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TÉCNICAS MULTIVARIANTES

1. Introducción

2. Clasificación de las técnicas

3. Etapas de análisis

4. Supuestos básicos

5. Valores perdidos y anómalos

Definición.

- Conjunto de métodos estadísticos cuya finalidad es analizar simultáneamente conjuntos de datos multivariantes: hay varias variables medidas para cada caso.

- Permiten un mejor entendimiento del fenómeno objeto de estudio, obteniendo información que los métodos univariantesy bivariantes son incapaces de conseguir.

Objetivos.

- Proporcionar métodos para estudiar datos multivariantesque el análisis estadístico uni y bidimensional es incapaz de conseguir.

- Ayudar al investigador a tomar decisiones óptimas en el contexto en el que se encuentre teniendo en cuenta la información disponible por el conjunto de datos analizado.

introducción

3 grupos:

- Métodos de dependencia

- Métodos de interdependencia

- Métodos estructurales

Métodos de dependencia:

- Suponen que las variables analizadas están divididas en dos grupos: las variables dependientes y las variables independientes.

- El objetivo consiste en determinar si el conjunto de variables independientes afecta al conjunto de variables dependientes y de qué forma.

clasificación

Métodos de interdependencia:

- No distinguen entre variables dependientes e independientes y su objetivo consiste en identificar qué variables están relacionadas, cómo lo están y por qué.

Métodos estructurales:

- Suponen que las variables están divididas en dos grupos: el de las variables dependientes y el de las independientes.

- El objetivo es analizar como las variables independientes afectan a las variables dependientes y las relaciones de las variables de los dos grupos entre sí.

clasificación

Regresión

Supervivencia

MANOVA

Correlación canónica

Discriminante

Regresión logística

Conjoint

Componentes principales

Factorial

Cluster

Escalas multidimensionales

Correspondencias

Modelos log-lineales

Cluster

Escalas multidimensionales

clasificación

Métrica

No métrica

Métrica

No métrica

Dependencia

Interdependencia

Modelos estructurales

¿La investigación responde a un problema de dependencia entre variables o de interdependencia de las mismas?

¿Cómo están medidas las variables: métricas o no métricas?

Si es un problema de dependencias,

¿cuántas variables dependientes existen?

clasificación

Análisis de dependenciasclasificación

ecuacionesestructurales

regresiónmúltiple

análisisdiscriminante

Regresiónlogística MANOVA correlación

canónica

variasrelaciones

unarelación

1 variable dependiente

> 1 variabledependiente

dependenciamétrica

dependenciano métrica

dependenciamétrica


independenciano métrica

independenciamétrica

Regresión lineal múltiple:

- Relación entre 1 variable dependiente métrica y varias variables independientes métricas o no métricas.

Y1 (X1, X2, X3, .... Xm)

- Por ejemplo: Determinar si existe o no relación entre el resultado neto y la superficie, dimensión e inversión inicial.

¿Y si el resultado neto está codificado en Pérdidas=1, Equilibrio=2 y Ganancias=3?

clasificación



regresiónmúltiple



canónica

variasrelaciones

unarelación



dependenciamétrica


dependenciamétrica




- Análisis discriminante. Proporciona reglas de clasificación óptimas de nuevas observaciones de las que se desconoce su grupo de procedencia basándose en la información proporcionada los valores que en ella toman las variables independientes.

- Modelos de regresión logística. Se utilizan como una alternativa al análisis discriminante cuando no hay normalidad.

clasificación



regresiónmúltiple



canónica

variasrelaciones

unarelación



dependenciamétrica


dependenciamétrica




Análisis de correlación canónica:Y1 (X1, X2, X3, .... Xm) regresión, discriminante y log

(Y1, Y2, Y3, .... Ym) (X1, X2, X3, .... Xm) correlación canónica

- Asociación lineal entre un conjunto de variables dependientes y otro de variables independientes.

- Si la dependencia es no métrica

- Si la dependencia es métrica sólo si la independencia también lo es

- Por ejemplo:

- Determinar si existe o no relación entre el resultado neto y la producción de contaminantes de una explotación con la superficie, dimensión e inversión inicial. Corr. canónica

- Determinar la misma relación pero con el género del ganadero y el tipo de explotación (intensivo, extensivo) MANOVA

clasificación



regresiónmúltiple



canónica

variasrelaciones

unarelación



dependenciamétrica


dependenciamétrica




clasificación

Ecuaciones estructurales:

- Varias relaciones: estructuras de la covarianza y análisis factorial confirmatorio

Y1 (X11, X12, X13, .... X1m)

Y2 (X21, X22, X23, .... X2m)

Y3 (X31, X32, X33, .... X3m)



regresiónmúltiple



canónica

variasrelaciones

unarelación



dependenciamétrica


dependenciamétrica




Análisis de interdependencia.

- Las variables no se pueden separar en dependientes e independientes.

- Objetivo: determinar cómo y por qué las variables están correlacionadas.

clasificación

Análisis de interdependenciasclasificación

componentesprincipales

análisisfactorial

análisiscorrespondencias

análisiscluster

escalamientomultidimensional

Relaciónentre

variables

Métricas No métricas

Relaciónentrecasos

Relaciónentre

objetos

Análisis de componentes principales.

- Técnica de reducción de datos.

- Objetivo: construir combinaciones lineales de las variables iniciales que expliquen la mayor parte de la información contenida en esas variables.

- Esas combinaciones se denominan Componentes Principales, están incorrelacionados y cada componente sucesivo explica menos varianza.

- Por ejemplo: para comparar 10 explotaciones, es mejor utilizar 5 Componentes Principales que 150 variables

clasificación



análisisfactorial


análisiscluster


Relaciónentre

variables


Relaciónentrecasos

Relaciónentre

objetos

Análisis factorial.

- Técnica de reducción de datos.

- Objetivo: establecer qué causas latentes (factores) causan la correlación entre las variables observadas.

- Por ejemplo: el desarrollo de un animal no se puede medir directamente, pero sí es posible medir algunos de sus indicadores:

- El peso y su incremento

- La alzada y sus incrementos (cruz, palomillas, etc.)

- Las dimensiones de algunas regiones corporales y su relación respecto a otras

- El análisis factorial establecería que el factor “desarrollo” explica todas estas variables y cómo se relaciona cada variable con el factor

clasificación



análisisfactorial


análisiscluster


Relaciónentre

variables


Relaciónentrecasos

Relaciónentre

objetos

Análisis de correspondencias.

- Permite visualizar gráficamente tablas de contingencia.

- Por ejemplo: Si existe relación entre la formación del ganadero y el tipo de gestión

- Formación: sin formación, primaria, bachillerato, universidad, formación profesional, módulos, escuela de capataces o sus combinaciones

- Tipo de gestión: ninguna, asesor fiscal, veterinario clínico, agrónomo, veterinario asesor o sus combinaciones

clasificación



análisisfactorial


análisiscluster


Relaciónentre

variables


Relaciónentrecasos

Relaciónentre

objetos

Análisis de escalamiento multidimensional.

- Permite aflorar los criterios que utilizan los individuos para considerar que distintos objetos son parecidos o distintos.

- Por ejemplo: Estudios de preferencia del jamón curado

clasificación



análisisfactorial


análisiscluster


Relaciónentre

variables


Relaciónentrecasos

Relaciónentre

objetos

Análisis de conglomerados (cluster).

- A diferencia del factorial que agrupa variables, pretende agrupar observaciones.

- De tal modo que las observaciones dentro de los grupos sean parecidas respecto a las variables utilizadas para agrupar.

- Y que las observaciones entre los grupos sean lo más diferentes posibles respecto a las mismas variables.

- Por ejemplo, para hacer grupos de animales en un programa de mejora genética, o de explotaciones de cara a optimizar su gestión.

clasificación

Proceso de aplicación de la técnica multivariante.

1. Definir el problema que se está investigando (modelo conceptual)

- Análisis conceptual de su objeto de estudio

- Identificar las relaciones fundamentales que se van a abordar

- Elección de la técnica a aplicar

etapas del análisis

Proceso de aplicación de la técnica multivariante.

Por ejemplo:

Analizar la gestión de los sectores ecológicos

- Variables y sectores

- Relaciones entre las variables y los casos:

- Comparar unos sectores con otros: AF/ACP + ANOVA

- Nos da igual el sector: AF/ACP + CLUSTER

- Correlación canónica


2. Desarrollo del plan de análisis

- Tamaño muestral mínimo para la técnica concreta

- Las escalas de las variables a analizar son correctas

3. Condiciones de aplicabilidad de la técnica elegida

4. Desarrollo de la técnica, incorporando o eliminando variables según la bondad de ajuste


5. Interpretación de los resultados

- Interpretar el modelo global

- Analizar las variables individuales: cargas factoriales, coeficientes, varianzas, etc.

- La interpretación retroalimenta al paso 4

6. Validación del modelo. Técnicas de diagnóstico que permitan generalizar los resultados a la población.


Supuestos básicos.

- Normalidad

- Homocedasticidad

- Linealidad

- Independencia

supuestos básicos

Normalidad (uni y multivariante).

- Cuando se pretende comprobar una hipótesis se pueden cometer 2 errores:

- Error tipo 1 (α): probabilidad de equivocarnos al rechazar la hipótesis (normalmente se elige 0,05)

- Error tipo 2 (β): probabilidad de equivocarnos al aceptar la hipótesis (1- β: potencia del contraste)

- El investigador quiere pruebas potentes y valores αpequeños.

Si las variables no son normales multivariantes el error tipo 1 se incrementa.

supuestos básicos

Normalidad univariante.

- La normalidad univariante de todas las variables no implica normalidad multivariante, aunque es difícil que no lo sea.

- Si no se detecta normalidad multivariante habría que estudiar cada variable y detectar cuál es la problemática.

- Análisis de la normalidad univariante:

supuestos básicos

- Estudiar la asimetría y curtosis de la variable (si la variable está tipificada, la asimetría es cero y la curtosis 3)

- Exploración gráfica con gráficos Q-Q

- Contrastes de normalidad

supuestos básicos

0

3

Contrastes de normalidad:

- Todos tienen como hipótesis nula la normalidad de la distribución

- Cada uno tiene su utilidad

- Shapiro –Wilk funciona bien con muestras pequeñas

- El más habitual es Kolmogorov-Smirnov

- En muestras pequeñas es mejor ser conservador con el nivel de significación

supuestos básicos

Con Statgraphics:

supuestos básicos

Computed Chi-Square goodness-of-fit statistic = 116,48P-Value = 1,92957E-12

Shapiro-Wilks W statistic = 0,937943P-Value = 5,58428E-10

Z score for skewness = 1,91137P-Value = 0,0559571

Z score for kurtosis = 0,326301P-Value = 0,744192

Exploración gráfica Q-Q: (sólo para más de 20 casos)

supuestos básicos

Quantile-Quantile Plot

0 30 60 90 120 150

Normal distribution

0

30

60

90

120

150

NH

T

Exploración gráfica Q-Q: (sólo para más de 20 casos)

supuestos básicos

Quantile-Quantile Plot

-1 -0,6 -0,2 0,2 0,6 1(X 100000)Normal distribution

-1

-0,6

-0,2

0,2

0,6

1(X 100000)

RN

Análisis multivariante de la normalidad.

- Existen pocos contrastes (Mardia-curtosis y Mardia-apuntalamiento) y no se conoce bien su distribución

- También el gráfico chi-cuadrado:

- Se calculan las distancias de Mahanalobis (D)

- Su cuadrado se ordenan de menor a mayor (D2)

- En cada distancia se calcula su percentil (j-0,5)/n

- Se calculan los valores X2 de los percentiles de una distribución X2 con p grados de libertad (p=número de variables estudiadas)

- Se representan D2 y X2

- Con Statgraphics se utiliza “Multivariate Control Chart”

- La variable o variables problemáticas se pueden transformar o eliminar

supuestos básicos

Homoscedasticidad (univariante):

- En datos agrupados, la homoscedasticidad significa que la varianza de la variable continua es estadísticamente la misma en todos los grupos que la variable no métrica delimita los grupos.

- El contraste es si la varianza es la misma

- Por ejemplo:

- Variable continua: superficie (ha)

- Variable no métrica: especie (0=ovino, 1=caprino)

- Dentro de los grupos 0 y 1, la varianza de la superficie debe ser estadísticamente la misma

Homoscedasticidad (multivariante):

- Se contrasta si la matriz varianzas-covarianzas es la misma

supuestos básicos

Homoscedasticidad (univariante):

- Contraste de Levene (hipótesis nula: la varianza de la variable X es igual en todos los niveles que forma la variable Z)

Homoscedasticidad (multivariante):

- Contraste M de Box

- Es muy sensible (se recomienda que p<0,001)

- Es necesaria normalidad multivariante para el contraste

supuestos básicos

Por ejemplo:

- Estudiar si los ganaderos son conscientes de que la producción intensiva perjudica el medio ambiente

- O por el contrario, los ganaderos intensivos lo son porque no son conscientes de esto

- Si esto es así, los ganaderos intensivos estarían significativamente más en desacuerdo con la afirmación que los extensivos

supuestos básicos

Por ejemplo:

- Esto es un problema de análisis discriminante:

- Una variable dependiente no métrica (intensivo o extensivo)

- Varias variables independientes métricas:

- Y1: Opinión (1 a 5): la g.intensiva perjudica el m. ambiente

- Y2: Opinión (1 a 5): no permitir g.intensiva en espacios protegidos y naturales

- Y3: Opinión (1 a 5): reducir ayudas a g.intensiva U.E.

- Y4: Opinión (1 a 5): debe informarse más sobre los efectos de la g. Intensiva a la opinión pública

supuestos básicos

Por ejemplo:

- Debe comprobarse la hipótesis nula, que la matriz de varianzas-covarianzas de las variables Y es a misma para los niveles de X (intensivo-extensivo).

- Contraste M de Box.

supuestos básicos

Linealidad:

- Fundamental en todas las técnicas que se centren en el análisis de las matrices de correlaciones o de covarianzas

- Porque el coeficiente de correlación de Pearson sólo puede captar relaciones lineales

- Para la regresión lineal múltiple se analizan los residuos

- Para el resto de los casos: gráficos de dispersión bivariante

- Por ejemplo:

consumo inc. Peso inc. Diám. Digest

Consumo MS (kg/animal) 1 0,87 0,91 -0,66

Incremento de Peso 0,87 1 0,79 0,81

Incremento de Diámetro 0,91 0,79 1 0,92

Digestibilidad MS (%) -0,66 0,81 0,92 1

supuestos básicos

supuestos básicos

0

10

20

30

40

0 20 40 60

0

10

20

30

40

0 20 40 600

20

40

60

80

100

0 20 40 60

consumo inc. Peso inc. Diám. Digestibilidad

Consumo

Inc Peso

Inc Diam

Diges

0

10

20

30

40

0 20 40 60 0

10

20

30

40

0 20 40 600

10

20

30

40

0 20 40 60

0

10

20

30

40

0 20 40 60

0

10

20

30

40

0 20 40 60

0

20

40

60

80

100

0 20 40 60

0

10

20

30

40

0 20 40 60

0

10

20

30

40

0 20 40 600

20

40

60

80

100

0 20 40 60

Independencia:

- Los valores que toman las variables en un caso no están influidos por los valores que toman en otro caso

- Si no se está seguro de esto, habría que incrementar el nivel de significación de los contrastes 10 veces (de p<0,05 a p<0,005)

- La independencia se asegura en el diseño experimental

supuestos básicos

Valores perdidos y anómalos:

fiabilidad de los datos de partida

valores perdidos y outliers

Valores perdidos:

- La existencia de valores perdidos es inevitable si se trabaja con encuestas.

- El ganadero no quiere declarar si tiene préstamo

- Se anota una cantidad en una casilla equivocada

- La cuantía de las ayudas aún no se conoce para el ejercicio en concreto, etc.

- La consecuencia depende de su patrón de distribución, de la cantidad de valores y de la causa de pérdida.

- Lo más importante es su distribución: si es aleatoria no causará muchos daños, si tiene un patrón será muy dañino.


Por ejemplo:

Opinión de los ganaderos sobre las políticas sectoriales:

V1 = las ayudas perjudican el libre comercio

V2 = no deben aplicarse aranceles europeos

V3 = a la UE le interesa poco el medio ambiente

V4 = deben disminuir las ayudas

V5 = ganadero ecológico (1) o convencional (2)


valores perdidos y outliersCaso V1 V2 V3 V4 V4* V5 V61 5 5 4 5 5 22 5 5 4 4 4 5 23 5 5 4 2 2 5 24 5 4 3 3 4 25 5 5 2 5 5 5 26 5 5 5 5 5 5 17 5 5 1 4 18 5 4 3 3 3 5 29 4 4 4 1 1 5 2

10 5 2 3 3 111 5 5 3 3 3 5 212 5 4 2 4 4 5 213 5 3 4 2 2 4 214 5 4 5 1 1 3 115 5 5 5 3 3 4 216 5 3 2 5 117 5 5 1 3 118 5 4 4 3 119 5 4 2 4 4 4 220 1 5 3 4 4 5 221 5 4 3 4 4 5 222 5 5 3 4 4 5 223 5 4 5 4 4 5 124 5 3 1 5 5 5 125 5 3 5 1 1 3 126 4 5 1 5 227 2 3 5 1 3 228 4 4 5 2 5 229 5 4 4 5 5 130 5 5 5 5 5 5 2


V4 = deben disminuir las ayudas

N Min Max Med D.E.

V4 24 1 5 2,92 1,53

V4* 23 1 5 3,43 1,37

Diagnóstico de aleatoriedad de los valores perdidos:

- Procedimiento basado en la lógica de la investigación:

- Si el patrón es sistemático (no aleatorio), el comportamiento de la variable con valores perdidos debe ser diferente respecto a otras variables sin valores perdidos.

- El investigador deberá comprobar qué variables se comportan de manera distinta a posteriori.

- Si no existen variables distintas a posteriori, hay que asumir la aleatoriedad de los valores perdidos.


- Se realiza una prueba t para muestras independientes:

- A partir de la variable a analizar se crea otra ficticia, codificada con 0=hay dato; 1=dato faltante

- Se desarrolla la prueba t con otra variable sin datos faltantes según la variable ficticia

- Si las medias son significativamente diferentes, la distribución sigue un patrón sistemático


En el ejemplo: Prueba t con V2


Caso V1 V2 V3 V4 V4* V5 V61 5 5 4 5 5 22 5 5 4 4 4 5 23 5 5 4 2 2 5 24 5 4 3 3 4 25 5 5 2 5 5 5 26 5 5 5 5 5 5 17 5 5 1 4 18 5 4 3 3 3 5 29 4 4 4 1 1 5 210 5 2 3 3 111 5 5 3 3 3 5 212 5 4 2 4 4 5 213 5 3 4 2 2 4 214 5 4 5 1 1 3 115 5 5 5 3 3 4 216 5 3 2 5 117 5 5 1 3 118 5 4 4 3 119 5 4 2 4 4 4 220 1 5 3 4 4 5 221 5 4 3 4 4 5 222 5 5 3 4 4 5 223 5 4 5 4 4 5 124 5 3 1 5 5 5 125 5 3 5 1 1 3 126 4 5 1 5 227 2 3 5 1 3 228 4 4 5 2 5 229 5 4 4 5 5 130 5 5 5 5 5 5 2

V4(COD) V4*(COD)0 11 11 10 11 11 11 01 11 10 01 11 11 11 11 11 01 00 01 11 11 11 11 11 11 11 01 00 10 11 1

En el ejemplo: Prueba t con V2

V4(COD) V4*(COD)

1 0 t 1 0 t

V2(media) 3,96 3,83 0,23 4,30 2,71 -3,95*

Luego, la distribución de los valores perdidos de V4 es aleatoria, mientras que V4* sigue un patrón sistemático


Diagnóstico de aleatoriedad de los valores perdidos:

- Prueba de las “correlaciones dicotomizadas”:

- Procedimiento basado en la coincidencia significativa entre los casos concretos en que las variables toman un valor perdido.

- Las variables con casos perdidos se transforman en variables ficticias codificadas: 0=valor perdido, 1=hay dato

- Se calcula la matriz de correlaciones

- Si hay correlación significativa entre las variables ficticias estamos ante un posible patrón significativo


En el ejemplo:

V4(COD) V4*(COD) V2(COD)

V4(COD) 1 0,118 (0,53) -0,19 (0,29)

V4*(COD) 0,18 (0,53) 1 0,71 (0,00)*

V2(COD) -0,19 (0,29) 0,71 (0,00)* 1

Luego, la distribución de los valores perdidos de V4 es aleatoria, mientras que V4* sigue un patrón sistemático


Tratamiento de los valores perdidos:

- Si los valores siguen un patrón:

- Grave problema

- No hay medios estadísticos conocidos para reducir el número de valores perdidos

- No es posible generalizar los resultados

- Si los valores son aleatorios:

- Problema menor con dos opciones:

- Eliminar todos los casos con un valor perdido

- Imputar un valor estimado


- Eliminar todos los casos con un valor perdido:

- Procedimiento por defecto en los programas estadísticos

- Se corre el riesgo de perder mucha información

- Especial cuidado en los análisis basados en análisis de varianzas-covarianzas, correlaciones

- Se puede eliminar selectivamente en cada análisis sólo los casos con datos faltantes en una de las variables implicadas

- Aunque esto genera problemas por el continuo cambio de tamaño muestral


- Imputar valores en los datos perdidos:

- Lo más utilizado es imputar la media:

- Procedimiento conservador

- La media no cambia pero la varianza se reduce


- Imputar valores en los datos perdidos:

- Como método alternativo, la regresión:

- Como variable dependiente se usa la variable con datos perdidos y como variables independientes se usan el resto de las variables con todos los datos

- Deben ser todas variables métricas

- Método más razonable que la media, aunque:

- Las estimaciones serán más coherentes con las variables independientes que los valores “reales”

- La varianza también se reduce

- Sólo si las estimaciones pertenecen al rango de la variable (por ejemplo, V4 no puede ser 7)


Valores atípicos (outliers):

- Aquellos casos que una, dos o más variables toman valores extremos que difieren del comportamiento del resto de la muestra y hacen sospechar de que han sido generados por mecanismos distintos.

- Consecuencias:

- Distorsionan los resultados

- Suelen afectar a la normalidad


Valores atípicos (outliers):

- Causas:

- Errores en los datos (recogida e introducción)

- Errores intencionados por parte del encuestado

- Errores de muestreo (introducir en la muestra un individuo que no pertenece a la población)

- Outliers verdaderos: casos que pertenecen a la población objeto de estudio y que realmente difieren del resto por la variabilidad inherente


Detección de valores atípicos

- Univariante

- Bivariante

- Multivariante


Detección univariante de valores atípicos

- Considerar atípicos aquellos casos cuyos valores estandarizados (media = 0 y desviación típica = 1) superen el siguiente umbral (k):

- N < 80 2,5

- N > 80 3 o 4

- Si la variable sigue una distribución normal 3

(x’) = (xi – x)/Sx

x’ < x + kSx

- Test de Grubbs



-2-1,5

-1-0,5

00,5

11,5

22,5

33,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Si el mismo caso es atípico en varias variables, habría que pensar en que es un outlier multivariante

Detección bivariante de valores atípicos

- Tiene utilidad cuando se va a utilizar como dependientealguna de las variables

- Se regresa la posible variable dependiente con las demás independientes:

- Se analiza la dispersión de los datos con los intervalos de confianza (95%)

- Si los valores que quedan fuera son sistemáticamente los mismos, habría que pensar en outlier


Por ejemplo: resultado neto, producción leche, UTH y antigüedad de la actividad


Plot of Fitted Model

Produccion leche

RN

0 2 4 6 8 10(X 1000)

0

2

4

6

8(X 10000)


Antiguedad

RN

0 10 20 30 40 50 600

2

4

6

8(X 10000)


UTH

RN

0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

8(X 10000)

Detección multivariante de valores atípicos

- Tiene utilidad cuando se van a utilizar técnicas multivariantes

- Se utiliza la distancia de Mahalanobis (D) como la medida entre el centroide de cada caso al conjunto de los datos


¿Qué hacer con los valores atípicos?

- Si es un error evidente es conveniente corregirlo o eliminarlo

- Error en la introducción de los datos: buscar el original y corregirlo

- Error en el registro:

- Volver a encuestar el caso en cuestión

- Si no se puede (p.e. la encuesta es anónima) cambiarlo por el valor medio


¿Qué hacer con los valores atípicos?

- Si es un outlier verdadero o no se puede descartar que no lo sea:

- Algunos autores consideran correcto su eliminación para que los análisis reflejen la tendencia mayoritaria de la población

- Otros consideran que la eliminación no se debe hacer:

- Suavizar su influencia con transformaciones (aunque dificulta la interpretación de los resultados)

- Utilizar contrastes no paramétricos (son más robustos)


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