td dynamique des fluides correction

UFA 1 TRAVAUX DIRIGES

CORRECTION

/25

DYNAMIQUE DES FLUIDES 1. Quel est le régime d’écoulement de l’eau circulant dans une conduite de 19 mm de

diamètre, sachant que le débit est de 2 m3.h-1 ? CORRECTION : Pour déterminer le régime d’écoulement il est nécessaire de calculer le nombre de

Reynolds : ρ*u*d

Re=µ

. Si nous faisons le point de ce que nous connaissons et ce que

nous ne connaissons pas, on constate qu’il nous manque la vitesse et que le diamètre n’est pas dans l’unité SI. Pour calculer la vitesse (u) il faut connaître la relation qui lie le débit volumique( )VQ

à la section de passage (S).

VV

QQ = u*S u =

S⇒

Constat : le débit est une donnée mais son unité n’est pas l’unité SI et S n’est pas donnée. Ici nous sommes dans le cas d’une section de passage circulaire ainsi nous pouvons calculer S à partir du diamètre.

2 dS=π*R avec R =

2

Calcul de S : ( )-3

2-3 -3 -4 219*10R = = 9.5*10 m donc S=π* 9.5*10 = 2.83*10 m

2

Calcul de u :

-4 3 -1VV

-4-1

-4

Q 2u = avec Q = = 5.55*10 m .s

S 3600

5.55*10donc u = 1.96 m.s

2.83*10=

Calcul de Re : 3

3

ρ*u*d 1000*1.96*19*10Re= 37229

µ 1*10

−

−= =

Conclusion : Nous voyons que Re 37229 10000= > donc le régime est turbulent.


CORRECTION

/25

2. Quel est diamètre interne doit avoir une canalisation, pour que s’écoule un débit massique de 73 600 kg/h d’huile d’olive à 0.25 m.s-1 ?

CORRECTION :

C’est le problème inverse de l’exercice N°1, avec une subtilité à savoir que nous n’avons pas le débit volumique ( )VQ mais le débit massique ( )mQ .

Par contre nous savons que le débit volumique est lié au débit volumique par la masse

volumique : 3 -1 3 3 -1mm V V

Q 73600 80Q = Q * Q 80 m .h 22.2*10 m .h

920 3600ρ

ρ−⇒ = = = = =

Ainsi il est donc facile de déterminer la section de passage par : 3

2VV

Q 22.2*10Q = u*S S = 88.8 m

u 0.25

−

⇒ = =

Il est donc facile de déterminer le diamètre de la section de passage : 2 SS=π*R R=

π⇒

-388.8*10

R= 0.168 m donc d=2*R=0.336 3 m = 3.6 cmπ

=

Conclusion : Le diamètre de la tuyauterie de section circulaire est de 33.6 cm.

3. Dans les conditions de la question N°2 quel est le régime d’écoulement de l’huile d’olive ?

CORRECTION :

Pour déterminer le régime d’écoulement il est nécessaire de calculer le nombre de

Reynolds : ρ*u*d

Re=µ

. Si nous faisons le point de ce que nous connaissons et ce que

nous ne connaissons pas, on constate que dans l’exercice précédent nous avons déterminé le diamètre de la tuyauterie, et donc nous avons tous les éléments pour calculer le nombre de Reynolds.

ρ*u*d 920*0.25*0.336Re= 772.8

µ 0.1= =

Conclusion : Nous voyons que Re 772.8 2100= < donc le régime est laminaire.


CORRECTION

/25

4. Déterminer à partir de quel diamètre interne de conduite un débit de 15 m3.h-1 d’eau aura un régime d’écoulement turbulent. (On considérera que le régime turbulent est atteint pour Re > 10 000).

CORRECTION : Un régime turbulent revient à trouver unRe 10000> . Ce qui revient à montrer que ρ*u*d

>10000µ

.

Ici nous connaissons toutes les données sauf d, et u. Mais la vitesse u est liée au diamètre, ce que nous allons montrer ci-dessous.

