te 091467 teknik numerik sistem linear - share...
TRANSCRIPT
Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Trihastuti Agustinah
TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear
O U T L I N E
2. Teori
3. Contoh
4. Simpulan
5. Latihan
1. Objektif
Mahasiswa mampu:
1. Mentransformasi matriks ke dalam bentuk diagonal
2. Menghitung pangkat matriks menggunakan metode diagonalisasi matriks
Contoh Simpulan Latihan Objektif Teori
Tujuan Pembelajaran
Diagonalisasi matriks merupakan salah satu cara
mengubah bentuk matriks sebarang ke dalam
bentuk matriks diagonal. Salah satu kegunaan
dari diagonalisasi matriks adalah untuk
menghitung pangkat dari suatu matriks
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Pendahuluan
P-1AP
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Diagonalisasi
a11 a12
a21 a22
a13
a23
a31 a32 a33
λ1 0
0 λ2
0
0
0 0 λ3
p11
p21
p31
p12
p22
p32
p13
p23
p33
transformasi similaritas
transformasi D A
P
P-1AP
Langkah 1: Dapatkan n eigenvektor bebas linear dari A, yaitu p1, p2, …, pn
Langkah 2: Bentuk matriks P dari p1, p2, …, pn sebagai vektor kolom dari P
Langkah 3: Dapatkan P-1AP sebagai bentuk diagonal dari matriks A dengan λi merupakan eigenvalue untuk pi yang bersesuaian
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Prosedur Diagonalisasi
D=P-1AP
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Perpangkatan matriks
Ak=PDkP-1
Matriks A (n×n)dan P matriks dapat dibalik:
(P-1AP)2 = P-1APP-1AP = P-1AIAP = P-1A2P
Secara umum, untuk k positif:
(P-1AP)k = P-1AkP = Dk
Dapatkan matriks P yang mendiagonalkan matriks A berikut:
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 1 (1)
−=
301121200
A
Persamaan karakteristik: det(λI-A) = 0
0301
12120
det =
−−−−−λ
λλ
0)2)(1( 2 =−− λλ
Eigenvalue: λ1=1 λ2,3= 2
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 1 (2)
Sistem homogen:
Untuk λ1 = 1
−=
112
1p
λ2,3 = 2
−=
101
2p
=
010
3p
Matriks P yang mendiagonalkan matriks A adalah
−−=
011101012
P
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 1 (3)
Cek
Bila urutan vektor kolom dalam P diubah
−−=
011110021
P
=−
200010002
1APP
=
−−
−
−−=−
200020001
011101012
301121200
111201101
1APP
Dapatkan A5 untuk matriks A berikut:
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 2 (1)
−=
301121200
A
A5 = A•A•A•A•A
diagonalisasi? A5=PD5P-1
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 2 (2)
Dari contoh 1, diperoleh matriks P dan D
−−=
011101012
P
Matriks A5:
−−
−−== −
111201101
200020001
011101012
5
5
5
155 PPDA
=
200020001
D
−−=
6303131323162030
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 3 (1)
Dapatkan matriks P yang mendiagonalkan matriks A berikut:
−=
253021001
A
0)2)(1(253
021001
)det( 2 =−−=−−
−−−
=− λλλ
λλ
λ AI
Persamaan karakteristik: det(λI-A) = 0
Eigenvalue: λ1=1; λ2,3= 2
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 3 (2)
Sistem homogen:
Untuk λ1 = 1
λ2,3 = 2
Karena hanya terdapat dua vektor basis, maka A tidak dapat didiagonalisasi menggunakan prosedur diagonalisasi
−=1
81
81
1p
=
100
2p
Diagonalisasi matriks mentransformasi matriks ke dalam bentuk diagonalnya
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Diagonalisasi Matriks
Letak vektor kolom dalam matriks pendiagonal menentukan letak eigenvalue dalam matriks diagonal
Pangkat matriks dapat dihitung menggunakan matriks diagonal (D) dan matriks pendiagonal (P)
Jawab:
Dapatkan matriks P yang mendiagonalkan matriks A berikut:
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Soal Latihan
−−
−−=
313043241
A
=
300020001
D
=
431331121
P
Jawab:
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan