T.D. Statique

Exercice n°1 : Barrage.

On considère un barrage “ voûte ” qu’on modélise par une portion de cylindre

d’axe (O, z→

), de rayon R, d’angle 2α. La pression exercée par l’eau sur le barrage est

normale à la surface du barrage et proportionnelle à la profondeur.

1 - Donner la répartition surfacique f→

(M) des efforts de l’eau sur le barrage.

2 - Préciser l’élément de surface de centre M sur lequel s’exerce l’effort f→

(M).

3 - Calculer la résultante et le moment du torseur des efforts de l’eau sur le barrage en O.

4 - Existe-t-il un point du barrage où le moment de ce torseur soit nul ? Si oui,

le déterminer et écrire le torseur des actions de l’eau sur le barrage en ce point.

Exercice n°2 : Champ de pression dans une liaison pivot glissant.

Une liaison pivot est réalisée par l’association d’une

pièce 1 en forme de cylindre de rayon R, se logeant à l’intérieur

d’un trou cylindrique de rayon R et de longueur L d’une

pièce 2. Les dimensions sont : L = 40 mm , R = 10 mm

On note (O, z→

) l’axe commun des cylindres et (O, x→

, y→

) le plan médian de l’association.

Les actions mécaniques F1/2 = R→

1/2 , M→

O,1/2 O génère sur la moitié

inférieure de la surface une pression modélisée par :

fs→

(P) = p0 cos θ er→

(θ) pour θ ∈ [ - π2 ;

π2 ] et z ∈ [ -

L2 ;

L2 ]

1 - Déterminer les éléments de réduction en O du torseur F1/2

2 - Quelle est la norme maximale de la résultante R→

1/2 si la pression maximale admissible p0 est limitée à 10 MPa ?

3 - Si cette pression est légèrement dépassée,

quelle est la zone qui sera détériorée en premier ?

Exercice n°3 : Arbre de renvoi

Les poulies (4) et (5) sont solidaires de l’arbre de

renvoi (1). L’arbre est guidé en rotation par

l’intermédiaire des paliers (2) et (3) équipés de roulements

à billes.

Les actions de tension exercées par la

courroie (6) sur la poulie (5) sont schématisées par les

forces E→

(300 daN), et F→

(100 daN). (On appelle

couramment force E→

exercée au point E, l’action

mécanique dont le torseur a pour résultante E→

et pour

moment 0→

en E) Les actions de tension exercées par la

courroie (7) sur la poulie de variateur (4) sont

schématisées par les forces T→

(600 daN) et S→

(200 daN).

- Déterminer les actions exercées en A et B sur les deux

paliers. (actions mécaniques que devront supporter les

deux roulements)

z→

O 2α

h

dS

Mer→

eθ→

fM→

x→

1

2

y→

x→

z→ y

→

x→ θ er

→

O

P

z→

Exercice n°4 : Réducteur à un train

Le réducteur à arbre creux proposé ci-dessous est composé d’un arbre d’entrée (1) solidaire d’un pignon denté, et d’un arbre

de sortie creux (3) solidaire d’une roue dentée (2). Les guidages en rotation des deux arbres sont réalisés par l’intermédiaire des

roulements à billes (4), (5), (6), et (7).

L’engrenage adopté est à denture droite, l’angle de pression est égal à 14°30’.

L’action de contact entre les deux roues est schématisée par la force F→

, contenue

dans le plan parallèle à (Y→

, Z→

).

On pose α = 14°30’

Le couple d’entrée CE est égal à 20 mdaN.

- Calculer le couple de sortie CR.

Exercice n°5 : Echelle double

Une échelle double est en équilibre sur le sol horizontal.

Le poids P→

des montants (1) et (2) de l’échelle est de 60 N et s’exerce au

milieu du montant (F ou G). L’ensemble supporte une charge F→

de norme 800 N

( poids d’un utilisateur ) appliquée en H. On notera (xG, yG) et (xH, yH) les

coordonnées de G et de H.

En supposant les liaisons parfaites, déterminer toutes les actions mécaniques

exercées sur les différents éléments de l’échelle en fonction de la position de H.

