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AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán Izcalli

DIVISIÓN DE INGENIERÍA MECATRÓNICA

APUNTES DE MATEMÁTICAS

CURSO PROPEDÉUTICO

ELABORO

ING. JULIO MELÉNDEZ PULIDO

PRESIDENTE DE ACADEMIA

ING. CECILIA VARGAS VELASCO

SECRETARIO DE ACADEMIA

Vo. Bo.

ING. MARÍA DEL CARMEN RODRÍGUEZ PASCUAL

JEFE DE DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y MECATRÓNICA

FECHA: 05/02/16, Segunda versión


INGENIERÍA MECATRÓNICA 2016-1 2

Contenido

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS .......................................................................................... 3

1.1 Notación y terminología .................................................................................................... 3

1.2 OPERACIONES CON POLINOMIOS ............................................................................ 4

2.0 EXPONENTES Y RADICALES ........................................................................................... 8

2.1 Exponentes ........................................................................................................................ 8

Casos especiales: ............................................................................................................... 8

Ejemplos: .............................................................................................................................. 8

Para a diferente de 0: ........................................................................................................ 10

2.2 Radicales ......................................................................................................................... 11

2.3 Racionalización ............................................................................................................... 12

3.0 ECUACIONES DE PRIMER GRADO ............................................................................... 13

3.1 Solución de una ecuación de primer grado con una incógnita: .................................. 13

3.2 Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas .................................... 17

4.0 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION ........................................................... 23

4.1 Productos Notables......................................................................................................... 23

4.2 Factorización ................................................................................................................... 28

5.0 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ........................................................................... 50

5.1 Factorización: .................................................................................................................. 52

5.1 Por fórmula general: ........................................................................................................... 53

5.2 Por el método gráfico: .................................................................................................... 54

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................ 58



1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1 Notación y terminología

Notación literal.

Además de los números usados en aritmética, en el álgebra se usan letras, una letra puede

representar cualquier número conocido o desconocido o cualquier intervalo numérico; los números

representados por letras se llaman literales.

Ejemplo:

3x + 4 = 5

x en Q / -3 < x < 2

Coeficiente.

En la expresión 7xy, 7, x, y, son factores. Las literales de un producto como x, y se llaman factores

literales. Comúnmente, el factor numérico 7 se llama coeficiente de los otros valores, pero, en

forma más general, cualquier factor o factores pueden considerarse como el coeficiente de los

factores restantes; así, en 7xy, 7x es el coeficiente de y y 7y es el coeficiente de x.

Ejemplo:

-5a -5 es el coeficiente numérico y a es la literal

a 1 es el coeficiente numérico y a es la literal.

Expresiones algebraicas.

El signo + o — separan una expresión, cada una de estas partes precedida de un signo + o - se

llama término.

Ejemplos:

3x + 2 Los términos son 3x y 2.

6𝑥−2𝑦

𝑦=

6𝑥

𝑦−

2𝑦

𝑦=

6𝑥

𝑦− 2 Los términos son

6𝑥

𝑦 y 2

3x es una expresión de un solo término, por tanto, es un monomio, x2

+ 2x — 6 es una expresión

de tres términos, es decir, es un trinomio.

La palabra polinomio se usa para indicar una expresión de dos o más términos.



1.2 OPERACIONES CON POLINOMIOS

LEYES DE SIGNOS tiene es un valor positivo (300 pesos) y los 800 pesos son los

PARA LA SUMA

(( + ) + ( + ) = +

(( + ) + ( - ) = se efectúa la suma algebraica y se coloca el signo del sumando mayor

(( - ) + ( + ) = se efectúa la suma algebraica y se coloca el signo del sumando mayor

(( - ) + ( - ) = -

PARA LA RESTA

Para hallar la diferencia entre dos números relativos se suma el minuendo al sustraendo cambiándole el

signo:

( + 8 ) - ( + 4 ) = ( + 8 ) + ( - 4 ) = + 4

( + 8 ) - ( - 4 ) = ( + 8 ) + ( + 4 ) = + 12

( - 8 ) - ( + 4 ) = ( - 8 ) + ( - 4 ) = - 12

( - 8 ) - ( - 4 ) = (( - 8 ) + ( + 4 ) = - 4

PARA LA MULTIPLICACIÓN

( + ) X ( + ) = +

( + ) X ( - ) = -

( - ) X ( + ) = -

( - ) X ( - ) = +

PARA LA DIVISION

(( + ) ÷ ( + ) = +

(( + ) ÷ ( - ) = -

(( - ) ÷ ( + ) = -

(( - ) ÷ ( - ) = +

Signos de agrupación

Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben

considerarse como una sola cantidad. Existen cuatro signos de agrupación: el paréntesis ( ),

el corchete [ ], las llaves { } y el vínculo o barra .

Regla general para suprimir signos de agrupación:

1. Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo +, se deja el mismo signo que tengan

cada una de las cantidades que están dentro de él.

2. Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo –, se deja cambia el signo que

tengan cada una de las cantidades que están dentro de él.



3. Cuando los signos de agrupación están incluidos dentro de otros, se suprimen uno en cada

paso, empezando por el más interior.

Ejemplo 1:

Obtén el resultado de la suma de polinomios (5 ) 4(3 ) 3a b a b a b

(5 ) 4(3 ) 3a b a b a b

5 12 4 3a b a b a b

5 12 4 3a b a b a b

Ejemplo 2:

¿Cuál es el resultado de la siguiente operación entre polinomios?

(2 ) 4(2 ) 4 6y z y z y z

(2 ) 4(2 ) 4 6y z y z y z =

2 8 4 4 6y z y z y z

2 8 4 4 6y z y z y z

Ejemplo 3:

Realiza la siguiente resta de polinomios 6(2 ) 8(3 ) 5( 7 )m n m n m n

6(2 ) 8(3 ) 5( 7 )m n m n m n

6(2 ) 24 8 5 35m n m n m n

6(2 ) 24 8 5 35m n m n m n

12 6 24 8 5 35m n m n m n

Operaciones con polinomios

14 2a b

10 11y z

41 33m n



Para realizar operaciones con polinomios agrupan los términos semejantes y se aplican las leyes

de signos correspondientes para simplificar términos, lo coeficientes de cada término siguen las

reglas de las operaciones aritméticas.

Ejemplo 1:

Dada la siguiente operación entre polinomios 2 3 2 3 2 3(7 ) 2(3 ) 2(4 )a b a b a b obtener el

resultado.

2 3 2 3 2 3(7 ) 2(3 ) 2(4 )a b a b a b

2 3 2 3 2 37 6 2 8 2 )a b a b a b

Ejemplo 2:

Reduce los términos semejantes de la expresión 3 3 3 315 16 13 10ab a b b a ba

Se identifican términos semejantes

2 3

3 3 4

4

5 ?2

7

x y z

x y z

Se suman los términos semejantes

3 3 315 13 28ab b a ab

3 3 316 10 6a b ba a b

Ejemplo 3:

Resuelve la siguiente operación 2 22 (6 5 )x xy xy x

2 22 (6 5 )x xy xy x

2 22 6 5x xy xy x

Ejemplo 4:

2 35 3a b

3 3 3 3 3 315 16 13 10 28 6ab a b b a ba ab a b

23 7x xy



¿Qué resultado obtienes de la resta 5 6 (6 )a b a ?

