te-072 processamento digital de sinais i - ufpr 1 mais algumas propriedades: 3.4.9. teorema da...
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1
Mais algumas propriedades:
3.4.9. Teorema da convolução no Domínio Z
1 1
2 2
1 11 2 1 2
[ ] ( )
[ ] ( )
1[ ]. [ ] ( ). ( . ). .
2
Z
Z
Z
c
x n X z
x n X z
x n x n X v X z v v dvj
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3.4.10. Teorema de Parseval
Forma Geral:
* * * 11 2 1 2
1[ ]. [ ] ( ). 1/ . .
2n c
x n x n X v X v v dvj
P/ x1[n]=x2[n] sinal real
2 1 11[ ] ( ). . .
2n c
x n X v X v v dvj
Energia do sinal pode ser calculada tanto nodomínio n quanto no domínio Z
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3.4.11. Teorema do Valor Final
Seja: x[n]=0, n<0 )().1(lim][lim1
zXznxzn
3.4.12. Somatório
[ ] ( )
[ ] ( )1
Z
nZ
k
x n X z
zx k X z
z
3.4.13. Sinais Periódicos
)(~
1)(
].[~][
zXz
zzX
Nmnxnx
N
N
p
p
Ex.: [n]
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5. Análise de Sistemas LTIAtravés da Transformada Z
Seja um sistema discreto LTI:
x[n] y[n]h[n]
X(z) H(z) Y(z)=X(z).H(z)
h[n]: Resposta ao impulso do sistemaH(z): Resposta em frequência do sistema p/ z=ej
Função de Transferência )(
)()(
zX
zYzH
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5.1. Resposta em Frequênciade Sistemas LTI
)().()( zXzHzY
jezp /
)().()( XHY
Transformada de Fourier p/ Sinais Discretos (DTFT) Resposta em Frequência
Função complexa:
)()()(
)(.)()(
XHY
XHY
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5.1.1. Filtros Seletivos Ideais
Passa-Baixas ideal:
c
c
lpH,0
,1)( Vimos que:
n
n
nnh c
lp ,sin
][
Passa-Altas ideal:
)(1)(,1
,0)(
lphp
c
c
hp HHH
n
n
nnnh c
hp ,sin
][][
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Observações:
•Filtros Não-Causais: Logo irrealizáveis computacionalmente
•Fase nula!
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5.1.2. Distorção de Fase e Atraso
Considere o sistema de atraso ideal:
][][ did nnnh
c/ resposta em frequência: dnjid eH )(
,.)(
1)(
did
id
nH
HNotação polar:
Visto que esta distorção linear de fase causa apenas umatraso do sinal, podemos considera-la como ideal, isto é,o sinal não é distorcido, mas sim apenas atrasado.
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Logo podemos considerar o Passa-baixas ideal como:
c
cnj
lp
deH
,0
,)(
.
E sua resposta ao impulso:
nnn
nnnh
d
dclp ,
)(
)(sin][
O mesmo pode ser feito para outros filtros ideais.Note: Por maior que seja nd será sempre um filtro não-causal.
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Medida conveniente da linearidade da fase éo Atraso de Grupo.Definido por:
( ) ( ) arg ( )d
grd H Hd
Isto é: o atraso de grupo pode ser visto como – derivadada fase de uma H(). Fase contínua.
Atraso de grupo ideal: Constante
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Ex.: Dado o Sistema:
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E o sinal de entrada:
0.25 0.5 0.85
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5.2. Função de Transferência para sistemas Caracterizados por EDCC
Dado o sistema LTI caracterizado pela EDCC:
N
k
M
kkk knxbknya
0 0
][.][.
Calculando a Transformada Z de ambos os lados:
M
kk
N
kk knxbZknyaZ
00
][.][.
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M
kk
N
kk knxbZknyaZ
00
][.][.
M
kk
N
kk knxZbknyZa
00
][.][.
M
k
kk
N
k
kk zXzbzYza
00
)(..)(..
M
k
kk
N
k
kk zbzXzazY
00
.).(.).(
N
k
kk
M
k
kk
za
zb
zX
zYzH
0
0
.
.
)(
)()(
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N
k
kk
M
k
kk
za
zb
zX
zYzH
0
0
.
.
)(
)()(
NN
NN
MM
MM
zazazazaa
zbzbzbzbbzH
.......
.......)(
11
22
110
11
22
110
NNNNN
MMMMM
M
N
azazazaza
bzbzbzbzb
z
zzH
.......
