técnicas estadísticas aplicadas a la calidad...
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Téc n i c a s estad í st i c a s
apl i c adas a la ca l idad
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5.1 Introducc ión
La estadística es la ciencia que estudia los fenómenos alea-torios. Proporciona herramientas muy potentes para anali-zar conjuntos de datos y la relación existente entre ellos.Tiene aplicaciones en la mayoría de los campos, no sólo enel plano social y científico sino también en el industrial, y,entre ellos, en el marco de la calidad.
La aplicación más conocida es el análisis de encuestas paraobtener información referente a una población humana, talcomo el porcentaje de personas que usan el tren habitual-mente, la intención de voto en unas elecciones, el númerode espectadores de un programa de televisión, la estaturamedia de los soldados del ejército, el consumo medio deagua por habitante y año, etc.
La obtención de todos estos parámetros no es inmediata,sino que se parte de un conjunto de datos y se procede aoperar matemáticamente con ellos para obtener la infor-mación deseada.
Una rama de la estadística muy usada en las aplicacionesde la calidad es la llamada inferencia estadística. Consis-te en la obtención de conclusiones basadas en datos expe-rimentales.
La importancia de la estadística en el campo de la calidades enorme; en esta Unidad se van a exponer los conceptosbásicos que más se usan. Algunos se han introducido en laUnidad 4 (Técnicas básicas de calidad) al analizar el his-tograma. Ahora se desarrollan más ampliamente.
5. 2 No c iones de poblac ión
y muestra
A . Pobla c ión
Engloba todos los elementos de una determinada clase. Esla recopilación de toda la información posible que caracte-riza a esos elementos. Normalmente no se puede obtenertoda esa información debido a diversos motivos: escasezde tiempo, alto coste o, simplemente, porque la informaciónse consigue mediante algún tipo de ensayo destructivo deforma que, si se prueban todos los individuos, al final sedispondría de una información muy precisa de una pobla-ción inexistente.
Por ejemplo, si en una fábrica de bombillas se dedicasen aprobar todas las bombillas hasta que se fundieran, la pro-ducción neta de la fábrica sería nula.
Debido a estos motivos, lo que se hace habitualmente es to-mar un subconjunto (llamado muestra) de la poblaciónpara, a partir de él, obtener la información. Así, aunquese destruyan los elementos del subconjunto, su informaciónpodrá ser extrapolable a los elementos del resto de la po-blación.
B. Muestra
Muestra es un subconjunto representativo de una población;es la parte que se selecciona para analizar los datos quequeremos controlar.
En estadística, uno de los objetivos es asegurar que cuan-do se toma una muestra de una población cada observa-ción, cada dato, tiene una oportunidad igual a los demásde ser incluido en la muestra. La muestra así obtenida reci-be el nombre de muestra aleatoria.
La función principal de las muestras aleatorias es la de serutilizadas para obtener información sobre la naturaleza dela población de la cual se obtuvo la muestra. A esto se ledenomina inferencia estadística.
Por ejemplo, conocida la media de una muestra se puedeestimar, con un grado de aproximación concreto, la mediade una población.
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En algunos casos se encuentra disponible información sobrela población completa (la muestra coincide con la población).
5.3 Conjuntos de datosPara poder aplicar las técnicas estadísticas es necesario te-ner datos obtenidos de mediciones, ensayos, etcétera.
A . Datos no agrupados
La información que se obtiene al hacer una encuesta, rea-lizar medidas en un laboratorio o una sala de ensayos, overificar un proceso concreto, consiste en una serie de da-tos. Dichos datos pueden ser todos distintos o aparecer re-petidos varias veces, y no suele ser corriente que presentenningún orden aparente.
Al principio, los datos se recogen en tablas; posteriormen-te, es habitual agrupar dichos datos según el procedimien-to que se presenta en el siguiente ejemplo.
Los datos de la estatura de diez personas son:
A continuación estos datos se pueden representar gráfica-mente mediante un histograma. Sobre el eje horizontal gra-duado se colocan los valores y sobre el eje vertical el númerode veces que se repiten (frecuencias) (Fig. 5.1).
B. Datos agrupados
En estadística, una de las primeras labores que se realizaen el tratamiento de datos es la de agruparlos.
Se parte de la información de datos no agrupados y se ex-presa el valor de cada dato y cuántas veces aparece repe-tido (frecuencia) (Tabla 5.2):
Los datos (un total de n) han sido agrupados en k valoresdistintos, cada uno con una frecuencia de aparición f.
La frecuencia de cada dato indica cuántas veces aparece.
Se llama tabla de frecuencias a la representación agrupa-da de los datos. Así, para el ejemplo anterior, obtenemoslos datos de la Tabla 5.3.
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Persona Estatura (metros)
A 1,65
B 1,68
C 1,70
D 1,70
E 1,75
F 1,75
G 1,75
H 1,78
I 1,78
J 1,80
Tabla 5.1
Fig. 5.1. Histograma de los datos de la Tabla 5.1
4
0
3
2
1
1,65 1,68 1,70 1,75 1,78 1,80
Estatura
Núm
ero
de p
erso
nas
Valor Frecuencia (número de veces que aparece)
x1 f1
x2 f2
x3 f3. .. .. .
xk fk
Tabla 5.2
La frecuencia también puede representarse en forma de por-centaje: es la frecuencia relativa. Por ejemplo, el porcenta-je de personas con una altura de 1,75 metros es:
3—————————— = 0,3 ⇒ 30 %1 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1
Así, la Tabla 5.3 se transforma en:
A la representación agrupada de los datos expresados enforma porcentual se le denomina tabla de frecuencias re-lativas.
Esta forma de expresar los datos agrupados es bastante ha-bitual.
Su representación gráfica es la de la Fig. 5.2.
5.4 Agrupac i ón de da to s
por c l a ses
Al hacer el histograma de los datos y sus frecuencias rela-tivas se obtiene la distribución de frecuencia relativa.
De esta distribución, de su forma, se puede obtener infor-mación muy útil de cara a conocer los patrones de un con-junto de datos.
Hay ocasiones en que el número de datos a analizar es muyamplio, de tal manera que se agrupan en pequeños sub-conjuntos denominados clases. Cada clase engloba datoscomprendidos dentro de un intervalo definido por dos va-lores.
Por ejemplo, al hacer análisis estadísticos de grupos de ciu-dadanos por edades se suelen agrupar de 5 en 5 años ode 10 en 10 años, como se ve en la Tabla 5.5 de la pági-na siguiente.
La primera clase engloba a todos los ciudadanos que tie-nen de 0 a 10 años de edad, la segunda a todos los quetienen de 11 a 20 años, y así sucesivamente.
Cada columna del histograma correspondería a una clasey el número total de clases es lo suficientemente reducidocomo para poder trabajar con él.
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Estatura Frecuencia(metros) (número de personas)
1,65 1
1,68 1
1,70 2
1,75 3
1,78 2
1,80 1
Tabla 5.3
Estatura (metros) Porcentaje (%)
1,65 10
1,68 10
1,70 20
1,75 30
1,78 20
1,80 10
Tabla 5.4
Fig. 5.2. Histograma de los datos de la Tabla 5.4
40
0
30
20
10
1,65 1,68 1,70 1,75 1,78 1,80
Estatura
Porc
enta
je
5.5 Va lores c aracte r í s t i cos
de un conjunto de datos
En estadística, la obtención del conjunto de datos suele serel proceso más complejo y laborioso, pero esta informa-ción, que ha sido difícil de conseguir, no sirve de nada sino se analiza convenientemente.
