tehnicka mehanika 2 - osnovne akademske studije, iii ......tehni ka mehanika 2 osnovne akademske...

Kinematika krutog telaPosebni oblici kretanja krutog tela

Ravno kretanje krutog tela

TEHNI�KA MEHANIKA 2

Osnovne akademske studije, III semestar

Doc. dr Stanko �ori¢email: [email protected]

Gra�evinski fakultetUniverzitet u Beogradu

�k. god. 2020/21

S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2



Sadrºaj

1 Kinematika krutog telaPoloºaj krutog tela u prostoruOjlerovi ugloviKona£ne jedna£ine kretanja krutog tela

2 Posebni oblici kretanja krutog telaTranslatorno kretanje krutog telaRotacija krutog tela oko nepokretne oseRotacija krutog tela oko nepokretne ta£keOp²te kreatnje

3 Ravno kretanje krutog telaDe�nicija ravnog kretanja�alova teorema (centar kona£ne rotacije)Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje




Poloºaj krutog tela u prostoruOjlerovi ugloviKona£ne jedna£ine kretanja krutog tela

Sadrºaj








Kinematika krutog tela

Poloºaj krutog tela

Poloºaj slobodnog krutog tela u prostoru je odre�en ako sepoznaje poloºaj tri nekolinearne ta£ke tela (A, B, C)

Svaka od ta£aka je odre�ena sa svojim vektorom poloºaja (po3 koordinate), ukupno 9 koordinata

Kruto telo ⇒ rastojanje izme�u bilo koje 2 ta£ke je konstantno

Izme�u 9 koordinata ta£aka A, B, C postoje tri veze

AB = `1 = const, AC = `2 = const, BC = `3 = const

Broj stepeni slobode kretanja slobodnog krutog tela jen = 9− 3 = 6





Poloºaj krutog tela u prostoru







Prostorni (inercijalni) sistem Oxyz bazni vektori (~ı,~,~k)

Materijalni (pokretni) sistem Aξηζ bazni vektori (~λ, ~µ, ~ν)

Referentna ta£ka tela APoloºaj ta£ke tela: ~r = ~rA + ~ρ

- vektori ~r i ~rA su u sistemu Oxyz:

~r = {x, y, z} ~rA = {xA, yA, zA}

- vektor ~ρ je u sistemu Aξηζ:

~ρ = {ξ, η, ζ}





Poloºaj krutog tela u prostoru







Za datu ta£ku tela, materijalne koordinate ξ, η, ζ sukonstantne veli£ine

Kretanje tela je promena poloºaja tela tokom vremenaPrilikom kretanja tela menjaju se

- koordinate referentne ta£ke A,- pravci baznih vektora ~λ, ~µ, ~ν materijalnog koord. sistema

Zaklju£ak: poloºaj krutog tela (u odnosu na prostornisistem) u potpunosti je odre�en sa poloºajem referentneta£ke tela A i poloºajem materijalnog sistema u odnosu naprostorni sistem





Sadrºaj









Odnos prostornog i materijalnog sistema

Oba sistema se posmatraju sa istim koordinatnim po£etkom

Odnos baznih vektora materijalnog i prostornog sistema~λ~µ~ν

=

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

~ı~~k

Matrica [aij ] (i, j = 1, 2, 3) je matrica rotacije

Elementi matrice aij su kosinusi uglova izme�u pravaca ~λ, ~µ, ~νu odnosu na pravce ~ı,~,~k

Matrica rotacije je ortogonalna matrica: [aij ]−1 = [aij ]

T






Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ

Odnos materijalnog prema prostornom sistemu odre�en je sa 9kosinusa pravaca, odn. sa matricom rotacije

Izme�u 9 elemenata matrice [aij ] postoji 6 veza, odn.izraºavaju se preko 3 nezavisne veli£ine

Umesto komplikovane eliminacije, poloºaj sistema Aξηζ premasistemu Oxyz moºe da se direktno odredi preko 3 me�usobnonezavisna uglaTa 3 ugla su Ojlerovi uglovi ψ, ϑ, ϕ:

- Ugao precesije ψ- Ugao nutacije ϑ- Ugao sopstvene rotacije ϕ






Prostorni i materijalni sistem i Ojlerovi uglovi

- Prostorni (nepokretan) sistem xyz

- Materijalni (pokretan) sistem XY Z ≡ ξηζ- Linija £vorova N (presek ravni xy i ξη)

- Ugao precesije α ≡ ψ- Ugao nutacije β ≡ ϑ- Ugao sopstvene rotacije γ ≡ ϕ







Trijedri Oxyz i Aξηζ se poklapaju (po£etni poloºaj)

Pomo¢u tri uzastopne rotacije za tri nezavisna kona£na ugla,pokretan trijedar Aξηζ se dovodi u proizvoljan poloºaj uodnosu na nepokretan trijedar OxyzTri uzastopne kona£ne rotacije su:

1 rotacija oko z ose za ugao PRECESIJE ψ2 rotacija oko linije £vorova n za ugao NUTACIJE ϑ3 rotacija oko ose ζ za ugao SOPSTVENE ROTACIJE ϕ

Odre�uju se relacije izme�u baznih vektora ~λ, ~µ, ~ν i ~ı,~,~k







Posle rotacije oko z ose za ugao ψ ose ξ i η su u ravni Oxy,ali rotirane za ugao ψ

Osa ξ pretstavlja, u tom poloºaju, liniju £vorova (presek ravniOxy i Aξη

Posle rotacije oko linije £vorova (odn. oko ose ξ u tompoloºaju), za ugao ϑ, osa ζ se odvaja od ose z, a osa η se�izdiºe� iz ravni Oxy

Posle rotacije oko ose ζ za ugao sopstvene rotacije ϕ i osa ξ se�izdiºe� iz ravni Oxy i dospeva u svoj kona£an poloºaj

Time je sistem Aξηζ dospeo u proizvoljan poloºaj u odnosu nanepokretan sistem Oxyz







Ispisivanjem relacija rotacije izme�u jedini£nih vektora, poslesvake kona£ne rotacije, transformacijama se dolazi do vezaizme�u jedini£nih vektora sistema Oxyz: ~ı,~,~k, kao i vektorapokretnog sistema Aξηζ: ~λ, ~µ, ~ν

Time se dolazi do koe�cijenata matrice rotacije [aij ], odn.matrica rotacije se izraºava preko Ojlerovih uglova:

[aij ] = [aij(ψ, ϑ, ϕ)]







Kra¢e napisano, odnos baznih vektora materijalnog iprostornog sistema je

~λ~µ~ν

=

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

~ı~~k

ili skra¢eno

{λ∗} = [aij ] {x∗}

Matrica rotacije je ortogonalna matrica: [aij ]−1 = [aij ]

T

tako da vaºe i inverzne relacije

{x∗} = [aij ]T {λ∗}





Sadrºaj









Kona£ne jedna£ine kretanja krutog tela

Kona£ne jedna£ine kretanja krutog tela (n = 6) su date sa:

zakonima promene vektora poloºaja referentne ta£ke A:

xA = xA(t) yA = yA(t) zA = zA(t)

zakonima promene poloºaja materijalnog sistema ξηζ uodnosu na prostorni xyz:

ψ = ψ(t) ϑ = ϑ(t) ϕ = ϕ(t)






Kona£ne jedna£ine proizvoljne ta£ke P krutog tela

u vektorskom obliku:

~rP = ~rA + ~ρP

u skalarnom (matri£nom) obliku:xyz

P

=

xyz

A

+

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

T ξηζ

P

ili, skra¢eno:{x}P = {x}A + [aij ]

T {ξ}P





Kona£ne jedna£ine kretanja ta£ke krutog tela




Translatorno kretanje krutog telaRotacija krutog tela oko nepokretne oseRotacija krutog tela oko nepokretne ta£keOp²te kreatnje

Posebni oblici kretanja krutog tela

Vrste kretanja krutog tela

Translatorno kretanje

Obrtanje tela oko nepokretne ose

Obrtanje tela oko nepokretne ta£ke (sferno kretanje)

Op²te kretanje krutog tela

Ravansko kretanje

Sloºeno kretanje tela po telu





Sadrºaj








Translatorno kretanje krutog tela







Translacija je takvo kretanje tela pri kome svaki orjentisanmaterijalni pravac u telu pri kretanju tela zadrºava paralelanpravac i istu orjentaciju

De�nicija translatornog kretanja−→AP =

−−→A′P ′ = const

Ta£ka A je referentna ta£ka, pa je−→AP = ~ρ

Tako�e je−−→A′P ′ = ~ρ ′, pa je

−→AP =

−−→A′P ′ ekvivalentno sa ~ρ = ~ρ ′ = const







Po de�niciji krutog tela je |~ρ| = |~ρ ′|, ali kod translatornogkretanja ~ρ zadrºava i paralelan pravac i isti smer

Prema tome, ako se telo kre¢e translatorno, ~ρ = ~ρ ′ = const,onda je u vektoru poloºaja ta£ke tela ~r = ~rA + ~ρ samo vektor~rA promenljiv sa vremenom: ~rA = ~rA(t)

Kako je ~ρ = const, kao i ~ρ = ξ~λ+ η~µ+ ζ~ν, pri £emu je (pode�niciji krutog tela) ξ = const, η = const, ζ = const, sledida su PRAVCI materijalnog sistema konstantni

Prema tome, koe�cijenti matrice rotacije su konstantni:

aij = const ⇒ ψ = const, ϑ = const, ϕ = const







Zna£i, pri translatornom kretanju se menja samo ~rA, dok suOjlerovi uglovi konstantni

Kona£ne jedna£ine translatornog kretanja krutog tela su datesa:

xA = xA(t) ψ = const

yA = yA(t) ϑ = const

zA = zA(t) ϕ = const

Broj stepeni slobode kretanja tela je n = 3







Vektor kona£nog pomeranja ta£ke A, odn. P, je razlika vektorapoloºaja u t2 i t1:

~dA =−−→AA′ odn. ~dP =

−−→PP ′

Kako je kod translacije, po de�niciji ~ρ = ~ρ ′ , onda je vektorpomeranja ta£ke P dat sa

~dP = ~r ′P − ~rP = (~r ′A + ~ρ ′)− (~rA + ~ρ) = (~r ′A − ~rA)

odnosno,~dP = ~dA = ~d







Isto se dobija se i iz paralelograma APA′P ′:

~ρ = ~ρ ′ ⇒ ~dP = ~dA

odn. pomeranja ta£aka A i P su me�usobno ista

Alternativna de�nicija translatornog kretanja:

Sve ta£ke tela koje se translatorno kre¢e vr²e me�usobnoista pomeranja







Kako sve ta£ke tela, koje se translatorno kre¢e, vr²eme�usobno ista pomeranja (u kona£nom intervalu vremena∆t), ~dP = ~dA, onda su i za beskona£no mali interval vremena∆t→ 0 elementarna pomeranja svih ta£aka ista:

d~rP = d~rA

Sledi i da su brzine i ubrzanja svih ta£aka me�usobno ista:

d~rP = d~rA ⇒ ~vP = ~vA, ~aP = ~aA

Prilikom translacije, telo se kre¢e kao jedna materijalna ta£ka(kona£ne mase)

Ta£ke tela se kre¢u po me�usobno paralelnim trajektorijamaS.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2





Brzina ta£ke krutog tela: translacija

Kod translatornog kretanja vektor brzine proizvoljne ta£kejednak je brzini referentne ta£ke A:

~v = ~vA

Tako�e je i vektor ubrzanja proizvoljne ta£ke jednak ubrzanjureferentne ta£ke A:

~a = ~aA





Sadrºaj








Rotacija krutog tela oko nepokretne ose







De�nicija rotacije krutog tela oko nepokretne ose:

Telo vr²i rotaciju oko nepokretne ose ako su tokom kretanjatela dve ta£ke tela stalno nepokretne

Teorema 1: Ako se kruto telo kre¢e tako da su stalnonepokretne dve ta£ke A i B, onda su nepokretne i sve ostaleta£ke na osi kroz ta£ke A i B - rotacija oko nepokretne ose







Ako su, po de�niciji, dve ta£ke tela nepokretne (vektorpoloºaja se ne menja sa vremenom),

~rA = const, ~rB = const

onda je broj stepeni slobode kretanja tela n = 1 , jer jepoloºaj tela odre�en sa 3 ta£ke, A, B i C, odn. u ovomslu£aju, samo jo² sa ta£kom C: ~rC = {xC , yC , zC}Izme�u 3 koordinate ~rC postoje 2 veze:AC = const, BC = const, tako da je n = 1

Dve nepokretne ta£ke A i B odre�uju osu AB, sa jedini£nimvektorom ~s0







Posmatra se ta£ka P1 koje je na osi AB. Njen vektor poloºajaje

~rP1 = ~rA +−−→AP1 = ~rA +

AP1

AB(~rB − ~rA)

Kako je ~rA = const i ~rB = const, a tako�e (zbogpretpostavke o krutom telu) i AP1 = const, to se dobija

~rP1 = ~rA +AP1 ~s0 = const ⇒ ~rP1 = const

∴ Ako su nepokretne 2 ta£ke tela, onda su nepokretne i svedruge ta£ke na osi AB







Teorema 2: Brzine i ubrzanja ta£aka na osi rotacije su jednakenuli

Kako je ~rP1 = const, to je (diferenciranjem)

~rP1 = const ⇒ ~rP1 = ~vP1 = 0, ~rP1 = ~aP1 = 0

odn. brzina i ubrzanje bilo koje ta£ke na osi rotacije su jednakenuli (nepokretna osa)

Sve ta£ke tela izvan ose rotacije kre¢u se po kruºnimputanjama u ravnima upravnim na osu rotacije i sa centrimana osi rotacije







Usvaja se slede¢e u analizi rotacije oko nepokretne ose:- Koordinatni po£eci sistema Oxyz i Aξηη se poklapaju(O = A)

- Osa rotacije AB je osa z i poklapa se sa osom ζ- Time je ugao nutacije jednak nuli: ϑ = 0- Ravni xy i ξη se poklapaju

Ojlerovi uglovi ψ i ϕ nisu de�nisani (nema preseka ravni Oxy iAξη)

Generalisana koordinata je q1 = θ, gde je

θ = ψ + ϕ = ∠(x, ξ)