.......)(
12
21
10
12
21
10
E a ROC??? Depende da causalidade do sistema
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Ex: 2831
41
21
..1
.21)(
zz
zzzH
)(
)(
..1
.21)(
2831
41
21
zX
zY
zz
zzzH
2831
4121 ..1)(.21)( zzzYzzzX
)(.)(..2)()(..)(..)( 212831
41 zXzzXzzXzYzzYzzY
]2[]1[.2][]2[.]1[][ 83
41 nxnxnxnynyny
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5.2.1. Estabilidade e Causalidade
• Se o sistema é Estável a ROC de H(z) deve contera circunferência unitária, p/ que exista a H() e por conseguinte, h[n] seja absolutamente somável.
• Se o sistema é Causal a ROC deve ser a regiãofora do circulo definido pelo maior pólo.
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z
1-1Re{z}
Im{z} z
1-1Re{z}
Im{z}
Re{z}
z
1-1
Im{z}z
1-1
Im{z}
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5.2.2. Sistema Inverso
Hi(z) é inverso de H(z) se:
1)().()( zHzHzG i
Logo:
)(
1)(
zHzH i
][][*][][ nnhnhng i
h [n] hi[n]x[n]y[n]
x[n]
Pólos de H(z) são zeros de Hi(z)Zeros de H(z) são polos de Hi(z)
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Conclusões:
Um sistema Estável Causal H(z) terá um sistemaInverso Hi(z) Estável e Causal se e somente seos pólos E zeros de H(z) estiverem no interiordo circulo unitário.
Chamados SISTEMAS DE FASE MÍNIMA
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5.2.3. Resposta ao Impulso para Funções de Transferência Racionais
Dado: H(z) racional:)(
)()(
zD
zNzH
Podemos expandi-la em frações parciais em z-1
N
k k
kNM
r
rr zd
AzBzH
11
0 .1.)(
p/ pólos simples e H(z) causal:
N
k
nkk
NM
rr nudArnBnh
10
][..][.][
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Se existir pelo menos um dk com coeficiente Ak não nuloTeremos que h[n] terá duração infinita.Logo o sistema será do tipo IIR (Infinite Impulse Response)
Isto é, se H(z) tiver pelo menos um pólo fora da origem(z=0) o sistema será IIR.
Primeiro caso:
N
k
nkk nudAnh
1
][..][
N
k k
k
zd
AzH
11.1
)(
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Segundo caso:
Se todos os pólos da H(z) estiverem na origem,
M
kk knbnh
0
][.][
h[n] terá duração finita M.
Logo o Sistema será do tipo FIR (Finite Impulse Response)
Saída y[n] pode ser calculada como:
Isto é, h[n] será na forma:
M
k
kk zbzH
0
.)(
M
kk knxbny
0
][.][
Convolução com os coeficientes da H(z)
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5.3. Resposta em Frequência de funções de Transferências Racionais
Se um sistema LTI estável tem uma função H(z) racional,Então sua resposta em frequência pode ser calculada como:
j
N
k
kk
M
k
kk
ezcomza
zbzH
0
0
.
.)(
N
k
kjk
M
k
kjk
ea
ebH
0
0
.
.)(
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Observações:
)(log20)( HHdB
Módulo em dB: Diagrama de Bode
Fase:
Cuidar que geralmente a função arctan(x) retornaApenas o valor principal, isto é, entre [-,], fica parecendo que a fase possui descontinuidades.
22 )}(Im{)}(Re{)( HHH
)(.)()}(Im{.)}(Re{)( HjeHHjHH
Módulo:
)}(Re{
)}(Im{arctan)(
H
HH
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5.3.1. Resposta em Frequência de um Pólo e Zero Simples
Revisão: 21
2
1
..
.