De este análisis se obtendrán conclusiones que ayudaránen la toma de decisiones tendentes a modificar un proce-so industrial, mejorar la calidad de un producto, mejorarla calidad de un proceso, firmar acuerdos de suministroentre empresas, reorientar la estrategia comercial de unacompañía, variar los proyectos de inversión de una em-presa, etc.
El primer proceso de análisis consiste en obtener las medi-das de tendencia central y de dispersión.
A . Medidas de tendenc ia centra l
Las medidas de tendencia central sirven para dar una ideaorientativa sobre los valores de los datos contenidos en unconjunto. Las principales son: media, mediana y moda.
Media o esperanza
Se llama media de una muestra al valor medio de los da-tos obtenidos. Representa el valor que tendría cada dato sitodos fuesen iguales.
Cuando los datos no están agrupados su valor es:
n
� xii = 1 x1 + x2 + x3 +...+ xnx̄ = ——— = —————————
n n
donde:
xi: valor de cada uno de los datos.
n: número total de datos.
Si los datos están agrupados, su valor es:
k k
� fi · xi � fi · xii = 1 i = 1x̄ = ———— = ————
n k
� fii = 1
donde:
xi: valor de cada uno de los datos.
fi: frecuencia de cada uno de los valores.
n: número total de datos.
La media se indica colocando una barra sobre la letra querepresenta los datos.
En el ejemplo anterior la media de estaturas será:
1,65 · 1 + 1,68 · 1 + 1,70 · 2 + 1,75 · 3 +estatura = ———————————————————
1 + 1 + 2 +
+ 1,78 · 2 + 1,80 · 1—————————— = 1,734 m
+ 3 + 2 + 1
Mediana
Es el valor del dato central. Para datos no agrupados y or-denados de menor a mayor se calcula de la siguiente ma-nera:
• Si el número de datos es impar, la mediana es el datocentral.
• Si el número de datos es par, la mediana es el promedioaritmético de los dos datos centrales.
En el ejemplo del Apartado 5.3 A, como se trata de un nú-mero par de datos, la mediana de estaturas es:
1,75 + 1,75—————— = 1,75 m
2
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Clases Frecuencias relativas
0-10 fr1
11-20 fr2
21-30 fr3
31-40 fr4
41-50 fr5
51-60 fr6
61-70 fr7
71-80 fr8
81-90 fr9
91-100 o más fr10
Tabla 5.5
Moda
Es el valor de la muestra que aparece con más frecuencia,o dicho de otra forma, es el valor del dato que más vecesse repite.
En el ejemplo de estaturas la moda es 1,75 m, porque estedato se repite más veces (tres).
B. Medidas de di spers ió n
De todas las medidas de tendencia central, la media es lamás utilizada pero, sin embargo, no da información sobrecómo están agrupados los datos, ni tampoco el resto de me-didas de tendencia central. Las medidas de dispersión sí nosvan a dar información sobre cómo están agrupados.
Comparando estos dos conjuntos de datos:
1 - 2 - 3 - 4 - 5
2,8 - 2,9 - 3 - 3,1 - 3,2
vemos que en ambos casos la media es tres, pero en el pri-mer conjunto los datos están mucho más dispersos que enel segundo. Hay muchos casos en los que, a pesar de quela media de dos conjuntos de datos coincide, los conjuntostienen una distribución muy diferente.
Por ejemplo, supongamos que a un conjunto de tres perso-nas que trabajan en una empresa les suben el sueldo demanera que la subida media por persona es de 30 € almes. A priori debiera parecer que todos estuvieran conten-tos, pero si dicha subida ha sido de 1 € para dos personasy 88 € para una de ellas, sólo esta última se sentirá real-mente satisfecha. Otro caso muy distinto sería el de quea cada una de las tres personas les subieran el sueldo en30 € al mes. Sin embargo, en ambos casos la subida me-dia habría sido de 30 €.
La situación del ejemplo se da en muchos otros casos y, so-bre todo, en los procesos industriales. Por eso es necesariodisponer de información que nos oriente sobre cómo estándistribuidos los datos. La valoración de la dispersión delos datos nos dará una idea sobre la calidad del productoo del proceso.
Las principales medidas de dispersión son: desviación típi-ca, varianza y recorrido.
Desviación típica
También se denomina desviación estándar. Se representapor S o σ.
Para datos no agrupados su valor es:
n
� (xi – x̄ )2
i = 1σ = —————n – 1
Nota: Ésta es la fórmula de la desviación típica para unamuestra; cuando se trata de obtener la desviación típicade una población, se pone n en el denominador en lugar den – 1. Como en materia de calidad se suele trabajar conmuestras y no con poblaciones, en esta unidad se ha elegi-do la fórmula con n – 1 en el denominador.
Para datos agrupados, la fórmula aproximada es:
k k k
� fi(xi – x̄ )2 n� fixi2 – �� fixi�
2
i = 1 i = 1 i = 1σ = —————— o σ = —————————n – 1 (n – 1) · n
En el ejemplo que hemos visto de las estaturas, el valor dela desviación típica es:
1 · 7,056 · 10–3 + 1 · 2,916 · 10–3 + 2 · 1,156 · 10–3 +σ = ———————————————————————
9
+ 3 · 0,256 · 10–3 + 2 · 2,116 · 10–3 + 1 · 4,356 · 10–3
——————————————————————— =
= 4,90 · 10–2 m
Varianza
La varianza es el cuadrado de la desviación típica. Se sim-boliza como σ2 o S2.
Para el ejemplo que estamos viendo:
σ2 = 2,40 · 10–3 m2
Recorrido
El recorrido (R) de un conjunto de datos es la diferencia en-tre el dato mayor y el dato menor.
En el ejemplo inicial de la estatura:
R = 1,80 – 1,65 = 0,15 m
5.6 Di st ribuc ión de pr o babil idad
En la industria, al fabricar un componente o una máquina,la calidad final que se obtiene depende de muchos pará-metros: desgaste de las herramientas con que se fabrica,
85
�
� �
�
pericia de los operarios, estado o calidad de las mate-rias primas, temperatura y grado de humedad del entornode trabajo, etc. Algunos de estos parámetros se conocen deforma exacta, mientras que otros se sabe que siguen unacierta tendencia o comportamiento genérico (aunque no seconozca su valor particular exacto). La estadística nos pro-porciona una herramienta muy potente para poder traba-jar con estos casos en los que se conoce sólo el comporta-miento pero no el valor preciso: se trata de las variablesaleatorias.
Variable aleatoria es la función que asigna una probabili-dad de ocurrencia a unos sucesos. Cada variable aleatoriaresponde a un tipo de distribución de probabilidad.
Para conjuntos de valores que pueden ser enumerados unoa uno (aunque sean infinitos) las variables aleatorias se de-nominan discretas, y para el resto (valores que varían deforma continua) se llaman continuas.
