td - probabilités

CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

TD 13 ProbabilitsExercice 1: Soit (, T , p) un espace probabilis.1: Montrer que A,B T , (p(A B))2 p(A)p(B).2: Montrer que A,B T ,max(0, p(A) + p(B) 1) p(A B) min(p(A), p(B)).3: Montrer que A1, . . . , An T , p(An An) p(A1)

nk=2

p(Ak).

Exercice 2: Soit (, T , p) un espace probabilis et A,B T .On pose p(A B) = a, p(A B) = b, p(A B) = c et p(A B) = d.Montrer que : p(A B) p(A)p(B) = ad bc et en dduire que |p(A B) p(A)p(B)| 14 .Exercice 3: Ingalit de Bonferroni : Soit (, T , p) un espace probabilis et (An) une suite dvnements de T .Montrer que : n N, p

(nk=0

Ak

)+ n

nk=0

p(Ak).

Exercice 4: Soit (An)nN une suite dvnements dun espace probabilis (, T , p) telle que n N, p(An) = 1.Montrer que p

(nN

An

)= 1.

Exercice 5: Soit un ensemble, T une tribu sur et p : T R+ qui vrifie les proprits suivantes :1. p() = 1.

2. Si A et B sont des vnements incompatibles alors p(A B) = p(A) + p(B).3. Si (An) est une suite dcroissante dvnements telle que

nN

An = alors lim p(An) = 0.

Montrer que p est une probabilit (Indication. si (An) T N deux deux incompatibles, considrer la suite n N, Bn =kn+1

Ak).

Exercice 6: (Lemme de Borel-Cantelli :) Soit (, T , p) un espace probabilis et (An) une famille dvnements de T .

1: Montrer que sip(An) converge alors p

nN

kn

Ak

= 0. Interprter ce rsultat.2: On suppose que

p(An) diverge et (An) est une famille dvnements indpendants.

2 - a: Montrer que n N,m n, pkn

Ak

exp( mk=n

p(Ak)

).

2 - b: En dduire que p

nN

kn

Ak

= 1. Interprter ce rsultat.3: Application : On considre une suite infinie de lancers de pile ou face indpendants et on suppose qu chaque lancer on aune probabilit p ]0, 1[ dobtenir pile. Montrer que pile va apparaitre une infinit de fois dans la suite des lancers.Exercice 7: Soient A,B et C trois vnements dun espace probabilis (, T , p).1: Montrer que si p(A) 6= 0 alors p(A B|A B) p(A B|A).2: Montrer que si p(A)p(B) 6= 0 alors p(A|B) > p(A) p(B|A) > p(B).3: Montrer que si p(B C) 6= 0 alors p(A|B C)p(B|C) = p(A B|C).4: Montrer que si A,B et C sont indpendants et p(A B) 6= 0 alors p(C|A B) = p(C).5: Montrer que A et B sont indpendants si, et seulement si, p(A B)p(A B) = p(A B)p(A B).Exercice 8: Une maladie atteint une personne sur mille. Pour savoir si une personne est infecte on utilise un test qui est positifdans 99 % des cas des personnes infectes et 2% des cas des personne saines.Une personne est examine et le test est positif. Quelle est la probabilit quil soit vraiment maladie ?Exercice 9: Dans une usine dautomobiles, trois chanes A, B et C fournissent respectivement 25%, 35% et 40% de la productionde moteurs. Certains de ces moteurs sont carts comme dfectueux, dans les proportions suivantes : 5% pour la chane A, 4%pour la chane B et 1% pour la chane C. On prend un moteur au hasard.1: Calculer la probabilit que le moteur soit dfectueux.2: Quelle est la probabilit quun moteur sorte de la chane A sachant quil est dfectueux ?3: Calculer la probabilit quun moteur sorte de la chane C sachant quil nest pas dfectueux ?Exercice 10: Soit X une variable alatoire relle sur lespace probabilis (, T , p).Montrer que > 0,A > 0, p(|X| A) .Exercice 11: Soit (Xn) une suite de variables alatoires relles sur lespace probabilis (, T , p).Montrer que les ensembles A = {x R/Xn(x) 0} et B = {x R/(Xn(x)) converge} sont des vnements de T .