5 6 (6 )a b a

5 6 6a b a

5 6 6a b a

9. ¿Cuál es el resultado de la operación 3 3 32 1 3

?3 5 5

a b a b a b

3 3 32 1 3

3 5 5a b a b a b

3 5 32 1 3

3 5 5a b a b a b

3 3 310 3 9

15

a b a b a b

Ejemplo 5:

Selecciona el resultado correspondiente al producto de 2 3 2 5 27 3

( )( )5 4

a b z a b z

2 3 2 5 27 3( )( )

5 4a b z a b z

2 2 3 5 1 27 3( )( )

5 4a b z

Ejemplo 6:

11 6a b

316

15

a b

4 8 321

20a b z



¿Cuál es el cociente de

2 3

3 3 4

4

5 ?2

7

x y z

x y z

2 3

3 3 4

4

52

7

x y z

x y z

2 3 3 3 1 44 7

5 2

xx y z

x

2.0 EXPONENTES Y RADICALES

2.1 Exponentes

Si n es un entero positivo, la notación exponencial an, representa el producto del número real a

multiplicado n veces por si mismo. La expresión an se lee a a la enésima potencia o simplemente a

a la n. El entero positivo se llama exponente y el número real a, base. Entonces podemos

generalizar: (recordemos que n es cualquier entero positivo).

Casos especiales:

Ejemplos:

1 314

5

x z

1 0 328

10x y z



Una vez que hemos conocido lo anterior llegamos a los siguientes teoremas, que comúnmente son

llamados leyes de los exponentes.

Si m y n son enteros positivos, entonces

Ejemplos:



Las leyes de los exponentes pueden generalizarse:

¿Qué sucede si los exponentes no son positivos?

Exponente cero y negativo

Para a diferente de 0:

Ejemplos:

El teorema que viene es útil para la solución de problemas con exponentes negativos.

Simplificar una expresión donde hay potencias de números reales, significa cambiarla a otra en

que cada número real aparece solo una vez y todos los exponentes son positivos. Teniendo

presente que los denominadores representan números reales diferentes de cero.

Simplificar:

Solución:



Simplificar:

2.2 Radicales

Radicación es la operación inversa a la potenciación .Llamamos raíz n-ésima de un número dado

al número que al elevarlo a n nos da el primero.

La expresión es un radical de índice n: el número n es el índice del radical y el número a es el

radicando.

Potencias de exponente fraccionario:

Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical en el que el denominador de la

fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente del radicando:

Operaciones con radicales:

Multiplicar: para multiplicar radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se multiplican los

radicandos.

Ejemplo:

n a

equivale a nn a b b a

1 m

mnnn na a a a

. .n n na b a b



5 7 35

Dividir: Para dividir radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se dividen los radicandos.

Ejemplo:

2 2

33

Potencia de un Radical

Para elevar un radical a una potencia, se eleva el radicando a dicha potencia.

Radical de un Radical: Para hallar el radical de otro radical se multiplican los índices de ambos.

Para Reducir a común índice: Si se multiplica o divide el índice del radical y el exponente del

radicando por un número natural, se obtiene un radical igual:

2.3 Racionalización

Amplificación y simplificación de radicales: Si se multiplican (amplifican) o dividen (simplifican) el

índice y el exponente de un radical por un mismo número no nulo, el radical que se obtiene es

equivalente al primero.

Los radicales son equivalentes porque los exponentes de las potencias asociadas son

fracciones equivalentes.

n

nn

a a

bb

( )m mnn a a

.n m n ma a

1 2 48 2.2 4 .... nna a a a a

2.2 423 3.2 623 64 4 4 4a

3 62 44 , 4



Reducción a índice común: Reducir a índice común varios radicales consiste en reducir a común

denominador las fracciones exponentes de su expresión como potencia. Ejemplo:

Racionalización: Racionalizar una expresión con radicales en el denominador, por ejemplo ,

consiste en encontrar una expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello

se multiplica el numerador y denominador por una expresión adecuada, en este caso multiplicamos

y dividimos por :

3.0 ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ecuación

Una ecuación es una igualdad en la que intervienen letras, cuyos alores son desconocidos y se

denominan “incógnitas”, las cuales se indican generalmente por las últimas letras del alfabeto.

La ecuación está formada por dos partes llamadas “miembros”, los cuales están separados por el

símbolo de igualdad “=”. Al miembro de la izquierda se le conoce como primer miembro y al de la

derecha como segundo miembro.

4x – 5 = 16 – 3 x

Grado de una ecuación:

El grado de una ecuación queda determinado por el mayor exponente al que está elevada la

incógnita de la ecuación, por ejemplo:

4x – 5 = 16 – 3 x Ecuación de primer grado

7x2 – 4x + 3 = 0 Ecuación de segundo grado

2x3 + x

2 – 18x + 15 = 0 Ecuación de tercer grado

3.1 Solución de una ecuación de primer grado con una incógnita:

1 1.3 1.2 3 21

3 2.3 3. 632 2 36 62 26 63 65 .2 5 .2 5 .25. 2 5 . 2 5 .2 500

1

5

5

2

1 1. 5 5 5

55 5. 5 5

Primer Miembro

Segundo Miembro



Resolver una ecuación, es hallar el valor(es) que adquieren la(s) incógnita(s) para satisfacer una

ecuación, a este valor o estos valores se les llama “solución o raíz de una ecuación”.

Las ecuaciones de primer grado tienen una sola raíz, las de segundo grado dos y así

sucesivamente.

Términos de una ecuación:

Son cada una de las cantidades que estén conectadas con otra por el signo + ó – .

4x – 5 = 16 – 3 x

Los términos son 4x, – 5, 16 y 3x

Transposición de Términos:

1. Si un término que está sumando o restando en un miembro de la ecuación, pasará del otro

lado de la igualdad con signo contrario al que tiene:

5x – 6 = 3x + 4

5x = 3x + 4 + 6

2. Cualquier cantidad que esté dividiendo en un miembro de la ecuación, pasará del otro lado de

la igualdad multiplicando a todo el término:

x12 x

3

x 3(12 x)

3. Cualquier cantidad que esté dividiendo en un miembro de la ecuación pasará al otro lado de la

igualdad multiplicando al todo el término:

2x 13 x

13 xx

2

Axioma fundamental de las ecuaciones

Está restando pasa sumando



Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales, los resultados serán iguales. Esto

significa que si a los dos miembros de una ecuación se le suman, restan, multiplican, dividen, se

elevan a una misma potencia o se le extrae raíz, sin importar si la cantidad es positiva o negativa,

la igualdad no se altera.

Cambio de signos:

Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación se

altere.

Solución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita:

1. Se realizan las operaciones indicadas, si las hay y se simplifica

2. Se agrupan en el miembro izquierdo de la ecuación los términos que contienen a la

incógnita y en el miembro derecho los términos constantes.

3. Se reducen términos semejantes

4. Se despeja la incógnita.

Ejemplo 1:

Encontrar la solución de la siguiente ecuación de primer grado

5x= 35

Despejar “x”.

x= 35 = 7;

5

;

Ejemplo 2:


5x + 2= 37

Despejar “x”;

5x= 37 – 2= 35

x= 35 = 7;

5

Ejemplo 3:


x = 7

x = 7



5x – 2x = 6 +3

3x = 9

x= 9 = 3

3

Ejemplo 4:


7x + 5 = 9x -2

3 2

Despejar “x”;

(7x + 5) (2) = (9x – 2) ( 3)

14x + 10 = 27x – 6

14x – 27x = – 6 – 10

– 13x = – 16

( – 13x = – 16) – 1

13x = 16

Ejemplo 5:


2 1

x 2 x 1

2(x 1) 1(x 2)

2x 2 x 2

2x x 2 2

x = 3

x = 16

13

x = 4



3.2 Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, existen varios métodos,

los que se van a abordar en este capítulo serán:

Método de suma y resta o reducción

Para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, por el método de

suma y resta, se utiliza el siguiente procedimiento:

1. Se multiplica una o las dos ecuaciones por un número negativo o positivo de tal manera que al

sumarlos se elimine una incógnita.

2. Se suman las dos ecuaciones resultantes, se despeja la incógnita y se obtiene su valor

numérico.