Kona£na jedna£ina kretanja tela:

θ = θ(t)

Matrica rotacije je funkcija samo ugla θ = θ(t)

Kona£ne jedna£ine kretanja proizvoljne ta£ke tela (~rA = 0):xyz

P

=

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

ξηζ

P

ili, skra¢eno:{x}P = [aij ]

T {ξ}P






Rotacija krutog tela oko nepokretne ose - Rodrigov obrazac

Rodrigov obrazac: veza izme�u vektora pomeranja ta£ke telakoje vr²i rotaciju oko nepokretne ose i ugla rotacije θ

Veza se odre�uje za kona£an ugao rotacije θ, a zatim seposmatra i ∞ mali ugao rotacije dθ

Telo se obrne za kona£an ugao rotacije θ






Rotacija krutog tela oko nepokretne ose - Rodrigov obrazac

detaljno izvo�enje je prikazano u knjizi

dobija se Rodrigov obrazac

∆~ρ = tanθ

2· ~s0 × (~ρ+ ~ρ ′) (1)

Veli£ina (tan θ2)~s0 se naziva verzor kona£ne rotacije





Rodrigov obrazac







Rodrigov obrazac prikazuje vezu izme�u vektora kona£nogpomeranja ta£ke i kona£nog ugla rotacije (za rotaciju telaoko nepokretne ose)

Za beskona£no mali ugao rotacije (θ → dθ) se dobija

(a) tanθ

2⇒ tan

dθ

2∼=dθ

2(b) ∆~ρ = ~ρ ′ − ~ρ ⇒ ∆~r = d~ρ

(c) ~ρ+ ~ρ ′ = ~ρ+ ~ρ+ d~ρ = 2~ρ+ d~ρ







Uno²enjem u Rodrigov obrazac (1) dobija se

d~ρ =dθ

2~s0 × (2~ρ+ d~ρ)

Uz zanemarivanje proizvoda ∞ malih veli£ina na kvadrat,dobija se elementarno pomeranje ta£ke:

d~ρ = dθ ~s0 × ~ρ odn. d~ρ = d~θ × ~ρ

gde je d~θ = dθ ~s0 vektor elementarne rotacije tela







Vektor elementarne rotacije je dat sa:

d~θ = dθ~s0

Intenzitet vektora elementarne rotacije je ∞ mali ugao dθ

Pravac vektora elementarne rotacije se poklapa sa osomrotacije ~s0Smer vektora elementarne rotacije je takav da je, gledaju¢i usmeru vektora rotacije, obrtanje u smeru desnog zavrtnja







Vektor ugaone brzine tela je izvod po vremenu vektoraelementarne rotacije:

~ω =d~θ

dt= θ~s0 = ω~s0

Vektor ugaonog ubrzanja tela je izvod po vremenu vektoraugaone brzine:

~ε =d~ω

dt= θ~s0 = ε~s0







Vektor elementarnog pomeranja ta£ke tela pri rotaciji okonepokretne ose je

d~ρ = d~θ × ~ρ

Elementarno pomeranje je ⊥ na ravan koju £ine osa obrtanja~s0 i vektor poloºaja ta£ke ~ρ:

d~ρ ⊥ (d~θ, ~ρ)






Brzina ta£ke krutog tela: rotacija oko nepokretne ose

Kod rotacije tela oko nepokretne ose vektor elementarnogpomeranja proizvoljne ta£ke dat je sa (Rodrigov obrazac):

d~r = d~ρ = d~θ × ~ρ

pa je vektor brzine jednak

~v =d~r

dt=d~θ

dt× ~ρ






Brzina ta£ke krutog tela: rotacija oko nepokretne ose

Brzina ta£ke tela pri rotaciji oko nepokretne ose je

~v = ~ω × ~ρ gde je ~ω =d~θ

dt

Vektor ~ω je vektor ugaone brzine tela i dat je sa

~ω =dθ

dt~s0 = θ ~s0 jer je d~θ = dθ ~s0 (~s0 = const)

Kod rotacije oko nepokretne ose ugaona brzina je izvod po

vremenu ugla obrtanja ω(t) = θ(t)





Sadrºaj









Rotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke

Ukoliko je prilikom kretanja krutog tela jedna ta£ka stalnonepokretna, onda telo vr²i rotaciju oko te nepokretne ta£ke(vr²i sferno kretanje)

Ako je jedna ta£ka stalno nepokretna, zbog pretpostavke okrutom telu, sve ostale ta£ke tela se kre¢u tako da su uvek naistom rastojanju od nepokretne ta£ke

Sve ta£ke tela se kre¢u po sfernim povr²ima £iji je centarnepokretna ta£ka, a polupre£nik rastojanje od nepokretneta£ke to posmatrane ta£ke







⇒ telo vr²i SFERNO KRETANJE i ima tri stepena slobodekretanja (n = 3)

Nepokretna ta£ka tela A je izabrana za referentnu ta£ku, atako�e i za koord. po£etak nepokretnog sistema Oxyz

Tada je ~rA = 0, kao i ~r = ~ρ (ali se izraºavaju u razli£itimkoord. sistemima

Generalisane koordinate su tri Ojlerova ugla, pa su kona£nejedna£ine kretanja tela date sa

ψ = ψ(t) ϑ = ϑ(t) ϕ = ϕ(t)

Svaka ta£ka P vr²i kretanje po sferi sa centrom u nepokretnojta£ki A, polupre£nika AP






Dalamberova teorema: Osa ekvivalentne rotacije

Dalamberova teorema: Svako telo koje vr²i sferno kretanjemoºe da se prevede iz poloºaja (1) u poloºaj (2) ekvivalentnomrotacijom oko ose koja prolazi kroz nepokretnu ta£ku AAlternativno: Svako kona£no obrtanje tela oko nepokretneta£ke moºe da se prikaºe kao kona£no obrtanje oko ose kroznepokretnu ta£ku (oko ose ekvivalentne rotacije)

To je Osa ekvivalentne rotacije za kona£an interval vremena∆t = t2 − t1






Trenutna osa rotacije

Osa ekvivalentne rotacije se odnosi na kona£no pomeranje (prisfernom kretanju tela) unutar kona£nog intervala vremena∆t = t2 − t1Trenutna osa rotacije je grani£ni poloºaj ose ekvivalentnerotacije kada interval vremena, u kome se posmatra obrtanjetela oko nepokretne ta£ke, teºi ka nuli:

t2 − t1 = n∆t n = 1, 2, 3, . . . (n ∈ N)

Kada se smanjuje interval vremena, n→∞ ∆t→ 0 (dt)

osa ekvivalentne rotacije u ∞ malom intervalu vremenapostaje trenutna osa rotacije







Kada ∆t→ 0, grani£ni poloºaj ose ekvivalentne rotacije jetrenutna osa rotacije

Vaºi tada Rodrigov obrazac za elementarno pomeranje ta£ke(i pri sfernom kretanju, jer je to rotacija oko trenutne ose):

d~ρ = d~θ × ~ρ

Ova relacija je izvedena za rotaciju tela oko nepokretne ose(koja je stalnog pravca)

Vektor elementarne rotacije d~θ je tako�e stalnog pravca(ima pravac ose rotacije)

Intenzitet vektora d~θ jednak je diferencijalu ugla obrtanja telaoko ose: dθ = θ(t) dt







Pri obrtanju oko nepokretne ta£ke, trenutne ose rotacije uvekprolaze kroz nepokretnu ta£ku, ali su me�usobno razli£itihpravaca

Me�utim, osim u slu£aju rotacije oko nepokretne ose, vektorelementarne rotacije d~θ ne predstavlja diferencijal nekekinemati£ke veli£ine (ugla)

Vektor elementarne rotacije oko trenutne ose (kod sfernogkretanja) predstavlja veli£inu koja je de�nisana u trenutku t, ane u intervalu vremena (t2, t1)

Trenutna osa rotacije je prava u prostoru oko koje se telo obr¢eu datom trenutku t.