Avant de se lancer dans les calculs, on réfléchira à la démarche choisie : quel

système doit-on isoler en premier ? pour trouver quel résultat ?....On remarquera

aussi que le mécanisme est plan.

C

D

A

B

E

H

F G

h

x→

y→

2

1

P→

P→

F→

3

Exercice n°6 : Camion grue

Un camion grue doit permettre de soulever des charges en toute sécurité. On se propose ici de vérifier cet aspect du cahier des

charges, en considérant d’une part le fait que la charge peut bien être soulevée par les actionneurs du camion grue et d’autre part que le

soulèvement de cette charge n’entraîne pas le basculement de l’engin.

Le camion grue choisi, représenté ci-contre, doit, d’après son cahier des charges,

soulever une charge F = 105 N à une distance L = 8 m de son dernier appui. La masse de

l’engin est m = 25 tonnes.

La modélisation retenue est proposée ci-contre. Il s’agit d’une modélisation plane, du

plan (A, x→

, y→

), où le châssis 1 de l’engin repose sur le sol 0 en deux points E et F distants

de 6 m (contact ponctuel parfait). La flèche 2 est en liaison pivot d’axe ( A, z→

) avec le châssis.

La charge F→

est appliquée en C, l’autre extrémité de la flèche 2.

Le vérin 3 est en liaison pivot d’axe ( D, z→

) avec le châssis 1 et en liaison pivot d’axe

( B, z→

) avec la flèche 2. La distance BD est donc variable, la modification de cette distance entraîne la modification de l’inclinaison θ2

de la flèche et de l’inclinaison θ3 du vérin. Cette inclinaison peut varier de 10 à 80°.

Le vérin, de diamètre utile d = 300 mm , est alimenté en huile à une

pression p = 300 bars. On supposera que g = 10 m/s2

Dans le repère (A, x→

, y→

) les coordonnées en mètres des points sont :

E(-2,-2) ; D(2,0) ; F(4,-2). La flèche est caractérisée par la longueur

AB = 7,5 m et la longueur BC est variable car il s’agit d’une flèche

télescopique.

On considère que A est le centre de gravité de l’engin seul (sans la

charge), quelle que soit l’inclinaison et la longueur de la flèche. Les liaisons

pivots sont considérées parfaites.

1 - Vérifier si une charge F = 106 N peut être soulevée en toute sécurité, si l’inclinaison et la longueur de la flèche sont telles

que FC→

. x→

= L = 8 m. Quelle est la valeur maximale théoriquement possible pour FC→

. x→

?

2 - Avec FC→

. x→

= L = 8 m , le vérin peut il soutenir la charge F = 105 N, s’il est au voisinage de sa position basse ?

3 - A partir de quelle position pourra-t-il la soutenir ? Quelle sera alors la longueur BC nécessaire, de la partie télescopique

de la flèche ? ( On fera une résolution numérique pour cette question 3 )

4 - Flèche déployée totalement, la longueur AC peut atteindre 30 m. Quelle est la plus lourde charge soutenable par le

vérin dans cette configuration ? Peut-elle être soulevée en toute sécurité ?

Exercice n°7 : Etude mécanique d’un drone (d’après Mines-Ponts 2010)

Le drone est composé de :

- un corps 1 cylindrique creux sur lequel sont fixés

- gouvernes 1a, 1b, 1c et 1d à 90° les unes des autres

- une hélice 2 et son axe moteur

L’hélice 2 est en liaison pivot d’axe (O1 ,z1→

) avec le corps 1.

Les gouvernes 1a, 1b, 1c et 1d sont en liaison pivot respectivement d’axe

(O1, y1→

), (O1, -x1→

), (O1, -y1→

), (O1, x1→

) avec le corps 1.

L’ensemble du drone présente une symétrie de ‘révolution’, ce qui se

traduit par un centre de gravité G situé sur (O1, -z1→

).

On pose V1/0 = Ω→(1/0) ; v→

(G∈1/0) G

avec Ω→(1/0) = p x1→

+ q y1→

+ r z1→

et v→

(G∈1/0) = u x0→

+ v y0→

+ w z0→

et V2/1 = ω z1→

; 0→

G

AD

x→

y→

E F

B

C

1

2

0

3

F→

θ2

θ3

L’hélice :

L’hélice 2 est composée de deux pales 2a et 2b. On définit,

pour une section de pale de longueur dλ, située à une distance λ de

l’axe de rotation (G, z→

), deux vecteurs infinitésimaux dP→

air/2a

et dT→

air/2a . Issus de la décomposition de la résultante de l’action de

l’air dR→

air/2a sur la section, ces vecteurs représentent respectivement

la portance et la traînée.