2 22 2

V

2V

V 2

dQ = u*S avec S = *R et R= donc R

2 2 4

4*QAinsi Q = u* *

4 *

d d

du

d

π

ππ

= =

⇒ =

En introduisant cette formule de calcul de u dans le nombre de Reynolds nous obtenons :

V2

V V2

4*Qρ* *d

ρ*4*Q *d ρ*4*Qρ*u*d π*dReµ µ π*d *µ π*d*µ

= = = =

V V

V V

ρ*4*Q ρ*4*QRe 10000 10000 d

π*d*µ π*10000*µ

ρ*4*Q ρ*4*Q-d d<

π*10000*µ π*10000*µ

> ⇔ > ⇒ >

> − ⇔

Application numérique :

Il faut mettre en unité SI le débit volumique : 3 -1 3 3 -1V

15Q = 15 m .h 4.17*10 m .s

3600−= =

-3

3

1000*4*4.17*10d < 0.53 m = 53 cm

π*10000*1*10− =

Conclusion : Pour que le régime soit turbulent avec un débit volumique 3 -1

VQ = 15 m .h et

de l’eau le diamètre de la tuyauterie devra être inférieur à 53 cm. DONNEES : Eau : ρ = 1000 kg/m3 µ = 0.001 Pa.s (viscosité)

Huile d’olive : ρ = 920 kg/m3 µ = 0.1 Pa.s (viscosité)


CORRECTION

/25

5. Un débit de 10 m3.h-1 d’eau circule à l’intérieur d’une canalisation circulaire et

horizontale.

a. Déterminer les régimes d’écoulement au point 1 et 2 b. Déterminer la pression statique au point 2 (en Pa et en mCl), sachant que la

pression statique au point 1 est de 3 bars ?

DONNEES : D1 = 56 mm D2 = 38 mm g = 9.81 m.s-2 ρ = 1000 kg.m-3 µ = 0.001 Pa.s CORRECTION : Pour déterminer les régimes d’écoulement au point 1 et 2, se reporter à la méthodologie de l’exercice 1. Toutefois on trouve :

Au point 1 : -3

-11 1 -3

1000*1.36*56*10u =1.36 m.s et Re = =76147

1*10

Conclusion : Re 76147 10000= > donc le régime est turbulent.

Au point 2 : -3

-12 2 -3

1000*2.45*38*10u =2.45 m.s et Re = =93073

1*10

Conclusion : Re 93073 10000= > donc le régime est turbulent. Pour cette question il est très important d’être méthodique et de suivre le plan suivant :

� Choisir entre quel point et quel point nous allons appliquer de théorème de Bernoulli. Les placer sur un schéma.

Ici c’est déjà fait les points sont déjà choisis, ce sera entre le point 1 et 2.

� Ecrire l’équation de Bernoulli entre ces deux points :

1 2T T

Ti Si Di Pi

P P

P P P P

== + +


CORRECTION

/25

2

: Pression totale au point i

: Pression statique au point i

1 : Pression dynamique au point i =

2 : Pression potentielle au point i =

Ti

Si

Di i

Pi i

P

P

P u

P gh

ρ

ρ

Donc : 1 2

1 1 1 2 2 2

2 21 1 1 2 2 2

1 1

2 2

T T

S D P S D P

S S

P P

P P P P P P

P u gh P u ghρ ρ ρ ρ

=+ + = + +

+ + = + +

� Isoler l’élément que l’on recherche, ici 2SP

Donc

( ) ( )

2 22 1 1 1 2 2

2 22 1 1 2 1 2

1 1

2 21

2

S S

S S

P P u gh u gh

P P u u g h h

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ

= + + − −

= + − + −

Faire le bilan de ce que l’on connait et ce que l’on ne connaît pas. On note les données en faisant attention de les mettre dans l’unité du système international.

51

-11

-12

1

2

3 bar = 3*10 Pa

1.36 m.s

2.45 m.s

?

?

SP

u

u

h

h

=

=

===

On note qu’il nous manque ici les deux hauteurs, pour les déterminer il faut se doter d’une référence des hauteurs, ce choix est arbitraire on peut prendre comme référence :


CORRECTION

/25

Mais on pourrait également choisir :

Ce choix n’a pas d’influence sur le résultat final. Restons dans le premier cas montré, et mesurons les hauteurs 1 2 et h h

Que note-t-on ? Que 1 2 = h h , et ceci est totalement logique car on dit dans l’énoncé

que la tuyauterie est horizontale. Ainsi : 1 2- 0h h = , et il est donc possible de déterminer 2SP

{ { { { { ( )2 25

2 22 1 1 2 1 2

1000 9.811.36 2.453*10 0

2

1

2

297923 Pa = 2.98 bar

S S

S

P P u u g h h

P

ρ ρ = + − + −

=

14243

Conclusion : La pression statique au point 2 sera donc de 2.98 bar, cette baisse de pression statique est compensé par une augmentation de la pression dynamique au même point pour afin que les pressions totales aux deux points soient égales.