3. Se sustituye el valor obtenido de la incógnita en cualquiera de las dos ecuaciones originales y

se despeja a la otra incógnita.

Notas:

1. Para comprobar que los resultados son correctos se sustituyen los valores encontrados de las

incógnitas en las dos ecuaciones originales y si las igualdades se cumplen, los valores son

correctos.

2. Si las ecuaciones son fraccionarias, se convierten a lineales y después se aplica el método.

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con

dos incógnitas

Suma

y

Resta

Determinantes Gráfico



Ejemplos:

1) El sistema de ecuaciones es:

𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟒 … … (𝟏)

𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟑 … … (𝟐)

Solución:

Se multiplica la ecuación (1) por -2 y se suma con la ecuación (2), para eliminar la incógnita "𝒙".

−𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟖 … … (𝟑)

𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟑 … … (𝟒)

Resultando: −𝟓𝒚 = −𝟓

Despejando "𝒚", se obtiene:

𝒚 =−𝟓

−𝟓= 𝟏 … … (𝟓)

Se sustituye (5) en (1) y se obtiene:

𝒙 + 𝟐(𝟏) = 𝟒

Se despeja "𝒙"

𝒙 = 𝟒 − 𝟐 = 𝟐 … … (𝟔)

Por lo tanto la solución es: 𝒙 = 𝟐 𝒚 𝒚 = 𝟏

2) Las ecuaciones son:

𝒙 + 𝒚 = 𝟔𝟎 … … (𝟏)

𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟐𝟎𝟎 … … (𝟐)

Solución:

Se multiplica la ecuación (1) por -4 y se suma con la ecuación (2)

−𝟒𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟐𝟒𝟎 … … (𝟑)

𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟐𝟎𝟎 … … (𝟒)

Resultando: −𝟐𝒙 = −𝟒𝟎



Despejando "𝒙" se obtiene:

𝒙 =−𝟒𝟎

−𝟐= 𝟐𝟎 … … (𝟓)

Se sustituye (5) en (1) y se obtiene:

𝟐𝟎 + 𝒚 = 𝟔𝟎

Se despeja "𝒙"

𝒚 = 𝟔𝟎 − 𝟐𝟎 = 𝟒𝟎 … … (𝟔)

Por lo tanto la solución es: 𝒙 = 𝟐𝟎 𝒚 𝒚 = 𝟒𝟎

Método de Determinantes:

Este método se basa en establecer dos determinantes de segundo orden para encontrar el valor

de las incógnitas (se establece un determinante por cada incógnita).

Determinante de segundo orden

Son cuatro números colocados dentro de un cuadro con rectas verticales a los lados. La posición

de los números será tal que se formen dos filas y dos columnas.

Las filas o renglones se forman por los números que se encuentran en una misma línea horizontal,

las columnas están compuestas por los números que se encuentran en una misma línea vertical.

a b

c d

Segunda fila

Primera

columna

Primera fila

Segunda

columna



La línea que une “a” con “d” se llama diagonal principal y la que une a “c” con “d” diagonal

secundaria. Los términos a, b, c y d se llaman elementos del determinante, cuyo valor es el

producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la

diagonal secundaria.

Ejemplo:

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de

determinantes se utiliza el siguiente procedimiento:

1. El valor de la incógnita “x” será igual a una fracción cuyo numerador será un determinante

en el cual la primera columna tendrá a los términos independientes de cada ecuación

(cada uno en un renglón) y en la segunda columna los coeficientes de “y”. El denominador

que se conoce como determinante del sistema estará formado en la primer columna por

los coeficientes de “x” (cada uno en un renglón) y en la segunda columna los coeficientes

de “y”.

2. El valor de “y” también será una fracción cuyo numerador será un determinante, en el cual

en la primera columna tendrá los coeficientes de “x” y en la segunda el término

independiente. El denominador será igual al determinante del sistema.

Ejemplo 1:

Resolver por determinantes:

𝟕𝒙 + 𝟖𝒚 = 𝟐𝟗 … (1)

𝟓𝒙 + 𝟏𝟏𝒚 = 𝟐𝟔 … (2)

De (1) y (2)

𝒂𝟏=𝟕; 𝒂𝟐 = 𝟓; 𝒃𝟏 = 𝟖; 𝒃𝟐 = 𝟏𝟏; 𝒄𝟏 = 𝟐𝟗; 𝒄𝟐 = 𝟐𝟔;

Y aplicando (3) y (4)

𝒙 =|𝟐𝟗 𝟖𝟐𝟔 𝟏𝟏

|

|𝟕 𝟖𝟓 𝟏𝟏

|=

𝟑𝟏𝟗−𝟐𝟎𝟖

𝟕𝟕−𝟒𝟎=

𝟏𝟏𝟏

𝟑𝟕= 𝟑

a b

c d

8 9

3 5

Diagonal principal

= ad – cd

Diagonal secundaria

= (8)(– 5 ) – (3)(9) = – 40 – 27 = – 67



𝒚 =|𝟕 𝟐𝟗𝟓 𝟐𝟔

|

|𝟕 𝟖𝟓 𝟏𝟏

|=

𝟏𝟖𝟐−𝟏𝟒𝟓

𝟕𝟕−𝟒𝟎=

𝟑𝟕

𝟑𝟕= 𝟏

Entonces: 𝒙 = 𝟑 𝒚 𝒚 = 𝟏

Ejemplo 2:

𝟏𝟓𝒙 − 𝟒𝟒𝒚 = −𝟔 . . . (1)

−𝟐𝟕𝒙 + 𝟑𝟐𝒚 = −𝟏 . . . (2)

De (1) y (2)

𝒂𝟏=𝟏𝟓; 𝒂𝟐 = −𝟐𝟕; 𝒃𝟏 = −𝟒𝟒; 𝒃𝟐 = 𝟑𝟐; 𝒄𝟏 = −𝟔; 𝒄𝟐 = −𝟏;

Y aplicando (3) y (4)

𝒙 =|−𝟔 −𝟒𝟒−𝟏 𝟑𝟐

|

| 𝟏𝟓 −𝟒𝟒−𝟐𝟕 𝟑𝟐

|=

−𝟏𝟗𝟐−𝟒𝟒

𝟒𝟖𝟎−𝟏𝟏𝟖𝟖=

−𝟐𝟑𝟔

−𝟕𝟎𝟖=

𝟏

𝟑

y

𝒚 =| 𝟏𝟓 −𝟔−𝟐𝟕 −𝟏

|

| 𝟏𝟓 −𝟒𝟒−𝟐𝟕 𝟑𝟐

|=

−𝟏𝟓−𝟏𝟔𝟐

𝟒𝟖𝟎−𝟏𝟏𝟖𝟖=

−𝟏𝟕𝟕

−𝟕𝟎𝟖=

𝟏

𝟒

Entonces:

𝒙 =𝟏

𝟑 𝒚 𝒚 =

𝟏

𝟒

Método Gráfico

Como estamos tratando sistemas lineales, las gráficas de las ecuaciones son dos rectas.