On les modélise par :

dP→

air/2a = - Kz V2 dλ z1

→ avec Kz = 0,024 kg/m2

et dT→

air/2a = - Kx V2 dλ x2

→ avec Kx = 0,006 kg/m2

et O2P→

= λ y2→

V = || v→

(P∈2/air) ||

λ ∈ [ a ; b ] a = 2 cm et b = 12 cm O2G→

= L2 z1→

1 - Calculer la vitesse v→

(P∈2/air) en supposant qu’il n’y a pas

de vent. Donner une expression approchée de V uniquement en fonction

de ω , r et λ , en supposant que la distance L2 est petite devant λ.

2 - En déduire l’expression de la portance P→

air/2a et celle de la

traînée T→

air/2a .

3 - Donner le torseur en O2 des actions

aérodynamiques sur la pale 2a.

4 - En déduire le torseur en O2 des actions

aérodynamiques sur la l’hélice entière 2.

Les gouvernes :

Sur chaque gouverne, le flux d’air généré par l’hélice

exerce une action mécanique modélisée

par un glisseur passant par le centre de

la gouverne et porté par la

perpendiculaire au plan de la gouverne.

L’intensité dépend de la vitesse du flux

d’air et de l’inclinaison δ de la

gouverne.

Pour la gouverne 1a, par

exemple, on a une inclinaison δa et une

force de la forme : R→

air/1a = - K ( r + ω )2 δa x1a→

où K est une constante.

Pour les autres gouvernes, le paramètrage est construit par rotations successives de 90°, comme indiqué ci-dessous.

z1→ x1

→y1→

Gouverne

HéliceO1

z0→

x0→y0

→O0

G

G

Flux d'air

C1a

1a

z1→

x1a→

z1→

y1a→

= y1→

x1a→

δa

R→

air/1a

l

P→

air/1a

T→

air/1a

O1

z1a→

x1a→

z1→

y1a→

= y1→

δa

z1a→

x1→

x1b→

z1→

y1b→

= -x1→

δb

z1b→

y1→

x1c→

z1→

y1c→

= -y1→

δc

z1c→

-x1→

x1d→

z1→

y1d→

= x1→

δd

z1d→

-y1→

dP→

air/2a

P

z1→

x2→

O2

y2→

GdT→

air/2a

λ

2a

Les efforts aérodynamiques montrent qu’une modification du comportement du drone s’obtient en agissant sur la vitesse de

rotation ω de l’hélice par rapport au corps du drone ou sur les angles d’inclinaison δa , δb , δc et δd des gouvernes.

Les schémas, en 6 cas proposés ci-dessous, ne montrent que les pièces sur lesquelles s’exercent des actions aérodynamiques.

Le poids du drone et les composantes des résultantes aérodynamiques sur l’hélice y sont déjà représentés.

5 - Compléter les schémas des cas 1 à 4 en traçant, de manière plausible, aux points C1i (i = a à d), les composantes P→

air/1i

et T→

air/1i des résultantes aérodynamiques R→

air/1i exercées sur les gouvernes ( de façon similaire au tracé des composantes des

résultantes aérodynamiques exercées sur l’hélice )

6 - Pour les cas 1 et 2 où l’inclinaison des 4 gouvernes est la même, notée δ, déterminer les éléments de réduction en O1 du

torseur des actions de l’air sur l’ensemble des gouvernes Fair/1 = R→

(air/1), M→

(O1,air/1) O1

7 - Appliquer le P.F.S. au drone entier pour en déduire 2 équations scalaires.

8 - Conclure si le drone peut être en équilibre dans les cas 1 et 2, c’est à dire s’il peut être en vol stationnaire avec z0→

= z1→

.

Répondre alors par OUI ou NON à l’endroit prévu. Donner les expressions donnant les valeurs δ et ω à adopter.