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Exercice 12: Soit X une variable alatoire relle sur un espace probabilis (, T , p). On dit que X est symtrique si pour toutintervalle I de R, p(X I) = p(X I).Montrer que X est symtrique si, et seulement si, x R, FX(x) = 1 FX(x).Exercice 13: Soit X une variable alatoire de loi uniforme sur [a, b] avec 0 < a < b. Dterminer la loi de Y = X2.Exercice 14: Soit X une variable alatoire de loi normale E(). Dterminer la loi de Y = X3.Exercice 15: Soit X une variable alatoire qui suit la loi E(1). Dterminer la loi de Y = lnX .Exercice 16: Soit X une variable alatoire qui suit la loi E() avec > 0. Dterminer la loi de Y = X et son esprance.Exercice 17: Loi log-normale : Soit X une variable alatoire de loi normale N (0, 1). Dterminer la loi Y = eX et E(Y ).Exercice 18: Loi de Pareto : Soit X une variable alatoire qui suit la loi E() avec > 0. Dterminer la loi de Y = eX .Exercice 19: Loi de Cauchy : Soit X U(1, 1). Dterminer la loi de Y = tan (pi2X).Exercice 20: Soit a > 0 et X une variable alatoire relle de densit fX(t) = ata+11[1,+[. Dterminer la loi Y = ln(X).Exercice 21: Soit X une variable alatoire qui suit la loi B (2n, 12). Dterminer la loi de Y = |X n|.Exercice 22: Soit X une variable alatoire qui suit la loiN (0, 1). Dterminer la loi de Y = |X| et Z = 12 (X + |X|), Z est-ellede loi continue ?.Exercice 23: Soit X une variable alatoire de densit paire, continue sur R et telle que X2 E() avec > 0. DterminerfX .Exercice 24: Soit (, T , p) un espace probabilis et X une variable alatoire de loi continue sur (, T , p) de fonction derpartition F .Montrer que Y = F (X) est une variable alatoire qui suit la loi uniforme sur [0, 1].Exercice 25: On considre n botes numrotes de 1 n telles que la k-ime bote (k {1, . . . , n}) contient k boules num-rotes de 1 k. On choisit au hasard une bote, puis une boule dans la bote et soit X numro de la bote et Y le numro de laboule.1: Dterminer la loi du couple (X,Y ).2: En dduire les lois de X et Y . Les variables X et Y sont-elles indpendantes ?3: Calculer p(X = Y ).Exercice 26: On considre un bureau de poste o il y a de guichets. Le nombre X de personnes arrives en une heure laposte suit une loi de Poisson P(). Chacune des personnes arrivant la poste choisit, de faon indpendante, le premier guichetavec une probabilit p, ou le deuxime guichet avec une probabilit q = 1 p et soit Y le nombre de personnes ayant choisi lepremier guichet.1: Dterminer la loi du couple (X,Y ).2: En dduire la loi de Y et son esprance. Les variables X et Y sont-elles indpendantes ?Exercice 27: On lance une pice de monnaie jusqu obtenir pour la deuxime fois pile et soit X le nombre de faces obtenues.Si X = n, on place n + 1 boules numrotes de 0 n dans une urne et on tire une boule de cette urne. Soit Y le numro de laboule tire.1: Dterminer la loi et lesprance de X en supposant que la probabilit davoir pile est p ]0, 1[.2: Dterminer la loi et lesprance de Y .3: Dterminer la loi de Z = X Y et montrer que Y et Z sont indpendantes.Exercice 28: Jeu Pile ou face infini : On lance une pice de monnaie une infinit de fois et pour tout n N soit Xn la variablealatoire qui prend la valeur 1 si cest pile, 0 si cest face. On suppose que les Xn sont indpendantes, de loi commune la loi deBernoulli de paramtre p, 0 < p < 1.On note N1 le rang du premier Pile et N2 le rang du second Pile.1: Dterminer la loi de N1.2: Dterminer la loi du couple (S1, S2) avec S1 = N1 et S2 = N2 N1. En dduire la loi de S2.3: Montrer que les variables alatoires S1 et S2 sont indpendantes et de mme loi.4: Dterminer la loi de N2.Exercice 29: Montrer que deux variables alatoires X et Y de Bernoulli sont indpendantes si, et seulement si, p(X = 1, Y =1) = p(X = 1)p(Y = 1).Exercice 30: Montrer quune variable alatoire relle X est indpendante delle mme si, et seulement si, X est constantepresque srement (i.e C R, p(X = C) = 1).Exercice 31: Soit X,Y deux variables alatoires indpendantes de mme loi U(n), a {1, . . . , n} et Z la variable alatoiredfinie par Z =

{X si Y aY si Y > a

.

1: Dterminer la loi de Y et son esprance. Comparer E(X) et E(Z).2: Dterminer la valeur de a qui maximise E(Z).Exercice 32: Loi discrte sans mmoire : Une variable alatoire valeurs dans N est dite de loi sans mmoire si n,m N, p(X > m+ n|x > m) = p(X > n).Montrer que lunique loi discrte sans mmoire est la loi gomtrique.