En calidad, la que más se usa es la variable aleatoria con-tinua.
A . Variable a leator ia cont inua
En ocasiones, el tipo de dato a estudiar puede variar de for-ma continua, como, por ejemplo, sucede con la longitud, lasuperficie, el volumen, el tiempo, la masa, etc. En estos ca-sos, como opción más adecuada frente al histograma debarras, tenemos la representación por medio de una funcióndel tipo y = f (x) (Fig. 5.3).
La superficie contenida entre f (x) y el segmento de eje ho-rizontal acotado por dos puntos representa la probabilidadde ocurrencia de un suceso (a mayor superficie, mayor pro-babilidad, y viceversa). A efectos de cálculo se supone que
la probabilidad asociada a un punto concreto es 0, pues lasuperficie asociada a un punto de la gráfica es 0.
A f (x) se le denomina función de densidad de probabi-lidad.
El área total bajo la función f (x) es, por tanto, equivalenteal 100 % de la probabilidad.
En la Fig. 5.3 se observa que la probabilidad que tiene xde estar contenida en el segmento (a, b) es el área ence-rrada bajo la curva entre los puntos a y b. Corresponde ala zona rayada.
Se puede hacer un símil entre la densidad de una masa yla densidad de probabilidad:
• Si la función de densidad representa la distribución dela densidad de una pieza metálica a lo largo del eje x,la masa de esa pieza entre a y b será el área rayada.
• Si la función de densidad representa la distribución dela probabilidad de un suceso a lo largo del eje x, la pro-babilidad de ese suceso entre a y b será el área rayada.
La probabilidad del intervalo a < x < b es el área acotadapor la función de densidad, el eje horizontal y las rectasx = a y x = b, como se ve en la Fig. 5.4.
Para evitar la realización de complejas operaciones mate-máticas que conduzcan a la obtención de la superficie bus-cada se utiliza la llamada función de densidad acumuladaF(x), cuya expresión es:
F (x) = P(X � x)
En el caso de la Fig. 5.4, para el valor de la superficie ra-yada será:
P(a � X � b) = F (b) – F (a)
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Fig. 5.3. Función de densidad de probabilidad
a b x
f(x)
Fig. 5.4. Probabilidad asociada al intervalo (a, b)
a b x
f(x)
La función de distribución continua más utilizada en cali-dad es la llamada función normal.
La distribución normal
Es la más importante y la de mayor uso de entre todas lasdistribuciones continuas. También es la más utilizada en ca-lidad.
La experiencia demuestra que las distribuciones de la ma-yoría de muestras tomadas en el campo de la industria seaproximan a la distribución normal si el tamaño de la mues-tra es grande.
La curva es simétrica, con forma de campana, y se extien-de sin límite desde menos infinito a más infinito en el eje x.También se conoce como campana de Gauss.
La distribución normal se ajusta muy bien a las distribucio-nes de gran cantidad de variables físicas, tales como: con-centración de sustancias en la sangre, vida media de algu-nos equipos electrónicos, dimensiones de componentesmanufacturados, valores de resistencias, condensadores,etcétera.
Su función de densidad de probabilidad es la siguiente:
f (x) = · e
para:
–∞ < x < ∞
–∞ < µ < ∞
0 < σ
Los parámetros que definen la distribución normal son µ yσ; conociendo su valor queda totalmente definida la formade la curva. Además coinciden, respectivamente, con la me-dia y la desviación típica de la propia normal. La funciónnormal se suele indicar así: N(µ, σ), es decir, Normal demedia mu y desviación típica sigma.
El valor de µ indica la posición del eje de la campana(Fig. 5.5).
El valor de σ indica la abertura de la campana en torno aleje de simetría.
Si σ es pequeño, la campana estará agrupada en torno asu eje de simetría.
Si σ es grande, la campana será más abierta, estará me-nos agrupada en torno a su eje de simetría.
Como σ es la desviación típica, cuanto mayor sea su valormás dispersa será la distribución.
En la Fig. 5.6 se ven dos normales de igual σ y distinta µ.
En la Fig. 5.7 se ven tres normales, todas ellas de igual µ ydistinta σ.
La Fig. 5.8 corresponde a la curva normal N(30, 10).
1 x – µ�– — �———�2�2 σ1
———��2πσ
87
Fig. 5.5. Función normal
x
y
µ
Fig. 5.6. Normales de igual σ y distinta µ
µ2µ1
Fig. 5.7. Normales de distinta σ e igual µ
µ
La Fig. 5.9 corresponde a la curva normal N(0, 1).
La función de distribución acumulativa de la normal es:
F(x) = · e dt
para:
–∞ < x < ∞
–∞ < µ < ∞
0 < σ
Se utiliza para hallar las áreas comprendidas bajo la nor-mal correspondientes a una zona del eje x.
La distribución normal está tabulada para µ = 0 y σ = 1, esdecir, para la normal N(0, 1) ésta es la llamada normal es-tándar. La utilización de los datos tabulados evita la reali-zación de complejas operaciones matemáticas enfocadas ahallar valores de la función de distribución acumulativa deotras normales.
Por ejemplo, el área comprendida entre (–σ, σ) correspondea (–1, 1) para N(0, 1), dado que σ = 1: F (1) – F (–1) = 0,8413
– 0,1587 = 0,6826 (véase Anexo I de las tablas de la normal)que expresado en porcentaje es 68,26 % (Fig. 5.10).
El área comprendida entre (–2σ, 2σ) corresponde a (–2, 2)para N(0, 1): F (2) – F (–2) = 0,9772 – 0,0228 = 0,9544(véase Anexo I de las tablas de la normal) que en porcen-taje es 95,44 % (Fig. 5.11).
El área comprendida entre (–3σ, 3σ) corresponde a (–3, 3)para N(0, 1): F (3) – F (–3) = 0,9987 – 0,0013 = 0,9974(véase Anexo I de las tablas de la normal) que en porcen-taje es 99,74 % (Fig. 5.12).
1 t – µ�– — �———�2�2 σ�x
–∞
1———��2πσ
88
Fig. 5.8. N (30, 10)
300 10 20 40 50 x
y
Fig. 5.9. N (0, 1)
0–3 –2 –1 1 2 x
y
3
Fig. 5.10
X
Área correspondiente a(–σ, σ) = 68,26 %
–4σ –3σ –2σ –σ σ 2σ 3σ 4σ
Fig. 5.11
Área correspondiente a(–2σ, 2σ) = 95,44 %
–4σ –3σ –2σ –σ σ 2σ 3σ 4σX
Fig. 5.12
Área correspondiente a(–3σ, 3σ) = 99,74 %
–4σ –3σ –2σ –σ σ 2σ 3σ 4σX
El área comprendida entre (–4σ, 4σ) corresponde a (–4, 4)para N(0, 1): F (4) – F (– 4) = 0,9999 que en porcentaje es99,99 % (Fig. 5.13).
Normalmente se considera que la zona (–4σ, 4σ) cubre el100 % de la probabilidad asociada a esta distribución.