9 - Pour les cas 3 et 4 où l’inclinaison des gouvernes est alternativement ± δ conclure si le drone peut être en équilibre en

répondant par OUI ou NON à l’endroit prévu.

10 - Pour les cas 5 et 6, donner deux autres combinaisons d’inclinaisons des gouvernes pouvant correspondre à un vol

stationnaire. Dessiner les gouvernes convenablement orientées et comme précédemment les composantes d’action aérodynamiques

11 - Certains drones adoptent une solution à deux hélices contrarotatives. Qu’en pensez vous ?

Exercice n°8 : Pompe à huile manuelle

Le piston (1) est en liaison glissière sans frottement avec la chemise (0), qui

est le bâti de l’appareil. Le levier (2) est en liaison pivot sans frottement avec le bâti

et en liaison ponctuelle avec frottement (coefficient f = 0.1) avec le piston en B.

Le ressort a une raideur k = 2 N/cm, et est comprimé de ∆y = 3 cm en

position « pompe pleine » (position représentée sur la figure). Les pièces (1) et (2)

ont des masses négligeables.

On a OA→

= 60 x→

; OB→

= 10 x→

+ 30 y→

et CA→

= 500 y→

( en mm ). Le

diamètre du piston (1) est 30 mm.

1 - L’utilisateur doit exercer un effort F horizontal valant au moins 50 N

pour éjecter l’huile. Quelle est alors la pression de l’huile ? Quelles sont en O les

actions de la chemise sur le piston ?

2 - Le piston a une course de 3 cm. Quel effort (perpendiculaire à AC) doit

exercer l’utilisateur pour éjecter l’huile de la pompe en fin de course ?

Exercice n°9 : Bulldozer

Un bulldozer comporte un essieu porteur E et un

essieu moteur D entraîné par un pignon moteur. Son centre

de gravité G est situé à égale distance des deux essieux. Ce

bulldozer pousse un tas de terre qui exerce sur sa pelle

l’effort F→

qu’on suppose horizontal et appliqué en H.

On appelle f le coefficient de frottement des roues

sur le sol. On néglige les frottements dans les liaisons pivot

entre les essieux et le châssis du bulldozer.

On admet que l’action du pignon moteur sur

l’essieu D est un effort Fm→

appliqué en C et que le

mouvement très lent du bulldozer permet d’appliquer les

lois de la statique (α = angle de pression).

1 - Calculer les efforts du sol sur les roues en A et B en fonction de F.

2 - Calculer l’effort Fm en fonction de F.

3 - Que peut il se passer lorsque la valeur de F augmente (cas d’un tas de terre trop gros) ?

Exercice n°10 : Véhicule 4x4

le système étudié est un véhicule

4x4, qui permet de rouler sur les routes de

toutes nature. L’objectif est de vérifier le

dimensionnement du frein de parking

lorsque le véhicule est à l’arrêt sur un sol

en pente.

Dans le cadre d’une modélisation

plane, le véhicule est restreint à son

châssis principal 1, une roue avant 2, une

roue arrière 3 de rayons R

H

BA

F→

ED Fm→

αC

y→

x→

y→

x→

A

C

F

B

Clapets2

0

1

O

Les deux roues sont avec le châssis 1, en liaison pivot parfaite d’axe (O2,z0→

) pour l’avant et (O3,z0→

) pour l’arrière. Les masses

sont négligeables pour les roues et M pour le châssis.

On suppose des contacts ponctuels, avec frottement, entre roues et sol 0, respectivement en A pour l’avant et B pour l’arrière.

Les torseurs d’actions mécaniques transmissibles sont alors :

F0/2 = NA y1→

+ TA x1→

, 0→

A et F0/3 = NB y1→

+ TB x1→

, 0→

B

Le véhicule est supposé maintenu à l’équilibre sur une route de pente α par le dispositif de frein à main qui n’agit que sur les

roues arrières. Cette action est modélisée par un couple du châssis sur les roues arrières C1/3→

= Cf z0→

1 - Isoler la roue avant et déterminer TA .

2 - Isoler le véhicule dans son ensemble et déterminer les trois autres composantes d’action du sol, NA , TB et NB en fonction

de la masse du véhicule et de sa géométrie.

