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Técnica de estimativa de parâmetros nos domínios da freqüência e do tempo: Aplicação em materiais condutores e não-condutores
Gilmar GuimarãesValério L. Borges
Sandro M. M. Lima e Silva
OBJETIVO
�Estimação simultânea da difusividade térmica e condutividade térmica
MATERIAIS
� CONDUTORES
� NÃO CONDUTORES
UFU
( ) ( )( ) ( ) )(
)(
1
21
2)()(
f
f
ff
fTfTfhf
XY
=+
−==
φφΖ
Não condutor
Lx
(t)
(t)
sample
X
Y
system
φφφφ 1
φφφφ 2
1
2
(t)
(t)
θθθθ
θθθθ
UFU Fundamentos
� Uma minimização de uma função baseada no quadrado da diferença entre o fator de fase experimental
� e numérico � no domínio � da freqüência � para determinar a difusividade térmica
� Outra função objetiva, baseada nos mínimos quadrados do módulo da resposta em freqüência.
UFU
)()(
1)(
21
21
fXfY
AB
fZ =++=
−+
=∆Θ
Φ=�
θθφφ
�∞
=��
���
�
××= −−
1
4)(
222 /)12(
nLt LtneZ απ
λα
���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4
Resposta em freqüência
( ) ( ) ( ) ( )��∞
=
∞
= +×−
+×=
122
122 2
22
)(n nn n
n
fAfB
jfA
ABfZt π
ππ
( )L
BLnAn λααπ 4
/12 222 =−=
���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4
Resposta em freqüência
���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4���
����
�
××=
λα
LB
4
ϕ t t tZ Z=arctan Im( ) / Re( )
( ) ( ) �
��
++−= � �
∞
=
∞
=1 12222 22
12arctan /
n n
n
n jAnA
jAf
πππ
Função exclusiva de αααα
� � � � � �� �� �� � � � �� � � � �
�� ������ �������
�� � ���� ����� ��� !�" �� � �
# ��������� �� ���" ��� $ �%�& � ��
� ���� ' �� �� !�" �� ����� � � � �
SOLUÇÃO
� � ���� � !�" �� � � ����" ����� ��� ������ ��
UFU
� � ���� �� !�" �� � �� ����" ����� ���
� ������ ��UFU
Τ1(t) φ1(t)
Isolated surface
Isolated surface
c b S1
Τ2(t)
y
x z
a
( ) ( )( ) )(
)(
1
21)()(ff
f
fTfTfhf
XY=
−==Ζ
φ
sistema entrada/saída
UFU
( ) ( )( ) )(
)(
1
21)()(ff
f
fTfTfhf
XY=
−==Ζ
φ
X Y
system
entrada fluxo de calor imposto na superficiefrontal
saída diferença de temperatura entre dois pontos da superfície
EQUACAO DA DIFUSAO DE CALOR
UFU
tT
z
T
y
T
x
T∂∂=
∂
∂+∂
∂+∂
∂α1
2
2
2
2
2
2
condição inicial
( ) ( )
( )( )120
11
,,0
0,0
SzxSzxSatyT
zzxxSattyT
y
HHby
∉∈=∂∂−
≤≤≤≤=∂∂−
=
=
λ
φλ
00
=∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂
===== bycyoyaxx zT
xT
yT
xT
xT
( ) 00,,, TzyxT =condições de contorno
Modelo térmico equivalenteUFU
( ) � �= �
�
��
�
−= =
t
Sby dtdStrtGt
0)(),'/,(, 1
'
''
ττφτ
λαθ rr
�∞
+ −=0
1 )()()( τφτθ dttGt
)()()( 1 ffGf φθ +=
UFU Modelo térmico equivalente
)()()( 1 ffGf φθ +=
)()()( 111 ffGf φθ +=
)()()( 122 ffGf φθ +=
Para dois pontos diferentes
Modelo térmico equivalenteUFU
)()()()( 11221 ffGff φθθ +=−
)()()()()()( 121121 ffGffGff φφθθ ++ −=−
[ ] )()()()()( 12121 ffGfGff φθθ ++ −=−
Modelo térmico equivalenteUFU
[ ] '),,,(),,,(
)()(
'' 222111
12
dstzyxGtzyxG
thtG
byS =
+
� −−−
=−=−
ττλα
ττ
Modelo térmico equivalenteUFU
)()()()( 11221 ffGff φθθ +=−
)()(12 ττ −=−+ thtG
Uma vez que os dados experimentais são obtidos discretamente, a transformada de Fourier numérica –FFT é usada.
UFU Função resposta em frequência
),()()(1
)(2)(1 λαφ
θθfunçãofH
f
ff==
−
)()()()( fjefHfHf ϕ−==Ζ
Estimaçao da Difusividade Térmica: Domínio da Frequência
� A idéia básica aqui é a observação que o atraso entre a temperatura experimental e a calculada éuma função exclusiva da difusividade térmica.