Tako�e su u tom trenutku t brzine ta£aka tela na trenutnoj osirotacije jednake nuli.







Trenutna osa rotacije moºe da se de�ni²e i kao materijalnaprava linija u telu duº koje su u tom trenutku brzine ta£akajednake nulli

Pojam trenutne ose rotacije je uveden na dva na£ina:1 kao geometrijska linija u prostoru oko koje se telo obr¢e u

posmatranom trenutku2 kao materijalna linija u telu £ije su brzine jednake nuli u

datom trenutku

Trenutnu osu rotacije su nezavisno (i u sli£no vreme) de�nisaliD'Alambert (1749) i Euler (1750)







Obrtanje tela oko nepokretne ta£ke (a i za op²te kretanje) jeodre�eno zakonima promene Ojlerovih uglova kaogeneralisanih koordinata

Vektor d~θ pri rotaciji oko nepokretne ta£ke, odn. oko trenutneose rotacije, ne odre�uje svojim koordinatama diferencijalenekih generalisanih koordinata (uglova). Zato se on u tomslu£aju obeleºava sa �~θ

Vektor elementarne rotacije d~θ je ∞ mali ugao u razli£itimravnima koje su ⊥ na trenutnu osu u tom trenutku.

Elementarno pomeranje ta£ke tela u slu£aju sfernog kretanja jedato sa

d~ρ = �~θ × ~ρ







Vektor elementarne rotacije �~θ je ∞ mali ugao u ravni ⊥ natrenutnu osu rotacije - nije diferencijal nekog ugla

U svakom narednom trenutku je trenutna osa rotacije nekadruga osa, razli£ita od trenutne ose u prethodnom trenutku, alisve trenutne ose prolaze kroz nepokretnu ta£ku A

Sve trenutne ose formiraju konusnu povr² sa vrhom u ta£ki A(pokretan ili nepokretan aksoid)

Kod rotacije oko nepokretne ose, osa rotacije je stalna i ugaoelementarne rotacije dθ je diferencijal ugla θ = θ(t) a vektord~θ je stalnog pravca







Kod sfernog kretanja je vektor elementarne rotacije �~θ samo∞ mali vektor u pravcu trenutne ose

Vektor �~θ nije diferencijal nekog ugla (odn. generalisanekoordinate)

Teorema: Vektor elementarne rotacije pri sfernom kretanjuje nezavistan od poloºaja ta£ke u telu.Alternativno: U svakom trenutku, pri sfernom kretanju,sve ta£ke tela vr²e obrtanje oko zajedni£ke trenutne oserotacije za isti ∞ mali ugao.







Moºe da se pokaºe da se elementarno pomeranje d~ρ, u datomtrenutku, svih ta£aka tela koje vr²i sferno kretanje, izraºavapreko istog vektora elementarne rotacije.

Drugim re£ima, vektor �~θ nije zavistan od izbora, odn. odpoloºaja posmatrane ta£ke tela







Prema tome, sferno kretanje predstavlja sukcesivan niz rotacijatela oko trenutnih osa rotacije

Sve trenutne ose rotacije prolaze kroz nepokretnu ta£ku

Vektor elementarne rotacije je vektor koji ima pravac trenutneose rotacije

Intenzitet vektora �~θ je jednak ∞ malom uglu rotacije okotrenutne ose

U svakom trenutku sve ta£ke tela vr²e obrtanje oko zajedni£ketrenutne ose rotacije za isti ugao elementarne rotacije �~θ






Brzina ta£ke krutog tela - sferno kretanje

Brzina ta£ke tela pri rotaciji oko nepokretne ta£ke je

~v = ~ω × ~ρ gde je ~ω =�~θ

dt

Vektor ~ω je vektor ugaone brzine tela koji je samo koli£nikvektora elementarne rotacije i diferencijala vremena (nije izvodnekog ugla kao kod rotacije oko nepokretne ose!)

Naravno, vektor ugaone brzine je i kod rotacije oko nepokretneta£ke promenljiv sa vremenom, ~ω = ~ω(t) , jer se stalnomenjaju pravci trenutnih osa rotacije






Brzina ta£ke krutog tela - sferno kretanje

Vektor ugaone brzine tela ~ω kod sfernog kretanja (kao i kodop²teg kretanja) je samo koli£nik vektora elementarne rotacijei diferencijala vremena (nije izvod nekog ugla kao kod rotacijeoko nepokretne ose!)

Vektor ~ω kod sfernog kretanja (kao i kod op²teg kretanja)spada u KVAZIBRZINE, jer ~ω nije izvod po vremenu t nekogvektora (t.j. nije izvod nekog ugla u ravni, ve¢ je vezan zatrenutnu osu rotacije)





Sadrºaj









Brzina ta£ke krutog tela - op²te kretanje

Op²te (proizvoljno) kretanje slobodnog krutog tela, kakokona£no, u intervalu ∆t, tako i beskona£no malo, u vremenudt, moºe da se prikaºe kao superpozicija translacije i rotacijeoko ose kroz referentnu ta£ku (ekvivalentne ili trenutne)

Kako je vektor poloºaja ta£ke tela dat sa

~r = ~rA + ~ρ

onda je vektor elementarnog pomeranja jednak

d~r = d~rA + d~ρ

gde je d~ρ = �~θ × ~ρ (Rodrigov obrazac)






Brzina ta£ke krutog tela - op²te kretanje

Vektor brzine ta£ke tela je dat sa

d~r = d~rA + d~ρ / : dt ⇒

Dobija se izraz za brzinu (Ojlerov obrazac):

~v = ~vA + ~ω × ~ρ (2)

gde je

~v =d~r

dt, ~vA =

d~rAdt

, ~ω =�~θ

dt






* Teorema o projekcijama brzina

Projekcije brzina dve ta£ke krutog tela na osu koja spaja te dveta£ke su me�usobno jednake






** Teorema ...

Ugaona brzina i ugaona ubrzanje krutog tela ne zavise odizbora referentne ta£ke






*** Jedna£ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje

Trenutna osa rotacije je geometrijsko mesto ta£aka tela £ije subrzine u tom trenutku jednake nuli (prava u telu):

~v = ~ω × ~ρ = 0

Uslov kolinearnosti moºe da se prikaºe u skalarnom obliku kao

~ω × ~ρ = 0 ⇒ x

ωx=

y

ωy=

z

ωz(3)

ili u materijalnom koordinatnom sistemu kao

~ω × ~ρ = 0 ⇒ ξ

ωξ=

η

ωη=

ζ

ωζ(4)