Método para calcular probabilidades dedistribuciones normales distintas a la N(0, 1)
La normal N(0, 1) (llamada normal estándar) está tabula-da, como ya se ha indicado, y en la tabla del Anexo I sepuede identificar la probabilidad acumulada correspon-diente a cada punto. Pero no existen tablas para otras nor-males, ya que, al tener la misma forma, se puede aprove-char la tabla de valores de la normal estándar para obtenerlos de las otras.
Si se tiene una curva normal con µ ≠ 0 y/o σ ≠ 1, como sue-le ser habitual, se puede realizar el siguiente cambio:
x – µP(X � x) = P �Z � ———�σ
a – µ b – µP(a � x � b) = P �——— � z � ———�σ σ
es decir, la probabilidad de que x esté entre a y b es iguala la probabilidad de que z esté entre
a – µ b – µ——— y ———
σ σ
con Z = N(0, 1)
X = N(µ, σ) ≠ N(0, 1) para cualquier {µ, σ}.
Por ejemplo, sea la curva normal N(100, 10); se desea ha-llar la probabilidad de que x tome un valor entre 90 y 110.
1. Se transforma el primer punto:
90 – 100z = ————— = –1
10
2. Se transforma el segundo punto:
110 – 100z = ————— = 1
10
3. Se busca en la tabla de la normal la probabilidad aso-ciada a (–1, 1), que es
F (1) – F (–1) = 0,8413 – 0,1587 = 0,6826
y en porcentaje: 68,26 %.
5. 7 Es t i mac ión
Una de las principales aplicaciones de la estadística es lade identificar, con una aproximación tan buena como se de-see, parámetros de una población, principalmente su me-dia y su desviación típica.
La única forma de conocer exactamente un parámetro deuna población sería muestrear todos sus individuos, peroesto normalmente no se puede hacer. Lo que sí es posiblees tomar una muestra aleatoria de esa población con obje-to de, una vez tratados los datos de la muestra, poder esti-mar el parámetro que se buscaba de la población. Esta es-timación de un parámetro a partir de la muestra recibe elnombre de estimador. La estadística nos permite afirmarque en un intervalo en torno a ese estimador se hallará elvalor real del parámetro de la población con una probabi-lidad determinada; a esa probabilidad se le da el nombrede nivel de confianza.
Al intervalo en donde se espera se encuentre el parámetrode la población se le denomina intervalo de confianza.
Por ejemplo, la fábrica de componentes eléctricos El Chis-pazo S. A. ha comprado una máquina para hacer fusibles.El departamento técnico desea conocer el valor medio de laintensidad capaz de destruir el fusible para toda la pobla-ción de fusibles.
Si para conocer este dato deciden ensayar todos los fusiblesque produce la máquina, la producción neta será 0, ya queel ensayo es de tipo destructivo.
Deciden, por tanto, tomar una muestra de 100 unidades yensayarla; la media muestral (media de la muestra) x̄ es 9,5
89
Fig. 5.13
Área correspondiente a(–4σ, 4σ) = 99,99 %
–4σ –3σ –2σ –σ σ 2σ 3σ 4σX
amperios. Realmente ésta no es la media de la población,sino de la muestra, pero ¿pueden afirmar que la media dela población está entre 8,5 A y 10,5 A con un nivel de con-fianza del 95 %? Para ello hay que utilizar los métodos deestimación por intervalos de confianza.
A . E st imac i ón por interva los de conf ian z a
La notación que se emplea es la siguiente:
θ: parámetro a estimar.
α: riesgo de error (fijado de antemano).
1– α: nivel de confianza.
(h1, h2): intervalo de confianza.
El problema planteado consiste en hallar los valores (h1, h2)que hacen que la probabilidad de que θ se encuentre entreellos sea 1– α, es decir:
P(h1 < θ < h2) = 1 – α
El intervalo depende del tipo de parámetro a estimar, de ladistribución de la población y de los datos que de ella se co-nocen.
A continuación se da el método de un caso muy habitualdonde se trata de hallar el intervalo de confianza de lamedia de la población cuando se trata de una distribuciónnormal de desviación típica conocida. En otros casos se de-berán usar otras fórmulas más complejas, aunque el pro-cedimiento a seguir es similar. Dichas fórmulas no se han re-cogido en este libro.
Intervalos de confianza para la mediapoblacional µ cuando se muestreauna distribución normal con desviación típicaσ conocida
Objetivo: hay que hallar un intervalo I = (h1, h2) donde seencuentre la media de la población y no se asuma un ries-go mayor que α (o lo que es lo mismo, con un nivel de con-fianza de 1– α).
El proceso que se sigue es:
1. Se toma una muestra de tamaño n.
2. Se halla la media x̄ de esa muestra.
α3. Se determina 1 – —.2
4. Se determina el valor de λ que hace
αF (λ) = P(Z � λ) = 1 – —
2
con la N(0, 1).
En la tabla de la función acumulada de la normal (Ane-xo I) se busca en la zona de probabilidades el valor
α1 – —
2
y se determina a qué valor de z corresponde.
5. Obtenido λ, el intervalo es:
σ σI = �x̄ – λ —; x̄ + λ —���n ��n
y se puede afirmar:
µ ∈ I con un nivel de confianza 1 – α.
Los valores del intervalo dependen del tamaño de la mues-tra, de manera que a mayor cantidad de elementos en lamuestra (n) menor será el intervalo para un nivel de con-fianza dado.
Para valores de intervalo fijos, aumentando n aumenta el ni-vel de confianza.
90
Una empresa fabrica un tipo de componente eléctrico cuyaduración tiene una distribución normal con desviación tí-pica σ = 200. Se toma una muestra de 36 componentes,se ensayan y dan una vida media de 7 000 horas.
Halla el intervalo de confianza al 99 % de la media deduración de todos los componentes fabricados.
Solución:
σ = 200
n = 36
x̄ = 7 000
1– α = 0,99
α = 0,01
α/2 = 0,005
1 – α/2 = 0,995
C a s o pr á c t i c o 1
5.8 Plane s de muestreo
Todas las empresas reciben algún tipo de suministro de susproveedores. Es importante que estos suministros tengan uncierto nivel de calidad, y ese nivel debe estar asegurado dealguna manera.
Las tendencias actuales de calidad van encaminadas a loque se denomina calidad concertada, donde el proveedoracuerda con el comprador un sistema de suministro de pro-ductos que cumple ciertos requisitos de calidad (concerta-dos en un contrato) y que son verificados por el proveedor.De esta forma, cuando los suministros llegan al comprador,éste no realiza ningún tipo de inspección de entrada.
Sin embargo, todavía es habitual encontrar casos donde elcomprador tiene un «filtro» de entrada de materias primasdonde controla su calidad. En otros casos, el «filtro» se co-loca internamente dentro del proceso de producción, a la sa-lida de algún proceso crítico.
Habitualmente, los suministros se realizan por lotes de pro-ductos. Para aceptar un lote de suministros un compradortiene tres opciones:
a) Inspección total, es decir, la inspección de todos los pro-ductos del lote recibido.
b) Muestreo, si sólo se inspeccionan partes de los pro-ductos del lote tomando una muestra.
c) No se inspecciona ningún producto del lote.
La opción a) suele ser muy cara, y si el método de inspec-ción es destructivo, supondría la pérdida de todo el lote.
La opción c) sólo es recomendable en un sistema de calidadconcertada.
En general, la opción b) es la más extendida. Se trata de ins-peccionar una parte del lote (muestra), y en función de lacalidad de ésta, aceptar o rechazar todo el lote completo.
La Tabla 5.6 muestra para qué casos es más apropiada latoma de datos por muestreo o inspección total.
Estos métodos para controlar la calidad de lotes de pro-ductos están basados en análisis estadísticos. El consumi-dor desea asegurarse de que el producto que adquiere tie-ne un cierto nivel de calidad.
Si en la muestra se mide una variable física continua, se tra-ta de una inspección por variables.
Si lo que se hace es contabilizar una serie de defectos, ha-blamos de una inspección por atributos.
El proceso estadístico de muestreo de lotes ha sido amplia-mente estudiado y analizado. Su método y conclusiones sehan recogido en varias normas realizadas aplicando la es-tadística. Su utilización radica en la aceptación o rechazode lotes de productos de los cuales se extrae una muestra.
En general, se establece un cierto nivel de calidad que debesatisfacer el lote. En función del número de unidades de-fectuosas halladas en las muestras se puede estimar el nivel
91
Hay que encontrar el valor que hace que la función dedistribución acumulada de la normal valga 0,995; esdecir, F (λ) = 0,995.
Buscando en la tabla se ve que esto se cumple paraλ = 2,57.
Por tanto, el intervalo de confianza al 99 % será:
σ σI = �x̄ – λ ——; x̄ + λ ——�n n
200 200I = �7 000 – 2,57 ——; 7 000 + 2,57 ——�36 36
I = (6 914,34 ; 7 085,66)
Hay un 99 % de posibilidades de que la media de lapoblación pertenezca a ese intervalo.
C a s o pr á c t i c o 1 ( c o n t i nu a c i ó n )
TOMA DE DATOS
Muestreo Inspección total
Inspección de una muestraque pertenece a unapoblación.
Para lotes de gran tamañoresulta más económico y másrápido que la inspeccióntotal.
Imprescindible en casos deensayos destructivos.
Tabla 5.6
Examen de todos losindividuos de la población.
Para lotes muy pequeños opara lotes donde no sontolerables los defectos.
de calidad que tiene el lote y determinar si debe ser acep-tado o rechazado.
Hay que tener en cuenta que, como no se inspeccionan to-das las unidades del lote, existe el riesgo de aceptar un loteno apto o rechazar un lote apto. Así, aparecen los concep-tos de riesgo del comprador y riesgo del vendedor.
Riesgo del comprador es la probabilidad que hay de acep-tar un lote de calidad inferior a la estipulada.
Riesgo del vendedor es la probabilidad que hay de recha-zar un lote que cumpla la calidad estipulada.
Al comprador le interesa minimizar no sólo su riesgo, sinotambién el del vendedor, ya que rechazar un lote de cali-dad aceptable supone unos costes extras para el vendedorque a la larga repercutirán en el comprador. Los planes demuestreo tienden a minimizar ambos riesgos.
La norma UNE 66 020 recoge la información relativa a larealización de muestreos de lotes.
Sus equivalentes son:
• ISO/DIS 2 859.
• NM-1-125 MA (1ª R) 2ª A.
La UNE 66-020 recoge con todo detalle el proceso aseguir.
A . Princ ipa les concep to s de un proces o de mu estreo
A continuación se detallan los conceptos más importantesy el proceso a seguir en un sistema de inspección por atri-butos.
En la inspección por atributos cada unidad se clasifica comodefectuosa o no defectuosa, o bien se contabiliza el núme-ro de defectos que la unidad presenta.
La inspección por atributos se puede aplicar a:
• Productos terminados.
• Componentes y materias primas.
• Operaciones.
• Materiales en curso de fabricación.
• Productos almacenados.
• Operaciones de mantenimiento.
Las definiciones de los principales conceptos de un procesode muestreo son:
Lote
Es un conjunto de unidades de producto del que se extraeuna muestra para realizar una inspección.
Tamaño del lote (N)
Número de unidades de producto de que consta el lote.
Muestra
Conjunto de una o varias unidades de producto extraída alazar de un lote.
Nivel de calidad aceptable (NCA)
Es el porcentaje máximo de unidades defectuosas que sedesea tengan los lotes que son admitidos en el proceso demuestreo. Por ejemplo, si un comprador quiere que de cada1 000 unidades haya como máximo 4 defectuosas, el NCAes 4/1 000; expresado en porcentaje es 0,4 %.
Muestreo
Acción que consiste en sacar una muestra de un lote.
Niveles de inspección
Determinan la relación que guardan el tamaño del lote y eltamaño de la muestra.
Existen siete niveles de inspección: cuatro para usos espe-ciales, que son S-1, S-2, S-3, S-4, y tres para usos genera-les, que son nivel I, nivel II y nivel III.
En el nivel I la relación entre el tamaño de la muestra y eltamaño del lote es menor que en el nivel II, y éste a su vezofrece una relación menor que la del nivel III.
Para los niveles de uso general, a mayor nivel de inspecciónmás grande es la muestra en relación al lote.
Si no se indica lo contrario en el procedimiento de muestreodel Manual de Procedimientos, se usará el nivel II de usosgenerales. Éste es el nivel que se va a utilizar en el desarrollode esta unidad.
Inspección normal, rigurosa y reducida
Son tres tipos de inspección que se seleccionan según el nú-mero de lotes que se van aceptando o rechazando.
92
Planes de muestreo
Un plan de muestreo indica el número de unidades de pro-ducto de cada lote que deberán ser inspeccionadas, asícomo el criterio para aceptar o rechazar el lote.
Hay tres tipos de planes de muestreo: simple, doble ymúltiple.
• Plan de muestreo simple
En este plan se toma una sola muestra del lote. Consiste enestablecer, en función del tamaño del lote y del nivel de ca-lidad aceptable, el tamaño de la muestra y los números deaceptación y rechazo.
• Si el número de unidades defectuosas halladas en lamuestra es menor o igual que el número de aceptación,el lote se acepta.
• Si el número de unidades defectuosas halladas en lamuestra es mayor o igual que el número de rechazo, ellote se rechaza.
• Plan de muestreo doble
En este plan se toman una o dos muestras del lote. Consis-te en establecer, en función del tamaño del lote y del nivelde calidad aceptable, el tamaño de la primera muestra, loscriterios de aceptación y rechazo para la primera muestra,el tamaño de la segunda muestra y los criterios de acepta-ción y rechazo para la suma de la primera y la segundamuestra.
• El número de unidades de la primera muestra será el in-dicado por el plan de muestreo.
• Si el número de unidades defectuosas halladas en la pri-mera muestra es menor o igual que el primer número deaceptación, el lote se acepta.
• Si el número de unidades defectuosas halladas en lamuestra es mayor o igual que el primer número de re-chazo, el lote se rechaza.
• Si el número de unidades defectuosas halladas en lamuestra está entre el primer número de aceptación y elprimer número de rechazo, se tomará la segunda mues-tra del tamaño indicado por el plan de muestreo.
• Se sumará el número de unidades defectuosas halladasen la primera y en la segunda muestra.
• Si el número de unidades defectuosas halladas en lasuma de las muestras es menor o igual que el segundonúmero de aceptación, el lote se acepta.
• Si el número de unidades defectuosas halladas en lasuma de las muestras es mayor o igual que el segundonúmero de rechazo, el lote se rechaza.
• Plan de muestreo múltiple
Se toman entre una y varias muestras del lote. Este plan essemejante al plan de muestreo doble, pero mientras que elplan de muestreo doble tiene dos niveles de toma de mues-tras, éste puede tener un número de toma de muestras su-perior a dos, con sus correspondientes criterios de acepta-ción o rechazo.
B. Proceso de rea l i z ac i ón de muestreo s imple
En la norma UNE 66 020 aparece una gran cantidad de ta-blas para elegir tamaños de muestra, y números de acep-tación en función de tamaños de lote, niveles de inspección,tipos de inspección y tipos de muestreo. En esta unidad se
93
Se desea realizar un plan de muestreo para lotes de10 000 unidades. El objetivo es el de no aceptar nin-gún lote con más de 40 unidades defectuosas.
Solución:
Se hará una inspección de nivel II normal.
El nivel de calidad aceptable es:
40/10 000 = 0,004 = 0,4 %.
El tamaño de lote de 10 000 corresponde al grupo de3 201 a 10 000; su tamaño de muestra es 200.
Para un nivel de calidad aceptable de 0,4 % y un ta-maño de muestra de 200, el número de aceptación (A)es 2 y el de rechazo (R) es 3.
Si se toma una muestra de 200 unidades y salen dosartículos defectuosos, el lote será aceptado.
C a s o pr á c t i c o 2
presentan los datos resumidos para una inspección de ni-vel II de tipo normal, que es la más utilizada.
Para otros niveles y tipos de inspección habrá que consul-tar la norma.
1. Los datos de partida son el tamaño del lote y el nivelde calidad aceptable.
2. Con los criterios de inspección se acude a las tablas co-rrespondientes (Anexo II).
3. Se busca en la columna de la izquierda la posición co-rrespondiente al tamaño del lote (N). A su derecha seencuentra indicado el tamaño de muestra que se de-berá tomar (n).
4. En la fila superior de la tabla están los niveles de cali-dad aceptable del lote. Se busca el correspondiente alnivel fijado. Si no es exacto, se busca el inmediatamenteinferior.
5. En el lugar donde se cruzan la fila del tamaño de mues-tra elegido con la columna del nivel de aceptación,aparecen dos números. El que está bajo la columna dela A es el número de aceptación; el que está bajo la le-tra R es el número de rechazo.
6. Se toma una muestra del tamaño indicado. Se inspec-cionan las unidades de la muestra.
7. Si el número de unidades defectuosas halladas en lamuestra es menor o igual que el número de aceptación,el lote se acepta.
8. Si el número de unidades defectuosas halladas en lamuestra es mayor o igual que el número de rechazo,el lote se rechaza.
C . Pro ceso de real i z a c i ón de muestreo dob le
En esta Unidad se presentan los datos resumidos para unainspección de nivel II de tipo normal, que es la más utiliza-da. Para otros niveles y tipos de inspección habrá que con-sultar la norma.
1. Los datos de partida son el tamaño del lote y el nivelde calidad aceptable.
2. Con los criterios de inspección se acude a las tablas co-rrespondientes, que se adjuntan en el Anexo II.
3. Se busca en la columna de la izquierda la posición co-rrespondiente al tamaño del lote. A su derecha se en-cuentra indicado el tamaño de la primera muestra y se-gunda muestra a tomar.
4. En la fila superior de la tabla están los niveles de cali-dad aceptable del lote. Se busca el correspondiente alnivel fijado. Si no es exacto, se busca el inmediatamenteinferior.
5. En el lugar donde se cruzan la fila del tamaño de mues-tra elegido con la columna del nivel de aceptación,aparecen cuatro números. De los dos de arriba, el queestá bajo la columna de la A es el primer número deaceptación; el que está bajo la letra R es el primer nú-mero de rechazo. De los dos de abajo, el que está bajola columna de la A es el segundo número de acepta-ción; el que está bajo la letra R es el segundo númerode rechazo.
6. Se toma una muestra del tamaño indicado para la pri-mera muestra. Se inspeccionan las unidades de lamuestra.
7. Si el número de unidades defectuosas halladas en laprimera muestra es menor o igual que el primer núme-ro de aceptación, el lote se acepta.
8. Si el número de unidades defectuosas halladas en laprimera muestra es mayor o igual que el primer nú-mero de rechazo, el lote se rechaza.
9. Si el número de unidades defectuosas halladas en lamuestra está entre el primer número de aceptación y elprimer número de rechazo, se tomará una segundamuestra del tamaño indicado.
10. Se inspecciona la segunda muestra.
11. Se sumará el número de unidades defectuosas halla-das en la primera y la segunda muestra.
12. Si el número de unidades defectuosas halladas en lasuma de la primera y la segunda muestra es menor oigual que el segundo número de aceptación, el lote seacepta.
13. Si el número de unidades defectuosas halladas en lasuma de las muestras es mayor o igual que el segundonúmero de rechazo, el lote se rechaza.
94
95
Se desea realizar un plan de muestreo para lotes de1 500 unidades. El objetivo es el de no aceptar ningúnlote con más de 15 unidades defectuosas.
Se hará una inspección de nivel II normal.
El nivel de calidad aceptable es: 15/1 500 = 0,01 = 1 %.
Se buscan los datos correspondientes en la tabla de mues-treo doble, inspección normal, nivel II.
El tamaño de lote de 1 500 corresponde al grupo de1 201 a 3 200, el tamaño de la primera muestra es 80.
Para un nivel de calidad aceptable del 1 % y una prime-ra muestra de 80, el primer número de aceptación (A) es1 y el primer número de rechazo (R) es 4.
Si se toma una muestra de 80 unidades y salen dos artí-culos defectuosos, el lote no será aceptado ni rechazado.Se saca una segunda muestra de 80 unidades y sale unartículo defectuoso. Se suma el número de artículos de-fectuosos de las dos muestras: 2 + 1 = 3.
Como 3 es inferior al segundo número de aceptación (quees 4), se acepta el lote.
De una primera muestra de 80 unidades de otro lote saleun artículo defectuoso; como es igual al primer número deaceptación, se acepta el lote.
Ahora, de una primera muestra de 80 unidades de otrolote salen cinco artículos defectuosos; como es mayor queel primer número de rechazo, se rechaza el lote.
En otro lote de una primera muestra de 80 unidades sa-len tres artículos defectuosos; el lote no será aceptado nirechazado.
Se saca una segunda muestra de 80 unidades (que es lacantidad indicada en la tabla) y salen dos artículos de-fectuosos. Se suma el número de artículos defectuosos delas dos muestras: 3 + 2 = 5. Como 5 es igual al segundonúmero de rechazo, se rechaza el lote.
C a s o pr á c t i c o 3
Astrónomo, matemático y físico alemán. Estudió mate-máticas en la Universidad de Gotinga y su carrera sedistinguió por sus trabajos de aplicación de las mate-máticas a la física, geodesia y astronomía. A los 22 años(en 1799) se doctoró en la Universidad de Helmstedt,con un trabajo en el que demostraba un teorema de ál-gebra enunciado por Girard en 1629.