Exercice 33: Loi continue sans mmoire : Une variable alatoire positive est dite de loi sans mmoire si s, t 0, p(X >s+ t|x > s) = p(X > t).Montrer que lunique loi continue sans mmoire est la loi exponentielle.Exercice 34: Soit X et Y deux variables alatoire de mme loi U([0, 1]). Dterminer la loi de Z = X + Y .Exercice 35: Soit X et Y deux variables alatoire relles continues et indpendantes. Montrer que p(X = Y ) = 0.Exercice 36: Soient > 0, n N et X1, . . . , Xn des variables alatoires indpendantes de mme loi E().Montrer que la variable alatoire S = X1 + +Xn suit la loi Gamma (n, ).Exercice 37: Processus de Poisson : On considre une ampoule quon change par une identique chaque fois quelle tombe enpanne et on considre que la dure de vie de chaque ampoule suit la loi exponentielle E() avec ( > 0).Pour tout n N, Xn dsigne la dure vie de la n-ime ampoule et on suppose que la famille (Xn)n1 est indpendante.1: Soit n N. Interprter la variable alatoire Sn = X1 + +Xn (On pose S0 = 0) et dterminer la densit de Sn.2: Soit t 0. Interprter la variable alatoire Nt = max{n N/Sn t}.3: Soit n N. Calculer p(Nt = n) et en dduire la loi de Nt (Indication : distinguer les cas n = 0 et n 6= 0 et calculerp(Nt n) lorsque n 6= 0).Exercice 38: Soit X,Y deux variables alatoires indpendantes avec X B(p) et Y P().Donner la loi de la variable alatoire Z = (2X 1)Y .Exercice 39: Soient p, q [0, 1] et X,Y deux variables alatoires indpendantes de lois G(p) et G(q).Dterminer la loi de la variable alatoire Z = min(X,Y ).Exercice 40: Un circuit est compos de 3 rsistances, R1 en parllle avec R2 et R3 qui sont en srie. La dure de vie de larsistance Rk, k {1, 2, 3} est une variable alatoire qui suit la loi exponentielle de paramtre > 0 et on suppose que X1,X2 et X3 sont indpendantes.Dterminer la loi de T la dure de vie du circuit ainsi que son esprance.Exercice 41: Somme alatoire de variables alatoires indpendantes : Soit N,X1, X2, une famille de variables alatoiresindpendantes telle que N P() et n N, Xn B(p) avec > 0 et p [0, 1].

Dterminer la loi de S =Nk=1

Xk.

Exercice 42: Soit N,X1, X2, une famille de variables alatoires indpendantes telle que N G(p) avec p [0, 1] etn N, Xn E(1).Dterminer la loi de Y = min(X1, . . . , XN ).Exercice 43: Produit et diffrence de deux variables alatoires indpendantes : Soient X,Y deux variables alatoires indpen-dantes de mme loi uniforme sur [0, 1].1: Dterminer la loi de Y . En dduire la loi de U = X Y .2: Dterminer les lois de lnX , ln(XY ). En dduire la loi de V = XY .Exercice 44: Rapport de deux variables alatoires indpendantes : Soient X,Y deux variables alatoires indpendantes demme loi densit fX(t) = 1t21[1,+[(t).Dterminer les lois de lnX , lnY , lnX lnY . En dduire la loi de Z = XY .Exercice 45: Soient X,Y deux variables alatoires indpendantes de mme loi E(1).Dterminer, pour tout R et t [0, 1] les lois de X , tX + (t 1)Y . En dduire la loi de Z = XX+Y .Exercice 46: Soit X une variable alatoire de densit fX(t) = 12e

|t| et a R. Dterminer a pour que la variable alatoireY = eaX admet une esprance et la calculer.Exercice 47: On a deux boules, une noire et une blanche quon place au hasard dans deux boites A et B et soit X le nombre deboules dans la boite A et Y le nombre de boites vides.Montrer que X et Y ne sont pas indpendantes et pourtant E(XY ) = E(X)E(Y ).Exercice 48: Soit X une variable alatoire qui admet une esprance.

1: Montrer que si X est valeurs dans N alors E(X) =+k=0

p(X > k).

2: Montrer que si X est positive continue alors E(X) = +0

p(X > t)dt.

Exercice 49: Soit X,Y deux variables alatoires indpendantes qui possdent un moment dordre 2. Montrer que V (XY ) =V (X)V (Y ) + V (X)E(Y )2 + V (Y )E(X)2.Exercice 50: Soit X une variable alatoire densit qui possde un moment dordre 2. Montrer que V (|X|) V (X).Exercice 51: Soit X une variable alatoire densit qui possde un moment dordre 2. Montrer que V (X) = inf

tRE((X t)2).

Exercice 52: Soit X une variable alatoire valeurs dans N qui possde un moment dordre 2.

Montrer que E(X2) + E(X) = 2+n=1

np(X n).Exercice 53: Soit k N et X une variable alatoire qui possde un moment dordre k.1: Montrer que si X est valeurs dans N alors lim

n+nkp(X n) = 0.