CORRECTION

/25

6. Nous souhaitons transférer un fluide par surpression d’un réservoir à un autre, on considérera que le niveau dans le récipient R1 est constant. Nous souhaitons transférer 5 m3 du récipient R1 au récipient R2 en 10 minutes. La canalisation permettant ce transfert à un diamètre de 10.3 cm. Nous négligerons les pertes de charge.

a. Déterminer le débit volumique de transfert en m3.h-1. b. Déterminer le régime d’écoulement à la sortie de la tuyauterie. c. Déterminer la pression statique (en Pa et en mCl) nécessaire dans le récipient R1 afin de réaliser ce transfert.

DONNEES : g = 9.81 m.s-2 ρ = 820 kg.m-3 µ = 0.008 Pa.s CORRECTION :

Pour déterminer le débit volumique nous connaissons deux formules possibles :

V

VQ u*S

t= = . Analysons les données, ici nous connaissons le volume à transférer ainsi

que le temps pour effectuer ce transfert, il est donc aisé de connaître le débit volumique moyen :

3V 5 m (unité OK)

t 10 min (unité pas SI à convertir en secondes)

donc t 600 s

==

=

Donc 3 3 -1V

V 5Q 8.33*10 m .s

t 600−= = =

Conclusion : Le débit volumique moyen pour transférer les 10 m3 en 10 minutes est de 8.33 m3.s-1 autrement dit 30 m3.h-1.


CORRECTION

/25

Pour déterminer le régime d’écoulement en sortie de tuyauterie, se reporter à la méthodologie de l’exercice 1. Toutefois on trouve :

-2-1

-3

820*1.00*10.3*10u 1. m.s et Re =10558

8*10= =


Pour cette question il est très important d’être méthodique et de suivre le plan suivant :

� Choisir entre quel point et quel point nous allons appliquer de théorème de Bernoulli. Les placer sur un schéma.

Ici ce n’est pas fait alors plaçons les points 1 et 2.

� Ecrire l’équation de Bernoulli entre ces deux points :

1 2T T

Ti Si Di Pi

P P

P P P P

== + +

2

: Pression totale au point i

: Pression statique au point i

1 : Pression dynamique au point i =

2 : Pression potentielle au point i =

Ti

Si

Di i

Pi i

P

P

P u

P gh

ρ

ρ

Donc : 1 2

1 1 1 2 2 2

2 21 1 1 2 2 2

1 1

2 2

T T

S D P S D P

S S

P P

P P P P P P

P u gh P u ghρ ρ ρ ρ

=+ + = + +

+ + = + +


CORRECTION

/25

� Isoler l’élément que l’on recherche, ici 2SP

Donc

( ) ( )

2 21 2 2 2 1 1

2 21 2 2 1 2 1

1 1

2 21

2

S S

S S

P P u gh u gh

P P u u g h h

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ

= + + − −

= + − + −

Faire le bilan de ce que l’on connait et ce que l’on ne connaît pas. On note les données en faisant attention de les mettre dans l’unité du système international.

2 101325 PaS AtmP P= =

Car on voit sur le schéma une respiration reliée à l’atmosphère.

-12 1.00 m.su =

Vitesse déterminée à la question précédente, pour déterminer le régime d’écoulement, le point 2 correspond bien à la sortie du tube.

-11 ? m.su =

Là nous n’avons aucun élément chiffré pour effectuer le calcul, simplement l’énoncé nous signale que lie niveau du réservoir 1 reste constant, ce qui signifie qu’il n’y a pas de vitesse au point 1 donc -1

1 0 m.su =

1

2

?

?

h

h

==

Comme on l’a vu dans l’exercice précédent, il faut choisir une référence dans le cas présent, le schéma nous propose une référence, et donne les deux hauteurs à partir de cette référence donc :

1

2

1 m

10 1 11 m

h

h

== + =

Donc : { { { { { { {2 2

2 21 2 2 1 2 1

820 9.81 11 1101325 1 0

1

1

2

182177 Pa = 22.65 mCL

S S

S

P P u u g h h

P

ρ ρ = + − + −

=

Conclusion : La pression statique au point 1 pour que le transfert puisse avoir lieu sera donc de 1.82 bars. Cette surpression sert essentiellement à vaincre la différence de hauteur entre les points 1 et 2. Nous verrons un peu plus loin qu’il est également nécessaire de vaincre les pertes de charges !