En 1801, publicó la obra Disquisitiones Arithmeticae enla que expone sus teorías sobre los números. Tras estaobra comenzó a dedicarse casi por completo a la as-tromomía. En este campo consiguió determinar trayec-torias de cuerpos celestes (como Ceres) utilizando susteorías de cálculo, que le hicieron conseguir la plaza dedirector del Observatorio Astronómico de Gotinga en1807.
En 1829 estudió física y, en 1839, publicó la obraTeoría general del magnetismo terrestre. A él se debe
también la ley de Gauss de los flujos eléctricos y mag-néticos y la ley o distribución de Gauss de probabi-lidad.
F r i e d r i c h K ar l G a us s (1777 - 1855 )
Fig. 5.14. Función normal o campaña de Gauss
x
y
µ
Cada mes, el Instituto Nacional de Estadística publica elvalor del IPC (Índice de Precios de Consumo) corres-pondiente al mes anterior. El IPC representa el incrementode precio que sufren los bienes de consumo.
Como no es posible analizar todos los precios de todoslos productos, se toma una muestra representativa debienes de consumo. Los productos se han agrupado enparcelas de consumo para cada una de las cuales se ha
elegido uno o varios artículos que representan, con suevolución, la de los precios de todos los artículos quecomponen la correspondiente parcela.
El número de artículos seleccionados es de 484; todosellos forman lo que se conoce con el nombre de «cestade la compra».
Los 484 artículos están repartidos en 12 grupos:
96
E l I P C d e l m e s
Grupos Número de artículos
1 Alimentos y bebidas no alcohólicas 171
2 Bebidas alcohólicas y tabaco 12
3 Vestido y calzado 67
4 Vivienda 18
5 Menaje 60
6 Medicina 13
7 Transporte 31
8 Comunicaciones 3
9 Ocio y cultura 40
10 Enseñanza 8
11 Hoteles, cafés y restaurantes 24
12 Otros 37
TOTAL 484
FUENTE: Instituto Nacional de Estadística (2002).
La recogida de la información (los precios de los pro-ductos) se realiza por visita de un entrevistador al esta-blecimiento de venta. Además, existen algunos artículoscuyo precio no se recoge en establecimientos, sino quese hace de forma centralizada (teléfono, periódicos, re-vistas, medicamentos, etc.). Se tienen en cuenta las ofer-tas y las rebajas. También se tienen en cuenta los cam-bios en la calidad del producto (especialmente enordenadores, electrodomésticos y vehículos), determi-nando qué parte del incremento del precio se debe a unamejora de las características del producto.
El número total de precios procesados mensualmente su-pera los 180 000.
Todos los grupos no tienen la misma influencia sobre elIPC, sino que se aplica un peso o ponderación distinto a
cada uno en función de la importancia que tienen en elconsumo. Los valores con que se pondera cada grupovarían cada año y dichos valores se establecen graciasa la Encuesta Continua de Presupuestos Familiares. Lasponderaciones representan la importancia relativa quetiene cada artículo de la cesta de la compra frente a losdemás; el parámetro que se utiliza para ello es el gastoque realizan las familias.
A través de diversas operaciones matemáticas, toman-do como dato los incrementos de los precios recogidosy la ponderación de cada grupo, se obtiene el IPC, unaespecie de media ponderada de los incrementos de losprecios.
El IPC de cada mes se publica la primera quincena delmes siguiente.
97
A continuación se proponen una serie de términos que hanaparecido a lo largo de la Unidad. Intenta encontrar ladefinición más precisa de ellos y apúntala en el cuaderno.
• Estadística.
• Frecuencia.
• Moda.
• Población.
• Muestra.
• Intervalo de confianza.
• Lote.
• Riesgo del comprador.
• Riesgo del vendedor.
• Nivel de calidad aceptable.
V o c a b ul ar i o
La estadística es la ciencia que estudia los fenómenosaleatorios. Proporciona herramientas muy potentes paraanalizar conjuntos de datos y la relación existente entreellos. Trata de sacar conclusiones de una población apartir de muestras tomadas en la misma.
La población son todos los elementos de una determina-da clase, y la muestra es un subconjunto representativode una población.
Los datos obtenidos de una muestra se pueden agruparpor frecuencias, que es el número de veces que aparececada dato.
Los principales valores característicos de un conjunto dedatos son:
Medidas de tendencia central
• Media o esperanza
n
� xii = 1 x1 + x2 + x3 +...+ xnx̄ = ——— = —————————
n n
• Mediana. Es el valor del dato central.
• Moda. Es el valor de la muestra que aparece con másfrecuencia.
Medidas de dispersión
• Desviación típica. También llamada desviación es-tándar.
n
� (xi – x̄ )2
i = 1σ = ��—————n – 1
• Varianza. Es el cuadrado de la desviación típica.
• Recorrido. El recorrido (R) de un conjunto de datos esla diferencia entre el dato mayor y el dato menor.
La distribución normal es la más utilizada en calidad.Su función de densidad de probabilidad es la siguiente:
f (x) = · e
La función normal se suele indicar así: N(µ, σ).
Para calcular probabilidades de distribuciones normalesdistintas a la N(0, 1) se emplea el siguiente método:
Si se tiene una curva normal con µ ≠ 0 y/o σ ≠ 1, sepuede realizar el cambio:
x – µP(X � x) = P �Z � ———�σ
La estimación se usa para determinar con una buenaaproximación parámetros de una población partiendode los datos tomados de una muestra de esa población.
Un plan de muestreo indica el número de unidades deproducto de cada lote que deberán ser inspeccionadas,así como el criterio para aceptar o rechazar el lote. Pue-de ser: simple, doble y múltiple.
1 x – µ�– — �———�2�2 σ1
———��2πσ
C o n ce p t o s b á s i c o s
1. Halla la media y la desviación típica de esta serie dedatos:
a) 20, 22, 21, 23, 19, 24, 22, 21, 22, 22, 23.
b) 49,8 - 49,9 - 49,8 - 49,9 - 50 - 50 - 49,9 - 50 -49,9 - 50,1.
c) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
2. Halla la media y la varianza de este conjunto de da-tos: 198, 198, 199, 199, 199, 200, 200, 200, 200,200, 201, 201, 201, 202, 202.
3. Las estaturas de los cinco titulares de un equipo de ba-loncesto son:
1,75 m; 1,80 m; 1,87 m; 1,97 m; 2,02 m.
Halla la estatura media del equipo.
4. Las edades de los once titulares de un equipo de fútbolson:
38, 17, 19, 25, 24, 23, 24, 25, 26, 29, 25.
Halla la edad media del equipo.
5. Con los datos 8, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12,13, 13, 13, 14, 15 realiza:
a) Una tabla de frecuencias.
b) Una tabla de frecuencias relativas.
c) Halla la media.
d) Calcula la desviación típica.
