque : Dans cet exercice, on ne s’intéresse qu’à cet axe ρ , c’est à
dire qu’on considère que les deux autres axes, θ et ϕ, qui
positionnent le point J en coordonnées sphériques ne sont pas
animés. En réalité, conformément à la figure ci-contre, le bâti est le
solide 1, la liaison pivot entre le solide 2 et le solide 1 définit
l’angle θ, et la liaison pivot entre le solide 3 et le solide 2 définit
l’angle ϕ.
A - Création du mouvement de 4 par rapport à 3.
On pose AB = b et AC = c , deux distances constantes et
CB = x , la distance variable, dont la valeur définit la position
angulaire du solide 4 par rapport au solide 3. Cette distance variable x
est réalisée grâce à un vérin électrique, symbolisé par les pièces 10, 11
et 12. Son moteur crée la rotation θmoteur telle que θ....
moteur = ω11/10
On pose γ = (z0→
,z4→
) ( angle négatif sur la figure du haut de page ) et α = (x3→
,x'4→
) ; (x'3→
,x3→
) = - 135° ; (x'4→
,z4→
) = - 45°
1 - Montrer que γ = α - π2
2 - Exprimer la relation de fermeture de chaîne géométrique sur les points ABC, en fonction des paramètres du problème.
3 - En déduire l’expression de x en fonction de b, c et α. En déduire l’expression de x en fonction de b, c et γ.
4 - La liaison entre le solide 12 et le solide 11 est une liaison hélicoïdale de pas p positif. Ecrire la relation de fermeture de
chaîne cinématique dans la chaîne 12, 11, 10, 4 , 3. Par une projection judicieuse de l’une des deux équations vectorielles, donner la
relation liant θ....
moteur à ω12/11 .
5 - La définition de x dans ce problème conduit à x.... =
d CB→
dt R10 . x12
→ . En déduire la relation liant x
.... , p et ω12/11 . En
déduire la relation liant x.... et θ
....moteur .
6 - Supposons qu’à l’instant t = 0 , γ = 0 , θmoteur = 0 et x = x0 . Donner la relation liant à tout instant γ à θmoteur et aux
paramètres du problème.
B - Création du mouvement de 5 par rapport à 4.
Ce mouvement est obtenu grâce à l’ensemble poulie de rayon R5 = R, solidaire du bras 5, poulie de rayon R3 = 2R, solidaire
du solide 3 et courroie 8 reliant ces deux poulies. On suppose que la courroie est inextensible et s’enroule sans glisser.
Supposons le mécanisme à poulies et courroie représenté
ci-contre. La poulie 3 a un rayon R3 et la poulie 5 a un rayon R5 .
La base ( u→
, v→
, w→
) est orthonormée directe.
7 - Exprimer dans la base ( u→
, v→
, w→
) et en fonction
de R3 et ω34 le vecteur vitesse v→
(M∈3/4) .
8 - Exprimer dans la base ( u→
, v→
, w→
) et en fonction
de R5 et ω54 le vecteur vitesse v→
(N∈5/4) .
9 - Exploiter les hypothèses d’inextensibilité de la courroie et d’enroulement de la courroie sur les poulies sans glissement
pour obtenir une relation liant les deux vecteurs vitesse v→
(M∈3/4) et v→
(N∈5/4) .
10 - En déduire une relation liant ω54 , ω34 , R3 et R5 .
11 - Montrer alors que la relation, assurant une trajectoire du point I sur l’axe (A,x'3→
), ω54 = - 2 ω43 est vérifiée si les
rayons R3 et R5 sont tels que R3 = 2 R5 .
Exercice n°22 : Table élévatrice. (d’après concours Mines DACN 2005)
Le schéma ci-contre représente une table élévatrice. C’est un mécanisme plan, toutes les liaisons pivots sont d’axes
perpendiculaires au plan de la figure et passant
respectivement par A, O, C, E, F, B et D. En ces
deux derniers points sont montés des galets
respectivement numérotés 5 et 7 assurant une
liaison ponctuelle respectivement en I avec le
plateau 2 et en J avec le châssis 1 .