CORRECTION

/25

7. Nous souhaitons effectuer le transfert d’un fluide, d’une cuve R1 située au sol remplie à une hauteur de 2 mètres, à un réacteur R2 situé 15 mètres plus haut. Le réacteur est inerte. La pression relative régnante à l’intérieur est de 0,1 bar. Nous souhaitons que ce transfert s’effectue à un débit de 20 m3/h. Le diamètre extérieur de la tuyauterie est de 75 mm, son épaisseur de 1 mm. Nous négligerons les pertes de charge.

a. Faire un schéma représentant l’ensemble des éléments b. Déterminer le régime d’écoulement à la sortie de la tuyauterie. c. Déterminer la pression statique (en Pa et en mCl) nécessaire dans le récipient R1 afin de réaliser ce transfert.

DONNEES : g = 9.81 m.s-2 ρ = 1250 kg.m-3 µ = 0.01 Pa.s

CORRECTION :

15 m

2 m


-3-1

-2

1250*1.33*73*10u 1.33 m.s et Re =12444

1*10= =


En appliquant la méthodologie mise en place à l’exercice précédent et en faisant attention aux unités (ici essentiellement à celle de la pression dans le réacteur). La vitesse dans le réservoir est considérée comme négligeable dans la cuve (en 1) en comparaison à a vitesse à la sortie du tube (en 2), pour des raisons de différence de section S2<<<S1, donc u2>>>u1.


CORRECTION

/25

Donc : { { { { { { {2 2

2 21 2 2 1 2 1

1250 9.81 17 2111325 1.33 0

1

1

2

296368 Pa = 24.17 mCL

S S

S

P P u u g h h

P

ρ ρ = + − + −

=

Conclusion : La pression statique au point 1 pour que le transfert puisse avoir lieu sera donc de 2.96 bars. Cette surpression sert essentiellement à vaincre la différence de hauteur entre les points 1 et 2. Nous verrons un peu plus loin qu’il est également nécessaire de vaincre les pertes de charges !

8. Un fluide circule dans une canalisation cylindrique de diamètre 15 cm, avec un débit volumique de 75 m3/h.

a. Déterminer le type d’écoulement ?

b. Déterminer le coefficient de frottement λ ?

DONNEES : ρ = 1000 kg/m3 µ = 0.001 Pa.s (viscosité) Rugosité absolue du tube ε = 0.009 mm

CORRECTION :


-2

-1-3

1000*1.18*15*10u 1.18 m.s et Re =176838

1*10= =


Pour déterminer le coefficient de frottement λ, on se sert du diagramme de Moody. Pour se placer sur le diagramme de Moody il faut connaître deux éléments le Nombre de Reynolds ainsi que la rugosité relative (ces 2 nombres sont SANS DIMENSIONS, autrement dit sans unité !) Le nombre de Reynolds, nous l’avons déterminé à la question précédente, la rugosité

relative elle est : Rugosité relatived

ε= , la rugosité absolue ε, et le diamètre d doivent être

pris avec la même unité pour rendre la rugosité relative adimensionnelle. Ici donc :

( )50.009

Rugosité relative 6*10150 d en mm

−= =


CORRECTION

/25

Méthodologie pour trouver le coefficient de frottement à l’aide du diagramme de Moody.

i. Placer la rugosité relative et repasser en couleur la ligne correspondante :

ii. Placer le nombre de Reynolds en abscisse et tracer la verticale :

iii. à l’intersection entre la verticale par le Reynolds et la ligne de rugosité tracer l’horizontale et lire sur la gauche le coefficient de frottement λ.


CORRECTION

/25

Conclusion : à l’aide du diagramme de Moody nous trouvons que le coefficient de frottement λ= 0.0168.

9. La citerne R1 est sous la pression P1, le réservoir R2 est à la pression atmosphérique.

La capacité de remplissage de R2 est de 12 m3. Sachant que l’on veut le remplir en 16 minutes.