3 - Le coefficient de frottement de Coulomb entre les roues et le sol est noté f. Déterminer l’angle limite αg au delà duquel le

véhicule glisse par rapport au sol.

4 - Déterminer l’angle limite αb au delà duquel le véhicule bascule en arrière.

5 - Effectuer les applications numériques avec : a = 1,3 m b = 1 m h = 0,9 m M = 1300 kg f = 0,8 R = 0,7 m

6 - En déduire le couple de freinage maximal Cf du frein à main

7 - Sans changer les valeurs numériques de la question 5, comment faire pour ne pas glisser avec une pente α = 35°. Le

vérifier par le calcul.

8 - Le véhicule s’il n’avait que 2 roues motrices pourrait-il gravir cette pente de 35° ? Le véhicule en 4 roues motrices peut-il

gravir cette pente de 35°, à quelles conditions ?

Exercice n°11 : Barrage poids

On considère un barrage massif posé sur le

sol. L’eau située à gauche du barrage exerce sur le

barrage une pression p→

(M) normale à la surface du

barrage et proportionnelle à l’altitude :

p→

(M) = ρ g ( H - y(M) ) x→

ρ est la masse

volumique de l’eau, g l’accélération de la pesanteur,

et H la hauteur d’eau. H = 5 m ; Y = 6 m

1 - Déterminer le centre de gravité de la

section de barrage dessinée ci-contre. Calculer le

poids d’une unité de longueur de barrage sachant que

sa masse volumique vaut 2,5 kg/dm3.

2 - Calculer la résultante des actions de

l’eau sur le barrage et son point d’application.

3 - Déterminer les actions mécaniques du

sol sur le barrage. Quel doit être le coefficient de

frottement minimum entre le sol et le barrage pour

que le barrage, supposé non accroché par ses

extrémités, ne glisse pas.

4 - Existe-t-il un risque que le barrage bascule ?

O4,5 m

1,5 m

y→

x→

HY

Exercice n°12 : Couple transmissible par un limiteur de couple.

Sur le document ci-contre est représenté

un limiteur de couple. C’est un composant, de

chaîne de transmission de puissance, qui permet

de transmettre un couple limité entre un arbre

moteur qu’on relie au moyeu 1 du limiteur et un

arbre récepteur qu’on relie au moyeu 4 du

limiteur.

La limitation du couple vient du fait que

la transmission de ce couple entre les moyeux 1

et 4 se fait par friction. En effet, la partie

inférieure du moyeu 1 comporte un disque sur

chaque face duquel sont collées des garnitures de

friction 2.

La garniture de la face inférieure du disque de 1 frotte avec la partie supérieure du moyeu 4 et la garniture de la face

supérieure du disque de 1 frotte avec une pièce 5 en liaison glissière de direction z→

avec le moyeu 4.

Un ensemble de plusieurs vis 3, écrous et rondelles 6 permet d’exercer un effort de serrage d’intensité F de 5 + 4

sur 2 + 1, soit : F→

5/2 = - F. z→

et F→

4/2 = F. z→

On suppose que cet effort de serrage est également réparti sur toute la surface des garnitures et génère donc une pression

uniforme p. La surface de friction des garnitures est, pour chaque face, une portion de disque comprise entre un rayon intérieur Ri

et un rayon extérieur Re.

Les quatre vis 3 ont un pas de 1,25 mm. Les écrous associés sont en contact avec l’une des quatre rondelles élastiques

empilées sur chaque vis 3. Chaque rondelle se comporte comme un ressort de raideur k = 5 000 N/mm. Lors du montage, on comprime

ces rondelles en effectuant un tour d’écrou.

Considérons la garniture supérieure 2. Un point P, de

coordonnées polaires (r, θ), de sa surface en contact avec la

pièce 5 exerce un effort infinitésimal dF→

2/5(P) = dN25 z→

+ dT→

25

avec dN25 = p.dS

On suppose que le contact entre les garnitures et les

surfaces de 4 ou de 5 obéit aux lois de Coulomb et on appelle f

le coefficient de frottement .