Ejemplo 1:

Resolver gráficamente el sistema:

𝒙 − 𝒚 = 𝟏

𝒙 + 𝒚 = 𝟕

Hay que hallar la intersección de estas dos rectas en una gráfica:



Resolver gráficamente el sistema:

5𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟎

𝟕𝒙 − 𝒚 = −𝟏𝟔

Hay que hallar la intersección de estas dos rectas en una gráfica:

( 4, 3 )

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

( -3, -5 )

- 30/1

- 20/1

- 10/1

0/1

10/1

20/1

30/1

40/1

50/1

60/1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

7x - y = -16

5x - 3y = 0

La intersección es el punto ( -3, -5 ). Por lo tanto la solución del sistema es: x= -3 y y= -5

-x

x

La intersección es el punto

(4,3). Por lo tanto la solución

del sistema es: x=4 y y=3

-x

-f(x)

f(x)

x + y = 7

x - y = 1

x

-f(x)

f(x)



4.0 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

4.1 Productos Notables

Dentro de la multiplicación algebraica existen algunos productos que pueden ser desarrollados en

forma directa, debido a que cumplen con ciertas reglas fijas, y su resultado puede ser escrito por

inspección, sin que se necesite multiplicar término a término primero y luego reducir. Estos

productos se conocen como productos notables y son:

Binomio conjugado

Son dos factores cuyos términos son iguales, solo difieren del signo, y su producto será igual al

cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Productos

Notables

Cuadrado de

un binomio

Cubo de un

binomio

Potencia de

un binomio

de la forma

(a ± b)n

Binomios

conjugados

Binomios

con término

común

Igual

Igual



2 2

2 2 2 4 21 2 1 2 1 2 1 4x y x y x y x y

3 5 3 5 3 5 9 25

Ejemplo 3:

2 2

n 1 m n 1 3m n 1 3m 2n 2 6m5a 3a 5a 3a 5a 3a 25a 9a

Binomio con término común

Son dos factores que tienen un término en común y su producto es igual al cuadrado del término

común más el producto del término común por la suma de los términos no comunes y más el

producto de los términos no comunes:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

2 2(x 7)(x 4) x (7 4)x (7)( 4) x 3x 28

Ejemplo 3:

2 2(x 6)(x 2) x (7 4)x ( 6)( 2) x 8x 12

Cuadrado de un binomio

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el producto del

primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

igual



Ejemplo 1:

2 2 2

2 2

2a 3b 2a 2 2a 3b 3b

4a 12ab 9b

Ejemplo 2:

2 2 2

n 1 n 2 n 1 n 1 n 2 n 2

2n 2 n 1 n 2 2n 4

x y x 2 x y y

x 2x y y

Ejemplo 3:

2 2

23 2 5 3 3 2 5 2 5

6 3 2 5 4 10

1 1 1x 3y x x 2 x 3y x 3y x

2 2 2

1 x 3x y x 9y x

4

Cubo de un binomio

El cubo de un binomio es igual cubo del primer término más (o menos) el triple producto del

cuadrado del primer término por el segundo, más el triple del primer término multiplicado por el

cuadrado del segundo, más (o menos) el cubo del segundo término

Ejemplo 1:

3 3 2 2 3

3 3 2 2

3 3 2 2

3xy 2 3xy 3 3xy 2 3 3xy 2 2

27x y 3 9x y 2 3 3xy 4 8

27x y 54x y 36xy 8



Ejemplo 2:

3 3 2 2 33 3 3 3

9 6 3 2 3

9 6 3 2 3

3x y 3x 3 3x y 3 3x y y

27x 3 9x y 3 3x y y

27x 27x y 9x y y

Ejemplo 3:

3 3 2 2 32n m 2n 2n m 2n m m

6n 4n m 2n 2m 3m

6n 4n m 2n 2m 3m

x y 3x 3 3x y 3 3x y y

27x 3 9x y 3 3x y y

27x 27x y 9x y y

Potencia de un binomio de la forma n

a b . Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal nos permite elevar un binomio a cualquier potencia, directamente, sin tener

que hallar las potencias anteriores. Este método se divide en dos partes, primero se encuentran los

coeficientes del desarrollo del binomio de cualquier potencia y después se encuentran los factores

literales, el producto de cada coeficiente y de cada factor literal formará cada uno de los términos

del desarrollo del binomio.

Coeficientes del binomio

Los coeficientes de los términos del desarrollo del binomio, se obtienen utilizando el triángulo de

Pascal. La manera de formar el triángulo es de la siguiente forma:

1. Comienza y termina con 1

2. En la segunda fila horizontal se coloca 1,

espacio 1

3. En la tercera fila y en las siguientes se

empieza por 1 y cada número posterior se

obtiene sumando en la fila anterior el primer

número con el segundo, el segundo con el

tercero, el tercero con el cuarto y así

sucesivamente y se termina con uno.

4. La primera fila corresponde a los coeficientes

de 0

a b

5. La segunda fila corresponde a los



coeficientes de 1

a b

6.

7. La tercera fila corresponde a los coeficientes

de 2

a b

8. La fila n-ésima da los coeficientes de

n 1

a b

El triángulo de pascal para el valor n = 10 queda de la siguiente manera:

Los factores de las literales se obtienen de la siguiente manera:

1. El primer factor de n

a b debe contener n a términos

2. El primer factor literal es na , el segundo es

n 1 1a b, el tercer término es

n 2 2a by así

sucesivamente. El grado del término “a” decrece medida que el término del grado “b” aumenta

hasta llegar a nb .

3. Cada término se forma con el coeficiente numérico obtenido del triángulo de Pascal y el factor

literal señalado en el puto anterior.

4. Si el binomio es de la forma n

a b , todos los signos de los términos del desarrollo del

binomio, serán positivos



5. Si el binomio es de la forma n

a b , los signos de los términos del desarrollo del binomio se

alternarán +, – , empezando con el signo positivo

6. En el triángulo de pascal el segundo número de la fila horizontal indica el exponente “n” del

binomio

Ejemplo 1:

(a + 2b)6 = 𝟏𝐚𝟔 + 𝟔𝐚𝟓(𝟐𝐛) + 𝟏𝟓𝐚𝟒(𝟐𝐛)𝟐 + 𝟐𝟎𝐚𝟑(𝟐𝐛)𝟑 + 𝟏𝟓𝐚𝟐(𝟐𝐛)𝟒 + 𝟔𝐚(𝟐𝐛)𝟓 + 𝟏(𝟐𝐛)𝟔

(a + 2b)6 = 1a6 − 12a5b + 15a4(4b2) − 20a3 (8b3) + 15a2(16b4) − 6a(32b5) + 1(64b6)

(𝐚 + 𝟐𝐛)𝟔 = 𝐚𝟔 + 𝟏𝟐𝐚𝟓𝐛 + 𝟔𝟎𝐚𝟒𝐛𝟐 + 𝟏𝟔𝟎𝐚𝟑𝐛𝟑 + 𝟐𝟒𝟎𝐚𝟐𝐛𝟒 + 𝟏𝟗𝟐𝐚𝐛𝟓 + 𝟔𝟒𝐛𝟔

Ejemplo 2:

(2x3 − 3y4)5 = 𝟏(𝟐𝐱𝟑)𝟓 − 𝟓(𝟐𝐱𝟑)𝟒(𝟑𝐲𝟒) + 𝟏𝟎(𝟐𝐱𝟑)𝟑(𝟑𝐲𝟒)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟐𝐱𝟑)𝟐(𝟑𝐲𝟒)𝟑 + 𝟓(𝟐𝐱𝟑)(𝟑𝐲𝟒)𝟒

− 𝟏(𝟑𝐲𝟒)𝟓

(2x3 − 3y4)5 = 1 (32x15) − 5(16x12)(3y4) + 10(8x9)(9y8) − 10(4x6)(27y12) + 5(2x3)(81y8)

− 1(243y20)

(2x3 − 3y4)5 = 𝟑𝟐𝐱𝟏𝟓 – 𝟐𝟒𝟎𝐱𝟏𝟐𝐲𝟒 + 𝟕𝟐𝟎𝐱𝟗𝐲𝟖 − 𝟏𝟎𝟖𝟎𝐱𝟔𝐲𝟏𝟐 + 𝟖𝟏𝟎𝐱𝟑𝐲𝟖 − 𝟐𝟒𝟑𝐲𝟐𝟎

4.2 Factorización

El proceso inverso de desarrollar una multiplicación es la factorización. Factorizar una expresión

algebraica (suma de términos algebraicos), consiste en escribirla en forma de multiplicación, para

lo cual se debe identificar a los factores comunes a todos los términos y agruparlos. Los factores

comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión

algebraica y pueden ser números o literales. Existen varios métodos de factorización

dependiendo del tipo de expresión algebraica que se tenga, los más utilizados son:



FACTOR COMUN

En este tipo de expresiones todos los términos presentan un monomio factor común, que puede

ser una literal, o bien un coeficiente. La ley distributiva de la multiplicación permite expresar estos

términos como un producto de dos factores, donde uno de ellos es el monomio factor común. Para

llevar a cabo este tipo de factorización se utiliza el siguiente procedimiento:

1. Determinar el máximo común denominador de todos los coeficientes presentes en la

expresión algebraica

2. Identificar la(s) literal(es) que se repiten en cada uno de los términos y escoger la de menor

potencia

3. El coeficiente y literal seleccionadas en los pasos anteriores será el monomio factor común

4. Aplicando la ley distributiva escribir la expresión algebraica como una multiplicación

Ejemplo 1:

Factorizar: 2 38a b 32a c 24a

1. En la expresión algebraica que se quiere factorizar encontramos que los coeficientes de los

tres términos son 8, 32 y 24, su mínimo común denominador es

Factorización

Factor común Por

agrupación Diferencia de

cuadrados Trinomio de

la forma

Trinomio cuadrado perfecto

Completar trinomio cuadrado perfecto

x2 + bx + c ax2 + bx + c

Diferencia de cubos

División sintética

8 2

32 2 24 2

4 2 16 2 12 2

2 2 8 2 6 2

1 4 2 3 3



El factor que aparece en los tres coeficientes es el 2, y su potencia mínima es 3, por lo tanto máximo factor común es 2

3 = 8

2. La literal que aparece en los tres términos es la letra “a” y la de menor potencia es “a”, por lo

que esta será la literal factor común.

3. Podemos concluir que el monomio factor común es 8a.

4. Dividir cada término entre 8a y después aplicar la ley distributiva: 2 3

2 3 28a b 32a c 24a8a b 32a c 24a ab 4a c 3

8a 8a 8a

5. El término factorizado queda de la siguiente manera

28a ab 4a c 3

Ejemplo 2:

Factorizar 3 2 4 2 5 316x y 24x y z 40x y b

1. En la expresión algebraica que se quiere factorizar se encuentra que los coeficientes de los

tres términos son 16, 24 y 40, su mínimo común denominador es

8 = 23 2 2 1

1 24 = 3 x 23

32 = 25

16 2 24 2 40 2

8 2

12 2 20 2

4 2 6 2 10 2



El factor que aparece en los tres coeficientes es el 2, y su potencia mínima es 3, por lo tanto máximo factor común es 2

3 = 8

2. La literal que aparece en los tres términos es la letra “x” y “y”, la de menor potencia de “x”

es “x3”, y la de menor potencia de “y” es “y

2”, por lo que esta será la literal factor común.

3. Se puede concluir que el monomio factor común es 8x

3y

2.

4. Dividir cada término entre 8ª y después aplicaremos la ley distributiva:

3 2 4 2 5 3

3 2 4 2 5 3 2

3 2 3 2 3 2

16x y 24x y z 40x y b16x y 24x y z 40x y b = 2 3xz 5x yb

8x y 8x y 8x y

5. El término factorizado queda de la siguiente manera

3 2 2 8x y 2 3xz 5x yb

Factorización por agrupación

Cuando un polinomio consta de cuatro términos, y no tienen un mismo factor en común, en

algunas ocasiones éstos pueden factorizarse mediante un arreglo que consiste en reescribir dicha

expresión algebraica como dos binomios, agrupando adecuadamente los términos, para explicar

este método se utilizarán los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1:

Factorizar: ax bx ay by

1. Se observa que los dos primeros términos tienen en común a la literal “x” y los dos último

términos a la literal “y”, vamos a agrupar estos términos de la siguiente forma:

2 2 3 3 5 5

1 1 1

8 = 24 24 = 3 x 2

3 40 = 5 x 2

3



ax bx ay by

2. Factorizar cada uno de los términos:

x a b y a b

3. Se puede observar que estos dos términos tienen ahora un factor en común que es (a + b),

finalmente se vuelve a factorizar:

x y a b

Ejemplo 2:

Factorizar: 23m 6mn 4m 8n

1. Se puede observar que los dos primeros términos tienen en común a la literal “m” y al

coeficiente 3, mientras que los dos últimos términos tienen como factor al coeficiente 4, vamos

a agrupar estos términos de la siguiente forma:

23m 6mn 4m 8n


3m m 2n 4 m 2n

3. Se puede observar que estos dos términos tienen ahora un factor en común que es (m – 2n),

entonces finalmente volvemos a factorizar:

3m 4 m 2n

Ejemplo 3:

Factorizar: 22x 3xy 4x 6y



1. Se puede observar que los dos primeros términos tienen en común a la literal “x”, mientras que

los dos últimos términos tienen como factor al coeficiente 2, vamos a agrupar estos términos

de la siguiente forma:

22x 3xy 4x 6y


x 2x 3y 2 2x 3y

3. Se puede observar que estos dos términos tienen ahora un factor en común que es (2x – 3y),


x 2 2x 3y

NOTA:

El ejemplo 3 también se puede resolver de la siguiente forma

Factorizar: 22x 3xy 4x 6y

1. Se puede que el primero y tercer término tienen en común a la literal “x”, y al coeficiente 2,

mientras que el segundo y cuarto término tiene como factor común a la literal “y” y al

coeficiente 3, vamos a agrupar estos términos de la siguiente forma:

22x 4x 3xy 6y


2x x 2 3y x 2

3. Se puede observar que estos dos términos tienen ahora un factor en común que es (x – 2 ),


x 2 2x 3y

el resultado es el mismo

Factorización de una diferencia de cuadrados

Si recordamos que al multiplicar dos binomios conjugados, el producto de éstos es una diferencia

de cuadrados, por lo tanto si lo expresamos de forma inversa, estaremos factorizando una

diferencia de cuadrados:

El método para llegar a esta factorización es extraer la raíz cuadrada del primero y segundo

término y multiplicar la suma de estas raíces por su diferencia



Ejemplo 1:

Factorizar 2 416x 25y

2 4 2 2

2

4 2

16x 25y 4x 5y 4x 5y

16x 4x

25y 5y

Ejemplo 2:

Factorizar

2 6a 9b

4 25

2 6 3 3

2

6 3

a 9b a 3b a 3b

4 25 2 5 2 5

a a

4 2

9b 3b

25 5

Ejemplo 3:

Factorizar 2n 6m 24a 9b

2n 6m 2 n 3m 1 n 3m 1

2n n

6m 2 3m 1

4a 9b 2a 3b 2a 3b

4a 2a

9b 3b

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto



Antes de estudiar este método definamos lo que es un trinomio cuadrado perfecto: Un trinomio

cuadrático es perfecto cuando es el producto del binomio al cuadrado, así el trinomio

2 2a 2ab b es cuadrado perfecto porque resulta de elevar 2

a b

Cuando se requiere factorizar un trinomio cuadrado perfecto, es recomendable, verificar si lo es,

este trinomio debe cumplir con dos características:

1. Las literales del primero y tercer término deben tener raíz cuadrada exacta

2. El segundo término debe ser igual a:

segundo término = 2ab

Ejemplo 1:

Factorizar 2 24x 20xy 25y

1. Verificar si es trinomio cuadrado perfecto

2.