� O fator de fase is somente uma função da difusividade térmica
UFU
( )�=
−=Nf
itep iiS
1
2)()( ϕϕ
Funçao objetivo a ser minimizadaUFU
Estimativa da CondutividadeTérmica:
Domínio do tempo� Uma vez que o valor da difusividade térmica é obtido,
uma função objetivo baseada na função erro quadrático de temperatura pode ser usada para estimar a condutividade térmica.
� Portanto, a variável λλλλ será o parâmetro que minimizará a função, Smq baseada na diferença entre as temperaturas experimentais e calculadas.
UFU
Funçao objetivo a ser minimizadaUFU
( ) ( )[ ]� �= =
−=s
j
n
itemq jijiS
1 1
2,, θθ
Problemas adicionais
�Resistência de contato térmica
�Baixos gradientes térmicos
Embora eles não representem dificuldadeem materiais não metálicos,devem ser considerados em materiais condutores
termopar resistência elétrica e transdutor
φφφφ1111((((t))))
ΤΤΤΤ1111((((t))))
ΤΤΤΤ2222((((t))))
ΤΤΤΤ1111((((t))))
ΤΤΤΤ2222((((t)))) φφφφ1111((((t))))
T(x,y,z,t)
y
x z
a) b)
O uso de um modelo 3D-transiente permite otimizar o aparato experimental e escolher as melhores localizações dos sensores de temperatura e fluxo de calor.
Análise do Gradiente de Temperatura
Evolução da TemperaturaUFU
0 100 200 300time [s]
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
tem
pera
ture
[ºC
]
T2
T1
0 200 400 600time [s]
20
23
25
28
30
33
35
38
40
tem
pera
ture
[ºC
]
T1
T2
para amostra de AISI304. a) 1D e b) 3D
a) b)
Diferença de TemperatuaUFU
0 100 200 300time (s)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 200 400 600time [s]
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
∆θ para AISI304: a) 1D b) 3D.
∆θ [0C]∆θ [0C]
H ea t flu x in p u t
Temperatura espacial em amostras condutoras finas
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Incertezas nas
estimações das propriedades
baixos valores nos sinais de temperatura e fluxo de calor
dependência linear nos coeficientes
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
0 10 20 30 40 50 60time (s)
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25se
nsiti
vity
coe
ficie
ntλ
λα
αλα ∂
∂=∂∂= T
TS
TT
S TT ,, ,
temperatura
DOMÍNIO DO TEMPO E DA FREQUÊNCIA
ESTIMAÇÃO EXCLUSIVA PARA CADAPROPRIEDADE
ANALISE DE SENSIBILIDADE
modelos 1D e 3D - fator de fase
0.000 0.003 0.005 0.008 0.010frequency (Hz)
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20se
nsiti
vity
coe
ficie
nt,
3D
1D
αϕ
ϕα
αϕ ∂∂
=,S
Influência da condutividade térmica
no fator de fase
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20frequency (Hz)
-0.010
-0.005
0.000
0.005
0.010
sens
itivi
ty c
oefic
ient
, 1D
3D
,, λ
ϕϕλ
λϕ ∂∂=S
relacionada à AMPLITUDE dos sinais de X e Y.
α
Uma importante característica da técnica é a
baixa sensibilidade de αααα
O valor estimado da difusividade térmica éINSENSÍVEL a erros sistemáticos (calibração dos transdutores de fluxo de calor ou termopares)
UFU Fator de fase sujeito a sinais de
entrada/saída originais e calibrados
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008frequency (Hz)
-1.40
-1.20
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00ph
ase
[rd]
calibrated data
original data
UFU Módulo de Z para sinais originais e
calibrados de entrada/saída
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008frequency (Hz)
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
calibrated data
original data
UFU
139
65
10
Sample
Sample
Sample
Thermocouple mple
53
Insulating material Electrical resistance
Heat flux transducer
10
Sample
dimensions in mm
symmetry line
Insulating material
65
APARATOEXPERIMENTAL
UFU RESULTADOS
Dados estatísticos
Valores estimados
Initial value Initial Sp Final Sp σ (m2/s)
α [m2/s] 1.0 e-06 20 1.16e-03 4.0e-08
λ [W/mK] 10.0 14700 18.3 3.1e-01
Thermal properties This work Ref.[13,14] Error (%)
αααα [m2/s] 3.762 3.82 1.54
λλλλ [W/mK] 14.64 14.90 1.77
UFU
0 50 100 150 200 250 300time [s]
0
2
4
6
8
10
12
tem
pera
ture
[ºC
]
θt1
θt2
θe1
θe2
TemperaturaTeórica e experimental
CONCLUSÕESExcelente concordância entre valores deste método e
resultados da literatura (menores que 2%).
� resíduos situados na faixa da incerteza de
medição de termopares ±±±± 0.3 K.
Método potencial para a estimação de propriedades de materiais em forma complexa como (ferramentas de
corte).