Les longueurs OA, OB, OC et OD sont
égales au paramètre a, les longueurs AE et OF au
paramètre b.
L’angle α varie de αmin = 10° à
αmax = 80° lorsque la longueur EF du vérin
passe de λmin à λmax et la hauteur de la table
passe de hmin à hmax ( on pose h = AC = DB )
Le paramètre de base du problème,
fonction duquel on exprimera les résultats est a.
De plus on mesure b ≈ 0,23 a
1 - Déterminer la relation liant l’angle α
à l’élongation λ du vérin.
2 - En déduire la course c du vérin.
3 - Exprimer la hauteur h de la table. Donner hmin et hmax .
4 - La vitesse du vérin est λ.... = λ
....0 = constante. Déterminer la vitesse ascensionnelle h
.... de la table, en fonction de α, λ
....0 , a et b .
5 - Déterminer h....
min , h....
max et h....(α =60°)
6 - Vérifier graphiquement le dernier résultat ci-dessus.
( On utilisera la longueur du vecteur u6→
sur le dessin comme vitesse de départ )
843 5
M
A
N
F
v→
u→
v→
w→
(7)
Exercice n°23 : Joint de Cardan.
Un joint de Cardan, schématisé
ci-contre, permet de transmettre le
mouvement de rotation d’un arbre moteur
lié à 1 vers un arbre récepteur lié à 3.
Un exemple est proposé sur la
photo ci-dessous, dans le cas de la mise en
rotation d’une roue à câble de
téléphérique.
Le mouvement de rotation est
transmis d’un arbre à l’autre par
l’intermédiaire du croisillon 2 lié à 1
par une liaison pivot d’axe (0,z1→
) et lié
à 3 par une liaison pivot d’axe (0,x3→
).
L’arbre d’entrée 1 est en liaison pivot d’axe (O,y0→
) avec le bâti 0.
L’arbre de sortie 3 est en liaison pivot d’axe (O,y0→
’) avec le bâti 0.
L’arbre d’entrée 1 et l’arbre de sortie 3 sont concourants en O et
font un angle de brisure δ entre eux.
Les deux repères R0 (O, x0→
, y0→
, z0→
) et R0’ (O, x0→
’, y0→
’, z0→
) sont
fixes, ils sont liés au bâti, ils sont tournés de l’angle δ autour de z0→
l’un
par rapport à l’autre.
Le repère R1(O, x→
1, y→
0, z→
1) est lié à l’arbre d’entrée 1 et le
repère R3(O, x→
3, y→
0’, z→
3) est lié à l’arbre de sortie 3.
1 - Compte tenu de la forme du croisillon 2, déterminer une
condition liant x3→
et z1→
et l’exploiter pour trouver une relation
entre θ10 , θ30 et δ.
2 - En déduire la relation ω30 = f(θ10, δ).ω10 . On pose Ω→1/0 = ω10 y0→
= θ....
10 y0→
et Ω→3/0 = ω30 y0→
’ = θ....
30 y0→
’.
3 - Ce joint de transmission entre deux arbres est-il homocinétique ?
4 - Comment associer 2 joints de Cardan pour obtenir un ensemble homocinétique ?
Exercice n°24 : Système de commande en translation par liaison hélicoïdale.
Le schéma cinématique d’un tel système est représenté ci-dessous à gauche.
1 - Ecrire la fermeture cinématique de chaîne relative à ce mécanisme.
2 - En déduire la loi entrée sortie V20 fonction de ω10.
3 - Le deuxième schéma proposé, ci-dessous à droite est-il équivalent au premier ? Justifier.
Arbre deSortie 3
Arbred’Entrée 1
Croisillon 2
z0→
= z0→
’
y0→
= y1→
z1→
y0→
’ = y3→
O
x3→x0
→x0→
’
δ
δ
θ30
θ10
Bâti 0
Bâti 0
0 1 y→
x→0
2
0
1
y→
x→0
2
VI - Engrenages
Exercice n°25 : Engrenage.
La schéma cinématique ci contre représente un engrenage constitué de 2 pignons
numérotés 1 et 2. Chaque pignon est en liaison pivot d’axe (O, z→
) pour 1 et (O’, z→
) pour 2
avec un bâti 0 auquel on attache un repère de référence R(O, x→
, y→
, z→
).