2: Montrer que si X est positive de loi continue alors limt+ t

kp(X t) = 0 et E(Xk) = k +0

tk1p(X t)dt.Exercice 54: Soit X une variable alatoire relle et a > 0.1: Montrer que pour tout intervalle I de R, Y = 1I(X) est une variable alatoire qui admet une esprance et que E(Y ) =p(X I).2: On suppose que X possde un moment dordre 2. Montrer que a E((aX)1],a](X))

p(X a)2 + a2 avec

= (X).3: En dduire que p(X > a) 22+a2 .Exercice 55: Soit (Xn) et X une suite de variables alatoires valeurs dans N.Montrer que (Xn) converge en loi vers X |t| < 1, limn+GXn(t) = GX(t).Exercice 56: Soit N, (Xn)nN une suite de variables alatoires indpendantes valeurs dans N avec les Xn, n N identique-ment distribus et S = X1 + +XN .Montrer que GS = GN GX1 . En dduire lgalit de Wald : E(S) = E(N)E(N).Exercice 57: Rgle des trois sigma : Soit X une variable alatoire qui possde un moment dordre 2 desprance m et devariance 2. Montrer que p(m 2 < X < m+ 2) 34 et p(m 3 < X < m+ 3) 89 .Exercice 58: Soit X une variable alatoire relle positive qui admet une esprance. Montrer que E(X) = 0 p(X =0) = 1.Exercice 59: Soit (pn) une suite dlments de [0, 1] et (Xn) une suite de variables alatoires telle que n N, Xn B(pn).Montrer que (Xn) converge en probabilit vers 0 si, et seulement si, pn 0.Exercice 60: Montrer que la suite (Xn) de variables alatoires de lois continues dfinies par n N, fXn = n1[0, 1n ] convergeen probabilit.Exercice 61: Soit p [0, 1] et (Xn) une suite de variables alatoires telle que n N, Xn B(n, p). Montrer que Xnn

P p.Exercice 62: Montrer que si une suite de variables alatoires (Xn) converge en probabilit vers les variables alatoires X et Yalors X = Y presque srement (i.e p(X 6= Y ) = 0).Exercice 63: Soit (Xn) une suite de variables alatoires relles admettant un moment dordre 2 et a R.Montrer que si lim

n+E(Xn) = a et limn+ V (Xn) = 0 alors XnP a.

Exercice 64: Une caractrisation de la convergence en probabilit : Soit X et (Xn) une suite de variables alatoires relles.1: Montrer que si a > 0 tel que |Xn X|a admet une esprance et E(|Xn X|a) 0 alors Xn P X .2: Application : On suppose que n 1, p(Xn = n) = p(Xn = n) = 12n2 et p(Xn = 0) = 1 1n2 et soit Yn =1n (X1 + +Xn). Calculer E(Y 2n ) et en dduire que Yn

P 0.Exercice 65: Soit (Xn), (Yn) deux suites de variables alatoires relles qui convergent en probabilit vers X et Y respective-ment. Montrer que Xn + Yn

P X + Y .Exercice 66: Soit (Xn) une suite de variables alatoires relle et a R. Montrer que Xn L a Xn P a.Exercice 67: Montrer que la suite (Xn) de variables alatoires telle que n N, Xn E(n) avec n 0 converge enloi.Exercice 68: Montrer que la suite (Xn) de variables alatoires telle que n N, Xn N

(0, 1n

)converge en loi.

Exercice 69: Montrer que la suite (Xn) de variables alatoires telle que n N, Xn suit la loi uniforme sur {0, 1n , 2n , . . . , 1}convergeen loi vers la loi uniforme sur [0, 1].Exercice 70:1: Soit X une variable alatoire relle qui suit la loi exponentielle de paramtre > 0. Dterminer les lois de Y = [X] etZ = X Y .2: Soit (Xn) une suite de variables alatoires relles telle que n N, Xn E

(1n

). Montrer que (Xn [Xn]) converge en

loi vers une variable alatoire dont on prcisera la loi.Exercice 71: Soit (Xn) une suite de variables alatoires relle indpendantes de mme loi N (0, 1).Montrer que

(1

n

nk=1

eXk

)converge en probabilit.

Exercice 72: Soit (Xn) une suite de variables alatoires relles indpendantes de mme loi N (0, 1).Montrer que

(1n

(X1 + +Xn))

converge en loi.

Exercice 73: Montrer que limn+ e

nnk=0

nk

k!=

1

2et limn+

1

3n

[n3 ]k=0

Ckn2nk =

1

2.

Exercice 74: Soit (Xn) une suite de variables alatoires relles indpendantes de mme loi uniforme sur ]0, 1].Montrer que

(n+ 1

n(lnX1 + + lnXn)

)converge en loi vers une variable alatoire dont on dterminera la loi.


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