Caractéristique du circuit : Diamètre intérieur de la conduite : 100 mm Rugosité absolue de la conduite : 0.05 mm Longueur droite : 13 m Accidents :

• 2 coudes arrondis à 90 ° petit rayon • 1 coude brusque à 90 ° • 1 clapet anti retour • 1 robinet à papillon vanne (α=40°)


CORRECTION

/25

DETERMINER :

a. les débits volumiques et massiques d’alimentation de R2 en m3/h et kg/h. b. la vitesse du liquide dans la conduite c. le régime d’écoulement. Justifiez votre réponse. d. la longueur équivalente aux accidents dans le circuit e. les pertes de charge totales dans le circuit f. la pression statique dans le réservoir R1 en bar.

DONNEES :

Fluides

� Pression atmosphérique = 101325 Pa � Masse volumique du liquide = 1000 kg/m3 � Viscosité du liquide = 0.001 Pa.s

CORRECTION :

Pour déterminer le débit volumique nous connaissons deux formules possibles :

V

VQ u*S

t= = . Analysons les données, ici nous connaissons le volume à transférer ainsi

que le temps pour effectuer ce transfert, il est donc aisé de connaître le débit volumique moyen :

3V 12 m (unité OK)

t 16 min (unité pas SI à convertir en secondes)

donc t 720 s

==

=

3 3 -1 3 -1V

V 12Q 12.50*10 m .s 45 m .h

t 960−= = = =

-1

m VQ ρ*Q 1000*45 45000 kg.h= = =

Conclusion : Le débit volumique moyen pour transférer les 12 m3 en 16 minutes est de 45 m3.h-1 donc 45 000 kg.h-1. La vitesse se détermine à partir du débit volumique et de la section de

passage :V

V

QQ =u*S u=

S⇒

Le débit volumique a été déterminé à la question précédente, reste à déterminer la section

de passage, ( )

2

2 3 2

0.1S= *R avec 0.05 m

2 2

S= * 0.05 7.85*10 m

dRπ

π −

= = =

=alors

3-1V

3

Q 12.5*10u= 1.59 m.s

S 7.85*10

−

−= =

Conclusion : La vitesse dans la tuyauterie est donc de 1.59 m.s-1.


CORRECTION

/25

Pour déterminer le régime d’écoulement dans la tuyauterie, se reporter à la méthodologie de l’exercice 1. Toutefois on trouve :

-3

-3

1000*1.59*100*10Re =159000

1*10=


Méthodologie pour déterminer les longueurs équivalentes : Faire un tableau qui synthétise les différents accidents :

Longueur équivalente LE (m) Accidents Repère Nombre

Unitaire Totale Coude arrondis à 90 ° petit rayon I 2 Coude brusque à 90 ° G 1 Clapet anti retour E 1 Robinet à papillon vanne (α=40°) A 1 Total

Chercher le repère des différents accidents sur l’abaque, remplir la colonne

repère du tableau.


CORRECTION

/25

Placer le diamètre de la tuyauterie, attention ici le diamètre doit être placé en

cm et les différents repères.

! D en cm

Tracer les droites reliant les repères au diamètre et lire sous la verticale 2 la

longueur équivalente de chaque accident et remplir le tableau ! D en cm

Longueur équivalente LE (m) Accidents Repère Nombre

Unitaire Totale Coude arrondis à 90 ° petit rayon I 2 3.8 7.6 Coude brusque à 90 ° G 1 8 8 Clapet anti retour E 1 13 13 Robinet à papillon vanne (α=40°) A 1 90 90 Total 118.6


CORRECTION

/25

Conclusion : La somme des longueurs équivalentes est donc de 118.6 m, cette longueur représente une longueur droite entrainant une perte de charges équivalente aux accidents du parcours.

Pour déterminer les pertes de charges nous utilisons la méthodologie suivante :

Entre quel endroit et quel endroit je souhaite déterminer les pertes de charges ? On place ces points sur le schéma (en règle générale, ce sera les mêmes points que pour l’utilisation du théorème de Bernoulli)

R1

R2

11 m

1 m

Ecrire la relation empirique de calcul des pertes de charge : 2

EλρU (L+ L )∆P=

2D∑

Faisant le point des éléments que nous connaissons et ceux qu’ils nous restent à déterminer.

-3

-1

E

λ= ? (coefficient de frottement)

ρ = 1000 kg.m

u = 1.59 m.s

L = 13 m (d'après l'énoncé)

L = 118.6 m

d = 0.1 m


CORRECTION

/25

On remarque qu’il nous reste à déterminer le coefficient de frottement ceci se fera de la même manière qu’à l’exercice précédent

40.05

Rugosité relative 5*10100

−= = et Re 212000=

Conclusion : à l’aide du diagramme de Moody nous trouvons que le coefficient de frottement λ= 0.0187.