Ubrzanje ta£ke krutog tela - op²te kretanje

Vektor poloºaja ta£ke tela

~r = ~rA + ~ρ

Vektor brzine ta£ke tela (izvod vektora poloºaja)

~v =d~r

dt= ~vA + ~ω × ~ρ

Vektor ubrzanja ta£ke tela (izvod vektora brzine)

~a =d~v

dt=

d

dt(~vA + ~ω × ~ρ)

Vektori su izraºeni u inercijalnom i u pokretnom sistemu






Diferenciranje vektora u sistemu pokretnih osa

Posmatra se proizvoljan vektor izraºen u sistemu pokretnih osa:

~b = ~b(t) = {bξ, bη, bζ} = bξ~λ+ bη~µ+ bζ~ν

Izvod vektora ~b(t) po vremenu je:d~b

dt=∗~b+ ~ω ×~b

gde je∗~b lokalni izvod vektora ~b:

∗~b = {bξ, bη, bζ} = bξ ~λ+ bη ~µ+ bζ ~ν

dok je £lan ~ω ×~b posledica rotacije pokretnog sistema saugaonom brzinom ~ω







Izvod po vremenu vektora poloºaja ~ρ

~ρ =∗~ρ+ ~ω × ~ρ ⇒ ~ρ = ~ω × ~ρ

jer je ~ρ = const, pa je∗~ρ = 0 (kruto telo)

Izvod po vremenu vektora ugaone brzine ~ω

~ω =∗~ω + ~ω × ~ω ⇒ ~ω =

∗~ω = ~ε

jer je ~ω × ~ω = 0 (kolinearni vektori)

Vektor ~ε je vektor ugaonog ubrzanja tela







Ubrzanje proizvoljne ta£ke tela je dato sa:

~a =d~v

dt=

d

dt(~vA + ~ω × ~ρ)

pa se dobija

~a = ~aA +d~ω

dt× ~ρ+ ~ω × d~ρ

dt

Imaju¢i u vidu diferenciranje vektora ~ω i ~ρ, dobija se

~a = ~aA + ~ε× ~ρ+ ~ω × (~ω × ~ρ)







Ubrzanje proizvoljne ta£ke tela je dato sa

~a = ~aA + ~ε× ~ρ+ ~ω × (~ω × ~ρ) (5)

U izrazu (5) su:

~aA . . . ubrzanje referentne ta£ke A

~ε× ~ρ . . . rotaciono ubrzanje(posledica promene intenziteta ugaone brzine)

~ω × (~ω × ~ρ) . . . aksipetalno ubrzanje(posledica promene pravca ugaone brzine)







Ubrzanje proizvoljne ta£ke tela koje vr²i op²te kretanje je datosa:

~a = ~aA + ~ε× ~ρ+ ~ω × (~ω × ~ρ)

Rotaciono ubrzanje ~ε× ~ρ ima pravac tangente na deo kruºniceu ravni ⊥ na trenutnu osu rotacije

Aksipetalno ubrzanje ~ω × (~ω × ~ρ) je usmereno ka trenutnoj osirotacije (u pravcu polupre£nika dela kruºne putanje)





Ubrzanje ta£ke krutog tela




De�nicija ravnog kretanja�alova teorema (centar kona£ne rotacije)Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje

Sadrºaj









De�nicija ravnog kretanja

Ravno (ravansko) kretanje krutog tela je takvo kretanje tela prikome sve ta£ke tela vr²e kretanje paralelno jednoj istoj ravni ipri kome sve ta£ke tela koje pripadaju istoj pravoj, normalnojna ovu ravan, opisuju podudarne putanje, svaka u ravni kojojpripada

Alternativna de�nicija ravnog kretanja:

Ravno (ravansko) kretanje krutog tela je takvo kretanje telakod koga se tri ta£ke tela stalno kre¢u u istoj ravni(A,B,C ∈ π)






De�nicija ravnog kretanja

Ako su tri proizvoljne ta£ke tela A, B, C stalno u istoj ravni πtokom kretanja tela, onda telo moºe da se obr¢e SAMO okoose upravne na tu ravan π

Sve ta£ke tela na normali na ravan π vr²e ISTO kretanje

Da bi se pratilo kretanje tela koje vr²i ravno kretanje, dovoljnoje da se posmatra kretanje preseka tela sa ravni π

Umesto koordinate 3 ta£ke (kao kod op²teg kretanja tela),dovoljno je da su poznate koordinate dve ta£ke, A i B, koje sestalno kre¢u u ravni π

Telo koje vr²i ravno kretanje ima TRI stepena slobode kretanjan = 3







Broj stepeni slobode kretanja: n = 3

Posmatra se presek tela sa ravni kretanja π i usvajaju seinercijalni i materijalni sistem na slede¢i na£in:

Ose Oz i Aζ su stalno me�usobno paralelneRavni Oxy i Aξη se poklapaju me�usobno i sa ravni kretanja π

Ojlerovi uglovi su, prema tome,- z ‖ ζ ⇒ ϑ = 0- ∠(x, ξ) = ψ + ϕ = θ

Generalisane koordinate (za opisivanje poloºaja, odn. kretanjatela):

q1 = xA, q2 = yA, q3 = θ





Kona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela







Kona£ne jedna£ine ravnog kretanja krutog tela (n = 3)

q1 = xA(t)

q2 = yA(t)

q3 = θ(t)

Kona£ne jedna£ine ta£ke tela koje vr²i ravno kretanje

~r = ~rA + ~ρ







Vektori ~rA i ~ρ su, za ravansko kretanje, dati sa

~rA = xA~ı+ yA~ ~ρ = ξ~λ+ η~µ

Relacije izme�u jedini£nih vektora su date sa

~λ =~ı cos θ + ~ sin θ

~µ = −~ı sin θ + ~ cos θ(6)







Izraºavanjem ~λ i ~µ preko ~ı i ~, posle sre�ivanja se dobijajukona£ne jedna£ine kretanja ta£ke tela koje vr²i ravno kretanje

x = xA + ξ cos θ − η sin θ

y = yA + ξ sin θ + η cos θ

ili u matri£nom oblikuxyz

=

xAyAzA

+

cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0

0 0 1

T ξηζ





Sadrºaj









Ravno kretanje krutog tela - �alova teorema

�alova teorema (specijalan slu£aj Dalamberove teoreme):Svako kona£no pomeranje pri ravnom kretanju moºe da sepredstavi kao kona£na rotacija oko odre�ene ose ⊥ na ravankretanja

Presek ose ekvivalentne rotacije i ravni kretanja je centarkona£ne rotacije

Ravno kretanje moºe da se shvati i kao grani£ni slu£aj sfernogkretanja kada je nepokretna ta£ka u ∞ (radijus sfere je ∞veliki)

Ose ekvivalentne rotacije su me�usobno ‖S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2






Posmatra se duº AB, kao reprezent ravnog kretanja tela

U trenutku t1 duº (odn. telo) je u poloºaju (I), AB, a utrenutku t2 duº je u nekom kona£no udaljenom poloºaju (II),A′B′

Bez obzira kakvo je stvarno kretanje iz poloºaja (I) u poloºaj(II), to kretanje moºe da se prikaºe kao jedna kona£na rotacijaoko neke ta£ke C (odn. oko ose upravno na ravan kretanja uta£ki C)