1 - On pose Ω→1/0 = ωe z→

et Ω→4/0 = ωs z→

en supposant que ωe et ωs sont positifs. Comparer ωe et ωs lors d’un

fonctionnement normal ( 1 moteur et 4 récepteur ). En déduire le signe de ω52 = ω41.

2 - Exprimer la vitesse de glissement du point P appartenant à 5 par rapport à 2, v→

(P∈5/2) , en fonction de r, ω52 .

3 - Montrer par application rigoureuse des lois de Coulomb que : dT→

25 = dT25 eθ→

avec dT25 > 0

4 - Quelle relation a-t-on, à la limite du glissement entre dN25 et dT25 ?

5 - Exprimer le moment en O des actions mécaniques de 2 sur 5, M→

(O,2/5) = ∫∫P∈S

OP→

∧ dF→

2/5(P) en fonction de p, f, Re et Ri.

6 - Exprimer la relation liant p à F, Re et Ri.

7 - En déduire l’expression de M→

(O,2/5) uniquement fonction de f, F, Re et Ri.

8 - Il est clair que M→

(O,2/5) = M→

(O,2/4). Exprimer alors le couple total transmissible par le limiteur de couple.

9 - Déterminer la valeur de l’effort F en fonction de la raideur k des rondelles et du serrage ∆z des vis.

10 - Application numérique avec f = 0,3 et les rayons mesurés sur le dessin qui est à l’échelle 1.

er→

x→

y→

eθ→

z→

P

O

2

ReRi

dS

Exercice n°13 : Etude d’un ensemble poulies-courroie

Un ensemble poulies courroie permet de transmettre la puissance délivrée par un moteur sur une poulie 1 de rayon R1 vers

une poulie 2 de rayon R2 . Ceci est possible si la courroie est suffisamment tendue pour qu’il y ait adhérence de la courroie sur les

poulies. La poulie 1 est en liaison pivot parfaite d’axe (A,z0→

) avec le bâti 0. La poulie 2 est en liaison pivot parfaite d’axe (B,z0→

) avec

le bâti 0. On appelle :

T la tension dans le brin tendu CD de la courroie 3

t la tension dans le brin mou EF de la courroie 3

ωm la vitesse de rotation de la poulie motrice 1

ωr la vitesse de rotation de la poulie réceptrice 2

Cm le couple délivré par le moteur à la poulie motrice 1

Cr le couple résistant appliqué sur la poulie réceptrice 2 par le récepteur

On pourra poser respectivement u→

= CD→

CD et v→

= EF→

EF

les vecteurs unitaires définissant la direction du brin tendu et la direction du brin mou

1 - On suppose que la courroie 3 est inextensible et ne glisse pas sur les poulies 1 et 2. Déterminer la relation liant les vitesses

de rotation ωm et ωr et les rayons R1 et R2 des poulies.

2 - En appliquant le P.F.S. déterminer la relation liant Cm à T et t , et la relation liant Cr à T et t.

3 - En déduire la relation liant les couples Cm et Cr . Retrouver cette relation par une autre méthode.

Les relations obtenues ci-dessus reposent sur l’hypothèse d’enroulement

sans glissement de la courroie sur les poulies.

Pour déterminer la relation permettant de vérifier cette hypothèse, on

envisage le problème dont le schéma est représenté ci-contre et dont la

problématique est :

Avec quel effort tα d faut-il retenir une corde enroulée d’un angle α sur un

cylindre fixe de rayon R, d’axe (O, z→

), pour qu’une masse de poids P, suspendue

par cette corde, soit à la limite de descendre ?

On suppose que le contact entre la corde et le cylindre obéit aux lois du

frottement de Coulomb en chaque point de contact ( coefficient de frottement f ).

Pour déterminer cet effort tα d on envisage un morceau de corde de

longueur infinitésimale R dθ , comme représenté sur la figure ci-contre.

Ce morceau de corde est situé entre l’angle θ et l’angle θ + dθ

Il est en équilibre sous l’action

- d’une tension t(θ) à l’extrémité inférieure

- d’une tension t(θ+dθ) à l’extrémité supérieure

- d’un effort normal infinitésimal dN(θ +dθ2 ) du

cylindre, supposé appliqué en le milieu du morceau

- d’un effort tangentiel infinitésimal dT(θ +dθ2 ) du

cylindre, qui s’oppose au glissement de la corde et

supposé également appliqué en le milieu du morceau.