( )2 2E

1 2

λρU (L+ L ) 0.0192*1000*1.59 * 13 118.6∆P = 31939 Pa

2D 2*0.1→

+= =∑

Conclusion : la perte de charges entre le point 1 et 2 est donc de 31939 Pa. En appliquant la méthodologie mise en place pour la résolution des problèmes de dynamique des fluides à l’aide du théorème de Bernoulli, en incluant cette fois les pertes de charge on a :

2 21 1 1 2 2 2 1 2

1 1

2 2S SP u gh P u gh Pρ ρ ρ ρ →+ + = + + + ∆

La vitesse dans le réservoir est considérée comme négligeable dans la cuve (en 1) en comparaison à a vitesse à la sortie du tube (en 2), pour des raisons de différence de section S2<<<S1, donc u2>>>u1.

Donc : { { { { { { { {2 2

2 21 2 2 1 2 1 1 2

1000 9.81 11 1101325 319391.59 0

1

1

2

232628 Pa = 23.71 mCL

S S

S

P P u u g h h P

P

ρ ρ →

= + − + − + ∆

=


CORRECTION

/25

Conclusion : La pression statique au point 1 pour que le transfert puisse avoir lieu sera donc de 2.33 bars. Cette surpression sert essentiellement à vaincre la différence de hauteur entre les points 1 et 2, ainsi que les pertes de charges entre ces deux points.


CORRECTION

/25

10. Une pompe, d’un débit de 18 m3.h-1 est utilisée en fond de colonne pour soutirer une

partie du résidu, afin qu’il soit stocker. Le mélange distillé est le binaire méthanol eau. La température du résidu en fond de colonne est de 97°C, la pression interne de la colonne est environ la pression atmosphérique, le niveau du fond de colonne est maintenu constant.

Le circuit d’aspiration de la pompe comporte :

Longueur droite d’aspiration : 10 m 1 robinet droit à soupape, ouverture 1 3 coudes arrondis à 90° de petit rayon

Le circuit de refoulement de la pompe comporte :

Longueur droite au refoulement de la pompe : 15 m 3 coudes dont un brusque à 90° et deux coudes arrondis à 90° de petit rayon 1 clapet anti-retour 1 robinet vanne, ouverture ¼


CORRECTION

/25

TRAVAIL A EFFECTUER :

1. déterminer le régime d’écoulement 2. déterminer les longueurs équivalentes dus aux accidents sur les circuits

d’aspiration et de refoulement, faire un tableau qui synthétise l’ensemble des longueurs équivalentes.

3. déterminer la hauteur manométrique totale de la pompe Hmt

DONNEES SUR L’EAU : Densité d : 0.9602

viscosité m = 2.84*10-4 Pa.s Pression atmosphérique : PAtm = 101325 Pa

DONNEES SUR LA TUYAUTERIE :

Diamètre intérieur est de 80 mm, rugosité absolue ε = 0.16 mm

CORRECTION :

Pour déterminer le régime d’écoulement il est nécessaire de calculer le nombre de Reynolds :

ρ*u*dRe=

µ. Si nous faisons le point de ce que nous connaissons et ce que nous ne

connaissons pas, on constate qu’il nous manque la vitesse et que le diamètre n’est pas dans l’unité SI, ainsi que la masse volumique.

Détermination de vitesse :

Pour calculer la vitesse (u) il faut connaître la relation qui lie le débit volumique( )VQ à la

section de passage (S).

VV

QQ = u*S u =

S⇒

Constat : le débit est une donnée mais son unité n’est pas l’unité SI et S n’est pas donnée. Ici nous sommes dans le cas d’une section de passage circulaire ainsi nous pouvons calculer S à partir du diamètre.

2 dS=π*R avec R =

2

Calcul de S : ( )-3

2-3 -3 -3 280*10R = = 40*10 m donc S=π* 40*10 = 5*10 m

2


CORRECTION

/25

Calcul de u :

-3 3 -1VV

-3-1

-3

Q 18u = avec Q = = 5*10 m .s

S 3600

5*10donc u = 1 m.s

5*10=

Détermination de la masse volumique :

Rappel la densité : ( )-3

masse volumique du fluide liquided

masse volumique de l'eau (1000)

Masse volumique du fluide liquide kg.m d(densité)*1000

=

=

Ici donc : ( )-3kg.m 0.9602*1000 960.2ρ = =

Détermination du nombre de Reynolds :

Calcul de Re : 3

4

ρ*u*d 960.2*1*80*10Re= 270478

µ 2.84*10

−

−= =

Conclusion : Nous voyons que Re 270478 10000= > donc le régime est turbulent.

Longueur équivalente LE (m)

Accidents Repère Nombre Unitaire Totale

Robinet droit à soupape, ouverture 1 B 1 30 30 Coude arrondis à 90 ° petit rayon I 3 2.9 8.7 TOTAL ASPIRATION 38.7 Coude brusque à 90 ° G 1 6 6 Coude arrondis à 90 ° petit rayon I 2 2.9 5.8 Clapet anti retour E 1 10 10 Robinet vanne, ouverture ¼ A 1 70 70 TOTAL REFOULEMENT 91.8 TOTAL 130.5


CORRECTION

/25

Pour déterminer la hauteur manométrique de la pompe nous allons utiliser le théorème de Bernoulli en mCl :

1 21 2

2 21 21 2

1 2 1 2

+Hmt

Hmt2 2

T T

S S

P PJ

g g

P Pu uh h J

g g g g

ρ ρ

ρ ρ

→

→

= +

+ + + = + + +

Entre quel endroit et quel endroit appliquer le théorème de Bernoulli ? On place ces points sur le schéma

0

+14.5

-3

z (m)

Pinterne= Patm

1

2


CORRECTION

/25

Isoler dans le théorème de Bernoulli, la hauteur manométrique :

( ) ( ) ( )

2 22 12 1

2 1 2 1

2 22 12 1

2 1 1 2

Hmt2 2

Hmt2

S S

S S

P Pu uh J h

g g g g

u uP Ph h J

g g

ρ ρ

ρ

→

→

= + + + − − −

−−= + + − +

Bilan des éléments connus et inconnus :

( )2

1 S1

-12

101325 (l'énoncé dit que c'est environ la pression atmospérique)

101325 sur le schéma est indiqué que la pression P

1 m.s (caculée précédemment pour la détermintion du régime d'écoule

S

S Atm

P

P P

u

== =

=

1

2

1

1 2

ment)

?

14.5 m

3 m

?

u

h

h

J →

=== −

=

Détermination de u1 : on remarque ici que le point 1 est en surface du fluide dans la colonne, on peut imaginer que le diamètre de la tuyauterie est nettement inférieur à celle de la colonne, donc la vitesse au point 2 est nettement supérieur à celle au point 1.

Conclusion : on négligera la vitesse u2 devant la vitesse u1.

Détermination des pertes de charge :

2E

1 2

λU (L+ L )J =

2gD→∑

Faisant le point des éléments que nous connaissons et ceux qu’ils nous restent à déterminer.

-3

-1

E

λ= ? (coefficient de frottement)

ρ = 960.2 kg.m

u = 1 m.s

L = 10+15=25 m (d'après l'énoncé)

L = 130.5 m

d = 0.08 m

On remarque qu’il nous reste à déterminer le coefficient de frottement ceci se fera de la même manière qu’à l’exercice précédent


CORRECTION

/25

30.16Rugosité relative 2*10

80−= = et Re 270478=

Conclusion : à l’aide du diagramme de Moody nous trouvons que le coefficient de frottement λ= 0.024

( )22E

1 2

0.024*1 * 25 130.5λU (L+L )J = 2.38 mCl

2gD 2*9.81*0.08→

+= =

Conclusion : la perte de charges entre le point 1 et 2 est donc de 2.38mCl. En appliquant la méthodologie mise en place pour la résolution des problèmes de dynamique des fluides à l’aide du théorème de Bernoulli, en incluant cette fois les pertes de charge on a :

{ {

{ {

{ {

{ { {

2 2

2 22 12 1

101325 101325 1 02 1 1 2

14.5 3 2.38960.2 9.81

Hmt* 2

Hmt 19.9 mCl 20 mCl

S Su uP P

h h Jg gρ →

−

−−

= + + − +

= ≈

Conclusion : La hauteur manométrique totale de la pompe sera de 20 mCl pour un débit de 18 m3.h-1.

td dynamique des fluides correction

Documents