Technische Universität WienInstitut für Mechanik und Mechatronik, E 325

Abteilung für Regelungstechnik und

Prozessautomatisierung

Wiedner Hauptstr. 81040 Wien

VU 325.006, SS 2009Grundlagen der Regelungstechnik

2. Übungseinheit: Funktionsbeschreibung, Laplace-Transformation

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Überblick

• Organisatorisches

• Zusammenfassung der relevanten Inhalte– Laplace-Transformation– Funktionsbeschreibung

• Rechenaufgaben– A1: Laplace-Transformation – Funktionsbeschreibung– A2: Übertragungsfunktion – Differentialgleichung – A3: Laplace-Transformation – Rücktransformation

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Organisatorisches

• Nächste RU– MI, 22.04.2009– Nächste Woche: Vorlesung!

• 1.Hausübung– Angabe:

• bis spätestens Ende der Woche im TUWEL

– Abgabe: • bis spätestens DI, 21.04.2009 • ausschließlich über TUWEL• korrekt• vollständig (Rechenweg!) • gut lesbar (gute Scans, keine Fotos)

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Aufgabe1: Laplace-Trafo, Funktionsbeschreibung

Geg: Funktionsverlauf u(t)

Aufgaben:

a)Funktionsbeschreibung von u(t) im Zeitbereich

b)Laplace-Transformierte U(s) von u(t)

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Funktionsbeschreibung

• Einheitssprung (t)– Definition:

– Anwendungsbeispiel:

1)(:0

0)(:0

tt

tt

t

u(t)

(t)1

t

u(t)

2

1

)1(2)( ttu

6

Funktionsbeschreibung

• Einheitsrampe (t)– Definition:

– Anwendungsbeispiel:

ttt

tt

)(:0

0)(:0

)(2

1)( ttu

t

u(t) (t)

1 1=k

1

t

u(t)

1 12

7

Funktionsbeschreibung

• Exponentialfunktion

t

u(t)

1

ate

ate

)1( ate

T

)(t)(t

)(t

atetu )(ateatu )(

Tatu

1)0(

T

t

etuT

a

)(1

Aufgabe 1a)

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2

3

• Anwendung in der Regelungstechnik

• Definition L-Transformation:

• Rücktransformation:

Laplace-Transformation

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Aufgabe 1b)

• Korrespondenztabelle der Laplace-Transformation

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Aufgabe 1b)

• Zeitverschiebungssatz der Laplace-Transformation

11

Aufgabe 1b)

• Korrespondenztabelle der Laplace-Transformation

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Zusammenfassung Aufgabe 1

• Funktionsbeschreibung– Zerlegung in einfache Teilsignale– Ablesen der Parameter der Teilsignale

• Sprunghöhen• Rampen- bzw. Tangentensteigungen• Totzeitzeiten

– Sicherstellen, dass Signale vor Einsatzzeitpunkt = 0!• Gegebenenfalls Multiplikation mit Einheitssprung!

• Laplace-Transformation– Transformation der einzelnen Teilsignale– Verwendung der Korrespondenztabelle– Verwendung der Zeitverschiebungssatzes– Direkte Berechnung aus der Definition der L-Trafo

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Aufgabe 2: Übertragungsfunktion – Differentialgl.

Geg: Übertragungsfunktion mit Totzeit

Aufgabe:• Berechnung der Eingangs-/Ausgangs-DGL

Aufgabe 2

• Übertragungsfunktion G(s)– Systemgleichung (DGL)

– Verschwindende Anfangsbedingungen– Definition von G(s)

• Repräsentation des Übertragungssystems:

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U(s) Y(s) G(s)

Bild 4.1

Y(s) G(s)U(s)

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Zusammenfassung Aufgabe 2

• Differentialgleichung aus Übertragungsfunktion– Herstellen des Zusammenhangs zwischen

• Übertragungsfunktion • Ein- & Ausgängen

– Ausmultiplizieren– Rücktransformation der einzelnen Glieder

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Aufgabe 3: Laplace-Trafo - Rücktransformation

Geg: Einmassenschwinger

Aufgaben:a) L-Trafo, X(s) mit f(t) = -e-at

b) x(0+), x(t ∞) mit Endwertsätzenc) x(t) durch Rücktransformation mithilfe von

– Partialbruchzerlegung– Faltungssatz

d) Direkte Lösung des Anfangswertproblems (optional)

Aufgabe 3a) + b)

• Differentiationssatz der Laplace-Transformation

• Grenzwertsätze der Laplace-Transformation

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Aufgabe 3c)

• Korrespondenztabelle der L- Trafo

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Aufgabe 3c)

• Limesmethode zur Partialbruchzerlegung– Einfache reelle Pole:

– 2-fache reelle Pole:

– Konjugiert komplexe Pole:

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))((lim pssXAps

)()(

lim psds

sdXR

ps

))()((lim 2111

pspssXCBspsps

Aufgabe 3c)

• Faltungssatz der Laplace-Transformation

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Zusammenfassung Aufgabe 3

• L-Trafo– Beachtung der Anfangsbedingungen!

• Endwerte– Berechnung möglich ohne Kenntnis der Funktion im

Zeitbereich

• Rücktransformation– Partialbruchzerlegung

• Koeffizientenvergleich• Limesmethode

– Intelligenter Einsatz der Korrespondenztabelle– Faltungssatz

• Direkte Lösung der DGL zum Vergleich

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