2 2

2 2

2

2

4x 20xy 25y

a b

4x 2x

25y 5y

El segundo término debe ser igual a 2ab

2ab 2 2x 5y 20xy

3. Factorizar

22 2

22 2

a 2ab + b = a b

4x 20xy 25y 2x 5y

Igual al segundo término, si es trinomio cuadrado

perfecto

mismo signo



Ejemplo 2:

Factorizar 2 225a 40ab 16b

4. Verificar si es trinomio cuadrado perfecto

2 2

2 2

2

2

25a 40 b 16b

a b

25a 5a

16b 4b


2ab 2 5a 4b 40ab

a

5. Factorizar

2

2 2

2 2 2

a 2ab + b = a b

25a 40 b 16b (5a 4b)

a

Factorización completando el trinomio cuadrado perfecto

En algunas ocasiones el trinomio no está completo, puede faltar el segundo o tercer término o bien

no están completas, en estos casos se puede completar el trinomio de la siguiente forma:

Igual al segundo término, si es trinomio cuadrado

perfecto

mismo signo



Caso No.1: Se tiene una suma de cuadrados, falta el segundo término

Para completar el trinomio se utiliza el siguiente procedimiento:

1. Determinar cuál sería el segundo término y sumarlo y restarlo a la expresión para que no se

altere, para ello utilizaremos la siguiente fórmula

segundo término = 2ab

2. La expresión resultante es una diferencia de cubo que se puede factorizar fácilmente.

Ejemplo 1:

Completar el trinomio cuadrado perfecto y factorizar la siguiente expresión algebraica:

4 4a 4b

1. Calcular del segundo término

4 4

4 2

4 2

2 2 2 2

a 4b

a a

4b 2b


2ab 2 a 2b 4a b

2. Sumar y restar el segundo término

4 4 2 2 2 2a 4b 4a b 4a b

3. Agrupar términos

4 2 2 4 2 2a 4a b 4b 4a b

4. Factorizar el trinomio

2

2 2 2 2a b 4a b



5. Factorizar la diferencia de cuadrados

2

2 2 2 2 2 2 2 2a b 4a b a b 2ab a b 2ab

6. Finalmente la expresión algebraica queda de la siguiente forma:

4 4 2 2 2 2a 4b a b 2ab a b 2ab

Ejemplo 2:

Completar el trinomio cuadrado perfecto y factorizar la siguiente expresión algebraica:

4x 9

1. Calcular del segundo término

4

4 2

2 2

x 9

x x

9 3


2ab 2 x 3 6x

2. Sumar y restar el segundo término

2 2 2x 9 6x 6x

3. Agrupar términos

4 2 2x 6x 9 6x


2

2x 3 6x




2

2 2 2 2x 3 6x x 3 6x x 3 6x

6. Finalmente la expresión algebraica queda de la siguiente forma:

4 2 2x 9 x 3 6x x 3 6x

Caso No.2: Si se tiene el primero y segundo término o el trinomio no es perfecto

En este caso se debe calcular el tercer término mediante la siguiente fórmula:

2

2ndo.términoTercer término =

2 1er.término

El procedimiento se explica con los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1:

Completar el siguiente trinomio para que sea perfecto y factorizar: 2 2a 6ab 16b

1. Verificar si el trinomio es cuadrado perfecto, este paso lo omitiremos, para cualquier duda

consultar el tema 3.4.2.4

2. Calcular el tercer término

2 2

22 22

2

2

a 6ab 16b

2ndo.término 6ab 6abTercer término = 3b 9b

2a2 1er.término 2 a

3. Sumar y restar el tercer término

2 2 2 2a 6ab 16b 9b 9b



4. Agrupar los dos primeros términos

2 2 2 2

2 2 2

a 6ab 9b 16b 9b

a 6ab 9b 25b


2

2a 3b 25b


22a 3b 25b a 3b 5b a 3b 5b

= a 3b 5b a 3b 5b

= a 8b a 2b

7. La expresión algebraica factorizada queda:

2 2a 6ab 18b a 8b a 2b

Ejemplo 2:

Completar el siguiente trinomio para que sea perfecto y factorizar: 2x 4x

1. Calcular el tercer término

2

22 22

2

x 4x

2ndo.término 4x 4xTercer término = 2 4

2x2 1er.término 2 x

2. Sumar y restar el tercer término

2x 4x 4 4

3. Agrupar los dos primeros términos

2x 4x 4 4


2

x 2 4




2

x 2 4 x 2 2 x 2 2

x 2 2 x 2 2

= x 4 x

6. La expresión algebraica factorizada queda

2x 4x x x 4

Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c

Para que un trinomio sea de la forma x2 + bx + c se debe cumplir con las siguientes condiciones:

a) El coeficiente del primer término debe ser 1 y la literal(es) debe(n) tener raíz cuadrada

exacta

b) El segundo término tiene la misma literal que el segundo y tercero pero su exponente es la

mitad de éstos.

c) El tercer término puede tener cualquier coeficiente, pero su literal(es), si la tiene(n) debe(n)

tener raíz cuadrada exacta.

Para factorizar este tipo de expresiones se utiliza el siguiente método:

1. Ordenar el trinomio en forma decreciente respecto a una de las literales

2. Abrir dos paréntesis cuyo primer término será la raíz cuadrada del primer término del trinomio

3. Descomponer el coeficiente del tercer término en dos factores que sumados de cómo resultado

el coeficiente del tercer término y multiplicados el coeficiente del tercer, estos factores se

colocan como segundos términos dentro de los paréntesis.

Ejemplo 1:

Factorizar 2x 7x 12

1. Ordenar el trinomio en forma decreciente respecto a una de las literales 2x 7x 12

2. Abrir dos paréntesis cuyo primer término será la raíz cuadrada del primer término del trinomio

2x 7x 12 x x

3. Descomponer el coeficiente del tercer término en dos factores que sumados de cómo

resultado el coeficiente del tercer término y multiplicados el coeficiente del tercer, estos

factores se colocan como segundos términos dentro de los paréntesis.



Factores de 12

2x 7x 12 x+4 x 3

Ejemplo 2:

Factorizar 2 2x 180y 3xy

1. Ordenar el trinomio en forma decreciente respecto a una de las literales

2 2x 3xy 180y

2. Abrir dos paréntesis cuyo primer término será la raíz cuadrada del primer término del trinomio.

Si el tercer término tiene literal, también se le extrae su raíz cuadrada y solo quedará pendiente

el coeficiente que la acompañará

2 2x 3xy 180y x y x y

3. Descomponer el coeficiente del tercer término en dos factores que sumados de cómo

resultado el coeficiente del tercer término y multiplicados el coeficiente del tercer, estos

factores se colocan como segundos términos dentro de los paréntesis.

Factores de 180

2x 3x 180 x+12 x 15

Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c

4 + 3 = 7

4 x 3 = 12

12 – 15= – 3

12 x – 15 = – 180

12

x

12 1

6 2

4 3

180

x

90 2

60 3

45 4

36 5

30 6

20 9

18 10

15 12



Para que un trinomio sea de la forma ax2 + bx + c debe cumplir con las siguientes condiciones:

a) El coeficiente del primer término debe ser diferente a 1 y la literal(es) que lo acompaña(n)

debe(n) tener raíz cuadrada exacta

b) El segundo término tiene la misma literal que el segundo y tercero pero su exponente es la

mitad de éstos.

c) El tercer término es diferente al primero y segundo, su coeficiente puede ser cualquier

número real y su literal(es) debe(n) tener raíz cuadrada exacta

Para explicar el método de factorización de este tipo de expresiones se utilizarán los siguientes

ejemplos:

Ejemplo 1:

Factorizar 26x 7x 3

1. Multiplicar el coeficiente del primer término por el del tercero y el resultado se sustituye en

lugar del tercer término:

26x 7x 3

26x 7x 18

2. Descomponer el trinomio en dos factores cuyo primer término sea el producto del coeficiente

del primer término por la raíz cuadrada de su literal.