Ta£ka A se spoji linijom sa ta£kom A′, a ta£ka B se spojilinijom sa ta£kom B′

Ta£ka M je na sredini duºi AA′, dok je ta£ka N na srediniduºi BB′

Iz ta£ke M se povu£e osa simetrije za duº AA′, a iz ta£ke Nosa simetrije na duº BB′

Presek te dve ose simetrije je ta£ka C - centar kona£nerotacije tela (odn. duºi AB)





�alova teorema (centar kona£ne rotacije)







Uo£avaju se dva trougla 4ABC i 4A′B′COva dva trougla su podudarna, jer su im sve tri stranice iste:

- AC = A′C . . . kao udaljenje krajeva duºi od ose simetrije- BC = B′C . . . kao udaljenje krajeva duºi od ose simetrije- AB = A′B′ . . . pretpostavka o krutom telu

Prema tome, i uglovi izme�u odgovaraju¢ih stranica su isti:

∠ACB = ∠A′CB′ (7)







Relaciji (7) se doda isti ugao:

∠ACB + ∠BCA′ = ∠BCA′ + ∠A′CB′

Posle sabiranja uglova, dobija se jednakost uglova

∠ACA′ = ∠BCB′ (8)

Relacija (8) zna£i da su ta£ke A i B, pri datom kona£nompomeranju tela koje vr²i ravno kretanje, dospele u kona£anpoloºaj posle obrtanja za isti kona£an ugao oko zajedni£kogcentra C






Ravno kretanje krutog tela - trenutni centar rotacije

Centar kona£ne rotacije se odnosi na proizvoljan kona£aninterval vremena ∆t

Trenutni centar rotacije je grani£ni poloºaj centra kona£nerotacije za ∆t→ dt→ 0

Presek trenutne ose rotacije i ravni kretanja je trenutni centarrotacije. To je

• ona ta£ka u ravni kretanja oko koje se presek tela u ravnikretanja obr¢e u posmatranom trenutku, ili• ona ta£ka tela £ija je brzina, u posmatranom trenutku,jednaka nuli







Ravno kretanje moºe da se posmatra kao sukcesivan niz ∞mnogo elementarnih rotacija oko trenutnih centara rotacije

Ose upravno na ravan kretanja u trenutnom centru su trenutneose rotacije

Sve trenutne ose rotacije su me�usobno ‖, odn. upravne naravan kretanja

U tom smislu, ravno kretanje moºe da se posmatra i kaosferno kretanje, pri £emu je nepokretna ta£ka u beskona£nostina pravcu upravno na ravan kretanja





Sadrºaj









Ravno kretanje krutog tela - brzina i ubrzanje

Ugaona brzina pri ravnom kretanju krutog tela je uvek ⊥ naravan kretanja π

~ω = ω~k = ω~ν gde je ω(t) = θ(t)

Vektor ugaone brzine je izvod ugla θ po vremenu

Brzina proizvoljne ta£ke tela koje vr²i op²te kretanje, pa prematome i ravno kretanje, je data sa Ojlerovom relacijom

~v = ~vA + ~ω × ~ρ (9)







U slu£aju ravnog kretanja ~ω je uvek ⊥π, dok je ~ρ uvek u ravniπ: ~ρ ∈ πSkalarni proizvod ~ω × ~ρ se dobija u obliku

~ω × ~ρ =

∣∣∣∣∣∣~λ ~µ ~ν0 0 ωξ η 0

∣∣∣∣∣∣ = −ωη~λ+ ωξ~µ

Relacija (9) se dobija, u skalarnom obliku u odnosu na sistemxy, kao

x = xA − ω(ξ sin θ + η cos θ)

y = yA + ω(ξ cos θ − η sin θ)(10)







Imaju¢i u vidu relacije (6) izme�u jedini£nih vektora,

~λ =~ı cos θ + ~ sin θ

~µ = −~ı sin θ + ~ cos θ(11)

inverzne relacije su date sa

~ı = ~λ cos θ − ~µ sin θ

~ = ~λ sin θ + ~µ cos θ(12)







Prema tome, brzina referentne ta£ke A: ~vA = xA~ı+ yA~ sedobija, posle sre�ivanja, kao

~vA = (xA cos θ + yA sin θ)~λ+ (−xA sin θ + yA cos θ)~µ

Sa ovim, relacija (9) se dobija, u skalarnom obliku u odnosu nasistem ξη, kao

vξ = xA cos θ + yA sin θ − ωηvη = −xA sin θ + yA cos θ + ωξ

(13)

vξ i vη sa KVAZIBRZINE - NISU izvodi po vremenu nekihkoordinata







Ugaono ubrzanje pri ravnom kretanju krutog tela

~ε = ε~k = ε~ν gde je ε = ω(t) = θ(t)

Ugaono ubrzanje kod ravanskog kretanja je 2. izvod povremenu ugla obrtanja θ: ε = θ

Ubrzanje proizvoljne ta£ke tela koje vr²i op²te kretanje je datosa relacijom

~a = ~aA + ~ε× ~ρ+ ~ω × (~ω × ~ρ)







Kako je, kod ravanskog kretanja uvek ~ρ⊥~ω, to se dvostrukivektorski proizvod svodi na

~ω × (~ω × ~ρ) = ~ω(~ω · ~ρ)− ω2 ~ρ = −ω2 ~ρ

Prema tome, ubrzanje ta£ke tela koje vr²i ravansko kretanje jedato sa

~a = ~aA + ~ε× ~ρ− ω2~ρ

- ubrzanje referentne ta£ke: ~aA- tangencijalno ubrzanje: ~ε× ~ρ- normalno ubrzanje: −ω2~ρ (usmereno ka referentnoj ta£ki A)





Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanju






Skalarni oblik ubrzanja ta£ke kod ravanskog kretanja

Ubrzanje ta£ke tela u sistemu inercijalnih osa xy

ax = x = xA − ε(ξ sin θ + η cos θ)− ω2(ξ cos θ − η sin θ)

ay = y = yA + ε(ξ cos θ − η sin θ)− ω2(ξ sin θ + η cos θ)

Ubrzanje ta£ke tela u sistemu materijalnih osa ξη

aξ = xA cos θ + yA sin θ − εη − ω2ξ

aη = −xA sin θ + yA cos θ + εξ − ω2η







Trenutni centar rotacije je ona ta£ka u ravni kretanja oko kojese obr¢e presek tela sa ravni kretanja u tom trenutku

Trenutni centar rotacije je ona ta£ka tela £ija je brzina u tomtrenutku jednaka nuli

Trenutni centar rotacije je ta£ka S(xS , yS) ili S(ξS , ηS)

Uslov za odre�ivanje ta£ke S je ~vS = 0, odnosno,

~vS = ~vA + ~ω × ~ρS = 0 (14)







Uslovna jedna£ina (14) se transformi²e

~vS = ~vA + ~ω × ~ρS = 0 /~ω×

Dobija se~ω × ~vA + ~ω × (~ω × ~ρS) = 0

odnosno, razvijanjem dvostrukog vektorskog proizvoda,

~ω × ~vA + ~ω(~ω · ~ρS)− ω2 ~ρS = 0







Kako je ~ω · ~ρS = 0, zbog ortogonalnosti vektora, to se dobijare²enje za vektor poloºaja ta£ke S u odnosu na referentnuta£ku A:

~ρS =~ω × ~vAω2

Vektor poloºaja trenutnog centra rotacije u osnosu na ta£ku Oje dat sa

~rS = ~rA + ~ρS = ~rA +~ω × ~vAω2







Vektorski proizvod ~ω × ~vA, izraºen u sistemu xyz, iznosi

~ω × ~vA =

∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k0 0 ωxA yA 0

∣∣∣∣∣∣ = −ω yA~ı+ ω xA ~

Vektor poloºaja u odnosu na nepokretnu ta£ku O,~rS = ~rA + ~ρS , dobija se, razlaganjem na prostorne koordinatexy, kao:

xS = xA −1

ωyA

yS = yA +1

ωxA

(15)







Posmatra se poloºaj trenutnog centra rotacije u materijalnomsistemu ξη

Uslov za odre�ivanje ta£ke S je ~vS = 0, odnosno

~vS = ~vA + ~ω × ~ρS = 0 (16)

Vektor brzine referentne ta£ke A u sistemu ξη je dat sa

~vA = (xA cos θ + yA sin θ)~λ+ (−xA sin θ + yA cos θ)~µ







Skalarni proizvod ~ω × ~ρS se dobija u obliku

~ω × ~ρ =

∣∣∣∣∣∣~λ ~µ ~ν0 0 ωξS ηS 0

∣∣∣∣∣∣ = −ω ηS ~λ+ ω ξS ~µ

Uslovna jedna£ina (16) se projektuje na ose materijalnogsistema

~vS = ~vA + ~ω × ~ρS = 0 / ·~λ~µ

pri £emu se brzina ~vA posmatra u sistemu ξη







Dobija se:

xA cos θ + yA sin θ − ω ηS = 0

−xA sin θ + yA cos θ + ω ξS = 0

Re²avanjem se dobijaju materijalne koordinate trenutnogcentra rotacije:

ξS =1

ω(xA sin θ − yA cos θ)

ηS =1

ω(xA cos θ + yA sin θ)

(17)






Ravno kretanje krutog tela - baza i ruleta

Trenutni centar rotacije u sistemu inercijalnih koordinata:

xS = xA −1

ωyA

yS = yA +1

ωxA

(18)

Trenutni centar rotacije u sistemu materijalnih koordinata:

ξS =1

ω(xA sin θ − yA cos θ)

ηS =1

ω(xA cos θ + yA sin θ)

(19)







Jedna£ine (18) su parametarske jedna£ine (vreme t jeparametar) krive linije u sistemu inercijalnih osa Oxy

Jedna£ine (19) su parametarske jedna£ine (vreme t jeparametar) krive linije u sistemu materijalnih osa Aξη

Geometrijsko mesto ta£aka (18) u sistemu nepokretnih osa sezove NEPOKRETNA CENTROIDA ili BAZA (kriva linija uravni Oxy)

Geometrijsko mesto ta£aka (19) u sistemu pokretnih osa sezove POKRETNA CENTROIDA ili RULETA (kriva linija uravni Aξη)







Baza je geometrijsko mesto ta£aka (izraºeno u sistemu Oxy)oko kojih se telo obrtalo tokom ravanskog kretanja

Baza je geometrijsko mesto ta£aka u prostoru Oxy kojepretstavljaju trenutne centre rotacije

Ruleta je kriva linija u telu koja predstavlja geometrijsko mestota£ka u kojima je, u pojedinim trenucima vremena, brzina bilajednaka nuli

Ruleta se pomera u odnosu na Oxy ravan i pri tome se usvakom trenutku vremena po jedna ta£ka rulete POKLAPA sapo jednom ta£kom baze (to je trenutni centar rotacije u tomtrenutku)







Kada se poznaje poloºaj trenutnog centra rotacije S, ondamoºe da se ta£ka S usvoji za novu referentnu ta£ku

U tom slu£aju je brzina referentne ta£ke jednaka nuli: ~vS = 0,pa je brzina bilo koje ta£ke tela P , koje vr²i ravansko kretanje,data sa

~v = ~ω × ~ρ (20)

gde se podrazumeva da se ~ρ meri od nove referentne ta£ke

~ρ =−→SP





Trenutni centar rotacije







Imaju¢i u vidu relaciju (20), odnosno izraz za brzinu ~v = ~ω × ~ρ,moºe da se zaklju£i slede¢e

1 Vektor brzine svake ta£ke tela je upravan na pravac potegapovu£enog iz trenutnog centra rotacije ka toj ta£ki

2 Intenzitet brzine ta£ke je proporcionalan sa rastojanjem ta£keod trenutnog centra rotacije

3 Smer brzine ta£ke zavisi od smera ugaone brzine







Poloºaj trenutnog centra rotacije se obi£no odre�uje direktno,iz zadatih uslova kretanja i postoje¢ih veza, a neizra£unavanjem relacija (15) ili (17)

Pravac brzine ta£ke je upravan na liniju koja spaja ta£ku satrenuntim centrom rotacije

Prema tome, ako je poznat pravac brzina dve razli£ite ta£ketela, trenutni centar rotacije se nalazi na preseku normala napravce brzina te dve ta£ke

Ako je telo koje vr²i ravansko kretanje u nekoj ta£ki vezanonepokretnim osloncem, onda je ta ta£ka trenutni centarrotacije (odn. telo vr²i rotaciju oko nepokretne ose koja jeupravna na ravan kretanja, a nalazi se u toj ta£ki, odn. unepokretnom osloncu)






Ravno kretanje krutog tela - Teorema o tri centra

Teorema o tri centra (Aronhold-Kenedijeva teorema):Ako su dve plo£e koje vr²e ravno kretanje me�usobno zglobnopovezane, onda se trenutni centri rotacija plo£a i me�uzglobnalaze na jednoj liniji

Posmatraju se dve krute plo£e, (1) i (2), koje se kre¢u u ravniOxy, pri £emu su plo£e me�usobno zglobno vezane u ta£ki C

Pretpostavlja se da su poznati trenutni centri rotacija plo£a:ozna£eni, redom, sa S1 i S2





Teorema o tri centra (Aronhold-Kenedijevateorema)







Posmatra se plo£a (1) i neka je ~ρ1 vektor poloºaja zajedni£keta£ke C u odnosu na S1Ako je ~ω1 vektor ugaone brzine plo£e (1), onda je vektorbrzine ta£ke C, posmatrane kao deo tela (1), dat sa

~vC1 = ~ω1 × ~ρ1

Sli£no, ako je ~ω2 vektor ugaone brzine tela (2), a ~ρ2 vektorpoloºaja ta£ke C u odnosu na S2, onda je brzina ta£ke C,posmatrane kao deo tela (2), data sa

~vC2 = ~ω2 × ~ρ2







Ta£ka C je zajedni£ka za obe plo£e, pa brzina ta£ke C mora dabude jedinstvena, odn., mora da bude

~vC1 = ~vC2 t.j. ~ω1 × ~ρ1 = ~ω2 × ~ρ2 (21)

Vektori ugaonih brzina kod ravanskog kretanja moraju da buduupravni na ravan kretanja, tako da je