4 - Ecrire l’équation de résultante du P.F.S. appliqué au morceau de corde - en projection sur er→

(θ +dθ2 )

puis - en projection sur eθ→

(θ +dθ2 ).

5 - Quelle relation lie dT(θ +dθ2 ) et dN(θ +dθ

2 ) à la limite du glissement ?

21

0

x0→

y0→

BA

0

ωm

Cm

ωr

CrT

t

D

C

F

E3

x→

y→

O

α

P

tα d

x→

y→

O

θt(θ)

t(θ +dθ)

eθ→

(θ +dθ2 )

er→

(θ +dθ2 )

dθ

dT(θ +dθ2 )

dN(θ +dθ2 )

6 - En déduire après simplification et élimination des termes négligeables devant d’autres, l’équation différentielle en t(θ)

7 - Résoudre cette équation différentielle. En déduire l’expression de la valeur tα d cherchée en fonction de P , f et α

8 - Quel est l’effort tα m à fournir pour être à la limite de monter la masse de poids P ?

On utilise également un modèle de Coulomb, de coefficient de frottement f, pour l’association poulies courroie.

9 - Déterminer l’expression des angles d’enroulement α1 et α2 de la courroie sur les poulies en fonction des rayons R1 et R2 et

de l’entraxe des poulies noté e ( e = AB ).

10 - Sur quelle poulie se produira en premier le glissement de la courroie, si le couple résistant Cr augmente ?

11 - Déterminer la relation entre la tension T dans le brin tendu de la courroie et la tension t dans le brin mou, lorsque la

courroie est à la limite du glissement.

12 - En déduire le couple maximal CrMax transmissible au récepteur par la poulie 2 en fonction de la tension t dans le brin

mou, le coefficient de frottement f et la géométrie du problème.

Exercice n°14 : Suspension Mac Pherson

La figure ci-dessous représente un modèle cinématique plan (2D) de suspension avant de type Mac Pherson. Elle

est constituée :

- D'un triangle inférieur (2) lié au châssis (1) par deux rotules

en A et B (figures 2 et 3)

- D'une fusée (3) liée au triangle (2) par une rotule de centre C.

L'ensemble (5) roue - moyeu - disque de frein est guidé dans

la fusée par une pivot réalisée au moyen d'un roulement

spécifique à deux rangées de billes à contact oblique

- D'une jambe (4) liée à la fusée par une pivot glissant d'axe

(D, u→

) faisant fonction de vérin et au châssis (1) par une

liaison élastique à comportement de rotule de centre D.

- D'un ressort hélicoïdal associé à un amortisseur hydraulique

qui assurent la fonction de suspension.

- D'une barre anti-dévers qui réalise une liaison élastique entre

les deux demis trains. Son action est purement dynamique et

elle sera ignorée dans l'étude cinématique

1 - Définir la nature du mouvement de la fusée (3) par rapport au

châssis (1) du véhicule lors du débattement de la suspension.

On pourra appuyer le raisonnement sur une étude de cinématique graphique, en recherchant en particulier le CIR du

mouvement (3)/(1) sur la figure ci-dessus.

2 - Préciser la position de l'axe de pivotement de la roue lors du braquage de la direction. Définir sur la figure ci-dessus le

point d'intersection K de cet axe avec le plan du sol. Conclusion ?

3 - Montrer que cette situation du point K correspond à la minimisation des efforts à fournir pour manœuvrer la direction.

On s’appuie pour cela sur la modélisation suivante :

- Le contact roue/sol est supposé être une ligne de largeur du pneu 2L, de milieu H défini sur la figure ci-dessus.

- Le frottement est modélisé par les lois de Coulomb

- On suppose un point de non glissement J situé à une distance µ du point H

On calcule la somme sur toute la ligne de contact roue/sol du moment en J des actions tangentielles. On montre que cette

somme est minimisée avec la valeur µ correspondant à la coïncidence des points J et K.

Arbre de transmission

Châssis (1)

Triangle (2)

Fusée (3)

Jambe (4)Roue (5)

A,B

C

D

H

u→

x0→

y0→

z0→