Quand l’un des pignons est nettement plus grand
que l’autre, comme dans le cas du dessin ci-contre, on parle
de roue et pignon.
En adoptant des profils de dents qui soient des
développantes de cercles, on fait en sorte que le
comportement cinématique d’un engrenage soit équivalent à
celui de 2 roues lisses cylindriques de rayon R1 = OI et
R2 = O’I roulant sans glisser l’une sur l’autre en I.
Le profil obtenu est représenté sur le dessin ci-contre. La présence des dents a
comme intérêt de permettre de transmettre des forts couples sans glissement, ce que ne
permet une roue lisse de friction.
On appelle cylindre primitif du pignon 1 le cylindre de rayon OI, d’axe (O, z→
).
Le schéma correspondant est proposé en dessous.
1 - Déterminer la relation liant ω10ω20
aux rayons R1 et R2.
Sachant qu’un bon engrènement nécessite des dents de même ‘‘taille’’ sur
chaque pignon, on a donc un nombre de dents Z proportionnel au périmètre de chaque
pignon. Soit 1
π m ce coefficient de proportionnalité. La grandeur m est appelée module de l’engrenage.
2 - Exprimer alors ω10ω20
en fonction de Z1et Z2.
Exercice n°26 : Train épicycloïdal de base (Type I).
Un train épicycloïdal, schématisé ci contre, est un mécanisme à engrenages dont l’un
au moins des pignons ( 2, appelé satellite) est en liaison pivot avec un solide ( 4, appelé porte
satellite) lui même en liaison pivot avec le bâti 0. Ce pignon satellite 2 engrène avec d’autres
pignons 1 et 3 appelés planétaires. Ici 1 et 2 sont des pignons cylindriques à dentures extérieures
et 3 est un pignon à denture intérieure ( appelé couronne intérieure ).
Un tel mécanisme est présenté en photo ci-contre dans
le cas d’un réducteur de nez de perceuse.
1 - Exprimer les deux conditions de roulement sans
glissement ( aux deux points A et B ).
2 - Décomposer chaque équation en utilisant une
relation de Chasles utilisant les mouvements par rapport à 4.
3 - En déduire que ω14ω34
= - R3R1
4 - En déduire la formule dite de Willis :
ω10 - λ ω30 + ( λ - 1 ) ω40 = 0. Donner λ, la raison de base du train épicycloïdal.
3
41
0
x→
y→
2
O
A
O’
B
y→
z→
O’
I
OO
I
O’
0
2
1
Cylindreprimitif
y→
x→
3
12
Exercice n°27 : Différentiel
Le bâti (0) est en fait le châssis de la voiture. (5) est l’arbre de sortie de
la boite de vitesse. (1), et (3) sont les arbres qui transmettent le mouvement aux
roues.
1 - Le véhicule est à l’arrêt et soulevé sur un pont (dans un garage par
exemple). On fait tourner la roue reliée à (1), que se passe-t-il ?
2 - Le véhicule roule en ligne droite, donner la relation entre ω5/0 et ω1/0.
3 - Cas général : Donner la relation entre qui relie ω4/0 , ω3/0 et ω1/0. On
la mettra sous la forme classique d’une relation de Willis. Retrouver les résultats
des question 1 et 2.
4 - Quel est l’intérêt d’un différentiel ?
Exercice n°28 : Transmission d’hélicoptère
La figure schématise la
transmission d’un hélicoptère,
depuis le groupe turbo
propulseur jusqu’aux pales.
1 - Réaliser le schéma
cinématique 2D de la transmission
2 - Calculer le rapport de
réduction de la transmission
3 - Sachant que la vitesse de
rotation du groupe turbo propulseur
est de 3200 tr/min, calculer la vitesse
maximum de croisière de l’hélicoptère
pour qu’en bout de pale on ne dépasse
pas la vitesse du son.
3
4
10
x→
y→
2
5
3
4
Roulements
5
4
Joint detransmission
Différentiel de Porsche Cayenne