6. Halla la media y la desviación típica de estos datosagrupados:
7. Halla la media y la desviación típica de estos datosagrupados:
8. Compara las características de precisión de dos má-quinas (A y B) de taladrar agujeros de diámetro no-minal 1,2 mm.
Se han realizado 10 taladros con cada una y los re-sultados han sido:
A: 1,18 - 1,19 - 1,19 - 1,20 - 1,20 - 1,20 - 1,21 -1,21 - 1,22.
B: 1,190 - 1,195 - 1,195 - 1,197 - 1,200 - 1,203 -1,205 - 1,205 - 1,210.
9. Una fábrica produce bombillas cuya duración tieneuna distribución N(2 200, 400). Determina qué por-centaje de bombillas se habrán fundido después detranscurridas 1 800 horas.
10. En una empresa de torneado fabrican ejes para po-tenciómetros. La distribución de diámetros sigue unanormal N(6; 0,05). Si los ejes deben estar entre 5,90mm y 6,10 mm, determina el porcentaje de ejes quese desecharán.
11. De una población de remaches se ha tomado al azaruna muestra de 15.
La fuerza de rotura, en Newtons, de los 15 remachesha sido: 498, 499, 499, 499, 500, 500, 500, 500,500, 501, 501, 501, 502, 502, 503.
Se sabe que la desviación típica de la población deremaches es de 1,2 N.
Halla el intervalo en el cual se halla la media dela población con un nivel de confianza de 0,95(95 %).
Act
ivid
ades
98
Dato Frecuencia
8 1
9 2
10 3
11 3
12 3
13 2
14 1
Dato Frecuencia
8 100
9 200
10 300
11 300
12 300
13 200
14 100
Act
ivid
ades
12. Elabora un plan de muestreo simple para lotes de100 000 unidades que deban tener menos de 10 de-fectuosas.
13. Elabora un plan de muestreo simple para lotes de2 000 unidades que deban tener menos de 13 de-fectuosas.
14. Con el plan de muestreo del ejercicio anterior indicaqué harías con un lote cuya muestra tiene:
a) 2 unidades defectuosas.
b) 16 unidades defectuosas.
c) 3 unidades defectuosas.
15. Elabora un plan de muestreo doble para lotes de1 000 unidades que deban tener menos de 150 de-fectuosas.
16. Con el plan de muestreo del ejercicio anterior, in-dica qué harías con un lote cuya primera muestratiene:
a) 2 unidades defectuosas.
b) 16 unidades defectuosas.
c) 15 unidades defectuosas y cuya segunda muestratiene 14 unidades defectuosas.
17. Elabora un plan de muestreo doble para lotes de600 000 unidades que deban tener menos del 0,65 %de unidades defectuosas.
18. Con el plan de muestreo del ejercicio anterior, in-dica qué harías con un lote cuya primera muestratiene:
a) 2 unidades defectuosas.
b) 16 unidades defectuosas.
c) 8 unidades defectuosas y cuya segunda muestratiene 7 unidades defectuosas.
19. En la siguiente tabla se recoge el número de produc-tos defectuosos que salieron de un centro de mecani-zado en un año.
Halla la media de productos defectuosos por mes.
20. Halla la media de averías anuales de una máquinapartiendo de la información contenida en la siguien-te tabla.
21. a) Una empresa produce tubos de escape para au-tomóviles. La vida útil de los tubos sigue unaNormal de media 3 años y desviación típica 6meses.
Si la empresa garantiza sus productos por dosaños, determina qué porcentaje de los tubos seestropeará estando en garantía.
99
Número de productosMesdefectuosos
10 Enero
12 Febrero
9 Marzo
13 Abril
8 Mayo
10 Junio
9 Julio
0 Agosto
16 Septiembre
10 Octubre
9 Noviembre
11 Diciembre
Número de averías Año
10 1999
2 2000
2 2001
1 2002
3 2003
2 2004
4 2005
5 2006
b) Si la empresa produce 100 000 tubos de escapeanuales y reponer un tubo en garantía le cuesta50 €, determina el coste anual de la empresapara cubrir su garantía.
c) La empresa realiza un plan de mejora de calidad.Consigue que la vida útil de sus tubos de escapesiga una Normal de media 3,5 años y desviacióntípica 6 meses. En esta nueva situación, determinaqué porcentaje de tubos de escape se estropearánantes de transcurridos los dos años de garantía.
d) Con un coste de reposición de 50 € y una produc-ción de 100 000 unidades anuales, determina elcoste anual de la empresa para cubrir su garantía.
22. Halla la media y la desviación típica de estos datosagrupados:
23. Halla la media y la desviación típica de estos datosagrupados:
24. Halla la media y la desviación típica de estos datosagrupados:
25. Elabora un plan de muestreo doble para lotes de10 000 unidades que deban tener menos de 120 uni-dades defectuosas. Inspección normal. Nivel de ins-pección II.
26. Elabora un plan de muestreo simple para lotes de10 000 unidades que deban tener menos de 120 uni-dades defectuosas. Inspección normal. Nivel de ins-pección II.
27. Una planta de envasado produce sacos de 50 kg. Ladistribución de peso de los sacos sigue una funciónnormal N(50; 0,1).
a) Halla el porcentaje de sacos que pesará 50 kg omenos.
b) Halla el porcentaje de sacos que pesará 49,9 kgo menos.
c) Halla el porcentaje de sacos que pesará 49,8 kgo menos.
d) Halla el porcentaje de sacos que pesará 50,1 kgo menos.
e) Halla el porcentaje de sacos que pesará 50,2 kgo menos.
f) Halla el porcentaje de sacos que pesará 50,3 kgo menos.
g) Halla el porcentaje de sacos que pesará entre49,9 kg y 50,1 kg.
Act
ivid
ades
100
Dato Frecuencia
210 1
220 5
230 8
240 10
250 11
260 10
270 8
280 5
290 1
Dato Frecuencia
51 10
52 50
53 80
54 100
55 110
56 100
57 80
58 50
59 10
Dato Frecuencia
51 1
52 5
53 8
54 10
55 11
56 10
57 8
58 5
59 1
Act
ivid
ades
101
h) Halla el porcentaje de sacos que pesará entre49,8 kg y 50,2 kg.
i) Halla el porcentaje de sacos que pesará entre49,7 kg y 50,3 kg.
28. Una planta envasadora de aceite del Bajo Aragónproduce 100 000 botellas de aceite de oliva virgenextra. La cantidad de aceite que entra en cada bote-lla sigue una distribución normal N(1; 0,01).
a) Halla el número de botellas que contendrán 1 li-tro de aceite o menos.
b) Halla el número de botellas que contendrán 0,99litros o menos.
c) Halla el número de botellas que contendrán 0,98litros o menos.
El gerente de la empresa desea que el 90 % de susbotellas contengan 1 litro de aceite o más.
d) Sin modificar la desviación típica, ¿cuál debe serla media de la distribución normal para que se al-cance ese objetivo?
e) ¿Cuántos litros de aceite se necesitarán para pro-ducir 100 000 botellas?
Se mejora la precisión de la máquina de llenado,reduciendo la desviación típica a 0,005:
f) ¿Cuál será la nueva media para cumplir el obje-tivo del 90 % con un litro o más?
g) ¿Cuántos litros de aceite se necesitarán para pro-ducir 100 000 botellas?