2
1
2
1
2
1 ZZjZj
Zj
eZ
Z
eZ
eZ
Z
Z
Soma de Vetores:
Subtração de Vetores
21 VVR
21 VVR
1V
2V
R
1V
2V
R
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Ex.1:5.0
)(
z
zzH
5.0)(.)cos(
)(.)cos(
5.0)(
sinj
sinj
e
eH
j
j
22 )(5.0)cos(
1)(
sinHAssim:
5.0)cos(
)(arctan)(
5.0)cos(
)(arctan
)cos(
)(arctan)(
sinH
sinsinH
Método Analítico:
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5
1
1.5
2
Normalized Frequency ( rad/sample)
Mag
nitu
de
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-40
-20
0
20
40
Normalized Frequency ( rad/sample)
Pha
se (
degr
ees)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.5
0
0.5
1
Normalized Frequency ( rad/sample)
Gro
up d
elay
(sa
mpl
es)
Matlab: Funções bodez.m e tf.m
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Método Gráfico:
0.5
21
1
5.0)(
VV
V
z
zzH
jez
1-1
Z
1V
R
2V
Neste caso:
5.1
05.0varia
/11
R
RR
pV
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0.5
DenNumH )(
1-1
Z
1V
R
2V
Neste caso:
0
00
VariaDen
/pNum
Fase:
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Ex.2:
z
rzzH
)(
-0.5
1-1
Z
2V
R
1V
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PólosdosDistâncias
ZerosdosDistânciaszH )(
)()()( PólosZeroszH
Generalizando:
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Ex.3:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2
0
2
4
6
Normalized Frequency ( rad/sample)
Gro
up d
elay
(sam
ples)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-40
-20
0
20
Normalized Frequency ( rad/sample)
Mag
nitu
de (d
B)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-100
-50
0
50
100
Normalized Frequency ( rad/sample)
Phas
e (d
egre
es)
64.0.8.0
1)(
2
2
zz
zzH
Zeros: -1 e 1Polos: 0.8/3 60°
1-1
Z
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Ex.5.10: IIR 3ª ordem
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5.5. Sistemas Passa-tudo
az
aza
za
azzH
**
1
*1 /1
.1)(
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5.6. Sistemas de Fase Mínima
5.6.1. Qualquer função H(z) racional pode ser decomposta em:
)().()( min zHzHzH ap
Isto é, uma função fase mínima cascateada comum sistema all-pass para ajuste da fase.
5.6.2. Uso de filtros all-pass em compensação da respostaem frequência de sistemas fase não-mínima (sistemainverso é instável).
Hd(z) Hc(z)
min( ) ( ). ( )d d apH z H z H zmin
1( )
( )cd
H zH z
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5.7. Sistemas com Fase Linear
Considere o sistema atraso ideal com Real, não necessariamente inteiro
,)( jid eH
Logo:
)(
)(
1)(
id
id
id
Hgrd
H
H
A transformada inversa é a resposta ao impulso:
nn
nsinnhid ,][
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Se: =nd inteiro então voltamos a:
nn
nsinnhid ,][
][][ did nnnh
Ex.: Passa-Baixas ideal com fase linear
c
cj
lp
eH
,0
,)(
n
nsinnh c
lp ][
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Se é um inteiro nd , a resposta ao impulso é simétrica em n=nd
][].2[ nhnnh lpdlp
Porém, se 2 for um inteiro teremossimetria em relação à n=
][].2[ nhnh lplp
Caso contrário o filtro terá faseLinear porém h[n] não será simétrica
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5.7.2. Fase Linear Generalizada:
Condição suficiente para que um sistema tenhaFase linear:
][]2[
][]2[
nhnh
nhnh
Onde 2 é um número inteiro.
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5.7.3. Sistemas c/ fase linear causais
Se um sistema é causal: h[n]=0 n<0
Considerando também as condições anteriores p/ fase linear,Temos que h[n]=0 n>M
Logo, o sistema é do tipo FIR com resposta aoImpulso com comprimento M+1 amostras
outros
MnnMhnh
,0
0,][][
E: 2/).()( Mje eAH
Ae() Função real, par e periódica
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outros
MnnMhnh
,0
0,][][
E: )2/2/().()( Mjo eAH
Ao() Função real, impar e periódica
OU:
Lembrando: Estas são condições suficientes p/ ter sistemascom fase linear. Existem sistemas com H(z) não racionalque possuem fase linear e não obedecem a estas condições.
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Ex.5.17: Tipo I
parMnMhnh ][][
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Ex.5.18: Tipo II
ímparMnMhnh ][][
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46
Ex.5.19: Tipo III
parMnMhnh ][][
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Ex.5.20: Tipo IV
ímparMnMhnh ][][
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Localização dos Zeros em sistemas FIR c/ Fase Linear
Zeros: Sobre circulo unitário Fora do circulo unitário aos pares simétricos
Tipo I Tipo II
Tipo III Tipo IV
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Exercícios:
1) Calcule a H(z) do sistema:]1[][]1[][ 3
121 nxnxnyny
2) Desenhe o diagrama de pólos e zeros da H(z) e Classifique os sistemas em FIR ou IIR
outros
Mnanha
n
,0
0,][) ][]1[.][) nxnyanyb