26x 7x 18 6x 6x

3. Buscar dos números que multiplicados den el tercer término, es decir 18 y sumados el

segundo, 7.

26x 7x 18 6x 9 6x 2

4. Dividir la expresión entre el coeficiente del primer término del polinomio original, pero

descomponiéndolo en dos factores que sean divisibles entre los coeficientes de los paréntesis

obtenidos en el paso anterior.

6 x 3 = 18

12

x

18 1

9 2

6 3



2

6x 9 6x 2 6x 7x 18 2x 3 3x 1

3 x 2

Ejemplo 2:

Factorizar 220x 7x 6

1. Multiplicar el coeficiente del primer término por el del tercero y el resultado se sustituye en

lugar del tercer término:

220x 7x 6

220x 7x 120

2. Descomponer el trinomio en dos factores cuyo primer término sea el producto del coeficiente

del primer término por la raíz cuadrada de su literal.

220x 7x 120 20x 20x

3. Buscar dos números que multiplicados den el tercer término, es decir 18 y sumados el

segundo, 7.

220x 7x 120 20x +15 20x 8

4. Dividir la expresión entre el coeficiente del primer término del polinomio original, pero

descomponiéndolo en dos factores que sean divisibles entre los coeficientes de los paréntesis

obtenidos en el paso anterior.

6

x

6 1

3 2

20 x 6 = 120

120

x

120 1

60 2

40 3

30 4

20 6

15 8



220x +15 20x 8

20x 7x 120 4x 3 5x 2 5 x 4

Factorización de una diferencia de cubos

La suma o diferencia de cubos son dos términos cuyas literales que tienen raíz cúbica exacta,

separados por un signo positivo o negativo.

Ejemplo 1:

Factorizar: 3x 8

3 2

3 3

3

x 8 x 2 x 2x 4

x x

8 2

Ejemplo 2:

Factorizar: 38x 27

3 2

3 3

3

8x 27 2x 3 4x 6x 9

8x 2x

27 3

Factorización por división sintética

En algunas ocasiones el polinomio que se desea factorizar es de un grado mayor o igual a 3, y no

se pueden emplear los ya vistos, sin embargo es posible factorizarlo, empleando la división

20

x

20 1

10 2

5 4



sintética y una vez que el polinomio ya sea de segundo grado, entonces se pueden utilizar los

métodos anteriores. A continuación e explica el procedimiento de la división sintética:

1. Se ordena el polinomio en forma decreciente de acuerdo con las potencias de la variable x, sin

omitirse los coeficientes cero.

2. Determinar las posibles raíces del polinomio, las cuales serán identificadas con la letra “a”

Para determinar las raíces del polinomio se deben considerar los factores p y q, donde q es el

coeficiente del término que contiene a la “x” con mayor exponente y p, es el término

independiente, todas las posibles combinaciones de p/q, serán las posibles raíces del

polinomio.

Ejemplo:

Sea polinomio

4 3 22x 3x 14x 2x 4

p = 2, los factores de p son ± 1 y ± 2 y ± 4

q = 4, los factores de q son ± 1, ± 2

Por lo tanto las posibles raíces son:

p 1 2 4 1 2 4± , ± , ± , ,± , ±

q 1 1 1 2 2 2

p 1±1, ±2, ±4, ,±1, ±2

q 2

p 1±1, ±2, ±4,

q 2

3. Colocar los coeficientes del polinomio con sus respectivos signos en un renglón, incluyendo

los que son igual a cero. Dejar un renglón vacio y trazar una línea horizontal

4. Colocar el valor de “a”, en el extremo derecho de la primera fila, recordar que este valor(es)

son las posibles raíces del polinomio, determinadas el paso 2.

5. Bajar el primer coeficiente hasta el tercer renglón (debajo de la línea horizontal) y se

multiplicarlo por el valor de “a”, el resultado se coloca debajo del segundo coeficiente en el

renglón vacio y hacer la simplificación algebraica colocando el resultado en la columna del

segundo coeficiente, pero debajo de la línea horizontal (tercer renglón), este resultado se

vuelve a multiplicar por el término independiente “a” y así sucesivamente hasta el último

p = 4 q = 2



término. El último coeficiente del tercer renglón es el residuo, para nuestros fines de

factorización debe ser cero.

6. El polinomio quedará degradado un grado y este quedará multiplicado por el factor (x–a)

Ejemplo 1:

Factorizar el polinomio 3 2p(x) x 5x 3x 9

1. Se ordena el polinomio en forma decreciente de acuerdo con las potencias de la variable x,

sin omitirse los coeficientes cero.

3 2p(x) x 5x 3x 9

2. Posibles raíces del polinomio

3 2p(x) x 5x 3x 9

p = 9, los factores de p son ± 1 y ± 3 y ± 9

q = 1, los factores de q son ± 1,


p 1 3 9± , ± , ±

q 1 1 1

p±1, ±3, ±9,

q

3. Colocar los coeficientes del polinomio con sus respectivos signos en un renglón, incluyendo

los que son igual a cero. Dejar un renglón vacio y trazar una línea horizontal

3 2p(x) x 5x 3x 9

1 – 5 + 3 + 9

4. Colocar el valor de “a”, en el extremo derecho de la segunda fila, recordar que este valor(es)

son las posibles raíces del polinomio, determinadas el paso 2.

p = 9 q = 1



Probando el valor p

1 q

1 – 5 + 3 + 9 + 1

5. Bajar el primer coeficiente hasta el tercer renglón (debajo de la línea horizontal) y se

multiplicarlo por el valor de “a”, el resultado se coloca debajo del segundo coeficiente en el

renglón vacio y hacer la simplificación algebraica colocando el resultado en la columna del

segundo coeficiente, pero debajo de la línea horizontal (tercer renglón), este resultado se

vuelve a multiplicar por el término independiente “a” y así sucesivamente hasta el último

término. El último coeficiente del tercer renglón es el residuo, para nuestros fines de

factorización debe ser cero.

Probando el valor p

1 q

1 – 5 + 3 + 9 + 1

+ 1 – 4 – 1

1 – 4 – 1 + 8

Como el residuo no es cero se prueba con otro valor de “a”

Probando el valor p

1 q

1 – 5 + 3 + 9 – 1

– 1 + 6 – 9

1 – 6 + 9 0

6. El polinomio quedará degradado un grado y este quedará multiplicado por el factor (x–a)

1 – 5 + 3 + 9 – 1

– 1 + 6 – 9

1 – 6 + 9 0

Residuo

x 1 x 1 x 1

Residuo

Residuo

( x – a )



La factorización queda: 2x 6x 9 x 1

Ahora el primer factor es un trinomio que se puede factorizar fácilmente con los métodos ya vistos

anteriormente

2

22

x 6x 9 x 1 x 3 x 3 x 1

x 6x 9 x 1 x 3 x 1

Finalmente la factorización completa queda de la siguiente forma:

Ejemplo 2:

Factorizar el polinomio 3 2p(x) x 3x x 3

Se ordena el polinomio en forma decreciente de acuerdo con las potencias de la variable x, sin

omitirse los coeficientes cero.