~ω1 = −ω1~k ~ω2 = ω2

~k

Znak ugaone brzine tela (1) je negativan zbog prikazanogpretpostavljenog smera obrtanja (u smeru kazaljke na satu)







Unose¢i ugaone brzine u relaciju (21) dobija se

−ω1~k×~ρ1 = ω2

~k×~ρ2 odnosno ~k×(ω1~ρ1+ω2~ρ2) = 0 (22)

Vektorski proizvod (22) ¢e da bude jednak nuli, samo ukolikoje izraz u zagradi jednak nuli:

ω1~ρ1 + ω2~ρ2 = 0 odnosno ~ρ1 = −ω2

ω1~ρ2 (23)

Relacija (22) zna£i da su vektori ~ρ1 i ~ρ2 me�usobno kolinearni,odnosno da se ta£ke S1, C = S12 i S2 nalaze na jednom pravcu





Teorema o tri centra





Trenutni centar ubrzanja


Trenutni centar ubrzanja tela koje vr²i ravansko kretanje je onata£ka tela u kojoj je, u posmatranom trenutku, ubrzanjejednako nuli

Ubrzanje ta£ke tela koje vr²i ravansko kretanje je dato sa

~a = ~aA + ~ε× ~ρ− ω2 ~ρ

Ako je ta£ka C trenutni centar ubrzanja, onda je ~aC = 0







Relacija ~aC = 0 se mnoºi sa leve strane vektorski sa ~ε, a zatimi sa ω2:

~aC = ~aA + ~ε× ~ρC − ω2 ~ρC = 0 /~ε×ω2· ⇒

Dobija se:

~ε× ~aA + ~ε× (~ε× ~ρC)− ω2(~ε× ~ρC) = 0

ω2~aA + ω2(~ε× ~ρC)− ω4~ρC = 0(24)

Sabiranjem jedna£ina (24) se dobija

~ε× ~aA + ~ε× (~ε× ~ρC) + ω2~aA − ω4~ρC = 0 (25)







Dvostruki vektorski proizvod u (25) se razvije

~ε× (~ε× ~ρC) = ~ε · (~ε · ~ρC)− ε2~ρC = −ε2~ρC

jer su vektori ~ε i ~ρC me�usobno ortogonalni

Sa ovim, relacija (25) postaje

~ε× ~aA − ε2~ρC + ω2~aA − ω4~ρC = 0 (26)

odakle se direktno dobija vektor poloºaja ta£ke C:

~ρC =ω2~aA + ~ε× ~aA

ω4 + ε2(27)







Relacijom (27) je odre�en poloºaj trenutnog centra ubrzanja uodnosu na referentnu ta£ku A

Sa odre�enim poloºajem trenutnog centra ubrzanja C, ta£ka Cse usvaja za novu referentnu ta£ku

U tom slu£aju je ubrzanje bilo koje druge ta£ke tela P dato sa

~aP = ~ε× ~ρP − ω2 ~ρP

gde je ~ρP vektor poloºaja ta£ke P u odnosu na ta£ku C:

~ρP =−−→CP

Ukupno ubrzanje se tada sastoji SAMO iz tangencijalnog inormalnog ubrzanja u odnosu na trenutni centar ubrzanja





Sadrºaj








Ravno kretanje - primer

U prikazanom poloºaju klipnog mehanizma koji se kre¢e u ravnixy poznati su brzina i ubrzanje klipa A. Odrediti brzinu iubrzanje ta£ke B





Ravno kretanje

primer: re²enja

Mehanizam se sastoji iz dva tela. Telo (1) zaklapa 300 saosom x, a telo (2) je u pravcu ose y

Trenutni centar rotacije tela (2) je u osloncu C, a trenutnicentar tela (1) je u ∞ u pravcu ose y

Prema tome, telo (1) vr²i trenutno translatorno kretanje

Sve ta£ke tela (1), pa i ta£ka B, imaju istu brzinu:

vB = vA

Ugaona brzina tela (2) je, prema tome

ω2 =vBR

=vAR





Re²enja: Brzine





Ravno kretanje

primer: re²enja

Ta£ka B je zajedni£ka za oba ²tapa. Imaju¢i u vidu da je za²tap (1) poznato ubrzanje ta£ke A, onda je to referentna ta£kaza telo (1) i ubrzanje ta£ke B, posmatrane kao ta£ka tela (1),je dato sa

~aB1 = ~aA + ~ε1 × ~ρBA (28)

U relaciji (28) je uzeto u obzir da je ugaona brzina tela (1)jednaka nuli, a pretpostavljen je smer ugaonog ubrzanja usmeru kazaljke na satu

Ako se ta£ka B posmatra kao deo tela (2), onda je ubrzanjeta£ke B dato sa

~aB2 = ~ε2 × ~ρBC − ω22 ~ρBC (29)





Ravno kretanje

primer: re²enja

Za telo (2) je ta£ka C referentna ta£ka (jer je to nepokretnata£ka) i ubrzanje je nula

Tako�e je pretpostavljen smer ugaonog ubrzanja tela (2) ε2:suprotno od kazaljke na satu (kao i stvaran smer ω2)

Ta£ka B je zajedni£ka ta£ka za oba tela, tako da mora da bude

~aB1 = ~aB2 (30)

Uno²enjem relacija (28) i (29) u jedn. (30), dobija se

~aA + ~ε1 × ~ρBA = ~ε2 × ~ρBC − ω22 ~ρBC (31)





Re²enja: Ubrzanja

Ubrzanje ta£ke B se posmatra dvojako:

kao ubrzanje ta£ke koja pripada ²tapu AB

kao ubrzanje ta£ke koja pripada ²tapu CB





Ravno kretanje

primer: re²enja

Projektovanjem jedn. (31) na ose x i y se dobija

aA + ε1 2R sin 300 = ε2R

ε1 2R cos 300 = ω22 R

(32)

Iz druge od (32) se dobija ugaono ubrzanje tela (1):

ε1 =v2AR2

√3

3(33)

Kao ²to se vidi, ugaono ubrzanje ε1 je pozitivno, ²to zna£i daje stvaran smer kao ²to je pretpostavljen





Ravno kretanje

primer: re²enja

Iz prve od (32) se dobija ugaono ubrzanje tela (2):

ε2 =aAR

+v2AR2

√3

3(34)

Kao ²to se vidi, i ugaono ubrzanje ε2 je pozitivno, ²to zna£i daje stvaran smer kao ²to je pretpostavljen

Komponente ubrzanja ta£ke B (videti sliku sa ubrzanjima),posmatraju¢i ta£ku B kao deo tela (2), su date sa

aBx = −ε2R = −aA −v2AR

√3

3

aBy = −ω22 R = −

v2ARS.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2




Ravno kretanje

primer: re²enja

Prema tome, vektor brzine ta£ke B, izraºen u odnosu nasistem Cxy, dat je sa

~vB = −vA~ı

Vektor ubrzanja ta£ke B je dat sa

~aB = −(aA +v2AR

√3

3)~ı−

v2AR~

gde su vA i aA poznati pozitivni skalari


tehnicka mehanika 2 - osnovne akademske studije, iii ......tehni ka mehanika 2 osnovne akademske...

Documents