3 2p(x) x 3x x 3

1. Posibles raíces del polinomio

3 2p(x) x 3x x 3

p = 3, los factores de p son ± 1 y ± 3

q = 1, los factores de q son ± 1,


x2 x Num Con signo

contrario

p = 3 q = 1



p 1 3± , ± ,

q 1 1

p±1, ±3,

q

Probando para p

1 q

3 2p(x) x 3x x 3

1 + 3 – 1 – 3 1

+ 1 + 4 + 3

1 + 4 + 3 0

2. El polinomio quedará degradado un grado y este queda

1 + 3 – 1 – 3 1

+ 1 + 4 + 3

1 + 4 + 3 0

La factorización queda: 2x 4x 3 x 1

Ahora el primer factor es un trinomio que se puede factorizar fácilmente con los métodos ya vistos

anteriormente. Finalmente la factorización completa queda de la siguiente forma:

5.0 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Ecuación cuadrática con una incógnita Es una ecuación en la cual, el mayor exponente de la incógnita es dos, se representa de la siguiente manera:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Residuo

x2 x Num Con signo

contrario

( x – a )



Donde a, b, c son constantes, b y c pueden tomar cualquier valor, a, debe ser diferente a cero, sin lo a ecuación se convierte en una de primer grado.

Raíces de una ecuación cuadrática Son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación “la solución”, las ecuaciones de segundo grado tienen dos raíces, en donde ambos valores satisfacen la ecuación. Métodos para encontrar la solución de una ecuación de segundo grado Las ecuaciones de segundo grado se pueden resolver, es decir, encontrar sus raíces por tres métodos distintos:

ECUACION CUADRÁTICA

Completas

Tiene la forma

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

2𝑥2 + 5𝑥 − 2 = 0

donde a,b y c son constantes

diferentes a cero

Incompletas

son aquellas donde b y/o c toman el valor de cero

𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 3𝑥2 + 5 = 0

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 2𝑥2 − 3𝑥 = 0

SOLUCION ECUACION DE

SEGUNDO GRADO

MÉTODO

GRÁFICO

FORMULA

GENERAL

FACTORICACIÓN



5.1 Factorización:

Si el primer miembro de la ecuación cuadrática se puede descomponer en dos factores, las raíces

se determinan directamente a partir de dichos factores; igualando a cero cada uno de los factores y

despejando la incógnita.

Ejemplo 1 Ejemplo 2

𝑥2 − 𝑥 − 6

(𝑥 + 2)(𝑥 − 3) = 0

8𝑥2 + 6𝑥 + 1

(4𝑥 + 1)(2𝑥 + 1) = 0

4𝑥 + 1 = 0 2𝑥 + 1 = 0

4𝑥 = −1 2𝑥 = −1

Ecuaciones cuadráticas incompletas:

Si la ecuación es de la forma incompleta, es decir a = 0 y/o b = 0 se utiliza el mismo

procedimiento descrito anteriormente o bien se realiza el despeje correspondiente:

Ejemplo 1

𝑥2 + 5 = 7

𝑥2 = 7 − 5

𝑥2 = 2

Raíces

Ejemplo 2

𝑥2 + 6𝑥 = 0

𝑥(𝑥 + 6) = 0

𝑥 = 0 𝑥 + 6 = 0

Raíces imaginarias:

5𝑥2 + 12𝑥 = 3𝑥2 − 20

5𝑥2 − 3𝑥2 = −20 − 12

2𝑥2 = −32

𝑥2 = −32

2

𝑥2 = −16

𝑥 = ±√− 16

𝑥 = −2 𝑥 = 3

Raíces

𝑥 = −1

4 𝑥 = −

1

2

Raíces

𝑥 = 0 𝑥 = −6

Raíces

𝑥 = ±√2

𝑥 = + 4𝑖 𝑥 = − 4𝑖



5.1 Por fórmula general:

Las raíces de una ecuación de segundo grado, también se pueden obtener utilizando la fórmula

general para ecuaciones de segundo grado, sin importar si la ecuación está completa o no.

Fórmula General

Donde:

a = Coeficiente de 𝑥2

b = Coeficiente de 𝑥

c = el término independiente

Ejemplo 1

𝟑𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟐 = 𝟎

𝑎 = 3 𝑏 = −7 𝑐 = 2

𝑥 = −(−7) ± √(−7)2 − 4(3)(2)

(2)(3)

𝑥 = 7 ± √49 − 24

6

𝑥 = 7 ± √25

6

𝑥 = 7 ± 5

6

𝑥1 = 7 + 5

6=

12

6

𝑥2 = 7 − 5

6=

2

6

Ejemplo 2 Ejemplo 3

𝟔𝒙 − 𝒙𝟐 − 𝟗 = 𝟎

(−𝑥2 + 6𝑥 − 9 = 0) − 1

𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 0

𝑎 = 1 𝑏 = −6 𝑐 = 9

𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝟎

𝑎 = 5 𝑏 = 3 𝑐 = 0

𝑥 = −(3) ± √(39)2 − 4(5)(0)

(2)(5)

𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 = 2

𝑥2 =1

6



𝑥 = −(−6) ± √(−6)2 − 4(1)(9)

(2)(1)

𝑥 = 6 ± √36 − 36

2

𝑥 = 6 ± √0

2

𝑥 = 6 ± 0

2

𝑥1 = 𝑥2 = 6

2

𝑥 = −3 ± √9 − 0

10

𝑥 = −3 ± √9

10

= −3 ± 3

10

𝑥1 = −3 + 3

10=

0

10

𝑥1 = −3 − 3

10=

−6

10

5.2 Por el método gráfico:

Al graficar una ecuación de segundo grado con una incógnita, se obtiene una parábola. Para

encontrar sus raíces se debe graficar la ecuación y las raíces son el punto de intersección de la

parábola con el eje de las abscisas, es decir el eje “x”.

La gráfica de una parábola tiene las siguientes características:

𝑥1 = 𝑥2 = 2

𝑥1 =9

1

𝑥1 = −3

5

3𝑥2 − 7𝑥 + 2 = 0

Cóncava hacia arriba,

El valor de “a = +”

Cóncava hacia arriba,

El valor de “a = – ”

− 𝑥2 − 𝑥 + 2 = 0



Coordenadas del vértice:

𝑉 = [− 𝑏

2𝑎,

4𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎 ]

Al graficar una ecuación cuadrática es conveniente calcular su vértice y determinar su concavidad

para asignar los valores adecuados para graficar.

Ejemplo 1:

𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗

𝑎 = 1 𝑏 = −6 𝑐 = 9

𝑉 = [− 𝑏

2𝑎,

4𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎 ]

𝑉 = [− (−6)

2(1),

4(1)(9) − (6)2

4(1) ]

𝑉 = [6

2,

36 − 36

4 ]

𝑉 = [3,0

4 ]

𝑉 = [3, 0 ]

Tabulación

x y

0 9

1 4

2 1

3 0

4 1

5 4

6 9



Ejemplo 2:

𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒

𝑎 = 1 𝑏 = −6 𝑐 = 9

𝑉 = [− 𝑏

2𝑎,

4𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎 ]

𝑉 = [− (−5)

2(1),

4(1)(4) − (−5)2

4(1) ]

𝑉 = [10

2,

16 − 25

4 ]

𝑉 = [2.5, −2.25 ]

Tabulación

x y

-1 9

0 10

1 4

2 0

3 -2

4 -2

5 0

Punto de

intersección

en x = o

Entonces las

raíces 𝑥1 = 𝑥2 = 3

NOTA:

Adicionar la coordenada del vértice

cuando se grafique



6 10

Punto de

intersección

en x = 1

y x = 4

Entonces las

raíces

𝑥1 = 1

𝑥2 = 4



REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. BALDOR Aurelio;(1995), Algebra, México D.F., México Editorial Publicaciones Cultural

2. CARREÑO, X y Cruz, X. (2003), Álgebra, México D.F., México, Editorial

Publicaciones Cultural

3. CUÉLLAR Carvajal, Juan; (2004), Álgebra, México D.F., México, Editorial Mc Graw

Hill

4. LEHMANN Charles; (2008), Álgebra, México D.F., México, Editorial Limusa

5. Lovaglia, F., Elmore, M., Conway, D. (2004). Álgebra. México, D.F, México.: OXFORD.

tecnológico de estudios superiores de cuautitlán izcalli · pdf...

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